Моделирование и анализ теплового поля непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок

Предложена математическая модель нестационарного теплового процесса непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок, разработаны явные схемы конечно-разностной аппроксимации и алгоритм решения поставленной задачи. Проведен анализ полученных численных результатов....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
Hauptverfasser:	Ткаченко, В.Н., Иванова, А.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2008
Schriftenreihe:	Электронное моделирование
Schlagworte:	Применение методов и средств моделирования
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101574
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Моделирование и анализ теплового поля непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок / В.Н. Ткаченко, А.А. Иванова // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 3. — С. 87-103. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101574
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1015742025-02-09T09:57:27Z Моделирование и анализ теплового поля непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок Modeling and Analysis of Continuous Ingot Thermal Field of Curvilinear Continuous Casting Machine Ткаченко, В.Н. Иванова, А.А. Применение методов и средств моделирования Предложена математическая модель нестационарного теплового процесса непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок, разработаны явные схемы конечно-разностной аппроксимации и алгоритм решения поставленной задачи. Проведен анализ полученных численных результатов. Запропоновано математичну модель нестаціонарного теплового процесу неперервного злитка криволінійної машини неперервного лиття заготовок, розроблено явні схеми скінченно різницевої апроксимації та алгоритм розв’язання поставленої задачи. Проведено аналіз отриманих чисельних результатів. The mathematical model is proposed for non-stationary thermal process of continuous ingot of curvilinear continuous casting machine. The explicit schemes are developed for finite-difference approximation and algorithm of the problem solution. The analysis of numerical results obtained is performed. 2008 Article Моделирование и анализ теплового поля непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок / В.Н. Ткаченко, А.А. Иванова // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 3. — С. 87-103. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101574 51-74 : 669.147 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования
spellingShingle	Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования Ткаченко, В.Н. Иванова, А.А. Моделирование и анализ теплового поля непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок Электронное моделирование
description	Предложена математическая модель нестационарного теплового процесса непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок, разработаны явные схемы конечно-разностной аппроксимации и алгоритм решения поставленной задачи. Проведен анализ полученных численных результатов.
format	Article
author	Ткаченко, В.Н. Иванова, А.А.
author_facet	Ткаченко, В.Н. Иванова, А.А.
author_sort	Ткаченко, В.Н.
title	Моделирование и анализ теплового поля непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок
title_short	Моделирование и анализ теплового поля непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок
title_full	Моделирование и анализ теплового поля непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок
title_fullStr	Моделирование и анализ теплового поля непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок
title_full_unstemmed	Моделирование и анализ теплового поля непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок
title_sort	моделирование и анализ теплового поля непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Применение методов и средств моделирования
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101574
citation_txt	Моделирование и анализ теплового поля непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок / В.Н. Ткаченко, А.А. Иванова // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 3. — С. 87-103. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT tkačenkovn modelirovanieianalizteplovogopolânepreryvnogoslitkakrivolinejnojmašinynepreryvnogolitʹâzagotovok AT ivanovaaa modelirovanieianalizteplovogopolânepreryvnogoslitkakrivolinejnojmašinynepreryvnogolitʹâzagotovok AT tkačenkovn modelingandanalysisofcontinuousingotthermalfieldofcurvilinearcontinuouscastingmachine AT ivanovaaa modelingandanalysisofcontinuousingotthermalfieldofcurvilinearcontinuouscastingmachine
first_indexed	2025-11-25T14:21:44Z
last_indexed	2025-11-25T14:21:44Z
_version_	1849772481773043712
fulltext	ÓÄÊ 51-74 : 669.147 Â. Í. Òêà÷åíêî, ä-ð òåõí. íàóê, À. À. Èâàíîâà, Èí-ò ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû (Óêðàèíà, 83114, Äîíåöê, óë. Ð. Ëþêñåìáóðã, 74, òåë.: (062)3110436, E-mail: ivanova@iamm.ac.donetsk.ua) Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç òåïëîâîãî ïîëÿ íåïðåðûâíîãî ñëèòêà êðèâîëèíåéíîé ìàøèíû íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ çàãîòîâîê (Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû Â.Â. Âàñèëüåâ) Ïðåäëîæåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåñòàöèîíàðíîãî òåïëîâîãî ïðîöåññà íåïðåðûâíîãî ñëèòêà êðèâîëèíåéíîé ìàøèíû íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ çàãîòîâîê, ðàçðàáîòàíû ÿâíûå ñõåìû êîíå÷íî-ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè è àëãîðèòì ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è. Ïðîâåäåí àíàëèç ïîëó÷åííûõ ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ. Çàïðîïîíîâàíî ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü íåñòàö³îíàðíîãî òåïëîâîãî ïðîöåñó íåïåðåðâíîãî çëèòêà êðèâîë³í³éíî¿ ìàøèíè íåïåðåðâíîãî ëèòòÿ çàãîòîâîê, ðîçðîáëåíî ÿâí³ ñõåìè ñê³í- ÷åííî ð³çíèöåâî¿ àïðîêñèìàö³¿ òà àëãîðèòì ðîçâ’ÿçàííÿ ïîñòàâëåíî¿ çàäà÷è. Ïðîâåäåíî àíàë³ç îòðèìàíèõ ÷èñåëüíèõ ðåçóëüòàò³â. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: êðèâîëèíåéíàÿ ÌÍËÇ, òåïëîâîå ïîëå, ãðàíèöà ðàçäåëà ôàç, ìåòîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé, ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü. Ïðàâèëüíî âûáðàííûé òåìïåðàòóðíûé ðåæèì ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâ- íûõ ôàêòîðîâ ñòàáèëüíîñòè êà÷åñòâà ïðîäóêöèè òåõíîëîãè÷åñêîãî ïðî- öåññà íåïðåðûâíîé ðàçëèâêè ñòàëè. Åãî íàðóøåíèÿ ÷àñòî ïðèâîäÿò ê ïîë- íîé ïîòåðå ïëàâêè èëè ìàññîâîìó áðàêó â ñëèòêàõ, à èíîãäà è ê ñåðüåçíûì àâàðèÿì íà ìàøèíå íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ çàãîòîâîê (ÌÍËÇ). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íåïðåðûâíîé ðàçëèâêå òðåáîâàíèÿ ê òåìïåðàòóðíîìó ðåæèìó äîëæíû áûòü çíà÷èòåëüíî áîëåå æåñòêèìè, ÷åì ïðè îáû÷íîé ðàçëèâêå [1, 2]. Òåïëîâûå ïðîöåññû â íåïðåðûâíîì ñëèòêå íà êàæäîì ó÷àñòêå ÌÍËÇ âåñüìà ñëîæíû. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, îïèñûâàþùèå èõ, îñíîâàíû íà íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ ðàçëè÷íîãî ðîäà. Ïîýòîìó òàêèå çàäà÷è íå ïîääàþòñÿ àíàëèòè÷åñêîìó ðåøåíèþ. Êðîìå òîãî, àíàëèòè÷åñêèé ïîäõîä îãðàíè÷åí ïðîñòîòîé ãåîìåòðè÷åñêèõ êîíôèãóðàöèé ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè. Ýêñ- ïåðèìåíòàëüíûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷, âîçíèêàþùèõ ïðè èçó÷åíèè ïðîöåñ- ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 3 87 ñîâ íåïðåðûâíîé ðàçëèâêè, òðåáóåò áîëüøèõ äåíåæíûõ çàòðàò, ñëîæíåéøåãî îáîðóäîâàíèÿ è ðåøåíèÿ âîïðîñîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ðåàëüíûõ óñëîâèé. Ñîâðåìåííîå ðàçâèòèå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ è ÝÂÌ äåëàåò ÷èñëåííûé ïîäõîä íàèáîëåå ïðèâëåêàòåëüíûì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ìîäåëèðîâàíèÿ è èññëåäîâàíèÿ òåïëîâûõ ïðîöåññîâ íåïðåðûâíîé ðàçëèâêè ñòàëè. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî îí íå èìååò îãðàíè÷åíèé, ñâÿçàííûõ ñ íåëèíåéíîñòüþ, êîòî- ðûå îáû÷íî âîçíèêàþò ïðè ïîïûòêàõ àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé. Ïîñòîÿí- íî âîçðàñòàþùàÿ ìîùíîñòü âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè äàåò âîçìîæíîñòü ðåøàòü âñå áîëåå ïîëíûå è ñëîæíûå çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ òåõíîëîãè- ÷åñêîãî ïðîöåññà íåïðåðûâíîé ðàçëèâêè ñòàëè. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ïîçâîëÿåò îïòèìèçèðîâàòü ðàáî÷èå ïàðàìåòðû íåïðåðûâíîé ðàçëèâêè, ïîâûñèòü êà÷åñòâî ðàçëèâàåìîé çàãî- òîâêè, ñíèçèòü ïðîèçâîäñòâåííûå çàòðàòû è îáåñïå÷èòü áåçàâàðèéíóþ ðàáîòó ÌÍËÇ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü. Ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðèíÿòû ñëåäóþùèå óïðîùàþùèå äîïóùåíèÿ: 1. Òåïëîâîé ïîòîê â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ïëîñêîñòè Oxz, ïðåíåáðåæèìî ìàë. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà â ñëèòêàõ ïðÿìî- óãîëüíîãî ñå÷åíèÿ øèðîêàÿ ãðàíü õîòÿ áû â äâà ðàçà áîëüøå óçêîé. 2. Ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóð â êðèñòàëëèçàòîðå (ðèñ. 1) ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè Oz. 3. Æèäêàÿ è òâåðäàÿ ôàçû ðàçäåëåíû ÷åòêîé ãðàíèöåé (ëèíèåé), à íå ïîëîñîé, à òåìïåðàòóðà çàòâåðäåâàíèÿ ñðåäíÿÿ íà èíòåðâàëå ëèêâèäóñ — ñîëèäóñ. Â. Í. Òêà÷åíêî, À. À. Èâàíîâà 88 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 3 Z 0 z x z 0 Ò ÒÒ î.ñ2 î.ñ3 î.ñ1 12 3 4 5 l d � ç Ðèñ. 1. Òåïëîâàÿ ñõåìà êðèñòàëëèçàòîðà: 1 è 2 — æèäêàÿ è òâåðäàÿ ôàçû; 3 — ñòåíêà êðèñòàëëèçàòîðà; 4 — îõëàæäàþùàÿ âîäà; 5 — çåðêàëî ðàñïëàâà; l — ïîëîâèíà òîëùèíû ñëèòêà; d — ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ïîâåðõíîñòè ñòåíêè êðèñòàëëèçàòîðà, îáðàùåííîé ê âîäå 4. Ïåðåìåøèâàíèå â æèäêîé ôàçå íå ó÷èòûâàåòñÿ. 5. Â ñëó÷àå, êîãäà ðàçëèâêà ïðîâîäèòñÿ íå ïîä øëàêîì, ó÷èòûâàþòñÿ ïîòåðè òåïëà îò çåðêàëà ðàñïëàâà òîëüêî çà ñ÷åò èçëó÷åíèÿ, ïîñêîëüêó êîíâåêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ íå èìååò áîëüøîãî çíà÷åíèÿ [2]. 6. Øèðèíà ñëèòêà íà ëþáîì óðîâíå ÌÍËÇ — âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ. 7. Êðèñòàëëèçàòîð — íåäåôîðìèðóåìîå òåëî. 8. Âîçâðàòíî-ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå êðèñòàëëèçàòîðà è òðåíèå ìåæäó ïîâåðõíîñòÿìè ñëèòêà è êðèñòàëëèçàòîðà íå ó÷èòûâàþòñÿ. 9. Â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ìåæäó ïîâåðõíîñòüþ ñëèòêà â êðèñòàëëèçàòîðå è ñòåíêîé êðèñòàëëèçàòîðà âñåãäà ñóùåñòâóåò íåêîòîðûé çàçîð, îáóñëîâ- ëåííûé øåðîõîâàòîñòÿìè ïîâåðõíîñòåé è óñàäêîé ñëèòêà, â ðàññìîòðåíèå ââîäèòñÿ ýôôåêòèâíàÿ òîëùèíà ãàçîâîãî çàçîðà � ç ìåæäó ïîâåðõíîñòüþ ñëèòêà è ñòåíêîé êðèñòàëëèçàòîðà [2]. 10. Òåïëîâîé ïîòîê â êîíöå ïðÿìîëèíåéíîãî ó÷àñòêà çîíû âòîðè÷íîãî îõëàæäåíèÿ (ÇÂÎ) ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì íóëþ. Òåïëîîáìåí â îáëàñòè êðèñòàëëèçàòîðà. Óðàâíåíèå òåïëîìàññî- ïåðåíîñà äëÿ ìåòàëëà èìååò ñëåäóþùèé âèä [3]: � � �� T x z v T x z z c T x z T x z ( , , ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) � � � 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �x T x z T x z T x z T z ( , , ) ( , , ) , (1) ãäå v ( )� — ñêîðîñòü âûòÿãèâàíèÿ ñëèòêà, ì/ñ; T — òåìïåðàòóðà â æèäêîé è òâåðäîé ôàçàõ, Ê; c — óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü, Äæ/(êãÊ); � — ïëîòíîñòü, êã/ì 3 ; � — òåïëîïðîâîäíîñòü ðàçëèâàåìîãî ìåòàëëà, Âò/(ìÊ). Ïîñêîëüêó îñíîâíûå ïîòåðè òåïëà îò çåðêàëà ðàñïëàâà ïðîèñõîäÿò â ðåçóëüòàòå èçëó÷åíèÿ, à êîíâåêöèÿ èãðàåò íåçíà÷èòåëüíóþ ðîëü â ïåðåäà÷å òåïëà, òåïëîâîé ïîòîê îò æèäêîé ñòàëè ìîæíî îïèñàòü óðàâíåíèåì [2] � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ( , )T x T z C T T z ï o.c1 100 100 4 0 4 , (2) ãäå C ï — ïðèâåäåííûé êîýôôèöèåíò èçëó÷åíèÿ, Âò/(ì 2 Ê 4 ); T z�0 — òåìïåðàòóðà èçëó÷àþùåé æèäêîé ñòàëè; T o.c4 — òåìïåðàòóðà îêðóæàþ- ùåé ñðåäû. Ïðè ðàçëèâêå ïîä øëàêîì òåïëîâîé ïîòîê îò çåðêàëà ðàñïëàâà ðàâåí íóëþ. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ÷àñòè ñëèòêà âíóòðè êðèñòàëëèçàòîðà ñëå- äóþùèå: ïðè x = 0 � � T x x� � 0 0 ; (3) Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç òåïëîâîãî ïîëÿ íåïðåðûâíîãî ñëèòêà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 3 89 ïðè x = l � � � � � � � ( , ) ( )T z T x T T C T x l x l x l x l � � � � � � � � � � � � ã.ç ç ï ç ç 100 � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4 4 100 T x l , 0� �z Z, (4) ãäå � ã.ç — êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ãàçîâîé ñìåñè â çàçîðå; T x l� è T x l� �� ç — òåìïåðàòóðà ïîâåðõíîñòåé ñëèòêà è êðèñòàëëèçàòîðà; � ç — òîëùèíà ãàçîâîãî çàçîðà. Óñëîâèÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà ôàç ñëåäóþùèå: óñëîâèå ðàâåíñòâà òåì- ïåðàòóð — T x z T x z Tx z x z( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) � � � � � �� êð ; (5) óñëîâèå Ñòåôàíà — óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå äâèæåíèå íåèçâåñòíîé ãðà- íèöû ìåæäó æèäêîé è òâåðäîé ôàçàìè ìåòàëëà, � � � � � � � ! � � � � ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) T x z T n T x z T n T x z x z� � � � � � êð " �� v z , 0� �z Z, (6) ãäå � — ãðàíèöà ðàçäåëà ôàç, îïèñûâàåìàÿ ôóíêöèåé äâóõ ïåðåìåííûõ, x z�� ( , ); — ñêðûòàÿ òåïëîòà êðèñòàëëèçàöèè, Äæ/êã; T êð — òåìïåðà- òóðà êðèñòàëëèçàöèè (ñðåäíÿÿ íà èíòåðâàëå ëèêâèäóñ — ñîëèäóñ); n — íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ôàç. Íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ãðàíèöû ðàçäåëà ôàç � �( , ) ( )0 0 z z� . (7) Ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ ôóíêöèè �: � �( , )0 � l. (8) Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ñòåíêè êðèñòàëëèçàòîðà: � � �� T x z c T x z T x z x T x z T x ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )� � � � 1 � � � � � � � � � � � � � � �z T x z T z ( , , ) , z z Z 0 � � , l x d� � . (9) Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ñòåíêè êðèñòàëëèçàòîðà: ïðè x = d � � � # ! " $ ( , )T z T x T T x d x d � � � � â , z z Z 0 � � ; ïðè z = Z � � � # ! "( , )T x T z T T z Z z Z � � � � 2 î.ñ2 , l x d� � ; Â. Í. Òêà÷åíêî, À. À. Èâàíîâà 90 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 3 ïðè z = z0 �� # ! "( , )T x T z T T z z z z � � � � 0 0 3 î.ñ3 , l x d� � ; (10) ïðè x = l + � ç íèæå óðîâíÿ ìåíèñêà � � � � �� ( , ) ( )T z T x T T C T x l x l x l x l � � � � � � � � � � ç ç çã.ç ç ï 100 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4 4 100 T x l , 0� �z Z; ïðè x = l + � ç (íàä ìåíèñêîì) �� # � ( , ) ( )T z T x T T C T x l x d � � � � � � � � � � � � ç î.ñ ï î.ñ 4 4 100 1 1 � � � � � � � � � � � T x d 100 4 , z z 0 0� � , ãäå # 1 — êîýôôèöèåíò òåïëîîòäà÷è îò ñòåíêè êðèñòàëëèçàòîðà ê îõëàæ- äàþùåé âîäå, Âò/(ì 2 Ê); T â — òåìïåðàòóðà îõëàæäàþùåé âîäû; # 2 3 4, , — êîýôôèöèåíòû òåïëîîòäà÷è îò ñòåíêè êðèñòàëëèçàòîðà â îêðóæàþùóþ ñðåäó, T î.ñ , ,2 3 4 — òåìïåðàòóðà îêðóæàþùåé ñðåäû. Òåìïåðàòóðà îõëàæäàþùåé âîäû â êàíàëå êðèñòàëëèçàòîðà îïèñû- âàåòñÿ ñëåäóþùèì áàëàíñîâûì óðàâíåíèåì: c S v T z z P T z T P T zx dâ â â â c â âí âí â � � � # � # � ( , ) ( ( , ) ) ( ( , )� � � �1 �T âí ), (11) ãäå c â — îáúåìíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû, Äæ/(Ê % ì 3 ); S â — ñå÷åíèå ïðîõîäà âîäû, ì 2 ; v â — ñêîðîñòü âîäû, ì/ñ; P c — ïåðèìåòð ñòåíêè êðèñòàëëèçàòîðà, ì; P âí — ïåðèìåòð âíåøíåé ñòåíêè;# âí — êîýôôèöèåíò òåïëîîòäà÷è îò âîäû ê âíåøíåé ñòåíêå; T âí — òåìïåðàòóðà âíåøíåé ñòåíêè. Òåìïåðàòóðà îõëàæäàþùåé âîäû íà âõîäå â êàíàë êðèñòàëëèçàòîðà T Z T â â.â ( , ) ( )0 � � , (12) åå íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå âíóòðè êàíàëà: T z T z â â0 ( , ) ( )0 � . (13) Òåïëîîáìåí â ÇÂÎ. Çàïèøåì óðàâíåíèå òåïëîìàññîïåðåíîñà äëÿ ñëèòêà íà êðèâîëèíåéíûõ ó÷àñòêàõ ÌÍËÇ (ðèñ. 2): � �� & � � �' ' (" �( ' ' ("� ' ' (" T T r c T r T r m� � �( ) ( ( ( 1 � � � � � � � � � � � � ( � � � �( � ( � �( � r T r T r r T r T ( , , ) ( , , ) (1 2 T r r T r , , )( � � � � � � � � , (14) Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç òåïëîâîãî ïîëÿ íåïðåðûâíîãî ñëèòêà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 3 91 ãäå&m — óãëîâàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñëèòêà íà m-ì êðèâîëèíåéíîì ó÷àñò- êå. Óñëîâèÿ ðàâåíñòâà òåìïåðàòóð íà ãðàíèöå ðàçäåëà ôàç èìååò âèä T r T r Tr r( ( , , ( ) ( ) �' ' (" �' ' (" � �'( � �'(� � � � � � 1 2 1 2 êð , r 1 2 1 2, , ( )�� '( , (15) ãäå � ( 1 ( ) è � ( 2 ( ) — ãðàíèöû ðàçäåëà ôàç. Óñëîâèÿ Ñòåôàíà: � ( � � � ( � � � & � �� ( �� ( , , ) ( , , ) ( )T r T n T r T n m 1 1 1 1 � � � � � êð �� , � ( � ( 1 1 0 0 ( , ) ( )� , � ( � � � ( � � � & � �� ( �� ( , , ) ( , , ) ( )T r T n T r T n m 2 2 2 � � � � � � êð 2 �� , � ( � ( 2 2 0 0 ( , ) ( ).� (16) Â. Í. Òêà÷åíêî, À. À. Èâàíîâà 92 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 3 r ( � r r Î 1 2 3 1 2 3 Î Î Êðèñòàëëèçàòîð ÇÂÎ � 1 2 x z 1 2 3 4 5 xp Ðèñ. 2. Òåïëîâàÿ ñõåìà ÇÂÎ: 1 è 2 — æèäêàÿ è òâåðäàÿ ôàçû; 3 — òî÷êà îêîí÷àòåëüíîé êðèñòàëëèçàöèè (ãëóáèíà æèäêîé ôàçû); 4 — ôîðñóíêè, ïîäàþùèå âîäî-âîçäóøíóþ ñìåñü; 5 — ðîëèêè Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà êðèâîëèíåéíûõ ó÷àñòêàõ: ïî âíóòðåííåìó ðàäèóñó — �� ( � � # � (( , ) ( ( ), )( ) ( (T T r G T T C T T r r I m r r m m � � � � � �Im Im Im 4 r rm� ) ) 4 , ïî âíåøíåìó ðàäèóñó — � ( � � # � (( , ) ( ( ), ) ( ) (T T r G T T C T r r l E m r r l m m 2 2 2 � � � � � � �Em Em Em 4 2 4 � � � ( ) )T r r lm , (17) ãäå # I , # E — êîýôôèöèåíòû òåïëîîòäà÷è îò ïîâåðõíîñòè ñëèòêà â îêðó- æàþùóþ ñðåäó; C Im, C Em — ïðèâåäåííûå êîýôôèöèåíòû èçëó÷åíèÿ îò ïîâåðõíîñòè ñëèòêà; TIm è TEm— òåìïåðàòóðà îêðóæàþùåé ñðåäû â m-é ñåêöèè ÇÂÎ ñîîòâåòñòâåííî ïî âíóòðåííåìó è âíåøíåìó ðàäèóñàì; Gm( )� — ðàñõîä âîäû íà m-é ñåêöèè. Óðàâíåíèå òåïëîìàññîïåðåíîñà íà ïðÿìîëèíåéíîì ó÷àñòêå: � �� ' ' " � ' ' "� ' ' " T v T x z x c T x z T x z � � �( ) ( ( ( 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � ' ' " � � � � � ' ' " � �x T x z T x z T x z T z ( ( . (18) Åñëè æèäêàÿ ôàçà ïðîäîëæàåòñÿ äàëüøå òî÷êè âûïðÿìëåíèÿ, òî íà ïðÿìî- ëèíåéíîì ó÷àñòêå ÇÂÎ òàêæå çàäàþòñÿ óñëîâèÿ ðàâåíñòâà òåìïåðàòóð íà ãðàíèöå ðàçäåëà ôàç, T x z T x z Tx x z x x z( , , ) ( , , ) , , ( , ) ( , ) � � � �� 1 2 1 2 êð , (19) è óñëîâèÿ Ñòåôàíà: � ' ' " � � � ' ' " � � � � �� ( ( ( )T x z T n T x z T n v x 1 1 1 1 � � � � � êð � � � � � � �, � ' ' " � � � ' ' " � � � � �� ( ( ( )T x z T n T x z T n v x 2 2 2 2 � � � � � � êð �� . (20) Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ïðÿìîëèíåéíîì ó÷àñòêå: ïî âíóòðåííåìó ðàäèóñó — �� # �( , ) ( ( ), )( ) (T x T z G x T T C T z z I m I z z z I p p p � � � � � î.ñ îI4 .ñz z zp p T4 4 � � ( ) ) , Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç òåïëîâîãî ïîëÿ íåïðåðûâíîãî ñëèòêà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 3 93 ïî âíåøíåìó ðàäèóñó— � � � ( , )T x T z z z lp� � � 2 �# �Ez m E z z z l z E z zp p p p p G x T T C T T( ( ), )( ) ( ( î.ñ î.ñ � � � � �2 4 E � �z lp 2 4 ) ) . (21) Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â êîíöå ïðÿìîëèíåéíîãî ó÷àñòêà òåïëîâîé ïîòîê ðàâåí íóëþ: � � � ( , )T z T x x xp� � 0. (22) Çàäàäèì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ âñåãî ïîëÿ òåìïåðàòóð: íà ïðÿìîëèíåéíûõ ó÷àñòêàõ — T x z T x z( , , ) ( , )0 � 0 , íà êðèâîëèíåéíûõ ó÷àñòêàõ — T r T r( , , ) ( , )0 ( (� 0 . (23) Ïðè ýòîì íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà åñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà âñåé îáëàñ- òè ñëèòêà è ñòåíêè êðèñòàëëèçàòîðà. Â. Í. Òêà÷åíêî, À. À. Èâàíîâà 94 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 3 x z P M 1 ,0 0000 0 P P P P N NN M M K11 , , ,, ,,, + ++ + +++ N K1++ N K1++ P NM ,+ Ðèñ. 3. Ñåòî÷íîå ðàçáèåíèå ñëèòêà âíóòðè êðèñòàëëèçàòîðà è ñòåíêè êðèñòàëëèçàòîðà Êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå àïïðîêñèìàöèè èñõîäíûõ óðàâíåíèé. Â îáëàñ- òè ïåðâè÷íîé çîíû îõëàæäåíèÿ êðèñòàëëèçàòîðà ââåäåì ñëåäóþùèå ðàâ- íîìåðíûå ïðÿìîóãîëüíûå ñåòêè (ðèñ. 3): íà( , ) ( , )0 0l Z� — ñëèòîê âíóòðè êðèñòàëëèçàòîðà — ñåòêà)q h, ñ øàãàìè q l N� / è h Z M� / ; íà ( , ) ( , )l l d z� � � �� ç ç 0 0 (ñòåíêà êðèñòàëëèçàòîðà âûøå óðîâíÿ ìå- íèñêà) — ñåòêà)s h, 1 ñ øàãàìè s d K� / è h z P 1 0 � / ; íà ( , ) ( , )l l d Z� � � �� ç ç 0 (ñòåíêà êðèñòàëëèçàòîðà íèæå óðîâíÿ ìå- íèñêà) — ñåòêà)s h, . Â îáëàñòè ÇÂÎ ââåäåì ñëåäóþùèå êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå ñåòêè. Íà êàæ- äîì ó÷àñòêå ñ ïîñòîÿííîé êðèâèçíîé ââåäåì ðàâíîìåðíóþ ñåòêó)q fi, (ðèñ. 4) ñ øàãîì ïî ðàäèóñó q l N� / (ñîâïàäàåò ñ øàãîì ïî êîîðäèíàòå x â êðèñòàë- ëèçàòîðå) è øàãîì ïî óãëó f r Mm m m� / , ãäå m — íîìåð ó÷àñòêà, rm — ðàäèóñ êðèâèçíû âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè ñëèòêà íà m-ì ó÷àñòêå. Íà ïðÿìîëèíåéíîì ó÷àñòêå ââåäåì ïðÿìîóãîëüíóþ ðàâíîìåðíóþ ñåòêó)q h, 2 , Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç òåïëîâîãî ïîëÿ íåïðåðûâíîãî ñëèòêà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 3 95 r 1 2 3 1 2 3 r r Ðèñ. 4. Ñåòî÷íîå ðàçáèåíèå ÇÂÎ ãäå h x M 2 2 4 � / , x2 — äëèíà ïðÿìîëèíåéíîãî ó÷àñòêà, Ì4 — ÷èñëî îòðåç- êîâ ðàçáèåíèÿ ïî äëèíå. Ââåäåì ñèñòåìó âðåìåííûõ èíòåðâàëîâ {� k }, k = 0, 1, 2 … è ñîîòâåòñò- âóþùóþ ðàâíîìåðíóþ ñåòêó ïî âðåìåíè) � ,� �k �* , äëÿ âñåõ k = 0, 1, 2 … . Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå çàäà÷å (1) — (23) êîíå÷íî-ðàçíîñòíóþ çàäà÷ó. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (1) â íåäèâåðãåíòíîé ôîðìå è ïîñòðîèì åãî êîíå÷íî-ðàçíîñòíûé àíàëîã, èñïîëüçóÿ ïÿòèòî÷å÷íûé øàáëîí: T T v T T h k i j k i j k k i j k i j� � � � � � 1 1, , , , , , , , � � � � � � �1 2 1 1 2c T T T qk i j k i j k i j k i j k i j k i j k , , , , , , , , , , , , � � � , , , , , , , ,i j k i j k i j k i j q T T q � �� 1 1 �� k i j k i j k i j k i j k i j k i jT T T h , , , , , , , , , , , ,� � � � � � � 1 1 2 1 2 h T T h k i j k i j, , , , � � � � �1 . (24) Ýòî òàê íàçûâàåìàÿ ÿâíàÿ ñõåìà [4], ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè, â êîòî- ðîé îïðåäåëÿåòñÿ øàãàìè ñåòêè ïî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâåííûì êîîð- äèíàòàì O q h+�' 2 , ] . Ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (2) ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèå �� k i k i k i k iT T T h C T , , , , , , , , 0 0 1 2 4 3 4 2 100 � � � � � � � � � �ï î.ñ4 Tk i, , 0 4 100 � � � � � � � � � � � ñ ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè O h[ ] 2 . Ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (3) è (4) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå óðàâíåíèÿ: 3 4 0 1 2 T T Tk j k j k j, , , , , , � � , � k N j k N j k N j k N jT T T q , , , , , , , ,� � � � � 2 1 4 3 2 � � � � � � � � � � � �� ã.ç ç ï ( ) , , , , , , ,T T C T T k N j k N j k N j k N 1 1 4 100 , j 100 4 � � � � � � � � � � � � � . ñ ïîãðåøíîñòüþ O q[ ] 2 . Óðàâíåíèþ (9) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ñëåäóþ- ùóþ êîíå÷íî-ðàçíîñòíóþ àïïðîêñèìàöèþ: T Tk i j k i j� � � 1, , , , � � � � � � �1 2 1 1 2c T T T sk i j k i j k i j k i j k i j k i j k , , , , , , , , , , , , � � � , , , , , , , ,i j k i j k i j k i j s T T s � �� 1 1 Â. Í. Òêà÷åíêî, À. À. Èâàíîâà 96 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 3 �� k i j k i j k i j k i j k i j k i jT T T h , , , , , , , , , , , ,� � � � � � � 1 1 2 1 2 h T T h k i j k i j, , , , � � � � �1 ñ ïîãðåøíîñòüþ O s h+�' 2 2 , ] . Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (10), âûáåðåì â âèäå � k i j k N K j k N K j k N K jT T T s , , , , , , , ,� � � � � � � � 1 1 4 3 2 # 1 ( ) , , , T Tv k N K jk j � � �1 . Àíàëîãè÷íî çàïèñûâàþòñÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ äëÿ äðóãèõ ãðàíèö ñòåíêè êðèñòàëëèçàòîðà. Áàëàíñîâîìó óðàâíåíèþ (11) ñîîòâåòñò- âóåò óðàâíåíèå c S v T T h P T T Pk j k j k j k N K jâ â â â â c â âí âí , , , ( ) , , � � � � � � � 1 1 1 # # ( ) , , T Tk N K j� � � 1 âí ñ ïîãðåøíîñòüþ O [h]. Êîíå÷íî-ðàçíîñòíûé àíàëîã óðàâíåíèÿ òåïëîìàñ- ñîïåðåíîñà â ÇÂÎ èìååò âèä T T T T f k i j k i j mk k i j k i j m � � � � � � 1 1, , , , , , , , � & � � � � � �1 2 1 1 2c T T T qk i j k i j k i j k i j k i j k i j k , , , , , , , , , , , , � � � , , , , , , , ,i j k i j k i j k i j q T T q � �� 1 1 � � � �1 2 2 1 1 2r T T T fm k i j k i j k i j k i j m k i j k , , , , , , , , , , ,� � � � � � i j m k i j k i j mf T T f , , , , ,� � �� 1 1 � � k i j m k i j k i j r T T q , , , , , , � � � � �1 ñ ïîãðåøíîñòüþ O q f m+�' , ] . Àëãîðèòì ðåøåíèÿ ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïîñëå îöåíêè ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìîãî øàãà ïî âðåìåíè äëÿ óñòîé÷èâîñòè [3] ïîñòðîåííîé ÿâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû ïðîâåäåì ïåðåðàñ÷åò âñåãî ïîëÿ òåìïåðàòóð ïî ñëåäóþùåìó àëãîðèòìó: 1. Ðàñ÷åò òåìïåðàòóðû îõëàæäàþùåé âîäû â êàíàëå êðèñòàëëèçàòîðà. 2. Ðàñ÷åò ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿ ñòåíêè êðèñòàëëèçàòîðà. 3. Ðàñ÷åò òåìïåðàòóðû âíóòðè ñòåíêè êðèñòàëëèçàòîðà. 4. Ðàñ÷åò ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿ ñëèòêà. 5. Ðàñ÷åò òåìïåðàòóðû âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ ñëèòêà è ïîëîæåíèÿ ãðàíèöû ðàçäåëà ôàç. Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç òåïëîâîãî ïîëÿ íåïðåðûâíîãî ñëèòêà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 3 97 Óçëû íà ãðàíèöå ðàçäåëà ôàç îáðàçóþòñÿ â òî÷êàõ åå ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïîïåðå÷íûìè ëèíèÿìè ðàçíîñòíîé ñåòêè (ðèñ. 5). Òåìïåðàòóðà â íèõ ðàâíà òåìïåðàòóðå êðèñòàëëèçàöèè. Óçëû îñíîâíîé ñåòêè, ëåæàùèå â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè ê ãðà- íèöå ðàçäåëà ôàç, íàçîâåì ïðèãðàíè÷íûìè. Â íèõ íåëüçÿ ïåðåñ÷èòûâàòü òåìïåðàòóðó ïî ïðåäëîæåííîé ñõåìå, òàê êàê ïðè ýòîì íàðóøàåòñÿ óñëî- âèå óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíûõ ñõåì [3]. Ïîýòîìó ñíà÷àëà âû÷èñëèì òåìïå- ðàòóðó â «ðåãóëÿðíûõ» óçëàõ, ïîëüçóÿñü ÿâíîé ñõåìîé (24), ïîñëå ÷åãî ìîæåì íàéòè íîâîå ïîëîæåíèå ãðàíèöû ðàçäåëà ôàç. Çàìåíèâ â óñëîâèÿõ Ñòåôàíà (6), (16) ïðîèçâîäíûå êîíå÷íûìè ðàçíîñ- òÿìè, ïîëó÷èì ñâÿçü ïîëîæåíèÿ íåèçâåñòíîé ãðàíèöû ñ òåìïåðàòóðîé â ïðèãðàíè÷íûõ óçëàõ. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà îáëàñòü êðèñòàëëèçàòîðà. Ïóñòü íîâîå ïîëîæåíèå ãðàíèöû { }� j k�1 , j P P M� �, . Îáîçíà÷èì ïðèãðàíè÷íûé óçåë ñåòêè ñëåâà îò� j k i jx�1 , . ×òîáû ïðèáëèçèòü ïðîèçâîäíóþ òåìïåðàòóðû ïî íîðìàëè â òî÷êå � j k�1 , ââåäåì ñïåöèàëüíûå óçëû, êîòîðûå âìåñòå ñ òî÷êîé � j k�1 îáðàçóþò ðàâíîìåðíûé ïÿòèòî÷å÷íûé øàáëîí ñ øàãàìè q è h (ðèñ. 6). Ïîëó÷àåì êîíå÷íî-ðàçíîñòíûé àíàëîã óðàâíåíèÿ (6): � U T q U T h U T q U Tkr kr kr2 2 4 2 1 2 3 �� kr h � � � � � � � � � � � � � � � 2 � � � �� j k j k j k j k t v h 1 1 1 1 * . (25) Â. Í. Òêà÷åíêî, À. À. Èâàíîâà 98 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 3 Òâåðäàÿ ôàçà Æèäêàÿ ôàçà U U U U 1 2 3 4 � j k +1 Ðèñ. 5. Ãðàíèöà ðàçäåëà ôàç â îñíîâíîé ñåòêå:�— ïðèãðàíè÷íûå óçëû; ,— ðåãóëÿðíûå óçëû; ____ ãðàíèöà ðàçäåëà ôàç; � — óçëû íà ãðàíèöå ðàçäåëà ôàç Ðèñ. 6. Ñõåìà äëÿ ðàñ÷åòà ïîëîæåíèÿ ãðàíèöû ðàçäåëà ôàç Òåìïåðàòóðà â òî÷êå� j k�1 ðàâíà òåìïåðàòóðå êðèñòàëëèçàöèè. Òîãäà òåìïå- ðàòóðó U 1 â ñïåöèàëüíîì óçëå x ìîæíî ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ïðèáëèçèòü ïîëèíîìîì Ëàãðàíæà 2-é ñòåïåíè: U T x x x x x x kr i j i j j k i j j k i 1 1 2 1 1 1 � � � � � � � � � � � ( )( ) ( )( , , , � � 2 1 1 2 1 1 1, , , , , ) ( )( ) ( )(j i j j k i j i j j k i T x x x x x � � � � � � � � � � �� j i jx� � �2, ) � � � � � � � � � � T x x x x x x i j j k i j i j j k i j i 2 1 1 2 1 2 , , , , ( )( ) ( )( � �� 1, )j . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ òåìïåðàòóðà U U U 2 3 4 , , â îñòàëüíûõ ñïå- öèàëüíûõ óçëàõ. Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â êîíå÷íî-ðàçíîñòíûé àíàëîã óñëîâèÿ Ñòåôàíà (25), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíîé ãðàíèöû: � � � � j k j k kr krt U T q U T h � � � �� 1 2 2 4 2 * � - � - � �� U T q U T h v h kr kr j k j k 1 2 3 2 1 1 1 � � � � - � - , P j P M� � � . (26) Ñèñòåìó (26) ðåøàåì ìåòîäîì èòåðàöèé. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåì ïîëî- æåíèå íåèçâåñòíîé ãðàíèöû â ÇÂÎ. Îïðåäåëèâ íîâîå ïîëîæåíèå ãðàíèöû ðàçäåëà ôàç, ìîæåì èíòåðïîëèðîâàòü òåìïåðàòóðó â ïðèãðàíè÷íûõ óçëàõ. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî íà óðîâíå ìåíèñêà è íà óðîâíå òî÷êè îêîí- ÷àòåëüíîãî çàòâåðäåâàíèÿ, çà êîòîðîé â ñëèòêå åñòü òîëüêî òâåðäàÿ ôàçà, è êîîðäèíàòû êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé ãëóáèíû æèäêîé ôàçû, íåäîñòàòî÷íî âíóòðåííèõ óçëîâ â òâåðäîé èëè æèäêîé ôàçàõ. Äëÿ ðàñ÷åòîâ â òàêèõ òî÷êàõ ïðèìåíÿþòñÿ ñïåöèàëüíûå àëãîðèòìû. Ðàñ÷åò íà óðîâíå ìåíèñêà. Äëÿ âû÷èñëåíèé ïðèâåäåííûì âûøå ñïî- ñîáîì íåäîñòàòî÷íî óçëîâ â òâåðäîé ôàçå. Åñëè l qj� �� , òî äëÿ ïåðåñ÷åòà ïîëîæåíèÿ ãðàíèöû ðàçäåëà ôàç â êà÷åñòâå U2 èñïîëüçóåì çíà÷åíèå TN,j è øàáëîí ñ óìåíüøåííûì øàãîì ïî êîîðäèíàòå x, ðàâíûì l j�� . Ðàñ÷åò íà óðîâíå òî÷êè îêîí÷àòåëüíîãî çàòâåðäåâàíèÿ. Â ýòîì ñëó- ÷àå íåäîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíûõ óçëîâ âíóòðè æèäêîé ôàçû. Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó � 1 è � 2 ñòàëî ìåíüøå çàäàííîé âåëè- ÷èíû, òî ÷åðåç íåêîòîðîå íåáîëüøîå ÷èñëî øàãîâ ïî äëèíå ñëèòêà íàõî- äèòñÿ òî÷êà îêîí÷àòåëüíîãî çàòâåðäåâàíèÿ. Îïðåäåëèì åå êîîðäèíàòû, èñõîäÿ èç îáùåãî ïîâåäåíèÿ � 1 è � 2 . Çàòåì âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì, ñîãëàñíî êîòîðîìó ïðîèçâîäíàÿ ïî íîðìàëè ê ãðàíèöå ðàçäåëà ôàç ñî Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç òåïëîâîãî ïîëÿ íåïðåðûâíîãî ñëèòêà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 3 99 ñòîðîíû æèäêîé ôàçû â ýòîì ìåñòå î÷åíü áëèçêà ê íóëþ, è äîîïðåäåëèì òåìïåðàòóðó âî âíóòðåííèõ ïðèãðàíè÷íûõ óçëàõ ðàâíóþ òåìïåðàòóðå êðèñòàëëèçàöèè. Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ. Ïðåäñòàâëåííûé àëãîðèòì ïðîãðàììíî ðåàëèçîâàí â ñðåäå ïðîãðàììèðîâàíèÿ Borland C++ Builder 6.0. Ðàñ÷åòû ïðîâåäåíû äëÿ ìàðêè ñòàëè 40 è ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ êðèâîëèíåéíîé ÌÍËÇ, àíàëîã êîòîðîé óñòàíîâëåí íà ÎÀÎ «ÌÊ «Àçîâ- ñòàëü». Òîëùèíà ñëèòêà ðàâíà 0,2ì. Íà ðèñ. 7 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè çàâèñèìîñòè ãëóáèíû æèäêîé ôàçû îò ñêîðîñòè âûòÿãèâàíèÿ ñëèòêà ïðè ðàçëè÷íûõ ðåæèìàõ îõëàæäåíèÿ. Ãëóáèíà æèäêîé ëóíêè îïðåäåëåíà äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ïðîöåññà. Ðåæè- ìû ðàñõîäà âîäû (íà îäíó ôîðñóíêó) ñëåäóþùèå: 1 — G 1 = 0,00032 (ì 3 /ñ), G 2 = 0,00028 (ì 3 /ñ), G 3 = 0,00024 (ì 3 /ñ); 2 — G 1 = 0,0003 (ì 3 /ñ), G 2 = 0,00025 (ì 3 /ñ), G 3 = 0,00019 (ì 3 /ñ); 3 — G 1 = 0,00026 (ì 3 /ñ), G 2 = 0,0002 (ì 3 /ñ), G 3 = 0,00013 (ì 3 /ñ). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðàçëè÷íûõ ìàðîê ñòàëè è ðàçëè÷íûõ ñêîðîñòåé âû- òÿãèâàíèÿ ñëèòêà ìîæíî îïðåäåëèòü, ïðè êàêèõ ðåæèìàõ ðàñõîäà îõëàæ- äàþùåé âîäû áóäåò ïîääåðæèâàòüñÿ îïòèìàëüíàÿ ãëóáèíà æèäêîé ëóíêè. Íà ðèñ.8 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû âäîëü ïîâåðõíîñòè, íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè îò ïîâåðõíîñòè è íà îñè ñëèòêà. Íà òåõ ó÷àñòêàõ ïîâåðõíîñòè, êîòîðûå â äàííûé ìîìåíò íàêðûâàþòñÿ ôà- êåëîì ôîðñóíêè, ðàñïûëÿþùåé îõëàæäàþùóþ âîäî-âîçäóøíóþ ñìåñü, íàáëþäàþòñÿ ñíèæåíèÿ òåìïåðàòóðû íà âåëè÷èíó îò 40 äî 70 Ê. Èç ðå- çóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ âèäíî, ÷òî êðèâèçíà ñëèòêà âëå÷åò çà ñîáîé Â. Í. Òêà÷åíêî, À. À. Èâàíîâà 100 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 3 9 10 11 12 0,014 0,015 0,016 0,017 0,018 Cêîðîñòü âûòÿãèâàíèÿ ñëèòêà, ì/ñ 12 3 Ðèñ. 7. Ãëóáèíà æèäêîé ôàçû â çàâèñèìîñòè îò ñêîðîñòè âûòÿãèâàíèÿ ñëèòêà ïðè ðàç- ëè÷íûõ ðåæèìàõ îõëàæäåíèÿ: 1, 2, 3 — ñîîòâåòñòâóþùèå ðåæèìû ðàñõîäà âîäû àñèììåòðèþ òåìïåðàòóðíîãî ïîëÿ. Äàæå ïðè îäèíàêîâîé èíòåíñèâíîñòè îõëàæäåíèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ âíóòðåííåãî è âíåøíåãî ðàäèóñîâ òåìïå- ðàòóðà íà âíåøíåé ïîâåðõíîñòè íåñêîëüêî íèæå. Òàêîå æå ÿâëåíèå íàáëþ- äàåòñÿ â ïðîèçâîäñòâåííûõ óñëîâèÿõ. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñòåïåíè âëèÿíèÿ èçìåíåíèÿ âõîäíûõ ïàðàìåòðîâ (ðàñõîäîâ îõëàæäàþùåé âîäû â êðèñòàëëèçàòîðå è â êàæäîé ñåêöèè ÇÂÎ) íà èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ñëèòêà ïîñòðîåíû ãðàôèêè ÷óâñòâèòåëüíîñòè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïî ïàðàìåòðàì [5]. Ïîä ÷óâñòâèòåëüíîñòüþ â äàííîì ñëó÷àå ïîäðàçóìåâàåòñÿ ðåàêöèÿ ïðîöåññà íà 10-òè ïðîöåíòíîå èçìåíåíèå ðàññìàòðèâàåìîãî ïàðàìåòðà. Äëÿ êàæäîé çîíû ïîî÷åðåäíî âíîñèëèñü èçìå- íåíèÿ â âåëè÷èíû ðàñõîäîâ âîäû. Ðàñ÷åò íîâîãî ðàñõîäà âîäû ïðîâîäèëñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà ïîëå òåìïåðàòóð âíîâü íå ñòàáèëèçèðîâàëîñü. Íà ðèñ. 9 ïîêàçàíà ÷óâñòâèòåëüíîñòü òåìïåðàòóðû ïîâåðõíîñòè ñëèò- êà. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ïîêàçûâàþò, ÷òî èçìåíåíèå ðàñõîäà îõëàæ- äàþùåé âîäû íà êðèñòàëëèçàòîð îêàçûâàåò î÷åíü íåçíà÷èòåëüíîå âëèÿíèå íà òåìïåðàòóðó ïîâåðõíîñòè ñëèòêà. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòîò ïàðàìåòð íåöå- ëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå óïðàâëÿþùåãî. Â òî æå âðåìÿ èç àíàëèçà òðåõ îñòàëüíûõ êðèâûõ ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ïðîöåññ äîñòà- òî÷íî ÷óâñòâèòåëåí ê èçìåíåíèÿì âåëè÷èí ðàñõîäà âîäû â ëþáîé èç ñåêöèé ÇÂÎ. Êðîìå òîãî, èç ðèñ. 9 âèäíî, ÷òî ÷óâñòâèòåëüíîñòü äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû çàâèñèò òàêæå îò òåìïåðàòóðû çàãîòîâêè è ìåñòà ðàñïîëîæåíèÿ Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç òåïëîâîãî ïîëÿ íåïðåðûâíîãî ñëèòêà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 3 101 950 1050 1150 1250 1350 1450 1550 1650 1750 1850 0 3,54 8,80 15,14 20,65 25,75 Äëèíà ñëèòêà ì, 3 4 1 2 Ò å ì ï å ð à ò ó ð à , Ê Ðèñ. 8. Ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû ñëèòêà: 1 — âíóòðåííÿÿ ïîâåðõíîñòü; 2 — âíåøíÿÿ ïîâåðõíîñòü; 3 — íà ðàññòîÿíèè 4ìì îò âíåøíåé ïîâåðõíîñòè; 4 — íà îñè ñëèòêà ôîðñóíîê, ïîäàþùèõ âîäî-âîçäóøíóþ ñìåñü. ×åì âûøå òåìïåðàòóðà, òåì áîëüøå ÷óâñòâèòåëüíîñòü ê èçìåíåíèÿì ðàñõîäà âîäû â ÇÂÎ. Åñòåñòâåííî, ÷óâñòâèòåëüíîñòü, âûøå íà ó÷àñòêàõ, íàõîäÿùèõñÿ íåïîñðåäñòâåííî âíóò- ðè çîíû äåéñòâèÿ ôîðñóíêè èññëåäóåìîé ñåêöèè. Ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëü- íîñòè èìåþò ýêñòðåìóìû â òî÷êàõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ êîíöàì ñåêöèé ÇÂÎ. Íà ðèñ. 9 âèäíà òàêæå äèíàìèêà çàòóõàíèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè ê êîíöó íåïðåðûâíîãî ñëèòêà. Âûâîäû. Òàêèì îáðàçîì, â ïîñòðîåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ó÷òåíû âàæíåéøèå òåõíîëîãè÷åñêèå ïàðàìåòðû è îñîáåííîñòè òåïëîâûõ ïðîöåññîâ ÌÍËÇ, ÷òî ïîçâîëÿåò âîñïðîèçâåñòè äèíàìèêó òåïëîâûõ ïðî- öåññîâ â óñëîâèÿõ èçìåíÿþùèõñÿ âî âðåìåíè îñíîâíûõ ïàðàìåòðàõ òàêèõ, êàê ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñëèòêà, òåìïåðàòóðà ðàçëèâàåìîãî ìåòàëëà è òåì- ïåðàòóðà îõëàæäàþùåé âîäû â êðèñòàëëèçàòîðå è ÇÂÎ. Èñïîëüçîâàííàÿ ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ áîëåå åñòåñòâåííîé ïðè îïèñàíèè ãåîìåòðèè ñëèòêà êðèâîëèíåéíûõ è ðàäèàëüíûõ ÌÍËÇ è ñóùåñòâåííî óïðîùàåò ïðîöåäóðó ðàñ÷åòîâ ìîäåëè. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü àäåêâàòíà ìîäåëèðóåìîìó ïðîöåññó íà êà÷åñòâåííîì óðîâíå è õîðîøî ñîîòâåòñò- âóåò äàííûì, ïîëó÷åííûì â ïðîèçâîäñòâåííûõ óñëîâèÿõ. Âûïîëíåííûå èññëåäîâàíèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè òåìïåðàòóðû ñëèòêà ê èçìåíåíèÿì ðàñ- õîäà îõëàæäàþùåé âîäû ïîçâîëÿþò ÷èñëåííî îöåíèòü âëèÿíèå óïðàâëÿþ- Â. Í. Òêà÷åíêî, À. À. Èâàíîâà 102 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 3 0 2 4 6 8 10 3,54 8,80 15,14 20,65 25,75 Äëèíà, ì 1 2 3 4 Ï î ê à ç à ò å ë ü ÷ ó â ñ ò â è ò å ë ü í î ñ ò è , î .å . Ðèñ. 9. ×óâñòâèòåëüíîñòü òåìïåðàòóðû ïîâåðõíîñòè ñëèòêà ê èçìåíåíèþ ðàñõîäà îõëàæ- äàþùåé âîäû: 1— â êðèñòàëëèçàòîðå; 2, 3, 4 — ñîîòâåòñòâåííî â ïåðâîé, âòîðîé è òðåòüåé ñåêöèÿõ ÇÂÎ ùèõ âîçäåéñòâèé íà òåìïåðàòóðíîå ïîëå ñëèòêà. Ìîäåëü ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ ðàçðàáîòêè òåõíîëîãèè è ðåæèìîâ íåïðåðûâíîé ðàç- ëèâêè ñòàëè, à òàêæå ïðè ðàçðàáîòêå ñèñòåìû àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëå- íèÿ ïðîöåññîì äëÿ ñèíòåçà àëãîðèòìîâ óïðàâëåíèÿ è äëÿ íåïîñðåäñò- âåííîãî èñïîëüçîâàíèÿ â ñèñòåìå óïðàâëåíèÿ ñ öåëüþ îïåðàòèâíîé îöåíêè òåìïåðàòóðíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàçëèâàåìîãî ìåòàëëà. The mathematical model is proposed for non-stationary thermal process of continuous ingot of curvilinear continuous casting machine. The explicit schemes are developed for finite-difference approximation and algorithm of the problem solution. The analysis of numerical results obtained is performed. 1. Ñìèðíîâ À. Í., Ïèëþøåíêî Â. Ë., Ìèíàåâ À. À. è äð. Ïðîöåññû íåïðåðûâíîé ðàçëèâêè ñòàëè. — Äîíåöê: ÄîíÍÒÓ, 2002. — 236 ñ. 2. Òåîðèÿ íåïðåðûâíîé ðàçëèâêè. Òåõíîëîãè÷åñêèå îñíîâû/ Ðóòåñ Â.Ñ., Àñêîëüäîâ Â.È., Åâòååâ Ä.Ï. è äð. — Ì. : Ìåòàëëóðãèÿ, 1971. — 296 ñ. 3. Òèõîíîâ À. Í., Ñàìàðñêèé À. À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì. : Íàóêà, 1966. — 724 ñ. 4. Ñàìàðñêèé À. À. Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì. — Ì. : Íàóêà, 1971. — 656 ñ. 5. Ðîçåíâàññåð Å.Í., Þñóïîâ Ð.Ì. ×óâñòâèòåëüíîñòü ñèñòåì óïðàâëåíèÿ. — Ì. : Íàóêà, 1981. — 464 ñ. Ïîñòóïèëà 01.03.07; ïîñëå äîðàáîòêè 06.08.07 ÒÊÀ×ÅÍÊÎ Âàëåðèé Íèêîëàåâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, çàâ. îòäåëîì òåîðèè óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì Èí-òà ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû. Â 1970 ã. îêîí÷èë Äîíåöêèé ãîñ- óíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè, óïðàâëåíèå òåõíîëîãè÷åñêèìè ïðîöåññàìè. ÈÂÀÍÎÂÀ Àííà Àëåêñàíäðîâíà, èíæåíåð Èí-òà ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàè- íû. Â 1995 ã. îêîí÷èëà Äîíåöêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè- ÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè, óïðàâëåíèå òåõíîëîãè÷åñêèìè ïðîöåññàìè. Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç òåïëîâîãî ïîëÿ íåïðåðûâíîãî ñëèòêà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 3 103

Моделирование и анализ теплового поля непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок

Institution

Ähnliche Einträge