Математическое моделирование теплообмена при микроволновом разогреве загустевших нефтепродуктов с учетом конечной скорости распространения тепла
Построена математическая модель микроволнового разогрева тела конечных размеров и теплообмена при его фазовом превращении с учетом конечной скорости распространения тепла. Получены распределения полей температур в жидкой и твердой фазах и закон движения границы раздела фаз. Побудовано математичну мо...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101594 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математическое моделирование теплообмена при микроволновом разогреве загустевших нефтепродуктов с учетом конечной скорости распространения тепла / В.А. Яковенко // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 5. — С. 49-56. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101594 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Яковенко, В.А. 2016-06-05T13:59:35Z 2016-06-05T13:59:35Z 2008 Математическое моделирование теплообмена при микроволновом разогреве загустевших нефтепродуктов с учетом конечной скорости распространения тепла / В.А. Яковенко // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 5. — С. 49-56. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101594 536.24. Построена математическая модель микроволнового разогрева тела конечных размеров и теплообмена при его фазовом превращении с учетом конечной скорости распространения тепла. Получены распределения полей температур в жидкой и твердой фазах и закон движения границы раздела фаз. Побудовано математичну модель мікрохвильового розігріву тіла кінцевих розмірів і теплообміну при його фазовому перетворенні з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла. Отримано розподіли полів температур у рідкій і твердій фазах і закон руху границі розподілу фаз. The mathematical model of a finite body microwave warming and of the heat exchange during its phase transformation with account of the finite heat transfer rate is constructed. Distributions of temperature fields in liquid and solid phases and the law of phase boundary motion are found. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Математическое моделирование теплообмена при микроволновом разогреве загустевших нефтепродуктов с учетом конечной скорости распространения тепла Mathematical Simulation of Heat Exchange in Microwave Warming of Thickened Oil Products under Finite Heat Transfer Rate Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Математическое моделирование теплообмена при микроволновом разогреве загустевших нефтепродуктов с учетом конечной скорости распространения тепла |
| spellingShingle |
Математическое моделирование теплообмена при микроволновом разогреве загустевших нефтепродуктов с учетом конечной скорости распространения тепла Яковенко, В.А. Математические методы и модели |
| title_short |
Математическое моделирование теплообмена при микроволновом разогреве загустевших нефтепродуктов с учетом конечной скорости распространения тепла |
| title_full |
Математическое моделирование теплообмена при микроволновом разогреве загустевших нефтепродуктов с учетом конечной скорости распространения тепла |
| title_fullStr |
Математическое моделирование теплообмена при микроволновом разогреве загустевших нефтепродуктов с учетом конечной скорости распространения тепла |
| title_full_unstemmed |
Математическое моделирование теплообмена при микроволновом разогреве загустевших нефтепродуктов с учетом конечной скорости распространения тепла |
| title_sort |
математическое моделирование теплообмена при микроволновом разогреве загустевших нефтепродуктов с учетом конечной скорости распространения тепла |
| author |
Яковенко, В.А. |
| author_facet |
Яковенко, В.А. |
| topic |
Математические методы и модели |
| topic_facet |
Математические методы и модели |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Электронное моделирование |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Mathematical Simulation of Heat Exchange in Microwave Warming of Thickened Oil Products under Finite Heat Transfer Rate |
| description |
Построена математическая модель микроволнового разогрева тела конечных размеров и теплообмена при его фазовом превращении с учетом конечной скорости распространения тепла. Получены распределения полей температур в жидкой и твердой фазах и закон движения границы раздела фаз.
Побудовано математичну модель мікрохвильового розігріву тіла кінцевих розмірів і теплообміну при його фазовому перетворенні з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла. Отримано розподіли полів температур у рідкій і твердій фазах і закон руху границі розподілу фаз.
The mathematical model of a finite body microwave warming and of the heat exchange during its phase transformation with account of the finite heat transfer rate is constructed. Distributions of temperature fields in liquid and solid phases and the law of phase boundary motion are found.
|
| issn |
0204-3572 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101594 |
| citation_txt |
Математическое моделирование теплообмена при микроволновом разогреве загустевших нефтепродуктов с учетом конечной скорости распространения тепла / В.А. Яковенко // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 5. — С. 49-56. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT âkovenkova matematičeskoemodelirovanieteploobmenaprimikrovolnovomrazogrevezagustevšihnefteproduktovsučetomkonečnoiskorostirasprostraneniâtepla AT âkovenkova mathematicalsimulationofheatexchangeinmicrowavewarmingofthickenedoilproductsunderfiniteheattransferrate |
| first_indexed |
2025-11-26T12:53:03Z |
| last_indexed |
2025-11-26T12:53:03Z |
| _version_ |
1850621990695600128 |
| fulltext |
ÓÄÊ 536.24.
Â. À. ßêîâåíêî, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Àêàäåìèÿ òàìîæåííîé ñëóæáû Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 49000, Äíåïðîïåòðîâñê, óë. Äçåðæèíñêîãî, 2/4,
òåë. (0562) 7452168, E-mail: yakovenko@ua.fm )
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå òåïëîîáìåíà
ïðè ìèêðîâîëíîâîì ðàçîãðåâå çàãóñòåâøèõ
íåôòåïðîäóêòîâ ñ ó÷åòîì êîíå÷íîé ñêîðîñòè
ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà
Ïîñòðîåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ìèêðîâîëíîâîãî ðàçîãðåâà òåëà êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ è
òåïëîîáìåíà ïðè åãî ôàçîâîì ïðåâðàùåíèè ñ ó÷åòîì êîíå÷íîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ
òåïëà. Ïîëó÷åíû ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëåé òåìïåðàòóð â æèäêîé è òâåðäîé ôàçàõ è çàêîí
äâèæåíèÿ ãðàíèöû ðàçäåëà ôàç.
Ïîáóäîâàíî ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü ì³êðîõâèëüîâîãî ðîç³ãð³âó ò³ëà ê³íöåâèõ ðîçì³ð³â ³
òåïëîîáì³íó ïðè éîãî ôàçîâîìó ïåðåòâîðåíí³ ç óðàõóâàííÿì ê³íöåâî¿ øâèäêîñò³ ïîøè-
ðåííÿ òåïëà. Îòðèìàíî ðîçïîä³ëè ïîë³â òåìïåðàòóð ó ð³äê³é ³ òâåðä³é ôàçàõ ³ çàêîí ðóõó
ãðàíèö³ ðîçïîä³ëó ôàç.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ìîäåëèðîâàíèå, ìèêðîâîëíîâàÿ ýíåðãèÿ, òåïëîîáìåí, ïîäâèæíàÿ
ãðàíèöà.
Ïðè ðàçãðóçêå áîëüøèõ ìàññ íåôòåïðîäóêòîâ â çèìíåå âðåìÿ, êàê ïðàâèëî,
èñïîëüçóþò ïåðåãðåòûé ïàð. Ïàðîâàÿ òåõíîëîãèÿ î÷èñòêè çàãðóçî÷íûõ
åìêîñòåé êðàéíå íåýôôåêòèâíà, ïîñêîëüêó ïðîíèêíîâåíèå òåïëà â ïðî-
äóêò ïðîèñõîäèò òîëüêî ñ ïîâåðõíîñòè è çà ñ÷åò òåïëîïðîâîäíîñòè. Ïðè
ýòîì çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ýíåðãèè ïàðà ðàñõîäóåòñÿ íà ðàçîãðåâ êîðïóñà
åìêîñòè. Ïðè áîëüøîì êîëè÷åñòâå ïðîäóêòà è íèçêîé òåìïåðàòóðå îêðó-
æàþùåé ñðåäû ïðîöåññ ðàçîãðåâà äëèòñÿ î÷åíü äîëãî è òðåáóåò áîëüøèõ
ìàòåðèàëüíûõ çàòðàò. Ýòî âëå÷åò çà ñîáîé äàëüíåéøóþ ïåðåðàáîòêó è
ñåïàðàöèþ ðàçîãðåòîãî íåôòåïðîäóêòà, äëÿ ÷åãî òðåáóþòñÿ ñïåöèàëüíûå
ñîîðóæåíèÿ. Çàãðÿçíåííîñòü òåððèòîðèé, ïðèëåãàþùèõ ê çàïîëíåííûì âÿç-
êèìè ïðîäóêòàìè åìêîñòÿì, âñåãäà î÷åíü âåëèêà. Óíèâåðñàëüíûì ðåøåíèåì
ýòîé ïðîáëåìû ÿâëÿåòñÿ òåõíîëîãèÿ ðàçîãðåâà çàãóñòåâøèõ âÿçêèõ íåôòå-
ïðîäóêòîâ ýíåðãèåé ìèêðîâîëíîâîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ [1, 2].
Âûñîêàÿ ýôôåêòèâíîñòü ñïîñîáà îáóñëîâëåíà ñëåäóþùèìè ôàêòîðàìè:
ìèêðîâîëíîâîå èçëó÷åíèå íàïðàâëÿåòñÿ â ìàññó ïðîäóêòà è ðàçîãðå-
âàåò åå èçíóòðè;
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 49
íèçêàÿ òåïëîïðîâîäíîñòü ïðîäóêòà íå òîëüêî íå ïðåïÿòñòâóåò ðàçî-
ãðåâó, à íàïðîòèâ, ñïîñîáñòâóåò åìó;
èçëó÷àåìûå êîëåáàíèÿ ìíîãîêðàòíî ïðîõîäÿò ÷åðåç ïðîäóêò, à ìåòàë-
ëè÷åñêèé êîðïóñ åìêîñòè ïî÷òè áåç ïîòåðü îòðàæàåò ýòè êîëåáàíèÿ è
íàïðàâëÿåò èõ íà ðàçîãðåâàåìûé îáúåêò;
îòñóòñòâóþò ïîòåðè ìèêðîâîëíîâîé ýíåðãèè íà èçëó÷åíèå â îêðóæàþ-
ùóþ ñðåäó, êîðïóñ åìêîñòè íàãðåâàåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî, òåïëîâîå èçëó÷å-
íèå â àòìîñôåðó ïðàêòè÷åñêè ìèíèìàëüíî.
Ðàçîãðåâ âåùåñòâà ïðîèñõîäèò â ðåçóëüòàòå âîçäåéñòâèÿ ýíåðãèè ìåæ-
ìîëåêóëÿðíîãî òðåíèÿ, âîçíèêàþùåãî ïîä âîçäåéñòâèåì âûñîêî÷àñòîò-
íîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ýôôåêòèâíîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåêòðî-
ìàãíèòíîé ýíåðãèè â òåïëîâóþ íàõîäèòñÿ, êàê èçâåñòíî, â ïðÿìîé çàâè-
ñèìîñòè îò ÷àñòîòû êîëåáàíèé, äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè è äèýëåêò-
ðè÷åñêèõ ïîòåðü ðàçîãðåâàåìîãî âåùåñòâà. Âñëåäñòâèå äèýëåêòðè÷åñêèõ ïî-
òåðü â çàãóñòåâøåì íåôòåïðîäóêòå âîçìîæíî ñîãëàñîâàíèå ðàáîòû ìèêðîâîë-
íîâîãî ãåíåðàòîðà è åìêîñòè, ïðè êîòîðîì äî 90 % ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåð-
ãèè âíóòðè ïðîäóêòà ïðåîáðàçóåòñÿ â òåïëî [3—5].
Èçâåñòíî, ÷òî ìîäåëü òåïëîïðîâîäíîñòè Ôóðüå îáëàäàåò ðÿäîì íå-
äîñòàòêîâ, ãëàâíûì èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íàÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñò-
ðàíåíèÿ âîçìóùåíèÿ òåìïåðàòóðû. ×òîáû óñòðàíèòü ýòîò íåäîñòàòîê áûëà
ïîñòóëèðîâàíà íîâàÿ ìîäåëü [6], ñîãëàñíî êîòîðîé ðàñïðîñòðàíåíèå òåïëà
â òâåðäûõ òåëàõ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì äåìïôèðîâàííûõ âîëí âèäà
q U
q
t
� � � �� �
�
�
,
(1)
ãäå âåêòîð òåïëîâîãî ïîòîêà q è òåìïåðàòóðà U — çàâèñèìûå ïåðåìåííûå,
ðàäèóñ-âåêòîð x è âðåìÿ t — íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå. Êîýôôèöèåíòîì
ïåðåíîñà äëÿ ýòîé ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ òåïëîïðîâîäíîñòü � è âðåìÿ òåìïåðà-
òóðíîé ðåëàêñàöèè �. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ñîîòíîøåíèÿ (1) â óðàâíåíèå
ýíåðãèè äëÿ óïðóãîãî òâåðäîãî òåëà ïîëó÷àåì ðåëàêñàöèîííóþ ôîðìó
óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè (óðàâíåíèå ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà):
�
�
�
�
�
u
t
u
t
a u S� � � �
2
2
2 2
,
(2)
ãäå a2
— êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè, S — èñòî÷íèê òåïëà,
îáóñëîâëåííûé äåéñòâèåì ìèêðîâîëíîâîé ýíåðãèè.
Óðàâíåíèå (2) îïèñûâàåò ïîâåäåíèå çàòóõàþùåé òåìïåðàòóðíîé âîë-
íû ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ: u a� / �. Ïðè � 0 ýòî óðàâ-
íåíèå ïðèíèìàåò îáû÷íóþ ïàðàáîëè÷åñêóþ ôîðìó, à ðåëàêñàöèîííîå óðàâ-
íåíèå (1) ïåðåõîäèò â ìîäåëü Ôóðüå äëÿ òåïëîâîãî ïîòîêà.
Â. À. ßêîâåíêî
50 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ñ ó÷åòîì áîëüøèíñòâà ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ òåî-
ðèè òåïëîïðîâîäíîñòè âëèÿíèå êîíå÷íîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà
íåçíà÷èòåëüíî, ïîñêîëüêó âåëè÷èíà êîýôôèöèåíòà òåìïåðàòóðîïðîâîä-
íîñòè íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ ìåíüøå âåëè÷èíû êâàäðàòà ñêîðîñòè ðàñ-
ïðîñòðàíåíèÿ òåïëîâûõ âîëí. Îäíàêî ó÷åò êîíå÷íîé ñêîðîñòè ðàñïðå-
äåëåíèÿ òåïëà îêàçûâàåòñÿ âàæíûì ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ, ïðè áîëü-
øèõ ïîòîêàõ òåïëà äëÿ ïðîöåññîâ, ðàññìàòðèâàåìûõ â ïðåäåëàõ ìàëûõ
âðåìåí.
Áûñòðî ïðîòåêàþùèå ïðîöåññû ñ áîëüøèìè òåïëîâûìè ïîòîêàìè õà-
ðàêòåðíû äëÿ ïëàâëåíèÿ çàãóñòåâøèõ íåôòåïðîäóêòîâ â åìêîñòÿõ ïðè
âîçäåéñòâèè ìèêðîâîëíîâîãî íàãðåâà. Â ýòîé ñâÿçè ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ
ïîëó÷èòü ðåøåíèå îäíîìåðíîé çàäà÷è î ïëàâëåíèè òåëà êîíå÷íûõ ðàçìå-
ðîâ ñ ó÷åòîì êîíå÷íîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàññìîòðèì íåñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ òåïëîîá-
ìåíà ïðè ðàçîãðåâå íåôòåïðîäóêòîâ â óñëîâèÿõ ôàçîâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ,
âîçíèêàþùåãî ïîä âîçäåéñòâèåì ýíåðãèè ìèêðîâîëíîâîãî ýëåêòðîìàã-
íèòíîãî ïîëÿ. Òàêîé ïðîöåññ áóäåì îïðåäåëÿòü ñèñòåìîé íåëèíåéíûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòÿõ ïðîèçâîäíûõ, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç
óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà è óðàâíåíèé òåïëîïðîâîäíîñòè:
rot H j
D
� �
�
��
, rot E
B
� �
�
��
, div D �0, div B �0,
D E�
( )t , B H�� ( )t , j E�� ( )t , (3)
�
�
��
(c t
ti i i
i i� � ��V div ( ) ( , )� i i it S t�� � E ,
ãäå E è H — âåêòîðû íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé;
D è B — âåêòîðû ýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèòíîé èíäóêöèè; j — ïëîòíîñòü
òîêà ïðîâîäèìîñòè;
���i i i� � � �� � � � è � — àáñîëþòíûå äèýëåêòðè-
÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòè ìàòåðèàëà; � — ïðîâîäèìîñòü ìàòå-
ðèàëà; � — êðóãîâàÿ ÷àñòîòà; ci i,
è � i — êîýôôèöèåíò òåïëîåìêîñòè,
ïëîòíîñòü è êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ìàòåðèàëà, çàâèñÿùèå îò
òåìïåðàòóðû i-é ôàçû; Vi — âåêòîð ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ i-ãî ìàòåðèàëà;
�� — îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà; q � �0 5
2
, �
�tg E — óäåëüíàÿ ïîãëîùåííàÿ
ìîùíîñòü; ti — òåìïåðàòóðà i-ãî ìàòåðèàëà; tg� �
�
�� � — òàíãåíñ óãëà
äèýëåêòðè÷åñêèõ ïîòåðü ìàòåðèàëà.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (3) äîïîëíÿåòñÿ íà÷àëüíûìè è ïðåäåëüíûìè óñëî-
âèÿìè, à òàêæå óñëîâèåì íà ãðàíèöå ðàçäåëà ôàç. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî
ðåøåíèå ñèñòåìû (3) ñâÿçàíî ñ òðóäíîñòÿìè íå òîëüêî âû÷èñëèòåëüíûìè,
íî è ïðèíöèïèàëüíûìè. Òàêîå óòâåðæäåíèå îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì:
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå òåïëîîáìåíà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 51
óñëîâèÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà ôàç ÿâëÿþòñÿ íåëèíåéíûìè;
ñôîðìóëèðîâàííàÿ ìîäåëü ìíîãîìåðíà îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâåí-
íûõ ïåðåìåííûõ;
ýëåêòðîôèçè÷åñêèå ïàðàìåòðû ìàòåðèàëîâ çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû è
ÿâëÿþòñÿ ïðèáëèæåííûìè;
àëãîðèòìû ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ òðåáóþò îáîñíîâàíèÿ è èñïîëüçî-
âàíèÿ ñïåöèàëüíûõ êîìïüþòåðíûõ òåõíîëîãèé.
 ñâÿçè ñ ýòèì ðàññìîòðèì óïðîùåííóþ ìîäåëü ïðîöåññà, ðåàëèçàöèþ
êîòîðîé ïðîâåäåì ìåòîäàìè êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Ñëåäóåò äî-
êàçàòü àäåêâàòíîñòü òàêîé ìîäåëè èçâåñòíûì ìîäåëÿì èëè ñðàâíèòü ïîëó-
÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè.
Ïóñòü òåëî êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ 0� �x L â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè
íàõîäèòñÿ â äâóõôàçíîì ñîñòîÿíèè: æèäêîì è òâåðäîì. Ýòè ôàçû îòäåëå-
íû äðóã îò äðóãà äâèæóùåéñÿ ãðàíèöåé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âðåìåíà ðåëàê-
ñàöèè â æèäêîé è òâåðäîé ôàçàõ, à òàêæå èõ ïëîòíîñòè îäèíàêîâû.
 îáëàñòè 0� �x t� ( ), çàíèìàåìîé æèäêîé ôàçîé, êðàåâàÿ çàäà÷à èìååò
ñëåäóþùèé âèä:
�
�
�
�
�
�
�
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
u
t
u
t
a
u
x
� � , u x uc1
0( , ) � ,
�
�
u
t t
1
0
0
�
� ,
u t uc1
0( , ) � , u t u
1
( , )�
�
� .
(4)
Äëÿ òâåðäîé ôàçû �( )t x L� � çàäà÷à çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
2
2
2
2
2
u
t
u
t
a
u
x
S� � � ,
ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè
u x u
2 0
0( , ) � ,
�
�
u
t t
2
0
0
�
� ,
u t u
2
( , )�
�
� , u t L u
2
( , ) �
0
.
(5)
Óñëîâèå Ñòåôàíà íà èçîòåðìè÷åñêîé ãðàíèöå ðàçäåëà ôàç èìååò âèä
q t t q t t M
d
dt
1 2
[ , ( )] [ , ( )]� �
�
� � .
(6)
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (1), âåêòîð òåïëîâîãî ïîòîêà ïðåäñòàâèì â ÿâíîì
âèäå:
q
t
d
t
� � � �
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�exp
( )
0
.
(7)
Â. À. ßêîâåíêî
52 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5
Òîãäà óñëîâèå (6) ñ ó÷åòîì çàâèñèìîñòè (7) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
2
2
1
1
2
2
u
x
u
x
M
d
dt
d
dtx t x t� �
� � �
�
�
!
"
#
#
( ) ( )
,
ãäå
� � ��
$ %
� ; �&'� ��
'
;
d
dt t
�
�
�
0
0 .
Ðåøåíèå çàäà÷è. Ñëåäóÿ ìåòîäèêå ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ, èçëîæåííîé
â [7], ââåäåì íîâûå ôóíêöèè:
(
�
�1 1
( , ) ( , ) ( )
( )
x t u x t u u u
x
t
c c� � � � ,
(
�
�
� �2 2 0
( , ) ( , ) ( )
( )
( )
x t u x t u u u
x t
L t
� � � �
�
�
,
äëÿ êîòîðûõ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (4) è (5) ïðåîáðàçóþòñÿ ê îäíîðîäíûì.
Îòíîñèòåëüíî ôóíêöèé (
1
( , )x t , (
2
( , )x t , � ( )t ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à
ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñëåäóþùåé ñèñòåìû óðàâíåíèé:
�
� (
�
�(
�
� (
� �
�
� &�� �%�� $
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2 2t t
a
x
u u xc
� � �
�
�
( )
�
� � %
�
�
�
�
�
�
�
�
,
(
�
�1
0
0( , ) ( )x u u
x
c� � ,
�(
�
1
0
0
t t�
� ,
(
1
0( , )t �( �
1
0( , )t � ,
�
� (
�
�(
�
� (
� �
��
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
t t
a
x
u u x L
L
� � �
� �
�
( )( )
( )
[��� �� %�
�
�
%
( � ]
( )
�L
L
S
� �
�
�
)
*
+
,
-
.
� ,
(
�
�
�2 0
0
0
0( , ) ( )(x u u L
x
L
� � �
�
�
,
�(
�
2
0
0
t t�
� ,
( �
2
( , )t �(
2
0( , )L t � ,
�
�(
�
�
�(
�
�
� � �
� �
'
2
2
1
1
2
2
2
x x
M
d
dt
d
dt
u
x x� �
� � �
�
�
!
"
#
#
�
( �
�
�
�u
l
u uc� �
�
�
�
) ( )
1
, (8)
� &'� ��
'
, �
� &'� �0 .
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå òåïëîîáìåíà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 53
Ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóð (
1
( , )x t , (
2
( , )x t â æèäêîé è â òâåðäîé ôàçàõ
ïðåäñòàâèì â âèäå
(
�
/
0
�
1
1
2
( , )
( )
( ) sinx t
t
t
n
xn
n
�
�
1
2 ,
(9)
(
�
3
0 �
�
2
1
2
( , )
( )
( ) sin
[ ( )]
( )
x t
L t
t
n x t
L t
n
n
�
�
�
�
�
1
2 .
(10)
Äëÿ êîýôôèöèåíòîâ/ n t( ) è3n t( ) ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé ñîîòâåòñòâåííî èìåþò âèä
�
/ / 0
�
/
�
�
4 �
� �
1
2
2
1
2
1
1
2
d
dt
d
dt
n dn n
n nm m
m
� �
�
�
!
"
# � �
�
1
2
� � 2
2
1�
4 /nm m
m
�
�
1
2
� � �
�
�
!
"
#
#
5 �
�
1
2
��
�
4
/ � � �
�
%�
�
4 /
%
%
�
�� �
nm
m
m
nm m
d
dt
1
1
3
2 m�
1
2
1
� � �
�
�
�
�
�
�
�
1
2
%� �
�
/
0
�
� �%�
�
�
�
( )
( )
�
�2
1
2
1
1
1
2
16mn n
n c
m
u u
n
�
�
�
, (11)
/
�
0
�
n
n
cu u
n
( )
( ) ( )
0
1
1
�
� �
�
,
d
dt
n
t
/
�
�
0
0,
4mn �1, 6 nm m� �( ) /2 3 12
2
0 , m n� ,
4 nm
n m mn
m n
�
�
�
�
4 1
2 2
( )
, 6 nm
m n mn
m n
�
�
�
�
4 1
3
2 2 2
( )
( )
, m n7 ,
�
3 3 0
�
3
�
�
8 3
�
2
2
2
2
2
1
2
d
dt
d
dt
n a
l L
n n
n nm n
m
� �
�
�
�
�
�
1
2
( ) �
( )
�
& �� �
�
� 3
L
L
nm n
m
�
�
�
�
1
2
�
( )
2
2
1
�
�
�
� �
�
�
1
2
� [ � ��( )]
(
��
�
�
3 � � � �
��
3
%
%
L
d
dt
L
L
nm
n
m
nm m
1
2
2
2
8 �
�
�
�
1
�
1
22
� �
�
3
2
2
2
11 ( )L
nm n
mm
�
�
�
� �
� �
�
)
*
+
,
-
.
� 5
( )
� [��( ) � ]
sin
[u u
n
L
L
S
n x0 2
2
�
0
�
� � � %�
�
0 �
�
�
�
�
�
( )]
( )
t
L t
dx
L
, (12)
3
�
0
� '
n
u u L
n
( )
( )( )
0
0
�
� �
,
(13)
Â. À. ßêîâåíêî
54 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5
d
dt
n
t
3
�
�
0
0,
8nm � �1, � 8nm nm� , �nm m� � �
1
6
8 3
2 2
( )0 , n m� ,
8nm nm m n� � �4
2 2
/ ( ), � 8nm nm�2 ,
�nm mn m n� � �8
3 2 2 2
/ ( ) , m n7 .
Ñîîòíîøåíèå íà ãðàíèöå ðàçäåëà ôàç (8) ñ ó÷åòîì çàâèñèìîñòåé (9) è (10)
ïðèíèìàåò âèä
�
� � �
�
�
�
� ' �d
dt
d
dt M
u u
L
u u2
2
2 1 01
� �
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
( ) ( )
� � �
�
�
1 1
2 2
2
1
2
0
1
2
2
2
� 0
�
/
� 0
�
3
�$ �$
n
L
nn
n
n
n
n
( )
( )
,
� &'� ��
'
, �
� &'� �0 .
Âûâîäû. Ïîëó÷åííûå ñèñòåìû íåëèíåéíûõ îáûêíîâåííûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà (11) — (13) ïîçâîëÿþò íàõîäèòü
çíà÷åíèÿ/ n t( ),3n t( ),�( )t ïî èçâåñòíûì íà÷àëüíûì çíà÷åíèÿì. Åñëè çàêîí
äâèæåíèÿ ãðàíèöû ðàçäåëà ôàç çàäàí èñõîäÿ èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé,
òî ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé áóäåò ëèíåéíîé. Ïðè � 0 ïî-
ëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñòðåìÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ðåçóëüòàòàì çàäà÷è
Ñòåôàíà, îñíîâàííîé íà òåîðèè Ôóðüå [8].
The mathematical model of a finite body microwave warming and of the heat exchange during its
phase transformation with account of the finite heat transfer rate is constructed. Distributions of
temperature fields in liquid and solid phases and the law of phase boundary motion are found.
1. Àðõàíãåëüñêèé Þ. Ñ., Äåâÿòêèí È. È. Ñâåðõâûñîêî÷àñòîòíûå íàãðåâàòåëüíûå óñòà-
íîâêè äëÿ èíòåíñèôèêàöèè òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. — Ñàðàòîâ : èçä-âî Ñàðàòîâ-
ñêîãî óí-òà, 1983. — 140 ñ.
2. Ðóäàêîâ Â. È. Ïðèìåíåíèå ÑÂ× òåõíîëîãèé â ýíåðãîåìêèõ ïðîèçâîäñòâåííûõ ïðîöåñ-
ñàõ // Òð. Ìåæäóíàð. êîíô. ïî òåîðèè è òåõíèêè àíòåíí «ÌÊÒÒÀ-95». — Õàðüêîâ :
èçä-âî Õàðüêîâñêîãî íàö. óí-òà ðàäèîýëåêòðîíèêè 1995. — Ñ. 102.
3. Ìîðîçîâ Ã. À. Ïåðñïåêòèâû èñïîëüçîâàíèÿ ìèêðîâîëíîâûõ òåõíîëîãèé ïðè ðàçðà-
áîòêå âûñîêîâÿçêèõ íåôòåé // Òð. íàó÷.-ïðàêòè÷. êîíô. 6-é Ìåæäóíàð. ñïåö. âûñò.
«Íåôòü—ãàç — 99». Ò. 1. — Êàçàíü: Ýêîöåíòð, 1999. — Ñ. 242 — 248.
4. Êèñëèöûí À. À., Íèãìàòóëëèí Ð. È. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà íàãðåâà
íåôòÿíîãî ïëàñòà âûñîêî÷àñòîòíûì ýëåêòðîìàãíèòíûì èçëó÷åíèåì // ÏÌÒÔ. —
1990. — ¹ 4. — Ñ. 97 — 103.
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå òåïëîîáìåíà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 55
5. Êîâàëåâà Ë. À., Íàñûðîâ Í. Ì., Õàéäàð A. M. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå âûñîêî-
÷àñòîòíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî íàãðåâà ïðèçàáîéíîé çîíû ãîðèçîíòàëüíûõ íåôòÿíûõ
ñêâàæèí // ÈÔÆ. — 2004. —77, ¹ 6. — Ñ. 105—110.
6. Ëûêîâ À. Â. Òåïëîîáìåí. — Ì. : Ýíåðãèÿ, 1971. — 560 ñ.
7. ßêîâåíêî Â. À., Êîðÿøêèíà Ë. Ñ. Î ðåøåíèè îäíîé çàäà÷è òåïëîïåðåíîñà ñ ôàçîâûì
ïðåâðàùåíèåì // Ïèòàííÿ ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè ³ ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ. —
Äí³ïðîïåòðîâñüê: Ðåä.- âèä. â³ää³ë ÄÍÓ, 2003. — Ñ. 100—113.
8. ßêîâåíêî Â. Î., Êîðÿøê³íà Ë. Ñ. Äîâåäåííÿ ºäèíîñò³ ðîçâ’ÿçêó îäí³º¿ çàäà÷³ òåïëî-
ïåðåíîñó ç ôàçîâèì ïåðåòâîðåííÿì // Íàóê. â³ñíèê Íàö³îíàëüíîãî ã³ðíè÷îãî óí³âåðñè-
òåòó. — 2004. — ¹ 1. — Ñ. 64—69.
Ïîñòóïèëà 14.03.08
ßÊÎÂÅÍÊÎ Âàäèì Àëåêñàíäðîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû èíôîðìàöèîííûõ
ñèñòåì è òåõíîëîãèé Àêàäåìèè òàìîæåííîé ñëóæáû Óêðàèíû.  1993 ã. îêîí÷èë Äíåïðî-
ïåòðîâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå
ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ ïåðåíîñà ïîä äåéñòâèåì ýíåðãèè ìèêðîâîëíîâîãî ýëåêòðîìàãíèò-
íîãî ïîëÿ â îáëàñòÿõ ñ ïîäâèæíûìè ãðàíèöàìè.
Â. À. ßêîâåíêî
56 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5
|