Надежность комплексов сложных восстанавливаемых систем с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом. I

Надежность комплексов сложных восстанавливаемых систем с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом. I

Найдено асимптотическое распределение времени безотказной работы комплексов сложных восстанавливаемых систем (СВС) с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом с момента установления исправности всех элементов всех СВС. Исследование провед...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Электронное моделирование
Date:2008
Main Author: Макаричев, А.В.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2008
Subjects:
Вычислительные процессы и системы
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101597
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Надежность комплексов сложных восстанавливаемых систем с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом. I / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 5. — С. 81-94. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101597
record_format dspace
spelling Макаричев, А.В.
2016-06-05T14:03:24Z
2016-06-05T14:03:24Z
2008
Надежность комплексов сложных восстанавливаемых систем с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом. I / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 5. — С. 81-94. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
0204-3572
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101597
519.21
Найдено асимптотическое распределение времени безотказной работы комплексов сложных восстанавливаемых систем (СВС) с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом с момента установления исправности всех элементов всех СВС. Исследование проведено для комплексов СВС с марковским потоком отказов элементов, произвольной функцией распределения времени обслуживания элементов СВС, число которых возрастает обратно пропорционально интенсивности отказов так, что суммарная нагрузка на систему обслуживания требований в порядке их поступления ограничена сверху величиной, меньшей единицы.
Знайдено асимптотичний розподiл часу безвiдмовної роботи комплексiв складних вiдновлювальних систем (СВС) з часовим резервом і поверненням вiдновлених елементiв у системи з мiнiмальним внутрiшнiм резервом з моменту встановлення справностi усiх елементiв усiх СВС. Дослiдження проведено для комплексiв СВС з марковським потоком вiдмовлень елементiв, довiльною функцiєю розподiлу часу обслуговування елементiв СВС, число яких зростає зворотньо пропорцiйно iнтенсивностi їхніх вiдмовлень так, що сумарне навантаження на систему обслуговування вимог у порядку їхнього надходження є обмеженим зверху величиною, меншою за одиницю.
The asymptotic fault-free lifetime distribution is found for the set of complex restorable systems (CRS) with the time reserve and with the return of restored elements into the systems with the minimum internal reserve from the moment when the correct operation of all elements of all CRS is set. The study was carried out for the CRS sets with Markovian flow of element faults, arbitrary service time distribution function of CRS elements, the number of which increases inversely proportional to the fault rate, so that the total load of the request processing system is limited from above by the value less than one.
ru
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
Электронное моделирование
Вычислительные процессы и системы
Надежность комплексов сложных восстанавливаемых систем с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом. I
Reliability of Sets of Complex Restorable Systems with the Time Reserve and with the Return of Restored Elements into the Systems with the Minimum Internal Reserve. I
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Надежность комплексов сложных восстанавливаемых систем с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом. I
spellingShingle Надежность комплексов сложных восстанавливаемых систем с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом. I
Макаричев, А.В.
Вычислительные процессы и системы
title_short Надежность комплексов сложных восстанавливаемых систем с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом. I
title_full Надежность комплексов сложных восстанавливаемых систем с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом. I
title_fullStr Надежность комплексов сложных восстанавливаемых систем с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом. I
title_full_unstemmed Надежность комплексов сложных восстанавливаемых систем с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом. I
title_sort надежность комплексов сложных восстанавливаемых систем с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом. i
author Макаричев, А.В.
author_facet Макаричев, А.В.
topic Вычислительные процессы и системы
topic_facet Вычислительные процессы и системы
publishDate 2008
language Russian
container_title Электронное моделирование
publisher Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
format Article
title_alt Reliability of Sets of Complex Restorable Systems with the Time Reserve and with the Return of Restored Elements into the Systems with the Minimum Internal Reserve. I
description Найдено асимптотическое распределение времени безотказной работы комплексов сложных восстанавливаемых систем (СВС) с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом с момента установления исправности всех элементов всех СВС. Исследование проведено для комплексов СВС с марковским потоком отказов элементов, произвольной функцией распределения времени обслуживания элементов СВС, число которых возрастает обратно пропорционально интенсивности отказов так, что суммарная нагрузка на систему обслуживания требований в порядке их поступления ограничена сверху величиной, меньшей единицы. Знайдено асимптотичний розподiл часу безвiдмовної роботи комплексiв складних вiдновлювальних систем (СВС) з часовим резервом і поверненням вiдновлених елементiв у системи з мiнiмальним внутрiшнiм резервом з моменту встановлення справностi усiх елементiв усiх СВС. Дослiдження проведено для комплексiв СВС з марковським потоком вiдмовлень елементiв, довiльною функцiєю розподiлу часу обслуговування елементiв СВС, число яких зростає зворотньо пропорцiйно iнтенсивностi їхніх вiдмовлень так, що сумарне навантаження на систему обслуговування вимог у порядку їхнього надходження є обмеженим зверху величиною, меншою за одиницю. The asymptotic fault-free lifetime distribution is found for the set of complex restorable systems (CRS) with the time reserve and with the return of restored elements into the systems with the minimum internal reserve from the moment when the correct operation of all elements of all CRS is set. The study was carried out for the CRS sets with Markovian flow of element faults, arbitrary service time distribution function of CRS elements, the number of which increases inversely proportional to the fault rate, so that the total load of the request processing system is limited from above by the value less than one.
issn 0204-3572
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101597
citation_txt Надежность комплексов сложных восстанавливаемых систем с временным резервом и возвращением восстановленных элементов в системы с минимальным внутренним резервом. I / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 5. — С. 81-94. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT makaričevav nadežnostʹkompleksovsložnyhvosstanavlivaemyhsistemsvremennymrezervomivozvraŝeniemvosstanovlennyhélementovvsistemysminimalʹnymvnutrennimrezervomi
AT makaričevav reliabilityofsetsofcomplexrestorablesystemswiththetimereserveandwiththereturnofrestoredelementsintothesystemswiththeminimuminternalreservei
first_indexed 2025-11-27T04:13:42Z
last_indexed 2025-11-27T04:13:42Z
_version_ 1850799394552545280
fulltext ÓÄÊ 519.21 À. Â. Ìàêàðè÷åâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé àâòîìîáèëüíî-äîðîæíûé óíèâåðñèòåò (Óêðàèíà, 61002, Õàðüêîâ, óë. Ïåòðîâñêîãî, 25, òåë. 7073737, Å-mail: amakarichev@mail.ru) Íàäåæíîñòü êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ñ âðåìåííûì ðåçåðâîì è âîçâðàùåíèåì âîññòàíîâëåííûõ ýëåìåíòîâ â ñèñòåìû ñ ìèíèìàëüíûì âíóòðåííèì ðåçåðâîì. I Íàéäåíî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè áåçîòêàçíîé ðàáîòû êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì (ÑÂÑ) ñ âðåìåííûì ðåçåðâîì è âîçâðàùåíèåì âîññòàíîâëåííûõ ýëåìåíòîâ â ñèñòåìû ñ ìèíèìàëüíûì âíóòðåííèì ðåçåðâîì ñ ìîìåíòà óñòàíîâëåíèÿ èñïðàâ- íîñòè âñåõ ýëåìåíòîâ âñåõ ÑÂÑ. Èññëåäîâàíèå ïðîâåäåíî äëÿ êîìïëåêñîâ ÑÂÑ ñ ìàðêîâñêèì ïîòîêîì îòêàçîâ ýëåìåíòîâ, ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ ýëåìåíòîâ ÑÂÑ, ÷èñëî êîòîðûõ âîçðàñòàåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ òàê, ÷òî ñóììàðíàÿ íàãðóçêà íà ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé â ïîðÿäêå èõ ïîñòóïëåíèÿ îãðàíè÷åíà ñâåðõó âåëè÷èíîé, ìåíüøåé åäèíèöû. Çíàéäåíî àñèìïòîòè÷íèé ðîçïîäië ÷àñó áåçâiäìîâíî¿ ðîáîòè êîìïëåêñiâ ñêëàäíèõ âiäíîâ- ëþâàëüíèõ ñèñòåì (ÑÂÑ) ç ÷àñîâèì ðåçåðâîì ³ ïîâåðíåííÿì âiäíîâëåíèõ åëåìåíòiâ ó ñèñòåìè ç ìiíiìàëüíèì âíóòðiøíiì ðåçåðâîì ç ìîìåíòó âñòàíîâëåííÿ ñïðàâíîñòi óñiõ åëåìåíòiâ óñiõ ÑÂÑ. Äîñëiäæåííÿ ïðîâåäåíî äëÿ êîìïëåêñiâ ÑÂÑ ç ìàðêîâñüêèì ïîòîêîì âiäìîâëåíü åëå- ìåíòiâ, äîâiëüíîþ ôóíêöiºþ ðîçïîäiëó ÷àñó îáñëóãîâóâàííÿ åëåìåíòiâ ÑÂÑ, ÷èñëî ÿêèõ çðîñòຠçâîðîòíüî ïðîïîðöiéíî iíòåíñèâíîñòi ¿õí³õ âiäìîâëåíü òàê, ùî ñóìàðíå íàâàíòàæåííÿ íà ñèñòåìó îáñëóãîâóâàííÿ âèìîã ó ïîðÿäêó ¿õíüîãî íàäõîäæåííÿ º îáìåæåíèì çâåðõó âåëè- ÷èíîþ, ìåíøîþ çà îäèíèöþ. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ñëîæíûå âîññòàíàâëèâàåìûå ñèñòåìû, âðåìåííîé ðåçåðâ, âîçâðàùåíèå ýëåìåíòîâ, ìèíèìàëüíûé âíóòðåííèé ðåçåðâ. Ðàññìîòðèì êîìïëåêñ N, â êîòîðîì ðàáîòàþò N îäíîòèïíûõ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì (ÑÂÑ), ñîñòîÿùèõ èç n ýëåìåíòîâ. Êàæäûé ýëåìåíò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ìîæåò îòêàçàòü.  ìîìåíò åãî îòêàçà â îäíîé èç ÑÂÑ âîçíèêàåò òðåáîâàíèå íà îáñëóæèâàíèå, êîòîðîå íåìåäëåííî ïî- ñòóïàåò â ðåìîíòíûé îðãàí (ÐÎ), ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé îäíîëèíåéíóþ ñèñòåìó ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé â ïîðÿäêå èõ ïîñòóïëåíèÿ. Ðåìîíòíûé îðãàí îñóùåñòâëÿåò âîññòàíîâëåíèå (ðåìîíò èëè çàìåíó íî- âûì, èäåíòè÷íûì èñõîäíîìó). Åñëè â ìîìåíò âîññòàíîâëåíèÿ ýëåìåíòà âî ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 81 �������� � �� � �� ���������� �� âñåõ ÑÂÑ íàõîäèòñÿ íå áîëåå ÷åì ïî îäíîìó íåèñïðàâíîìó ýëåìåíòó, òî âîññòàíîâëåííûé ýëåìåíò çàíèìàåò ñâîå ìåñòî â ñëîæíîé ñèñòåìå, â êî- òîðîé îí îòêàçàë. Åñëè â ýòîò ìîìåíò â êàêîé-òî ÑÂÑ åñòü äâà èëè áîëåå íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ, òî âîññòàíîâëåííûé ýëåìåíò ñòàíîâèòñÿ íà ìåñòî íåèñïðàâíîãî ýëåìåíòà, îòêàçàâøåãî ðàíåå îñòàëüíûõ â òîé ÑÂÑ, â êîòî- ðîé â ìîìåíò âîññòàíîâëåíèÿ íàèáîëüøåå ÷èñëî íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ. Åìó ïðèñâàèâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèé íîìåð, òðåáîâàíèå íà åãî îáñëóæè- âàíèå íåìåäëåííî ïîêèäàåò ÐÎ, à åãî íîìåð îòäàåòñÿ òîìó ýëåìåíòó, íà ìåñòî êîòîðîãî îí ñòàë. Ñîñòîÿíèå êîìïëåêñà â ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿåò ñîâîêóïíîñòü v t e t e t e tN ( ) ( ( ), ( ),..., ( ))� 1 2 èç N äâîè÷íûõ âåêòîðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå ñîîò- âåòñòâóþùåé ÑÂÑ êîìïëåêñà e t e t e t e tj j j n j ( ) ( ( ), ( ),..., ( ))� 1 2 , j N�1 2, , ..., . Çäåñü e ti j ( ) �0, åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t i-é ýëåìåíò j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà íàõîäèòñÿ â èñïðàâíîì ñîñòîÿíèè; e ti j ( ) �1, åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t îí íàõîäèòñÿ â íåèñïðàâíîì ñîñòîÿíèè, i n�1 2, ,..., , j N�1 2, ,..., . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîòîê îòêàçîâ ýëåìåíòîâ, âîçíèêàþùèé â êàæäîé ÑÂÑ, ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì, ò. å. óäîâëåòâîðÿåò äâóì óñëîâèÿì. 1. Åñëè â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t j-ÿ ÑÂÑ íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿ- íèè e j , òî âåðîÿòíîñòü îòêàçà íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè ( , ]t t h� èñïðàâíîãî i-ãî ýëåìåíòà j-é ÑÂÑ êîìïëåêñà ïðè h� 0ñîñòàâëÿåò� i je N h o h( ) ( ) � � 1 . 2.  êàêîì áû èç ñîñòîÿíèé e tj ( ) íè íàõîäèëàñü j-ÿ ÑÂÑ êîìïëåêñà â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t, âåðîÿòíîñòü îòêàçà äâóõ è áîëåå ýëåìåí- òîâ ýòîé ñèñòåìû íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè ( , ]t t h� ðàâíà o h( ) ïðè h� 0 . Åñëè ñîñòîÿíèÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ k-é è l-é ÑÂÑ ñîâïàäàþò, ò. å. e ek l � , òî èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ â ýòèõ ñèñòåìàõ îäè- íàêîâû: äëÿ ëþáîãî i ïðè âñåõ 1� � �k l N áóäåò � �i k i le N e N( ) ( ) � � � 1 1 . Ïóñòü � � �N e N e j j � �1 1 max ( ) , ãäå � ( )e Nj �1 — ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü, ò. å. èíòåíñèâíîñòü îòêàçà õîòÿ áû îäíîãî èç èñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ j-é ÑÂÑ êîìïëåêñà, íàõîäÿùåéñÿ â ñîñòîÿíèè e j � �( ) ( ) : e N e Nj i j i ei j � � � � 1 1 0 , j N�1 2, ,..., . À. Â. Ìàêàðè÷åâ 82 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5 Äëèíû òðåáîâàíèé (ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ èëè ðàçëè÷íûõ îòêàçîâ îäíîãî è òîãî æå ýëåìåíòà) åñòü íåçàâèñèìûå ïîëîæèòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Îáîçíà÷èì G x( )ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äëèíû òðåáîâàíèÿ ïî îáñëó- æèâàíèþ i-ãî ýëåìåíòà j-é ÑÂÑ êîìïëåêñà, i n�1 2, ,..., , j N�1 2, ,..., . Åå n-é ìîìåíò îáîçíà÷èì m x d G xn n x � � ( ) 0 . Ïóñòü � � 0 1 0� ( ) m — íà÷àëüíàÿ íà- ãðóçêà íà ÐÎ òðåáîâàíèé íà îáñëóæèâàíèå ýëåìåíòîâ ñëîæíûõ ñèñòåì êîìïëåêñà N. Îòêàçû ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé ÑÂÑ íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè êîìïëåêñà ìîãóò ïðèâåñòè âñþ ñëîæíóþ ñèñòåìó ê îòêàçó. Ìíîæåñòâî E ej j �{ } âñåâîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé j-é ÑÂÑ äåëèòñÿ íà äâà íåïóñòûå íåïåðåñåêàþ- ùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà èñïðàâíûõ E j � è íåèñïðàâíûõ E j � ñîñòîÿíèé j-é ÑÂÑ êîìïëåêñà, j N�1 2, ,..., . Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî E E E N � � � � � � 1 2 ... . Ïóñòü e ej i j i n � � 1 — ÷èñëî íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ â j-é ÑÂÑ è min e E j j j e s � � 1, j N�1 2, ,..., . Åñëè ÷èñëî íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ â êîìïëåê- ñå íå ïðåâîñõîäèò s�1, òî ýòà ñèñòåìà èñïðàâíà. Îòêàç êîìïëåêñà íàñòó- ïàåò, åñëè â òå÷åíèå ñëó÷àéíîãî âðåìåíè � â êîìïëåêñå îêàæåòñÿ íåèñ- ïðàâíîé õîòÿ áû îäíà èç N âõîäÿùèõ â íåãî ÑÂÑ. Ìíîæåñòâî E v�{ } âñåâîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé êîìïëåêñà ñîñòîèò èç äâóõ íåïóñòûõ íåïåðå- ñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ èñïðàâíûõ E � è âîçìîæíûõ íåèñïðàâíûõ E � ñîñòîÿíèé êîìïëåêñà: v t E( ) � , åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t âñå ÑÂÑ èñïðàâ- íû, è v t E( ) � , åñëè õîòÿ áû îäíà èç íèõ íåèñïðàâíà. Ïóñòü H u P u( ) ( )� �� è � — âðåìÿ äî ïåðâîãî îòêàçà êîìïëåêñà ïðè óñëîâèè, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t �0 âñå ýëåìåíòû âñåõ ÑÂÑ êîìïëåêñà èñïðàâíû, � � �� � � � � � inf { : ( ) , [ , ]| ( ) ( ,..., ) }t v x E x t t v 0 0 0 0 . Çäåñü è äàëåå èíäåêñ N äëÿ ïðîñòîòû îïóñêàåì. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîõîäèìûõ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì v t( ) ñîñòîÿ- íèé êîìïëåêñà îò íà÷àëà ïåðèîäà ðåãåíåðàöèè äî ìîìåíòà åãî ïåðâîãî îòêàçà íà ýòîì ïåðèîäå îáðàçóåò ïóòü � �{ , ,..., }v v vr1 2 , ãäå v El � ïðè l r� è v Er � . Ïóòü � íàçîâåì k-ñëàáîìîíîòîííûì ìèíèìàëüíûì, åñëè ïåðâûé îòêàç êîìïëåêñà íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè íàñòóïèë â ðåçóëüòàòå îòêàçà k-é ÑÂÑ, â ìîìåíò îòêàçà â k-é ÑÂÑ áûëè íåèñïðàâíû ðîâíî s ýëåìåíòîâ è áîëüøå îòêàçîâ ýëåìåíòîâ äî ýòîãî ìîìåíòà â ýòîé ÑÂÑ íå áûëî. Ìíîæåñòâî Íàäåæíîñòü êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 83 òàêèõ ïóòåé îáîçíà÷èì �c k . Ïóñòü � � c k — ñëàáîìîíîòîííûé ìèíèìàëü- íûé ïóòü. Ðàññìîòðèì, êàê èçìåíÿåòñÿ ñîñòîÿíèå k-é ÑÂÑ íà ýòîì ïóòè. Ïóñòü 0 1 2 , , ,...,e e ek k s k — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîÿíèé k-é ñèñòåìû äî ìîìåíòà åå îòêàçà. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáðàçóåò ìîíîòîííûé ìèíèìàëüíûé ïóòü� k , ïî êîòîðîìó k-ÿ ÑÂÑ èç ñîñòîÿíèÿ{ }0 ïðèõîäèò ê îòêàçó è� �( )k � � � � � �j j k j s ke e s1 2 0 0 1 1 ( ) ( )... ( ) , ãäå j j js1 2 , ,..., — íîìåðà ïîñëåäîâàòåëüíî îò- êàçàâøèõ ýëåìåíòîâ k-é ÑÂÑ ïî ïóòè � k . Ìíîæåñòâî ìîíîòîííûõ ìèíè- ìàëüíûõ ïóòåé, ïî êîòîðûì k-ÿ ÑÂÑ ìîæåò îòêàçàòü, îáîçíà÷èì � 0 k (â äàëü- íåéøåì, ðàññìàòðèâàÿ îòêàçû â ïåðâîé ÑÂÑ, áóäåì îïóñêàòü èíäåêñ k �1). Ïóñòü B x x xj j j s s1 2 1 2 ... ( , , ..., , )� — óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòêà- çàâøèé â ìîìåíò x 1 ýëåìåíò ñ íîìåðîì j 1 ïåðâîé ÑÂÑ íå áóäåò âîñ- ñòàíîâëåí äî ìîìåíòà âðåìåíè xs �� ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðèîä çàíÿòîñòè ÐÎ íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x 1 îòêàçîì ýëåìåíòà ñ íîìåðîì j 1 ïåðâîé ÑÂÑ, â ìîìåíò âðåìåíè x 2 ïðîèçîøåë îòêàç ýëåìåíòà ñ íîìåðîì j 2 ïåðâîé ÑÂÑ, ... , â ìîìåíò âðåìåíè xs ïðîèçîøåë îòêàç ýëåìåíòà ñ íîìåðîì js ïåðâîé ÑÂÑ è áîëüøå îòêàçîâ ýëåìåíòîâ â ïåðâîé ÑÂÑ äî ìîìåíòà âðåìåíè xs íå áûëî, 0 1 2 � � � �x x xs... . Î÷åâèäíî, B x x x G x xj j j s s s1 2 1 2 1 ... ( , , ..., , ) (� ��� � � , ãäå G x G x( ) ( )� �1 . Îáîçíà÷èì q P Bc0 0 ( ) ( )� � âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïåðèîäå ðåãåíåðà- öèè ïðîèçîéäåò îòêàç êîìïëåêñà, ÷òî ïåðâûé åãî îòêàç íà ýòîì ïåðèîäå ïðîèçîéäåò â ðåçóëüòàòå îòêàçà ïåðâîé ÑÂÑ ïî ìîíîòîííîìó ìèíèìàëü- íîìó ïóòè � è ïåðèîä çàíÿòîñòè ÐÎ íà÷íåòñÿ îòêàçîì ýëåìåíòà èç ïåðâîé ÑÂÑ (ïåðâûì íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè îòêàæåò ýëåìåíò èç ïåðâîé ÑÂÑ). Îáîçíà÷èì � 1 2 1 2 0� � � � �{( ,..., ) : ... }x x x x xs s . Ïóñòü J E a N G x x dx ...dxN s s0 1 1 1 2 1 , ... exp( ) (� � � � � � � � �� , ãäå a e x x e x xs s s1 1 2 1 1 1 � � � � � � � � �( )( ) ... ( )( ). Ëåììà 1. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî q N Jc s N0 0 0 ( ) ( ) ( ) , � � � � � . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/N ïåðâûì íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè îòêàæåò ýëåìåíò èç ïåðâîé ÑÂÑ, è ïðè ýòîì óñëîâèè ñ âåðîÿò- íîñòüþ� �j 1 0 0( ) / ( )ïåðâûì îòêàæåò ýëåìåíò ñ íîìåðîì j 1 , è äàëåå, èñïîëü- çóÿ ôîðìóëó ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷èì q N E e N e Nc j j0 1 1 1 11 0 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ) exp( ( ) (� � � � � �� � � � � � x x 2 1 � � �]… ���� � �j s s s s j j j s se N e N x x B( ) exp( ( ) ( ] ... � � � � � � � 1 1 1 1 1 1 2 ( ,..., , )x x dx ...dxs s1 2 � � À. Â. Ìàêàðè÷åâ 84 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5 � � � � � � � � � � � �� ( ) ( ) ... exp( ) ( 0 1 1 1 1 2 N E a N G x x dx ...dx s s s � � � � ( ) ( ) , 0 0 N J s N . Ëåììà 1 äîêàçàíà. Ïóñòü ðàâåíñòâî B x x x P x e xs( , , , , , ..., , ) { , ( ) ,,1 0 0 1 1 2 1 1 � �� � � � �� ocò ( )x x xs1 1 � � åñòü óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðèîä ðåãåíåðàöèè, íà÷àâøèñü â ìîìåíò âðåìåíè x �0, íå çàêîí÷èòñÿ ê ìîìåíòó âðåìåíè x 1 è ïîñòóïèâøåå â ìîìåíò âðåìåíè x 1 òðåáîâàíèå íà îáñëóæèâàíèå j 1 -ãî ýëåìåíòà ïåðâîé ÑÂÑ çàñòàíåò â ìîìåíò âðåìåíè x 1 â ÐÎ íå ìåíåå îäíîãî òðåáîâàíèÿ, îáñëóæèâàåìîãî â ÐÎ ñî ñêîðîñòüþ åäèíèöà â ìîìåíò âðåìåíè x 1 ñ îñòà- òî÷íûì âðåìåíåì äîîáñëóæèâàíèÿ â ýòîò ìîìåíò � ocò ( )x 1 , îáñëóæèâàíèå êîòîðîãî íå çàêîí÷èòñÿ äî ìîìåíòà âðåìåíè xs �� ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0è â ìîìåíòû âðåìåíè x x xs1 2 , ,..., ïîñëåäîâàòåëüíî îòêàçàëè ýëåìåíòû ïåðâîé ñèñòåìû ñ íîìåðàìè ñîîòâåòñò- âåííî j j js1 2 , ,..., (0 1 2 � � � �x x xs... ) è áîëüøå îòêàçîâ ýëåìåíòîâ â ïåðâîé ñèñòåìå íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè ( , )0 xs íå áûëî. Îáîçíà÷èì q P Bc1 1 ( ) ( )� � âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïåðèîäå ðåãåíåðà- öèè ïðîèçîéäåò îòêàç êîìïëåêñà, ïåðâûé åãî îòêàç íà ýòîì ïåðèîäå ïðîè- çîéäåò â ðåçóëüòàòå îòêàçà ïåðâîé ÑÂÑ ïî ìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè � è îòêàçàâøèé ïåðâûì â ïåðâîé ÑÂÑ ýëåìåíò çàñòàíåò â ÐÎ íà îáñëóæèâàíèè ñî ñêîðîñòüþ åäèíèöà òðåáîâàíèå, âî âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ êîòîðîãî è ïðîèçîéäåò îòêàç ïåðâîé ÑÂÑ ïî ìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè � . Îáîçíà÷èì � � � � � �{( , ,..., ) : ... }x x x x x xs s1 2 1 2 0 . Ïóñòü J E a N B x x x dx dx ..N s1 1 1 2 1 2 1 0 , ... exp( ) ( , , , , ..., , )� � � � � � .dxs� , ãäå a x e x x e x xs s s� � � � � � � � � � � � �( ) ( ) ( ... ( ) (0 1 1 2 1 1 1 . Ëåììà 2. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî q N Jc s N1 1 ( ) ( ) , � � � � . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè q E N x e Nc j j1 1 1 1 1 1 2 0 0( ) ... ( ) exp[( ( ) ] ( ) exp[� � � � �� � � � � � � � � � � �( ) ( ]...e N x x 1 1 2 1 ���� � �j s s s ss e N e N x x B x( ) exp[ ( ) ( ] ( , , ,. � � � � � � � 1 1 1 1 1 1 1 0 .., , )x dx dx ...dxs s� 1 2 � � � �( ) , N J s N1 . Ëåììà 2 äîêàçàíà. Íàäåæíîñòü êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 85 Ïóñòü ðàâåíñòâî B n k x P x e x n( , , , , , ) { , ( ) ,1 0 1 1 1 � � �� � � � ocò ( )x 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 2 3 1 ... , ...k s k — óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðèîä ðåãåíåðàöèè, íà÷àâøèñü â ìîìåíò âðåìåíè x �0, íå çàêîí÷èòñÿ äî ìîìåíòà âðåìåíè x 1 , ïîñòóïèâøåå â ìîìåíò âðåìåíè x 1 â ÐÎ òðåáî- âàíèå íà îáñëóæèâàíèå j 1 -ãî ýëåìåíòà ïåðâîé ÑÂÑ êîìïëåêñà çàñòàíåò â ÐÎ îäíî òðåáîâàíèå íà îáñëóæèâàíèè ñ îñòàòî÷íûì âðåìåíåì äîîáñëóæè- âàíèÿ â ýòîò ìîìåíò � ocò ( )x 1 è n (n �1) òðåáîâàíèé â î÷åðåäè, çà âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ ýòîãî òðåáîâàíèÿ è åùå k òðåáîâàíèé ñ ïîëíûì âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ � � � 1 2 � � �... k (0 1� � �k n ) íå áóäåò îòêàçîâ ýëåìåíòîâ â ïåðâîé ÑÂÑ, à âî âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ ñëåäóþùåãî ïî ïîðÿäêó k �1-ãî òðåáîâàíèÿ èç î÷åðåäè ïîñëåäîâàòåëüíî îòêàæóò ýëåìåíòû ïåðâîé ÑÂÑ ñ íîìåðàìè j j js2 3 , ,..., è ïîñëå îòêàçà ïîñëåäíåãî èç íèõ ýòî òðåáîâàíèå áóäåò îáñëóæèâàòüñÿ åùå âðåìÿ, íå ìåíüøåå ÷åì �� ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0è â ìîìåíò âðåìåíè x 1 ïðîèçîøåë ïåðâûé íà ýòîì ïåðèîäå îòêàç ýëåìåíòà èç ïåðâîé ÑÂÑ ñ íîìåðîì j 1 (0 1 � x ); � l — âðåìÿ ìåæäó l �1-ì è l-ì îòêàçàìè ýëåìåíòîâ â ïåðâîé ñèñòåìå, 2� �l s; � � � � � �� � � � � 2 2 1 1ocò ( ) ...x k ïðè óñëîâèè, ÷òî � � � � 2 1 1 � � � ocò ( ) ...x k ; n k n� � �1 2 0 1 1, ,..., , , ..., . Îáîçíà÷èì q P Bc2 2 ( ) ( )� � âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïåðèîäå ðåãåíå- ðàöèè ïðîèçîéäåò îòêàç êîìïëåêñà, ïåðâûé åãî îòêàç íà ýòîì ïåðèîäå ïðîèçîéäåò â ðåçóëüòàòå îòêàçà ïåðâîé ÑÂÑ ïî ìîíîòîííîìó ìèíèìàëü- íîìó ïóòè � è â ìîìåíò ïåðâîãî îòêàçà ýëåìåíòà â ïåðâîé ÑÂÑ íà ýòîì ïåðèîäå â ÐÎ áóäåò íå ìåíåå îäíîãî òðåáîâàíèÿ, îäíî èç êîòîðûõ â ýòîò ìîìåíò áóäåò îáñëóæèâàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ åäèíèöà, è çà âðåìÿ åãî îáñëó- æèâàíèÿ îòêàçîâ ýëåìåíòîâ â ïåðâîé ÑÂÑ íå áóäåò. Ïóñòü P x e x n{ , ( ) }� � � 1 1 0 — óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïå- ðèîä ðåãåíåðàöèè, íà÷àâøèñü â ìîìåíò âðåìåíè x �0, íå çàêîí÷èòñÿ äî ìîìåíòà âðåìåíè x 1 , ïîñòóïèâøåå â ìîìåíò âðåìåíè x 1 â ÐÎ òðåáîâàíèå íà îáñëóæèâàíèå j 1 -ãî ýëåìåíòà ïåðâîé ÑÂÑ êîìïëåêñà çàñòàíåò â ýòîò ìî- ìåíò â ÐÎ n òðåáîâàíèé èç ñèñòåì, îòëè÷íûõ îò ïåðâîé, ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0è â ìîìåíò âðåìåíè x 1 ïðîèçîøåë ïåðâûé íà ýòîì ïåðèîäå îòêàç ýëåìåíòà èç ïåðâîé ÑÂÑ ñ íîìåðîì j x 1 1 0( )� . Îáîçíà÷èì J N x P x e x nN n k n x 2 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 , exp[ ( ) ] { , ( ) }� � � � � � � � � � � � 0 � � � � � �E e N x dxkexp{ ( ) [ ( ) ... ]}� � � � 1 1 1 1 1ocò . À. Â. Ìàêàðè÷åâ 86 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5 Ëåììà 3. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî q N J Jc s N N2 0 2 ( ) ( ) , , � � � � . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.  ñèëó îòñóòñòâèÿ ïîñëåäåéñòâèÿ äëÿ ïîêàçàòåëüíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ B n k x P x e x( , , , , ) { , ( )1 0 1 1 1 � �� � � � � � � � � � � � � � � n x Pk s k, ( ) ... } { ...� � � � � � � � � � ocò 1 1 2 2 3 1 . Âòîðîé ìíîæè- òåëü â ýòîì ïðîèçâåäåíèè ìîæåò áûòü íàéäåí â âèäå P N Js k j s N{ ... ( ) ( ) , � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 3 1 1 0 1 0 . Ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ñ èñïîëüçîâàíèåì äâóõ ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ, ìåíÿÿ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ è ñóììèðîâàíèÿ, íàõîäèì q N N x Bc j n k n x 2 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1( ) ( ) exp[ ( ) ] (� � �� � � � � � � � , , , , , )n k x dx 1 1 � � � � � � � � � � � � � ( ) exp[ ( ) ] { , ( ) } , N J N x P x e x n s N n x 0 1 1 1 1 1 0 0 1 00 1 � � � � k n � � � � � � �E e N x dx N Jk s Nexp{ ( ) [ ( ) ... ]} ( ) , � � � � � � 1 1 1 1 1 0ocò J N2, . Ëåììà 3 äîêàçàíà. Îáîçíà÷èì q P Bc ( ) ( )� � âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè êîìïëåêñà ïðîèçîéäåò îòêàç êîìïëåêñà è ïåðâûé åãî îòêàç ïðîèçîéäåò â ðåçóëüòàòå îòêàçà ïåðâîé ÑÂÑ ïî ìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè � � 0 1 . Ëåììà 4. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî q q q qc c c c( ) ( ) ( ) ( )� � � �� � � 0 1 2 . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç ââåäåííûõ âûøå îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî ñëó÷àéíîå ñîáûòèå B ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû òðåõ ïîïàðíî íåñîâ- ìåñòíûõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé B B B B� � � 0 1 2 . Îòñþäà, èç àêñèîìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ââåäåííûõ îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî q P B P B B B P B P B P Bc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � 0 1 2 0 1 2 � � �q q qc c c0 1 2 ( ) ( ) ( )� � � . Ëåììà 4 äîêàçàíà. Ëåììà 5. Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò ms� � � 1 , òî J m s N s 0 1 1 , ( )! � � � Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç îïðåäåëåíèÿ 0 1 2 � � � �x x xs... è� � 0ñëåäóþò íåðàâåíñòâà a e x x e x xs s s1 1 2 1 1 1 0� � � � � � � � � � �( ) ( ... ( ) ( , G x xs( � � � 1 �� Íàäåæíîñòü êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 87 � �G x xs( 1 � è exp( )� � �a N 1 1 1. Îòñþäà è èç ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà ñëå- äóåò, ñîãëàñíî óñëîâèþ ëåììû 5, J a N G x x dx ...dxN s s0 1 1 1 2 1 , ... exp( ) (� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � ... ( ( )! ( � 1 1 2 2 0 2 G x x dx ...dx x s G x dx m s s s x s � � 1 1( )!s� � �. Ëåììà 5 äîêàçàíà. Ëåììà 6.  óñëîâèÿõ ëåììû 5 ïðè N � � J dH u t u s G t dtN u s t u 0 0 2 2 , ( ) ( ) ( )! (� � � � � � � � . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðè N � � exp[ ]� � �a N 1 1 0. Îòñþäà è èç ëåììû 5 ïî òåîðåìå Ëåáåãà î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè ïîëó÷àåì J E G x x dx ...dx dH u t u N s s u s 0 1 2 0 2 1 , ... ( ( ) ( ) � � � � � � � � � � � �� ( )! ( s G t dt t u � � 2 � . Ëåììà 6 äîêàçàíà. Ïóñòü � 1 0 , ,� G — êîìïëåêñ, â êîòîðîì � ( )0 åñòü ñóììàðíàÿ èíòåíñèâ- íîñòü îòêàçîâ ýëåìåíòîâ â ïåðèîä íåçàíÿòîñòè ÐÎ (êîãäà âñå ýëåìåíòû êîìïëåêñà èñïðàâíû), à â ïåðèîä çàíÿòîñòè — �, äëèíû ïîñòóïàþùèõ â ÐÎ òðåáîâàíèé íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðå- äåëåíèÿ G x( ). Ïóñòü B x x x P x e x x xs� � �( , , , , ..., ) {� , �( ) , ( )1 0 0 1 1 2 1 1 1 � � � ocò s x� 1 � — óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â êîìïëåêñå � 1 0 , ,� G ïåðèîä ðåãåíåðàöèè, íà÷àâøèéñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0, íå çàêîí÷èòñÿ äî ìîìåíòà âðåìåíè x 1 , â ìîìåíò x 1 0� â ÐÎ â êîìïëåêñå � 1 0 , ,� G áóäåò íå ìåíåå îäíîãî òðåáîâàíèÿ è îñòàâøååñÿ âðåìÿ äîîáñëóæèâàíèÿ îáñëóæèâàåìîãî ñî ñêîðîñòüþ åäèíè- öà â ýòîò ìîìåíò òðåáîâàíèÿ áóäåò áîëüøå, ÷åì x xs � 1 ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0. Ëåììà 7. Ïóñòü ��1è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò ms � �. Òîãäà ... ( , , , , ..., ) ( ) ! � � � � � B x x x dx dx ...dx m s s s s � � 1 0 1 1 2 1 2 . À. Â. Ìàêàðè÷åâ 88 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5 Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîãëàñíî ïðåäåëüíîé òåîðåìå äëÿ ðåãåíåðè- ðóþùèõ ïðîöåññîâ [1, 2] ... ( , , , , ..., ) � � � �B x x x dx dx ...dxs s� 1 0 1 2 1 2 � � � � � � � � dx P x e x x x x xs 1 0 0 1 1 1 1 2 0 1... {� , � ( ) , ( ... � � ocò ) � � � x x dx ...dxs s1 2 � � � � � � � � � � � m dx ...dx m G t dts x x t xs s 1 2 0 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ( ... � � �) ... ( ...0 2 2 � � � � � � � x x t s s G t dx ...dx dt� � � � � � � � 1 1 1 1 1 0 ( ) ( )! ( ( ) !� � � t s G t dt m s s t s . Ëåììà 7 äîêàçàíà. Ïóñòü � ( ) {( , ,..., ) : ... }z x x x x x x zs s� � � � � � 1 2 1 2 0 è � ( ) ! z z s s � . Ëåììà 8. Ïóñòü��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò ms � �. Òîãäà ïðè N � � J E B x x dx dx ...dxN s s1 1 1 2 1 0 0 , ... ( , , , ..., , )� � � � � � . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âûáåðåì ëþáîå ÷èñëî � 0 è çàôèêñèðóåì. Èç ëåììû 7 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âûáðàííîãî � 0 ñóùåñòâóåò z z� ( )� òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî z z� ( )� B x x x dx dx ...dxs z s� � ( , , , , ..., ) \ ( ) 1 0 2 1 2 1 2 � � � � . (1) Èç îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìû 1 [3] cëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî � � 0 B x x x B x x x B xs s( , , , , ..., , ) ( , , , , ..., ) ( , ,1 0 1 0 1 0 1 2 1 2 � � � � 1 2 , ,..., )x xs . Îòñþäà, èç (1) è ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî � � 0 B x x x dx dx ...dxs z s( , , , , ..., , ) \ ( ) 1 0 2 1 2 1 2 � � � � � � . Îòñþäà, èç íåðàâåíñòâà 1 1 1 � � � � exp( )aN è ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà äëÿ ëþáîãî � � 0 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî ... [ exp( )] ( , , , , ..., , ) \ ( ) 1 1 0 1 1 2 1 � � � �� a N B x x x dx ds z � � � x ...dxs2 2 � � . (2) Íàäåæíîñòü êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 89 Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò a x zs� �� � . Äëÿ âûáðàííîãî z z� ( )� ñóùåñòâóåò òàêîå N N z� ( ( ))� , ÷òî äëÿ ëþáîãî N N z ( ( ))� 0 1 1 2 1 1 � � � � � � � � � exp( ) exp( ) ( ) a N z N z � � � . Îòñþäà è íåðàâåíñòâà 0 1 0 1 1 � �B x xs( , , ,..., , )� äëÿ ëþáîãî � � 0 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî N N z ( ( ))� è äëÿ ëþáîãî � � 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ... [ exp( )] ( , , , , ..., , ) ( ) 1 1 0 1 1 2 1 2 � � � �� aN B x x x dx dxs z � � ...dxs � � 2 . (3) Èç (2) è (3) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ N N z ( ( ))� è äëÿ ëþáîãî � � 0 ñïðàâåä- ëèâî íåðàâåíñòâî ... [ exp( )] ( , , , , ..., , )1 1 0 1 1 2 1 2 � � � �� aN B x x x dx dx ...s � � dxs � �. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ N N z ( ( ))� E aN B x x x dx dx ..s... [ exp( )] ( , , , , ..., , )1 1 0 1 1 2 1 2 � � � �� � � .dxs � �, J E B x x x dx dx ...dxN s s1 1 2 1 2 1 0 , ... ( , , , , ..., , )� � �� � � � . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî � 0 ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N ( )� , ÷òî äëÿ âñåõ N N ( )� J E B x x x dx dx ...dxN s s1 1 2 1 2 1 0 , ... ( , , , , ..., , )� � �� � � � . Ëåììà 8 äîêàçàíà. Ïóñòü � � � � � � ! " # $( ) ( )0 0 1 1 N . Îáîçíà÷èì B x x xs0 1 2 1 0 � ( , , , , ..., , )� è B x x xs0 1 2 1 0( , , , ,..., , )� ñîîòâåòñòâåííî â êîìïëåêñàõ � � � ( ),0 G è � � ( ),0 G óñ- ëîâíóþ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðèîä ðåãåíåðàöèè, íà÷àâøèñü â ìîìåíò âðåìåíè x �0, íå çàêîí÷èòñÿ ê ìîìåíòó âðåìåíè x 1 è ïîñòóïèâøåå â ìîìåíò âðåìåíè x 1 òðåáîâàíèå íà îáñëóæèâàíèå ýëåìåíòà ïåðâîé ÑÂÑ çàñòàíåò â ìîìåíò âðåìåíè x 1 â ÐÎ íå ìåíåå îäíîãî òðåáîâàíèÿ, îáñëó- æèâàåìîãî â ÐÎ ñî ñêîðîñòüþ åäèíèöà â ìîìåíò âðåìåíè x 1 ñ îñòàòî÷íûì âðåìåíåì äîîáñëóæèâàíèÿ â ýòîò ìîìåíò � ocò ( )x 1 , îáñëóæèâàíèå êîòîðîãî íå çàêîí÷èòñÿ äî ìîìåíòà âðåìåíè xs �� ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðèîä ðåãåíå- À. Â. Ìàêàðè÷åâ 90 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5 ðàöèè íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0 è â ìîìåíòû âðåìåíè x x xs1 2 , ,..., ïîñëåäîâàòåëüíî îòêàçàëè ýëåìåíòû ïåðâîé ñèñòåìû ñ íîìåðàìè ñîîò- âåòñòâåííî 0 1 2 � � � �x x xs... è áîëüøå îòêàçîâ ýëåìåíòîâ â ïåðâîé ñèñòåìå íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè( , )0 xs íå áûëî. Îáîçíà÷èì� � ( )t ÷èñëî òðåáîâàíèé ïóàññîíîâñêîãî ïîòîêà ñ ïàðàìåòðîì �, âîçíèêøèõ íà ïðîìåæóòêå âðå- ìåíè ( , ]0 t â êîìïëåêñå � %��,G 0 . Ëåììà 9. Ïóñòü��1è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò ms � �. Òîãäà ïðè N � � E B x x x dx ...dx Es s... ( , , , , ..., , ) �� � �1 0 1 2 1 � � � � �� � ... ( , , , , ..., , )B x x x dx ...dxs s0 1 2 1 1 0 0� � . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âûáåðåì ëþáîå ÷èñëî� 0. Èç ëåììû 7 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî z z� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî z z� ( )� .... ( , , , , ..., ) \ ( ) B x x x dx dx ...dxs z s�� � � � 1 0 6 1 2 1 2 � � . (4) Èç íåðàâåíñòâà � � 0 òåîðåìû 1 è ëåììû 5 èç ðàáîòû [3] ñîîòâåòñòâåííî âûòåêàþò íåðàâåíñòâà äëÿ ëþáîãî � � 0 B x x B x x B xs s( , , ,..., , ) ( , , ,..., ) ( , , ,...,1 0 1 0 1 0 1 1 1 � � � � xs ), B x x B x x B xs s0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 � � �( , , ,..., , ) ( , , ,..., ) ( , , ,..� � ., )xs . (5) Èç (4), (5) è ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî � � 0 ... ( , , , ..., ) \ ( ) �� �B x x dx ...dxs z s1 0 6 1 1 � � � , ... ( , , , ..., , ) \ ( ) �� � �B x x dx ...dxs z s0 1 1 1 0 6 � � � � . (6) Èç àêñèîìû íåïðåðûâíîñòè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ âûáðàííîãî � ñó- ùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî l l� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî l l� ( )� P z l z ( ( ) ) ( ) � � � � � 6 . Íàäåæíîñòü êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 91 Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâà x x zs1 � � ñëåäóåò P x l P x l P z l z ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) � � � � � � � � � � � � 1 1 6 . Ïóñòü Rl � — ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïåðâûå l òðåáî- âàíèé ïóàññîíîâñêîãî ïîòîêà ñ ïàðàìåòðîì � � âñå áóäóò èç ðàçëè÷íûõ ñèñòåì. Èç ëåììû 2 [3] ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âûáðàííîãî � ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N N� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî N N� ( )� P R z l( ) ( ) � �1 6 � � . Ïóñòü A x l Rl� � � � { ( ) }� � 1 è I A( ) — èíäèêàòîð cëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A. Òîãäà äëÿ ëþáîãî � � 0 B x x x P x e x x xs s( , , , , ..., , ) { , ( ) , ( )1 0 0 1 1 2 1 1 1 � � �� � � ocò � � �x 1 �� � � � � � �P I A x I A e x x I A x xs{ ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )� � �� 1 1 1 1 0 1 ocò � � � � �P I A x I A e x x I A x xs{ ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )� � �� 1 1 1 1 0 1 ocò . (7) Àíàëîãè÷íî äëÿ ëþáîãî � � 0 B x x x P x e x xs0 1 2 0 1 1 1 1 0 0 1 � � � � �( , , , , ..., , ) { , ( ) , (� � � ocò ) � � �x xs 1 �� � � � � � � �P I A x I A e x x I A x xs{ ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )� � �� 0 1 1 1 1 0 1 ocò � � � � � �P I A x I A e x x I A x xs{ ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )� � �� 0 1 1 1 1 0 1 ocò . (8) Èç ëåììû 4 [3] ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî � � 0 { ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )� &'�(� � ��I A x I A e x x I A x xs � � � � 1 1 1 1 0 1 ocò � � � � � � { ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )� &'�(� � 0 1 1 1 1 0 1I A x I A e x x I A x xsocò ��� . (9) Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî � � 0 P I A x I A e x x I A x xs{ ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )� � �� � � � � � 1 1 1 1 0 1 ocò � � � �P A P x l P R z l( ) ( ( ) ) ( ) ( ) � � � � 1 3 (10) è P I A x I A e x x I A x xs{ ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )� � �� 0 1 1 1 1 0 1 � � � � � � ocò � �P A z ( ) ( ) � 3 � , (11) À. Â. Ìàêàðè÷åâ 92 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5 èç (7) — (11) ïîëó÷àåì äëÿ ëþáîãî � � 0 B x x B x x z s s( , , ,..., , ) ( , , ,..., , ) ( ) 1 0 1 0 2 3 1 0 1 � � � � � � � . (12) Èç ñâîéñòâà èíòåãðàëà è (12) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî � � 0 ... ( , , , ..., , ) ... ( , , �� � � �B x x dx ...dx B xs z s1 0 1 0 1 1 0 � �& � 1 1 ,..., , )x dx ...dxs z s� �& � � � � � �� � ... ( , , , ..., , ) ( , , ,..., , )B x x B x x ds s z 1 0 1 0 1 0 1 � � �& � x ...dxs1 � � � �� ... ( ) 2 3 2 3 1 � � � �& � z dx ...dx z s . (13) Èç (6) è (13) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî N N� ( )� è ëþáîãî � � 0 ... ( , , , ..., , ) ... ( , , , . �� � � �B x x dx ...dx B xs s1 0 1 0 1 1 0 1 � � .., , )x dx ...dxs s� � � � 1 � � �� � � ... ( , , , ..., , ) ... ( , \ B x x dx ...dx Bs z s1 0 1 1 1 0 � � �& � 0 1 1 , ,..., , ) \ x x dx ...dxs z s� � �& � � � � � �� � � ... ( , , , ..., , ) ... ( , ,B x x dx ...dx Bs z s1 0 1 0 1 1 0 � �& � x x dx ...dxs z s1 1 ,..., , )� �& � � � � � � � � � � � 6 6 2 3 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî N N� ( )� E B x x dx ...dx B xs s... ( , , , ..., , ) ... ( , , , �� � � � 1 0 1 0 1 1 0 1 � � ..., , )x dx ...dxs s� � � � � 1 , E B x x x dx ...dx E Bs s... ( , , , ,..., , ) ... ( , �� � � � 1 0 1 0 1 2 1 0 � � , , , ..., , )x x x dx ... dxs s1 2 1 � � � � � . Ëåììà 9 äîêàçàíà. Íàäåæíîñòü êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 93 The asymptotic fault-free lifetime distribution is found for the set of complex restorable systems (CRS) with the time reserve and with the return of restored elements into the systems with the minimum internal reserve from the moment when the correct operation of all elements of all CRS is set. The study was carried out for the CRS sets with Markovian flow of element faults, arbitrary service time distribution function of CRS elements, the number of which increases inversely proportional to the fault rate, so that the total load of the request processing system is limited from above by the value less than one. 1. Êëèìîâ Ã. Ï. Ñòîõàñòè÷åñêèå ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ. — M. : Íàóêà, 1967. — 244 c. 2. Êîêñ Ä., Ñìèò Â. Òåîðèÿ âîññòàíîâëåíèÿ. — Ì. : Ñîâ. ðàäèî, 1967. — 299 ñ. 3. Ìàêàðè÷åâ À. Â. Àñèìïòîòè÷åñêèå îöåíêè ïåðèîäà ðåãåíåðàöèè êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ïðè ðàçëè÷íûõ äèñöèïëèíàõ îáñëóæèâàíèÿ// Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2003. — 25, ¹ 2. — C. 83—97. Ïîñòóïèëà 17.03.08 ÌÀÊÀÐÈ×Å Àëåêñàíäð Âëàäèìèðîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû âûñøåé ìàòå- ìàòèêè Õàðüêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî àâòîìîáèëüíî-äîðîæíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà.  1981 ã. îêîí÷èë Ìîñêîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé – òåîðèÿ âåðîÿò- íîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà è èõ ïðèìåíåíèå, òåîðèÿ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, ìà- òåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ íàäåæíîñòè, òåîðèÿ îïòèìèçàöèè õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ ïðîöåñ- ñîâ, ðàñøèðÿþùèåñÿ êîìïëåêñû ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì. À. Â. Ìàêàðè÷åâ 94 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5

Similar Items