Об устойчивости и стабилизации стационарного движения схвата манипулятора
Рассмотрена задача устойчивости и стабилизации движения манипулятора до неасимптотической устойчивости по всем переменным многозвенного манипулятора. Розглянуто задачу стійкості та стабілізації руху маніпулятора до неасимптотичної стійкості по всім змінним багатоланкового маніпулятора. In the work t...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101610 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об устойчивости и стабилизации стационарного движения схвата манипулятора / Б. Атажанов // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 6. — С. 119-124. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101610 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Атажанов, Б. 2016-06-05T15:45:55Z 2016-06-05T15:45:55Z 2008 Об устойчивости и стабилизации стационарного движения схвата манипулятора / Б. Атажанов // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 6. — С. 119-124. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101610 531.36 Рассмотрена задача устойчивости и стабилизации движения манипулятора до неасимптотической устойчивости по всем переменным многозвенного манипулятора. Розглянуто задачу стійкості та стабілізації руху маніпулятора до неасимптотичної стійкості по всім змінним багатоланкового маніпулятора. In the work the problem of stability and stabilization of manipulator motion is considered up to the non-asymptotic stability on all variables of the multilink manipulator. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Краткие сообщения Об устойчивости и стабилизации стационарного движения схвата манипулятора On Stability and Stabilization of Manipulator Gripper Stationary Motion Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об устойчивости и стабилизации стационарного движения схвата манипулятора |
| spellingShingle |
Об устойчивости и стабилизации стационарного движения схвата манипулятора Атажанов, Б. Краткие сообщения |
| title_short |
Об устойчивости и стабилизации стационарного движения схвата манипулятора |
| title_full |
Об устойчивости и стабилизации стационарного движения схвата манипулятора |
| title_fullStr |
Об устойчивости и стабилизации стационарного движения схвата манипулятора |
| title_full_unstemmed |
Об устойчивости и стабилизации стационарного движения схвата манипулятора |
| title_sort |
об устойчивости и стабилизации стационарного движения схвата манипулятора |
| author |
Атажанов, Б. |
| author_facet |
Атажанов, Б. |
| topic |
Краткие сообщения |
| topic_facet |
Краткие сообщения |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Электронное моделирование |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On Stability and Stabilization of Manipulator Gripper Stationary Motion |
| description |
Рассмотрена задача устойчивости и стабилизации движения манипулятора до неасимптотической устойчивости по всем переменным многозвенного манипулятора.
Розглянуто задачу стійкості та стабілізації руху маніпулятора до неасимптотичної стійкості по всім змінним багатоланкового маніпулятора.
In the work the problem of stability and stabilization of manipulator motion is considered up to the non-asymptotic stability on all variables of the multilink manipulator.
|
| issn |
0204-3572 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101610 |
| citation_txt |
Об устойчивости и стабилизации стационарного движения схвата манипулятора / Б. Атажанов // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 6. — С. 119-124. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT atažanovb obustoičivostiistabilizaciistacionarnogodviženiâshvatamanipulâtora AT atažanovb onstabilityandstabilizationofmanipulatorgripperstationarymotion |
| first_indexed |
2025-11-26T06:17:25Z |
| last_indexed |
2025-11-26T06:17:25Z |
| _version_ |
1850612284264546304 |
| fulltext |
ÓÄÊ.531.36
Á. Àòàæàíîâ, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê
Íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò Óçáåêèñòàíà
(Óçáåêèñòàí, 100095, Òàøêåíò, ÂÓÇ ãîðîäîê, óë. Óíèâåðñèòåòñêàÿ, 1,
òåë.: (8-371) 396-49-30; E-mail: atajanov_b@rambler.ru)
Îá óñòîé÷èâîñòè è ñòàáèëèçàöèè
ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ ñõâàòà ìàíèïóëÿòîðà
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû À.À. Ìàðòûíþê)
Ðàññìîòðåíà çàäà÷à óñòîé÷èâîñòè è ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèÿ ìàíèïóëÿòîðà äî íåàñèìïòî-
òè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïî âñåì ïåðåìåííûì ìíîãîçâåííîãî ìàíèïóëÿòîðà.
Ðîçãëÿíóòî çàäà÷ó ñò³éêîñò³ òà ñòàá³ë³çàö³¿ ðóõó ìàí³ïóëÿòîðà äî íåàñèìïòîòè÷íî¿ ñò³é-
êîñò³ ïî âñ³ì çì³ííèì áàãàòîëàíêîâîãî ìàí³ïóëÿòîðà.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ìàíèïóëÿòîð, èçáûòî÷íàÿ êîîðäèíàòà, ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå,
óñòîé÷èâîñòü è ñòàáèëèçàöèÿ äâèæåíèÿ.
Ñîçäàíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ìàíèïóëÿòîðà, àíàëèç è ñèíòåç äèíàìè-
÷åñêèõ ñâîéñòâ åãî ñèñòåì óïðàâëåíèÿ — ñëîæíûå çàäà÷è. Äëÿ îïèñàíèÿ
ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè òàêèõ ñèñòåì â íàñòîÿùåå âðåìÿ èíòåíñèâíî
ðàçðàáàòûâàþòñÿ ðàçëè÷íûå ìåòîäû. Îäíèì èç òàêèõ ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ
ìåòîä èçáûòî÷íûõ êîîðäèíàò [1].
Îñíîâíàÿ èäåÿ ýòîãî ìåòîäà ñîñòîèò â èñêëþ÷åíèè çàâèñèìûõ âàðèà-
öèé, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé çàäà÷åé â îòëè÷èå îò íåëèíåéíîé çàäà÷è
èñêëþ÷åíèÿ ëèøíèõ êîîðäèíàò ïðè ââåäåíèè íåçàâèñèìûõ îáîáùåííûõ
êîîðäèíàò. Ïðè ýòîì îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü èñïîëüçîâàòü ãðîìîçäêèå
âûðàæåíèÿ äëÿ çàâèñèìûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû, òàê êàê íåò íåîáõîäèìîñòè
îòûñêèâàòü àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ çàâèñèìûõ êîîðäèíàò ÷åðåç
îáîáùåííûå. Ýòîò ìåòîä ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ ýôôåêòèâíîãî ðå-
øåíèÿ çàäà÷ äèíàìèêè ìíîãîçâåííîãî ìàíèïóëÿòîðà, â êîòîðûõ óðàâíå-
íèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâÿçåé íåðàçðåøèìû â ÿâíîì àíàëèòè÷åñêîì âèäå
îòíîñèòåëüíî çàâèñèìûõ êîîðäèíàò.
Ìåòîäîì, ïðåäëîæåííûì â [2], ðåøåíà çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòè è
ñòàáèëèçàöèè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ñõâàòà ìàíèïóëÿòîðà ñ äâóìÿ âðà-
ùàòåëüíûìè è îäíîé ïîñòóïàòåëüíîé êèíåìàòè÷åñêèìè ïàðàìè [3]. Ïðè
ýòîì ñõâàò îñóùåñòâëÿåò äâèæåíèå ïî ïàðàáîëîèäó âðàùåíèÿ.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 6 119
�������
�
����
Êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè ìàíèïóëÿòîðà èìåþò âèä [3, 4]
T I I m l
0 1 1
2
2
2
2 2 1
2 2 21
2
1
2
1
2
� � � � �( ) � ( ) � ( � sin � )� � � � � � �
� � �
1
2
3
2
1
2 2 2 2 2m s s s( ( � sin � � )� � � ,
� �m gs
3
cos��
Çäåñü
I I I I I Iz z z y y1 1 2 3
2
2 3
2
( ) ( ) cos ( ) sin� � �� � � � � ,
I I Ix x2 2 3
� � ,
ãäå I z1
, I z2
, I z3
, I y2
, I y3
— ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñåé z, y ñèñòåì,
ñâÿçàííûõ ñî çâåíüÿìè 1, 2, 3 â öåíòðàõ ìàññ; �, �
1
, s — êîîðäèíàòû
ñèñòåìû.
Óðàâíåíèÿ äëÿ ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ
x
q
y
q
z
2
2
2
2
2� �
âûðàçèì â êîîðäèíàòàõ ñèñòåìû-ìàíèïóëÿòîðà:
x s� sin sin� �
1
, y s� cos sin� �
1
, z h s� � cos�,
ãäå h — êîíñòðóêòèâíàÿ ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà. Òîãäà óðàâíåíèå ãåîìåòðè-
÷åñêîé ñâÿçè
s q h s2 2 2
sin ( cos ,� �� � �
�
â äèôôåðåíöèàëüíîì âèäå ðàçðåøåííîé îòíîñèòåëüíî �s, èìååò âèä
�
cos
cos sin
sin �s
s q s
q s
�
�
�
2 2
2 2
�
� �
� � �.
Êîîðäèíàòà�
1
— öèêëè÷åñêàÿ â ñìûñëå îïðåäåëåíèé [1, 5]. Êèíåòè÷åñêàÿ
ýíåðãèÿ ñèñòåìû ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ ñâÿçè èìååò âèä
T A s A s*
( , ) � ( , ) �� �
1
2
1
2
1 1
2
2
2
� � � � .
Çäåñü
A s I m l m s
1 1 2 2
2 2
3
2 2
( , ) ( ) sin sin� � � � �� � ,
A s I m l m s m
s q s
s q
2 2 2
2
3
2
3
2 2
2 2
( , ) ( )
cos
sin cos
� � �
�
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
sin �.
Á. Àòàæàíîâ
120 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 6
Ââåäÿ èìïóëüñ ïî öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòå �
1
,
p
T
A A p� � � �
��
��
� �
*
�
� �
1
1 1 1 1
1
,
ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ðàóñà:
R T p A
p
A
� � � � �
*
� �� �
1 2 2
2
2
1
1
2 2
� .
Ïóñòü íà ñèñòåìó äåéñòâóåò äèññèïàòèâíàÿ ñèëà Q D
�
�� � ñèëà âÿçêîãî
òðåíèÿ â ïîäøèïíèêå âîêðóã îñè âðàùåíèÿ ìåõàíèçìà 2 (ñì. ðèñóíîê).
Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìàíèïóëÿòîðà ñîãëàñíî [1] â ïåðåìåííûõ
Ðàóñà [5]:
d
dt
R R
B
R
s
Q
�
��
�
��
�
�
�
�
� � �
13
,
�p �0, � �s B�
13
�,
ãäå
B
s q s
q s
13
2 2
2 2
�
��
�
�
�
�
�
cos
cos sin
sin
�
� � �
�.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé äîïóñêàåò ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå, â ÷àñòíîñòè
�
�
�
2
, s hq� � 2 , p g
A
q
I I I m l m s
q
z y y
� � �
� � � �
10 1 2 3 2 2
2
3
2
,
Îá óñòîé÷èâîñòè è ñòàáèëèçàöèè ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 6 121
Z
h 1
2
3
x
y
s
�
�
�
êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèé
p
A
A
B
p
A
A
s s
2
1
2
1
13
2
1
2
1
2 2
0
�
��
�
��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
,
s q h s2 2 2
sin ( cos� �� � �
� .
Ââåäÿ âûðàæåíèÿ äëÿ âîçìóùåíèé
�
�
� �x
2
, s s� �
0
� , p p y� �
0
,
ãäå
s hq
0
2� , p g
A
q
�
10
,
ñîñòàâèì êâàçèëèíåéíûå óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ:
A x Dx Hy Mx K x x y
20 1
�� � ( , �, , )� � � � �� �� ,
� ( , �, , )y x x y��
2
� ,
� � ( , �, , )�� �B x x x y
130 3
�� .
Çäåñü �
1
, �
2
, �
3
— íåëèíåéíûå ÷ëåíû, � �
2 3
0 0 0 0 0( , , , ) ( , , , )y y� �� � ;
A I m l m q h m q
20 2 2 2 3
2
3
4
2� � �� ;
H m hq I
g
qA
z� �[ ]2 2
3
3
1
10
; K m g
m
A
hq� �
�
�
�
�
�
3
3
10
2
15
8
, ;
M m g h q
h h
q
I
g
q
� � �
�
�
�
�
�
�
�
3
2
2
2
2 2 ~
;
~
I I I I I m lz z y y� � � � �
2 3 2 3 2 2
2
.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ
A D M K
B
A D M KB
20
2
2
2
0
0 0
� �
�
�
�
� � �
�
� �
�
� � � � �( )
èìååò äâà íóëåâûõ êîðíÿ. Óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïî
îòäåëüíûì ïåðåìåííûì èìåþò âèä D 0, M KB� 0. Òîãäà âñå êîðíè õà-
ðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, êðîìå äâóõ íóëåâûõ, áóäóò èìåòü îòðèöà-
òåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè.
Èòàê, âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû Ëÿïóíîâà — Ìàëêèíà îá óñòîé-
÷èâîñòè â îñîáåííîì ñëó÷àå äâóõ íóëåâûõ êîðíåé [4].  ýòîì ñëó÷àå
Á. Àòàæàíîâ
122 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 6
ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå óñòîé÷èâî ïî ïåðåìåííûì s, p è àñèìïòîòè÷åñêè
óñòîé÷èâî ïî îòíîøåíèþ ê ïåðåìåííûì �, ��. Åñëè õîòÿ áû îäíî èç íåðà-
âåíñòâ èìååò ïðîòèâîïîëîæíûé çíàê, òî ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå ñõâàòà ìà-
íèïóëÿòîðà áóäåò íåóñòîé÷èâî (ñîãëàñíî òåîðåìå Ëÿïóíîâà î íåóñòîé÷è-
âîñòè ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ). Åñëè îòñóòñòâóåò äèññèïàòèâíàÿ ñèëà, òî
óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ âîçìîæíà ëèøü â êðèòè÷åñêîì ñëó÷àå
ïî Ëÿïóíîâó — äëÿ äâóõ íóëåâûõ è îäíîé ïàðû ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé [4].
Òîãäà íåðàâåíñòâî M KB� 0ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè
ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèå ìàíèïóëÿòîðà.
Òåïåðü ðàññìîòðèì â ïîñòàíîâêå [3] çàäà÷ó ñòàáèëèçàöèè ñòàöèîíàð-
íûõ äâèæåíèé ìàíèïóëÿòîðà ñ ïîçèöèé òåîðèè óïðàâëåíèÿ, ò. å. ñ ïðèëî-
æåíèåì óïðàâëÿþùèõ ñèë u ïî öèêëè÷åñêèì èìïóëüñàì. Óðàâíåíèÿ ïåð-
âîãî ïðèáëèæåíèÿ èìåþò âèä
� ���Bx,
Ax Mx Hy K��� � � �� 0,
�y u� ,
Äëÿ óïðàâëÿåìîé ïîäñèñòåìû, ïðèâåäåííîé ê íîðìàëüíîé ôîðìå
�x x�
1
,
�x M x H y
1 1 1
� � ,
�y u� ,
ïîëó÷èì äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñòàáèëèçèðóåìîñòè
rankW rank Q PQ P Q H� ! !( , , )
2
1
2
0,
ãäå M A M KB
1
1
� �
�
( ); H A H
1
1
�
�
;
P M H�
�
�
�
�
�
�
�
0 1 0
0
0 0 0
1 1
; Q �
�
�
�
�
�
�
�
0
0
1
; PQ H�
�
�
�
�
�
�
�
0
0
1
; P Q
H
2
1
0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Òîãäà ñóùåñòâóåò óïðàâëåíèå u m x m x m y� � �
1 2 1 3
, êîòîðîå ñòàáèëèçè-
ðóåò äâèæåíèå äî àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïî ÷àñòè ôàçîâûõ ïåðåìåí-
íûõ. Ïðè ýòîì, êîýôôèöèåíòû óïðàâëåíèÿ m
1
, m
2
, m
3
ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç
ïàðàìåòðû ñèñòåìû àíàëîãè÷íî [3], ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëè-
æåíèÿ ñîâïàäàþò:
m
a M a
1
1 1 3
� �
�( )
"
; m
H a M
2
1 2 1
� �
�( )
"
; m
H a
3
1
2
1
� �
"
;
Îá óñòîé÷èâîñòè è ñòàáèëèçàöèè ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 6 123
" �H
1
2
; a M M H
1 1 1
2
1
2
1 2 2� � � � ;
a M H M M H
2 1
2
1
2
1 1
2
1
2
2 2� � � � � ; a M H
3 1
2
1
2
� � .
Êàê è â [3], óñëîâèå " ! 0 ñîâïàäàåò ñ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ðàçðåøè-
ìîñòè çàäà÷è ñòàáèëèçàöèè.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàáëþäàåìîñòè â ñèñòåìå ïðè íàëè÷èè âîçìîæíî
ìåíüøåãî îáúåìà èçìåðèòåëüíîé èíôîðìàöèè î âîçìóùåíèÿõ ôàçîâûõ
ïåðåìåííûõ. Óñëîâèå ïîëíîé íàáëþäàåìîñòè ïî èçìåðåíèþ âîçìóùåíèÿ
ïîçèöèîííîé êîîðäèíàòû âûïîëíÿåòñÿ. Ïî èçìåðåíèÿì ïîçèöèîííîé ñêî-
ðîñòè è öèêëè÷åñêîãî èìïóëüñà óñëîâèå íàáëþäàåìîñòè íå âûïîëíåíî.
Ïîëíàÿ ñèñòåìà ñîîòâåòñòâóåò êðèòè÷åñêîìó ñëó÷àþ (îäèí íóëåâîé êî-
ðåíü), ïîýòîìó óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ ñõâàòà ìàíèïó-
ëÿòîðà óñòàíàâëèâàåòñÿ ïî òåîðåìå Ëÿïóíîâà—Ìàëêèíà îá óñòîé÷èâîñòè
â îñîáåííîì ñëó÷àå. Òîãäà óïðàâëåíèå u m x m x m y� � �
1 2 1 3
îáåñïå÷èâàåò
àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ïî ïîçèöèîííûì êîîðäèíàòàì è ñêîðîñòÿì,
öèêëè÷åñêèì èìïóëüñàì è óñòîé÷èâîñòü ïî êîîðäèíàòàì, ñîîòâåòñòâóþùèì
çàâèñèìûì ñêîðîñòÿì.
In the work the problem of stability and stabilization of manipulator motion is considered up to
the non-asymptotic stability on all variables of the multilink manipulator.
1. Øóëüãèí Ì. Ô. Î íåêîòîðûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ àíàëèòè÷åñêîé äèíà-
ìèêè è èõ èíòåãðèðîâàíèè//Òð. Ñðåäíåàçèéñêîãî óí-òà. — 1958. — Ñ. 144—183.
2. Êðàñèíñêèé À. ß. Î ñòàáèëèçàöèè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé ñèñòåì ñ öèêëè÷åñêèìè
êîîðäèíàòàìè. // ÏÌÌ. — 1992. — 56, âûï.6. — Ñ. 939—949.
3. Ìåõàíèêà ïðîìûøëåííûõ ðîáîòîâ: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âòóçîâ.  3-õ êí. / Ïîä ðåä. Ê. Â.
Ôðîëîâà, Å. È. Âîðîáüåâà. — Ì. : «Âûñøàÿ øêîëà», 1998. — 304 ñ.
4. ×åðíîóñêî Ô. Ë., Áîëîòíèê Í.Í., Ãðàäåöêèé Â.Ã. Ìàíèïóëÿöèîííûå ðîáîòû: äèíàìè-
êà, óïðàâëåíèå, îïòèìèçàöèÿ. — Ì. : Íàóêà, 1989. — 456 ñ.
5. Êðàñèíñêèé À. ß., Àòàæàíîâ Á., Õàéäàðîâ È. Ê. Ê óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ
äâèæåíèé ñèñòåì ñ èçáûòî÷íûìè êîîðäèíàòàìè // Ïðîáëåìû ìåõàíèêè. — 2002. —
¹ 6. — Ñ.3—8.
6. Ìàëêèí È. Ã. Òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. — Ì. : Íàóêà. — 1966. — 530 ñ.
7. Êðàñîâñêèé Í. Í. Ïðîáëåìà ñòàáèëèçàöèè óïðàâëÿåìûõ äâèæåíèé / Ìàëêèí È. Ã.
Òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. Äîïîëíåíèå 4. — Ì. : Íàóêà, 1966. — Ñ.475— 514.
Ïîñòóïèëà 05.03.08
ÀÒÀÆÀÍΠÁàõòèÿð, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàô. òåîðåòè÷åñêîé è ïðèêëàäíîé ìåõàíèêè
Íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà Óçáåêèñòàíà.  1976 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåðñèòåò.
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé – óñòîé÷èâîñòü, óïðàâëåíèå è ñòàáèëèçàöèÿ äâèæåíèé
ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì.
Á. Àòàæàíîâ
124 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 6
|