Двумерная интегро-дифференциальная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом
Предложена модель для расчета двумерного распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом машины непрерывного литья заготовок. Моделирование выполнено в два этапа: на первом этапе решена система интегро-диффе...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2007 |
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101664 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Двумерная интегро-дифференциальная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом / В.Ф. Евдокимов, А.В. Жильцов, И.П. Кондратенко, Е.И. Петрушенко, А.П. Ращепкин // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 2. — С. 3-15. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860164774210306048 |
|---|---|
| author | Евдокимов, В.Ф. Жильцов, А.В. Кондратенко, И.П. Петрушенко, Е.И. Ращепкин, А.П. |
| author_facet | Евдокимов, В.Ф. Жильцов, А.В. Кондратенко, И.П. Петрушенко, Е.И. Ращепкин, А.П. |
| citation_txt | Двумерная интегро-дифференциальная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом / В.Ф. Евдокимов, А.В. Жильцов, И.П. Кондратенко, Е.И. Петрушенко, А.П. Ращепкин // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 2. — С. 3-15. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Предложена модель для расчета двумерного распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом машины непрерывного литья заготовок. Моделирование выполнено в два этапа: на первом этапе решена система интегро-дифференциальных уравнений для вихревых токов в сечениях массивных проводников и токов намагниченности на границе магнитопровода, на втором — по раcсчитанным токам найдено распределение электродинамических усилий в сечении заготовки.
Запропоновано модель для розрахунку двовимірного розподілу вихрових струмів та електродинамічних зусиль у системі кристалізатор — індукційний перемішувач із масивним магнітопроводом машини безперервного лиття заготовок. Моделювання здійснено у два етапи: на першому етапі розв’язано систему інтего-диференціальних рівнянь для вихрових струмів у перерізах масивних провідників і струмів намагніченості на межі магнітопроводу, на другому — за розрахованими струмами знайдено розподіл електродинамічних зусиль у перерізі заготівки.
The model of two-dimensional distribution of eddy currents and electrodynamic forces is developed for the system of crystallizer — two-winding induction mixer with large magnetic circuit. The simulation is made by two stages: at the first stage, the integral differential equations are solved relative to eddy currents defining a magnetic field in sections of large conductors and magnetization currents on the boundaries of magnetic circuit section. At the second stage the magnetic field and electrodynamic forces in liquid steel are calculated by the current distribution obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:56:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.3:519.711.3:517.958:621.313
Â. Ô. Åâäîêèìîâ *, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû,
À. Â. Æèëüöîâ *, êàíä. òåõí. íàóê, È. Ï. Êîíäðàòåíêî **, ä-ð òåõí. íàóê,
Å. È. Ïåòðóøåíêî *, êàíä. òåõí. íàóê, À. Ï. Ðàùåïêèí **, ä-ð òåõí. íàóê
*Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû,
(03164, Êèåâ-164, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë.: (044) 4249160, E-mail: azhilt@mail.ru);
**Èí-ò ýëåêòðîäèíàìèêè ÍÀÍ Óêðàèíû
(03680, Êèåâ-57, ïð-ò Ïîáåäû 56,
òåë.: (044) 4242414, E-mail: dep@ied.org.ua)
Äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü
ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ
óñèëèé â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð — èíäóêöèîííûé
ïåðåìåøèâàòåëü ñ ìàññèâíûì ìàãíèòîïðîâîäîì
Ïðåäëîæåíà ìîäåëü äëÿ ðàñ÷åòà äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðî-
äèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð — èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü ñ
ìàññèâíûì ìàãíèòîïðîâîäîì ìàøèíû íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ çàãîòîâîê. Ìîäåëèðîâàíèå
âûïîëíåíî â äâà ýòàïà: íà ïåðâîì ýòàïå ðåøåíà ñèñòåìà èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé äëÿ âèõðåâûõ òîêîâ â ñå÷åíèÿõ ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ è òîêîâ íàìàãíè÷åí-
íîñòè íà ãðàíèöå ìàãíèòîïðîâîäà, íà âòîðîì — ïî ðàcñ÷èòàííûì òîêàì íàéäåíî ðàñïðå-
äåëåíèå ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â ñå÷åíèè çàãîòîâêè.
Çàïðîïîíîâàíî ìîäåëü äëÿ ðîçðàõóíêó äâîâèì³ðíîãî ðîçïîä³ëó âèõðîâèõ ñòðóì³â òà
åëåêòðîäèíàì³÷íèõ çóñèëü ó ñèñòåì³ êðèñòàë³çàòîð — ³íäóêö³éíèé ïåðåì³øóâà÷ ³ç ìàñèâ-
íèì ìàãí³òîïðîâîäîì ìàøèíè áåçïåðåðâíîãî ëèòòÿ çàãîòîâîê. Ìîäåëþâàííÿ çä³éñíåíî ó
äâà åòàïè: íà ïåðøîìó åòàï³ ðîçâ’ÿçàíî ñèñòåìó ³íòåãî-äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü äëÿ
âèõðîâèõ ñòðóì³â ó ïåðåð³çàõ ìàñèâíèõ ïðîâ³äíèê³â ³ ñòðóì³â íàìàãí³÷åíîñò³ íà ìåæ³
ìàãí³òîïðîâîäó, íà äðóãîìó — çà ðîçðàõîâàíèìè ñòðóìàìè çíàéäåíî ðîçïîä³ë åëåêòðî-
äèíàì³÷íèõ çóñèëü ó ïåðåð³ç³ çàãîò³âêè.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü, âèõðåâûå òîêè, ýëåêòðîäèíàìè-
÷åñêèå óñèëèÿ, èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü, êðèñòàëëèçàòîð, ìàññèâíûé ìàãíèòîïðîâîä.
 ðàáîòàõ [1—6] ðàññìîòðåíà è ðåàëèçîâàíà äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåí-
öèàëüíàÿ ìîäåëü äëÿ ðàñ÷åòà âèõðåâûõ òîêîâ (ÂÒ) è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ
óñèëèé (ÝÄÓ) â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð — èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü
(ÈÏ) ìàøèíû íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ çàãîòîâîê (ÌÍËÇ) ïðè óñëîâèè, ÷òî
ìàãíèòîïðîâîä âûïîëíåí èç øèõòîâàííîé ñòàëè. Îäíàêî â ðÿäå ñëó÷àåâ â
óêàçàííûõ óñòðîéñòâàõ âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â çàìåíå øèõòîâàííîãî
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 2 3
����������� ��
���
��
�
�
����
ìàãíèòîïðîâîäà ìàññèâíûì [7]. Ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ ó÷èòûâàòü âëèÿíèå
âèõðåâûõ òîêîâ, âîçíèêàþùèõ â ïîñëåäíåì, íà ðàñïðåäåëåíèå ÝÄÓ â
ñèñòåìå, â ÷àñòíîñòè â æèäêîé çàãîòîâêå.
Ïðè èçó÷åíèè ïðîòåêàþùèõ â êðèñòàëëèçàòîðå ÌÍËÇ ïðîöåññîâ âîç-
íèêàåò íåîáõîäèìîñòü ðåøåíèÿ ñâÿçàííûõ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé è ãèäðî-
äèíàìè÷åñêîé çàäà÷. Äëÿ èõ ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü ñëåäóþ-
ùèå ïîäçàäà÷è: 1) íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ÂÒ è ÝÄÓ â æèäêîé çàãîòîâêå íà
çàäàííîì â íåé ïîëå ñêîðîñòåé; 2) íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé â æèä-
êîé çàãîòîâêå íà çàäàííîì ïîëå âíåøíèõ ñèë, â òîì ÷èñëå ýëåêòðîäè-
íàìè÷åñêèõ.
Ðàññìàòðèâàåìàÿ äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ÂÒ è ÝÄÓ â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð — äâóõîáìîòî÷íûé ÈÏ ñ
ìàññèâíûì ìàãíèòîïðîâîäîì íà çàäàííîì ïîëå ñêîðîñòåé â æèäêîé çàãî-
òîâêå îáîáùàåò ïðåäëîæåííóþ â ðàáîòàõ [1—5] ìîäåëü. Îíà ïîçâîëÿåò
èññëåäîâàòü âëèÿíèå òåõíîëîãè÷åñêèõ è êîíñòðóêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ ñèñ-
òåìû êðèñòàëëèçàòîð — ÈÏ íà ïðîöåññ ïåðåìåøèâàíèÿ æèäêîãî ìåòàëëà ñ
áîëåå ïîëíûì ó÷åòîì ðåàëüíîé ãåîìåòðèè ñèñòåìû è ýëåêòðîôèçè÷åñêèõ
ïàðàìåòðîâ ìàòåðèàëîâ.
Èñõîäíûå äàííûå äëÿ ðàçðàáîòêè ìîäåëè. Íà ðèñ. 1 ïîêàçàíî ñå÷å-
íèå êîíñòðóêöèè ñèñòåìû êðèñòàëëèçàòîð — ÈÏ ñ ìàññèâíûì ìàãíè-
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. Â. Æèëüöîâ, È. Ï. Êîíäðàòåíêî, Å. È. Ïåòðóøåíêî, À. Ï. Ðàùåïêèí
4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 2
1
2
3
4
5
7
8
x r( )
y
6
Ðèñ. 1. Ñå÷åíèå ìîäåëè ñèñòåìû êðèñòàëëèçàòîð — ÈÏ ñ ìàññèâíûì ìàãíèòîïðîâîäîì: 1 —
æèäêàÿ ñòàëüíàÿ çàãîòîâêà; 2 — ãèëüçîâûé ìåäíûé êðèñòàëëèçàòîð; 3 — îáå÷àéêà èç
íåìàãíèòíîé ñòàëè; 4 — êîðïóñ êðèñòàëëèçàòîðà èç íåìàãíèòíîé ñòàëè; 5 — àðìàòóðà èç
íåìàãíèòíîé ñòàëè; 6 — ìàññèâíûé ìàãíèòîïðîâîä; 7 è 8 — òðåõôàçíûå îáìîòêè ñ äâóìÿ
(âòîðàÿ) è îäíîé (ïåðâàÿ îáìîòêà) ïàðàìè ïîëþñîâ
òîïðîâîäîì ÌÍËÇ. Ïåðâàÿ îáìîòêà âûïîëíåíà ñ îäíîé ïàðîé ïîëþñîâ,
âòîðàÿ — ñ äâóìÿ. Îáìîòêè ðàçìåùåíû íà âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè ãëàä-
êîãî ìàññèâíîãî ìàãíèòîïðîâîäà 6. Ñå÷åíèÿ ïåðâîé è âòîðîé îáìîòîê
ïëîñêîñòüþ xOy äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò xyz (îñü z ñîâìåùåíà ñ
îñüþ ñèñòåìû, à îñè x è y — ñ îñÿìè ñèììåòðèè ñå÷åíèÿ) èìåþò ôîðìó
êîëåö (ðèñ. 2). Êàæäàÿ èç îáìîòîê èìååò òðåõôàçíîå èñïîëíåíèå.
 ðàçðàáîòàííîé ìîäåëè ðàñïðåäåëåíèÿ ÂÒ è ÝÄÓ â ñèñòåìå òîêè â
âèòêàõ êàòóøåê îáåèõ îáìîòîê ñ÷èòàþòñÿ çàäàííûìè (ðàññìàòðèâàåòñÿ
ðåæèì òîêà). Ìîäåëü äîïóñêàåò ëþáîé çàêîí èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè ýòèõ
òîêîâ. Îäíàêî íàèáîëåå ïðîñòî ðåàëèçóåòñÿ è ïðåäñòàâëÿåò áîëüøîé ïðàê-
òè÷åñêèé èíòåðåñ ñèììåòðè÷íàÿ òðåõôàçíàÿ ñèñòåìà ñèíóñîèäàëüíûõ òî-
êîâ.  ýòîì ñëó÷àå ïðè ïðèíÿòûõ ïîëîæèòåëüíûõ íàïðàâëåíèÿõ òîêè â
âèòêàõ ïåðâîé, âòîðîé è òðåòüåé ôàçû ïåðâîé îáìîòêè îïðåäåëÿþòñÿ
ñîîòíîøåíèÿìè âèäà
i t I t
A
W
m
W
1 1( ) sin� � , i t I t
B
W
m
W
1 1
1
2
3
( ) sin� �
�
�
�
�
� �
�
,
i t I t
C
W
m
W
1 1
1
2
3
( ) sin�
�
�
�
�
� �
�
,
à âòîðîé îáìîòêè — ñîîòíîøåíèÿìè
i t I t
A
W
m
W
2 2( ) sin� � , i t I t
B
W
m
W
2 2
2
2
3
( ) sin� �
�
�
�
�
� �
�
,
Äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 2 5
x r( )
y
1
2
3
5
4
8
A
1
A
1
B
1
B
1
C
1
C
1
x r( )
y
1
2
3
5
7
4
A
11
A
11
A
12
A
12
B
11
B
11
B
12
B
12
C
11
C
11
C
12
C
12
à á
Ðèñ. 2. Ñîåäèíåíèå êàòóøåê ïåðâîé (à) è âòîðîé (á) îáìîòîê
i t I t
C
W
m
W
2 2
2
2
3
( ) sin�
�
�
�
�
� �
�
,
ãäå � ��2 f ; f — ÷àñòîòà òîêîâ â êàòóøêàõ îáìîòêè; I m
W
1 , I m
W
2 — àìïëèòóäà
ôàçíûõ òîêîâ â êàòóøêàõ ïåðâîé è âòîðîé îáìîòîê;�
1
1 1� �{ ; }; ïðè�
1
1� è
ðàñïîëîæåíèè ôàçíûõ êàòóøåê, ïîêàçàííîì íà ðèñ. 2, à, íàïðàâëåíèå âðà-
ùåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ áóäåì ñ÷èòàòü ïðÿìûì; ïðè �
1
1� � è ðàñïîëî-
æåíèè êàòóøåê, ïîêàçàííîì íà ðèñ. 2, à, íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ ìàãíèòíî-
ãî ïîëÿ áóäåò îáðàòíûì; �
2
— òî æå äëÿ âòîðîé îáìîòêè.
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: ñå÷åíèå ïëîñêîñòüþ x0y çàãîòîâêè —
D
1
, ãèëüçû — D
2
, îáå÷àéêè — D
3
, êîðïóñà — D
4
, àðìàòóðû — D
5
, îáìî-
òîê — DW ; D
6
— ñå÷åíèå ìàññèâíîãî ìàãíèòîïðîâîäà, âíóòðåííåé ãðàíè-
öåé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ êîíòóð L
6
�
, à âíåøíåé — êîíòóð L
6
; L L L
6 6 6
� �
�
; D �
—
îáëàñòü íå çàíÿòàÿ ïðîâîäíèêàìè; D — ñå÷åíèå âñåõ ìàññèâíûõ íåôåð-
ðîìàãíèòíûõ ïðîâîäíèêîâ, D Dm
m
�
�1
5
� .
Ãðàíèöà ìåæäó çàãîòîâêîé è ãèëüçîé ìîæåò áûòü êàê èäåàëüíî ïðî-
âîäÿùåé, òàê è èäåàëüíî èçîëèðîâàííîé. Åñëè óêàçàííàÿ ãðàíèöà èäåàëü-
íî ïðîâîäÿùàÿ, òî çàãîòîâêó è ãèëüçó ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê îäíî ìàñ-
ñèâíîå òåëî ñ íåîäíîðîäíîé ïðîâîäèìîñòüþ. Åñëè óêàçàííàÿ ãðàíèöà —
èäåàëüíûé èçîëÿòîð, òî çàãîòîâêó è ãèëüçó ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê äâà
ðàçíûõ òåëà. Äàëåå äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî âòî-
ðîé ñëó÷àé.
Óäåëüíûå ïðîâîäèìîñòè ìàòåðèàëîâ çàãîòîâêè �
1
, ãèëüçû �
2
, îáå-
÷àéêè �
3
, êîðïóñà �
4
, àðìàòóðû �
5
, ìàãíèòîïðîâîäà �
6
ñ÷èòàåì çàäàííûìè
è ïîñòîÿííûìè. Àáñîëþòíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ìàòåðèàëà ìàãíè-
òîïðîâîäà � �const çàäàíà. ×àñòîòà f òîêîâ â îáìîòêàõ ÈÏ ìîæåò èçìåíÿ-
òüñÿ â èíòåðâàëå1 15� �f Ãö.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñå÷åíèè
ñèñòåìû. Êîíå÷íàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïî çàäàííîé ãåîìåòðèè
ñèñòåìû, ýëåêòðîìàãíèòíûì õàðàêòåðèñòèêàì ìàòåðèàëîâ, èç êîòîðûõ èç-
ãîòîâëåíû êîíñòðóêòèâíûå ýëåìåíòû, ýëåêòðè÷åñêîìó ñîåäèíåíèþ ýëå-
ìåíòîâ, çàäàííûì òîêàì â îáìîòêàõ íàéòè ðàñïðåäåëåíèå âèõðåâûõ òîêîâ
è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â ñå÷åíèè ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ, â òîì
÷èñëå è â æèäêîé ñòàëè. Äëÿ óäîáñòâà âûâîäà èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ýòó îáùóþ çàäà÷ó ðàçîáüåì íà äâå ïîäçàäà÷è:
1) ïî çàäàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ òîêîâ â îáìîòêàõ è âèõðåâûõ òîêîâ â
ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêàõ íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñâÿçàííûõ òîêîâ íàìàã-
íè÷åííîñòè íà ãðàíèöàõ ñå÷åíèÿ ìàãíèòîïðîâîäà;
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. Â. Æèëüöîâ, È. Ï. Êîíäðàòåíêî, Å. È. Ïåòðóøåíêî, À. Ï. Ðàùåïêèí
6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 2
2) ïî çàäàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ òîêîâ â îáìîòêàõ è òîêîâ íàìàã-
íè÷åííîñòè íà ãðàíèöàõ ñå÷åíèÿ ìàãíèòîïðîâîäà íàéòè ðàñïðåäåëåíèå
âèõðåâûõ òîêîâ â ñå÷åíèè ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ.
 âûáðàííîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è áóäåì ïðåíåáðåãàòü òîêàìè ëîáîâûõ
÷àñòåé îáìîòîê è ñ÷èòàòü, ÷òî âåêòîðû ïëîòíîñòè òîêà â îáìîòêàõ ��W
èìåþò âèä
�� �W z WQ t Q t( , ) ( , )�e ,
ãäå �W Q t( , ) — ïðîåêöèÿ âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà â îáìîòêàõ íà îñü z,
êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò êîîðäèíàòû z. Òîãäà
�� �( , ) ( , )Q t Q tz�e , (1)
A e( , ) ( , )Q t A Q tz� , (2)
B e e( , ) ( , ) ( , )Q t B Q t B Q tx x y y�
, (3)
V e e( , ) ( , ) ( , )Q t V Q t V Q tx x y y�
, (4)
ãäå A Q t( , ) — ïðîåêöèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà íà îñü z, íå çàâèñÿùàÿ îò z;
B Q tx ( , ) è B Q ty ( , ) — ïðîåêöèè âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè B( , )Q t íà îñè
x è y, íå çàâèñÿùèå îò z; � ( , )Q t — ïðîåêöèÿ âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà â
ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêàõ íà îñü z, íå çàâèñÿùàÿ îò z; V Q tx ( , ) è V Q ty ( , ) —
ïðîåêöèè âåêòîðà ñêîðîñòè V íà îñè x è y, íå çàâèñÿùèå îò z.
Ïåðåõîäÿ ê ðåøåíèþ ïåðâîé ïîäçàäà÷è, ñôîðìóëèðóåì êðàåâóþ çàäà-
÷ó äëÿ ðàñ÷åòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïëîñêîñòè x0y (ñì. ðèñ. 1):
� A Q tW� �� �
0
( , ), Q DW� ;
� A Q tm� �� �
0
( , ), Q Dm� , m �1 2 5, ,..., ;
(5)
� A Q t� ���
6
( , ), Q D�
6
;
� A �0, Q D�
�
,
ãäå �m M t( , ) — ïëîòíîñòü òîêà â òî÷êå Q Dm� , m �1 2 6, ,..., , â ìîìåíò âðå-
ìåíè t; �
0
— ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ, � �
0
7
4 10� � Ãí/ì.
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà íà ãðàíèöå L
6
ìàãíè-
òîïðîâîäà çàïèøåì òàê:
A Q t A Q t�
�( , ) ( , ) íà L
6
, (6)
� � �
�
1 1
0
�
�
� �
�
�
A Q t
n
A Q t
nQ Q
( , ) ( , )
íà L
6
,
(7)
ãäå A Q t
( , ) è A Q t�
( , ) — ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ z-êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïî-
òåíöèàëà ïðè ñòðåìëåíèè òî÷êè Q ê ãðàíèöå L
6
ñîîòâåòñòâåííî ñ âíåøíåé
Äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 2 7
è âíóòðåííåé ñòîðîíû ïî îòíîøåíèþ ê ôåððîìàãíåòèêó; � �A Q t nQ
�
( , ) / è
� �A Q t nQ
( , ) / — òî æå äëÿ ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ïî íàïðàâ-
ëåíèþ âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê ãðàíèöå ôåððîìàãíåòèêà íîðìàëè nQ .
 ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå íà áåñêîíå÷íîñòè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
A ( )� �0 . (8)
Ïîñêîëüêó òîêè ïðÿìîãî è îáðàòíîãî ïðîâîäîâ â ñå÷åíèè êàæäîé êàòóøêè
îáìîòêè DW ðàâíû ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíû ïî íàïðàâëåíèþ,
ïîëíûé òîê â ñå÷åíèè DW ðàâåí íóëþ:
I M t dsW W M
DW
� �
�
� ( , ) 0 . (9)
Ïîñêîëüêó ìàññèâíûå ïðîâîäíèêè íå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè êàêîé-ëèáî
öåïè, òîê â ñå÷åíèè êàæäîãî èç íèõ òàêæå ðàâåí íóëþ:
I M t dsm m M
Dm
� �
�
� ( , ) 0, m �1 2 6, ,..., . (10)
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñ÷èòàòü ðàñïðåäåëåíèå òîêîâ â ñèñòåìå çàäàííûì
è óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèÿì (9), (10), òî äëÿ ðàñ÷åòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ â
ñå÷åíèè, ïîêàçàííîì íà ðèñ.1, íåîáõîäèìî ðåøèòü óðàâíåíèÿ (5) ñ ãðàíè÷-
íûìè óñëîâèÿìè (6), (7) è óñëîâèåì íà áåñêîíå÷íîñòè (8).
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñå÷åíèè ñèñòåìû. Áóäåì
èñêàòü ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé (5) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿ-
ìè (6), (7) è óñëîâèåì íà áåñêîíå÷íîñòè (8) â âèäå ñóììû
A Q t A Q t A Q t( , ) ( , ) ( , )�
1 2
, (11)
ãäå A Q t
1
( , ) — ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèé (5); A Q t
2
( , ) — ðåøåíèå êðàåâîé
çàäà÷è äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé.
×àñòíîå ðåøåíèå A Q t
1
( , ) èìååò âèä
A Q t M t
r
dsW
QM
M
DW
1
0
2
1
( , ) ( , ) ln�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
0
1
5
6
2
1
2
1
m
m
QM
M
D QM
M
D
M t
r
ds M t
r
ds
m
( , ) ln ( , ) ln
6
�
, (12)
ãäå rQM — ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Q äî òî÷êè M.
Ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ A Q t
2
( , ). Ïîäñòàâèâ A Q t( , ) â âèäå (11)
â óðàâíåíèÿ (5) è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (6), (7), ïîëó÷èì
� A
2
0� , Q D D D DW� � � �
�
6
, (13)
A A
2 2
�
� , Q L�
6
, (14)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. Â. Æèëüöîâ, È. Ï. Êîíäðàòåíêî, Å. È. Ïåòðóøåíêî, À. Ï. Ðàùåïêèí
8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 2
� � �
�
�
1 1
0
2 2 0
0
1
�
�
� �
�
�
� �
� �
�
�
A Q t
n
A Q t
n
A Q t
nQ Q
( , ) ( , ) ( , )
Q
, Q L�
6
.
(15)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî A
1
0( )� � , èç (11) ñëåäóåò A
2
0( )� � .
Ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé (13) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
(14), (15) áóäåì èñêàòü â âèäå ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ, ðàñïðåäåëåííîãî
íà ãðàíèöå ñå÷åíèÿ ìàãíèòîïðîâîäà L
6
:
A Q t M t
r
dl
QM
M
L
2
0
2
1
6
( , ) ( , ) ln�
�
�
�
� .
(16)
Çäåñü � ( , )Q t — ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ïðîñòîãî ñëîÿ òîêîâ íàìàã-
íè÷åííîñòè â òî÷êå Q â ìîìåíò âðåìåíè t.
Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó L
6
ïðîèçâîäíàÿ � �A Q t nQ2
( , ) / ïðåòåð-
ïåâàåò ñêà÷îê:
�
�
�
�
�
�
�
A Q t
n
A Q t
n
Q t
Q Q
2 2 0
� �
( , ) ( , )
( , ) ,
�
�
�
�
�
�
�
A Q t
n
A Q t
n
Q t
Q Q
2 2 0
�
�
( , ) ( , )
( , ) .
(17)
Çäåñü ïðÿìîå çíà÷åíèå íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî
ñëîÿ òîêîâ èìåeò âèä
�
�
�
�
�
A Q t
n
M t
r
dl
Q
Q QM
QM
M
L
2 0
2
2
6
( , )
( , )
( , )
�
�
n r
,
ãäå � �A Q t nQ2
( , ) / è � �A Q t nQ2
�
( , ) / — ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ íîðìàëüíîé
ïðîèçâîäíîé îò ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ òîêîâ, êîãäà òî÷êà Q ñòðåìèòñÿ
ê ãðàíèöå L
6
ñîîòâåòñòâåííî ñî ñòîðîíû ìàãíèòîïðîâîäà è ñî ñòîðîíû
îêðóæàþùåé ìàãíèòîïðîâîä ñðåäû.
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (17) äëÿ íîðìàëüíûõ ïðîèçâîäíûõ â ãðàíè÷íîå
óñëîâèå (15), ïîëó÷èì
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( , )
( , ) ( , )
Q t
A Q t
n
A Q t
nQ Q
� �
2 2
0
2
0
1
, Q L�
6
, (18)
ãäå � � � � �� �
( ) / ( )
0 0
. Ïîäñòàâèâ â (18) âûðàæåíèÿ � �A Q t nQ1
( , ) / è
� �A Q t nQ2
( , ) / , ïîëó÷èì
�
�
�
�
�
�
�( , ) ( , )
( , )
( , )
(
Q t M t
r
dl M t
Q QM
QM
M
L m
m� �
� �
�
n r n
2
1
5
6
Q QM
QM
M
D
r
ds
m
, )r
2�
Äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 2 9
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
6 2
6
( , )
( , )
( , )
( , )
M t
r
ds M t
r
Q QM
QM
M
D
W
Q QMn r n r
QM
M
D
ds
W
2�
, Q L�
6
.
(19)
Ñèñòåìó óðàâíåíèé (19) ìîæíî ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü, åñëè ó÷åñòü,
÷òî ãðàíèöû ìàãíèòîïðîâîäà L
6
è L
6
�
ÿâëÿþòñÿ îêðóæíîñòÿìè [1]:
�
�
� � �
( , ) ( , )
( , )
( , )
(
Q t M t
r
dl M t
Q QM
QM
M
L m
m� �
�
��
� �
n r
2
1
5
6
n rQ QM
QM
M
D
r
ds
m
, )
2�
�
�
�
� �
0
6 2 2
6
( , )
( , )
( , )
( , )
M t
r
ds M t
r
d
Q QM
QM
M
D
W
Q QM
QM
n r n r
sM
DW
,
�
Q L�
6
;
�
�
� � �
�
�
� �
� �( , ) ( , )
( , )
( , )
(
Q t M t
r
dl M t
Q QM
QM
M
L m
m
n r
2
1
5
6
n rQ QM
QM
M
D
r
ds
m
, )
2�
�
�
�
� �
0
6 2 2
6
( , )
( , )
( , )
( , )
M t
r
ds M t
r
d
Q QM
QM
M
D
W
Q QM
QM
n r n r
sM
DW
�
, Q L�
�
6
.
(20)
Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òî-
êîâ â ñå÷åíèÿõ ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ â ñèñòåìå ïðè çàäàííûõ òîêàõ
íàìàãíè÷åííîñòè íà ãðàíèöàõ ñå÷åíèÿ ìàãíèòîïðîâîäà.  ñå÷åíèÿõ
ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ âûïîëíÿåòñÿ çàêîí Îìà, êîòîðûé çàïèøåì â âèäå
� �
1 1
( , ) [ ( , ) [ ( ), ( , )] ]Q t E Q t Q Q t�
V B , Q D�
1
;
� �m mQ t E Q t( , ) ( , )� , Q Dm� , m �2 3 6, ,..., . (21)
 ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå V è B èìåþò âèä (4) è (3). Ïîýòîìó
[ , ] ( )V B e� �z x y y xV B V B
è ñëåäîâàòåëüíî,
[ ( ), ( , )] ( ) ( , ) ( ) ( , )V BQ Q t V Q B Q t V Q B Q tx y y x� � .
Èç óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà rot E B� �� �/ t è ñîîòíîøåíèÿ B A� rot ïî-
ëó÷àåì
E
A
=
t
� �
�
�
�grad ,
ãäå � — ñêàëÿðíûé ýëåêòðè÷åñêèé ïîòåíöèàë. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â
ñå÷åíèè ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ ñ ó÷åòîì (2)
E Q t
A Q t
t
U Q t( , )
( , )
( , )� �
�
�
,
(22)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. Â. Æèëüöîâ, È. Ï. Êîíäðàòåíêî, Å. È. Ïåòðóøåíêî, À. Ï. Ðàùåïêèí
10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 2
ãäå
U Q t
Q t
z
U t( , )
( , )
( )� � �
��
�
, Q Dm� , m �1 2 6, ,..., ;
U t( ) — íàïðÿæåíèå, ïðèõîäÿùååñÿ íà åäèíèöó äëèíû ñîîòâåòñòâóþùåãî
ìàññèâíîãî ïðîâîäíèêà.
Ïîäñòàâëÿÿ â (22) âûðàæåíèå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A â âèäå ñóììû
(11), ãäå A Q t
1
( , ) èìååò âèä (12), à A Q t
2
( , ) — âèä (16), è, ó÷èòûâàÿ ðàâåíñò-
âà (21), ïîëó÷èì ñèñòåìó èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ (èíòåãðàëüíûõ ïî
ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì, äèôôåðåíöèàëüíûõ ïî âðåìåíè) óðàâíå-
íèé, ìîäåëèðóþùóþ ðàñïðåäåëåíèå ÂÒ â ñå÷åíèè ðàññìàòðèâàåìîé ìàã-
íèòíîé ñèñòåìû:
�
��
�
�
�
�
�
�
1
1
1
2
5
1
1
( , )
( , ) ln ( , ) l
Q t
t
M t
r
ds
t
M t
QM
M
D m
m
� �
�
n
1
r
ds
QM
M
Dm
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
0
6
1 1
6
6
t
M t
r
ds
t
M t
r
dl
QM
M
D QM
M
L
( , ) ln ( , ) ln
� �
�
�
�
�
� �t
M t
r
ds U t Q Q tW
QM
M
DW
( , ) ln ( ) [ ( ), ( , )]
1 1 1
1
V B , Q D�
1
;
�
�
�
�
��
�
�
�
t
M t
r
ds
Q t
t
M t
QM
M
D
q
q m
m1
2
5
1
1
( , ) ln
( , )
( , ) l
� �
�
n
1
r
ds
QM
M
Dm
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
0
6
1 1
6
6
t
M t
r
ds
t
M t
r
dl
QM
M
D QM
M
L
( , ) ln ( , ) ln
� �
�
�
�
�
�t
M t
r
ds U tW
QM
M
D
q
W
( , ) ln ( )
1 1
, Q Dq� , q �2 3 5, ,..., ;
(23)
�
�
�
�
�
�
t
M t
r
ds
t
M t
r
ds
QM
M
D m
m
QM
M
Dm
1
2
5
1 1
1
( , ) ln ( , ) ln
� � �
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
6
6 0
6
1 1
6
( , )
( , ) ln ( , ) ln
Q t
t
M t
r
ds
t
M t
QM
M
D
r
dl
QM
M
L
6
�
�
� �
�
�
�
�
�t
M t
r
ds U tW
QM
M
DW
( , ) ln ( )
1 1
6
, Q D�
6
,
Äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 2 11
ãäå � � ��
0
2/ ( );U tq ( ), q �1 2 6, ,..., , — íàïðÿæåíèå, ïðèõîäÿùååñÿ íà åäèíèöó
äëèíû ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàññèâíîãî ïðîâîäíèêà, êàê ôóíêöèÿ âðåìåíè.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (23) çàïèñàíà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ãèëüçà è çàãîòîâêà èçîëè-
ðîâàíû îäíà îò äðóãîé.
Ïîëíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðå-
âûõ òîêîâ â ñå÷åíèÿõ ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ â ñèñòåìå. Èíòåãðàëüíûå
óðàâíåíèÿ (20) ïîëó÷åíû â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå âèõðåâûõ
òîêîâ â ñå÷åíèè ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ èçâåñòíî. Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëü-
íûå óðàâíåíèÿ (23) ïîëó÷åíû ïðè çàäàííûõ òîêàõ íàìàãíè÷åííîñòè íà ãðàíè-
öàõ ñå÷åíèÿ ìàãíèòîïðîâîäà L
6
. Îáúåäèíèâ ýòè óðàâíåíèÿ â îäíó ñèñòåìó,
ïîëó÷èì ïîëíóþ äâóìåðíóþ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíóþ ìîäåëü ðàñïðåäå-
ëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â ñå÷åíèÿõ ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ â ñèñòåìå ñ æèä-
êèìè ïðîâîäíèêàìè. Äëÿ êðàòêîñòè çàïèøåì åå â îïåðàòîðíîé ôîðìå:
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
2
5
0
1 1 1 1 6
( , )Q t
t
T
t
T
t
TD D
m
D D m D Dm
�
� 6
1 6
�
�
�
�
t
TD L
� �
�
�
�
� �t
T U t Q Q tD D WW1
1 1
1
( ) [ ( ), ( , )]V B , Q D�
1
;
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
t
T
Q t
t
T
t
TD D
q
q m
D D m D Dq q m q1 6
1
2
5
0
�
�
( , )
6
6
�
�
�
�
t
TD Lq
� �
�
�
�
�t
T U tD D W qq W
1
( ), Q Dq� , q �2 3 5, ,..., ;
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
t
T
t
T
Q t
t
TD D
m
D D q D Dq6 1 6 6 6
1
2
5
6
6 0
�
�
( , )
6
6 6
�
�
�
�
t
TD L
� �
�
�
�
�t
T U tD D WW6
1
6
( ), Q D�
6
;
� � �
�
� � � �
�
�
�P P P Q t P
L D
m
L D m L D Lm6 1 6 6 6 6
1
2
5
0
6
� �
�
�
�
�
�
� ( , )
L L D WP
W6 6
�
�� � ,
Q L�
�
6
,
� � �
�
�
�P P P Q t P
L D
m
L D m L D Lm6 1 6 6 6 6
1
2
5
0
6
� �
�
�
�
�
�
� ( , )
L L D WP
W6 6
�
�
�� � ,
Q L�
6
. (24)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. Â. Æèëüöîâ, È. Ï. Êîíäðàòåíêî, Å. È. Ïåòðóøåíêî, À. Ï. Ðàùåïêèí
12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 2
ãäå ñòðóêòóðà èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ èìååò âèä
T M t
r
dsD D m m
QM
M
D
q m
m
� ��
�
( , )ln ,
1
Q Dq� , q m, , , ...,�1 2 6 ;
T M t
r
dlD L
QM
M
L
q 6
6
1
� ��
�
( , ) ln , Q Dq� , q �1 2 6, ,..., ;
P M t
r
ds
L D m m
Q QM
QM
M
D
m
m
6
�
�
�
� � ( , )
cos ( , )
,
n r
Q L�
�
6
, m �1 2 6, ,..., ;
P M t
r
dl
L L
Q QM
QM
M
L
6 6
6
�
�
�
� �
�
�
� � ( , )
cos ( , )n r
, Q L�
6
�
.
Cèñòåìà (24) çàïèñàíà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ãèëüçà è çàãîòîâêà èçîëè-
ðîâàíû îäíà îò äðóãîé. Ïîñêîëüêó âõîäÿùèå â íèõ íàïðÿæåíèÿ íà ïðîâîä-
íèêàõ íå èçâåñòíû, ê íèì íåîáõîäèìî äîáàâèòü óñëîâèÿ (10).
Ðàñ÷åò ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé. Ìãíîâåííàÿ îáúåìíàÿ ïëîò-
íîñòü ÝÄÓ â ñå÷åíèè çàãîòîâêè ñ ïëîòíîñòüþ òîêîâ ��
1
( , )Q t , íàõîäÿùåéñÿ
â ìàãíèòíîì ïîëå B ( , )Q t , îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
f B( , ) [ ( , ), ( , )]Q t Q t Q t� ��
1
,
ãäå ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
B
r e
( , ) ( , )
[ , ]
(Q t M t
r
ds MW
QM z
QM
M
D m
m
W
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
0
2
0
1
5
2 2
, )
[ , ]
t
r
ds
QM z
QM
M
Dm
r e
2�
+ M t
r
ds M t
r
QM z
QM
M
D
QM z�
�
�
�
�
�
0
6 2
0
2 2
6
( , )
[ , ]
( , )
[ , ]r e r e
�
QM
M
L
dl
2
6
�
.
Ó÷èòûâàÿ (1), (3), ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ äëÿ âåêòîðà f ( , )Q t ñëåäóþ-
ùåãî âèäà
f e e( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ).Q t Q t B Q t Q t B Q tx y y x� �
� �
1 1
Íà îñíîâàíèè èçëîæåííîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ïðåäëî-
æåííàÿ äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõ-
ðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð —
ÈÏ ñ ìàññèâíûì ìàãíèòîïðîâîäîì ÌÍËÇ, ïîçâîëÿåò ìîäåëèðîâàòü ìàã-
íèòíîå ïîëå òîëüêî â ñå÷åíèè çàãîòîâêè. Ðàññìîòðåííûé ïîäõîä èñêëþ÷àåò
èçáûòî÷íûå âû÷èñëåíèÿ, íåîáõîäèìûå ïðè èñïîëüçîâàíèè êîíå÷íî-ðàç-
íîñòíûõ è êîíå÷íî-ýëåìåíòíûõ ìåòîäîâ.
Äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 2 13
The model of two-dimensional distribution of eddy currents and electrodynamic forces is
developed for the system of crystallizer — two-winding induction mixer with large magnetic
circuit. The simulation is made by two stages: at the first stage, the integral differential equations
are solved relative to eddy currents defining a magnetic field in sections of large conductors and
magnetization currents on the boundaries of magnetic circuit section. At the second stage the
magnetic field and electrodynamic forces in liquid steel are calculated by the current distribution
obtained.
1. Íàéäåê Â. Ë., Äóáîäåëîâ Â. È., Åâäîêèìîâ Â. Ô. è äð. Äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåí-
öèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â
ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð — èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü ìàøèíû íåïðåðûâíîãî
ëèòüÿ çàãîòîâîê // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2004. — 26, ¹ 1. — Ñ. 125—144.
2. Äóáîäåëîâ Â. È., Åâäîêèìîâ Â. Ô., Êîíäðàòåíêî È. Ï. è äð. Áëî÷íûé àëãîðèòì
ðåàëèçàöèè äâóìåðíîé èíòåãðàëüíîé ìîäåëè ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ âèõðå-
âûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â êðèñòàëëèçàòîðå ñ èíäóêöèîííûì ïåðå-
ìåøèâàòåëåì // Òàì æå. — 2005. — 27, ¹ 4. — Ñ. 57—74.
3. Åâäîêèìîâ Â. Ô., Ïåòðóøåíêî Å. È. Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ñèììåòðè÷íûõ
ñîñòàâëÿþùèõ ñèíóñîèäàëüíûõ âèõðåâûõ òîêîâ â ñå÷åíèè ñèñòåìû êðèñòàëëèçàòîð—
èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü // Òàì æå. —2005. — 27, ¹ 1. — Ñ. 73—96.
4. Åâäîêèìîâ Â. Ô., Æèëüöîâ À. Â., Ïåòðóøåíêî Å. È. Äâóìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü
ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â ñèñòåìå êðè-
ñòàëëèçàòîð — èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü // Òàì æå. — 2006. — 28, ¹ 2. —
Ñ.3—16.
5. Åâäîêèìîâ Â. Ô., Æèëüöîâ À. Â., Ïåòðóøåíêî Å. È. Áëî÷íûé àëãîðèòì êîìïüþòåðíîé
ðåàëèçàöèè äâóìåðíîé èíòåãðàëüíîé ìîäåëè ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ âèõðå-
âûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð — èíäóêöèîííûé
ïåðåìåøèâàòåëü ìàøèíû íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ áëþìîâ è ñëÿáîâ // Çá. íàóêîâèõ ïðàöü
²ÏÌÅ ³ì. Ã. ª. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè: Ìîäåëþâàííÿ òà ³íôîðìàö³éí³ òåõíîëî㳿. —
2006. — Âûï.36. — Ñ. 30—39.
6. Åâäîêèìîâ Â. Ô., Æèëüöîâ À. Â., Ïåòðóøåíêî Å. È. Äâóìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ýëåêòðî-
ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ æèäêîé ñòàëè â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð —
èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàèå. — 2006. — 28, ¹ 6. —
Ñ. 105—114.
7. Øàõàíîâ Ñ. È., Øèôðèí È. Í., Ãðà÷åâ Â. Ã. è äð. Âëèÿíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåøè-
âàíèÿ íà êà÷åñòâî íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ // ×åðíàÿ ìåòàëëóðãèÿ. — 2001. — ¹ 10. —
Ñ. 26— 30.
Ïîñòóïèëà 09.01.07
ÅÂÄÎÊÈÌΠÂèêòîð Ôåäîðîâè÷, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, äèðåêòîð Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëè-
ðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1963 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõ-
íè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû è óñòðîéñòâà äëÿ ìàòåìàòè-
÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå è êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ
ñèñòåì.
ÆÈËÜÖÎÂ Àíäðåé Âëàäèìèðîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîêòîðàíò Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â
ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1997 ã. îêîí÷èë Ñèìôåðîïîëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé
óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ôðóíçå (Òàâðè÷åñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Â. È. Âåðíàäñêîãî).
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ýëåêòðîòåõíèêè, ìîäåëèðîâàíèå
ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. Â. Æèëüöîâ, È. Ï. Êîíäðàòåíêî, Å. È. Ïåòðóøåíêî, À. Ï. Ðàùåïêèí
14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 2
ÊÎÍÄÐÀÒÅÍÊÎ Èãîðü Ïåòðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð., çàâ. îòäåëîì Èí-òà ýëåêò-
ðîäèíàìèêè ÍÀÍ Óêðàèíû.  1979 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ýëåêòðîòåõíèêè.
ÏÅÒÐÓØÅÍÊÎ Åâãåíèé Èâàíîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð., çàâ. îòäåëîì Èí-òà
ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1963 ã. îêîí÷èë Ðîñ-
òîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå
ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
ÐÀÙÅÏÊÈÍ Àíàòîëèé Ïàâëîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ýëåêòðîäèíàìèêè
ÍÀÍ Óêðàèíû.  1959 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëå-
äîâàíèé — ýëåêòðè÷åñêèå ìàøèíû è àïïàðàòû.
Äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 2 15
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101664 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:56:22Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Евдокимов, В.Ф. Жильцов, А.В. Кондратенко, И.П. Петрушенко, Е.И. Ращепкин, А.П. 2016-06-06T15:36:32Z 2016-06-06T15:36:32Z 2007 Двумерная интегро-дифференциальная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом / В.Ф. Евдокимов, А.В. Жильцов, И.П. Кондратенко, Е.И. Петрушенко, А.П. Ращепкин // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 2. — С. 3-15. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101664 681.3:519.711.3:517.958:621.313 Предложена модель для расчета двумерного распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом машины непрерывного литья заготовок. Моделирование выполнено в два этапа: на первом этапе решена система интегро-дифференциальных уравнений для вихревых токов в сечениях массивных проводников и токов намагниченности на границе магнитопровода, на втором — по раcсчитанным токам найдено распределение электродинамических усилий в сечении заготовки. Запропоновано модель для розрахунку двовимірного розподілу вихрових струмів та електродинамічних зусиль у системі кристалізатор — індукційний перемішувач із масивним магнітопроводом машини безперервного лиття заготовок. Моделювання здійснено у два етапи: на першому етапі розв’язано систему інтего-диференціальних рівнянь для вихрових струмів у перерізах масивних провідників і струмів намагніченості на межі магнітопроводу, на другому — за розрахованими струмами знайдено розподіл електродинамічних зусиль у перерізі заготівки. The model of two-dimensional distribution of eddy currents and electrodynamic forces is developed for the system of crystallizer — two-winding induction mixer with large magnetic circuit. The simulation is made by two stages: at the first stage, the integral differential equations are solved relative to eddy currents defining a magnetic field in sections of large conductors and magnetization currents on the boundaries of magnetic circuit section. At the second stage the magnetic field and electrodynamic forces in liquid steel are calculated by the current distribution obtained. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Двумерная интегро-дифференциальная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом Two-dimensional Integral Differential Model of Eddy Currents and Electrodynamic Firces Distribution in the System of Crystallizer and Induction Mixer with Large Magnetic Circuit of Continuous Blank Casting Article published earlier |
| spellingShingle | Двумерная интегро-дифференциальная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом Евдокимов, В.Ф. Жильцов, А.В. Кондратенко, И.П. Петрушенко, Е.И. Ращепкин, А.П. Математические методы и модели |
| title | Двумерная интегро-дифференциальная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом |
| title_alt | Two-dimensional Integral Differential Model of Eddy Currents and Electrodynamic Firces Distribution in the System of Crystallizer and Induction Mixer with Large Magnetic Circuit of Continuous Blank Casting |
| title_full | Двумерная интегро-дифференциальная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом |
| title_fullStr | Двумерная интегро-дифференциальная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом |
| title_full_unstemmed | Двумерная интегро-дифференциальная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом |
| title_short | Двумерная интегро-дифференциальная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом |
| title_sort | двумерная интегро-дифференциальная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор — индукционный перемешиватель с массивным магнитопроводом |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101664 |
| work_keys_str_mv | AT evdokimovvf dvumernaâintegrodifferencialʹnaâmodelʹraspredeleniâvihrevyhtokoviélektrodinamičeskihusiliivsistemekristallizatorindukcionnyiperemešivatelʹsmassivnymmagnitoprovodom AT žilʹcovav dvumernaâintegrodifferencialʹnaâmodelʹraspredeleniâvihrevyhtokoviélektrodinamičeskihusiliivsistemekristallizatorindukcionnyiperemešivatelʹsmassivnymmagnitoprovodom AT kondratenkoip dvumernaâintegrodifferencialʹnaâmodelʹraspredeleniâvihrevyhtokoviélektrodinamičeskihusiliivsistemekristallizatorindukcionnyiperemešivatelʹsmassivnymmagnitoprovodom AT petrušenkoei dvumernaâintegrodifferencialʹnaâmodelʹraspredeleniâvihrevyhtokoviélektrodinamičeskihusiliivsistemekristallizatorindukcionnyiperemešivatelʹsmassivnymmagnitoprovodom AT raŝepkinap dvumernaâintegrodifferencialʹnaâmodelʹraspredeleniâvihrevyhtokoviélektrodinamičeskihusiliivsistemekristallizatorindukcionnyiperemešivatelʹsmassivnymmagnitoprovodom AT evdokimovvf twodimensionalintegraldifferentialmodelofeddycurrentsandelectrodynamicfircesdistributioninthesystemofcrystallizerandinductionmixerwithlargemagneticcircuitofcontinuousblankcasting AT žilʹcovav twodimensionalintegraldifferentialmodelofeddycurrentsandelectrodynamicfircesdistributioninthesystemofcrystallizerandinductionmixerwithlargemagneticcircuitofcontinuousblankcasting AT kondratenkoip twodimensionalintegraldifferentialmodelofeddycurrentsandelectrodynamicfircesdistributioninthesystemofcrystallizerandinductionmixerwithlargemagneticcircuitofcontinuousblankcasting AT petrušenkoei twodimensionalintegraldifferentialmodelofeddycurrentsandelectrodynamicfircesdistributioninthesystemofcrystallizerandinductionmixerwithlargemagneticcircuitofcontinuousblankcasting AT raŝepkinap twodimensionalintegraldifferentialmodelofeddycurrentsandelectrodynamicfircesdistributioninthesystemofcrystallizerandinductionmixerwithlargemagneticcircuitofcontinuousblankcasting |