Аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта
Рассмотрены аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта на базе моделей Девисона. Розглянуто апроксимаційні алгоритми пониження розмірності диференціальної моделі динамічного об’єкта на основі моделей Девісона. Approximation algorithms of lowering...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101667 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта / А.А. Дячук // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 2. — С. 39-47. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101667 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Дячук, А.А. 2016-06-06T15:47:47Z 2016-06-06T15:47:47Z 2007 Аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта / А.А. Дячук // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 2. — С. 39-47. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101667 519.876.2 Рассмотрены аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта на базе моделей Девисона. Розглянуто апроксимаційні алгоритми пониження розмірності диференціальної моделі динамічного об’єкта на основі моделей Девісона. Approximation algorithms of lowering the dimension of the differential model of dynamic object are considered on the basis of Davison models. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта Approximation Algorithms of Lowering the Dimension of Differential Model of Dynamic ObjectInformational Technologies, Information Protection Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта |
| spellingShingle |
Аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта Дячук, А.А. Математические методы и модели |
| title_short |
Аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта |
| title_full |
Аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта |
| title_fullStr |
Аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта |
| title_full_unstemmed |
Аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта |
| title_sort |
аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта |
| author |
Дячук, А.А. |
| author_facet |
Дячук, А.А. |
| topic |
Математические методы и модели |
| topic_facet |
Математические методы и модели |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| container_title |
Электронное моделирование |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Approximation Algorithms of Lowering the Dimension of Differential Model of Dynamic ObjectInformational Technologies, Information Protection |
| description |
Рассмотрены аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта на базе моделей Девисона.
Розглянуто апроксимаційні алгоритми пониження розмірності диференціальної моделі динамічного об’єкта на основі моделей Девісона.
Approximation algorithms of lowering the dimension of the differential model of dynamic object are considered on the basis of Davison models.
|
| issn |
0204-3572 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101667 |
| citation_txt |
Аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта / А.А. Дячук // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 2. — С. 39-47. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT dâčukaa approksimacionnyealgoritmyponiženiârazmernostidifferencialʹnoimodelidinamičeskogoobʺekta AT dâčukaa approximationalgorithmsofloweringthedimensionofdifferentialmodelofdynamicobjectinformationaltechnologiesinformationprotection |
| first_indexed |
2025-11-25T22:42:42Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:42:42Z |
| _version_ |
1850569752350556160 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.876.2
À. À. Äÿ÷óê, àñïèðàíò
Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ
â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë.: +38 (044) 4243541, Å-mail: oadyachuk@ukr.net)
Àïïðîêñèìàöèîííûå àëãîðèòìû
ïîíèæåíèÿ ðàçìåðíîñòè äèôôåðåíöèàëüíîé
ìîäåëè äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê À. Ô. Âåðëàíü)
Ðàññìîòðåíû àïïðîêñèìàöèîííûå àëãîðèòìû ïîíèæåíèÿ ðàçìåðíîñòè äèôôåðåíöèàëü-
íîé ìîäåëè äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà íà áàçå ìîäåëåé Äåâèñîíà.
Ðîçãëÿíóòî àïðîêñèìàö³éí³ àëãîðèòìè ïîíèæåííÿ ðîçì³ðíîñò³ äèôåðåíö³àëüíî¿ ìîäåë³
äèíàì³÷íîãî îá’ºêòà íà îñíîâ³ ìîäåëåé Äåâ³ñîíà.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: äèíàìè÷åñêèé îáúåêò, àëãîðèòì, ìîäåëü Äåâèñîíà.
Ñóùåñòâóåò ìíîãî ìåòîäîâ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïðèáëè-
æåííûìè ñèñòåìàìè ñ ïîíèæåííîé ðàçìåðíîñòüþ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ
îñíîâíûå ñâîéñòâà èñõîäíîé ñèñòåìû âûñøåé ðàçìåðíîñòè âîñïðîèçâî-
äÿòñÿ â ïîëó÷åííîé ìîäåëè äîñòàòî÷íî òî÷íî, íî ðÿä âòîðîñòåïåííûõ
õàðàêòåðèñòèê ìîãóò áûòü ïîòåðÿíû. Òàêîé ïîäõîä íàçûâàåòñÿ ïîíèæå-
íèåì ðàçìåðíîñòè ìîäåëèðîâàíèÿ.
Äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ìåòîäû, ïîíèæàþùèå ðàçìåðíîñòü ìîäåëèðî-
âàíèÿ [1, 2], ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ãðóïïû. Ê ïåðâîé îòíîñÿòñÿ ñïîñîáû
ïðèáëèæåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, íåçàâèñè-
ìîé ïåðåìåííîé êîòîðûõ åñòü âðåìÿ. Ê íèì îòíîñÿòñÿ ìåòîä âîçáóæäåíèé
[3], ìåòîä àãðåãàöèé [4], ìåòîä âûäåëåíèÿ äîìèíàíòíûõ ñîáñòâåííûõ çíà-
÷åíèé è äð. Âòîðóþ ãðóïïó ñîñòàâëÿþò ìåòîäû ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê
èñõîäíîé ñèñòåìû, ò. å. ôóíêöèè îò ÷àñòîòû. Èç íèõ íàèáîëåå èçâåñòíû
ìåòîäû ìîìåíòîâ, ìåòîä ðàçëîæåíèÿ â öåïíóþ äðîáü, ïðèáëèæåíèÿ Ðàóñà,
ïðèáëèæåíèÿ Ïàäå è äð.
Õîðîøî èçâåñòíûìè ìåòîäàìè âûäåëåíèÿ äîìèíàíòíûõ ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé èñõîäíîé ñèñòåìû åñòü ïåðâûé (èëè ïðîñòî ìåòîä Äåâèñîíà) è
âòîðîé ìåòîäû Äåâèñîíà [5, 6], ìåòîä Ìàðøàëà. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü âòîðîé
ìåòîä Äåâèñîíà è ìîäèôèöèðîâàííûé âòîðîé ìåòîä Äåâèñîíà, ñ åäèíîé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 2 39
òî÷êè çðåíèÿ. Ââåäåì öåïî÷êó ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé: èñõîäíàÿ
ñèñòåìà � êàíîíè÷åñêàÿ ñèñòåìà � ïðèáëèæåííàÿ êàíîíè÷åñêàÿ ñèñòåìà �
ïðèáëèæåííàÿ èñõîäíàÿ ñèñòåìà � ìîäåëü ñ ïîíèæåííîé ðàçìåðíîñòüþ.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàññìîòðèì ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ ïî-
íèæåíèÿ ðàçìåðíîñòè äèôôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà,
îñíîâàííûé íà ïåðâîé, âòîðîé è ìîäèôèöèðîâàííîé ìîäåëÿõ Äåâèñîíà.
Èñõîäíàÿ ñèñòåìà äëÿ ìîäåëåé Äåâèñîíà çàäàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîé
n-ìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìîé
� ( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t� �
x x( )0
0
� , (1)
ãäå x (t) — n-ìåðíûé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ; u (t) — r-ìåðíûé âåêòîð óïðàâëå-
íèÿ; À è Â — ïîñòîÿííûå ìàòðèöû.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû À ïîïàðíî îòëè-
÷àþòñÿ è èõ äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè îòðèöàòåëüíûå. Êðîìå òîãî, ïðåäïîëî-
æèì, ÷òî äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè n – m ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû íàìíî-
ãî ìåíüøå îñòàâøèõñÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷àñòåé m ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, ò. å.
Re [ ( )] Re [ ( )]� �A Aa b�� , (2)
ãäå Aa — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè m, äèàãîíàëüíûìè ýëåìåí-
òàìè êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ m ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû À; Ab — äèàãî-
íàëüíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè n – m, äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè êîòîðîé
åñòü n – m ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû À.
Àëãîðèòì íà îñíîâå ìîäåëè Äåâèñîíà. Îáðàçóåì ìàòðèöó U, ñòðîêà-
ìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû À. Ìåæäó ìàòðèöàìè
À, U, Aa , Ab óñòàíàâëèâàåòñÿ ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:
AU U
A
A
a
b
�
�
�
�
�
0
0
, detU
0.
Ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû U ïðåîáðàçóåì âåêòîð ñîñòîÿíèÿ:
z t
z t
z t
U x t U U x t
a
b
a b( )
( )
( )
( ) [ ] ( )�
�
�
�
�
� �
� �1 1
,
ãäå z ta ( ) — m-ìåðíûé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ; z tb ( ) — (n – m)-ìåðíûé âåêòîð;
U a èU b — n m� è n n m� �( ) ìàòðèöû.
Ïåðåïèøåì òåïåðü óðàâíåíèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû (1) äëÿ âåêòîðà ñîñ-
òîÿíèÿ z t( ):
� ( )
� ( )
( )
( )
z t
z t
A
A
z t
z t
Ba
b
a
b
a
b
a�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
0 B
u t
b
�
�
�
�
( ),
B I U Ba m�
�
[ ]0
1
, A I U Bb n m�
�
�
[ ]0
1
. (3)
À. À. Äÿ÷óê
40 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 2
Íàçîâåì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó (3) êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìîé. Çäåñü I m è
I n m�
— åäèíè÷íûå ìàòðèöû ðàçìåðíîñòè ñîîòâåòñòâåííî n m� è ( )n m� �
� �( )n m ; 0 — íóëåâûå ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçìåðíîñòè.
Ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèÿ (2) âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû ïîäñèñòåìû
z tb ( ) îòðèöàòåëüíûå è áîëüøèå ïî ìîäóëþ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íà îñè s õà-
ðàêòåðèñòè÷åñêèå êîðíè ïîäñèñòåìû z tb ( ) íàõîäÿòñÿ äàëåêî ñëåâà. Ïîýòî-
ìó ýëåìåíòû ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, ñîîòâåòñòâóþùèå z tb ( ), áóäóò óìåíü-
øàòñÿ çíà÷èòåëüíî áûñòðåå è èìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Ïðîàíàëèçèðóåì ýòî. Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò
x t Ez t( ) ( )� , (4)
ãäå Å — n m� -ìàòðèöà, E I m� [ ]0 . Òîãäà äëÿ âåêòîðà z t( ) äèôôåðåíöèàëü-
íîå óðàâíåíèå (3) ïðèìåò âèä
� ( ) ( ) ( )z t A z t B u ta a� � , z Ez( ) ( )0 0� . (5)
Ñèñòåìó (5) íàçîâåì ïðèáëèæåíèåì êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû. Îíà èìååò
ìåíüøóþ ðàçìåðíîñòü, êîòîðàÿ ñîñòàâëÿåò m. Äëÿ òîãî, ÷òîáû èññëåäîâàòü
ïðåîáðàçîâàíèÿ (4) â ïðîñòðàíñòâå x (t), óìíîæèì ëåâóþ ÷àñòü (4) íà ìàò-
ðèöó UET
. Òîãäà ïîëó÷èì
x t UE z t U z tT
a( ) ( ) ( )� � . (6)
Âåêòîð x t( ) èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è x (t), íî â íåì îòñóòñòâóþò òå
êîìïîíåíòû, êîòîðûå áûñòðî óìåíüøàþòñÿ.
Ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ x t( ) íàçîâåì ïðèáëèæåíèåì èñõîäíîé ñèñ-
òåìû. Äëÿ òîãî, ÷òîáû èç n-ìåðíîé ñèñòåìû
~
( )x t ïîëó÷èòü (äëÿ çàäàííî-
ãî m) m-ìåðíóþ ñèñòåìó ïåðåìåííûõ x t( ), ïðåîáðàçóåì (n m� )-ìåðíóþ
ìàòðèöó R :
~
( ) ( )x t Rx t� , rang RU ma � . (7)
Òîãäà ñ ó÷åòîì (5) — (7) ïîëó÷èì m-ìåðíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé
�� ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )x t RU A z t B u t RU A U x t RU B u ta a a a a a a a� � � � �
�1
� � � �
� � �RU A U R x t RU B u t RU A RU x t RUa a a a a a a a a
1 1 1~
( ) ( ) ( )
~
( ) B u ta ( ) . (8)
Ñèñòåìà (8) ïîíèæåííîé ðàçìåðíîñòè è åñòü ìîäåëü Äåâèñîíà.
Ýôôåêòèâíîñòü ìîäåëè Äåâèñîíà ñîñòîèò â òîì, ÷òî èìåÿ çíà÷èòåëüíî
ìåíüøóþ ðàçìåðíîñòü, ÷åì èñõîäíàÿ ñèñòåìà, îíà äîñòàòî÷íî ïîëíî îòîá-
ðàæàåò íèçêî÷àñòîòíûå ýëåìåíòû ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ èñõîäíîé ñèñòå-
ìû. Îäíàêî ê ÷èñëó åå íåäîñòàòêîâ ìîæíî îòíåñòè òî îáñòîÿòåëüñòî, ÷òî
ðåæèìû, êîòîðûå óñòàíîâèëèñü â ìîäåëè Äåâèñîíà, íå âñåãäà ñîâïàäàþò ñ
ðåæèìàìè èñõîäíîé ñèñòåìû.
Àïïðîêñèìàöèîííûå àëãîðèòìû ïîíèæåíèÿ ðàçìåðíîñòè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 2 41
Àëãîðèòì íà îñíîâå âòîðîé ìîäåëè Äåâèñîíà [6] ðàçëè÷åí äëÿ ñëó-
÷àåâ ñêàëÿðíîãî è âåêòîðíîãî óïðàâëåíèÿ.
Ñêàëÿðíîå óïðàâëåíèå. Çàïèøåì ñèñòåìó óðàâíåíèé (8) â âèäå
� �� ( ) ( ) ( )
* * * *x t A x t B u t� � , (9)
ãäå A RU A RUa a a
*
( )�
�1
, B RU Ba a
*
� . Ïðåîáðàçîâàíèå
� �
x t Dx t( ) ( )
*
� , (10)
ïåðåâîäèò ñèñòåìó (9) â ñèñòåìó
� �� ( ) ( ) ( )
* *x t DA D x t DB u t� �
�1
, êîòîðàÿ
ÿâëÿåòñÿ âòîðîé ìîäåëüþ Äåâèñîíà. Ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ D èìååò
âèä:
D
d
d
d
j
m
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
0
0
�
� �
�
, � �
� �d A B A Bj j j[ ] / [ ] .
* *1 1 (11)
Åñëè [ ]
* *A B j
�
�
1
0, òî �d j ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì åäèíèöå.  ñëó÷àå, êîãäà
[ ]A B j
�
�
1
0, êàê âèäíî èç ñîîòíîøåíèé (10) è (11), j-ÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà
x t( ) ñòàíîâèòñÿ òîæäåñòâåííî ðàâíîé íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, â äàííîé
ìîäåëè ïîëíîñòüþ îòñóòñòâóåò îäíà èç êîìïîíåíò ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà,
÷òî íå æåëàòåëüíî.
Âåêòîðíîå óïðàâëåíèå. Ïóñòü âåêòîð óïðàâëåíèÿ u t( ) èìååò ðàçìåð-
íîñòü r. Äëÿ êàæäîãî u ti ( ) ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùóþ åìó ìîäåëü
Äåâèñîíà (8):
� �� ( ) ( ) ( )
* * * *x t A x t B u ti i i i
� � , i r�1 2, , ..., . (12)
Çäåñü âåëè÷èíû Bi
*
è u t
i
( ) ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êîìïîíåíòàìè B*
è
u t( ), êîòîðûå âõîäÿò â óðàâíåíèå (9), [ ,..., ] ,
* * *B B Br1
� [ ( ),..., ( )] ( )u t u t u tr
r
1
� .
Ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå � ( ) � ( )
*x t D x ti
i
i� ïåðåâîäèò (12) â ñèñòåìó � ( )x ti �
� �
�D A D x t D B u ti i
i
i
i i
* *
( ) ( ) ( )
1
. Ïðîñóììèðîâàâ r êîìïîíåíòîâ x ti ( ),
ïîëó÷èì
� �� ( ) ( ) ( ) [ ,..., ] ( )
* * *x t D A D x t D B D B u ti
i
r
i
i
r
r� �
�
�
�
1
1 1
1
. (13)
Ñèñòåìà (13) ÿâëÿåòñÿ âòîðîé ìîäåëüþ Äåâèñîíà äëÿ âåêòîðíîãî ñëó÷àÿ.
Ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ D èìååò ñëåäóþùèé âèä:
D
d
d
d
i
i
j
i
m
i
�
�
�
�
�
�
�
1
0
0
�
� �
�
, d A B A Bj
i
i j i j�
� �
[ ] / [ ]
* *1 1
.
(14)
À. À. Äÿ÷óê
42 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 2
Åñëè d j
i
ýëåìåíòû îêàçûâàþòñÿ ðàâíûìè íóëþ, òî âåëè÷èíû d j
i
ñ÷èòàþòñÿ
ðàâíûìè åäèíèöå, à Bi åñòü êîìïîíåíòû âåëè÷èíû Â, êîòîðûå âõîäÿò â
ñîîòíîøåíèå (9). Åñëè [ ]A Bi j
�
�
1
0, òî d j
i
, âõîäÿùèå â (14), òàêæå ïðåîáðà-
çóþòñÿ â íóëü. Òîãäà äëÿ ìàòðèö D i
, âõîäÿùèõ â (13), íå ñóùåñòâóåò
îáðàòíûõ.  ýòîì ñëó÷àå âòîðàÿ ìîäåëü Äåâèñîíà íå ìîæåò áûòü ïðåä-
ñòàâëåíà â âèäå (13).
Àëãîðèòì íà îñíîâå ìîäèôèöèðîâàííîé ìîäåëè Äåâèñîíà. Êàê
ïîêàçàíî âûøå, âòîðàÿ ìîäåëü Äåâèñîíà [6], óëó÷øàåò ñòàöèîíàðíûå õà-
ðàêòåðèñòèêè ìîäåëè Äåâèñîíà. Ïðåäëàãàåìàÿ ìîäèôèêàöèÿ âòîðîãî ìå-
òîäà Äåâèñîíà ïðåäñòàâëÿåòñÿ äàëüíåéøèì øàãîì â ýòîì íàïðàâëåíèè.
Ñâîéñòâà ìîäåëè ìîäèôèöèðîâàííîãî ìåòîäà Äåâèñîíà îäèíàêîâûå äëÿ
ñëó÷àÿ ñêàëÿðíîãî óïðàâëåíèÿ è äëÿ ìíîãîìåðíîãî âõîäà.  ñëó÷àå
ñêàëÿðíîãî óïðàâëåíèÿ, à òàêæå êîãäà ðàçìåðíîñòü ìîäåëè ðàâíà åäèíèöå,
ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîä ñîâïàäàåò ñî âòîðûì ìåòîäîì Äåâèñîíà.
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè, ïîíèæàþùèå ðàçìåðíîñòü, ïî÷òè ñîâ-
ïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîöåäóðîé äëÿ ìîäåëè Äåâèñîíà. Îòëè÷èå
ñîñòîèò ëèøü â òîì, ÷òî âìåñòî ïðåîáðàçîâàíèÿ (6) âûïîëíÿåòñÿ çàìåíà
ïåðåìåííûõ
x t D UE z t D U z tn
T
n a( ) ( ) ( )� � , (15)
� ( ) � ( ) � ( )x t D UE z t D U z tn
T
n a� � (16)
äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîðîâ x t( ) è � ( )x t . Çäåñü Dn — n n� -ìàòðèöà
D
d
d
d
n j
m
�
�
�
�
�
�
�
1
0
0
�
� �
�
, d U z U z U z
j a b b j a j� � � � �[ ( ) ( )] / [ ( )] , (17)
êîòîðàÿ ââîäèòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû îòêîððåêòèðîâàòü ñòàöèîíàðíûå çíà÷å-
íèÿ ìîäåëè Äåâèñîíà. (Åñëè ÷èñëèòåëü èëè çíàìåíàòåëü äðîáè d j ðàâåí
íóëþ, òî áóäåì ñ÷èòàòü d j ðàâíûì åäèíèöå).
Ïîëàãàåì, ÷òî íà äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè ïðàâûå
÷àñòè óðàâíåíèé (3) è (5) ïðèáëèæàþòñÿ ê íóëþ, ò. å.
� ( )z t t��
�0, � ( )z tb t��
�0. (18)
Òîãäà ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (3) è (5) èìåþò âèä
z A W u t za a b( ) ( ) ( )� � � � �
�1
, z A W u tb a b( ) ( )� � �
�1
. (19)
Åñëè ïðåäïîëîæåíèå (18) ñïðàâåäëèâî, òî âåëè÷èíà U z U za b b j( ) ( )� � �
ÿâëÿåòñÿ j-é êîìïîíåíòîé ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ
èñõîäíîé ñèñòåìû. Âåëè÷èíàU za j( )� åñòü j-ÿ êîìïîíåíòà ñòàöèîíàðíîãî
Àïïðîêñèìàöèîííûå àëãîðèòìû ïîíèæåíèÿ ðàçìåðíîñòè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 2 43
ðåøåíèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ x t( ), îïðåäåëåííîãî ñîîòíîøåíèåì (6). Ñ ó÷å-
òîì ñîîòíîøåíèé (5), (7) è (9) ïîëó÷èì ìîäåëü ïîíèæåííîé ðàçìåðíîñòè
� �� ( ) ( ) � ( ) ( )x t RD U A RD U x t RD U W u tn a a n a n a a� �
�1
,
�
x Rx( ) ( )0 0� . (20)
Íàçîâåì ýòó ìîäåëü ìîäèôèöèðîâàííîé ìîäåëüþ Äåâèñîíà. Åñëè âõîä-
íûå óïðàâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ íå ñòóïåí÷àòûìè, à íåïðåðûâíî ïåðåìåííûìè
ôóíêöèÿìè âðåìåíè, òî, êàê âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ (17), ïðîèçâîäíàÿ
ïî âðåìåíè âåêòîðà x t( ) (15) îòëè÷àåòñÿ îò âåêòîðà � ( )x t , îïðåäåëåííîãî
ñîîòíîøåíèåì (16). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü x t( ) (23),
òî îñòàíóòñÿ êîìïîíåíòû �Dn . Îòêóäà, ñëåäóåò, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ ìîäèôèöèðîâàííîé ìîäåëè Äåâèñîíà (20) è äèôôåðåíöèàëü-
íûå óðàâíåíèÿ âåêòîðà z t( ) (5) — äâà áåçóñëîâíî ðàçíûå äèôôåðåíöèàëü-
íûå óðàâíåíèÿ. Âåêòîðû
�
x t( ) è z t( ) íå ñâÿçàíû îäèí ñ äðóãèì êàêèì-ëèáî
ïðîñòûì ïðåîáðàçîâàíèåì êîîðäèíàò.
Ñîîòâåòñòâåííî â ðåøåíèÿõ óðàâíåíèé (5) è (15) z t( ) íå ñîâïàäàåò ñ
âåêòîðîì x t( ), êîòîðûé ïîëó÷åí â ðåçóëüòàòå ïðåîáðàçîâàíèÿ (7) è ÿâëÿåò-
ñÿ ðåøåíèåì ìîäèôèöèðîâàííîé ìîäåëè Äåâèñîíà (20). Áîëåå òîãî, ïî-
ñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå ïðåäïîëîæåíèå (18) íå âûïîëíÿåòñÿ, ñòàöèîíàðíûå
ðåøåíèÿ ñèñòåìû (20) íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàþò ñî ñòàöèîíàðíûìè ðåøå-
íèÿìè èñõîäíîé ñèñòåìû.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà â êàæäîé ñòðîêå ìàòðèöû R åñòü
îäèí íåíóëåâîé ýëåìåíò, à âñå äðóãèå ýëåìåíòû ñòðîêè ðàâíû íóëþ:
R
r k
r j k
r m
j�
0 0 1 0 0
0 0
0
1
� �
� � � � � � �
� � � �
� � � � � � �
� � � �
( , )
( , )
( , )km 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
(21)
ãäå r j k j( , ) — k-é ýëåìåíò j-é ñòðîêè ìàòðèöû R. Óñëîâèå (7), î÷åâèäíî
âûïîëíåíî.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (9) ïðåîáðàçóåòñÿ â óðàâíåíèå (6), à
óðàâíåíèå (7) — â ñèñòåìó
�
x t D Rx tm( ) ( )� ,
�� ( ) � ( ).x t D Rx tm� (22)
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé, àíàëîãè÷íóþ ñèñòåìå (20), ñ
ìàòðèöåé
D
d
d
d
m j
m
�
�
�
�
�
�
�
1
0
0
�
� �
�
, d RU z RU z RU z
j a b b j a j� � � � �[ ( ) ( )] / [ ( )] . (23)
À. À. Äÿ÷óê
44 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 2
Èç ñîîòíîøåíèé (5), (6) è (22) ïîëó÷àåì ìîäåëü ïîíèæåííîé ðàç-
ìåðíîñòè
� �� ( ) ( ) ( ) ( )x t D RU A D RU x t D RU W u tm a a m a m a a� �
�1
,
�
x D Rxm( ) ( )0 0� . (24)
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî âûäåëèòü òàêèå îñîáåííîñòè ìîäèôèöèðîâàí-
íîãî ìåòîäà Äåâèñîíà:
1. Åñëè ìàòðèöà R óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (21), òî óðàâíåíèÿ ìîäè-
ôèöèðîâàííîé ìîäåëè Äåâèñîíà (20) è (24) ñîâïàäàþò.
2. Îòíîñèòåëüíî ôîðìû ìàòðèö Dn è Dm ñèñòåìà óðàâíåíèé ìîäåëè
(24), î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ óïðîùåííîé ïî ñðàâíåíèþ ñ ñèñòåìîé (20).
3.  ñëó÷àå R I m� [ ]0 è åñëè óïðàâëåíèå — ñêàëÿðíîå, ëèáî äëÿ ìîäåëè
ïîíèæåííîé ðàçìåðíîñòè m = 1, òî ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîä Äåâèñîíà
ñîâïàäàåò ñî âòîðîé ìîäåëüþ Äåâèñîíà.
4. Ïðåäñòàâëåíèå ìîäåëè îñòàåòñÿ íåèçìåííûì è â ñëó÷àå ñêàëÿðíîãî,
è â ñëó÷àå âåêòîðíîãî óïðàâëåíèÿ. Îäíàêî, òàê êàê u t( ) âõîäèò â âûðà-
æåíèÿ äëÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèö Dn è Dm, â ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ
�
x t( )
òàêæå âõîäèò u t( ) â ñëó÷àå, êîãäà r m�
1. Ïîýòîìó ìîäèôèöèðîâàííàÿ
ìîäåëü Äåâèñîíà ñòàíîâèòñÿ íåëèíåéíîé ïî îòíîøåíèþ ê u t( ).
5.  ñëó÷àå, êîãäà d j
1äëÿ âñåõ j, èëè êîãäà [ ( )]U zb b j� �0 äëÿ âñåõ j,
ñòàöèîíàðíûå çíà÷åíèÿ ðåàêöèé íà ñòóïåí÷àòûå âîçáóæäåíèÿ ñîâïàäàþò äëÿ
èñõîäíîé ñèñòåìû è äëÿ ìîäèôèöèðîâàííîé ìîäåëè Äåâèñîíà.
Ñðàâíåíèå àëãîðèòìîâ. Êàê ñëåäóåò èç èçëîæåííîãî, ïðîöåññ ïî-
ñòðîåíèÿ àëãîðèòìà íà îñíîâå ìîäèôèöèðîâàííîé ìîäåëè Äåâèñîíà
ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ ïðîöåäóðîé ïîëó÷åíèÿ îáû÷íîé ìîäåëè Äåâèñîíà,
çà èñêëþ÷åíèåì óðàâíåíèé (9) äëÿ ñêàëÿðíîãî óïðàâëåíèÿ è (23) äëÿ
îáû÷íîé ìîäåëè.
Ñðàâíèì ðåàêöèè îáåèõ ìîäåëåé íà ñòóïåí÷àòûå âîçáóæäåíèÿ. Äëÿ
ìîäåëè Äåâèñîíà â ñëó÷àå [ ( )]U zb b j�
0 ñòàöèîíàðíûå çíà÷åíèÿ ìîäåëè
îòëè÷àþòñÿ îò ñòàöèîíàðíûõ çíà÷åíèé èñõîäíîé ñèñòåìû.  ñëó÷àå ìîäè-
ôèöèðîâàííîé ìîäåëè Äåâèñîíà äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ñòà-
öèîíàðíûå çíà÷åíèÿ ìîäåëè ñîâïàäàþò ñî ñòàöèîíàðíûìè çíà÷åíèÿìè
èñõîäíîé ñèñòåìû, çàäàþòñÿ ñëåäóþùèì ïðåäïîëîæåíèåì: äëÿ âñåõ j,
d j
1, èëè äëÿ âñåõ j [ ( )]U zb b j� �0. Åñëè äëÿ âñåõ jd j �1, òî î÷åâèäíî
ìàòðèöà Dn ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé I m.
×èñëåííûé ýêñïåðèìåíò. Èñïîëüçóåì ïðîãðàììó Davison, íàïèñàí-
íóþ â ñðåäå Matlab è ïðåäíàçíà÷åííóþ äëÿ ïîíèæåíèÿ ðàçìåðíîñòè äèô-
ôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà, îñíîâàííîé íà ìîäåëè
Àïïðîêñèìàöèîííûå àëãîðèòìû ïîíèæåíèÿ ðàçìåðíîñòè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 2 45
Äåâèñîíà. Ðàññìîòðèì ïðèìåð:
� , , ,x x x x x u
1 1 2 3 4 1
6 0 8 06 0 05� � � � � � ;
� , , ,x x x x x u
2 1 2 3 4 2
8 0 6 01 01� � � � � ;
� , , ,x x x x x u
3 1 2 3 4 3
0 6 6 11 01� � � � � � ;
� , , , , ,x x x x x u
4 1 2 3 4 4
0 05 01 11 4 5 0008� � � � � � .
Àëãîðèòì ðàáîòû ïðîãðàììû.
1. Ïðîâåðÿåì ïðàâèëüíîñòü çàäàíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ, ò. å. âûïîë-
íåíèå óñëîâèÿ, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû À ïîïàðíî îòëè-
÷àþòñÿ è èõ äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè — îòðèöàòåëüíûå.  ñëó÷àå íåâûïîë-
íåíèÿ óñëîâèÿ íà ýêðàí âûâîäèòñÿ ñîîáùåíèå îá îøèáêå.
2. Çàäàåì ýëåìåíòû ìàòðèö À, Â è âåêòîð óïðàâëåíèÿ u:
A �
� � �
� �
� � �
� �
6 08 06 005
8 06 1 01
06 1 6 11
005 01 1
, , , ;
, , ;
, , ;
, , , ,
;
1 45�
�
�
�
�
�
�
�
B = [–1 0,1 –0,1 – 0,008]�;
u = [0,381, 0,1, 0,2, 0,4]�.
3. Çàäàåì ðàçìåðíîñòü ìîäåëè, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü (ïà-
ðàìåòð m = 2).
4. Çàïóñêàåì ïðîãðàììó íà âûïîëíåíèå.
À. À. Äÿ÷óê
46 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 2
0,01
0
0,01
0,02
0,03
0,04
�
�
�
�
0 5 10 15 20
x t( )
t
1
2
Ïîñëå îêîí÷àíèÿ ïðîãðàììû ïîëó÷àåì ìîäåëü ïîíèæåííîé ðàçìåð-
íîñòè, íîâûå ìàòðèöû
A �
� �
�
�
�
�
�
�
�
5 7012 0 6382
8 4676 0 3334
, ,
, ,
, B �
�
�
�
�
�
�
�
�
0 3433
0 8110
,
,
.
Ãðàôèêè ðåøåíèÿ èñõîäíîé (1) è àïïðîêñèìàöèîííîé (2) ìîäåëåé ïðåä-
ñòàâëåíû íà ðèñóíêå.
Âûâîäû. Ïðåäëîæåííûå àïïðîêñèìàöèîííûå àëãîðèòìû ïîíèæåíèÿ
ðàçìåðíîñòè äèôôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà îñíîâàíû
íà ïåðâîé, âòîðîé è ìîäèôèöèðîâàííîé ìîäåëÿõ Äåâèñîíà. Ìîäèôèöèðîâàí-
íàÿ ìîäåëü Äåâèñîíà óëó÷øàåò èçâåñòíûé âòîðîé ìåòîä Äåâèñîíà è ìîäè-
ôèêàöèÿ êàñàåòñÿ òîëüêî ôîðìû ïðåäñòàâëåíèÿ ìîäåëè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ïðîöåäóð ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ íà îñíîâå îáîèõ ìåòîäîâ ïîëíîñòüþ ñîâ-
ïàäàåò â ñëó÷àå ñêàëÿðíîãî óïðàâëåíèÿ è â ñëó÷àå, êîãäà ïîðÿäîê ìîäåëè ñ
óìåíüøåííîé ðàçìåðíîñòüþ ðàâåí åäèíèöå. Ïðîãðàììà Davison äëÿ ïîíè-
æåíèÿ ðàçìåðíîñòè äèíàìè÷åñêîé ìîäåëè äîêàçûâàåò, ÷òî ìîäåëü Äåâèñîíà
êîððåêòíà è ýôôåêòèâíà ïðè èñïîëüçîâàíèè. Ýòà ïðîãðàììà ýêîíîìè÷íà è
ðåàëèçóåòñÿ ñ ìàëûìè çàòðàòàìè ìàøèííîãî âðåìåíè è îáúåìà âû÷èñëåíèé.
Approximation algorithms of lowering the dimension of the differential model of dynamic object
are considered on the basis of Davison models.
1. Aoki M. Control of Large-Scale Dynamic Systems by Aggregation// IEEE Trans. Automatic
Control. — 1968. — Vol. AC-13, ¹ 3. — Ð. 246—253.
2. Kokotovic P.V., O’Malley R.E., Jr. Sannuti, Sannuti P. Singular Perturbations and Order
Reduction in Control Theory-An Overview // Automatica. — 1976. — Vol. 12, ¹ 2. —
Ð. 123—132.
3. Davison E.J A New Method for Simplifying Large Linear Dynamic Sysytems // IEEE Trans.
Automatic Control. — 1966. —Vol. AC-13, ¹ 2. — Ð. 214—215.
4. Davison E.J. A Method for Simplifying Linear Dynamic Sysytems // Ibid.— 1966. —
Vol. AC-11, ¹ 1. — Ð. 93—101.
5. Ìàýäà Ñòðóêòóðà ìíîãîìåðíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû è ìåòîäû ïîíèæåíèÿ å¸ ðàçìåð-
íîñòè // Ñèñóòåìó òî ñýéã¸. — 1978. —22, ¹ 11. — Ñ.655—664.
Ïîñòóïèëà 15.09.06
Äß×ÓÊ Àëåêñàíäð Àíàòîëüåâè÷, àñïèðàíò Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå
èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  2005 ã. îêîí÷èë Êàìåíåö-Ïîäîëüñêèé ãîñóíèâåðñèòåò.
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.
Àïïðîêñèìàöèîííûå àëãîðèòìû ïîíèæåíèÿ ðàçìåðíîñòè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 2 47
|