Свойства поверхностных волн в упругом полом цилиндре
Исследованы свойства низших нормальных осесимметричных волн в упругом полом цилиндре. Решение граничной задачи получено на основе уравнений динамической теории упругости. Асимптотический анализ дисперсионного уравнения в области больших волновых чисел показал, что в полом цилиндре существует две пов...
Saved in:
| Date: | 2004 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2004
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1017 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Свойства поверхностных волн в упругом полом цилиндре / В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 3. — С. 39-48. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860089930428973056 |
|---|---|
| author | Гринченко, В.Т. Комиссарова, Г.Л. |
| author_facet | Гринченко, В.Т. Комиссарова, Г.Л. |
| citation_txt | Свойства поверхностных волн в упругом полом цилиндре / В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 3. — С. 39-48. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Исследованы свойства низших нормальных осесимметричных волн в упругом полом цилиндре. Решение граничной задачи получено на основе уравнений динамической теории упругости. Асимптотический анализ дисперсионного уравнения в области больших волновых чисел показал, что в полом цилиндре существует две поверхностные волны. Они цилиндре формируются отдельно на внешней и внутренней поверхностях цилиндра. Предельным значением фазовой скорости указанных волн является скорость волны Рэлея. Разработана методика вычислений кинематических характеристик в рамках рассмотренной постановки задачи. В качестве конкретного примера представлена трансформация волновых движений в широком диапазоне волновых чисел (от 10 до 100).
Досліджено властивості нижчих нормальних осесиметричних хвиль у пружному порожнистому циліндрі. Розв'язок граничної задачі побудовано на основі рівнянь динамічної теорії пружності. Асимптотичний аналіз дисперсійного рівняння в області великих хвильових чисел показав, що у порожнистому циліндрі існує дві поверхневі хвилі. Вони формуються окремо на зовнішній і внутрішній поверхнях циліндра. Граничним значенням фазової швидкості вказаних хвиль є швидкість хвилі Релея. Розроблено методику обчислення кінематичних характеристик у рамках розглянутої постановки задачі. Як конкретний приклад представлено трансформацію хвильових рухів у широкому діапазоні хвильових чисел (від 10 до 100).
Properties of the lowest normal axisymmetric waves in a hollow elastic cylinder are investigated. The boundary problem solution is obtained on the basis of the equations of dynamic elasticity theory. An asymptotic analysis of dispersion equation for large wavenumbers has shown the existence of two surface waves in the hollow cylinder. The limiting value for the phase velocity of these waves is the Raileygh velocity. The surface waves in the hollow cylinder form separately on its external and internal surfaces. A technique for calculating the kinematic characteristics within the considered problem statement is developed. As an example, wave motion transformation in wide range of wave numbers is presented (10 up to 100).
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:22:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 3. С. 39 – 48
УДК 534.1:534.232
СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН
В УПРУГОМ ПОЛОМ ЦИЛИНДРЕ
В. Т. Г РИ Н Ч ЕН К О∗, Г. Л. К ОМ И ССА РО В А∗∗
∗Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
∗∗Институт механики НАН Украины им. С. П. Тимошенко, Киев
Получено 30.11.2004
Исследованы свойства низших нормальных осесимметричных волн в упругом полом цилиндре. Решение граничной
задачи получено на основе уравнений динамической теории упругости. Асимптотический анализ дисперсионного
уравнения в области больших волновых чисел показал, что в полом цилиндре существует две поверхностные волны.
Они цилиндре формируются отдельно на внешней и внутренней поверхностях цилиндра. Предельным значением
фазовой скорости указанных волн является скорость волны Рэлея. Разработана методика вычислений кинемати-
ческих характеристик в рамках рассмотренной постановки задачи. В качестве конкретного примера представлена
трансформация волновых движений в широком диапазоне волновых чисел (от 10 до 100).
Дослiджено властивостi нижчих нормальних осесиметричних хвиль у пружному порожнистому цилiндрi. Розв’язок
граничної задачi побудовано на основi рiвнянь динамiчної теорiї пружностi. Асимптотичний аналiз дисперсiйного
рiвняння в областi великих хвильових чисел показав, що у порожнистому цилiндрi iснує двi поверхневi хвилi.
Вони формуються окремо на зовнiшнiй i внутрiшнiй поверхнях цилiндра. Граничним значенням фазової швидкостi
вказаних хвиль є швидкiсть хвилi Релея. Розроблено методику обчислення кiнематичних характеристик у рамках
розглянутої постановки задачi. Як конкретний приклад представлено трансформацiю хвильових рухiв у широкому
дiапазонi хвильових чисел (вiд 10 до 100).
Properties of the lowest normal axisymmetric waves in a hollow elastic cylinder are investigated. The boundary problem
solution is obtained on the basis of the equations of dynamic elasticity theory. An asymptotic analysis of dispersion
equation for large wavenumbers has shown the existence of two surface waves in the hollow cylinder. The limiting value
for the phase velocity of these waves is the Raileygh velocity. The surface waves in the hollow cylinder form separately on
its external and internal surfaces. A technique for calculating the kinematic characteristics within the considered problem
statement is developed. As an example, wave motion transformation in wide range of wave numbers is presented (10 up
to 100).
ВВЕДЕНИЕ
Вопрос о существовании гармонических волн,
локализованных вблизи свободной плоской грани-
цы упругого изотропного полупространства, впер-
вые поставлен и решен Рэлеем в 1885 [1]. В насто-
ящее время свойства поверхностной волны Рэлея
достаточно полно изучены как для изотропного
тела, так и для тел с различными типами ани-
зотропии [2, 3]. Волны Рэлея широко использую-
тся в сейсмологии и сейсморазведке (как средство
неразрушающего контроля поверхности и поверх-
ностного слоя образцов) и в акустоэлектронике.
Потребности практики способствовали появлению
большого количества работ, посвященных изуче-
нию локализации волновых движений вблизи по-
верхности упругих тел. Классификация типов по-
верхностных волн в упругом теле и вблизи поверх-
ности раздела сред с разными свойствами содер-
жится в работах [3 – 6]. Современный уровень по-
нимания явления локализации волновых движе-
ний в упругих телах изложен в [7].
Качественные представления о формировании
системы поверхностных волн в полом упругом ци-
линдре формировались на основе результатов, по-
лученных для упругого слоя и сплошного кругово-
го цилиндра. В случае осесимметричой деформа-
ции сплошного цилиндра низшая нормальная вол-
на в высокочастотном пределе становится поверх-
ностной волной с фазовой скоростью, приближаю-
щейся снизу к скорости волны Рэлея. В общем слу-
чае деформации упругого слоя его напряженно-
деформированное состояние представляется су-
перпозицией симметричного и антисимметрично-
го относительно срединной плоскости состояний.
При этом в каждом из них возможно формирова-
ние локализованных вблизи поверхностей волно-
вых возмущений, связанных с низшими нормаль-
ными волнами.
Характеризуя дисперсионные характеристики
общего волнового движения в слое, следует отме-
тить существование двух волн, распространяю-
щихся при любом значении частоты (имеющих
нулевые частоты запирания). Поскольку фазовые
скорости этих двух волн хотя и близки к рэлеев-
ской скорости, но всегда различны, то в общем
случае деформации в слое формируется специфи-
ческая поверхностная волна. Максимальные ам-
плитуды смещений (и напряжений) в ней возни-
кают последовательно то на одной, то на другой
c© В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова, 2004 39
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 3. С. 39 – 48
поверхности слоя – наблюдается процесс обмена
энергией между поверхностями.
В случае сплошного цилиндра существует толь-
ко одна волна с нулевой частотой запирания.
Именно она трансформируется в поверхностную
волну. Важно также отметить, что все волны бо-
лее высокого порядка имеют предельное значе-
ние фазовой скорости, равное скорости сдвиго-
вых волн. Для полого цилиндра также существу-
ет единственная волна с нулевой частотой запи-
рания. В то же время, наличие двух свободных
поверхностей создает предпосылки для существо-
вания двух поверхностных волн. При этом в си-
лу отсутствия геометрической симметрии эти вол-
ны должны отличаться от симметричной и анти-
симметричной волн в слое. Указанное обстоятель-
ство стимулирует интерес к более детальному изу-
чению характеристик нормальных волн в полом
упругом цилиндре.
Принципиальное отличие дисперсионных
свойств нормальных волн в полом цилиндре от
волн в слое и сплошном цилиндре устанавливается
уже при качественном анализе дисперсионных со-
отношений. Дисперсионные характеристики волн
в полом цилиндре со свободными поверхностями
зависят от двух геометрических параметров.
Кроме радиуса кривизны, важную роль играет
толщина стенки цилиндра. Влияние этого геоме-
трического параметра на поведение волн в полом
цилиндре рассмотрено в работах [8 – 12]. Влияние
толщины цилиндра существенно сказывается на
поведении низшей нормальной волны в области
относительно низких частот и распределении
частот запирания для волн высоких порядков.
Работы [13,14] следует отметить как первые пу-
бликации, в которых обращено внимание на осо-
бый характер формирования локализованных вол-
новых движений в полом цилиндре. Их авторами
приведены и проанализированы некоторые коли-
чественные данные о фазовых скоростях и фор-
мах низших нормальных волн. Одним из наибо-
лее важных результатов является указание на то,
что вторая нормальная волна в полом цилиндре
имеет в качестве высокочастотного предела ско-
рость, меньшую скорости сдвиговых волн и близ-
кую к скорости волн Рэлея. Данные конкретных
расчетов позволили сделать предположение о том,
что в случае полого цилиндра обмен энергией ме-
жду локализованными вблизи поверхностей вол-
новыми движениями в общем случае не происхо-
дит, но может возникнуть при некоторых специ-
альных условиях.
Цель данной работы – разработка методики ана-
лиза характеристик нормальных волн в области
высоких частот, изучение особенностей формиро-
вания поверхностных волн, анализ кинематиче-
ских характеристик этих волн в широком диапа-
зоне частот (волновых чисел).
1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА СМЕЩЕ-
НИЙ. АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННОГО УРАВ-
НЕНИЯ
Вектор смещений u в динамических задачах те-
ории упругости определяется из уравнения движе-
ния Ламе
(λ + µ)grad divu − rot rotu + b = ρ
∂2
u
∂t2
, (1)
где λ и µ – константы Ламе; ρ – плотность; b –
вектор объемных сил.
В рассматриваемом случае осесимметричной
деформации полого цилиндра вектор смещений
u(ur, uz) удобно представить в виде [15]
uj = Uj(r) exp[i(ζz − ωt)], j = r, z,
Ur(r) =
1
ζ
Q1(p1r) +
ζ
p2
2
Q1(p2r),
Uz(r) = −i
(
Q0(p1r) + Q0(p2r)
)
,
(2)
p2
1 = ζ2 − γ2
1 , p2
2 = ζ2 − γ2
2 ,
γ1 =
ωR
VD
, γ2 =
ωR
VS
, γ2
1
= kγ2
2
,
k =
1 − 2ν
2(1− ν)
.
Здесь ζ – волновое число; ω – круговая частота;
VD, VS – скорости волн расширения и сдвига; ν –
коэффициент Пуассона материала цилиндра; R –
внешний радиус цилиндра. Эти выражения удов-
летворяют уравнениям движения Ламе, если вы-
браны следующие радиальные функции:
dQ0(pr)
dr
= Q1(pr),
Q0(pir) = AiL0(pir) + BiM0(pir),
i = 1, 2,
(3)
где Ai, Bi – произвольные постоянные, а функции
L0(pr), M0(pr) имеют вид
L0(pr) =
{
I0(pr), p2 > 0,
J0(|p|r), p2 < 0,
40 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 3. С. 39 – 48
M0(pr) =
{
K0(pr), p2 > 0,
Y0(|p|r), p2 < 0.
Решение задачи представлено в безразмерном ви-
де. Все линейные величины отнесены к внешнему
радиусу цилиндра R. Безразмерное волновое чис-
ло ζ получаем, умножая его размерную величину
на R. Выражения для функций Q0(p1r) и Q0(p2r)
содержат четыре независимых произвольных по-
стоянных Ai, Bi (i=1, 2).
Полагаем, что внешняя (r=1) и внутренняя (r=
r1) поверхности полого цилиндра свободны от на-
пряжений. Здесь введены обозначения r1 = R1/R,
R1 – внутренний радиус цилиндра. Относитель-
ные внутренний радиус цилиндра r1 и его толщи-
на h/R связаны соотношением h/R = 1 − r1. Из
условий равенства нулю касательных напряжений
на поверхностях получаем следующие соотноше-
ния между искомыми величинами:
Q1(p1) = −p2
2
+ ζ2
2p2
2
Q1(p2),
Q1(p1r1) = −p2
2 + ζ2
2p2
2
Q1(p2r1).
(4)
Из условий для нормальных напряжений нахо-
дим систему двух однородных уравнений относи-
тельно неизвестных величин X и Y :
a11X + a12Y = 0,
a21X + a22Y = 0.
(5)
Согласно [15], эти новые неизвестные связаны с ра-
нее введенными произвольными постоянными со-
отношениями
X =
ζ
p2
2
Q1(p2),
Y =
ζ
p2
2
Q1(p2r1).
(6)
Коэффициенты системы (5) имеют вид [15]
a11 =
(p2
2+ζ2)2
4ζ2
∆1(p1)
∆(p1)
−p2
2
∆1(p2)
∆(p2)
− γ2
2
2ζ2
,
a12 =
(p2
2+ζ2)2
4ζ2
∆2(p1)
∆(p1)
−p2
2
∆2(p2)
∆(p2)
,
a21 =
(p2
2+ζ2)2
4ζ2
∆3(p1)
∆(p1)
−p2
2
∆3(p2)
∆(p2)
,
a22 =
(p2
2+ζ2)2
4ζ2
∆4(p1)
∆(p1)
−p2
2
∆4(p2)
∆(p2)
− 1
r1
γ2
2
2ζ2
,
(7)
0 2 4 6 8 10
2
0
2
4
6
8
10
R
ED
Рис. 1. Дисперсионные ветви распространяющихся
волн в стальном цилиндре с r1 = 0.3
где
∆(p) = M1(p)L1(pr1) − M1(pr1)L1(p),
∆1(p) = M1(pr1)L0(p) − L1(pr1)M0(p),
∆2(p) = M0(p)L1(p) − M1(p)L0(p),
∆3(p) = M1(pr1)L0(pr1) − L1(pr1)M0(pr1),
∆4(p) = L1(p)M0(pr1) − M1(p)L0(pr1).
(8)
Приравнивая определитель системы (5) к нулю,
получаем дисперсионное уравнение для нормаль-
ных волн в полом цилиндре:
det aij = 0, i, j = 1, 2. (9)
Уравнение (9) связывает безразмерные частоту и
волновое число при заданных значениях коэффи-
циента Пуассона ν и геометрического параметра
r1. Методика вычисления вещественных, мнимых
и комплексных корней трансцендентного уравне-
ния достаточно хорошо отработана [8,9]. Для опи-
сания некоторых важных свойств бегущих волн
приведем данные для трех низших распространя-
ющихся мод (вещественные корни уравнения (9)).
На рис. 1 они представлены для стального (ν =
0.29) полого цилиндра с r1 =0.3. Прямая OR соот-
ветствует корню уравнения Рэлея γ2/ζ = Cp/VS =
0.9262, OE (γ2/ζ = 1) – корням уравнения p2 = 0,
а OD (γ2/ζ = 1/k) – p1 = 0. Ниже прямых OD и
OE отрицательными являются величины p2
1 и p2
2
соответственно. Из графика видно, что уже при
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 41
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 3. С. 39 – 48
ζ ≥ 5.5 первая дисперсионная кривая с графи-
ческой точностью совпадает с прямой OR. Это
указывает на близость фазовой скорости соответ-
ствующей нормальной волны к скорости волны
Рэлея. Вторая дисперсионная кривая приближа-
ется к прямой OE, оставаясь в данном диапазоне
частот выше нее (фазовая скорость второй нор-
мальной волны остается больше скорости сдвиго-
вых волн в упругой среде). Такое поведение вто-
рой дисперсионной ветви для сплошного цилиндра
и упругого слоя послужило основанием для прове-
дения соответствующего асимптотического анали-
за. В результате был сделан вывод о том, что все
нормальные волны выше первой имеют в качестве
предельного значения фазовой скорости скорость
волн сдвига. Указанные качественные соображе-
ния о возможном характере волновых движений
в полом цилиндре заставляют рассмотреть пове-
дение второй волны в более широком диапазоне
частот и волновых чисел.
Вычисление корней уравнения (9) при больших
ζ показывает, что уже при ζ=12 вторая дисперси-
онная ветвь для полого цилиндра опускается ниже
прямой OE. При дальнейшем увеличении волново-
го числа (частоты) эта ветвь приближается свер-
ху к прямой OR. Таким образом, в полом цилин-
дре существуют, по крайней мере, две нормальные
волны, фазовые скорости которых приближаются
к скорости волны Рэлея. Более полная их характе-
ристика должна включать данные о кинематике
материальных точек цилиндра.
Проведенный анализ позволяет получить соо-
тветствующие асимптотические выражения для
элементов определителя (9) при больших значени-
ях волновых чисел и частот. Поскольку для двух
первых волн фазовая скорость меньше скорости
сдвиговых волн (Cp/VS < 1), то функции L0(pir)
и M0(pir), i = 1, 2 выражаются через модифици-
рованные функции Бесселя. При ζ →∞ с учетом
асимптотики модифицированных функций Бессе-
ля большого аргумента коэффициенты дисперси-
онного уравнения (9) принимают вид
a11 =−(p2
2
+ζ2)2
4ζ2
1
p1
+ p2−
γ2
2
2ζ2
,
a12 =
√
r1
[
(p2
2
+ζ2)2
4ζ2sh p1(1−r1)
− p2
sh p2(1−r1)
]
,
a21 =−a12
r1
,
a22 =
(p2
2+ζ2)2
4ζ2
1
p1
− p2 −
1
r1
γ2
2
2ζ2
.
(10)
Из полученных выражений следует, что коэффи-
циенты a12 и a21 для больших значений волновых
чисел и частот малы по сравнению с a11 и a22.
Тогда дисперсионное уравнение в области частот
и волновых чисел, в которой p2
i < 0, i = 1, 2, при
ζ→∞ можно приближенно представить в виде
a11a22 = 0. (11)
Формула (11) вырождается в два независимых
алгебраических уравнения. После преобразования
уравнение a11 =0 принимает вид
(
2 −
( C
VS
)2
)2
−
−4
√
1 −
( C
VS
)2
√
1 −
( C
VD
)2
+
+
2
ζ
( C
VS
)2
√
1 −
( C
VD
)2
= 0.
(12)
Оно отличается от уравнения Рэлея наличием тре-
тьего слагаемого, обратно пропорционального вол-
новому числу. Поскольку эта добавка положитель-
на, фазовая скорость соответствующей волны бу-
дет несколько меньше скорости волны Рэлея.
Уравнение a22 =0 после преобразования прини-
мает вид
(
2 −
( C
VS
)2
)2
−
−4
√
1 −
( C
VS
)2
√
1 −
( C
VD
)2
−
− 2
r1ζ
( C
VS
)2
√
1 −
( C
VD
)2
= 0.
(13)
Здесь добавка к классическому уравнению Рэлея
отрицательна и зависит от относительной толщи-
ны цилиндра. Фазовая скорость этой волны не-
сколько больше скорости волны Рэлея. Очеви-
дно также, что влияние добавки в дисперсионном
уравнении сильнее выражено для толстостенных
цилиндров.
Для построения кинематических характеристик
нормальных волн необходимо определить прои-
звольные постоянные, входящие в выражения ком-
понент вектора смещений (2), через неизвестные
X, Y системы (5). Из формул (4) находим констан-
ты A2 и B2, входящие в выражение для Q0(p2r):
A2 =
p3
2
ζ
x K1(p2r1) − y K1(p2)
∆(p2)
,
B2 =
p3
2
ζ
x I1(p2r1) − y I1(p2)
∆(p2)
.
(14)
42 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 3. С. 39 – 48
Из соотношений (4) и (6) определяем постоянные
A1 и B1, входящие в выражение для Q0(p1r):
A1 = −p1(p
2
2 + ζ2)
2ζ
x K1(p1r1) − y K1(p1)
∆(p1)
,
B1 = −p1(p
2
2 + ζ2)
2ζ
x I1(p1r1) − y I1(p1)
∆(p1)
.
(15)
Подставляя полученные значения постоянных в
выражения (2), (3), находим следующие выраже-
ния для амплитудных составляющих радиальных
и осевых смещений:
Ur(r) = −p2
1(p
2
2 + ζ2)
2ζ2
×
×
[f1(p1)
∆(p1)
I1(p1r) −
f2(p1)
∆(p1)
K1(p1r)
]
+
+ p2
2
[f1(p2)
∆(p2)
I1(p2r) −
f2(p2)
∆(p2)
K1(p2r)
]
,
(16)
Uz(r) = i
{
p1(p
2
2 + ζ2)
2ζ
×
×
[f1(p1)
∆(p1)
I0(p1r) +
f2(p1)
∆(p1)
K0(p1r)
]
−
− p3
2
ζ
[f1(p2)
∆(p2)
I0(p2r) +
f2(p2)
∆(p2)
K0(p2r)
]
}
,
(17)
f1(p) = X K1(pr1) − Y K1(p),
f2(p) = X I1(pr1) − Y I1(p).
(18)
Таким образом, компоненты вектора смещения
выражены через две произвольные постоянные X
и Y . В выражениях (18) необходимо перейти к
одной постоянной, используя одно из уравнений
системы (5). Это позволяет определить амплиту-
дные составляющие компонент вектора смещения
с точностью до выбранной постоянной.
В заключение раздела отметим, что прове-
денный асимптотический анализ дисперсионного
уравнения дает основания для некоторого общего
вывода, касающегося дисперсионных свойств нор-
мальных волн. Использованные асимптотические
представления основывались на предположении о
том, что корни дисперсионного уравнения распо-
лагаются ниже прямой OE (см. рис. 1). При этом
оказалось, что общее трансцендентное уравнение
вырождается в алгебраическое и имеет только два
вещественных корня. Таким образом, можно сде-
лать вывод о том, что все нормальные волны более
высокого порядка имеют в качестве предельного
значения фазовой скорости скорость волн сдвига.
0 2 4 6 8 10
2
0
2
4
6
8
10
1
2
3
4
5
1
2
5 R
D E
Рис. 2. Влияние толщинного параметра
на дисперсионные свойства первых двух
нормальных осесимметричных
волн в полом цилиндре:
сплошные – первая волна,
штрих-пунктирные – вторая волна;
1 – r1 = 0.3, 2 – r1 = 0.8, 3 – r1 = 0.9,
4 – r1 = 0.95, 5 – r1 = 0.99
2. АНАЛИЗ ЧИСЛОВЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
2.1. Дисперсионные характеристики первых
двух нормальных волн упругого полого цилин-
дра
Наличие точного решения задачи, сформулиро-
ванной на основе полной системы уравнений ди-
намической теории упругости, позволяет исследо-
вать дисперсионные характеристики нормальных
волн в широкой области частот и волновых чисел.
На рис. 1 приведены три первые дисперсионные
кривые для толстостенного цилиндра. При этом
интересно оценить влияние такого параметра как
толщина.
На рис. 2 представлены первые две дисперсион-
ные ветви осесимметричных волн для полого ци-
линдра из стали (коэффициент Пуассона ν =0.29)
при нескольких значениях относительного вну-
треннего радиуса цилиндра r1, изменяющегося от
0.3 до 0.99. Сплошные кривые соответствуют пер-
вой дисперсионной кривой, а штрих-пунктирные –
второй. При малых значениях волнового числа
(ζ < 1) первые дисперсионные кривые для раз-
личных r1 практически совпадают. Фазовая ско-
рость соответствующих им волн равна скорости
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 43
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 3. С. 39 – 48
2
46 46.1 46.2 46.3 46.4 46.5
ylI
-2000
-1000
0
1000
2000
1
2
Рис. 3. Частотные зависимости коэффициентов
алгебраической системы в окрестности первого корня
дисперсионного уравнения
продольной волны в стержне
Cp
VS
=
√
2(1 + ν) ≈ 1.606. (19)
При увеличении волнового числа (ζ > 1) фазовая
скорость низшей распространяющейся волны су-
щественно уменьшается с увеличением r1 (диспер-
сионная кривая отклоняется вправо от прямоли-
нейного участка γ2 =1.606ζ). С уменьшением тол-
щины это отклонение возрастает. Для цилиндри-
ческой оболочки с r1 =0.99 при ζ >2 низшая дис-
персионная ветвь (сплошная кривая 5) становится
практически горизонтальной в широком диапазо-
не значений волновых чисел. На этом участке фа-
зовая скорость низшей волны оболочки уменьша-
ется с уменьшением длины волны. Однако следу-
ет иметь в виду, что при дальнейшем увеличении
волнового числа фазовая скорость низшей волны
будет возрастать и, в конце концов, приближаться
к скорости волны Рэлея. Это подтверждается дан-
ными табл. 1, а также теоретическими и экспери-
ментальными результатами исследований [16, 17].
В табл. 1 приведены значения частот и фазо-
вых скоростей Cp/VS , определяемых из уравне-
ния (9). Эти данные показывают, что с увеличе-
нием волнового числа фазовая скорость низшей
волны для всех значений толщины стенки цилин-
дра приближается снизу к фазовой скорости вол-
ны Рэлея CR/VS = 0.9262. Для тонкостенных ци-
линдрических оболочек фазовая скорость низшей
волны приближается к фазовой скорости рэлеев-
ской волны при значительно больших значениях
волновых чисел, чем для толстых цилиндров. Это
совершенно естественно, поскольку поверхностная
волна может сформироваться лишь тогда, когда ее
длина становится меньше толщины цилиндра.
Вторая дисперсионная кривая, имеющая нену-
левую частоту запирания, соответствует волнам,
фазовые скорости которых еще более медленно
приближаются к скорости поверхностной волны.
Чем меньше толщина оболочки, тем более выра-
женным является участок дисперсионной кривой,
близкий к прямой OD. В соответствующем диа-
пазоне частот и волновых чисел фазовая скорость
волны близка к скорости продольных волн в мате-
риале цилиндра.
Частота запирания второй распространяющейся
волны с увеличением r1 уменьшается. Для рассма-
триваемого примера при r1 = 0.3 частота запира-
ния γ∗
2
=2.914, а при r1 =0.99 – 1.687. Помимо это-
го, увеличение r1 (уменьшение толщины цилин-
дра) вызывает уменьшение глубины завала второй
дисперсионной кривой вблизи ее частоты запира-
ния. При r1 ≥ 0.5 эта ветвь имеет положительную
кривизну [12]. Следовательно, с уменьшением то-
лщины цилиндра исчезает обратная волна. В по-
лом цилиндре с увеличением r1 частота запирания
основной продольно сдвиговой моды, которой со-
ответствует вторая нормальная волна, увеличива-
ется. Частота основной радиальной моды, которой
соответствует третья волна, наоборот, уменьшае-
тся. Вследствие этого уже при r1 ≥ 0.125 второй
нормальной волне соответствует радиальная мо-
да, а третьей – продольно-сдвиговая мода [12].
Представленные в табл. 2 данные для стального
цилиндра с r1 = 0.3 показывают тенденцию изме-
нения дисперсионных характеристик первых двух
нормальных волн с увеличением волнового числа.
Здесь для больших значений волновых чисел при-
ведены значения частот γ2,i и фазовых скоростей
Cpi/VS , i = 1, 2, полученных из уравнения (9), а
также фазовых скоростей CRi/VS , полученных из
приближенных уравнений (12) и (13). Видно, что
приближенные уравнения достаточно точно опре-
деляют фазовые скорости при больших волновых
числах.
2.2. Кинематические характеристики поверхно-
стных волн полого цилиндра
С формальной точки зрения, процедура опре-
деления компонент вектора смещений и тензора
напряжений для нормальных волн очень проста.
Для определенного соотношения волнового числа
и частоты, найденного из дисперсионного урав-
нения (9), с помощью уравнений (5) определя-
44 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 3. С. 39 – 48
Табл. 1. Дисперсионные характеристики первой нормальной волны стального цилиндра
r1 0.8 0.9
ζ 10 50 100 150 10 50 100 150
γ2 6.6599 45.7576 92.4788 138.722 4.4881 42.9119 91.4973 138.590
Cp/VS 0.6660 0.9152 0.9248 0.9251 0.4488 0.8582 0.9150 0.9239
r1 0.95 0.99
ζ 10 50 100 150 80 100 130 150
γ2 2.8315 35.7019 85.7795 134.905 28.1500 41.9770 65.7632 83.0790
Cp/VS 0.2832 0.7141 0.8578 0.8994 0.3519 0.4198 0.5059 0.5539
Табл. 2. Дисперсионные характеристики первых двух нормальных волн стального цилиндра с r1 = 0.3
ζ 10 20 40 60 80 100 150
γ2,1 9.12573 18.43845 36.94051 55.45213 73.96651 92.48189 138.7721
Cp1/VS 0.9126 0.9219 0.9235 0.9242 0.9246 0.9248 0.9251
CR1/VS 0.8895 0.9089 0.9177 0.9205 0.9218 0.9227 0.9237
γ2,2 10.37049 19.06991 37.50783 55.99348 74.49243 92.99771 139.273
Cp2/VS 1.0371 0.9535 0.9377 0.9332 0.9312 0.9300 0.9285
CR2/VS 0.9892 0.9668 0.9490 0.9419 0.9382 0.9358 0.9326
ется связь между X и Y . После этого все хара-
ктеристики нормальной волны находятся с точ-
ностью до некоторого произвольного множителя.
При фактической же реализации этой процеду-
ры следует учесть особенности поведения коэффи-
циентов системы (5) и соответствующие им фи-
зические особенности структуры волновых полей
в окрестности корней дисперсионного уравнения.
На первый взгляд, совершенно безразлично, из ка-
кого из двух соотношений определяется связь ме-
жду величинами X и Y :
Y = yl1X = yl2X,
yl1 =
a11
a12
, yl2 =
a21
a22
.
(20)
Однако с точки зрения практических вычислений
эти соотношения неравноправны. Это связано с
характером изменения коэффициентов пропорци-
ональности как функций частоты в окрестности
первого корня дисперсионного уравнения. Каче-
ственное представление об этих различиях дает
рис. 3, на котором приведены графики зависи-
мости yl1 (кривая 1) и yl2 (кривая 2) от часто-
ты в окрестности первого корня дисперсионного
уравнения (9). Корень дисперсионного уравнения
определяется как точка пересечения этих кривых.
Одна из кривых практически горизонтальна, в то
время как вторая характеризуется очень резкой
изменяемостью в узкой окрестности корня. Очень
малые изменения частоты (порядка долей процен-
та) приводят к изменению множителя yl1 на не-
сколько порядков. В связи с этим для обеспече-
ния приемлемой точности оценок при вычислении
характеристик первой нормальной волны следует
использовать второе уравнение системы (5).
В табл. 3 для случая nu = 0.29, r1 = 0.3, ζ = 50
приведены значения yl1 и yl2 в окрестности перво-
го корня дисперсионного уравнения, для которого
a11 =0. Видно, что при малом изменении частоты
(от 46.19 до 46.2) коэффициент yl1 изменяется на
большую величину (от 252 до −182.5). При этом
yl2 остается практически постоянным.
При подходе ко второму корню уравнения (9),
в окрестности которого a22 = 0, необходимо нахо-
дить X через Y , поскольку в окрестности второ-
го корня отношение xl1 = −a12/a11 практически
не меняется. Множитель же xl2 = −a22/a21 при
малом изменении частоты изменяется на весьма
большую величину. Значения xl1 и xl2 в окрестно-
сти второго корня уравнения (9) также приведены
в табл. 3.
Таким образом, при исследовании кинематики
первой нормальной волны необходимо использо-
вать второе уравнение системы (5) для исклю-
чения одной из неизвестных (X). При определе-
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 45
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 3. С. 39 – 48
Табл. 3. Частотные зависимости коэффициентов алгебраической системы
γ2 yl1 yl2 γ2 xl1 xl2
46 11200 0.000075 46.74 −.00009507 49.688
46.19 252 0.000132 46.748 −.00009486 1.414
46.1957 2.66 0.000134 46.7482 −.00009486 .2222
46.195761 0.0218 0.000134 46.748237 −.00009486 .00184
46.19576150 0.000141 0.000134 46.74823732455 −.00009486 −.00009481
46.19576150016 0.000134 0.000134 46.749 −.00009484 −4.5371
46.2 −182.5 0.000136 46.75 −.00009481 −10.4698
нии кинематики второй нормальной волны для
исключения одной из неизвестных (Y ) необходи-
мо использовать первое уравнение системы (5).
Указанные чисто вычислительные трудности оце-
нок характеристик нормальных волн обусловле-
ны физическими особенностями в их поведении.
Дело в том, что в каждой из двух волн наблю-
дается ярко выраженная локализация волнового
движения вблизи одной из поверхностей цилин-
дра. Как следствие, получаем специфическую пло-
хо обусловленную систему уравнений (5).
Характер трансформации волнового движения
с ростом волнового числа для первой нормальной
волны в стальном цилиндре с r1 = 0.3 изображен
на рис. 4. Здесь представлено изменение по ра-
диусу цилиндра нормированных амплитуд ради-
ального U∗
r (r) = Ur(r)/|Ur max| и осевого U∗
z (r) =
Uz(r)/|Uz max| смещений для 10≤ ζ ≤ 100. Из гра-
фиков видно, что уже при ζ = 10 распределение
смещений по толщине указывает на их локализа-
цию вблизи внешней поверхности цилиндра. Одна-
ко здесь смещения вблизи внутренней поверхности
цилиндра (особенно осевые) еще довольно вели-
ки. При ζ =20 смещения на внутренней поверхно-
сти цилиндра становятся небольшими по сравне-
нию со смещениями на внешней поверхности. При
ζ≥40 распределение радиальных и осевых смеще-
ний по толщине цилиндра уже соответствует клас-
сической волне Рэлея на внешней поверхности по-
лого цилиндра.
Для всех рассмотренных значений волновых чи-
сел максимальные амплитуды радиальных сме-
щений превосходят осевые. Обозначим отношение
максимальных значений амплитуд радиальных
смещений к осевым через urz = |Ur max|/|Uz max|.
Для приведенных на рис. 4 случаев при ζ = 20
urz = 1.69, при ζ = 40 urz = 1.61, при ζ = 100
urz = 1.52. С увеличением волнового числа значе-
ние urz уменьшается. При ν = 0.29 (стальной ци-
линдр) для классической волны Рэлея на поверх-
ности упругого полупространства отношение ма-
ксимальных значений амплитуд поперечных сме-
щений к продольным равно 1.513.
Для второй нормальной волны трансформация
волнового движения с ростом волнового числа от
10 до 100 показана на рис. 5. На графиках вновь
представлены распределения U∗
r (r) и U∗
z (r). При
ζ = 10 смещения максимальны на внутренней по-
верхности, хотя они не малы по всей толщине ци-
линдра. При ζ = 20 происходит заметная локали-
зация смещений возле внутренней поверхности ци-
линдра, однако и на внешней поверхности имеют
место незначительные смещения. При ζ ≥ 40 ха-
рактер распределения смещений по толщине ци-
линдра соответствует поверхностной волне Рэлея
на внутренней поверхности. Аналогично первой
нормальной волне, амплитуды радиальных сме-
щений больше амплитуд осевых. Однако значе-
ния urz для второй нормальной волны несколько
меньшие, чем для первой нормальной волны. При
ζ =20 urz =1.40, при ζ =40 urz =1.44, при ζ =100
urz =1.47. В отличие от первой нормальной волны,
здесь с повышением частоты значения urz увели-
чиваются.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследованы свойства поверхностных волн в
упругом полом цилиндре. Анализ дисперсионно-
го уравнения в области больших волновых чи-
сел позволил выделить два уравнения для опре-
деления фазовой скорости поверхностной волны.
Обнаружено, что в полом упругом цилиндре суще-
ствуют две нормальные волны, предельным зна-
чением фазовой скорости для которых является
скорость волны Рэлея. Показано, что поверхно-
стные волны в полом цилиндре локализуются от-
дельно на внешней и внутренней поверхностях
цилиндра. Получены асимптотические уравнения
для определения дисперсионных свойств поверх-
46 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 3. С. 39 – 48
r
0.4 0.6 0.8 1
Ur*
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2
3 4
r
0.4 0.6 0.8 1
Uz*
-1
-0.5
0
0.5
1
1
2
3 4
а б
Рис. 4. Распределение по радиусу нормированных амплитуд смещений в первой нормальной волне:
1 – ζ = 10, 2 – ζ = 20, 3 – ζ = 40, 4 – ζ = 100
r
0.4 0.6 0.8 1
Ur*
-1
-0.5
0
0.5
1
12
34
r
0.4 0.6 0.8 1
Uz*
-1
-0.5
0
0.5
1
1
2
34
а б
Рис. 5. Распределение по радиусу нормированных амплитуд смещений во второй нормальной волне:
1 – ζ=10, 2 – ζ =20, 3 – ζ =40, 4 – ζ =100
ностных волн.
Разработана методика вычисления кинематиче-
ских характеристик поверхностных волн в по-
лом цилиндре. На конкретном примере показана
трансформация волнового движения в диапазоне
изменения волновых чисел от 10 до 100. С ростом
волнового числа (уменьшением длины волны) пер-
вая нормальная волна формирует волновое возму-
щение, локализованное вблизи внешней поверхно-
сти цилиндра, а вторая – возмущение, локализо-
ванное на его внутренней поверхности. Соотно-
шения между амплитудами смещений на внешней
и внутренней поверхностях цилиндра изменяются
при изменении волнового числа.
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 47
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 3. С. 39 – 48
1. Rayleigh J. W. On waves propagated along the plane
surface of an elastic solid // Proc. Lond. Math. Soc.–
1885/1886.– 17, N 253.– P. 4–11.
2. Фарнелл Дж. Свойства упругих поверхностных
волн // Физ. акустика: Принципы и методы (пер.
с англ.).– 1973.– 6.– С. 137–202.
3. Викторов И. А. Типы звуковых поверхностных
волн в твердых телах // Акуст. ж.– 1979.– 25, N 1.–
С. 1–17.
4. Oliver J. A summary of observed seismic surface wave
dispersion // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1959.– 52,
N 1.– P. 81–90.
5. Owen T. E. Surface wave phenomena in ultrasoni-
cs // Progr. Appl. Matter. Resch.– 1964.– 6.– P. 69–
87.
6. Überal H. Surface waves in acoustics // Phys.
acoustics: Principles and metods.– 10.– 1973.– P. 1–
60.
7. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические ко-
лебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. дум-
ка, 1981.– 283 с.
8. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Распростра-
нение волн в полом упругом цилиндре с жидко-
стью // Прикл. мех.– 1984.– 20, N 8.– С. 25–29.
9. Комиссарова Г. Л. К решению задачи о рас-
пространении волн в цилиндре с жидкостью //
Прикл. мех.– 1990.– 26, N 8.– С. 25–29.
10. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Свойства нор-
мальных волн в упруго-жидкостных цилиндриче-
ских волноводах // Акуст. вiсн.– 2000.– 3, N 3.–
С. 44–55.
11. Комиссарова Г. Л. Распространение нормальных
волн в заполненных жидкостью тонкостенных ци-
линдрах // Прикл. мех.– 2002.– 38, N 1.– С. 124–
134.
12. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Особенно-
сти динамического деформирования полого ци-
линдра // Прикл. мех.– 1986.– 22, N 5.– С. 3–8.
13. Rosenberg R. L., Thurston R. N. Relationship
between plate and surface modes of a tube //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1977.– 61, N 6.– P. 1499–
1502.
14. Thurston R. N. Elastic waves in rod and clad rods //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1978.– 64, N 1.– P. 1–37.
15. Гринченко В. Т. Равновесие и установившиеся ко-
лебания упругих тел конечных размеров.– К.: На-
ук. думка, 1978.– 264 с.
16. Vollman J., Dual J. High-resolution analysis of the
complex wave spectrum in a cylindrical shell containi-
ng a viscoelastic medium. Part I. Theory and numeri-
cal results // J. Acoust. Soc. Amer.– 1997.– 102, N 2,
Pt. 1.– P. 896–908.
17. Vollmann J., Breu R., Dual J. High-resolution
analysis of the complex wave spectrum in a cylindri-
cal shell containing a viscoelastic medium. Part II.
Experimental results versus theory // J. Acoust.
Soc. Amer.– 1997.– 102, N 2, Pt. 1.– P. 909–920.
48 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1017 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:22:27Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гринченко, В.Т. Комиссарова, Г.Л. 2008-07-09T15:09:17Z 2008-07-09T15:09:17Z 2004 Свойства поверхностных волн в упругом полом цилиндре / В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 3. — С. 39-48. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1017 534.1:534.232 Исследованы свойства низших нормальных осесимметричных волн в упругом полом цилиндре. Решение граничной задачи получено на основе уравнений динамической теории упругости. Асимптотический анализ дисперсионного уравнения в области больших волновых чисел показал, что в полом цилиндре существует две поверхностные волны. Они цилиндре формируются отдельно на внешней и внутренней поверхностях цилиндра. Предельным значением фазовой скорости указанных волн является скорость волны Рэлея. Разработана методика вычислений кинематических характеристик в рамках рассмотренной постановки задачи. В качестве конкретного примера представлена трансформация волновых движений в широком диапазоне волновых чисел (от 10 до 100). Досліджено властивості нижчих нормальних осесиметричних хвиль у пружному порожнистому циліндрі. Розв'язок граничної задачі побудовано на основі рівнянь динамічної теорії пружності. Асимптотичний аналіз дисперсійного рівняння в області великих хвильових чисел показав, що у порожнистому циліндрі існує дві поверхневі хвилі. Вони формуються окремо на зовнішній і внутрішній поверхнях циліндра. Граничним значенням фазової швидкості вказаних хвиль є швидкість хвилі Релея. Розроблено методику обчислення кінематичних характеристик у рамках розглянутої постановки задачі. Як конкретний приклад представлено трансформацію хвильових рухів у широкому діапазоні хвильових чисел (від 10 до 100). Properties of the lowest normal axisymmetric waves in a hollow elastic cylinder are investigated. The boundary problem solution is obtained on the basis of the equations of dynamic elasticity theory. An asymptotic analysis of dispersion equation for large wavenumbers has shown the existence of two surface waves in the hollow cylinder. The limiting value for the phase velocity of these waves is the Raileygh velocity. The surface waves in the hollow cylinder form separately on its external and internal surfaces. A technique for calculating the kinematic characteristics within the considered problem statement is developed. As an example, wave motion transformation in wide range of wave numbers is presented (10 up to 100). ru Інститут гідромеханіки НАН України Свойства поверхностных волн в упругом полом цилиндре Properties of surface waves in hollow elastic cylinder Article published earlier |
| spellingShingle | Свойства поверхностных волн в упругом полом цилиндре Гринченко, В.Т. Комиссарова, Г.Л. |
| title | Свойства поверхностных волн в упругом полом цилиндре |
| title_alt | Properties of surface waves in hollow elastic cylinder |
| title_full | Свойства поверхностных волн в упругом полом цилиндре |
| title_fullStr | Свойства поверхностных волн в упругом полом цилиндре |
| title_full_unstemmed | Свойства поверхностных волн в упругом полом цилиндре |
| title_short | Свойства поверхностных волн в упругом полом цилиндре |
| title_sort | свойства поверхностных волн в упругом полом цилиндре |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1017 |
| work_keys_str_mv | AT grinčenkovt svoistvapoverhnostnyhvolnvuprugompolomcilindre AT komissarovagl svoistvapoverhnostnyhvolnvuprugompolomcilindre AT grinčenkovt propertiesofsurfacewavesinhollowelasticcylinder AT komissarovagl propertiesofsurfacewavesinhollowelasticcylinder |