Определение формы электрода по дискретно заданному граничному распределению поля
Использовано аналитическое решение задачи Коши для уравнения Лапласа в случае таблично заданного распределения напряженности электрического поля на плоской граничной поверхности. Исследована сходимость несобственных интегралов решения и описаны алгоритмы их вычисления, построения линий уровня поля,...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101771 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Определение формы электрода по дискретно заданному граничному распределению поля / О.Я. Коновалов, В.М. Михайлов // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 3. — С. 71-81. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859916823436197888 |
|---|---|
| author | Коновалов, О.Я. Михайлов, В.М. |
| author_facet | Коновалов, О.Я. Михайлов, В.М. |
| citation_txt | Определение формы электрода по дискретно заданному граничному распределению поля / О.Я. Коновалов, В.М. Михайлов // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 3. — С. 71-81. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Использовано аналитическое решение задачи Коши для уравнения Лапласа в случае таблично заданного распределения напряженности электрического поля на плоской граничной поверхности. Исследована сходимость несобственных интегралов решения и описаны алгоритмы их вычисления, построения линий уровня поля, с помощью которых определен профиль электрода. Определено расхождение заданного и создаваемого распределений поля с помощью решения прямой задачи.
Використано аналітичний розв’язок задачі Коші для рівняння Лапласа у випадку таблично заданого розподілу напруженості електричного поля на плоскій граничній поверхні. Досліджено збіжність невласних інтегралів розв’язку й описано алгоритми їхнього обчислення, побудови ліній рівня поля, за допомогою яких визначено профіль електрода. Визначено розбіжність заданого та створюваного розподілів поля за допомогою розв’язку прямої задачі.
An analytical solution of Cauchy problem for Laplace equation is used for tabular distribution of electric field intensity on the plane boundary surface. A convergence of improper solution integrals is studied., the algorithms of their calculation, and of the field level lines construction are described. By their means the electrode profile is determined. A divergence of the given and created field distribution is defined by solving direct problem.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:05:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 621.3:538.3
Î. ß. Êîíîâàëîâ, Â. Ì. Ìèõàéëîâ, ä-ð òåõí. íàóê
Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
«Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò»
(Óêðàèíà, 61002, Õàðüêîâ, óë. Ôðóíçå, 21,
òåë.: (057) 7076052, E-mail: Oleg_ARem@mail.ru)
Îïðåäåëåíèå ôîðìû ýëåêòðîäà
ïî äèñêðåòíî çàäàííîìó ãðàíè÷íîìó
ðàñïðåäåëåíèþ ïîëÿ
Èñïîëüçîâàíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â ñëó÷àå
òàáëè÷íî çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà ïëîñêîé ãðà-
íè÷íîé ïîâåðõíîñòè. Èññëåäîâàíà ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ðåøåíèÿ è
îïèñàíû àëãîðèòìû èõ âû÷èñëåíèÿ, ïîñòðîåíèÿ ëèíèé óðîâíÿ ïîëÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ
îïðåäåëåí ïðîôèëü ýëåêòðîäà. Îïðåäåëåíî ðàñõîæäåíèå çàäàííîãî è ñîçäàâàåìîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèé ïîëÿ ñ ïîìîùüþ ðåøåíèÿ ïðÿìîé çàäà÷è.
Âèêîðèñòàíî àíàë³òè÷íèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ Êîø³ äëÿ ð³âíÿííÿ Ëàïëàñà ó âèïàäêó òàáëè÷íî
çàäàíîãî ðîçïîä³ëó íàïðóæåíîñò³ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ íà ïëîñê³é ãðàíè÷í³é ïîâåðõí³.
Äîñë³äæåíî çá³æí³ñòü íåâëàñíèõ ³íòåãðàë³â ðîçâ’ÿçêó é îïèñàíî àëãîðèòìè ¿õíüîãî îá÷èñ-
ëåííÿ, ïîáóäîâè ë³í³é ð³âíÿ ïîëÿ, çà äîïîìîãîþ ÿêèõ âèçíà÷åíî ïðîô³ëü åëåêòðîäà.
Âèçíà÷åíî ðîçá³æí³ñòü çàäàíîãî òà ñòâîðþâàíîãî ðîçïîä³ë³â ïîëÿ çà äîïîìîãîþ ðîçâ’ÿçêó
ïðÿìî¿ çàäà÷³.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ïðîôèëü ýëåêòðîäà, ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, çàäà÷à Êîøè äëÿ
óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, ýêâèïîòåíöèàëüíûå ëèíèè.
 òåõíèêå ñèëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåé, ýëåêòðîííîé îïòèêå
âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü îïðåäåëåíèÿ ôîðìû ýëåêòðîäîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ
çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ íà ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè. Îäèí èç ñïîñîáîâ
ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû ñîñòîèò â ïîñòàíîâêå è ðåøåíèè çàäà÷è ïðîäîë-
æåíèÿ ïîòåíöèàëà èëè ñèëîâîé ôóíêöèè ïîëÿ íàä ãðàíèöåé (ãðàíè÷íîé ïî-
âåðõíîñòüþ) — çàäà÷è Êîøè, ïîñëåäóþùèõ ïîñòðîåíèÿ è «ìåòàëëèçàöèè»
ëèíèé óðîâíÿ [1—6]. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ÿâíûõ ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ ðåøå-
íèÿ ýòîé çàäà÷è íàáëþäàåòñÿ âîçðàñòàíèå ïîãðåøíîñòåé â ñëó÷àå óäàëåíèÿ îò
ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè [1, 2, 4], â òî âðåìÿ êàê àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ
îáåñïå÷èâàþò äîñòàòî÷íî óñòîé÷èâûå ÷èñëîâûå äàííûå [5, 6].  ðàáîòàõ [1, 2,
4—6] çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ íà ãðàíèöå ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíîé àíàëè-
òè÷åñêîé ôóíêöèåé.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 3 71
Íà ïðàêòèêå ÷àñòî áûâàåò íåîáõîäèìî ñîçäàòü íåêîòîðîå ðàñïðåäå-
ëåíèå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ íà ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè, çàäàííîå òàáëè÷íî.
Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ èññëåäîâàíèå âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ðàíåå
ïîëó÷åííûõ àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé [5, 6] äëÿ òàáëè÷íî çàäàííîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ïîëÿ íà ïëîñêîé ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè.
Ôîðìóëèðîâêà è ðåøåíèå çàäà÷è ïðîäîëæåíèÿ ïîëÿ. Äëÿ îïðåäå-
ëåííîñòè ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ïðîôèëÿ ìåòàëëè÷åñêîãî ýëåêò-
ðîäà, ñîçäàþùåãî íà ïëîñêîé ìåòàëëè÷åñêîé ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè òàá-
ëè÷íî çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé íàïðÿæåííîñòè
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ïîëå íàä ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòüþ ïîëàãàåì ïëîñ-
êèì, ïðè÷åì îñü õ äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ëåæèò íà ãðàíè÷íîé
ïëîñêîñòè, à îñü ó íîðìàëüíà ê íåé. Ñðåäà èìååò ïîñòîÿííûå ýëåêòðî-
ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè. Çàäà÷à Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â ýòîì
ñëó÷àå èìååò òàêîé âèä:
� �
�
� �
�
2
2
2
2
0
x y
� � , �� � � �x , y 0 ;
(1)
� ( , )x U0
0
� ; (2)
��
� y
E x
y
y
�
� �
0
0( , ) ,
(3)
ãäå � — ïîòåíöèàë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ; U0 — ïîòåíöèàë ïîëÿ íà ãðàíèöå
ó = 0; E xy ( , )0 — íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêò-
ðè÷åñêîãî ïîëÿ íà ãðàíèöå (çàäàííàÿ ôóíêöèÿ).
Ïîëàãàÿ, ÷òî E xy ( , )0 — ÷åòíàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ðåøåíèå çàäà-
÷è (1) — (3) ïðåäñòàâëÿåì â ñëåäóþùåì âèäå [5]:
�
� � � � �( , ) [ ( ) / ]cos ( ) ( )x y U F x sh y d� �
�
�0
0
2
, (4)
ãäå F ( )� — êîñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
E xy ( , )0 .
Êîñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëü-
íîé ïðîåêöèè âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ èìååò âèä [7]
F E x x dxy( ) ( , ) cos ( )�
��
�
�
2
0
0
.
(5)
Ïóñòü ôîðìóëüíîå âûðàæåíèå ãðàíè÷íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíî,
à äàíû òîëüêî åãî çíà÷åíèÿ â óçëîâûõ òî÷êàõ îñè õ, ò. å. íîðìàëüíàÿ
ïðîåêöèÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà ãðàíèöå çàäàíà
Î. ß. Êîíîâàëîâ, Â. Ì. Ìèõàéëîâ
72 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 3
òàáëè÷íî. Ïîëàãàÿ è â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèþ E xy ( , )0 àíàëèòè÷åñêîé, óò-
âåðæäàåì, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Êîâàëåâñêîé [8] ðåøåíèå çàäà÷è
(1) — (3) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
Âèäèì, ÷òî ðåàëèçàöèÿ ðåøåíèÿ (4) ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ íåñîáñò-
âåííûõ èíòåãðàëîâ â ôîðìóëàõ (4), (5). Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü
ñõîäèìîñòü ýòèõ èíòåãðàëîâ è ñîñòàâèòü àëãîðèòì èõ âû÷èñëåíèÿ.
Ñõîäèìîñòü è àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ.
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà (5). Ïîäûí-
òåãðàëüíîå âûðàæåíèå â íåì ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå äâóõ ôóíê-
öèé, ïðè÷åì èç ñîîáðàæåíèé ôèçèêè E xy ( , )0 — îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ ñ
ðàñïðåäåëåíèåì, ëîêàëèçîâàííûì íà îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîì ó÷àñòêå
îñè õ, âíå êîòîðîãî åå çíà÷åíèÿ áëèçêè ê íóëþ. Òîãäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî
cos( )�x
1, (6)
óñòàíàâëèâàåì ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà E x x d xy ( , ) cos ( )0
0
�
�
�
,
èç êîòîðîé ñëåäóåò ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà (5) [9].
Ïóñòü â íåñîáñòâåííîì èíòåãðàëå ðåøåíèÿ (4) ïðè � 0 âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå
F
C
( )
exp(
�
�
���
�
� ,
(7)
ãäå � > 0, C
�
�1— íåêîòîðûå ÷èñëà. Ïîñêîëüêó sh y y( ) exp(� � �� , ñ ó÷åòîì
(6), (7) ïîëó÷àåì
F
x sh y C y
( )
cos ( ) ( ) exp[( (
�
�
� � � ���
�
� � � .
(8)
Ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (8) ïðè óñëîâèè
y � � (9)
åñòü èíòåãðèðóåìàÿ íà ñåãìåíòå �[ , )0 � ôóíêöèÿ. Òîãäà íà îñíîâàíèè
ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ [9] óòâåðæäàåì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (7) è (9)
èíòåãðàë â ðåøåíèè (4) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ.
Ñîñòàâèì àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ðåøåíèÿ. Ïî-
ëàãàåì, ÷òî ìàññèâ çíà÷åíèé E xy ( , )0 çàäàí â ðàâíîîòñòîÿùèõ òî÷êàõ îñè õ.
Îñîáåííîñòüþ ðàññìàòðèâàåìûõ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ÿâëÿåòñÿ îñöèë-
ëÿöèÿ çíà÷åíèé ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé, îáóñëîâëåííàÿ ìíîæèòåëåì
cos ( )�x (òàêèå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå èññëåäîâàíû â [10]). ×àñòîòà
îñöèëëÿöèé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â (4) â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ èëè ïðè
îòíîñèòåëüíî íèçêîé ÷àñòîòå îñöèëÿöèé F ( )� îïðåäåëÿåòñÿ êîîðäèíàòîé òî÷-
êè íàáëþäåíèÿ ïîëÿ õ (ñì. ïðèìåð ðàñ÷åòà), à â (5) — òåêóùèì çíà÷åíèåì �.
Îïðåäåëåíèå ôîðìû ýëåêòðîäà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 3 73
 ðàáîòå [11] ðåêîìåíäóåòñÿ ñîñòàâëÿòü àëãîðèòìû, ðåàëèçóþùèå âû-
÷èñëåíèÿ ïðè ìàëîé ÷àñòîòå îñöèëëÿöèé ïî êëàññè÷åñêèì êâàäðàòóðíûì
ôîðìóëàì (íàïðèìåð, ôîðìóëàì ïðÿìîóãîëüíèêîâ, òðàïåöèé, ïàðàáîë), à
ïðè âûñîêîé ÷àñòîòå — ïî êâàäðàòóðíûì ôîðìóëàì äëÿ áûñòðî îñöèë-
ëèðóþùèõ ôóíêöèé (íàïðèìåð, íà ôîðìóëå Ôèëîíà). Òàêîé àëãîðèòì ïîçâî-
ëÿåò ó÷åñòü èçìåíåíèå ÷àñòîòû ïîäûíòåãðàëüíûõ âûðàæåíèé â øèðîêèõ
ïðåäåëàõ. Ïîëàãàÿ ÷àñòîòó îñöèëëÿöèé èçìåíÿþùåéñÿ â îòíîñèòåëüíî íå-
áîëüøîì èíòåðâàëå, âû÷èñëÿåì íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïðè ïîìîùè
êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû Ñèìïñîíà [12]. Äëÿ èñêëþ÷åíèÿ ïîãðåøíîñòåé, îáóñ-
ëîâëåííûõ îñöèëëÿöèÿìè, âûçâàííûìè ÷ðåçìåðíî áîëüøèì øàãîì èíòåã-
ðèðîâàíèÿ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèÿ h x
�
, hx� (ãäå h
�
, hx — øàãè
÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó ïðåîáðàçîâàíèÿ � è êîîðäèíàòå õ)
áûëè çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàññòîÿíèé ìåæäó äâóìÿ
ñîñåäíèìè íóëÿìè ïîäûíòåãðàëüíûõ âûðàæåíèé, ò. å. h x
�
�� , hx�
�� .
Èç ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâ ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âûáîðà øàãîâ:
h
x
�
�� , hx ��
�
.
(10)
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî øàã èíòåãðèðîâàíèÿ ïî � îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëåí
êîîðäèíàòå, îñü êîòîðîé ëåæèò íà ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè. Êîíå÷íûå çíà-
÷åíèÿ âåðõíèõ ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ �m, xm ïîäáèðàåì ñ ïîìîùüþ
îöåíêè ïîãðåøíîñòåé, âíîñèìûõ èñêëþ÷åíèåì ó÷àñòêîâ èíòåãðèðîâàíèÿ
��m , )� , [ , )xm � .
Ñðàâíåíèå àíàëèòè÷åñêîãî è ðàçíîñòíîãî ðåøåíèé çàäà÷è. Ïðè
ðåøåíèè çàäà÷è ðàçíîñòíûì ìåòîäîì [1, 2, 4] âáëèçè ãðàíè÷íîé ïîâåðõ-
íîñòè âûäåëÿþò îáëàñòü, ãäå ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿ íå ïðåâîñõîäèò çàäàí-
íîé âåëè÷èíû (îáëàñòü äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòè [4]). ßâíàÿ ðàçíîñòíàÿ
ñõåìà çàäà÷è (1) — (3), ïîñòðîåííàÿ íà îñíîâå êîíå÷íî-ðàçíîñòíîé àï-
ïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà íà øàáëîíå «êðåñò» ñ ïîãðåøíîñòüþ
O h hx y( )
2 2
� , èìååò òàêîé âèä [13]:
� � � � �i k
x y
x
i k
y
x
i k
y
x
i k
h h
h
h
h
h
h
, , , ,� � �
�
�
� � �
1
2 2
2
2
2 1
2
2 1
2 i k, �1
,
� i U
, 0 0
� ; � i y y i
U h E
, ,1 0 0
� � ,
ãäå � i k,
— ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ïîòåíöèàëà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ; i è k —
äèñêðåòíûå àðãóìåíòû ôóíêöèè � i k,
, ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿì õ è ó íà
ñåòêå; hx è hy — øàãè ñåòêè ïî êîîðäèíàòàì õ è ó.
Îöåíèì âëèÿíèå ïàðàìåòðîâ ðàçíîñòíîé ñõåìû íà åå óñòîé÷èâîñòü, à
òàêæå ñðàâíèì ðàçìåðû îáëàñòåé äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòè â ðàçíîñòíîì
Î. ß. Êîíîâàëîâ, Â. Ì. Ìèõàéëîâ
74 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 3
ìåòîäå è ñõîäèìîñòè ðåøåíèÿ (4) äëÿ çàäàííîãî «êîëîêîëîîáðàçíîãî»
ðàñïðåäåëåíèÿ, ïðè êîòîðîì
E x
a x
y ( , )0
1
2 2
�
�
,
(11)
ãäå a — ïîñòîÿííàÿ. Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (11) èíòåãðàë (4) ïðè õ = 0
èçâåñòåí [14]:
� ( , ) ln0
1
2
0
y U
a
a y
a y
� �
�
�
.
(12)
Âñå âåëè÷èíû â ôîðìóëàõ (11), (12) áåçðàçìåðíûå. Îòíîñèòåëüíûå ðàñ-
õîæäåíèÿ çíà÷åíèé � â ïðîöåíòàõ ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé � ( , )0 y è
�
0, k , âû÷èñëåííûå ïî ôîðìóëå�
� �
�
�
�( , )
( , )
%
,
0
0
100
0
y
y
k
, ïîêàçàíû íà ðèñ. 1.
Ïðèâåäåííûå íà ðèñ. 1 êðèâûå ïîäòâåðæäàþò èçâåñòíûé ôàêò âîçðàñ-
òàíèÿ ïîãðåøíîñòåé ðàñ÷åòà ñ ïîìîùüþ ÿâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû ïðè
óäàëåíèè îò ãðàíèöû y �0 [1, 2, 4]. Êðîìå òîãî, íàáëþäàåòñÿ óìåíüøåíèå
çíà÷åíèÿ � ïðè óìåíüøåíèè îòíîøåíèÿ hy /hx . Ïðè ñóùåñòâåííîì óäà-
ëåíèè îò ãðàíèöû (y �08, ) âëèÿíèå ýòîãî îòíîøåíèÿ íà âåëè÷èíó � îñëàáå-
âàåò. Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî âáëèçè ãðàíèöû
îáëàñòè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ðåøåíèÿ (4) (y �1) ïîãðåø-
íîñòè ðàçíîñòíîãî ìåòîäà ïðè âñåõ ðàññìîòðåííûõ ñîîòíîøåíèÿõ hy /hx
ñóùåñòâåííî âîçðàñòàþò, äîñòèãàÿ êàòàñòðîôè÷åñêèõ çíà÷åíèé. Íàïðè-
ìåð, äëÿ êðèâîé 4 íà ðèñ. 1 ïðè y �099, ïîãðåøíîñòü ñîñòàâëÿåò � �52%.
Îïðåäåëåíèå ôîðìû ýëåêòðîäà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 3 75
10
1
0,1
0,01
0,001
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 y
1
2
3
4
�, %
Ðèñ. 1. Êðèâûå îòíîñèòåëüíîãî ðàñõîæäåíèÿ ðàçíîñòíîãî è òî÷íîãî ðåøåíèé ïðè U
0
0� ,
a �1, hx � 0 1, : 1 — hy � 0 1, ; 2 — hy � 0,05; 3 — hy � 0,02; 4 — hy � 0,01; äëÿ îñè � èñïîëüçîâàí
ëîãàðèôìè÷åñêèé ìàñøòàá
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ðåøåíèå (4) ïîçâîëÿåò â ïðåäåëàõ îáëàñòè ñõîäèìîñòè
âûïîëíèòü ðàñ÷åòû ñ ëþáîé çàäàííîé òî÷íîñòüþ. Ê íåäîñòàòêàì ðàçíîñòíîãî
ìåòîäà ìîæíî îòíåñòè òàêæå íåîáõîäèìîñòü ðàñøèðåíèÿ ðàñ÷åòíîé îáëàñòè
âäîëü îñè õ ïðè óâåëè÷åíèè êîîðäèíàòû ó òî÷êè íàáëþäåíèÿ ïîëÿ.
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ëèíèé ïîëÿ è îïðåäåëåíèÿ ôîðìû ýëåêòðî-
äîâ. Óðàâíåíèå ýêâèïîòåíöèàëüíîé ëèíèè ïðåäñòàâëÿåì â âèäå
�
�
( , )x y c� , (13)
ãäå c
�
— èçâåñòíàÿ ïîñòîÿííàÿ, ðàâíàÿ ïîòåíöèàëó ýêâèïîòåíöèàëüíîé
ëèíèè. Èäåÿ àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ëèíèé ñîñòîèò â
ñëåäóþùåì. Çàäàåìñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî çíà÷åíèÿìè àáñöèññ x i òî÷åê ýêâè-
ïîòåíöèàëüíîé ëèíèè è ïîäñòàâëÿåì èõ â âûðàæåíèå (13) ñ ó÷åòîì (4). Äëÿ
êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ x i èç (13) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ
íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíîé îðäèíàòû y i ðàññìàòðèâàåìîé ýêâèïîòåíöèàëü-
íîé ëèíèè, êîòîðîå ðåøàåì ìåòîäîì õîðä [15].
 èòåðàöèîííîì àëãîðèòìå ïðåäóñìîòðåí áëîê ëîêàëèçàöèè êîðíåé
y i . Â ýòîì áëîêå ñ ïîìîùüþ (4) íàõîäèì ñåãìåíò (y s
1
( )
, y s
2
( )
), âíóòðè êîòî-
ðîãî íàõîäèòñÿ çíà÷åíèå y
i
s( )
, ãäå s — íîìåð ïðèáëèæåíèÿ, s = 0, 1, 2, ….
Ïðè s = 0, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè( ,
( )y
1
0
� ( , ))
( )x yi 1
0
, ( , ( , ))
( ) ( )y x yi2
0
2
0
� , íàõîäèì ïåðâîå ïðèáëèæåíèå êîðíÿ y
i
( )1
. Â
çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ � ( , )
( )x yi i
1
è c
�
óòî÷íÿåì ãðàíèöû ñåãìåíòà ñ
èñêîìûì çíà÷åíèåì êîðíÿ è íàõîäèì ñëåäóþùåå åãî ïðèáëèæåíèå. Èòåðà-
öèîííàÿ ôîðìóëà èìååò òàêîé âèä:
y
y y c x y
x y
i
s
s s
i
s
i
s
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ( , ))
( , )
�
�
� �
�
1 2 1 1
2
�
�
� � ( , )
( )
( )
x y
y
i
s
s
1
1
� .
Î. ß. Êîíîâàëîâ, Â. Ì. Ìèõàéëîâ
76 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 3
0 )0(
1
y )0(
2
y y
)3(
iy )2(
iy )1(
iy
�
c
�
Ðèñ. 2. Ñõåìà èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà íàõîæäåíèÿ îðäèíàò òî÷åê y
i
s( )
ýêâèïîòåíöèàëüíîé
ëèíèè
Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (ðèñ. 2) ïðåêðàùàåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè óñëî-
âèÿ y y
i
s
i
s( ) ( )�
�
1
�, ãäå � > 0 — çàäàííàÿ ïîãðåøíîñòü.
Ñòðîèì ñåìåéñòâî ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ëèíèé, ó÷àñòîê îäíîé èç êîòîðûõ
âûáèðàåì â êà÷åñòâå ãëàâíîé ÷àñòè ïðîôèëÿ ýëåêòðîäà (îáðàùåííîé ê ãðà-
íè÷íîé ïîâåðõíîñòè). Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïðîòÿæåííîñòü ýêâèïîòåíöèàëü-
íîé ëèíèè âäîëü îõ äîëæíà áûòü äîñòàòî÷íà äëÿ òîãî, ÷òîáû îãðàíè÷åíèå
ðåàëüíûõ ðàçìåðîâ ýëåêòðîäà, âûïîëíåííîãî ïî ëèíèè ïîëÿ, íåçíà÷èòåëüíî
âëèÿëî íà ðàñïðåäåëåíèå E xy ( , )0 ïîä öåíòðàëüíîé ÷àñòüþ ïðîôèëÿ. Äðóãèå
ó÷àñòêè ïðîôèëÿ äîñòðàèâàåì èç êîíñòðóêòèâíûõ ñîîáðàæåíèé.
Äëÿ ïðîâåðêè ïðàâèëüíîñòè îïðåäåëåíèÿ ïðîôèëÿ ýëåêòðîäà íåîáõî-
äèìî íàéòè ðàñïðåäåëåíèå E xy ( , )0 , ñîçäàâàåìîå ñêîíñòðóèðîâàííûì
ýëåêòðîäîì íà ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè, è ñðàâíèòü åãî ñ çàäàííûì ðàñ-
ïðåäåëåíèåì. Äëÿ ýòîãî âíà÷àëå íàõîäèì ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü çàðÿ-
äà � ( )M íà ýëåêòðîäå è ïëîñêîé ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè â ðåçóëüòàòå
÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ðîäà [16]
�
�
�
( ) ln
, ;
, ,
M
r
dl
U P l
U P lMP
M
l
1 2
2
1 1
0 2
�
�
�
�
�
�
�
(14)
ãäå l
1
è l
2
— êîíòóðû ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ýëåêòðîäà è ãðàíè÷íîé ïîâåðõ-
íîñòè; l — ñóììàðíûé êîíòóð, l l l� �
1 2
; dl M — ýëåìåíò ñóììàðíîãî êîí-
òóðà ñ öåíòðîì â òåêóùåé òî÷êå Ì; U1 — ïîòåíöèàë ýëåêòðîäà; � — àáñî-
ëþòíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû; rMP — ðàññòîÿíèå ìåæäó
òî÷êîé Ì è òî÷êîé íàáëþäåíèÿ ïîëÿ Ð.
Èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (14) ïðåîáðàçóåì â ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåá-
ðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ) íà ñåòêå, íàíåñåííîé íà ñóììàðíûé êîíòóð
ñèñòåìû l. Èñïîëüçóåì êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó ïðÿìîóãîëüíèêîâ è ñòàí-
äàðòíóþ ïîäïðîãðàììó LSARG ìàòåìàòè÷åñêîé áèáëèîòåêè FORTRAN
IMSL äëÿ ðåøåíèÿ ÑËÀÓ, îñíîâàííóþ íà âû÷èñëåíèè LU-ðàçëîæåíèÿ
ìàòðèöû è èòåðàöèîííîì óòî÷íåíèè ðåøåíèÿ [17]. Îïðåäåëèâ � ( )M , íà-
ïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè ðàññ÷èòû-
âàåì ïî ôîðìóëå
E
r
�
�
1
2
2
�
� ( ) lnM
r
dlMP
MP
M
l
,
ãäå rMP — âåêòîð, íà÷àëî êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òî÷êå Ì, à êîíåö — â òî÷êå
Ð. Çàòåì îïðåäåëÿåì îòíîñèòåëüíîå ðàñõîæäåíèå ìåæäó çàäàííûì è ïîëó-
÷åííûì ðàñïðåäåëåíèÿìè ïîëÿ è, ïðè íåîáõîäèìîñòè, êîððåêòèðóåì ôîð-
ìó ýëåêòðîäà.
Îïðåäåëåíèå ôîðìû ýëåêòðîäà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 3 77
Ïðèìåð ðàñ÷åòà. Ïóñòü òðåáóåòñÿ íà ïëîñêîé ìåòàëëè÷åñêîé ãðàíè÷-
íîé ïîâåðõíîñòè ñ ïîòåíöèàëîìU
0
0� ñîçäàòü òàáëè÷íî çàäàííîå ðàñïðå-
äåëåíèå E xy ( , )0 (ðèñ. 3). Ýòî ðàñïðåäåëåíèå èìååò äâà õàðàêòåðíûõ ó÷àñò-
êà: îáëàñòü îäíîðîäíîãî ïîëÿ ðàçìåðîì 2
0
x è îáëàñòü óìåíüøåíèÿ ïîëÿ äî
çíà÷åíèé, áëèçêèõ ê íóëþ ïðè x x
0
.
Íà ðèñ. 4 ãðàôè÷åñêè èçîáðàæåíî ðàññ÷èòàííîå ïî ôîðìóëå (5) êîñèíóñ-
ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå F( )� ðàññìàòðèâàåìîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Êàê âèäèì,
F( )� — îñöèëëèðóþùàÿ ôóíêöèÿ ñ ÷àñòîòîé, ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíîé x
0
.
Øàã èíòåãðèðîâàíèÿ h
�
âûáðàí ñ ïîìîùüþ ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ (10), à â
Î. ß. Êîíîâàëîâ, Â. Ì. Ìèõàéëîâ
78 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 3
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
� �20 01 0 10 x x
0
E xy( , 0)
Ðèñ. 3. Ôóíêöèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé âåêòîðà íàïðÿæåí-
íîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
0,4
0,2
0
0,2
0,4
0,6
�
�
�
2 3 4 �
F ���
Ðèñ. 4. Ãðàôèê ôóíêöèè, ïîëó÷åííîé â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ êîñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ôóðüå ê çàäàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïîëÿ
ñëó÷àå x x��
0
âåëè÷èíà x â íåì çàìåíåíà x
0
. Äëÿ ñðàâíåíèÿ íà ðèñ. 5
ïîêàçàíû ôóíêöèè
F( )�
�
è C
�
��exp( )� . Çàìåòèì, ÷òî íà ðèñ. 4 è 5 ÷àñòè
êðèâûõ âáëèçè � = 0 íå ïîêàçàíû.
Äëÿ ïðîôèëÿ ýëåêòðîäà, ñîçäàþùåãî çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ,
âûáèðàåì ýêâèïîòåíöèàëüíóþ ëèíèþ � = �0,1, ïîñòðîåííóþ ïî îïèñàí-
íîé âûøå ìåòîäèêå. Òî÷êè À è  ó÷àñòêà ýòîé ëèíèè ñîåäèíÿåì ïðÿìîé,
ïàðàëëåëüíîé îñè õ (ðèñ. 6). Êðîìêè ýëåêòðîäà ñêðóãëÿåì òàê, ÷òîáû
íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ íà íèõ áûëà îãðàíè÷åííîé âåëè÷èíîé.
Îïðåäåëåíèå ôîðìû ýëåêòðîäà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 3 79
0,3
0,2
0,1
0
1 2 3 4 �
F���
�
3
1
2
Ðèñ. 5. Ãðàôèêè ôóíêöèé
F ( )�
�
(êðèâàÿ 1) è C
�
��exp ( )� (êðèâûå 2, 3): 2 — � = 1,5; 3 —
� = 1
� �20 01 0 10 20 x
y
BA
0,2
0,20
0,15
0,10
0,05
5
Ðèñ. 6. Ïðîôèëü ýëåêòðîäà, ñîçäàþùåãî íà ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè òàáëè÷íî çàäàííîå
ðàñïðåäåëåíèå E xy ( , )0 (ñì. ðèñ. 3)
Îòíîñèòåëüíûå ðàñõîæäåíèÿ ìåæäó çàäàííûì è ïîëó÷àåìûì ðàñïðå-
äåëåíèÿìè ïîëÿ (ðèñ. 7) ïîä áîëüøåé ÷àñòüþ ïðîôèëÿ ñîñòàâëÿþò ìåíåå 1 %,
à ó êðàåâ íåñêîëüêî âîçðàñòàþò. Ïîñëåäíåå îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ó÷àñòîê ÀÂ
ïðîôèëÿ íå ñîâïàäàåò ñ ýêâèïîòåíöèàëüíîé ëèíèåé, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 6.
Âûâîäû. 1. Ñõîäèìîñòü è òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ íåñîáñòâåííûõ èíòå-
ãðàëîâ â àíàëèòè÷åñêîì ðåøåíèè çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà
ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò êîîðäèíàò òî÷êè íàáëþäåíèÿ ïîëÿ. Íåñîáñòâåííûå
èíòåãðàëû ýòèõ ðåøåíèé ñõîäÿòñÿ ëèøü íà íåêîòîðîì ñåãìåíòå êîîðäèíàòû,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè, à øàã ñåòêè ñ ðàâíîîòñòîÿùèìè
óçëàìè ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà ðåøåíèÿ ñ ïîìîùüþ êâàäðàòóðíûõ
ôîðìóë îïðåäåëÿåòñÿ êîîðäèíàòîé, îñü êîòîðîé ëåæèò íà ãðàíè÷íîé
ïîâåðõíîñòè.
2. Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë â ðåøåíèè (4) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà
ñåãìåíòå y ( , )0 � , åñëè ìîäóëü êîñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, çàäàííîãî â
òîì ÷èñëå òàáëè÷íî, íà ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîåêöèè
âåêòîðà ïîëÿ F ( )� âñþäó íà ñåãìåíòå �( , )0 � íå ïðåâîñõîäèò âåëè÷èíû
C
�
� ��exp( )� .
3. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ïðîôèëåé ñîëåíîèäîâ, ñîçäàþùèõ çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå ìàãíèòíîãî
ïîëÿ ïðè ðåçêîì ïîâåðõíîñòíîì ýôôåêòå, à òàêæå ýëåêòðîäîâ èëè ïîëþñ-
íûõ íàêîíå÷íèêîâ â ñëó÷àÿõ àíàëîãè÷íûõ ïîëåé [5, 6].
An analytical solution of Cauchy problem for Laplace equation is used for tabular distribution of
electric field intensity on the plane boundary surface. A convergence of improper solution
integrals is studied., the algorithms of their calculation, and of the field level lines construction
are described. By their means the electrode profile is determined. A divergence of the given and
created field distribution is defined by solving direct problem.
Î. ß. Êîíîâàëîâ, Â. Ì. Ìèõàéëîâ
80 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 3
5
4
3
2
1
� � �15 1 5 0 5 100 x
�, %
Ðèñ. 7. Ãðàôèê îòíîñèòåëüíîãî ðàñõîæäåíèÿ ìåæäó çàäàííûì è ïîëó÷åííûì ðàñïðåäåëå-
íèÿìè E xy ( , )0
1. Brewer G. R. Note on the determination of electrode shapes for a Pierce — type electron gun //
J. of applied physics. — 1956. — Vol. 28, ¹ 5. — P.6 34.
2. Ãóðáàíîâ Ã. Ã., Êàñüÿíêîâ Ï. Ï., Òàãàíîâ È. Í. Ðàñïðîñòðàíåíèå ïîòåíöèàëà ïîëÿ â
ïðîñòðàíñòâî ïî çàäàííîìó åãî ðàñïðåäåëåíèþ íà îñè // Ðàäèîòåõíèêà è ýëåêòðîíèêà. —
1967. — ¹ 4. — Ñ. 659—661.
3. Øíååðñîí Ã.À. Ïîëÿ è ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â àïïàðàòóðå ñâåðõñèëüíûõ òîêîâ. — Ë. :
Ýíåðãèÿ, 1981. — 200 ñ.
4. Ìîâìûãà È. Í. Ñèíòåç ìàññèâíûõ îäíîâèòêîâûõ ñîëåíîèäîâ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñèëüíûõ
èìïóëüñíûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé: Äèñ… êàíä. òåõí. íàóê. — Êèåâ, 1991. — 142 ñ.
5. Ìèõàéëîâ Â. Ì. Îïðåäåëåíèå ïðîôèëåé ýëåêòðîäîâ è ñîëåíîèäîâ äëÿ ñîçäàíèÿ çàäàí-
íûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîëÿ // Òåõí³÷íà åëåêòðîäèíàì³êà. Òåìàòè÷íèé âèïóñê «Ïðîáëåìè
ñó÷àñíî¿ åëåêòðîòåõí³êè». — 2000. — ×. 6. — Ñ. 13—16.
6. Ìèõàéëîâ Â. Ì. Ïðîäîëæåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà è ïîòåíöèàëà ïëîñêîìåðèäèàííûõ
ïîëåé ñ ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè // Ýëåêòðè÷åñòâî. — 2002. — ¹ 10. — Ñ. 58—64.
7. Ëåáåäåâ Í. Í., Ñêàëüñêàÿ È. Ï., Óôëÿíä ß. Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêå. — Ì. : ÃÈÒÒË. — 1955. — 420 ñ.
8. Ñìèðíîâ Â. È. Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè. Ò. 4. — Ì.—Ë. : ÃÈÒÒË, 1951. — 804 ñ.
9. Èëüèí Â. À. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ïðîäîëæåíèå êóðñà (Â. À. Èëüèí, Â. À. Ñàäîâ-
íè÷èé, Áë. Õ. Ñåíäîâ). — Ì. : Èçä. ÌÃÓ. — 1987. — 358 ñ.
10. Çàäèðàêà Â. Ê. Òåîðèÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà. —
1983. — 216 ñ.
11. Áàõâàëîâ Í. Ñ. ×èñëåííûå ìåòîäû (àíàëèç, àëãåáðà, îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëü-
íûå óðàâíåíèÿ). — Ì. : Íàóêà, 1973. — 632 ñ.
12. Áåðåçèí È. Ñ., Æèäêîâ Í. Ï. Ìåòîäû âû÷èñëåíèé. — Ì. : Âûñø. øê., 1973. — 325 ñ.
13. Ãîäóíîâ Ñ. Ê., Ðÿáåíüêèé Â. Ñ. Ðàçíîñòíûå ñõåìû. Ó÷åá. ïîñîáèå. — Ì. : Íàóêà, 1977. —
440 ñ.
14. Ãðàäøòåéí È. Ñ., Ðûæèê È. Ì. Òàáëèöû èíòåãðàëîâ, ñóìì, ðÿäîâ è ïðîèçâåäåíèé. —
Ì. : Íàóêà, 1971. — 1108 ñ.
15. Ôèëü÷àêîâ Ï. Ô. ×èñëåííûå è ãðàôè÷åñêèå ìåòîäû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè. — Êèåâ :
Íàóê. äóìêà. — 1970. — 800 ñ.
16. Ìèõàéëîâ Â. Ì. Òåîðèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåé â çàäàíèÿõ äëÿ êóðñîâûõ
ðàáîò. — Õàðüêîâ : ÕÃÏÓ, 1994. — 88 ñ.
17. Áàðòåíüåâ Î. Â. Ôîðòðàí äëÿ ïðîôåññèîíàëîâ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèáëèîòåêà IMSL.
×.1. — Ì. : Äèàëîã-ÌÈÔÈ, 2000. — 448 ñ.
Ïîñòóïèëà 03.10.06;
ïîñëå äîðàáîòêè 09.12.06
ÊÎÍÎÂÀËÎÂ Îëåã ßðîñëàâîâè÷, àñïèðàíò êàôåäðû èíæåíåðíîé ýëåêòðîôèçèêè Íàöèîíàëü-
íîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà «Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò», ìàãèñòðàòóðó êîòî-
ðîãî îêîí÷èë â 2006 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëè-
ðîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåé, ðåøåíèå íåêîððåêòíûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêè, òåõíèêà ñèëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåé.
ÌÈÕÀÉËÎÂ Âàëåðèé Ìèõàéëîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû èíæåíåðíîé ýëåêòðî-
ôèçèêè Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà «Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò», êî-
òîðûé îêîí÷èë â 1966 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ,
ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ôèçè÷åñêèõ ïîëåé, ôèçèêà è òåõíèêà ñèëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ
è ìàãíèòíûõ ïîëåé.
Îïðåäåëåíèå ôîðìû ýëåêòðîäà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 3 81
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101771 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:05:59Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коновалов, О.Я. Михайлов, В.М. 2016-06-07T06:23:27Z 2016-06-07T06:23:27Z 2007 Определение формы электрода по дискретно заданному граничному распределению поля / О.Я. Коновалов, В.М. Михайлов // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 3. — С. 71-81. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101771 621.3:538.3 Использовано аналитическое решение задачи Коши для уравнения Лапласа в случае таблично заданного распределения напряженности электрического поля на плоской граничной поверхности. Исследована сходимость несобственных интегралов решения и описаны алгоритмы их вычисления, построения линий уровня поля, с помощью которых определен профиль электрода. Определено расхождение заданного и создаваемого распределений поля с помощью решения прямой задачи. Використано аналітичний розв’язок задачі Коші для рівняння Лапласа у випадку таблично заданого розподілу напруженості електричного поля на плоскій граничній поверхні. Досліджено збіжність невласних інтегралів розв’язку й описано алгоритми їхнього обчислення, побудови ліній рівня поля, за допомогою яких визначено профіль електрода. Визначено розбіжність заданого та створюваного розподілів поля за допомогою розв’язку прямої задачі. An analytical solution of Cauchy problem for Laplace equation is used for tabular distribution of electric field intensity on the plane boundary surface. A convergence of improper solution integrals is studied., the algorithms of their calculation, and of the field level lines construction are described. By their means the electrode profile is determined. A divergence of the given and created field distribution is defined by solving direct problem. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Применение методов и средств моделирования Определение формы электрода по дискретно заданному граничному распределению поля Definition of Electrode Form by Discretely Given Boundary Field Distribution Article published earlier |
| spellingShingle | Определение формы электрода по дискретно заданному граничному распределению поля Коновалов, О.Я. Михайлов, В.М. Применение методов и средств моделирования |
| title | Определение формы электрода по дискретно заданному граничному распределению поля |
| title_alt | Definition of Electrode Form by Discretely Given Boundary Field Distribution |
| title_full | Определение формы электрода по дискретно заданному граничному распределению поля |
| title_fullStr | Определение формы электрода по дискретно заданному граничному распределению поля |
| title_full_unstemmed | Определение формы электрода по дискретно заданному граничному распределению поля |
| title_short | Определение формы электрода по дискретно заданному граничному распределению поля |
| title_sort | определение формы электрода по дискретно заданному граничному распределению поля |
| topic | Применение методов и средств моделирования |
| topic_facet | Применение методов и средств моделирования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101771 |
| work_keys_str_mv | AT konovalovoâ opredelenieformyélektrodapodiskretnozadannomugraničnomuraspredeleniûpolâ AT mihailovvm opredelenieformyélektrodapodiskretnozadannomugraničnomuraspredeleniûpolâ AT konovalovoâ definitionofelectrodeformbydiscretelygivenboundaryfielddistribution AT mihailovvm definitionofelectrodeformbydiscretelygivenboundaryfielddistribution |