Компьютерная реализация решения систем интегральных уравнений Вольтерры при исследовании многосвязных динамических объектов
Рассмотрена реализация квадратурных алгоритмов решения систем интегральных уравнений Вольтерры в вычислительной среде Matlab. Розглянуто реалізацію квадратурних алгоритмів розв’язування систем інтегральних рівнянь Вольтерри в обчислювальному середовищі Matlab. An implementation of quadrature algorit...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Datum: | 2007 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101774 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Компьютерная реализация решения систем интегральных уравнений Вольтерры при исследовании многосвязных динамических объектов / И.О. Горошко, В.А. Тихоход // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 3. — С. 101-105. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101774 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Горошко, И.О. Тихоход, В.А. 2016-06-07T06:28:10Z 2016-06-07T06:28:10Z 2007 Компьютерная реализация решения систем интегральных уравнений Вольтерры при исследовании многосвязных динамических объектов / И.О. Горошко, В.А. Тихоход // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 3. — С. 101-105. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101774 519.6 Рассмотрена реализация квадратурных алгоритмов решения систем интегральных уравнений Вольтерры в вычислительной среде Matlab. Розглянуто реалізацію квадратурних алгоритмів розв’язування систем інтегральних рівнянь Вольтерри в обчислювальному середовищі Matlab. An implementation of quadrature algorithms for solving integral Volterra equation sets is considered in Matlab computational medium. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Краткие сообщения Компьютерная реализация решения систем интегральных уравнений Вольтерры при исследовании многосвязных динамических объектов Computer Implementation of Integral Volterra Equation Set Solution by Studying Multiply Connected Dynamic Objects Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Компьютерная реализация решения систем интегральных уравнений Вольтерры при исследовании многосвязных динамических объектов |
| spellingShingle |
Компьютерная реализация решения систем интегральных уравнений Вольтерры при исследовании многосвязных динамических объектов Горошко, И.О. Тихоход, В.А. Краткие сообщения |
| title_short |
Компьютерная реализация решения систем интегральных уравнений Вольтерры при исследовании многосвязных динамических объектов |
| title_full |
Компьютерная реализация решения систем интегральных уравнений Вольтерры при исследовании многосвязных динамических объектов |
| title_fullStr |
Компьютерная реализация решения систем интегральных уравнений Вольтерры при исследовании многосвязных динамических объектов |
| title_full_unstemmed |
Компьютерная реализация решения систем интегральных уравнений Вольтерры при исследовании многосвязных динамических объектов |
| title_sort |
компьютерная реализация решения систем интегральных уравнений вольтерры при исследовании многосвязных динамических объектов |
| author |
Горошко, И.О. Тихоход, В.А. |
| author_facet |
Горошко, И.О. Тихоход, В.А. |
| topic |
Краткие сообщения |
| topic_facet |
Краткие сообщения |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| container_title |
Электронное моделирование |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Computer Implementation of Integral Volterra Equation Set Solution by Studying Multiply Connected Dynamic Objects |
| description |
Рассмотрена реализация квадратурных алгоритмов решения систем интегральных уравнений Вольтерры в вычислительной среде Matlab.
Розглянуто реалізацію квадратурних алгоритмів розв’язування систем інтегральних рівнянь Вольтерри в обчислювальному середовищі Matlab.
An implementation of quadrature algorithms for solving integral Volterra equation sets is considered in Matlab computational medium.
|
| issn |
0204-3572 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101774 |
| citation_txt |
Компьютерная реализация решения систем интегральных уравнений Вольтерры при исследовании многосвязных динамических объектов / И.О. Горошко, В.А. Тихоход // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 3. — С. 101-105. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT goroškoio kompʹûternaârealizaciârešeniâsistemintegralʹnyhuravneniivolʹterrypriissledovaniimnogosvâznyhdinamičeskihobʺektov AT tihohodva kompʹûternaârealizaciârešeniâsistemintegralʹnyhuravneniivolʹterrypriissledovaniimnogosvâznyhdinamičeskihobʺektov AT goroškoio computerimplementationofintegralvolterraequationsetsolutionbystudyingmultiplyconnecteddynamicobjects AT tihohodva computerimplementationofintegralvolterraequationsetsolutionbystudyingmultiplyconnecteddynamicobjects |
| first_indexed |
2025-11-27T02:15:52Z |
| last_indexed |
2025-11-27T02:15:52Z |
| _version_ |
1850793503211126784 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
È. Î. Ãîðîøêî, êàíä.ôèç.-ìàò. íàóê, Â. À. Òèõîõîä, àñïèðàíò
Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå
èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë.: (044) 4243541, E-mail: averlan@i.com.ua)
Êîìïüþòåðíàÿ ðåàëèçàöèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì
èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû ïðè èññëåäîâàíèè
ìíîãîñâÿçíûõ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê À. Ô. Âåðëàíü)
Ðàññìîòðåíà ðåàëèçàöèÿ êâàäðàòóðíûõ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ ñèñòåì èíòåãðàëüíûõ óðàâ-
íåíèé Âîëüòåððû â âû÷èñëèòåëüíîé ñðåäå Matlab.
Ðîçãëÿíóòî ðåàë³çàö³þ êâàäðàòóðíèõ àëãîðèòì³â ðîçâ’ÿçóâàííÿ ñèñòåì ³íòåãðàëüíèõ ð³â-
íÿíü Âîëüòåððè â îá÷èñëþâàëüíîìó ñåðåäîâèù³ Matlab.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Âîëüòåððû, ìåòîä êâàäðàòóð, ôîðìóëà
òðàïåöèé.
Ñëîæíîñòü ñòðóêòóðû è áîëüøîå ÷èñëî âõîäíûõ è âûõîäíûõ âåëè÷èí
ìíîãîñâÿçíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû îïðåäåëÿþò ñëîæíîñòü åå ìàòåìàòè-
÷åñêîãî îïèñàíèÿ. Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ Âîëüòåððû îòíîñÿòñÿ ê êëàññó
íåïàðàìåòðè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé, íàèáîëåå ýôôåêòèâíî îïèñû-
âàþùèõ ïðîöåññû è îáúåêòû, çàäàííûå äèíàìè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè
ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ [1, 2].
Êâàäðàòóðíûå àëãîðèòìû ðåøåíèÿ ñèñòåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíå-
íèé Âîëüòåððû [3]. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëü-
òåððû [4] m-ãî ïîðÿäêà ñ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ ïðè yj(t):
y t K t s y s ds f tr rj j r
a
x
j
m
( ) ( , ) ( ) ( )� �
��
�1
, r m�1, . (1)
Ðåøåíèå ñèñòåìû (1) íàõîäèì ñ ïîìîùüþ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë. Åñëè
ðåøåíèå èùåì íà îòðåçêå [a, b], òî ðàçáèâàåì åãî ðàâíîìåðíî ñ øàãîì h
òî÷êàìè t1 = a, t2 = a + h, …, tn+1 = b íà n ÷àñòåé. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ
îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå òðàïåöèé.  òî÷êàõ ti (i = 1, 2, …, n+1) äëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 3 101
îïðåäåëåíèÿ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé ïîëó÷àåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâ-
íåíèé âèäà
y K y A fr
i
rji
l
j
l
l r
i
l
i
j
m
( ) ( ) ( ) ( )
� �
��
��
11
, r m�1, , (2)
ãäå K K t t
rji
l
rj i l
( )
( , )� ; y y t
j
l
j l
( )
( )� ; f f tr
i
r i
( )
( )� ;
A
b a
n
l l i
b a
n
l l i
l �
�
� �
�
� �
�
�
2
1
1
, ,
, .
åñëè èëè
åñëè èëè
Ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ y
j
l( )
äëÿ l < i èçâåñòíû, K y A
rji
l
j
l
l
l
i
j
m
( ) ( )
�
�
�
��
1
1
1
—
åñòü ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, ñóììèðóÿ êîòîðóþ ñ f r
i( )
, îïðåäåëÿåì ñâîáîä-
íûé ÷ëåí r-ãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû. Êîýôôèöèåíòû ïðè y
j
i( )
â r-ì óðàâíåíèè
(2) âû÷èñëÿþòñÿ òàê:
K
K t t b a
n
rji
l rj i i( )
( , ) ( )
�
�
2
ïðè r j� ,
K
K t t b a
n
rji
l rr i i( ) ( , ) ( )
� �
�
1
2
ïðè r j� .
Ðåøåíèå ïîëó÷åííîé ñèñòåìû (2) íàõîäèì ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ Ãàóñ-
ñà. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è ðåàëèçîâàí â ïðîãðàììå SysVolt1, ñîñòàâ-
ëåííîé â ñðåäå ìîäåëèðîâàíèÿ Matlab è âûïîëíåí íà ÝÂÌ òèïà IBM PC.
Èñõîäíûå äàííûå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñëåäóþùèå:
M — ïîðÿäîê ñèñòåìû óðàâíåíèé;
N — ÷èñëî èíòåðâàëîâ, íà êîòîðûå ðàçáèò îòðåçîê èíòåãðèðîâàíèÿ;
A è Â — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû èíòåãðèðîâàíèÿ;
F — ìàññèâ ðàçìåðíîñòè M � (N + 1), ñîäåðæàùèé çíà÷åíèÿ ïðàâûõ
÷àñòåé f r
i( )
;
Jadro — ìàññèâ ðàçìåðíîñòè M k
k
N
2
1
�
�
� , ñîäåðæàùèé çíà÷åíèÿ ÿäåð
K K t t
rji
l
rj i l
( )
( , )� ; çíà÷åíèå ÿäðà Krj â òî÷êå (ti, tl) ïîìåùàåòñÿ â ÿ÷åéêå ñ
êîîðäèíàòàìè (v, p), ãäå v M r j� � �( )1 , p k l
k
i
� �
�
�
�
1
1
.
È. Î. Ãîðîøêî, Â. À. Òèõîõîä
102 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 3
 ðåçóëüòàòå ðàáîòû ïðîãðàììû ïîëó÷àåì ìàòðèöó Y ðàçìåðíîñòüþ
M�(N+1), â êîòîðîé íàéäåíû çíà÷åíèÿ y
j
i( )
â òî÷êàõ t t tn1 2 1
, ,...,
�
.
Ïðèìåð 1. Çàäàíà ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
y t y s ds t s y s ds e e
t t
t
1 1
0
2
0
0 1
1 15 15( ) ( ) ( ) ( ) , ,
,
� � � � � �
� �
� �0 4
65
,
,
t t� � ,
y t t s y s ds y s ds e e
t t
t
2 1
0
2
0
0 1 0
50 14( ) ( ) ( ) ( ) ,
, ,
� � � � � �
� �
� � 4
5 51
t t� � ,
(3)
òî÷íîå ðåøåíèå êîòîðîé èìååò âèä y t e t
1
0 1
05( ) ,
,
�
�
, y t e t
2
0 4
0 4( ) ,
,
� �
�
.
Ðåøåíèå ñèñòåìû (3) èùåì íà îòðåçêå [0, 2] ìåòîäîì êâàäðàòóð ñ
èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû òðàïåöèé [4]. Ïðè ýòîì îòðåçîê èíòåãðèðîâàíèÿ
ðàçáèâàåòñÿ ðàâíîìåðíî òî÷êàìè ti = a + h (i – 1) íà N ÷àñòåé. Îòíîñèòåëü-
íàÿ îøèáêà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äàííîé ñèñòåìû ïîêàçàíà íà ðèñ. 1, èç
êîòîðîãî âèäíî, ÷òî îíà íå ïðåâûøàåò 0,0014, èëè 0,14 %.
Ðàññìîòðèì áîëåå îáùóþ ñèñòåìó èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé âèäà
a y t K t s y s ds f t
rj j
j
m
rj j r
a
t
j
m
( ) ( , ) ( ) ( )
� �
� ��� �
1 1
, r m�1, , (4)
ãäå arj (i, j = 1, 2, ..., m) — ïîñòîÿííûå ÷èñëà.
Ðåøåíèå ñèñòåìû (4) òàêæå èùåì ìåòîäîì êâàäðàòóð ñ èñïîëüçî-
âàíèåì ôîðìóëû òðàïåöèé. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ ñèñòåìû ñîâïàäàåò ñ àëãî-
Êîìïüþòåðíàÿ ðåàëèçàöèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 3 103
y t( ) 10�
�3
1,2
0,8
0,4
0
0 0,4 0,8 1,2 1,6 t
y
1
y
2
Ðèñ. 1. Ãðàôèêè îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (3) ìåòîäîì êâàäðàòóð íà
îòðåçêå [0, 2] ïðè N = 40
ðèòìîì ðåøåíèÿ ðàññìîòðåííîé âûøå ñèñòåìû (1). Îòëè÷èå ñîñòîèò â
òîì, ÷òî ê ìàòðèöå êîýôôèöèåíòîâ MA, ïîëó÷åííîé ïðè ðåàëèçàöèè ïðî-
ãðàììû SysVolt1, ïðèáàâëÿåòñÿ ìàòðèöà MK — ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ.
Ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû (2) ýòà ìàòðèöà áûëà åäèíè÷íîé.
Àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è ðåàëèçîâàí â ïðîãðàììå SysVoltC, ñîñòàâ-
ëåííîé â ñðåäå ìîäåëèðîâàíèÿ Matlab. Âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäèëèñü íà ÝÂÌ
òèïà IBM PC. Âõîäíûå äàííûå òå æå, ÷òî ïðè ðåøåíèè ïðåäûäóùåé çàäà-
÷è, à êðîìå òîãî, ÌÊ — ìàòðèöà ðàçìåðíîñòüþ M M� êîýôôèöèåíòîâ aij .
Çíà÷åíèå ÿäðà Krj â òî÷êå (ti, tl) ïîìåùàåòñÿ â ÿ÷åéêå ñ êîîðäèíàòàìè (v, p),
ãäå v = M � (r – 1) + j, p k l
k
i
� �
�
�
�
1
1
.  ðåçóëüòàòå ðàáîòû ïðîãðàììû ïîëó÷àåì
ìàòðèöó Y ðàçìåðíîñòüþ M � (N + 1) ñ íàéäåííûìè çíà÷åíèÿìè y
j
i( )
â òî÷-
êàõ t t tn1 2 1
, ,...,
�
.
Ïðèìåð 2. Çàäàíà ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
y y t s y s ds t s y s ds
t t
1 2 1
0
2
0
025 2� � � � � � �
� �
, ( ) ( ) ( ( )) ( ) sin(t t� � � �1 1 1 0 25) cos sin , ,
4 0 25 1
1 2 1
0
2
0
y y y s ds t s y s ds
t t
� � � � � � �
� �
, ( ) ( ) ( ) (5)
� � � � � � �4 1 1 0 5 2 1 0 25sin ( ) cos ( ) , sin cos ,t t t ,
òî÷íîå ðåøåíèå êîòîðîé èìååò âèä
y1 = sin (t + 1); y2 = cos2t. (6)
È. Î. Ãîðîøêî, Â. À. Òèõîõîä
104 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 3
4
3
2
1
0
0 0,4 0,8 1,2 1,6
à á
y
1 áa
y
1îò
0 0,4 0,8 1,2 1,6 t
y
2 áa
y
2îò
y t( ) 10�
�
Ðèñ. 2. Ãðàôèêè îòíîñèòåëüíîé è àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòåé ðåøåíèÿ ñèñòåìû (5) ìåòî-
äîì êâàäðàòóð ïðè òî÷íîì ðåøåíèè (6) íà îòðåçêå [0, 2]: à — äëÿ ôóíêöèè y1(t); á — äëÿ
ôóíêöèè y2 (t)
Ðåøåíèå ñèñòåìû (5) èùåì íà îòðåçêå [0, 2], êîòîðûé, êàê ýòî ñäåëàíî
â ïðèìåðå 1, ðàçáèâàåòñÿ òî÷êàìè t a h ii � � �( )1 , ò.å. N = 40, h = 0,05.
Îòíîñèòåëüíàÿ îøèáêà ìåòîäà íå ïðåâûøàåò 0,00044, èëè 0,044 %. Îòíî-
ñèòåëüíûå è àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè äëÿ ôóíêöèé y1(t) è y2(t) ïîêàçàíû
íà ðèñ. 2.
Äëÿ óäîáñòâà èñïîëüçîâàíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñèñ-
òåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé íà ÝÂÌ ðàçðàáîòàí ñïåöèàëüíûé ìîäóëü äëÿ
àâòîìàòèçàöèè ãåíåðàöèè ïðîãðàììíîãî êîäà ïðîöåäóðû âû÷èñëåíèÿ çíà-
÷åíèé ÿäåð, çàäàííûõ â ñèìâîëüíîé ôîðìå.
Âûâîä. Òàêèì îáðàçîì, êâàäðàòóðíûå àëãîðèòìû ðåøåíèÿ ñèñòåì
èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû ðåàëèçîâàíû â âû÷èñëèòåëüíîé ñðåäå
Matlab ñ ïîìîùüþ äîïîëíèòåëüíûõ ñïåöèàëèçèðîâàííûõ ìîäóëåé, ñîâî-
êóïíîñòü êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ñîîòâåòñòâóþùåãî òóëáîêñà, îðãàíè-
÷åñêè äîïîëíÿþùåãî àïðîáèðîâàííûå áëîêè ñèñòåìû.
An implementation of quadrature algorithms for solving integral Volterra equation sets is
considered in Matlab computational medium.
1. Âåðëàíü À. Ô. Ìåòîä èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé â çàäà÷àõ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìè-
÷åñêèõ ñèñòåì: Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ â ïðèêëàäíîì ìîäåëèðîâàíèè. ×. 1. — Êèåâ :
ÈÝÄ ÀÍ ÓÑÑÐ, 1983. — Ñ. 14—17.
2. Áðèêìàí Ì. Ñ. Èíòåãðàëüíûå ìîäåëè â ñîâðåìåííîé òåîðèè óïðàâëåíèÿ. — Ðèãà :
Çèíàòíå, 1979. — 224 ñ.
3. Àïàðöèí À. Ñ. Î ïðèìåíåíèè ðàçëè÷íûõ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøå-
íèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû I ðîäà ìåòîäîì êâàäðàòóðíûõ ñóìì// Äèôôå-
ðåíöèàëüíûå è èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ. Âûï. 2. — Èðêóòñê: Èðêóòñêèé ãîñóíèâåð-
ñèòåò. — 1973. — Ñ. 107—116.
4. Âåðëàíü À. Ô., Ñèçèêîâ Â. Ñ. Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ: ìåòîäû, àëãîðèòìû, ïðîãðàì-
ìû. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1986. — 542 ñ.
Ïîñòóïèëà 15.09.06;
ïîñëå äîðàáîòêè 20.10.06
ÃÎÐÎØÊÎ Èâàí Îëåãîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â
ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1983 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé – ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ.
ÒÈÕÎÕÎÄ Âëàäèìèð Àëåêñàíäðîâè÷, àñïèðàíò Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå
èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  2003 ã. îêîí÷èë Êàìåíåö-Ïîäîëüñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé – ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.
Êîìïüþòåðíàÿ ðåàëèçàöèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 3 105
|