Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. II
Для множеств сложных восстанавливаемых систем с циклическим соединением их в комплекс и временным резервом, с марковским потоком отказов элементов и индивидуальной функцией распределения времени обслуживания элементов сложных систем, число которых возрастает обратно пропорционально интенсивности отк...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2007 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101828 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. II / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 6. — С. 93-105. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859710418560221184 |
|---|---|
| author | Макаричев, А.В. |
| author_facet | Макаричев, А.В. |
| citation_txt | Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. II / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 6. — С. 93-105. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Для множеств сложных восстанавливаемых систем с циклическим соединением их в комплекс и временным резервом, с марковским потоком отказов элементов и индивидуальной функцией распределения времени обслуживания элементов сложных систем, число которых возрастает обратно пропорционально интенсивности отказов элементов сложных систем так, что суммарная нагрузка на систему обслуживания ограничена сверху величиной, меньше единицы, с дисциплиной обслуживания требований в порядке их поступления найдено асимптотическое распределение времени безотказной работы комплексов с момента исправности всех элементов всех сложных систем.
Для комплексiв складних вiдновлювальних систем з циклічним з’єднанням їх у комплекс і резервом часу, з маркiвським потоком вiдмов елементiв та iндивiдуальною функцiєю розподiлу часу обслуговування елементiв складних систем, число яких зростає зворотньо пропорцiйно iнтенсивностi вiдмов елементiв складних систем так, що сумарне навантаження на систему обслуговування є обмеженим зверху величиною, меншою за одиницю, з дисципліною обслуговування вимог у порядку їхнього надходження знайдено асимптотичний розподiл часу безвідмовної роботи комплексiв з моменту справностi усiх елементiв усiх складних систем.
Asymptotic time distribution of failure-freework of complexes is found from the serviceabilitymoment for all elements of all complex systems. It obtains for the sets of complicate reducible systems, which are linked into a complex, and have a float time, aMarkov’s flow of element faults. Individual function of elements service time distribution are intrinsic for these systems too. At that the elements number increase inversely proportional of their fault intension so that a summary load on a service system is bounded above by a value less than one. Demands service discipline is by way of their appearance.
|
| first_indexed | 2025-12-01T05:06:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
À. Â. Ìàêàðè÷åâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé àâòîìîáèëüíî-äîðîæíûé óíèâåðñèòåò
(Óêðàèíà, 61002, Õàðüêîâ, óë. Ïåòðîâñêîãî, 25,
òåë.: (057) 7073737, Å-mail: amakarichev@mail.ru)
Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé
â êîìïëåêñ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì
ñ âðåìåííûì ðåçåðâîì. II
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê Â. Ã. Òîöåíêî)
Äëÿ ìíîæåñòâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ñ öèêëè÷åñêèì ñîåäèíåíèåì èõ â
êîìïëåêñ è âðåìåííûì ðåçåðâîì, ñ ìàðêîâñêèì ïîòîêîì îòêàçîâ ýëåìåíòîâ è èíäèâè-
äóàëüíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ ýëåìåíòîâ ñëîæíûõ ñèñòåì,
÷èñëî êîòîðûõ âîçðàñòàåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ ýëåìåíòîâ
ñëîæíûõ ñèñòåì òàê, ÷òî ñóììàðíàÿ íàãðóçêà íà ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ îãðàíè÷åíà ñâåð-
õó âåëè÷èíîé, ìåíüøå åäèíèöû, ñ äèñöèïëèíîé îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé â ïîðÿäêå èõ
ïîñòóïëåíèÿ íàéäåíî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè áåçîòêàçíîé ðàáîòû êîìï-
ëåêñîâ ñ ìîìåíòà èñïðàâíîñòè âñåõ ýëåìåíòîâ âñåõ ñëîæíûõ ñèñòåì.
Äëÿ êîìïëåêñiâ ñêëàäíèõ âiäíîâëþâàëüíèõ ñèñòåì ç öèêë³÷íèì ç’ºäíàííÿì ¿õ ó êîìïëåêñ ³
ðåçåðâîì ÷àñó, ç ìàðêiâñüêèì ïîòîêîì âiäìîâ åëåìåíòiâ òà iíäèâiäóàëüíîþ ôóíêöiºþ
ðîçïîäiëó ÷àñó îáñëóãîâóâàííÿ åëåìåíòiâ ñêëàäíèõ ñèñòåì, ÷èñëî ÿêèõ çðîñòຠçâîðîòíüî
ïðîïîðöiéíî iíòåíñèâíîñòi âiäìîâ åëåìåíòiâ ñêëàäíèõ ñèñòåì òàê, ùî ñóìàðíå íàâàí-
òàæåííÿ íà ñèñòåìó îáñëóãîâóâàííÿ º îáìåæåíèì çâåðõó âåëè÷èíîþ, ìåíøîþ çà îäèíèöþ, ç
äèñöèïë³íîþ îáñëóãîâóâàííÿ âèìîã ó ïîðÿäêó ¿õíüîãî íàäõîäæåííÿ çíàéäåíî àñèìïòî-
òè÷íèé ðîçïîäië ÷àñó áåçâ³äìîâíî¿ ðîáîòè êîìïëåêñiâ ç ìîìåíòó ñïðàâíîñòi óñiõ åëåìåíòiâ
óñiõ ñêëàäíèõ ñèñòåì.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: êîìïëåêñû ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì c âðåìåííûì
ðåçåðâîì.
Ëåììà 6. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà
ïðè N � �
E B x x dx dx E B x x
j
sk sk
j
sk... ( , , ... ... ( ,
� �
� � �
� �
0 1 1 0 1
1 1
, ...
dx dxsk1 0� � .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âûáåðåì ëþáîå ÷èñëî� �0. Èç ëåììû 3 ñëåäóåò,
÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå z z
( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî z z� ( )�
... ( , ...
\ ( )
�� �
� �
�
z
sk skx x dx dx�
�
1 1
6
. (18)
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 6 93
���������
�
��������
� �������
Ïîñêîëüêó � �( )0 � , èç ëåììû 2 ñëåäóåò
B x x B x x
j
sk sk0 1 1
1� �( , , ( ,
� , B x x B x x
j
sk sk0 1 1
1 ( , , ( ,
�� . (19)
Èç (18) è (19) âûòåêàåò
E B x x dx dx
z
j
sk sk... ( , , ...
\ ( )
��
� �
� �
0 1 1
1
6
�
, E B x x dx dx
z
j
sk sk... ( , , ...
\ ( )
�� �
� �
0 1 1
1
6
�
.
(20)
Èç àêñèîìû íåïðåðûâíîñòè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ âûáðàííîãî � ñó-
ùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî l l
( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî l l� ( )�
P z l
z
( ( ) )
( )
( )�
�
�
�
0
6
� � .
Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâà x x zsk1 � � ñëåäóåò
P x l P z l
z
( ( ) ) ( ( ) )
( )
( )� �
�
� ���
�
0 1
6
� � � � . (21)
Ïóñòü C l — ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ñîâïàäóò ìîìåí-
òû âîçíèêíîâåíèÿ ïåðâûõ l òðåáîâàíèé äâóõ ïóàññîíîâñêèõ ïîòîêîâ ñ
ïàðàìåòðàìè � ( )0 è � ( )0 � (âòîðîé ïîòîê ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî ïðîñåè-
âàíèåì). Òîãäà P C kNl
l( ) ( )
� ��1 11 ïðè N � �. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ
âûáðàííîãî � �0ñóùåñòâóåò òàêîå l l
( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî l l� ( )� ñïðàâåä-
ëèâî íåðàâåíñòâî
P C
z
l( )
( )
� �1
6
�
�
. (22)
Ïóñòü C z l C l
�{ ( ) }( )�� 0 è I C( ) — èíäèêàòîð ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ C.
Òîãäà
B x x P x v x x x
j
sk
j
sk0 1 1 0 1 1
1� � � � �
( , , ( , ( ) )
� � �
�
� � � ��P I C x v x I C x xj
sk( , ( ) )� � �
� ( ) ( )1 0 1 1
� � � ��P I C x v x I C x xj
sk( , ( ) )� � �
� ( ) ( )1 0 1 1 (23)
è
B x x P x v x x x
j
sk
j
sk0 1 1 0 1 1
1 ( , , ( , ( ) )
� � � � � �
� � � �P I C x v x I C x xj
sk( , ( ) )� � � ( ) ( )1 0 1 1
� � � �P I C x v x I C x xj
sk( , ( ) )� � � ( ) ( )1 0 1 1 . (24)
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
94 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 6
Èç ïîñòðîåíèÿ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ C ñëåäóåò, ÷òî
{ , ( ) }� � �I C x v x I C x xj
sk( ) ( )1 0 1 1� � �
� � ��{ , ( )� � ��
�I C x v x I C x xj
sk( ) ( )1 0 1 1 . (25)
Ïîñêîëüêó
P I C x v x I C x x P Cj
sk( , ( ) ) ( )� � � ( ) ( )1 0 1 1� � � � �
� � � �P l P C
z
( ) ( )
( )
( )�
�
�
�
0
3
(26)
(çäåñü èñïîëüçîâàíû (21) è (22)) è àíàëîãè÷íî
P I C x v x I C x x P C
z
j
sk( , ( ) ) ( )
( )
� �
�
�
� ( ) ( )1 0 1 1
3
� � � � � �
�
, (27)
èç (23)—(27) ñëåäóåò
B x x B x x
z
j
sk
j
sk0 1 0 1
1 1
2
3
� �( , , ( , ,
( )
�
�
. (28)
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî èíòåãðàëà è (28), ïîëó÷àåì
E B x x dx dx E B
z
j
sk sk
z
j
... ( , , ... ...
( ) ( )
�� ��
� �
� �
0 1 1 0
1 1
( , , ...x x dx dxsk sk1 1
�
� ��
�
E B x x B x x dx dx
z
j
sk
j
sk s... ( , , ( , , ...
( )�
0 1 0 1 1
1 1
�
k �
� ���...
( )
...
( )�
�
z
sk
z
dx dx
2
3
2
3
1
�
. (29)
Èç (20) è (29) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî N N� ( )�
E B x x dx dx E B x x
j
sk sk
j
s... ( , , ... ... ( ,�� ��
� �
� �
0 1 1 0 1
1 1
k skdx dx, ...
1 �
� ��� �
�
E B x x dx dx E
z
j
sk sk
z
... ( , , ... ...
\ ( ) \ ( )� � � �
0 1 1
1
� �B x x dx dx
j
sk sk0 1 1
1 ( , , ...
� ��� ��
�
E B x x dx dx E B
z
j
sk sk
z
j
... ( , , ... ...
( ) ( )� �
0 1 1 0
1
1
1 1( , , ...x x dx dxsk sk
�
� � �
� � �
�
6 6
2
3
.
Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 6 95
Îòñþäà è èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëåäóåò óòâåðæäå-
íèå ëåììû 6. Ëåììà 6 äîêàçàíà.
Ëåììà 7. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà
ïðè N � �
J j j E B x x dx dxN sk
j
sk sk( ,..., ) ... ( , , ...1 0 1 1
1 0� �� �
�
.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ ïðîñòîòû ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ J N
J j jN sk( ,..., )1 ,
J E B x x dx dx
N
j j
sk sk
sk( ) , ...,
... ( , ..., , ...1
1 1
1
� �
�
,
J E B x x dx dx
N
j
sk sk
( ) ... ( , , ...2
0 1 1
1
� �
�
�
, J E B x x dx dx
N
j
sk sk
( ) ... ( , , ...3
0 1 1
1
� �
�
.
Èç ëåìì 5—7 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî � �0ñóùåñòâóþò òàêèå íàòóðàëüíûå
÷èñëà N N1 1� ( )� , N N2 2� ( )� , N N3 3� ( )� , ÷òî ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ëþáîãî
íàòóðàëüíîãî ÷èñëà N N J J
N N
� � �1
1
3
( ) �
, äëÿ ëþáîãî N N J J
N N
� � �2
1 2
3
( ) ( ) �
,
äëÿ ëþáîãî N N J J
N N
� � �3
2 3
3
( ) ( ) �
. Ïóñòü N N N N0 1 2 3
max{ , , }. Òîãäà äëÿ
ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà N N� 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
J J J J J J J J
N N N N N N N N
� � � � � � � � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 1 2 2 3
3 3 3
� � �
�.
Ëåììà 7 äîêàçàíà.
Ïóñòü j — íîìåð ýëåìåíòà j1, à v wj
j0
0
�� ( ) — ñòàöèîíàðíîå âðåìÿ
ïðåáûâàíèÿ òðåáîâàíèÿ j-ãî òèïà â ðåìîíòíîì îðãàíå (ÐÎ) êîìïëåêñà
N� ( ),0 0G . Îíî ñîñòîèò èç äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ñëàãàåìûõ: � j —
äëèíû òðåáîâàíèÿ j-ãî òèïà ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿG x P xj j( ) ( )
�� è
ñòàöèîíàðíîãî âðåìåíè îæèäàíèÿ îáñëóæèâàíèÿ w( )0 â ÐÎ êîìïëåêñà
N� ( ),0 0G .
Ëåììà 8. Ïóñòü ��1è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà
E B x x dx dx
dH u x u
j
sk sk
u
sk
... ( , , ...
( ) ( )
�
� �
�
�
�
�
0 1 1
0
2
1
P v x dx
sk
T
j
x u
( )
( )!
( )
0
0
2
�
�
�
�
� .
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
96 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 6
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Â ðàññìàòðèâàåìîì êðàòíîì èíòåãðàëå
âûïîëíèì çàìåíó ïåðåìåííûõ t x
1, t x xsk1 1
� , t x x tsk sk2 1 1 1
�
� �, ...,
� �x xsk sk 1. Ïîñëå ýòîé çàìåíû èíòåãðàë ïðèìåò âèä
E P t v t t dtdt
t t t t
j
sk
... , ( ) }
... ,1 2 1 0 0
0 0 1
� � � � ��
� � � ��� � 1 1... dtsk�
� � �
�
��
� � �E dt dt P t v t
t t
sk
t
j
sk
... ... , ( )
...1 1 0
1 1
0
0 0
�� � � �t dt1 } . (30)
Èç ïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ ðåãåíåðèðóþùèõ ïðîöåññîâ [1, 2] ñëåäóåò
t
j jP t v t t dt P v t t T
�
� � �
� �
0
0 0 1 0 1 0�� � � �, ( ) } ( ) } ( ) . (31)
Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ (30), (31) è ïðèíÿòûõ îáîçíà÷åíèé èñêîìûé èíòåãðàë
çàïèøåì â âèäå
E P v t dt dt T
t t t
j
sk
sk
... } ...
...
( )
1 2 1
0 1 1 1 0
� � �
�
�
� � � �
� �
�
� �
� �
�
� �dH u
t
sk
P v t u dt T
u t
sk
j( )
[ ]
( )!
( ) ( )
0 0
1
2
0 1 1 0
1
2
�
�
�
� �
� �
�
� �dH u
x u
sk
P v x dxT
E v
u x u
sk
j( )
( )
( )!
{ }
[
( )
0
2
0 0
0
2
�
j sk
sk
T
]
( )!
( )
�
�
� �
1
0
1
� ,
òàê êàê ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � � è ��1. Ëåììà 8 äîêàçàíà.
Ëåììà 9. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà
ïðè N � �
q
N
dH u
j j j
k
i
i
k
sk
u
sk
c
1 2
1 2
1, , ...,
( , , ..., ) ~
( )
( )� � �
� �
�
�
0
2
0 0
2� �
�
��
�
�
x u
sk
jx u
sk
P v x dxT
( )
( )!
{ } ( )� ,
ãäå j — íîìåð ýëåìåíòà j1, îòêàçàâøåãî ïåðâûì íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè èç
ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç ëåììû 1 âûòåêàåò ðàâåíñòâî
q
N
J j
j j j
k
i
i
k
sk N
sk
c
1 2
1 2
1
1
, , ...,
( , , ..., )
( )
( ,.� � �
� �
�
.., )jsk .
Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 6 97
Èç ëåììû 7 ïðè N � � ñëåäóåò
J j j E B x x dx dxN sk
j
sk sk( ,..., ) ... ( , , ...1 0 1 1
1 0� �� �
�
,
èç ëåììû 8 —
E B x x dx dx
dH u x u
j
sk sk
u
sk
... ( , , ...
( ) ( )
�
� �
�
�
�
�
0 1 1
0
2
1
P v x dx
sk
T
j
x u
( )
( )!
( )
0
0
2
�
�
�
�
� .
Èç ïîñëåäíèõ òðåõ ñîîòíîøåíèé ïðè N � � ïîëó÷àåì
q
N
dH u
j j j
k
i
i
k
sk
u
sk
c
1 2
1 2
1, , ...,
( , , ..., ) ~
( )
( )� � �
� �
�
�
0
2
0 0
2� �
�
��
�
�
x u
sk
jx u
sk
P v x dxT
( )
( )!
{ } ( )� .
Ëåììà 9 äîêàçàíà.
Îáîçíà÷èì q k
c
1 2, , ..., âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè îòêàç
êîìïëåêñà ïðîèçîéäåò ïî 1, 2, ..., k-ñëàáîìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïó-
òè. Äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷èì v i vl j
0 1 0
( )
, ãäå j il
1 — íîìåð ýëåìåíòà,
îòêàçàâøåãî ïåðâûì èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè
è ýòîò ýëåìåíò èç l-é ñëîæíîé ñèñòåìû, îòêàçàâøåé íà ïóòè� l , l k
1 2, , ..., .
Ëåììà 10. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà
ïðè N � �
q
sk
s s N
k
k
i
i
k
skc
1 2
1
11
1
1 0
1
, ,..., ~
( )
( )!( !)
( )
�
� �
�
�� �
� �
...............
( ) ( ) {
��
�
�
�� �� � �
�0
01
2
k
dH u x u P
ul
k
x u
sk v i x dxTl
0 1 0( ) } .( )� �
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ðàññìîòðèì j j jsk1 2, , ..., — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ â ïåðâûõ k ñèñòåìàõ, ïðèâåäøèõ ê îòêàçó êîìï-
ëåêñà. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ 1-é, 2-é, ..., k-é
ñèñòåì, ïðèâåäøèõ ê îòêàçó êîìïëåêñà, èìååò âèä
i i is1
1
2
1 1, , ..., ,
i i is1
2
2
2 2, , ..., , (32)
..................
i i ik k
s
k
1 2, , ..., .
Êàæäûé èç ýòèõ íàáîðîâ îïðåäåëÿåò ìîíîòîííûé ìèíèìàëüíûé ïóòü � i
( , ,..., )i k
1 2 , íà êîòîðîì ïðîèçîøåë îòêàç i-é ñëîæíîé ñèñòåìû. Òàêèì
îáðàçîì, j j jsk1 2, ,..., — òàêàÿ ïåðåñòàíîâêà èç íîìåðîâ (32), óêàçûâàþùàÿ
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
98 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 6
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, â êîòîðîé ïðîèçîøëè îòêàçû ýëåìåíòîâ â ýòèõ ñëîæ-
íûõ ñèñòåìàõ, ÷òî äëÿ êàæäîãî âåðõíåãî èíäåêñà ñîõðàíÿåòñÿ ìîíîòîí-
íîñòü ïî íèæíåìó èíäåêñó. Ñëåäîâàòåëüíî,
q k
j j
k
c
1 2
1 0
1
0
1 2
, ,...,
...............
, , ...,
�
�
�
�
�
��
�
j
j j j
k
sk
skq
)
, , ...
( , , ..., )� c
1 2
1 2� � � , (33)
ãäå q
j j j
k
sk
c
1 2
1 2
, , ...,
( , , ..., )� � � — âåðîÿòíîñòü îòêàçà êîìïëåêñà ïî òàêèì
1, 2, ..., k-ñëàáîìîíîòîííûì ïóòÿì, ÷òî îòêàç l-é ñëîæíîé ñèñòåìû ïðîèçîøåë
ïî ìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè � l , (l k
1 2, , ..., ), à ïåðåñòàíîâêà j j1 2, ,...
..., jsk îïðåäåëÿåò ïîðÿäîê îòêàçîâ ýëåìåíòîâ èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì. Èç
ëåììû 1 è îïðåäåëåíèÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè B x x
j j j
sk
sk1 2
1
, , ...,
( , ..., ) â ñèëó
äèñöèïëèíû îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé â ïîðÿäêå ïîñòóïëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
âåðîÿòíîñòü q
j j j
k
sk
c
1 2
1 2
, , ...,
( , , ..., )� � � íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà îòêàçîâ ýëåìåí-
òîâ j jsk2 , ..., , îòêàçàâøèõ âñëåä çà ýëåìåíòîì j1 èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì
êîìïëåêñà, à J j j j J jN sk N( , , ..., ) ( )1 2 1
íå çàâèñèò îò íîìåðîâ ýëåìåíòîâ
j jsk2 , ..., . Ïîýòîìó âî âíóòðåííåé ñóììå (33) äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà j1 ñ íî-
ìåðîì j il
1 (l k
1 2, , ..., ) áóäåò ðîâíî
( )!
( )!( !)
sk
s s k
�
� �
1
1 1
ðàâíûõ ñëàãàåìûõ, êàæ-
äîå èç êîòîðûõ ïðè N � � ââèäó ëåììû 9 ýêâèâàëåíòíî
� �( )
( ) ( ) { ( ) }
i
i
k
sk
u x u
sk l
N
dH u x u P v i x dxT
� �
�
�
� � � �1
0
2
0 1 �( )0 .
Îòñþäà ïðè N � � ïîëó÷àåì
�
� � �
j j j
j j j
k
sk
skq
1 2
1 2
1 2
, , ..., )
, , ...,
( , , ..., ) ~� c
~
( )!
( )!( !)
( )
( )
sk
s s N
dH u
k
i
i
k
sk
l
k
u x
�
� �
� �
�
� �
1
1 1
1
1 0
� �
u
sk
lx u
sk
P v i x dxT�
�
�
�
�( )
( )!
{ ( ) } ( )
2
0 1 0
2
� .
(34)
Èç (33) è (34) ñëåäóåò, ÷òî ïðè N � �
q
N
k
i
i
k
k
c
1 2 1
1 0
1
0
, ,...,
...............
~
( )
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
sk k
l
k
u x u
sksk
s s
dH u x u P
( )
( )!( !)
( ) ( ) {
�
�
�
�
� �
�� � �
1
1 1
1 0
2 v i x dxTl
0 1 0( ) } .( )� �
Ëåììà 10 äîêàçàíà.
Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 6 99
Îáîçíà÷èì Q P Slk lk
( ) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè
â êîìïëåêñå N1, ,� G
0 îòêàæóò íå ìåíåå l ýëåìåíòîâ èç ïåðâûõ k ñèñòåì
(ïåðèîä çàíÿòîñòè íå çàêîí÷èòñÿ ê ìîìåíòó îòêàçà l-ãî ïîðÿäêa ýëåìåíòà
èç ïåðâûõ k ñèñòåì íà ýòîì ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè). Ïîñêîëüêó ñóììàðíàÿ
îñòàòî÷íàÿ äëèíà äîîáñëóæèâàíèÿ âñåõ òðåáîâàíèé â ÐÎ íå çàâèñèò îò
äèñöèïëèíû îáñëóæèâàíèÿ â êëàññå êîíñåðâàòèâíûõ äèñöèïëèí [3], ýòà
âåðîÿòíîñòü íå çàâèñèò îò äèñöèïëèíû îáñëóæèâàíèÿ â êëàññå Dk êîíñåð-
âàòèâíûõ äèñöèïëèí îáñëóæèâàíèÿ. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: K —
ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïåðâûì íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè
îòêàæåò ýëåìåíò èç ïåðâûõ k ñèñòåì; Q P S Klk1
( ) — óñëîâíàÿ âåðîÿò-
íîñòü òîãî, ÷òî íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè îòêàæóò íå ìåíåå l ýëåìåíòîâ èç
ïåðâûõ k ñèñòåì ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðâûì íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè îòêàçàë
ýëåìåíò îäíîé èç ïåðâûõ k ñèñòåì; Q P S Klk2
( ) — óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè îòêàæóò íå ìåíåå l ýëåìåíòîâ èç ïåðâûõ
k ñèñòåì ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðâûì íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè îòêàçàë ýëå-
ìåíò èç ñèñòåìû, îòëè÷íîé îò ïåðâûõ k ñèñòåì; � l — äëèíà ïåðèîäà
çàíÿòîñòè ÐÎ êîìïëåêñà N1, ,� G
0 ïðè óñëîâèè, ÷òî â ìîìåíò íà÷àëà ýòîãî
ïåðèîäà çàíÿòîñòè â ÐÎ íàõîäèëèñü ðîâíî l òðåáîâàíèé ñ ïîëíûì âðåìå-
íåì îáñëóæèâàíèÿ.
Ëåììà 11. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò ml� � �1 . Òîãäà
â êëàññå êîíñåðâàòèâíûõ äèñöèïëèí îáñëóæèâàíèÿ Dk
Q
k l
N
E
l
l l
1
1
1
11
1
�
��
�
!
"
#
�
� �� �( ) [( ) ]
( )!
.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü â ìîìåíòû âðåìåíè $ $ $1 2� � �... l
ïîñëåäîâàòåëüíî îòêàçàëè íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè l ýëåìåíòîâ èç ïåðâûõ k
ñèñòåì è â ìîìåíò $1 íà÷àëñÿ ïåðèîä çàíÿòîñòè ÐÎ. Ïîñêîëüêó ïðîñåèâà-
íèå ñ âåðîÿòíîñòüþ k N/ ïóàññîíîâñêîãî ïîòîêà ñ ïàðàìåòðîì � ïðèâîäèò
ê ïóàññîíîâñêîìó ïîòîêó ñ ïàðàìåòðîì� ��
k N/ , âðåìÿ ìåæäó ñîñåäíè-
ìè îòêàçàìè ýëåìåíòîâ èç ïåðâûõ k ñèñòåì èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðå-
äåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì �� è $ � $l 1 ïðåäñòàâëÿåò ñóììó ( )l �1 íåçàâèñèìûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ òàêèì æå ðàñïðåäåëåíèåì.
Ïóñòü ýëåìåíòû ñèñòåì, îòëè÷íûõ îò ïåðâûõ k ñèñòåì, èìåþò àáñî-
ëþòíûé ïðèîðèòåò â îáñëóæèâàíèè ïåðåä ýëåìåíòàìè ïåðâûõ k ñèñòåì, à
ñàìè îáñëóæèâàþòñÿ â ïîðÿäêå ïîñòóïëåíèÿ. Òîãäà ñ êàæäûì îòêàçàâøèì
ýëåìåíòîì èç ïåðâûõ k ñèñòåì ìîæíî ñâÿçàòü ñëó÷àéíûé îòðåçîê âðåìåíè
îò ìîìåíòà íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ ýòîãî ýëåìåíòà äî ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ
åãî îáñëóæèâàíèÿ. Äëèíû ýòèõ îòðåçêîâ ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àé-
íûìè âåëè÷èíàìè è ðàñïðåäåëåíû òàê æå, êàê è äëèíà ïåðèîäà çàíÿòîñòè â
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
100 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 6
ÐÎ êîìïëåêñà %
1 1
0
1, ( )� &� �kN G
, êîòîðóþ îáîçíà÷èì �1
� . Ïóñòü{ }' i — ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ êàê �1
� ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí è ïóñòü � ' ' 'l l�
�
�
� � �1 1 2 1... . Òîãäà
Q P S K Plk l l1 1 2 1 1
� � � � �
�( ) ( ... )' ' ' $ �$
�
� � �
�
�
�
�
�
� �
� �
� �� �
�
� �( )
( )!
exp( ) ( )
( )t
l
t P t dt
tl
t
l
2
0
1
2
l
t
l
l
P t dt
�
�
�
�
�
�
�
2
0
1
2( )!
( )�
�
�
�
�
�
� �
�[ ( )]
( )!
[( ) ]
[ ( )]
( )!
�
(
�� �l
l
E
l
l
E
l
l
l1
1
1
1
1
1
1
1
[( ) ]
( ) [( ) ]
( )!
�
� �
1
1
1
1
1
1
1
� �
� �
�
�)
*+
,
-. �
l
l l
k l
N
E
l
.
Çäåñü èñïîëüçîâàíû íåðàâåíñòâà exp( )� ��� t 1 è � / � /1 1
� �( ) ( ), ïîñëåäíåå èç
êîòîðûõ åñòü ïðÿìîå ñëåäñòâèå ëåììû 1 [4], ò. å. îò óâåëè÷åíèÿ èíòåí-
ñèâíîñòè âõîäÿùåãî ïîòîêà òðåáîâàíèé ïåðèîä çàíÿòîñòè ÐÎ îáñëóæèâàíèåì
òðåáîâàíèé ñî ñêîðîñòüþ åäèíèöà íå óìåíüøèòñÿ. Ëåììà 11 äîêàçàíà.
Ëåììà 12. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò ml � �. Òîãäà â
êëàññå êîíñåðâàòèâíûõ äèñöèïëèí îáñëóæèâàíèÿ Dk
Q
kl
N
E
l
l l
2
1� �
�
!
"
#
� �[( ) ]
!
.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü â ìîìåíò âðåìåíè $ 0 íà÷àëñÿ ïåðèîä
çàíÿòîñòè ÐÎ è â ìîìåíòû âðåìåíè $ $ $1 2, , ..., l ($ � $ $ $0 1 2� � �... l ) ïîñëå-
äîâàòåëüíî îòêàçàëè l ýëåìåíòîâ èç ïåðâûõ k ñèñòåì. Âðåìÿ ìåæäó ñîñåä-
íèìè îòêàçàìè ýëåìåíòîâ èç ïåðâûõ k ñèñòåì èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðå-
äåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì �� è ðàçíîñòü $ �$l 0 ðàâíà ñóììå l íåçàâèñèìûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ òåì æå ðàñïðåäåëåíèeì ó êàæäîé èç íèõ.
Ïóñòü ýëåìåíòû ñèñòåì, îòëè÷íûõ îò ïåðâûõ k ñèñòåì, êðîìå îòêðûâ-
øåãî ïåðèîä çàíÿòîñòè ïåðâîãî ýëåìåíòà, èìåþò àáñîëþòíûé ïðèîðèòåò â
îáñëóæèâàíèè ïåðåä ýëåìåíòîì, îòêðûâøèì ïåðèîä çàíÿòîñòè, è ýëåìåí-
òàìè èç ïåðâûõ k ñèñòåì, êîòîðûå îáñëóæèâàþòñÿ â ïîðÿäêå ïîñòóïëåíèÿ.
Òîãäà ñ ýëåìåíòîì, îòêðûâøèì ïåðèîä çàíÿòîñòè, è ñ êàæäûì îòêàçàâøèì
ýëåìåíòîì èç ïåðâûõ k ìîæíî ñâÿçàòü ñëó÷àéíûé îòðåçîê âðåìåíè îò
ìîìåíòà íà÷àëà åãî îáñëóæèâàíèÿ äî ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ îáñëóæèâàíèÿ
ñîîòâåòñòâóþùåãî ýëåìåíòà. Äëèíû ýòèõ îòðåçêîâ íåçàâèñèìû è îäèíà-
êîâî ðàñïðåäåëåíû, òàê æå êàê è äëèíà ïåðèîäà çàíÿòîñòè â ÐÎ êîìïëåêñà
%
1 1
0
1, ( )� &� �kN G
, îáîçíà÷àåìàÿ �1
� . Êàê è ïðåæäå, { }' i — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ êàê �1
� ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è
� ' ' 'l l�
�
� � �1 1 2 ... . Òîãäà
Q P S K Plk l l2 1 2 0
� � � � �
( ) ( ... )' ' ' $ �$
Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 6 101
�
� � �
�
�
�
�
�
� �
� �
� �� �
�
� �( )
( )!
exp( ) ( )
( )t
l
t P t dt
tl
t
l
l1
0
1
1
0
1( )!
( )
l
P t dt
t
l
�
�
�
�
� �
� )
*+
,
-.
�
�( ) [( ) ]
!
[ ]
!
[( ) ]
[(� ( �
�
�� �
l l l
l
lE
l
l
l
E
kl
N
E
1
1
�
1
) ]
!
l
l
.
Ëåììà 12 äîêàçàíà.
Ëåììà 13. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò ml � �. Òîãäà â
êëàññå êîíñåðâàòèâíûõ äèñöèïëèí îáñëóæèâàíèÿ Dk èìååò ìåñòî íåðà-
âåíñòâî
Q N k
k l
l
E
N k
N
kl
l
lk
l
l
l
l
�
�
�
�
��
�
�[ ( )
( )!
[( ) ]
( ) )
!
�
�
��1
1
1
1
1 E l[( ) ]�
1
0
1
2
3
4
5
.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè
Q P S P K P S K P K P S Klk lk lk lk
( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (35)
 ñèëó îäíîòèïíîñòè ñëîæíûõ ñèñòåì êîìïëåêñà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
ïåðèîä çàíÿòîñòè ÐÎ íà÷íåòñÿ îòêàçîì ýëåìåíòà èç ïåðâûõ k ñèñòåì îïðå-
äåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé
P K
k
N
( )
. (36)
Îòñþäà âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé
P K
k
N
( )
�1 . (37)
Èç (35) — (37) è ëåìì 11, 12 ïîëó÷àåì
Q
k
N
Q
k
N
Q N k
k l
l
Elk
l
l
� ��
�
!
"
# �
�
�
�
�
1 2
1
1
1
1
1
[ ( )]
( )!
[( )
�
� l� �
0
1
2
1 ]
�
� 3
4
5
( ) ( )
!
[( ) ]
N k
N
kl
l
E
l
l�
�
1
.
Ëåììà 13 äîêàçàíà.
Îáîçíà÷èì q k
íc
1 2, ,..., âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè ïåð-
âûé îòêàç êîìïëåêñà ïðîèçîéäåò â ðåçóëüòàòå îòêàçà ïåðâûõ k ñëîæíûõ
ñèñòåì íà ïóòè, êîòîðûé íå ÿâëÿåòñÿ 1, 2, ..., k-ñëàáîìîíîòîííûì ìèíè-
ìàëüíûì. Ìíîæåñòâî òàêèõ ïóòåé îáîçíà÷èì � íc
1 2, ,..., k .
Ëåììà 14. Ïóñòü��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk� � �1 . Òîãäà
q N k
k l
l
E
N kk l
l
l
íc
1 2
1
1
11
1
, ,..., [ ( )]
( )!
[( ) ]
(
�
�
�
�
��
�
��
�
) ( )
!
[( ) ]
N
kl
l
E
l
l�
�
1
0
1
2
3
4
5
,
ãäå l sk
�1.
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
102 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 6
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Åñëè ïåðâûé îòêàç êîìïëåêñà íà ïåðèîäå
ðåãåíåðàöèè ïðîèçîøåë íà ïóòè èç ìíîæåñòâà ïóòåé � íc
1 2, ,..., k , òî íà ýòîì
ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì îòêàçàëè íå ìåíåå, ÷åì
sk �1ýëåìåíòîâ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî q Qk
skíc
1 2
1
, ,..., � � . Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà è
ëåììû 13 â ñèëó òðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå
ëåììû 14.
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
q
l l lk
c
1 2, ,...,
— âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâûé îòêàç êîìïëåêñà íà ïåðèîäå
ðåãåíåðàöèè ïðîèçîøåë ïî l1, l2, lk -ñëàáîìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïó-
òè, ìíîæåñòâî êîòîðûõ îáîçíà÷èì �c
l l lk1 2, ,...,
;
q
l l lk
íc
1 2, ,...,
— âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâûé îòêàç êîìïëåêñà íà ïåðèîäå
ðåãåíåðàöèè ïðîèçîøåë â ðåçóëüòàòå îòêàçà l1, l2, lk -é ñëîæíûõ ñèñòåì íà
ïóòè, êîòîðûé íå ÿâëÿåòñÿ l1, ..., lk -ñëàáîìîíîòîííûì lk ìèíèìàëüíûì;
ìíîæåñòâî òàêèõ ïóòåé îáîçíà÷èì � íc
l l lk1 2, ,...,
;
qc— âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâûé îòêàç êîìïëåêñà íà ïåðèîäå ðåãå-
íåðàöèè ïðîèçîéäåò ïî ñëàáîìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè èç ìíî-
æåñòâà �c( )k ; q íc — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâûé îòêàç êîìïëåêñà íà
ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè ïðîèçîéäåò ïî ïóòè, êîòîðûé íå ÿâëÿåòñÿ ñëàáîìî-
íîòîííûì ìèíèìàëüíûì, èç ìíîæåñòâà � íc( )k ; q — âåðîÿòíîñòü îòêàçà
êîìïëåêñà íà îäíîì ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè.
Ëåììà 15. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk� � �1 . Òîã-
äà ïðè N � �, q CN sk~ � �1 ãäå
C
sk
s s k
k
k
�
� �
�
�
�
( )
( )!( !)
...............
1
1 1
1 0
1
0
�
�
�
�
�
( ) ( ) ( ) { ( ) }� i
i
k
l
k
u x u
sk ldH u x u P v i x dx
� �
�� � � � � �
1 1 0
2
0 1 T�( )0 .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îòêàç êîìïëåêñà íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè
ìîæåò ïðîèçîéòè ëèáî ïî ïóòè èç ìíîæåñòâà �c( )k , ëèáî ïî ïóòè èç
ìíîæåñòâà � íc( )k . Îòñþäà ñëåäóåò
q q q
�c íc. (38)
Èç îïðåäåëåíèÿ êîìïëåêñà N ñëåäóåò, ÷òî åãî âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòå-
ðèñòèêè íå çàâèñÿò îò íîìåðîâ ñëîæíûõ ñèñòåì êîìïëåêñà, åñëè äèñöèï-
ëèíà îáñëóæèâàíèÿ îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ íå çàâèñèò îò íîìåðîâ òåõ
ñëîæíûõ ñèñòåì, ãäå îíè îòêàçàëè. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
q q
l l l kk
c c
1 2 1 2, ,..., , ,...,
, (39)
q q
l l l kk
íc íc
1 2 1 2, ,..., , ,...,
. (40)
Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 6 103
Ïîýòîìó
q Nq k
c c
1 2, ,..., , (41)
q Nq k
íc íc
1 2, ,..., . (42)
Èç ðàâåíñòâ (39), (41) è ëåììû 10 ñëåäóåò, ÷òî ïðè N � �
q CN sk
c ~ � �1, (43)
ãäå
C
sk
s s k
k
�
� �
�
�
�
( )
( )!( !)
(
...............
1
1 1
1 0
1
0
�
�
�
�
�
� i
i
k
l
k
u x u
sk ldH u x u P v i x dxT) ( ) ( ) { ( ) }
� �
�� � � � � �
1 1 0
2
0 1 �( )0 .
Èç ðàâåíñòâ (40), (42) è ëåììû 14 ñëåäóåò, ÷òî ïðè N � �
q O N sk
íc ~ ( )� . (44)
Èç (38), (43) è (44) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû 15.
Ëåììà 15 äîêàçàíà.
Òåîðåìà. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk� � �1 . Òîãäà
ïðè N � �, P x x( ) exp( ),6$ � � � ãäå
6
�
�
�
� �
�
�
( )
( )!( !)
...............
sk N
s s
sk
k
k
1
1
1
1
1 0
1�
� �
� �
�� � � � � �
�0
1 1 0
2
0 1
k
i
i
k
l
k
u x u
sk ldH u x u P v i� �( ) ( ) ( ) { ( ) }� x dx.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç óñëîâèé ëåììû 15 è èç òåîðåìû 5 èç ðàáîòû
[4] ñëåäóåò, ÷òî ïðè N � �
r r T( ) ( )
( )~1
0
1
0
� , r r( ) ( )~2
0
2 . (45)
Èç ëåììû 15 ïðè N � � âûòåêàåò
q CN sk~ � �1, (46)
ãäå
C
sk
s s k
k
k
�
� �
�
�
�
( )
( )!( !)
...............
1
1 1
1 0
1
0
�
�
�
�
�
( ) ( ) ( ) { ( ) }� i
i
k
l
k
u x u
sk ldH u x u P v i x dx
� �
�� � � � � �
1 1 0
2
0 1 T�( )0 .
Ñîãëàñíî òåîðåìå 2 èç ðàáîòû [5] ïðè 7 0
2
1 2
0
�
r
r
q
( )
( )[ ]
P
q
r
x x
$
( )
exp( )
1
�0
1
2
3
4
5
� � .
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
104 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 6
Îòñþäà è èç (45) è (46) ñëåäóåò, ÷òî ïðè N � � P x x( ) exp( ),6$ � � �
ãäå
6
�
�
�
� �
�
�
( )
( )!( !)
...............
sk N
s s
sk
k
k
1
1
1
1
1 0
1�
� �
� �
�� � � � � �
�0
1 1 0
2
0 1
k
i
i
k
l
k
u x u
sk ldH u x u P v i� �( ) ( ) ( ) { ( ) }� x dx.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ðåçóëüòàòû ýòîé òåîðåìû ìîæíî èñïîëüçîâàòü íà ïðàêòèêå, îïèðàÿñü
íà ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî âðåìåíè îæèäàíèÿ îáñëóæè-
âàíèÿ w( )0 â ÐÎ êîìïëåêñà N� ( ),0 0G , êîòîðàÿ â ñëó÷àå ïîêàçàòåëüíîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ñ îäíèì è òåì ïàðàìåòðîì äëèí òðåáîâàíèé âûãëÿäèò âåñüìà
ïðîñòî. Åñëè äëèíà òðåáîâàíèÿ èìååò îòëè÷íûé îò ýêñïîíåíöèàëüíîãî
çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, òî ïîëó÷åíèå äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè
îæèäàíèÿ íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ â ÿâíîì âèäå ïðåäñòàâëÿåò âåñüìà ñëîæ-
íóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ïðîáëåìó (íåîáõîäèìî ðåøèòü ôóíêöèîíàëüíîå óðàâ-
íåíèå â îáëàñòè èçîáðàæåíèé ïî Ëàïëàñó, à çàòåì âûïîëíèòü îáðàòíîå ïðå-
îáðàçîâàíèå).  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ýìïèðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè
ðàñïðåäåëåíèÿ äëèí òðåáîâàíèé ðàçëè÷íûõ âèäîâ è ýìïèðè÷åñêîé ôóíê-
öèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âðåìåíè îæèäàíèÿ íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ
òðåáîâàíèÿ, íå óãëóáëÿÿñü â ñëîæíóþ ñâÿçü ìåæäó íèìè.
Asymptotic time distribution of failure-free work of complexes is found from the serviceability moment
for all elements of all complex systems. It obtains for the sets of complicate reducible systems, which are
linked into a complex, and have a float time, a Markov’s flow of element faults. Individual function of
elements service time distribution are intrinsic for these systems too. At that the elements number in-
crease inversely proportional of their fault intension so that a summary load on a service system is
bounded above by a value less than one. Demands service discipline is by way of their appearance.
1. Êëèìîâ Ã. Ï. Ñòîõàñòè÷åñêèå ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ. — M. : Íàóêà, 1967. — 244 ñ.
2. Êîêñ Ä., Ñìèò Â. Òåîðèÿ âîññòàíîâëåíèÿ. — Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1967. — 299 ñ.
3. Êîçëîâ Â. Â., Ñîëîâüåâ À. Ä. Îïòèìàëüíîå îáñëóæèâàíèå âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì. 1//
Òåõíè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà. — 1978, ¹ 3.
4. Ìàêàðè÷åâ À. Â. Àñèìïòîòè÷åñêèå îöåíêè ïåðèîäà ðåãåíåðàöèè êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ
âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ïðè ðàçëè÷íûõ äèñöèïëèíàõ îáñëóæèâàíèÿ. — Ýëåêòðîí.
ìîäåëèðîâàíèå. — 2003. — 25, ¹ 2. — Ñ. 83—97.
5. Ñîëîâüåâ À. Ä. Îöåíêà íàäåæíîñòè âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì. — Ì. : Çíàíèå,
1987.
Ïîñòóïèëà 23.06.06
ÌÀÊÀÐÈ×Å Àëåêñàíäð Âëàäèìèðîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû âûñøåé ìàòå-
ìàòèêè Õàðüêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî àâòîìîáèëüíî-äîðîæíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñè-
òåòà.  1981 ã. îêîí÷èë Ìîñêîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé —
òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà è èõ ïðèìåíåíèå, òåîðèÿ ìàññîâîãî
îáñëóæèâàíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ íàäåæíîñòè, òåîðèÿ îïòèìèçàöèè õàðàêòåðèñòèê
ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ðàñøèðÿþùèåñÿ êîìïëåêñû ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì.
Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007. Ò. 29. ¹ 6 105
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101828 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T05:06:56Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Макаричев, А.В. 2016-06-07T16:42:35Z 2016-06-07T16:42:35Z 2007 Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. II / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 6. — С. 93-105. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101828 519.21 Для множеств сложных восстанавливаемых систем с циклическим соединением их в комплекс и временным резервом, с марковским потоком отказов элементов и индивидуальной функцией распределения времени обслуживания элементов сложных систем, число которых возрастает обратно пропорционально интенсивности отказов элементов сложных систем так, что суммарная нагрузка на систему обслуживания ограничена сверху величиной, меньше единицы, с дисциплиной обслуживания требований в порядке их поступления найдено асимптотическое распределение времени безотказной работы комплексов с момента исправности всех элементов всех сложных систем. Для комплексiв складних вiдновлювальних систем з циклічним з’єднанням їх у комплекс і резервом часу, з маркiвським потоком вiдмов елементiв та iндивiдуальною функцiєю розподiлу часу обслуговування елементiв складних систем, число яких зростає зворотньо пропорцiйно iнтенсивностi вiдмов елементiв складних систем так, що сумарне навантаження на систему обслуговування є обмеженим зверху величиною, меншою за одиницю, з дисципліною обслуговування вимог у порядку їхнього надходження знайдено асимптотичний розподiл часу безвідмовної роботи комплексiв з моменту справностi усiх елементiв усiх складних систем. Asymptotic time distribution of failure-freework of complexes is found from the serviceabilitymoment for all elements of all complex systems. It obtains for the sets of complicate reducible systems, which are linked into a complex, and have a float time, aMarkov’s flow of element faults. Individual function of elements service time distribution are intrinsic for these systems too. At that the elements number increase inversely proportional of their fault intension so that a summary load on a service system is bounded above by a value less than one. Demands service discipline is by way of their appearance. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Точность, надежность, диагностика Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. II Reliability of Cyclic Combinations to the Complex of ComplicateRestored Systems with Float Time. II Article published earlier |
| spellingShingle | Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. II Макаричев, А.В. Точность, надежность, диагностика |
| title | Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. II |
| title_alt | Reliability of Cyclic Combinations to the Complex of ComplicateRestored Systems with Float Time. II |
| title_full | Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. II |
| title_fullStr | Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. II |
| title_full_unstemmed | Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. II |
| title_short | Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. II |
| title_sort | надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. ii |
| topic | Точность, надежность, диагностика |
| topic_facet | Точность, надежность, диагностика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101828 |
| work_keys_str_mv | AT makaričevav nadežnostʹcikličeskihsoedineniivkomplekssložnyhvosstanavlivaemyhsistemsvremennymrezervomii AT makaričevav reliabilityofcycliccombinationstothecomplexofcomplicaterestoredsystemswithfloattimeii |