Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 2. Частинні випадки
Розглянуті частинні випадки розробленої раніше теорії генерації звуку обмеженою областю збуреної течії у нескінченному прямому жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Досліджені ситуації, коли у згенерованому акустичному полі домінує внесок об'ємних квадруполів або поверхневих ди...
Збережено в:
| Дата: | 2004 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2004
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1020 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 2. Частинні випадки / А. О. Борисюк // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 4. — С. 10-20. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1020 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Борисюк, А.О. 2008-07-09T15:10:25Z 2008-07-09T15:10:25Z 2004 Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 2. Частинні випадки / А. О. Борисюк // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 4. — С. 10-20. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1020 534.3+611.539 Розглянуті частинні випадки розробленої раніше теорії генерації звуку обмеженою областю збуреної течії у нескінченному прямому жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Досліджені ситуації, коли у згенерованому акустичному полі домінує внесок об'ємних квадруполів або поверхневих диполів. При цьому інтерес становлять такі потоки і форми локальних неоднорідностей геометрії каналів, при яких регіон збуреної за неоднорідністю течії займають рівномірно розподілені великі або малі вихори. Для розглянутих випадків отримані відповідні спрощені вирази для згенерованої акустичної енергії та проведені їх оцінки для характерних масштабів у області збурення. Рассмотрены частные случаи разработанной ранее теории генерации звука ограниченной областью возмущенного течения в бесконечном прямом жесткостенном канале кругового поперечного сечения. Исследованы ситуации, когда в сгенерированном акустическом поле доминирует вклад объемных квадруполей или поверхностных диполей. При этом интерес представляют такие потоки и формы локальных неоднородностей геометрии каналов, при которых регион возмущенного за неоднородностью течения занимают равномерно распределенные большие либо малые вихри. Для рассмотренных случаев получены соответствующие упрощенные выражения для генерируемой акустической энергии и проведены их оценки для характерных масштабов в области возмущения. Partial cases of the theory of noise generation by a limited region of a disturbed flow in an infinite straight rigid channel with circular cross-section, which has been developed earlier, are considered. In these cases the situations are studied when the contributions either from volume quadrupoles or surface dipoles dominate in generated acoustic field. Those flows and shapes of the channel local geometrical inhomogeneities are of interest, that result in large or small eddies are distributed uniformly in the disturbed flow region past the inhomogeneity. The corresponding simplified expressions for the acoustic power generated are obtained in the considered cases, and their estimates are carried out for the characteristic scales in the disturbed flow region. uk Інститут гідромеханіки НАН України Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 2. Частинні випадки Sound generation by a limited region of disturbed flow in a rigid channel with circular cross-section. Part 2. Partial cases Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 2. Частинні випадки |
| spellingShingle |
Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 2. Частинні випадки Борисюк, А.О. |
| title_short |
Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 2. Частинні випадки |
| title_full |
Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 2. Частинні випадки |
| title_fullStr |
Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 2. Частинні випадки |
| title_full_unstemmed |
Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 2. Частинні випадки |
| title_sort |
генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. частина 2. частинні випадки |
| author |
Борисюк, А.О. |
| author_facet |
Борисюк, А.О. |
| publishDate |
2004 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Sound generation by a limited region of disturbed flow in a rigid channel with circular cross-section. Part 2. Partial cases |
| description |
Розглянуті частинні випадки розробленої раніше теорії генерації звуку обмеженою областю збуреної течії у нескінченному прямому жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Досліджені ситуації, коли у згенерованому акустичному полі домінує внесок об'ємних квадруполів або поверхневих диполів. При цьому інтерес становлять такі потоки і форми локальних неоднорідностей геометрії каналів, при яких регіон збуреної за неоднорідністю течії займають рівномірно розподілені великі або малі вихори. Для розглянутих випадків отримані відповідні спрощені вирази для згенерованої акустичної енергії та проведені їх оцінки для характерних масштабів у області збурення.
Рассмотрены частные случаи разработанной ранее теории генерации звука ограниченной областью возмущенного течения в бесконечном прямом жесткостенном канале кругового поперечного сечения. Исследованы ситуации, когда в сгенерированном акустическом поле доминирует вклад объемных квадруполей или поверхностных диполей. При этом интерес представляют такие потоки и формы локальных неоднородностей геометрии каналов, при которых регион возмущенного за неоднородностью течения занимают равномерно распределенные большие либо малые вихри. Для рассмотренных случаев получены соответствующие упрощенные выражения для генерируемой акустической энергии и проведены их оценки для характерных масштабов в области возмущения.
Partial cases of the theory of noise generation by a limited region of a disturbed flow in an infinite straight rigid channel with circular cross-section, which has been developed earlier, are considered. In these cases the situations are studied when the contributions either from volume quadrupoles or surface dipoles dominate in generated acoustic field. Those flows and shapes of the channel local geometrical inhomogeneities are of interest, that result in large or small eddies are distributed uniformly in the disturbed flow region past the inhomogeneity. The corresponding simplified expressions for the acoustic power generated are obtained in the considered cases, and their estimates are carried out for the characteristic scales in the disturbed flow region.
|
| issn |
1028-7507 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1020 |
| citation_txt |
Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 2. Частинні випадки / А. О. Борисюк // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 4. — С. 10-20. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT borisûkao generacíâzvukuobmeženoûoblastûzburenoítečíívžorstkostínnomukanalíkrugovogopoperečnogopererízučastina2častinnívipadki AT borisûkao soundgenerationbyalimitedregionofdisturbedflowinarigidchannelwithcircularcrosssectionpart2partialcases |
| first_indexed |
2025-11-26T20:16:27Z |
| last_indexed |
2025-11-26T20:16:27Z |
| _version_ |
1850772954076413952 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 10 – 20
УДК 534.3+611.539
ГЕНЕРАЦIЯ ЗВУКУ ОБМЕЖЕНОЮ ОБЛАСТЮ
ЗБУРЕНОЇ ТЕЧIЇ В ЖОРСТКОСТIННОМУ КАНАЛI
КРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО ПЕРЕРIЗУ.
ЧАСТИНА 2. ЧАСТИННI ВИПАДКИ
А. О. БО Р И СЮК
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 6.12.2004
Розглянутi частиннi випадки розробленої ранiше теорiї генерацiї звуку обмеженою областю збуреної течiї у нескiн-
ченному прямому жорсткостiнному каналi кругового поперечного перерiзу. Дослiдженi ситуацiї, коли у згенеровано-
му акустичному полi домiнує внесок об’ємних квадруполiв або поверхневих диполiв. При цьому iнтерес становлять
такi потоки i форми локальних неоднорiдностей геометрiї каналiв, при яких регiон збуреної за неоднорiднiстю течiї
займають рiвномiрно розподiленi великi або малi вихори. Для розглянутих випадкiв отриманi вiдповiднi спрощенi
вирази для згенерованої акустичної енергiї та проведенi їх оцiнки для характерних масштабiв у областi збурення.
Рассмотрены частные случаи разработанной ранее теории генерации звука ограниченной областью возмущенного
течения в бесконечном прямом жесткостенном канале кругового поперечного сечения. Исследованы ситуации, когда
в сгенерированном акустическом поле доминирует вклад объемных квадруполей или поверхностных диполей. При
этом интерес представляют такие потоки и формы локальных неоднородностей геометрии каналов, при которых ре-
гион возмущенного за неоднородностью течения занимают равномерно распределенные большие либо малые вихри.
Для рассмотренных случаев получены соответствующие упрощенные выражения для генерируемой акустической
энергии и проведены их оценки для характерных масштабов в области возмущения.
Partial cases of the theory of noise generation by a limited region of a disturbed flow in an infinite straight rigid channel
with circular cross-section, which has been developed earlier, are considered. In these cases the situations are studied when
the contributions either from volume quadrupoles or surface dipoles dominate in generated acoustic field. Those flows and
shapes of the channel local geometrical inhomogeneities are of interest, that result in large or small eddies are distributed
uniformly in the disturbed flow region past the inhomogeneity. The corresponding simplified expressions for the acoustic
power generated are obtained in the considered cases, and their estimates are carried out for the characteristic scales in
the disturbed flow region.
ВСТУП
Дослiдження течiй у каналах є задачею, акту-
альною для нафто-газової промисловостi, машино-
будування, архiтектури, комунального господар-
ства, медицини тощо. Значний iнтерес тут станов-
лять збурення течiй i поява акустичних ефектiв
у мiсцях локальних нерегулярностей геометрiї ка-
налiв (налипань на стiнках, зварювальних швiв,
стенозiв). Очевидно, що у цьому випадку акусти-
чне поле мiстить данi про параметри конструкцiї
i середовища в зонi виникнення шумiв, а отже
iснує можливiсть розроблення неiнвазивних мето-
дiв знаходження таких мiсць на основi аналiзу по-
ля [1 – 6]. Це можливо за наявностi теорiй, якi, аде-
кватно описуючи реологiю, гiдродинамiку i аку-
стику течiй в околi локальної нерегулярностi гео-
метрiї каналу, встановлювали б кiлькiсний зв’язок
мiж характеристиками потоку i згенерованого зву-
кового поля.
У попереднiй роботi [7] розроблено загальну те-
орiю генерацiї звуку обмеженою областю збуреної
течiї у нескiнченному прямому жорсткостiнному
каналi кругового поперечного перерiзу. В рамках
цiєї теорiї встановленi кiлькiснi зв’язки мiж ха-
рактеристиками згенерованого звукового поля та
параметрами каналу i течiї в ньому. При цьому
область збуреної течiї моделювалася розподiлени-
ми квадрупольними i дипольними джерелами (ха-
рактеристики яких вважалися вiдомими), i були
розглянутi випадки рiвномiрного та нерiвномiрно-
го розподiлу джерел.
У цiй статтi розглядаються частиннi випадки за-
значеної теорiї. Зокрема, дослiджуються ситуацiї,
коли у згенерованому акустичному полi домiнує
внесок об’ємних квадруполiв або поверхневих ди-
полiв. При цьому наголос робиться на таких пото-
ках i формах локальних нерегулярностей геометрiї
каналiв, при яких регiон збуреної за нерегулярнi-
стю течiї займають рiвномiрно розподiленi велико-
масштабнi або дрiбномасштабнi вихоровi утворен-
ня.
Стаття складається зi вступу, трьох роздiлiв, ви-
сновкiв, списку лiтератури i додатку. В першому
роздiлi формулюється задача, а також наводиться
i коротко аналiзується отриманий в дослiдженнi [7]
її загальний розв’язок. У другому i третьому роз-
дiлах розглядаються частиннi випадки загального
10 c© А. О. Борисюк, 2004
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 10 – 20
(r, ,z)
(r0, 0,z0)
V0
S0
S0
z
r
0
2a
U
Рисунок. Геометрiя задачi
розв’язку i проводяться вiдповiднi оцiнки згенеро-
ваної акустичної енергiї. Далi формулюються ви-
сновки i наводяться списки цитованої лiтератури
та прийнятих позначень.
1. ПОСТАНОВКА I ЗАГАЛЬНИЙ РОЗВ’Я-
ЗОК ЗАДАЧI
Перш нiж переходити до розгляду частинних
випадкiв розробленої у роботi [7] теорiї генерацiї
звуку обмеженою областю збуреної течiї в каналi,
нагадаємо постановку самої задачi, а також наве-
демо i коротко проаналiзуємо її загальний розв’я-
зок.
Розглядається нескiнченний прямий жорстко-
стiнний канал кругового поперечного перерiзу ра-
дiусом a (див. рисунок), у якому з осьовою швид-
кiстю U тече рiдина з густиною ρ i в’язкiстю ν .
Течiя характеризується малим числом Маха M
(M =U/c0�1, де c0 – швидкiсть звуку в незбуре-
нiй рiдинi). У скiнченному об’ємi V0 течiя збурена,
i цей регiон збурення породжує в каналi акусти-
чне поле. Необхiдно знайти це поле i встановити
кiлькiсний зв’язок мiж його характеристиками та
параметрами каналу й потоку.
Шукане акустичне поле описується рiвнянням
Лайтхiла, у якому права частина мiстить як об’єм-
нi квадрупольнi ∂2Tij/∂yi∂yj , так i зумовленi на-
явнiстю стiнки поверхневi дипольнi ∂Fi/∂yi дже-
рела [7 – 9]:
∂2ρa
∂t2
− c2
0∇
2ρa =
∂2Tij
∂yi∂yj
+
∂Fi
∂yi
,
0 < r < a, 0 < φ < 2π, |z| < ∞.
(1)
Граничними умовами є вiдсутнiсть радiальної
швидкостi на стiнцi каналу:
∂pa
∂r
∣
∣
∣
∣
r=a
= 0 (2)
i умова випромiнювання в нескiнченнiсть.
У спiввiдношеннях (1), (2) введено такi позначе-
ння: ρa i pa – акустичнi флуктуацiї густини i тиску,
якi зв’язанi спiввiдношенням [7 – 9]
pa = c2
0ρa;
Tij ≈ρuiuj i Fi =nj(τij + pδij) – напруження Лайт-
хiла та i-та компонента прикладених до стiн-
ки каналу сил на одиницю площi (Tij i Fi
зникають вiдповiдно за межами об’єму збуре-
ної течiї V0 i поверхнi S0, котра його обме-
жує); τij =2/3µεkkδij−2µεij – дотичнi напружен-
ня, εij =1/2(∂ui/∂yj +∂uj/∂yi) – швидкостi дефор-
мацiї; nj – j-та компонента зовнiшньої нормалi до
стiнки каналу; ui – i-та компонента швидкостi рi-
дини; p – тиск; µ=ρν – динамiчна в’язкiсть рiдини;
δij – символ Кронекера. Крiм цього, тут i нада-
лi передбачається пiдсумовування по iндексах, що
повторюються.
Гранична задача (1), (2) розв’язується у ци-
лiндричних координатах (r, φ, z) методом функцiй
Грiна [7, 9, 10]. Загальний вираз для акустичної
енергiї P (ω), згенерованої на частотi ω нерiвномiр-
но розподiленими в об’ємi V0 квадрупольними i на
поверхнi S0 дипольними джерелами, має такий ви-
А. О. Борисюк 11
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 10 – 20
гляд [7]:
P (ω) =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
Pnm(ω) =
=
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
1
4‖Ψnm‖2knmρ0ω
×
×
[
∫∫∫
V0
dV0(~r0)
∫∫∫
V0
∂4ST
ijkl(~r0, ~r0
′, ω)
∂yi∂yj∂y′k∂y′l
×
×Ψnm(r0, φ0)Ψnm(r′0, φ
′
0)×
×e−sign(z−z0)iknm(z′
0
−z0)dV0(~r0
′)+
+
∫∫
S0
dS0(~r0a)
∫∫
S0
∂2SF
ik(~r0a, ~r0a
′, ω)
∂yi∂y′k
×
×Ψnm(a, φ0)Ψnm(a, φ′
0)×
×e−sign(z−z0)iknm(z′
0
−z0)dS0(~r0a
′)+
+2Re
(
∫∫∫
V0
dV0(~r0)
∫∫
S0
∂3STF
ijk (~r0, ~r0a
′, ω)
∂yi∂yj∂y′k
×
×Ψnm(r0, φ0)Ψnm(a, φ′
0)×
×e−sign(z−z0)iknm(z′
0
−z0)dS0(~r0a
′)
)]
.
(3)
Тут ~r=(r, φ, z) – радiус-вектор точки поля;
~r0=(r0, φ0, z0)∈V0 i ~r′0 =(r′0, φ
′
0, z
′
0)∈V0 – радiус-
вектори розташованих в об’ємi V0 квадру-
польних джерел; ~r0a =~r0|r0=a =(a, φ0, z0)∈S0 i
~r0a
′=~r0
′|r′
0
=a =(a, φ′
0, z
′
0)∈S0 – радiус-вектори ди-
польних джерел, розташованих на поверхнi S0;
dV0(~r0)=r0dr0dφ0dz0 i dS0(~r0a)=adφ0dz0 – елемен-
ти об’єму та площi; Ψnm(r, φ)=Jn(αnmr) cos(nφ) –
акустичнi моди каналу. Квадрати норми мод
‖Ψnm‖2 визначаються як
‖Ψnm‖2 =
a
∫
0
2π
∫
0
Ψ2
nm(r, φ)rdrdφ =
=
πa2J2
0 (α0ma), n = 0,
(πa2/2)J2
n(αnma)[1− (n2/α2
nma2)], n ≥ 1,
де Jn – цилiндричнi функцiї Бесселя першого
роду порядку n; αnm=ζnm/a – радiальнi хви-
льовi числа, ζnm – коренi рiвняння J ′
n(ζnm)=0
(m=1, 2, . . .); knm=
√
k2
0−α2
nm – осьовi хвильовi
числа; k0=ω/c0 – акустичне хвильове число. Крiм
цього, у спiввiдношеннi (3) функцiї ST
ijkl та SF
ik
є взаємними спектрами образiв Фур’є напружень
Лайтхiла Tij:
ST
ijkl(~r0, ~r0
′, ω)δ(ω − ω′) = 〈T̃ ∗
ij(~r0, ω)T̃kl(~r
′
0, ω
′)〉
i компонент прикладених до стiнки каналу сил на
одиницю площi Fk:
SF
ik(~r0a, ~r0a
′, ω)δ(ω − ω′) = 〈F̃ ∗
i (~r0a, ω)F̃k(~r0a
′, ω′)〉,
STF
ijk – взаємний спектр образiв Фур’є напружень
Лайтхiла Tij i сил Fk:
STF
ijk (~r0, ~r0a
′, ω)δ(ω − ω′) = 〈T̃ ∗
ij(~r0, ω)F̃k(~r0a
′, ω′)〉;
Re ( · ) означає дiйсну частину вказаної в дужках
комплексної величини, а функцiя знаку sign(z−z0)
позитивна, якщо оцiнки енергiї проводяться вниз
за течiєю вiд розташованих у поперечному перерiзi
каналу z=z0 джерел, i негативна, якщо вгору за
течiєю. Положення частоти ω вiдносно критичних
частот каналу
ωnm = c0αnm (4)
визначає через хвильовi числа knm в експонентi
exp(−sign(z −z0)iknm(z′0 −z0) випадки однорiдних
(ω≥ωnm) та неоднорiдних (0<ω<ωnm) хвиль у
формулi (3).
Якщо квадрупольнi i дипольнi джерела звуку
розподiленi у своїх областях рiвномiрно, форму-
ла (3) спрощується за рахунок спрощення вира-
зiв для взаємних спектрiв ST
ijkl, SF
ik i STF
ijk , якi
стають функцiями лише вiдстанi мiж джерелами
(~ξ=~r′0−~r0, ~ξaa =~r0a
′−~r0a та ~ξa =~r0a
′−~r0 вiдповiдно)
i частоти [7, 8]:
ST
ijkl(~r0, ~r0
′, ω) = ST
ijkl(
~ξ, ω),
SF
ik(~r0a, ~r0a
′, ω) = SF
ik(~ξaa, ω),
STF
ijk (~r0, ~r0a
′, ω) = STF
ijk (~ξa, ω).
(5)
Аналiз спiввiдношення (3) показує, що акусти-
чна енергiя P дорiвнює сумi енергiй Pnm акусти-
чних мод каналу Ψnm. При цьому енергiя окре-
мої моди Pnm складається з трьох доданкiв. Пер-
ший з них являє собою звукову енергiю, згенеро-
вану об’ємними квадруполями ∂2Tij/∂yi∂yj , дру-
гий – енергiю, випромiнену поверхневими диполя-
ми ∂Fi/∂yi, а третiй – зумовлений взаємодiєю ква-
друполiв i диполiв. Вiдносний внесок кожного до-
данку буде рiзним для рiзних значень числа Ма-
ха M . Справдi, якщо число Маха таке, що у зге-
нерованому звуковому полi домiнує внесок об’єм-
них квадруполiв, то у виразi (3) залишається лише
12 А. О. Борисюк
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 10 – 20
перший з трьох доданкiв:
P (ω) =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
Pnm(ω) =
=
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
1
4‖Ψnm‖2knmρ0ω
∫∫∫
V0
dV0(~r0)×
×
∫∫∫
V0
∂4ST
ijkl(~r0, ~r0
′, ω)
∂yi∂yj∂y′k∂y′l
Ψnm(r0, φ0)×
×Ψnm(r′0, φ
′
0)e
−sign(z−z0)iknm(z′
0
−z0)dV0(~r0
′).
(6)
Коли число Маха належить до дiапазону, де домi-
нують поверхневi диполi, визначальним є другий
доданок, i замiсть спiввiдношення (6) маємо:
P (ω) =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
Pnm(ω) =
=
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
1
4‖Ψnm‖2knmρ0ω
∫∫
S0
dS0(~r0a)×
×
∫∫
S0
∂2SF
ik(~r0a, ~r0a
′, ω)
∂yi∂y′k
Ψnm(a, φ0)×
×Ψnm(a, φ′
0)e
−sign(z−z0)iknm(z′
0
−z0)dS0(~r0a
′).
(7)
2. ВИПАДОК ДОМIНУВАННЯ КВАДРУПО-
ЛIВ
Розглянемо випадок домiнування у згенерова-
ному звуковому полi внеску об’ємних квадрупо-
лiв. При цьому вважатимемо, що вони розташованi
рiвномiрно у регiонi збуреної течiї V0.
На практицi така ситуацiя може виникнути за
умов:
• значного перевищення числом Рейнольдса Re
критичного значення Recr у регiонi збуре-
ної за локальним звуженням каналу течiї
(Re�Recr, M �1);
• осесиметричностi незбуреної течiї та параболi-
чностi профiлю її швидкостi перед звуженням
каналу;
• наявностi плавної осесиметричної форми ло-
кального звуження.
Перша умова забезпечує досягнення числом Маха
значень, при яких домiнуючим у звуковому полi
є внесок об’ємних квадруполiв. Як правило, вона
виконується у легких рiдинах, рухи яких зазвичай
характеризуються значно бiльшими числами Маха
порiвняно з рухами важких рiдин. Друга ж i тре-
тя умови сприяють рiвномiрному розподiлу ква-
друпольних джерел у регiонi збуреної звуженням
каналу течiї.
В окресленiй ситуацiї вираз (3) для згенерова-
ної на частотi ω акустичної енергiї P (ω) зводиться
до спiввiдношення (6), яке, у свою чергу, спрощу-
ється за рахунок спрощення виразiв для взаємних
спектрiв ST
ijkl (див. формули (5)):
P (ω) =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
1
4‖Ψnm‖2knmρ0ω
×
×
∫∫∫
V0
Ψnm(r0, φ0)dV0(~r0)×
×
z0e−z0
∫
z0i−z0
e−sign(z−z0)iknmξz dξz×
×
a−r0
∫
−r0
(r0 + ξr)dξr
2π−φ0
∫
−φ0
∂4ST
ijkl(
~ξ, ω)
∂ξi∂ξj∂ξk∂ξl
×
×Ψnm(r0 + ξr, φ0 + ξφ)dξφ,
(8)
де z0i i z0e – початкова та кiнцева осьовi координа-
ти регiону збуреної течiї V0; ξr =r′0−r0, ξφ =φ′
0−φ0
i ξz =z′0−z0 – радiальна, кутова й осьова вiдстанi
мiж квадрупольними джерелами вiдповiдно.
Бачимо, що iнтегрування по ξr , ξφ та ξz у фор-
мулi (8) залежить вiд координат джерела r0, φ0
та z0, а вiдтак, загалом не можна суттєво спрости-
ти вираз для акустичної енергiї P (ω). Проте iсну-
ють випадки, коли iнтеграли по ~r0 та ~ξ у спiввiд-
ношеннi (8) стають незалежними, що призводить
до бажаного спрощення. Це вiдбувається при до-
мiнуваннi у регiонi V0 великих або малих вихорiв
(вони зумовлюються великим або малим значен-
ням вiдношення дiаметрiв локального звуження i
каналу вiдповiдно). Розглянемо кожен з цих ви-
падкiв окремо.
2.1. Великi вихори
Нехай у регiонi збуреної течiї V0 домiнують ве-
ликi вихори. При цьому вважатимемо їх настiль-
ки великими, що рух у поперечному перерiзi кана-
лу повнiстю корельований. Це означає, що взаємнi
спектри напружень Лайтхiла ST
ijkl не змiнюються
у поперечному перерiзi каналу i є функцiями лише
осьової вiдстанi мiж квадрупольними джерелами
ξz i частоти ω:
∂ST
ijkl
∂ξr
=
∂ST
ijkl
∂ξφ
= 0, ST
ijkl = ST
ijkl(ξz, ω).
А. О. Борисюк 13
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 10 – 20
За цiєї умови серед всiх похiдних функцiй ST
ijkl у
спiввiдношеннi (8) залишиться лише одна похiдна
однiєї функцiї ST
zzzz по координатi ξz:
∂4ST
zzzz
∂ξ4
z
6= 0,
i спiввiдношення вiдповiдно набуде такого вигля-
ду:
P (ω) =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
1
4‖Ψnm‖2knmρ0ω
×
×
∫∫∫
V0
Ψnm(r0, φ0)dV0(~r0)×
×
z0e−z0
∫
z0i−z0
∂4ST
zzzz(ξz , ω)
∂ξ4
z
e−sign(z−z0)iknmξzdξz×
×
a−r0
∫
−r0
2π−φ0
∫
−φ0
Ψnm(r0 + ξr , φ0 + ξφ)×
×(r0 + ξr)dξrdξφ.
(9)
Оскiльки в отриманому виразi подвiйний iнтеграл
по ξr i ξφ вiдмiнний вiд нуля лише у випадку
(n, m)=(0, 1), тобто для першої акустичної моди
каналу Ψ01 =1,
a−r0
∫
−r0
2π−φ0
∫
−φ0
Ψnm(r0 + ξr, φ0 + ξφ)(r0 + ξr)dξrdξφ =
=
{
πa2, (n, m) = (0, 1),
0, (n, m) 6= (0, 1),
то вираз (9) значно спрощується, i згенерована
квадруполями акустична енергiя на частотi ω стає
пропорцiйною об’ємовi регiону збуреної течiї |V0|
та одновимiрному iнтегралу вiд похiдної взаємного
спектра нормальних осьових напружень Лайтхiла
Tzz:
P (ω) = P01(ω) =
|V0|
4k0ρ0ω
×
×
∞
∫
−∞
∂4ST
zzzz(ξz, ω)
∂ξ4
z
e−sign(z−z0)ik0ξz dξz.
(10)
При отриманнi формули (10) було враховано, що
квадруполi зникають за межами регiону V0. Це до-
зволило перейти до нескiнченних меж iнтегруван-
ня по ξz.
Аналiз спiввiдношення (10) показує, що у випад-
ку домiнування у регiонi збуреної течiї великих ви-
хорiв звук генерують лише поздовжнi квадруполi
∂2Tzz/∂z2
0 , осi яких паралельнi до осi каналу. При
цьому згенерований звук поширюється в осьовому
напрямку у виглядi плоскої хвилi зi швидкiстю c0.
Повна акустична енергiя Π, випромiнена цими
джерелами, визначається iнтегралом вiд P (ω):
Π =
∞
∫
−∞
P (ω)dω,
i пiсля пiдстановки сюди спiввiдношення (10), на-
буває вигляду
Π =
|V0|
4ρ0c
3
0
∞
∫
−∞
∂2KT
zzzz(ξz , τ )
∂τ2
dξz, (11)
де τ =ξz/c0 – час проходження звуковою хвилею
осьової вiдстанi ξz мiж квадрупольними джерела-
ми; KT
zzzz(ξz, τ ) – кореляцiя напружень Лайтхiла
Tzz:
KT
zzzz(ξz, τ ) =
∞
∫
−∞
ST
zzzz(ξz , ω)e−iωτdω.
Введення в областi збуреної течiї V0 масштабiв
довжини
Lt = αa (12)
i частоти
ft = β
U
a
(13)
(де α i β – вiдповiдно коефiцiєнти цих масштабiв),
а також вiдношення характерної швидкостi збуре-
ної течiї ut до швидкостi незбуреної течiї U
γt =
ut
U
(14)
дозволяє отримати оцiнку повної акустичної енер-
гiї (11):
Π ∼
|V0|
4a
ρ0U
3M3αβ2γ4
t , α ∼ 1, β ∼ 1. (15)
Бачимо, що у випадку великих вихорiв iнтенсив-
нiсть акустичного випромiнювання квадруполiв у
каналi пропорцiйна третьому степеневi числа Ма-
ха, а не п’ятому, як можна було б очiкувати, вихо-
дячи з теорiї генерацiї звуку вiльною турбулентнi-
стю [8, 9, 11]. Така змiна характеру випромiнюва-
ння квадрупольних джерел пояснюється впливом
стiнок каналу.
14 А. О. Борисюк
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 10 – 20
2.2. Малi вихори
У цьому випадку вважаємо, що в регiонi збуре-
ної течiї V0 домiнують вихори, малi у порiвняннi
з радiусом каналу a. Це означає, що довжини ко-
реляцiй у радiальному, азимутальному i осьовому
напрямках (λr λφ i λz вiдповiдно), а також мас-
штаб довжини Lt в областi V0 набагато меншi за
радiус каналу a:
λr ∼ λφ ∼ λz ∼ Lt = αa � a, α � 1. (16)
Для таких малих довжин кореляцiй можна пере-
йти до нескiнченних меж iнтегрування по ~ξ у спiв-
вiдношеннi (8), знехтувавши при цьому гранични-
ми ефектами течiї бiля стiнки каналу:
P (ω) =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
1
4‖Ψnm‖2knmρ0ω
×
×
∫∫∫
V0
Ψnm(r0, φ0)dV0(~r0)×
×
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
∂4ST
ijkl(
~ξ, ω)
∂ξi∂ξj∂ξk∂ξl
×
×Ψnm(r0 + ξr , φ0 + ξφ)e−sign(z−z0)iknmξz×
×(r0 + ξr)dξrdξφdξz.
(17)
Можливiсть такого нехтування зумовлена тим, що
напруження Лайтхiла Tij зникають на нерухомiй
жорсткiй стiнцi каналу (внаслiдок вiдсутностi там
будь-якого руху рiдини), i всi вихори мають там
нульову енергiю. Крiм цього, зайнятий вихорами
об’єм |V1| бiля стiнки є малою величиною у порiв-
няннi з об’ємом регiону збуреної течiї |V0|:
|V1|
|V0|
=
Lt2πa(z0e − z0i)
πa2(z0e − z0i)
= 2α � 1.
Для спiввiдношення (17) розглянемо випадки
низьких i високих частот.
2.2.1. Низькi частоти
Пiд низькими розумiтимемо частоти ω, нижчi
за всi критичнi частоти каналу (4), окрiм першої
ω01. Оскiльки для вибраного каналу ω01 дорiвнює
нулевi, то це частоти
0 < ω < ωnm, (n, m) 6= (0, 1).
За цiєї умови всi акустичнi моди Ψnm, окрiм пер-
шої (Ψ01 =1), будуть неоднорiдними, i їхнiм вне-
ском у звукове поле можна знехтувати. Це при-
зводить до значного спрощення виразу (17) для
спектра P (ω):
P (ω) = P01(ω) =
|V0|
4πa2k0ρ0ω
×
×
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
∂4ST
ijkl(
~ξ, ω)
∂ξi∂ξj∂ξk∂ξl
e−sign(z−z0)ik0ξz×
×ξrdξrdξφdξz.
(18)
Отже, як i при домiнуваннi у регiонi V0 великих
вихорiв, у випадку малих вихорiв i низьких ча-
стот звук генерується у виглядi плоскої хвилi, яка
поширюється в осьовому напрямку зi швидкiстю
c0. Проте, на вiдмiну вiд формули (10), у спiввiд-
ношеннi (18) внесок в акустичне поле роблять усi,
а не лише поздовжнi осьовi квадруполi.
Застосування теореми про середнє [12] до iнте-
гралiв по ξr та ξφ у формулi (18) дає такий вираз
для згенерованої на частотi ω акустичної енергiї:
P (ω) = P01(ω) ≈
|V0|α
2
πk0ρ0ω
×
×
∞
∫
−∞
∂4ST
ijkl(
~ξ, ω)
∂ξi∂ξj∂ξk∂ξl
∣
∣
∣
∣
ξr=ξr∗,ξφ=ξφ∗
×
×e−sign(z−z0)ik0ξzdξz,
(19)
де α�1 (див. оцiнку (16)); ξr∗ i ξφ∗ – точки з вiд-
рiзкiв [0, λr] i [0, λφ] вiдповiдно.
Спiвставлення виразiв (10) i (19) показує, що
згенерована малими вихорами у дiапазонi низьких
частот звукова енергiя є малою величиною поряд-
ку α2 вiд звукової енергiї, згенерованої в тому ж
дiапазонi великомасштабними вихоровими утворе-
ннями. Тодi доходимо висновку, що повна акусти-
чна енергiя Π наближено даватиметься спiввiдно-
шенням (11), помноженим на α2, а її оцiнка вiд-
рiзнятиметься вiд оцiнки (15) практично лише до-
датковим множником α2:
Π ∼
|V0|
πa
ρ0U
3M3α3β2γ4
t , α � 1. (20)
Аналiз виразу (20) засвiдчує, що, як i у випад-
ку великих вихорiв (див. оцiнку (15)), згенерова-
на малими вихорами на низьких частотах повна
акустична енергiя Π формально пропорцiйна тре-
тьому степеневi числа Маха (M �1). Проте наяв-
нiсть у спiввiдношеннi (20) додаткового, порiвняно
з формулою (15), квадрату малого параметра α2
фактично вказує на пропорцiйнiсть енергiї Π п’я-
тому степеневi числа M :
M3α2 ∼ M5, M � 1, α � 1,
А. О. Борисюк 15
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 10 – 20
тобто на квадрупольний (а не дипольний) харак-
тер випромiнювання малих вихорiв у каналi. З iн-
шого боку, практично однаковий характер випро-
мiнювання малих вихорiв у вiльному просторi i ка-
налi вказує на вiдсутнiсть iстотного впливу стiнки
каналу на процес генерацiї звуку малими вихора-
ми в ньому.
2.2.2. Високi частоти
Пiд високими розумiтимемо такi частоти, для
яких всi акустичнi моди каналу Ψnm будуть одно-
рiдними:
ω > ωnm, n ≥ 0, m ≥ 1.
Це означає, що всi вони братимуть участь у фор-
муваннi дальнього звукового поля в каналi i мають
враховуватися при аналiзi виразу (17) для спектра
P (ω).
У такiй ситуацiї доцiльно виконати певнi опе-
рацiї зi спектром (17). Їх суть полягає у розпи-
суваннi косинусiв cos n(φ0+ξφ) i функцiй Бессе-
ля Jn(αnm(r0+ξr)) з подальшим урахуванням ор-
тогональностi отриманих при цьому тригономе-
тричних i цилiндричних функцiй, а також пар-
ностi/непарностi їхнiх добуткiв на симетричному
вiдносно початку координат вiдрiзку.
Пiсля розписування косинуса суми аргументiв
cosn(φ0+ξφ) одержуємо спрощену форму запису
спiввiдношення (17):
P (ω) =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
(z0e − z0i)‖ cos(nφ0)‖
2
4‖Ψnm‖2knmρ0ω
×
×
a
∫
0
Jn(αnmr0)r0dr0×
×
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
∂4ST
ijkl(
~ξ, ω)
∂ξi∂ξj∂ξk∂ξl
×
×Jn(αnm(r0 + ξr)) cos(nξφ)×
×e−sign(z−z0)iknmξz (r0 + ξr)dξrdξφdξz,
(21)
де квадрат норми косинуса ‖ cos(nφ0)‖
2 має вигляд
‖ cos(nφ0)‖
2 =
2π
∫
0
cos2(nφ0)dφ0 =
=
{
2π, n = 0,
π, n ≥ 1.
Застосування теореми додавання [13]
Jn(u + v) =
∞
∑
k=−∞
Jn−k(u)Jk(v)
до функцiй Бесселя Jn(αnm(r0 + ξr)) у форму-
лi (21) приводить до такого виразу для спектра
акустичної енергiї P (ω):
P (ω) =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
|V0|
4πa2knmρ0ω
×
×
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
∂4ST
ijkl(
~ξ, ω)
∂ξi∂ξj∂ξk∂ξl
J0(αnmξr)×
× cos(nξφ)e−sign(z−z0)iknmξzξrdξrdξφdξz.
(22)
Аналiз спiввiдношення (22) показує, що у разi
домiнування у регiонi збуреної течiї V0 малих вихо-
рiв внесок у високочастотну область спектра P (ω)
роблять усi квадруполi. При цьому, на вiдмiну вiд
випадкiв великих вихорiв та малих вихорiв i низь-
ких частот, тепер участь у формуваннi звукового
поля беруть усi акустичнi моди каналу Ψnm, а не
лише його перша мода Ψ01.
Iнтегрування спiввiдношення (22) по частотi i
введення в отриманий вираз масштабiв збуреної
течiї (12) – (14) дає оцiнку для акустичної енергiї
Π:
Π ∼
|V0|
πa
ρ0U
3M5α3β4γ4
t , α � 1. (23)
Бачимо, що для малих вихорiв i високих частот iн-
тенсивнiсть акустичного випромiнювання квадру-
полiв у каналi визначається п’ятим степенем числа
Маха. Оскiльки такий же степiнь числа Маха хара-
ктеризує i акустичне випромiнювання квадруполiв
у вiльному просторi [8, 11], то цей результат свiд-
чить про незначний вплив стiнки каналу на процес
генерацiї звуку малими вихорами у ньому (анало-
гiчний висновок було зроблено i у пiдроздiлi 2.2.1).
Спiвставлення ж оцiнок (23) i (20), а також вра-
хування наведеної пiсля формули (20) пропорцiй-
ностi
M3α2 ∼ M5, M � 1, α � 1
показує, що при домiнуваннi у регiонi збуреної те-
чiї V0 малих вихорiв згенерована квадруполями у
дiапазонi високих частот акустична енергiя є ма-
лою величиною порядку α2β2 (α�1) вiд енергiї,
згенерованої цими ж квадруполями на низьких ча-
стотах.
16 А. О. Борисюк
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 10 – 20
3. ВИПАДОК ДОМIНУВАННЯ ДИПОЛIВ
Розглянемо ситуацiю, коли у згенерованому зву-
ковому полi в каналi домiнує внесок поверхневих
диполiв. При цьому вважатимемо їх рiвномiрно
розташованими на поверхнi S0, яка обмежує ре-
гiон збуреної течiї V0.
Першу з цих умов може бути реалiзовано на
практицi, коли число Рейнольдса Re в регiонi
збуреної за локальним звуженням каналу течiї
V0 є або близьким до критичного значення Recr
(Re∼Recr), або ж ненабагато бiльшим за нього
(Re>Recr, M �1). Виконання ж другої умови, як
i у випадку рiвномiрного розподiлу об’ємних ква-
друполiв, може бути забезпечено в разi:
• осесиметричностi незбуреної течiї та параболi-
чностi профiлю її швидкостi перед звуженням
каналу;
• плавностi та осесиметричностi геометрiї ло-
кального звуження.
У такiй ситуацiї спiввiдношення (3) для спектра
акустичної енергiї P (ω) зводиться до формули (7),
яка за рахунок спiввiдношень (5) для функцiй SF
ik
спрощується до вигляду
P (ω) =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
a2J2
n(αnma)
4‖Ψnm‖2knmρ0ω
×
×
2π
∫
0
z0e
∫
z0i
cos(nφ0)dφ0dz0×
×
2π−φ0
∫
−φ0
z0e−z0
∫
z0i−z0
∂2SF
ik(ξφ, ξz, ω)
∂ξi∂ξk
×
× cos(n(φ0 + ξφ))e−sign(z−z0)iknmξzdξφdξz,
(24)
де ∂SF
ik/∂ξr =0.
У спiввiдношеннi (24) подвiйний iнтеграл по ξφ
i ξz залежить вiд φ0 i z0. Тому очевидно, що у за-
гальному випадку не вдасться суттєво спростити
вираз для спектра P (ω). Однак у разi домiнування
в регiонi збуреної течiї V0 великомасштабних або
дрiбномасштабних вихорових утворень таке спро-
щення стає можливим.
3.1. Великi вихори
Розглянемо випадок домiнування у регiонi збу-
реної течiї V0 настiльки великих вихорових утво-
рень, що поверхневi диполi стають повнiстю коре-
льованими по колу r0 =a. У такiй ситуацiї взаємнi
спектри SF
ik не залежатимуть вiд азимутальної ко-
ординати ξφ:
∂SF
ik
∂ξφ
= 0, SF
ik = SF
ik(ξz, ω),
i спiввiдношення (24) для спектра акустичної енер-
гiї P (ω) зведеться до виразу
P (ω) =
∞
∑
m=1
|S0|
2ak0mρ0ω
∞
∫
−∞
∂2SF
zz(ξz, ω)
∂ξ2
z
×
×e−sign(z−z0)ik0mξz dξz,
(25)
де |S0| – площа поверхнi S0.
Бачимо, що при домiнуваннi в регiонi V0 ве-
ликих вихорiв внесок в акустичне поле у каналi
роблять лише осьовi диполi ∂Fz/∂z0. При цьому
основна частина цього внеску припадає на першу
акустичну моду каналу Ψ01 =1. Їй вiдповiдає пло-
ска звукова хвиля, яка поширюється в осьовому
напрямку зi швидкiстю c0.
Повна акустична енергiя Π, згенерована осьови-
ми диполями ∂Fz/∂z0, має такий вигляд:
Π ≈
|S0|
2aρ0c0
∞
∫
−∞
KF
zz(ξz, τ )dξz, (26)
де τ =ξz/c0 – час проходження звуковою хвилею
осьової вiдстанi ξz мiж дипольними джерелами;
KF
zz(ξz, τ ) – кореляцiя сил Fz:
KF
zz(ξz , τ ) =
∞
∫
−∞
SF
zz(ξz, ω)e−iωτdω.
Зауважимо, що тут було враховано внесок лише
першої акустичної моди каналу Ψ01.
Введення масштабiв збуреної течiї (12) – (14) у
спiввiдношення (26) дає змогу отримати оцiнку
енергiї Π:
Π ∼
|S0|
2
ρ0U
3M3αγ4
t , α ∼ 1. (27)
Маємо класичну кубiчну залежнiсть iнтенсивно-
стi акустичного випромiнювання диполiв вiд числа
Маха [8, 9, 11].
3.2. Малi вихори
Тепер нехай в регiонi збуреної течiї V0 домiну-
ють вихоровi утворення, розмiри яких малi у по-
рiвняннi з радiусом каналу a. У такiй ситуацiї ма-
лими вiдносно a будуть довжини кореляцiй λr, λφ
i λz, а також масштаб довжини Lt в областi V0:
λr ∼ λφ ∼ λz ∼ Lt = αa � a, α � 1.
А. О. Борисюк 17
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 10 – 20
Тодi межi iнтегрування по ξφ та ξz у формулi (24)
можна розширити – вiд −∞ до ∞:
P (ω) =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
a2J2
n(αnma)
4‖Ψnm‖2knmρ0ω
×
×
2π
∫
0
z0e
∫
z0i
cos(nφ0)dφ0dz0×
×
∫
∞
∫
−∞
∂2SF
ik(ξφ, ξz, ω)
∂ξi∂ξk
cos(n(φ0 + ξφ))×
×e−sign(z−z0)iknmξzdξφdξz.
(28)
В отриманому спiввiдношеннi розглянемо ви-
падки низьких та високих частот.
3.2.1. Низькi частоти
Як i у пiдроздiлi 2.2.1, вважатимемо низькими
частоти, котрi задовольняють умову
0 < ω < ωnm, (n, m) 6= (0, 1).
Тодi внесок у звукове поле в каналi робить лише
його перша акустична мода Ψ01, i спiввiдношен-
ня (28) набуває такого вигляду:
P (ω) = P01(ω) =
|S0|
4πak0ρ0ω
×
×
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
∂2SF
ik(ξφ, ξz, ω)
∂ξi∂ξk
×
×e−sign(z−z0)ik0ξzdξφdξz.
(29)
Аналiз цього спiввiдношення показує, що у ви-
падку домiнування у регiонi збуреної течiї V0 ма-
лих вихорiв внесок у низькочастотну область спе-
ктра P (ω) роблять всi диполi. Тодi згенерована ни-
ми звукова енергiя поширюється у виглядi плоскої
хвилi в осьовому напрямку зi швидкiстю c0.
Застосуємо теорему про середнє [12],
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
∂2SF
ik(ξφ, ξz, ω)
∂ξi∂ξk
×
×e−sign(z−z0)ik0ξzdξφdξz =
=
∞
∫
−∞
∂2SF
ik(ξφ, ξz, ω)
∂ξi∂ξk
∣
∣
∣
∣
ξφ=ξφ∗
×
×e−sign(z−z0)ik0ξzdξz
2λφ
a
,
де ξφ∗ – точка з вiдрiзку [0, λφ]; λφ∼Lt, до спiввiд-
ношення (29):
P (ω) ≈
|S0|α
2πak0ρ0ω
∞
∫
−∞
∂2SF
ik(ξφ, ξz, ω)
∂ξi∂ξk
∣
∣
∣
∣
ξφ=ξφ∗
×
×e−sign(z−z0)ik0ξzdξz, α � 1.
Це дозволяє провести його порiвняльний аналiз iз
виразом (25). Бачимо, що при домiнуваннi у ре-
гiонi V0 малих вихорiв згенерована диполями на
низьких частотах звукова енергiя є малою вели-
чиною порядку α/π (α�1) вiд звукової енергiї,
згенерованої у тому ж дiапазонi диполями у ра-
зi домiнування великих вихорiв.
Вiдповiдно, вираз для акустичної енергiї Π вiд-
рiзнятиметься вiд спiввiдношення (26) практично
лише додатковим множником α/π, а оцiнка для Π
матиме вигляд (27), домножений на α/π:
Π ∼
|S0|
2π
ρ0U
3M3α2γ4
t , α � 1. (30)
Знову отримуємо класичну кубiчну залежнiсть
згенерованої диполями акустичної енергiї вiд чис-
ла Маха [8, 9, 11].
3.2.2. Високi частоти
Перейдемо до розгляду частот, вищих за всi кри-
тичнi частоти каналу:
ω > ωnm, n ≥ 0, m ≥ 1.
У цьому випадку всi акустичнi моди Ψnm будуть
однорiдними i братимуть участь у формуваннi
дальнього звукового поля. Тому їх треба врахову-
вати при подальшому аналiзi спiввiдношення (28)
для спектра акустичної енергiї P (ω). Розписуючи
у цьому спiввiдношеннi косинус суми аргументiв
cosn(φ0+ξφ) i враховуючи ортогональнiсть отри-
маних при цьому тригонометричних функцiй, при-
ходимо до такого виразу для спектра P (ω):
P (ω) =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
|S0|
4πaεnknmρ0ω
×
×
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
∂2SF
ik(ξφ, ξz, ω)
∂ξi∂ξk
cos(nξφ)×
×e−sign(z−z0)iknmξzdξφdξz,
(31)
де
εn =
1, n = 0,
1 −
(
n
αnma
)2
, n ≥ 1.
18 А. О. Борисюк
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 10 – 20
Аналiз формули (31) засвiдчує, що у разi домi-
нування у регiонi V0 малих вихорiв внесок у висо-
кочастотну область спектра P (ω) роблять усi ди-
полi. При цьому всi акустичнi моди Ψnm беруть
участь у формуваннi звукового поля в каналi.
Пiдстановка спiввiдношення (31) в iнтеграл для
акустичної енергiї Π i введення туди масштабiв
збуреної течiї (12) – (14) дозволяє отримати оцiн-
ку для Π:
Π ∼
|S0|
2π
ρ0U
3M3α3βγ4
t , α � 1. (32)
Бачимо, що i у випадку малих вихорiв та висо-
ких частот згенерована диполями акустична енер-
гiя також визначається третiм степенем числа Ма-
ха. Проте вона є малою величиною порядку αβ
(α�1) у порiвняннi з енергiєю, згенерованою ди-
полями у випадку малих вихорiв та низьких ча-
стот, описаному в пiдроздiлi 3.2.1 (спiвстав оцiнки
(32) i (30)).
ВИСНОВКИ
Розглянутi частиннi випадки розробленої у стат-
тi [7] теорiї генерацiї звуку обмеженою областю
збуреної течiї у нескiнченному прямому жорстко-
стiнному каналi кругового поперечного перерiзу.
Дослiдженi ситуацiї, коли у згенерованому акусти-
чному полi домiнує внесок об’ємних квадруполiв
або поверхневих диполiв. Зокрема, проаналiзованi
такi потоки i форми локальних неоднорiдностей
геометрiї каналiв, при яких регiон збуреної за нео-
днорiднiстю течiї займають рiвномiрно розподiле-
нi великi або малi вихори. Для розглянутих випад-
кiв отриманi вiдповiднi спрощенi вирази для згене-
рованої акустичної енергiї та проведенi їхнi оцiнки
для характерних масштабiв у областi збурення.
ПОДЯКА
Автор висловлює подяку академiку НАН Украї-
ни В. Т. Грiнченку за кориснi поради, якi допомо-
гли покращити якiсть цiєї статтi.
1. Lees R. S., Dewey C. F., Jr. Phonoangiography: a new
noninvasive diagnostic method for studying arterial
disease // Proc. Nat. Acad. Sci.– 1970.– 67.– P. 935–
942.
2. Young D. F. Fluid mechanics of arterial stenosis //
J. Biomech. Engng.– 1979.– 101.– P. 157–175.
3. Миролюбов С. Г. Гидродинамика стеноза // Сов-
ремен. пробл. биомех.– 1983.– 1.– С. 73–136.
4. Berger S. A., Jou L-D. Flows in stenotic vessels //
Ann. Rev. Fluid Mech.– 2000.– 32.– P. 347–382.
5. Borisyuk A. O. Noise field in the human chest due
to turbulent flow in a larger blood vessel // Flow,
Turbulence and Combustion.– 1999.– 61.– P. 269–
284.
6. Borisyuk A. O. Experimental study of noise produced
by steady flow through a simulated vascular
stenosis // J. Sound Vib.– 2002.– 256.– P. 475–498.
7. Борисюк А. О. Генерацiя звуку обмеженою обла-
стю збуреної течiї в жорсткостiнному каналi кру-
гового поперечного перерiзу. Частина 1. Загальна
теорiя // Акуст. вiсн.– 2003.– 6, N 3.– С. 3–9.
8. Blake W. K. (ed.) Mechanics of flow-induced sound
and vibration.– New York: Academic Press, 1986.–
974 p.
9. Голдстейн М. Е. Аэроакустика.– М.: Машиностро-
ение, 1981.– 294 с.
10. Morse P. M., Feshbach H. Methods of theoretical
physics.– New York: McGraw-Hill, 1953.– 997 p.
11. Lighthill M. J. On sound generated aerodynamically.
1. General theory // Proc. Roy. Soc. London.– 1952.–
A211.– P. 564–587.
12. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и ин-
тегрального исчисления: том 2.– М.: Физматгиз,
1962.– 807 с.
13. Ямке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные
функции.– М.: Наука, 1968.– 344 с.
ДОДАТОК. УМОВНI ПОЗНАЧЕННЯ
a – радiус поперечного перерiзу кана-
лу;
U – осереднена осьова швидкiсть течiї
в каналi;
ut – характерна швидкiсть збуреної те-
чiї;
c0 – швидкiсть звуку в незбуренiй рi-
динi;
M – число Маха;
ρ – густина рiдини;
ν – кiнематична в’язкiсть рiдини;
µ – динамiчна в’язкiсть рiдини;
p – тиск;
Tij – напруження Лайтхiла;
Fi – i-та компонента прикладених до
стiнки каналу сил на одиницю пло-
щi;
τij – дотичнi напруження;
εij – швидкостi деформацiї;
nj – j-та компонента зовнiшньої норма-
лi до стiнки каналу;
ui – i-та компонента швидкостi рiдини;
δij – символ Кронекера;
∂2Tij/∂yi∂yj – об’ємнi квадруполi;
∂Fi/∂yi – поверхневi диполi;
V0 – об’єм збуреної течiї;
S0 – поверхня, що його обмежує;
δ(·) – дельта-функцiя Дiрака;
ρa – акустичнi флуктуацiї густини;
А. О. Борисюк 19
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 10 – 20
pa – акустичнi флуктуацiї тиску;
P (ω) – акустична енергiя на частотi ω;
Π – повна акустична енергiя;
Ψnm – акустичнi моди каналу;
αnm – радiальнi хвильовi числа;
knm – осьовi хвильовi числа;
k0 – акустичне хвильове число;
ωnm – критичнi частоти каналу;
ST
ijkl – взаємнi спектри образiв Фур’є на-
пружень Лайтхiла;
SF
ik – взаємнi спектри образiв Фур’є сил
Fk;
STF
ijk – взаємний спектр образiв Фур’є на-
пружень Лайтхiла Tij i сил Fk.
20 А. О. Борисюк
|