Задача Неймана для уравнения Гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки
Рассмотрен вопрос о построении решения плоской граничной задачи Неймана для уравнения Гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки. Предложен подход, основанный на использовании метода частичных областей и принципа отражения для решений уравнения Гельмгольца через отрезок. Исходная граничн...
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2004
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1022 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача Неймана для уравнения Гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки / А. М. Гомилко, В. И. Денисенко // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 4. — С. 28-33. — Бібліогр.: 8 назв. — рус. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860056959260033024 |
|---|---|
| author | Гомилко, А.М. Денисенко, В.И. |
| author_facet | Гомилко, А.М. Денисенко, В.И. |
| citation_txt | Задача Неймана для уравнения Гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки / А. М. Гомилко, В. И. Денисенко // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 4. — С. 28-33. — Бібліогр.: 8 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассмотрен вопрос о построении решения плоской граничной задачи Неймана для уравнения Гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки. Предложен подход, основанный на использовании метода частичных областей и принципа отражения для решений уравнения Гельмгольца через отрезок. Исходная граничная задача сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Исследовано асимптотическое поведение неизвестных алгебраической системы на бесконечности.
Розглянуто питання про побудову розв'язку плоскої граничної задачі Неймана для рівняння Гельмгольца у зовнішності прямолінійно-кругової луночки. Запропоновано підхід, який грунтується на використанні методу часткових областей і принципу відбиття для розв'язків рівняння Гельмгольца через відрізок. Вихідну граничну задачу зведено до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Досліджено асимптотичну поведінку невідомих алгебраїчної системи на нескінченності.
The question of the solution construction for the Neumann plane boundary-value problem for the Helmholtz equation in the exterior of a rectilinear-circular lune is considered. An approach is suggested, that is based on utilizing the method of partial domains and the principle of the Helmholtz equation solution reflecting with respect to a segment. The initial boundary-value problem is reduced to an infinite set of linear algebraic equations. The asymptotic behavior of unknown coefficients of the algebraic system at infinity is investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:01:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 28 – 33
УДК 534.1
ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
ВО ВНЕШНОСТИ ПРЯМОЛИНЕЙНО-КРУГОВОЙ
ЛУНОЧКИ
А. М. Г О МИ Л К О∗, В. И. Д ЕН И С ЕН К О∗∗
∗ Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
∗∗ Киевский национальный торгово-экономический университет
Получено 20.12.2004
Рассмотрен вопрос о построении решения плоской граничной задачи Неймана для уравнения Гельмгольца во вне-
шности прямолинейно-круговой луночки. Предложен подход, основанный на использовании метода частичных обла-
стей и принципа отражения для решений уравнения Гельмгольца через отрезок. Исходная граничная задача сведена
к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Исследовано асимптотическое поведение неизвестных
алгебраической системы на бесконечности.
Розглянуто питання про побудову розв’язку плоскої граничної задачi Неймана для рiвняння Гельмгольца у зовнi-
шностi прямолiнiйно-кругової луночки. Запропоновано пiдхiд, який грунтується на використаннi методу часткових
областей i принципу вiдбиття для розв’язкiв рiвняння Гельмгольца через вiдрiзок. Вихiдну граничну задачу зведено
до нескiнченної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Дослiджено асимптотичну поведiнку невiдомих алгебраїчної
системи на нескiнченностi.
The question of the solution construction for the Neumann plane boundary-value problem for the Helmholtz equation in
the exterior of a rectilinear-circular lune is considered. An approach is suggested, that is based on utilizing the method
of partial domains and the principle of the Helmholtz equation solution reflecting with respect to a segment. The initial
boundary-value problem is reduced to an infinite set of linear algebraic equations. The asymptotic behavior of unknown
coefficients of the algebraic system at infinity is investigated.
ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно, что анализ многих акусти-
ческих ситуаций можно осуществить в рамках
модели, приводящей к решению линейных гра-
ничных задач для уравнения Гельмгольца. При
этом для изучения различных проблем, связан-
ных с излучением и дифракцией акустических
волн, широко и эффективно применяется метод
частичных областей [1]. Его суть состоит в том,
что полная область существования искомого ре-
шения граничной задачи представляется в виде
пересечения и (или) объединения частичных по-
добластей, в каждой из которых можно построить
общее (в определенном смысле) решение уравне-
ния Гельмгольца. Таким образом, в рамках метода
частичных областей последовательно осуществля-
ется конструктивное использование бесконечных
семейств частных решений волнового уравнения в
канонических координатных системах для постро-
ения соответствующих аналитических решений в
неканонических областях.
Несмотря на богатую историю развития рассма-
триваемого метода, в последнее время открылись
новые возможности по расширению его области
применимости, связанные с усложнением рассма-
триваемой геометрии [2 – 4]. В статье [5] изложен
новый подход, позволяющий эффективно исполь-
зовать общие идеи метода частичных областей
в комбинации с принципом отражения для ре-
шений уравнения Гельмгольца через прямолиней-
ный отрезок. При этом основное внимание было
уделено внутренней граничной задаче Дирихле
для уравнения Гельмгольца для прямолинейно-
круговой луночки. Данная статья посвящена ра-
звитию идей [5] на случай плоской внешней зада-
чи об излучении звука колеблющейся луночкой. В
рассматриваемой ситуации использование принци-
па отражения приводит к тому, что построение ре-
шения исходной граничной задачи сводится к соо-
тветствующему вопросу для граничной задачи Не-
ймана для уравнения Гельмгольца во внешности
круга.
В контексте сказанного следует отметить, что
вопросы продолжения решений эллиптических
уравнений (в частности, волновых полей) находят
широкое применение при исследовании различных
задач математической физики. Обзор современно-
го состояния задач продолжения волновых полей,
включая их прикладные аспекты, относящиеся к
внешним задачам дифракции, приведен в рабо-
те [6].
28 c© А. М. Гомилко, В. И. Денисенко, 2004
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 28 – 33
1. ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Пусть (x, y) – декартовы, а (r, θ) – полярные ко-
ординаты на плоскости:
x = r cos θ, y = r sin θ.
Для удобства в различных ситуациях будем счи-
тать, что угол θ изменяется либо в пределах
[0, 2π], либо [−π, π]. Для заданных значений a>0
и b∈ (0, a) определим область Ω, которая являе-
тся пересечением круга r<a и полуплоскости x>b,
и область D=R2\Ω, являющуюся внешностью Ω.
Пусть Ω0 – пересечение области D и круга |r|<a
(см. рисунок). Обозначим через γ отрезок x=b,
|y|<d =
√
a2−b2, причем для дуги окружности за-
дадим
γ1 : r = a, |θ| < θ0,
γ2 : r = a, θ ∈ (θ0 , π),
где
θ0 = arccos
b
a
∈ (0, π/2].
Рассмотрим в области D симметричную относи-
тельно переменной y внешнюю граничную задачу
Неймана для уравнения Гельмгольца:
∆ u(x, y) + k2u(x, y) = 0, (x, y) ∈ D, (1)
∂u
∂r
= f(θ), r = a, |θ| < θ0, (2)
∂u
∂x
= 0, x = b, |y| < d, (3)
где f(θ) – четная функция, достаточно гладкая на
отрезке |θ|≤θ0. Такая задача описывает распро-
странение звукового поля в области D при задан-
ном колебании части поверхности луночки Ω. При
этом граничные условия (2), (3) следует дополнить
соответствующим условием излучения на бесконе-
чности. В предположении, что временная гармони-
ческая зависимость звукового поля определяется
множителем e−iωt, это условие имеет вид
r1/2
(
∂u
∂r
− iku
)
= O(1), r → ∞. (4)
В соответствии с общими идеями метода части-
чных областей [1] представим область D в виде
замыкания объединения ограниченной области Ω0
и внешности окружности r=a. В связи с этим ре-
шения u исходной граничной задачи будем искать
в виде
u = u1, |r| > a,
u = u0, (x, y) ∈ Ω0.
(5)
y
D
d
0Ω
*
0Ω
0θ Ω x
a− 0 b a ba 2+
Рисунок. Геометрия задачи
Здесь предполагается, что каждая из функций
uj удовлетворяет уравнению Гельмгольца (1) в
соответствующей области и, кроме того, для u1
выполняются граничное условие (2) и условие
излучения (4), а для u0 – граничное условие (3).
Вне круга r≤a решение граничной задачи (1) –
(4) можно представить рядом [1]
u1(r, θ) =
∞
∑
m=0
Cm
H
(1)
m (kr)
H
(1)
m (ka)
cos(mθ), r > a, (6)
где H
(1)
m (·) – функция Ханкеля первого рода и m-
го порядка.
Рассмотрим вопрос о представлении решения
u=u0 в области Ω0. С одной стороны, указанная
область содержит полукруг r<a, θ∈ (π/2, 3π/2).
Это обстоятельство препятствует непосредствен-
ному использованию процедуры метода части-
чных областей [5]. С другой стороны, поскольку на
граничном прямолинейном отрезке γ задано одно-
родное граничное условие (3) для потенциала u,
то в соответствии с принципом отражения искомое
решение u0 можно отразить симметричным обра-
зом:
u0(x, y) = u0(−x + 2b, y), (x, y) ∈ Ω∗
0 (7)
в симметричную для Ω0 относительно отрезка γ
область
Ω∗
0 = {(x, y) : (−x + 2b, y) ∈ Ω0}. (8)
При этом замыкание объединения областей Ω0 и
Ω∗
0 содержит круг r≤a и, следовательно, решение
u0 продолжается до решения уравнения Гельм-
гольца (1) в круге. Таким образом, функцию u0
А. М. Гомилко, В. И. Денисенко 29
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 28 – 33
можно искать в виде ряда [1]
u0 =
∞
∑
n=0
An
Jn(kr)
Jn(ka)
cos(nθ),
r < a, θ ∈ [0, 2π],
(9)
с неизвестными коэффициентами An (при этом
предполагается, что выполнено условие Jn(ka) 6=0
для n=0, 1, . . .).
Для нахождения коэффициентов Cm, An имеем
граничные условия (2), (3) и условия сопряжения
для потенциалов u0, u1:
u0 = u1,
∂u0
∂r
=
∂u1
∂r
,
r = a, |θ| ∈ (θ0, π).
(10)
Таким образом, исходя из выражения (9), заклю-
чаем, что для функции u0 требуется определить
некоторое дополнительное граничное условие на
оставшейся части окружности r=a, |θ|<θ0. Идея
формирования этого условия состоит в том, что
его можно взять из соотношения отражения (7)
и сформулировать условие в терминах тех же не-
известных коэффициентов An [5]. Действуя та-
ким образом и используя ортогональность три-
гонометрических функций в представлениях (6),
(9), получаем бесконечную систему линейных ал-
гебраических уравнений относительно коэффици-
ентов Cm и An.
Если точка (r, θ)∈Ω∗
0, то ее прообразом при ото-
бражении (7) будет точка с полярными координа-
тами (r̂, θ̂), определяемыми из соотношений
r̂ sin θ̂ = r sin θ,
r̂ cos θ̂ = r cos θ + 2b.
Разрешив эти уравнения относительно r̂, θ̂, полу-
чаем равенства
r̂(r, θ) =
√
r2 − 4rb cos θ + 4b2,
θ̂(r, θ) = arcsin
(
r sin θ
r̂(r, θ)
)
.
(11)
Таким образом, для искомой функции u0 в обла-
сти Ω∗
0 (а значит и в области Ω ⊂ Ω∗
0) из соотно-
шений (7), (9), (11) следует
u0(r cos θ, r sin θ) =
∞
∑
n=0
An
Jn(kr̂)
Jn(ka)
cos(nθ̂).
В частности, справедливо равенство
u0(a cos θ, a sin θ)=
∞
∑
n=0
An
Jn(k̂r∗)
Jn(k̂)
cos(nθ∗),
|θ| < θ0,
(12)
где, согласно выражения (11), введены обозначе-
ния
r∗(θ) = a−1r̂(a, θ) =
√
1 + 4 cos2 θ0 − 4 cos θ0 cos θ,
θ∗(θ) = θ̂(a, θ) = arcsin
(
sin θ
r∗(θ)
)
, k̂ = ka.
Таким образом, выполнение граничных усло-
вий (2), (3) и условий сопряжения совместно с
равенством (12) приводит к следующим функци-
ональным соотношениям (при учете четности рас-
сматриваемой задачи):
k
∞
∑
m=0
Cm
H
(1)′
m (k̂)
H
(1)
m (k̂)
cos(mθ) = f(θ),
θ ∈ (0, θ0),
(13)
∞
∑
m=0
Cm
H
(1)′
m (k̂)
H
(1)
m (k̂)
cos(mθ) =
=
∞
∑
m=0
Am
J ′
m(k̂)
Jm(k̂)
cos(mθ),
θ ∈ (θ0 , π),
(14)
∞
∑
m=0
Cm cos(mθ) =
∞
∑
m=0
Am cos(mθ),
θ ∈ (θ0, π),
(15)
∞
∑
m=0
Am cos(mθ)=
∞
∑
m=0
Am
Jm(k̂r∗)
Jm(k̂)
cos(nθ∗),
θ ∈ (0, θ0).
(16)
Запишем соотношения (11) – (16) в виде
k
∞
∑
m=0
Cm
H
(1)′
m (k̂)
H
(1)
m (k̂)
cos(mθ) =
=
f(θ), θ ∈ (0, θ0),
k
∞
∑
n=0
An
J ′
n(k̂)
Jn(k̂)
cos(nθ), θ ∈ (θ0, π),
(17)
30 А. М. Гомилко, В. И. Денисенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 28 – 33
∞
∑
n=0
An cos(nθ) =
=
∞
∑
m=0
Am
Jm(k̂r∗)
Jm(k̂)
cos(mθ∗), θ∈ (0, θ0),
∞
∑
m=0
Cm cos(mθ), θ∈ (θ0, π).
(18)
Тогда использование соотношений ортогональ-
ности
2
π
π
∫
0
cos(nθ) cos(mθ)dθ = δnm(1 + δn0),
n, m = 0, 1 . . . ,
где δnm – символ Кронекера, позволяет получить
из функциональных уравнений (17), (18) следую-
щую бесконечную систему линейных алгебраиче-
ских уравнений относительно неизвестных коэф-
фициентов Cm и An:
Cm
(1 + δn0)πk
2
H
(1)′
m (k̂)
H
(1)
m (k̂)
Cm =
= k
∞
∑
n=0
An
J ′
n(k̂)
Jn(k̂)
Ln,m+
+
θ0
∫
0
f(θ) cos(mθ)dθ,
m = 0, 1, . . . ,
(19)
An
(1 + δn0)π
2
=
=
∞
∑
m=0
Am
θ0
∫
0
Jm(k̂r∗)
Jm(k̂)
cos(mθ∗) cos(nθ)dθ+
+
∞
∑
m=0
CmLm,n,
n = 0, 1, . . .
(20)
Здесь
Lm,n =
π
∫
θ0
cos(mθ) cos(nθ)dθ =
= −sin(n − m)θ0
2(n − m)
− sin(n + m)θ0
2(n + m)
, n 6= m,
Ln,n =
π
∫
θ0
cos2(nθ)dθ =
=
π − θ0
2
− sin(2nθ0)
4n
, n ≥ 1,
L0,0 =
π
∫
θ0
dθ = π − θ0.
При численном анализе для нахождения огра-
ниченного решения системы уравнений (19), (20)
можно воспользоваться методом простой реду-
кции. Более эффективное решение бесконечной
системы алгебраических уравнений обеспечивает
применение метода улучшенной редукции, когда в
рассмотрение вовлекается априорная информация
об асимптотическом поведении неизвестных Cm,
m→∞ и An, n→∞.
2. АСИМПТОТИКА НЕИЗВЕСТНЫХ АЛГЕ-
БРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Выясним характер поведения неизвестных Cm,
An системы уравнений (19), (20) при m, n→∞
в предположении, что заданная четная функ-
ция f(θ) непрерывно дифференцируема на отрез-
ке |θ|≤θ0, причем f(θ0)=0 и f ′(θ0)=0. Основ-
ной характер этого поведения обусловлен нали-
чием угловых точек при рассматриваемой геоме-
трии. Действительно, так как прямая x=b и дуга
γ1 пересекаются под углом α=2π−θ0 (со стороны
области D), то главная сингулярная часть реше-
ния u задачи (1) – (3) при подходе к угловой точке
r=a, θ=θ0 определяется выражением [1]
u ≈ cρβ cos(βφ), ρ → 0,
β =
π
2π − θ0
∈ (1/2, 2/3], θ0 ∈ (0, π/2].
(21)
Здесь введены локальные полярные координаты
(ρ, φ):
x− b = ρ cos(φ − (π/2 − θ0)) = ρ sin(φ + θ0),
y − d = ρ sin(φ − (π/2 − θ0)) = −ρ cos(φ + θ0).
А. М. Гомилко, В. И. Денисенко 31
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 28 – 33
Обращаясь к выражению (6), заключаем, что
для функции
u1(a, θ) =
∞
∑
m=0
Cm cos(mθ), |θ| ≤ π,
при подходе к θ0 справедливы асимптотические со-
отношения
u1(a, θ) ≈ 0, θ → θ0, θ < θ0,
u1(a, θ) ≈ c(θ − θ0)
β , θ → θ0, θ > θ0.
(22)
Таким образом, из оценки (22) получаем асимпто-
тическое равенство при m→∞:
Cm ≈ 2c
π
π
∫
θ0
(θ − θ0)
β cos(mθ)dθ =
= −2cβ
πm
π
∫
θ0
(θ − θ0)
β−1 sin(mθ)dθ =
= −2cβ
πm
∞
∫
θ0
(θ − θ0)
β−1 sin(mθ)dθ + O(m−2).
Учитывая, что [7, п. 2.5.5]
∞
∫
θ0
(θ − θ0)
β−1 sin mθdθ =
=
Γ(β)
mβ
sin(mθ0 + βπ/2), β ∈ (0, 1),
(23)
имеем
Cm ≈ −2cΓ(β + 1) sin(mθ0 + βπ/2)
πmβ+1
,
m → ∞.
(24)
Обратимся к вопросу об асимптотическом пове-
дении неизвестных An. Поведение функции
u0(a, θ) =
∞
∑
n=0
An cos(nθ)
в окрестности точки θ=θ0, согласно выраже-
ния (21) и формулы отражения (7), определяется
следующими соотношениями:
u0(a, θ) ≈ c(θ − θ0)
β cosπ = −c(θ − θ0)
β,
θ → θ0 + 0,
u0(a, θ) ≈ c(θ0 − θ)β cos(2π − θ0) =
= c cos θ0(θ0 − θ)β ,
θ → θ0 − 0.
Таким образом, при n→∞ имеем асимптотическое
равенство
An ≈ 2c cos θ0
π
θ0
∫
0
(θ0 − θ)β cos(nθ)dθ−
−2c
π
π
∫
θ0
(θ − θ0)
β cos(nθ)dθ.
(25)
При этом [7, п. 2.5.6]
θ0
∫
0
(θ0 − θ)β cos(nθ)dθ ≈
≈ 1
(2θ0)β
θ0
∫
0
(θ2
0 − θ2)β cos(nθ)dθ =
=
√
πθ0
2
Γ(β + 1)
nβ+1/2
Jβ+1/2(nθ0), n → ∞.
Используя здесь асимптотику функции Бесселя [8,
§ 5.11]
Jβ+1/2(nθ0) ≈
(
2
πnθ0
)1/2
sin(nθ0 − πβ/2),
n → ∞,
получаем
θ0
∫
0
(θ0 − θ)β cos(nθ)dθ ≈
≈ 1
(2θ0)β
θ0
∫
0
(θ2
0 − θ2)β cos(nθ)dθ ≈
≈ Γ(β + 1)
nβ+1
sin(nθ0 − πβ/2),
n → ∞.
Отсюда, согласно формуле (25), из соотноше-
ния (23) находим, что
An ≈ 2cΓ(β + 1)
πnβ+1
×
×[cos θ0 sin(nθ0 + βπ/2) − sin(nθ0 − πβ/2)],
n → ∞.
(26)
32 А. М. Гомилко, В. И. Денисенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 28 – 33
Таким образом, асимптотические поведения ко-
эффициентов Cm, An, m, n → ∞ в предположении
их ограниченности на бесконечности описываются
выражениями (24) и (26). При этом постоянная c в
асимптотических формулах является неизвестной
и должна быть определена в процессе численного
решения системы (19), (20) на основе метода улу-
чшенной редукции.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложен новый подход к построению
решения плоской граничной задачи Нейма-
на для уравнения Гельмгольца во внешности
прямолинейно-круговой луночки, основанный
на совместном использовании метода частичных
областей и классического принципа отраже-
ния решений уравнения Гельмгольца через
прямолинейный отрезок. Основная идея пра-
ктического применения принципа отражения
заключается в том, что замыкающая часть
граничных условий на появляющейся при этом
нефизической части границы формулируется
в терминах значений искомого потенциала
на дуге, лежащей внутри исходной области. Это
позволяет свести граничную задачу к бесконечной
системе линейных алгебраических уравнений и ис-
следовать асимптотическое поведение ее неизвест-
ных на бесконечности.
1. Гринченко В. Т., Вовк И. В. Волновые задачи рассе-
яния звука на упругих оболочках.– К.: Наук. думка,
1986.– 318 с.
2. Гринченко В. Т., Вовк И. В. О расширении воз-
можностей метода частичных областей примени-
тельно к задачам излучения и рассеяния звука //
Акуст. ж.– 1989.– 35, N 1.– С. 29–36.
3. Гринченко В. Т. Развитие метода решения задач
излучения и рассеяния звука в неканонических
областях // Гидромеханика.– 1996.– 70.– С. 27–40.
4. Вовк И. В., Гомилко А. М., Городецкая Н. С. Об
особенностях применения метода частичных обла-
стей в волновых задачах // Акуст. ж.– 1995.– 41,
N 3.– С. 399–404.
5. Гомилко А. М., Гринченко В. Т., Лобова Е. В. Прин-
цип отражения в плоских граничных задачах для
уравнения Гельмгольца // Акуст. вiсн.– 1998.– 1,
N 2.– С. 48–56.
6. Кюркчан А. Г., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Осо-
бенности продолжения волновых полей // Успехи
физических наук.– 1996.– 166, N 12.– С. 1285–1308.
7. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И.
Интегралы и ряды. Элементарные функции.– М.:
Наука, 1981.– 800 с.
8. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их
приложения.– М.-Л.: Физматгиз, 1963.– 360 с.
А. М. Гомилко, В. И. Денисенко 33
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1022 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:01:32Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гомилко, А.М. Денисенко, В.И. 2008-07-09T15:11:14Z 2008-07-09T15:11:14Z 2004 Задача Неймана для уравнения Гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки / А. М. Гомилко, В. И. Денисенко // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 4. — С. 28-33. — Бібліогр.: 8 назв. — рус. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1022 534.1 Рассмотрен вопрос о построении решения плоской граничной задачи Неймана для уравнения Гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки. Предложен подход, основанный на использовании метода частичных областей и принципа отражения для решений уравнения Гельмгольца через отрезок. Исходная граничная задача сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Исследовано асимптотическое поведение неизвестных алгебраической системы на бесконечности. Розглянуто питання про побудову розв'язку плоскої граничної задачі Неймана для рівняння Гельмгольца у зовнішності прямолінійно-кругової луночки. Запропоновано підхід, який грунтується на використанні методу часткових областей і принципу відбиття для розв'язків рівняння Гельмгольца через відрізок. Вихідну граничну задачу зведено до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Досліджено асимптотичну поведінку невідомих алгебраїчної системи на нескінченності. The question of the solution construction for the Neumann plane boundary-value problem for the Helmholtz equation in the exterior of a rectilinear-circular lune is considered. An approach is suggested, that is based on utilizing the method of partial domains and the principle of the Helmholtz equation solution reflecting with respect to a segment. The initial boundary-value problem is reduced to an infinite set of linear algebraic equations. The asymptotic behavior of unknown coefficients of the algebraic system at infinity is investigated. ru Інститут гідромеханіки НАН України Задача Неймана для уравнения Гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки The Neumann problem for the Helmholtz equation in the exterior of a rectilinear-circular lune Article published earlier |
| spellingShingle | Задача Неймана для уравнения Гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки Гомилко, А.М. Денисенко, В.И. |
| title | Задача Неймана для уравнения Гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки |
| title_alt | The Neumann problem for the Helmholtz equation in the exterior of a rectilinear-circular lune |
| title_full | Задача Неймана для уравнения Гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки |
| title_fullStr | Задача Неймана для уравнения Гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки |
| title_full_unstemmed | Задача Неймана для уравнения Гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки |
| title_short | Задача Неймана для уравнения Гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки |
| title_sort | задача неймана для уравнения гельмгольца во внешности прямолинейно-круговой луночки |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1022 |
| work_keys_str_mv | AT gomilkoam zadačaneimanadlâuravneniâgelʹmgolʹcavovnešnostiprâmolineinokrugovoilunočki AT denisenkovi zadačaneimanadlâuravneniâgelʹmgolʹcavovnešnostiprâmolineinokrugovoilunočki AT gomilkoam theneumannproblemforthehelmholtzequationintheexteriorofarectilinearcircularlune AT denisenkovi theneumannproblemforthehelmholtzequationintheexteriorofarectilinearcircularlune |