Гармонічні коливання в'язко-пружного шару біотканини при навантаженні круговим гладким штампом
Із застосуванням граничних інтегральних рівнянь розв'язано лінійну задачу про гармонічні коливання навантаженого плоским гладким круговим штампом в'язко-пружного шару з матеріалу, що моделює біотканини. Побудовано ефективний алгоритм для визначення фізико-механічних полів та імпедансу пове...
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2004
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1023 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Гармонічні коливання в'язко-пружного шару біотканини при навантаженні круговим гладким штампом / В. Т. Грінченко, В. Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 4. — С. 34-47. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1023 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10232025-02-09T15:01:04Z Гармонічні коливання в'язко-пружного шару біотканини при навантаженні круговим гладким штампом Harmonic vibration of visco-elastic layer of a biotissue loaded by a smooth round piston Грінченко, В.Т. Олійник, В.Н. Із застосуванням граничних інтегральних рівнянь розв'язано лінійну задачу про гармонічні коливання навантаженого плоским гладким круговим штампом в'язко-пружного шару з матеріалу, що моделює біотканини. Побудовано ефективний алгоритм для визначення фізико-механічних полів та імпедансу поверхні, яка контактує зі штампом. Встановлено, що у розглянутому діапазоні частот система демонструє резонансну поведінку, причому значення резонансної частоти суттєво залежить від діаметру штампа. За рахунок дисипації у матеріалі та механізму випромінювання хвиль формується активна складова імпедансу поверхні контакту, яка для вибраного матеріалу має один порядок величини з реактивною складовою. Розрахункові частотні залежності імпедансу добре співвідносяться з експериментальними даними. Визначено, що при переході через резонанс характер розподілу механічних напружень під штампом суттєво змінюється. Вивчення просторових розподілів зміщень матеріалу шару показало, що найбільш інтенсивного збудження зазнає приповерхнева зона під штампом. При цьому індуковані штампом вертикальні зміщення ефективно трансформуються у горизонтальні. Зі збільшенням частоти наростає локалізація деформацій поблизу поверхні штампа. Порівняння одержаних результатів з відомими експериментальними даними показало, що використана модель адекватно відображає основні характерні риси взаємодії поверхні шкіри людини з контактним вібратором або сенсором. С применением граничных интегральных уравнений решена линейная задача о гармонических колебаниях нагруженного плоским гладким круговым штампом вязко-упругого слоя из материала, моделирующего биоткань. Построен эффективный алгоритм для определения физико-механических полей и импеданса поверхности, которая контактирует со штампом. Установлено, что в рассмотренном диапазоне частот система демонстрирует резонансное поведение, причем значение резонансной частоты существенно зависит от диаметра штампа. За счет диссипации в материале и механизма излучения волн формируется активная составляющая импеданса поверхности контакта, которая для выбранного материала имеет один порядок величины с реактивной составляющей. Расчетные частотные зависимости импеданса хорошо соотносятся с экспериментальными данными. Определено, что при переходе через резонанс характер распределения механических напряжений под штампом существенно изменяется. Изучение пространственных распределений смещений материала слоя показало, что наиболее интенсивного возбуждения испытывает приповерхностная зона под штампом. При этом индуцированные штампом вертикальные смещения эффективно трансформируются в горизонтальные. С увеличением частоты нарастает локализация деформаций вблизи поверхности штампа. Сравнение полученных результатов с известными экспериментальными данными показало, что использованная модель адекватно отображает основные характерные особенности взаимодействия поверхности кожи человека с контактным вибратором или датчиком. A linear problem on harmonic vibrations of viscoelastic layer of material modeling the biotissue loaded with a smooth plane round piston is solved using the boundary integral equations. An efficient algorithm is developed for determining the physico-mechanical fields and impedance of the surface contacting with the piston. It is found that the system demonstrates the resonant behavior in the considered frequency range, and the resonant frequency strongly depends on the piston diameter. With allowance for dissipation in the material and wave radiation mechanism an active component of the contact surface impedance is formed, that is of the same order with its reactive component. The calculated frequency dependencies of the impedance are in good agreement with the experimental data. It is determined that, when passing through the resonance, the mechanic stress distribution is essentially reshaped. Studying of spatial distribution of the layer material displacements has shown that the near-surface area under the piston is excited most intensively. In so doing, the vertical displacements induced by the piston are effectively transformed into the horizontal ones. With the increase of frequency the deformations become more localized in the vicinity of the piston surface. A comparison of the obtained results with known experimental data shows that the used model adequately reflects the main features characteristic of the interaction between human skin and the contact vibrator or sensor. 2004 Article Гармонічні коливання в'язко-пружного шару біотканини при навантаженні круговим гладким штампом / В. Т. Грінченко, В. Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 4. — С. 34-47. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1023 534.26 uk application/pdf Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Із застосуванням граничних інтегральних рівнянь розв'язано лінійну задачу про гармонічні коливання навантаженого плоским гладким круговим штампом в'язко-пружного шару з матеріалу, що моделює біотканини. Побудовано ефективний алгоритм для визначення фізико-механічних полів та імпедансу поверхні, яка контактує зі штампом. Встановлено, що у розглянутому діапазоні частот система демонструє резонансну поведінку, причому значення резонансної частоти суттєво залежить від діаметру штампа. За рахунок дисипації у матеріалі та механізму випромінювання хвиль формується активна складова імпедансу поверхні контакту, яка для вибраного матеріалу має один порядок величини з реактивною складовою. Розрахункові частотні залежності імпедансу добре співвідносяться з експериментальними даними. Визначено, що при переході через резонанс характер розподілу механічних напружень під штампом суттєво змінюється. Вивчення просторових розподілів зміщень матеріалу шару показало, що найбільш інтенсивного збудження зазнає приповерхнева зона під штампом. При цьому індуковані штампом вертикальні зміщення ефективно трансформуються у горизонтальні. Зі збільшенням частоти наростає локалізація деформацій поблизу поверхні штампа. Порівняння одержаних результатів з відомими експериментальними даними показало, що використана модель адекватно відображає основні характерні риси взаємодії поверхні шкіри людини з контактним вібратором або сенсором. |
| format |
Article |
| author |
Грінченко, В.Т. Олійник, В.Н. |
| spellingShingle |
Грінченко, В.Т. Олійник, В.Н. Гармонічні коливання в'язко-пружного шару біотканини при навантаженні круговим гладким штампом |
| author_facet |
Грінченко, В.Т. Олійник, В.Н. |
| author_sort |
Грінченко, В.Т. |
| title |
Гармонічні коливання в'язко-пружного шару біотканини при навантаженні круговим гладким штампом |
| title_short |
Гармонічні коливання в'язко-пружного шару біотканини при навантаженні круговим гладким штампом |
| title_full |
Гармонічні коливання в'язко-пружного шару біотканини при навантаженні круговим гладким штампом |
| title_fullStr |
Гармонічні коливання в'язко-пружного шару біотканини при навантаженні круговим гладким штампом |
| title_full_unstemmed |
Гармонічні коливання в'язко-пружного шару біотканини при навантаженні круговим гладким штампом |
| title_sort |
гармонічні коливання в'язко-пружного шару біотканини при навантаженні круговим гладким штампом |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1023 |
| citation_txt |
Гармонічні коливання в'язко-пружного шару біотканини при навантаженні круговим гладким штампом / В. Т. Грінченко, В. Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 4. — С. 34-47. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT grínčenkovt garmoníčníkolivannâvâzkopružnogošarubíotkaniniprinavantaženníkrugovimgladkimštampom AT olíjnikvn garmoníčníkolivannâvâzkopružnogošarubíotkaniniprinavantaženníkrugovimgladkimštampom AT grínčenkovt harmonicvibrationofviscoelasticlayerofabiotissueloadedbyasmoothroundpiston AT olíjnikvn harmonicvibrationofviscoelasticlayerofabiotissueloadedbyasmoothroundpiston |
| first_indexed |
2025-11-27T03:03:57Z |
| last_indexed |
2025-11-27T03:03:57Z |
| _version_ |
1849911036910501888 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 34 – 47
УДК 534.26
ГАРМОНIЧНI КОЛИВАННЯ В’ЯЗКО-ПРУЖНОГО
ШАРУ БIОТКАНИНИ ПРИ НАВАНТАЖЕННI
КРУГОВИМ ГЛАДКИМ ШТАМПОМ
В. Т. Г Р IН Ч Е НК О, В. Н. ОЛ IЙ Н И К
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 27.12.2004
Iз застосуванням граничних iнтегральних рiвнянь розв’язано лiнiйну задачу про гармонiчнi коливання навантаже-
ного плоским гладким круговим штампом в’язко-пружного шару з матерiалу, що моделює бiотканини. Побудовано
ефективний алгоритм для визначення фiзико-механiчних полiв та iмпедансу поверхнi, яка контактує зi штампом.
Встановлено, що у розглянутому дiапазонi частот система демонструє резонансну поведiнку, причому значення
резонансної частоти суттєво залежить вiд дiаметру штампа. За рахунок дисипацiї у матерiалi та механiзму ви-
промiнювання хвиль формується активна складова iмпедансу поверхнi контакту, яка для вибраного матерiалу має
один порядок величини з реактивною складовою. Розрахунковi частотнi залежностi iмпедансу добре спiввiднося-
ться з експериментальними даними. Визначено, що при переходi через резонанс характер розподiлу механiчних
напружень пiд штампом суттєво змiнюється. Вивчення просторових розподiлiв змiщень матерiалу шару показа-
ло, що найбiльш iнтенсивного збудження зазнає приповерхнева зона пiд штампом. При цьому iндукованi штампом
вертикальнi змiщення ефективно трансформуються у горизонтальнi. Зi збiльшенням частоти наростає локалiзацiя
деформацiй поблизу поверхнi штампа. Порiвняння одержаних результатiв з вiдомими експериментальними даними
показало, що використана модель адекватно вiдображає основнi характернi риси взаємодiї поверхнi шкiри людини
з контактним вiбратором або сенсором.
С применением граничных интегральных уравнений решена линейная задача о гармонических колебаниях нагру-
женного плоским гладким круговым штампом вязко-упругого слоя из материала, моделирующего биоткань. По-
строен эффективный алгоритм для определения физико-механических полей и импеданса поверхности, которая
контактирует со штампом. Установлено, что в рассмотренном диапазоне частот система демонстрирует резонансное
поведение, причем значение резонансной частоты существенно зависит от диаметра штампа. За счет диссипации
в материале и механизма излучения волн формируется активная составляющая импеданса поверхности контакта,
которая для выбранного материала имеет один порядок величины с реактивной составляющей. Расчетные часто-
тные зависимости импеданса хорошо соотносятся с экспериментальными данными. Определено, что при переходе
через резонанс характер распределения механических напряжений под штампом существенно изменяется. Изуче-
ние пространственных распределений смещений материала слоя показало, что наиболее интенсивного возбуждения
испытывает приповерхностная зона под штампом. При этом индуцированные штампом вертикальные смещения эф-
фективно трансформируются в горизонтальные. С увеличением частоты нарастает локализация деформаций вбли-
зи поверхности штампа. Сравнение полученных результатов с известными экспериментальными данными показало,
что использованная модель адекватно отображает основные характерные особенности взаимодействия поверхности
кожи человека с контактным вибратором или датчиком.
A linear problem on harmonic vibrations of viscoelastic layer of material modeling the biotissue loaded with a smooth
plane round piston is solved using the boundary integral equations. An efficient algorithm is developed for determining
the physico-mechanical fields and impedance of the surface contacting with the piston. It is found that the system
demonstrates the resonant behavior in the considered frequency range, and the resonant frequency strongly depends on
the piston diameter. With allowance for dissipation in the material and wave radiation mechanism an active component of
the contact surface impedance is formed, that is of the same order with its reactive component. The calculated frequency
dependencies of the impedance are in good agreement with the experimental data. It is determined that, when passing
through the resonance, the mechanic stress distribution is essentially reshaped. Studying of spatial distribution of the layer
material displacements has shown that the near-surface area under the piston is excited most intensively. In so doing,
the vertical displacements induced by the piston are effectively transformed into the horizontal ones. With the increase
of frequency the deformations become more localized in the vicinity of the piston surface. A comparison of the obtained
results with known experimental data shows that the used model adequately reflects the main features characteristic of
the interaction between human skin and the contact vibrator or sensor.
ВСТУП
Вивчення особливостей механiчної контактної
взаємодiї тiла людини з пристроями рiзного при-
значення в дiапазонi аудiочастот має вже бiльш
нiж пiвстолiтню iсторiю [1 – 7]. Сучасне посилення
iнтересу до цiєї тематики можна пояснити iнтен-
сивним розвитком дiагностичних засобiв з вико-
ристанням контактних сенсорiв вiбрацiй для фо-
нокардiографiї та електронної аускультацiї леге-
нiв [2, 8, 9]. Окрiм того, досить поширеними є при-
строї для вiбрацiйного вимiрювання механiчних
властивостей поверхневих бiотканин [5, 10 –12].
Проблеми моделювання контактної взаємодiї
поверхнi тiла з вiбратором (сенсором) деталь-
но розглядались у статтях [2, 6, 13]. Зауважимо,
що структура поверхневих бiотканин по глиби-
нi має шаруватий характер, причому спостерi-
гається значна змiнюванiсть їхнiх фiзичних вла-
стивостей з глибиною та анiзотропiя вздовж по-
верхнi [10, 11, 14, 15]. Незважаючи на це, при оцi-
нюваннi iнтегрального значення динамiчної реак-
34 c© В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник, 2004
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 34 – 47
цiї у зонi контакту задовiльнi результати вдає-
ться отримати у наближеннi, згiдно з яким по-
верхневi бiотканини моделюються монолiтним iзо-
тропним в’язко-пружним середовищем – “м’якою
тканиною” (soft tissue), для якої швидкiсть поздов-
жнiх хвиль близька до швидкостi звуку у водi, а
швидкiсть поперечних хвиль менша за неї на два-
три порядки [1, 3, 6, 7].
У роботi [6] було висунуто припущення, що
основну роль у формуваннi iмпедансних власти-
востей поверхневих бiотканин вiдiграє об’єм тка-
нини, який знаходиться мiж вiбратором i жорс-
ткою кiстковою основою. Такий пiдхiд призвiв до
розгляду спрощених задач про вiбронавантажен-
ня цилiндричного зразка в’язко-пружного матерi-
алу при рiзних граничних умовах [6, 7]. Такi зада-
чi можуть бути розв’язанi за допомогою стандар-
тної процедури розкладу в ряди за нормальними
модами коливань цилiндра [16]. Бiльш ретельний
аналiз показав, що нехтування наявнiстю значної
вiльної поверхнi матерiалу поза межами контакту
призводить до значних розходжень мiж модельни-
ми оцiнками i експериментальними даними. Вихо-
дячи з цього, мета даної статтi полягає у дослi-
дженнi та кiлькiснiй оцiнцi кiнематичних i дина-
мiчних характеристик взаємодiї в’язко-пружного
шару з гладким штампом, що рухається за гармо-
нiчним у часi законом перпендикулярно до його
поверхнi.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI
Розглянемо задачу про коливання в’язко-
пружного шару 0≤r<∞, 0≤z≤h при на-
вантаженнi його абсолютно жорстким гладким
штампом з радiусом a, змiщення торця яко-
го z=h вiдбуваються за гармонiчним законом:
uz(r, h)=u0e
iωt (ω=2πf), рис. 1. Зауважимо, що
такий вибiр знаку показника комплексної експо-
ненти обумовлений необхiднiстю одержати кiнцевi
результати у формi, прийнятнiй для порiвняння
з експериментальними результатами [5]. Вважати-
мемо, що поверхня поза штампом вiльна вiд на-
вантажень, а поверхня шару z=0 лежить на аб-
солютно жорсткiй гладкiй основi. Така постановка
iдентична до задачi про симетричне навантаження
шару |z|≤h (при z=−h прикладено штамп, який
коливається назустрiч: uz(r,−h)=−u0e
iωt).
Динамiчнi деформацiї матерiалу шару описую-
ться рiвнянням Ламе, яке для гармонiчного випад-
ку має вигляд [16]
c2
1 graddiv u − c2
2 rot rotu = ω2
u (1)
(експоненцiйний часовий множник eiωt опущено).
0
2a
h
r
z
uz=0, rz=0
z=0, rz=0
uz=u0, rz=0
Рис. 1. Схема в’язко-пружного шару,
навантаженого штампом
Тут c1, c2 – комплекснi швидкостi поздовжнiх та
поперечних хвиль у матерiалi вiдповiдно; u =
{ur, uz} – вектор амплiтуд змiщень. Уявнi частини
комплексних швидкостей пружних хвиль визнача-
ються дисипативними властивостями матерiалу i,
взагалi кажучи, можуть бути частотно залежни-
ми. Тодi
c2
1 = 2
1 − ν
1− 2ν
G
ρ
, c2
2 =
G
ρ
,
де ρ – густина матерiалу цилiндра; G – компле-
ксний модуль зсуву для в’язко-пружного матерiа-
лу; ν – коефiцiєнт Пуассона (його можна вважати
дiйсною величиною [3,6]).
Сформулюємо граничнi умови при |z|=h. Як
уже сказано, нормальнi змiщення пiд штампом ма-
ють задану амплiтуду:
uz = u0 при z = h, 0 ≤ r ≤ a. (2)
Окрiм того, за умови гладкого контакту дотичнi
напруження пiд штампом вiдсутнi:
τrz = 0 при z = h, 0 ≤ r ≤ a. (3)
За межами контакту вiдсутнi нормальнi й дотичнi
напруження:
σz = τrz = 0 при z = h, r ≥ a. (4)
Напруження σz i τrz вiдповiдно до закону Гука ви-
ражаються через компоненти змiщень:
1 − 2ν
2G
σz = (1 − ν)
∂uz
∂z
+ ν
(
ur
r
+
∂ur
∂r
)
,
1
G
τrz =
∂ur
∂z
+
∂uz
∂r
.
(5)
В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник 35
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 34 – 47
Як i в роботах [6, 7], нас цiкавитиме механiчний
iмпеданс поверхнi пiд штампом. У даному випадку
вiн визначається за формулою
Z =
Fz
iωu0
=
2π
iωu0
a
∫
0
σzrdr при z = h, (6)
де Fz – сила, яку треба прикласти для забезпечен-
ня заданого змiщення торця; σz – осьовi нормальнi
напруження у шарi.
Строго кажучи, викладена постановка задачi є
дещо штучною, оскiльки пiд час зворотного руху
торця штампа можливе його вiдставання вiд по-
верхнi. Тому на практицi у контактних вiброме-
тричних системах робочу частину штампа завжди
притискають до поверхнi тiла з певним статичним
зусиллям [8]. Очевидно, що величина цього зусил-
ля повинна бути достатньо малою, щоб iстотно не
змiнити геометричнi й фiзичнi параметри системи.
У такому випадку статичною компонентою нор-
мальної реакцiї можна знехтувати.
2. АНАЛIТИЧНИЙ РОЗВ’ЯЗОК
2.1. Застосування методу парних iнтегральних
рiвнянь
Сформульована у попередньому роздiлi задача
за своєю суттю є змiшаною задачею динамiчної те-
орiї пружностi. Тому для її ефективного розв’яза-
ння слiд застосувати метод парних граничних iн-
тегральних рiвнянь [17, 18].
Компоненти змiщень i механiчних напружень
у шарi представимо у виглядi iнтегралiв Ханке-
ля [19]:
ur(r, z)
u0
=
∞
∫
0
U(λ, z)J1(λr)λdλ,
uz(r, z)
u0
=
∞
∫
0
W (λ, z)J0(λr)λdλ,
(7)
σz(r, z)
2G
=
∞
∫
0
S(λ, z)J0(λr)λdλ,
τrz(r, z)
2G
=
∞
∫
0
T (λ, z)J1(λr)λdλ.
(8)
З рiвностей (5) знаходимо зв’язок мiж образами
напружень i змiщень:
2S(λ, z) = (κ − 2)λU + κ
dW
dz
,
2T (λ, z) =
dU
dz
− λW.
(9)
Тут i надалi
κ =
c2
1
c2
2
= 2
1 − ν
1 − 2ν
> 1.
Для того, щоб вирази (7) були розв’язками рiв-
няння (1), образи змiщень необхiдно записати у
виглядi
U(λ, z) = κλA(λ)ch p1z − p2B(λ)ch p2z,
W (λ, z) = −κp1A(λ)ch p1z + λB(λ)ch p2z,
(10)
де A(λ), B(λ) – невiдомi поки що функцiї;
p1,2 = p1,2(λ, ω)=
√
λ2−ω2/c2
1,2.
З однорiдної граничної умови для дотичних на-
пружень на всiй поверхнi z=h одержуємо
T (r, h) = 0. (11)
Це дозволяє встановити зв’язок мiж функцiями
A(λ) i B(λ):
B(λ) = κ
λp1
(
λ2 − 1
2
ω2
c2
2
)
sh p1h
sh p2h
A(λ). (12)
Тепер, враховуючи формули (7), (9) i (12), отри-
муємо образи σz i uz у формi
S(λ, h) = −κA(λ)
∆(λ, ω)
(
λ2 − 1
2
ω2
c2
2
) sh p1h,
W (λ, h) =
κ
2
ω2
c2
2
A(λ)
p1
(
λ2 − 1
2
ω2
c2
2
) sh p1h.
(13)
Тут введено позначення для визначника Релея –
Лемба:
∆(λ, ω) =
(
λ2 − 1
2
ω2
c2
2
)2
cth p1h − λ2p1p2cth p2h.
Для продовження розв’язання задачi запишемо
нормальнi напруження пiд штампом у виглядi де-
якої невiдомої неперервної функцiї радiальної ко-
ординати σ(r). Це дозволяє формально поширити
граничну умову для σz на всю поверхню:
σz(r, h) =
σ(r), 0 ≤ r ≤ a,
0, a < r < ∞
(14)
i використати властивостi iнтегрального перетво-
рення Ханкеля для визначення невiдомої функцiї
напружень. На практицi це дає можливiсть одер-
жати в iнтегральнiй формi зв’язок мiж A(λ) i σ(r).
36 В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 34 – 47
При остаточному ж знаходженнi σ(r) необхiдно
використати граничну умову для нормальних змi-
щень uz пiд штампом.
При застосуваннi викладеної методики зручно
перейти вiд iнтегральних спiввiдношень до алге-
браїчних. Для цього скористаємось тим, що функ-
цiя σ(r) дозволяє розклад у ряд Фур’є – Дiнi за
повною i ортогональною на 0≤ r≤a системою вла-
сних функцiй:
σ(r)
2G
=
∞
∑
n=0
SnJ0(µnr),
µ0 = 0, J ′
0(µna) = 0, n ≥ 1.
(15)
Тут Sn, n=0, 1, 2, . . . – довiльнi коефiцiєнти. Те-
пер, враховуючи формулу (13) для образу S(λ, h),
можна прирiвняти мiж собою iнтегральний вираз
для σ(r, h) i продовжену граничну умову (14), (15):
−κ
∞
∫
0
A(λ)
∆(λ, ω)
(
λ2 − 1
2
ω2
c2
2
) sh p1hJ0(λr)λdλ =
=
∞
∑
n=0
SnJ0(µnr), 0 ≤ r ≤ a,
0, a < r < ∞,
(16)
що у просторi образiв за Ханкелем дає розклад
невiдомої функцiї A(λ) у ряд з довiльними коефi-
цiєнтами Sn:
A(λ) = − 1
κ
(
λ2 − 1
2
ω2
c2
2
)
∆(λ, ω)sh p1h
λaJ1(λa)×
×
∞
∑
n=0
Sn
λ2 − µ2
n
J0(µna).
(17)
Тут прийнято до уваги, що [20, с. 648]
a
∫
0
J0(µnr)J0(λr)rdr =
λa
λ2 − µ2
n
J0(µna)J1(λa).
Принагiдно зауважимо, що спiввiдношення (16)
дозволяє отримати простий вираз для механiчного
iмпедансу поверхнi контакту шару зi штампом (6):
Z
2G
=
πa2
iωu0
S0 . (18)
Звiдси можна зробити важливий висновок – на
формування нормальної реакцiї контактної зони
впливає лише перший коефiцiєнт ряду (16), який
описує розподiл напружень пiд штампом.
З урахуванням наведених вище мiркувань шу-
канi розв’язки для змiщень i напружень запишемо
у виглядi рядiв вiдносно Sn:
ur(r, z)
u0
= −a
∞
∑
n=0
SnJ0(µna)I(n)
r (r, z),
uz(r, z)
u0
= −a
∞
∑
n=0
SnJ0(µna)I(n)
z (r, z),
σz(r, z)
2Gu0
= a
∞
∑
n=0
SnJ0(µna)I(n)
σ (r, z),
τrz(r, z)
2Gu0
= −a
∞
∑
n=0
SnJ0(µna)I(n)
τ (r, z).
(19)
Тут
I(n)
r (r, z) =
∞
∫
0
J1(λa)J1(λr)
∆(λ, ω)
λ3
λ2 − µ2
n
×
×
[(
λ2 − 1
2
ω2
c2
2
)
ch p1z
sh p1h
− p1p2
ch p2z
sh p2h
]
dλ;
I(n)
z (r, z) =
∞
∫
0
J1(λa)J0(λr)
∆(λ, ω)
p1λ
2
λ2 − µ2
n
×
×
[(
λ2 − 1
2
ω2
c2
2
)
sh p1z
sh p1h
− λ2 sh p2z
sh p2h
]
dλ;
I(n)
σ (r, z) =
∞
∫
0
J1(λa)J0(λr)
∆(λ, ω)
λ2
λ2 − µ2
n
×
×
[(
λ2 − 1
2
ω2
c2
2
)2
ch p1z
sh p1h
− λ2p1p2
ch p2z
sh p2h
]
dλ;
I(n)
τ (r, z) =
∞
∫
0
J1(λa)J1(λr)
∆(λ, ω)
p1λ
3
λ2 − µ2
n
×
×
[
sh p1z
sh p1h
− sh p2z
sh p2h
]
dλ.
(20)
Прирiвнявши iнтегральний вираз для uz(r, h)
i його значення пiд штампом, пiсля пiдстановки
формули (17) одержуємо на iнтервалi 0≤ r≤a рiв-
В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник 37
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 34 – 47
нiсть
∞
∫
0
∞
∑
n=0
SnJ0(µna)
J1(λa)J0(λr)
λ2 − µ2
n
p1λ
2dλ
∆(λ, ω)
=
= −2
c2
2
ω2a
U0.
(21)
Зрозумiло, що лiву й праву частини спiввiдношен-
ня (21) знову можна розкласти у ряд за системою
власних функцiй {J0(µmr), m≥0 | 0≤ r≤a}. Про-
ведення стандартної процедури алгебраїзацiї до-
зволяє пiсля змiни порядку iнтегрування перетво-
рити функцiональне рiвняння (21) у нескiнченну
систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь:
∞
∑
n=0
SnJ0(µna)J0(µma)×
×
∞
∫
0
J2
1 (λa)
(λ2 − µ2
n)(λ2 − µ2
m)
p1λ
3dλ
∆(λ, ω)
=
= − c2
2
ω2
U0δ0m,
m = 0, 1, 2, . . . ,
(22)
де δ0m – символ Кронекера. Легко помiтити, що
завдяки специфiчному вигляду правої частини
системи її m-те рiвняння можна скоротити на
J0(µma).
Дослiдивши асимптотичну поведiнку функцiй
J1(λa) в околi своїх коренiв, пересвiдчуємось, що
точки λ=µn, µm не є точками розриву пiдiнте-
гральних функцiй. Окрiм того, при комплексних
c1 i c2 рiвняння Релея – Лемба не має дiйсних ко-
ренiв. Тому невласнi iнтеграли у коефiцiєнтах при
Sn не є сингулярними.
2.2. Видiлення сингулярностi розв’язку
Нескiнченна система (22) належить до систем
лiнiйних рiвнянь першого роду (це випливає з са-
мої процедури її отримання). Як правило, такi си-
стеми вiдзначаються поганою обумовленiстю, що
утруднює їхнє чисельне розв’язання. Такий стан
справ є прямим наслiдком порушення неперерв-
ностi нормальних напружень, значення яких на
краю штампа мають розрив другого роду. Визна-
чення характеру такої локальної особливостi для
σz важливе з точки зору забезпечення умов iсну-
вання та єдиностi обмеженого розв’язку вихiдної
задачi [21, 22]. У нашому випадку iдея цiєї ме-
тодики полягає у тому, що всi поля мають бути
представленi у формi, яка б забезпечувала фiзи-
чно обгрунтовану поведiнку змiщень i напружень
поблизу краю штампа, на якому вiдбувається змi-
на типу однiєї з граничних умов. Слiд зазначити,
що явне видiлення особливостi дозволяє перейти
вiд системи (22) до еквiвалентної лiнiйної системи
вiдносно невiдомих коефiцiєнтiв регулярної части-
ни розв’язку, яка швидко збiгається i забезпечує
реалiзацiю ефективного алгоритму для чисельно-
го аналiзу просторових розподiлiв механiчних по-
лiв [21].
Вiдомо, що механiчнi напруження при конта-
ктi вiльної пружної поверхнi з жорстким штампом
мають кореневу особливiсть поблизу краю штам-
па [22]. Тому функцiя розподiлу напружень з фор-
мули (14) поводитиме себе як
σ(r)
2G
∼ const
√
1 − (r/a)2
, r → a. (23)
Зауважимо, що аналогiчний характер особливостi
на краю штампа має мiсце при формулюваннi мi-
шаної граничної задачi з використанням дотичних
напружень i змiщень [23].
Розклавши асимптотику для нормальних напру-
жень за повною системою базисних функцiй на
вiдрiзку 0≤r≤a, маємо
1
√
1 − (r/a)2
=
∞
∑
n=0
S′
nJ0(µnr). (24)
Пiсля алгебраїзацiї спiввiдношення (24) з урахува-
нням стандартного iнтегралу [20, с. 696]
1
∫
0
J0(xy)xdx√
1 − x2
=
sin y
y
одержуємо
S′
n =
2
J2
0 (µna)
sin µna
µna
→
→ (−1)n+1 π√
2
n → ∞.
(25)
Таким чином, невiдомi коефiцiєнти у рядi для
напружень (15) з великими номерами будуть по-
водити себе як S′
n∼const(−1)n+1. Згiдно з мето-
дом покращеної редукцiї [21] ця оцiнка дозволяє
наближено записати напруження пiд штампом у
виглядi
σ(r)
2G
≈
N−1
∑
n=1
S̃nJ0(µnr)+
+S̃N
∞
∑
n=N
(−1)n+1J0(µnr)
(26)
38 В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 34 – 47
з вiдповiдною корекцiєю виразiв для змiщень i ме-
ханiчних напружень:
ur(r, z)
u0
= −a
N−1
∑
n=1
S̃nJ0(µna)I(n)
r (r, z)−
−aS̃N
∞
∑
n=N
(−1)n+1J0(µna)I(n)
r (r, z),
uz(r, z)
u0
= −a
N−1
∑
n=1
S̃nJ0(µna)I(n)
z (r, z)−
−aS̃N
∞
∑
n=N
(−1)n+1J0(µna)I(n)
z (r, z);
σz(r, z)
2Gu0
= a
N−1
∑
n=1
S̃nJ0(µna)I(n)
σ (r, z)+
+aS̃N
∞
∑
n=N
(−1)n+1J0(µna)I(n)
σ (r, z),
τrz(r, z)
2Gu0
= −a
N−1
∑
n=1
S̃nJ0(µna)I(n)
τ (r, z)−
−aS̃N
∞
∑
n=N
(−1)n+1J0(µna)I(n)
τ (r, z).
(27)
Пiдстановка суми (26) замiсть ряду (15) в
граничну умову для нормальних напружень пiд
штампом дозволяє одержати скiнченну лiнiйну ал-
гебраїчну систему, аналогiчну за формою до не-
скiнченної системи (22):
N−1
∑
n=0
S̃nJ0(µna)×
×
∞
∫
0
J2
1 (λa)
(λ2 − µ2
n)(λ2 − µ2
m)
p1λ
3dλ
∆(λ, ω)
+
+S̃N
∞
∑
n=N
(−1)n+1J0(µna)×
×
∞
∫
0
J2
1 (λa)
(λ2 − µ2
n)(λ2 − µ2
m)
p1λ
3dλ
∆(λ, ω)
=
= − c2
2
ω2
U0δ0m,
m = 0, 1, 2, . . .
(28)
Тепер шуканi коефiцiєнти апрiорi враховують
асимптотичну поведiнку напружень на краю
штампа. Отже, при виборi достатньо великого N
у системi (28) одержанi наближенi розв’язки для
фiзичних полiв будуть збiгатися швидше, нiж вiд-
рiзки вiдповiдних рядiв при застосуваннi простої
редукцiї.
3. ЧИСЕЛЬНИЙ АНАЛIЗ
3.1. Вибiр розрахункових параметрiв
Чисельний аналiз проводився для пружного
шару з такими фiзичними характеристиками:
ρ=1100 кг/м
3
, Re c1 =1500 м/с, Re c2 =1.7 м/с.
Цi значення добре узгоджуються з загально-
прийнятими уявленнями про пружнi параметри
м’яких бiотканин для частот 20÷20000 Гц [1, 3,
6, 14]. Зауважимо, що саме цей дiапазон стано-
вить найбiльший iнтерес для задач електронної
аускультацiї та комп’ютерної дiагностики респiра-
торних захворювань.
З огляду на те, що бiльшiсть вiдомих нам експе-
риментiв з визначення iмпедансних властивостей
поверхнi тiла проводилась для f ≤400 Гц [4, 5, 24],
при розрахунках ми обмежимось саме цими зна-
ченнями частоти вiбрацiї штампа. Цей вибiр є тим
бiльш природним, що у дiапазонi до 1 кГц пове-
дiнка iмпедансу якiсно не змiнюється [8] (данi для
бiльш високих частот вiдсутнi). Тут k1a, k1h�1,
що дозволяє знехтувати затуханням поздовжнiх
хвиль i вважати c1 дiйсним.
Для затухання поперечних хвиль було запропо-
новано модель
c2 = Re c2(1 + i(δ1 + ωδ2)),
яка при δ1, ωδ2�1 близька до моделi дисипацiї,
запропонованої в [6]. При розрахунках вважалось,
що δ1 =0.1, δ2 =0.0001 с.
Товщина в’язко-пружного шару приймалася
рiвною h=20 мм, що в цiлому вiдповiдає товщи-
нi шару м’яких бiотканин над кiсткою передплiч-
чя дорослої людини. Така оцiнка є значно бiльш
реалiстичною, нiж 6.5 мм, як вважалось у ро-
ботах [6, 7]. Дiаметр штампа варiювався вiдпо-
вiдно до набору значень, використаних в експе-
риментальному дослiдженнi [5]: 2a=8.075, 11.8 i
16.03 мм.
3.2. Перевiрка збiжностi алгоритму
Перш за все, перевiримо якiсть виконання гра-
ничних умов при z=h (2) для рiзної кiлько-
стi коефiцiєнтiв N+1, утриманих у наближено-
му розв’язку задачi. На рис. 2 представленi по-
верхневi розподiли модулiв комплексних амплiтуд
В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник 39
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 34 – 47
r / a
0 0.5 1 1.5
|u
z|
/u
0
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
N=1
N=2
N=6N=8
N=6 (sing)
r / a
0 0.5 1 1.5
|
z|
/2
G
0
200
400
600
800
1000
N=8
N=6 (sing)
а б
Рис. 2. Iлюстрацiя точностi виконання граничних умов
для чисельного розв’язку на частотi f =100 Гц при 2a=16.03 мм:
а – амплiтуда вертикальних змiщень |uz|, б – амплiтуда нормальних напружень |σz|
f (Hz)
0 100 200 300 400
R
e
Z
/(
a2
c 2
)
0
1
2
3
4
N=0
N=1
N=2
N=6
N=8
f (Hz)
0 100 200 300 400
Im
Z
/(
a2
c 2
)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
N=0
N=1
N=2
N=6
N=8
а б
Рис. 3. Збiжнiсть частотної залежностi iмпедансу при збiльшеннi порядку системи
при застосуваннi простої редукцiї (2a=16.03 мм):
а – ReZ, б – ImZ
нормальних (вертикальних) змiщень uz(r, h) i нор-
мальних напружень σz(z, h), обчислених за вiдпо-
вiдними iнтегральними спiввiдношеннями.
З графiкiв видно, що при збiльшеннi N обчисле-
не значення нормованої амплiтуди вертикальних
змiщень пiд штампом досить швидко наближає-
ться до одиницi (при цьому фаза uz залишається
дуже близькою до нуля). Як i слiд було очiкувати,
точнiсть чисельного розв’язку вiдчутно покращу-
ється при застосуваннi метода покращеної реду-
кцiї з видiленням особливостi (див. рис. 2, а): при
N =6 на промiжку 0≤r/a≤0.97 похибка по змiще-
ннях не перевищує 1.5 %. Отже, запропонований
алгоритм дозволяє ефективно знаходити розподiл
змiщень у пружному шарi.
Розглянувши рис. 2, б, впевнюємось у тому, що
як для простої, так i для покращеної редукцiї
чисельнi розв’язки демонструють рiзке (на два i
бiльше порядкiв) спадання амплiтуди нормальних
напружень за краєм штампа. Таким чином, мо-
жна говорити про задовiльне виконання граничної
умови σz =0 при r>a. Окрiм того, як i слiд було
очiкувати, при пiдходi зсередини до краю штампа
амплiтуда напружень рiзко зростає, вiдображаючи
асимптотичну тенденцiю (23).
Звертає на себе увагу те, що для обох варiантiв
40 В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 34 – 47
алгоритму спостерiгається осциляцiя |σz| по по-
верхнi штампа. Така поведiнка розв’язку не має
пiд собою фiзичного пiдгрунтя, а є алгоритмiчним
артефактом. Зауважимо, що застосування методу
покращеної редукцiї не дозволило зменшити ам-
плiтуду осциляцiй напружень для r/a>0.5. Най-
бiльш вiрогiдне пояснення цього полягає у тому,
що на практицi в алгоритмi з покращенням реду-
кцiї пiдсумовування асимптотичного ряду при S̃N
обмежувалось певним скiнченним його вiдрiзком з
N∞ членiв. Окрiм того, всi невласнi iнтеграли на-
ближено обраховувались методом парабол з кон-
трольованою точнiстю на вiдрiзку 0≤λ≤λ∞<∞.
Вiдсутнiсть iстотного покращення збiжностi при
збiльшеннi N∞ вiд 18 до 38 i λ∞ вiд µ19 до µ39 мо-
же також свiдчити про наростання чисельної по-
хибки заокруглення, у першу чергу при наближе-
ному обчисленнi функцiй Бесселя та їхнiх коренiв.
Перейдемо до оцiнювання швидкостi збiжностi
значення iмпедансу Z, рис. 3 (нормування прово-
дилось по дiйснiй частинi c2). Вiдомо, що шукана
величина є iнтегральною (енергетичною) характе-
ристикою системи. Тому, навiть при застосуван-
нi простої редукцiї, вже при N =6 спостерiгається
стабiлiзацiя трьох-чотирьох значущих цифр її дiй-
сної та уявної частин, що можна вважати доста-
тнiм для достовiрного чисельного аналiзу. Загаль-
ну ж тенденцiю для Z вдається прослiдкувати вже
при N ≤2.
3.3. Динамiчнi характеристики на поверхнi кон-
такту
Динамiчними характеристиками на поверхнi
контакту є механiчний iмпеданс та розподiл нор-
мальних напружень пiд штампом.
Перш за все, розглянемо особливостi поведiн-
ки функцiї Z(f). На рис. 4 представленi експери-
ментальнi й розрахунковi частотнi залежностi уяв-
ної та дiйсної частин механiчного iмпедансу шару
бiотканини при контактi зi штампами з дiаметра-
ми 2a=8.075, 11.8 i 16.03 мм. Експериментальнi
кривi для поверхнi передплiччя людини за дани-
ми [5] зображенi суцiльними лiнiями. Проаналiзу-
ємо цi характеристики бiльш детально. З графiкiв
видно, що розглянута система демонструє яскра-
во виражену резонансну поведiнку при f ≈100 Гц
(ImZ≈0).
У статтi [6] було запропоновано вираз для низь-
кочастотної одномодової асимптотики iмпедансу
при контактнiй взаємодiї цилiндричного зразка
бiотканини з вiбратором, який фактично є стер-
жньовим наближенням Z при нехтуваннi впливом
f (Hz)
0 100 200 300 400
Im
Z
(N
s/
m
)
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2a= 8.075 mm
2a=11.800 mm
2a=16.030 mm
experiments
8.075 mm
11.800 mm
16.030 mm
asympt.
а
f (Hz)
0 100 200 300 400
Im
Z
(N
s/
m
)
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2a= 8.075 mm
2a=11.800 mm
2a=16.030 mm
experiments
8.075 mm
11.800 mm
16.030 mm
б
f (Hz)
0 100 200 300 400
R
e
Z
(N
s/
m
)
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2a= 8.075 mm
2a=11.800 mm
2a=16.030 mm
experiments
8.075 mm
11.800 mm
16.030 mm
в
Рис. 4. Порiвняння експериментальних кривих
для iмпедансу передплiччя людини (за даними [5])
з розрахунковими залежностями при рiзних
дiаметрах вiбратора
В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник 41
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 34 – 47
f (Hz)
0 100 200 300 400
R
e
Z
(N
s/
m
)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Re k2 h
0 2 3 4 6 7 8 9 10
1
2
34
5
6
Рис. 5. Активна частина iмпедансу шару
для рiзних параметрiв затухання (2a=16.03 мм):
1 – δ1 =0, δ2 =0.00001 с; 2 – δ1 =0, δ2 =0.0001 с;
3 – δ1 =0, δ2 =0.0003 с; 4 – δ1 =0.1, δ2 =0 с;
5 – δ1 =0.1, δ2 =0.0001 с; 6 – δ1 =0.1, δ2 =0.0003 с
згинальних коливань:
lim
ω→0
Z =
πa2
h
[
1
iω
E + iωρ
(
1
3
h2 +
ν2
2
a2
)]
. (29)
Тут E =2(1+ν)ReG – модуль Юнга матерiалу.
Рис. 4, а дає можливiсть порiвняти асимптоти-
чну оцiнку (29) з експериментальними значеннями
ImZ. Впадає в око якiсна подiбнiсть зображених
кривих, яка говорить про домiнуючий внесок по-
здовжнiх коливань цилiндра бiотканини пiд штам-
пом у величину механiчного iмпедансу. Водночас,
наявнi значнi розбiжностi мiж асимптотичними
залежностями (29) та результатами [5]. По-перше,
для експериментальних кривих резонансна часто-
та, на якiй ImZ=0, лежить значно вище, нiж для
розрахункових. По-друге, на експериментальних
кривих при змiнi радiусу штампа можна вiдзначи-
ти досить iстотну змiнюванiсть резонансної часто-
ти: 112 Гц для 2a=8.075 мм, 96 Гц для 2a=11.8 мм
i 85 Гц для 2a=16.03 мм. Для всiх трьох асимпто-
тичних залежностей резонансна частота залиша-
ється практично незмiнною: 39÷40 Гц. По-третє,
насправдi приєднана маса у зонi контакту виявля-
ється приблизно вдвiчi меншою, нiж за низькоча-
стотною оцiнкою (29) (до певної мiри це справе-
дливо i для еквiвалентної пружностi системи).
На рис. 4, б проведене порiвняння експеримен-
тальних залежностей ImZ з вiдповiдним розв’яз-
ком задачi про гармонiчнi коливання шару. У цьо-
му разi як кiлькiсний, так i якiсний збiг за трьома
зазначеними вище позицiями виявляється набага-
то кращим. Найбiльш помiтними ж розбiжностя-
ми є неспiвпадання величин резонансних частот
(при розрахунку – 166, 115 i 82 Гц для 2a=8.075,
11.8 i 16.03 мм вiдповiдно), а також дещо нижчi
величини приєднаної маси для двох менших штам-
пiв. Зауважимо, що варiювання Re c2 у межах вiд
1 до 2.2 м/с не дозволило досягти вiдчутної змi-
ни величини ImZ на частотах, вищих за резонан-
сну. На нашу думку, зазначена невiдповiднiсть те-
орiї з експериментом [5] може бути пояснена за ра-
хунок наявностi тертя на дiлянцi контакту вiбра-
тора й поверхнi тiла людини. Дiйсно, за рахунок
тертя приєднана маса бiотканини в околi штампа-
вiбратора має дещо зрости (до речi, це призведе i
до зниження резонансних частот). Що ж до штам-
па з 2a=16.03 мм, то для нього частотна характе-
ристика iмпедансу є бiльш “м’якою”. Справа у то-
му, що таке значення дiаметра уже наближається
до характерного поперечного розмiру кiстки пе-
редплiччя. Тому бiльш вiдчутною стає кривизна
твердої основи i розглянута площинна модель ша-
ру перестає бути адекватною.
Рис. 4, в iлюструє поведiнку дiйсної частини iм-
педансу для розглянутої системи. З графiка видно,
що характер i величини розрахункових залежно-
стей ReZ досить близькi до вiдповiдних експери-
ментальних даних. Дещо заниженi значення для
теоретичних кривих також дозволяють припусти-
ти наявнiсть тертя у системi [5].
На рис. 5 зображено частотнi залежностi актив-
ної частини iмпедансу контактної дiлянки для рiз-
них значень параметрiв затухання δ1 i δ2. До-
бре помiтно, що при усiх варiантах розрахунку
поведiнка ReZ в областi високих частот є до-
сить близькою – її значення осцилює навколо пев-
ної константи або повiльно зростає. Така поведiн-
ка пояснюється домiнуванням радiацiйної складо-
вої iмпедансу. Дiйсно, розглянутий шар вже при
f ≈50 Гц має хвильову товщину вiдносно попере-
чної хвилi порядку π. При цьому процес випро-
мiнювання енергiї у хвилеводi з одною вiльною
поверхнею починається за умови iснування, при-
наймнi, одної бiжучої хвилi (Re k2h>π/2) [13].
Уведення ж дисипацiї у бiотканинi дозволяє фi-
зично обгрунтувати ефект необоротного випромi-
нювання акустичної енергiї при вiбронавантажен-
нi тiла людини i надає можливiсть застосування
модельної системи з необмеженими розмiрами. З
графiка видно, що для δ1 6=0 повинно спостерiга-
тись необмежене зростання ReZ при f →0, що не
вiдповiдає дiйсностi. Цей результат є вадою моде-
лi, згiдно з якою вводиться частотно незалежна
складова дисипацiї у середовищi. Вiдзначимо, що
змiна величин δ1, δ2 у широких межах мало впли-
ває на частотну залежнiсть ImZ, викликаючи ли-
42 В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 34 – 47
r / a
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
|
z|
/2
G
100
200
300
1000
2000
3000
50 Hz
300 Hz
100 Hz
r / a
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ar
g
z
45
90
135
180
50 Hz
300 Hz
100 Hz
а б
Рис. 6. Розподiл амплiтуд (а) i фаз (б) нормальних напружень пiд штампом σz(r, h) для 2a=16.03 мм
ше незначне її зменшення на високих частотах.
Перейдемо до рис. 6, на якому показанi графiки
розподiлiв амплiтуди i фази σz(r, h) при 0≤ r≤a
для частот, якi належать трьом характерним зо-
нам – дорезонанснiй (50 Гц), навколорезонанснiй
(100 Гц) i пiслярезонанснiй (300 Гц). Незважаючи
на паразитнi осциляцiї, на графiку чiтко спосте-
рiгається, що зi збiльшенням частоти змiнюється
характер розподiлу напружень: вiд монотонного
“увiгнутого” з мiнiмумом у центрi штампа i зроста-
нням при наближеннi до краю (нижче резонансу)
до “опуклого” з максимумом у центрi штампу i спа-
данням при r/a≤0.9 (пiсля резонансу). При цьому
зi збiльшенням частоти амплiтуда механiчних на-
пружень пiд штампом суттєво зростає. Окрiм того,
при збiльшеннi частоти вiд 50 до 300 Гц спостерi-
гається зростання фази майже на 90◦ по всiй по-
верхнi штампа, а вiдносний розподiл фаз пiд штам-
пом залишається практично незмiнним (набiг фа-
зи σz вiд центру до краю штампа становить близь-
ко 60◦). Така тенденцiя добре узгоджується з по-
ведiнкою iмпедансу контактної поверхнi.
Слiд зауважити, що одержанi картини перебудо-
ви розподiлу напружень пiд штампом у залежностi
вiд частоти спростовують припущення про сталий
характер функцiї σ(r) в усьому розглянутому дi-
апазонi [24]. Бiльше того, ми зайвий раз переко-
нались, що ця функцiя не є регулярною, а має iн-
тегровану кореневу особливiсть при r=a. Цей ре-
зультат є серйозним аргументом на користь спецi-
ального розгляду задачi з нав’язаною амплiтудою
вертикальних змiщень замiсть традицiйних поста-
новок iз заданою наперед кусково-неперервною
функцiєю напружень на всiй поверхнi об’єкта ви-
мiрювань [24, 25].
3.4. Розподiли вертикальних i горизонтальних
змiщень у шарi
Для того, щоб глибше зрозумiти фiзичнi осо-
бливостi формування динамiчної реакцiї поверх-
нi контакту зi штампом, розглянемо просторовi
розподiли амплiтуд вертикальних (нормальних) i
горизонтальних (радiальних) змiщень у шарi для
двох штампiв: 2a=8.075 мм (h/a≈0.202) – рис. 7 –
i 2a=16.03 мм (h/a≈0.401) – рис. 8. Для кожного
зi штампiв обчислення проведенi на трьох хара-
ктерних частотах: у дорезонансному, резонансно-
му й пiслярезонансному дiапазонах. Хоча цi графi-
ки не дають повного уявлення про кiнематику ма-
терiальних частинок шару, вони дозволяють зро-
бити певнi висновки про iнтенсивнiсть їх залучен-
ня до коливального руху в залежностi вiд глибини
залягання i вiдстанi вiд центру штампа.
Незважаючи на рiзницю у геометричних хара-
ктеристиках двох розглянутих систем, у їхнiй по-
ведiнцi багато спiльного. Як i слiд було очiкувати,
для всiх значень z/h максимальнi величини верти-
кальних змiщень uz спостерiгаються пiд центром
штампа, причому при збiльшеннi частоти швид-
кiсть спадання амплiтуд uz з глибиною зростає.
Так, у пiслярезонансному дiапазонi вертикальна
компонента змiщень прилеглої до жорсткої основи
частини матерiалу пiд штампом (z/h<0.5) близь-
ка до нуля. Одночасно вiдбувається значне зрос-
тання горизонтальних змiщень ur у приповерхне-
вому шарi. Наприклад, для бiльшого штампа, дi-
аметр якого має один порядок з висотою шару,
В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник 43
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 34 – 47
r / a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|u
r|
/u
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
z/h=1
z/h=0.9
z/h=0.6
z/h=0
z/h=0.8
r / a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|u
z|
/u
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z/h=1
z/h=0.9
z/h=0.6
z/h=0.8
z/h=0.3
а б
r / a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|u
r|
/u
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
z/h=1
z/h=0.9
z/h=0.6
z/h=0
z/h=0.8
r / a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|u
z|
/u
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z/h=1
z/h=0.9
z/h=0.6
z/h=0.8
в г
r / a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|u
r|
/u
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
z/h=1
z/h=0.9
z/h=0.6
z/h=0
z/h=0.8
r / a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|u
z|
/u
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z/h=1
z/h=0.9
z/h=0.6
z/h=0.8
д е
Рис. 7. Амплiтуди вертикальних i горизонтальних змiщень точок шару при дiаметрi штампа 2a=8.075 мм:
а, б – f =50 Гц, в, г – f =166 Гц, д, е – f =300 Гц,
а, в, д – uz, б, г, е – ur
44 В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 34 – 47
r / a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|u
r|
/u
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
z/h=1
z/h=0.9
z/h=0.5
z/h=0
z/h=0.2
z/h=0.6
r / a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|u
z|
/u
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 z/h=1
z/h=0.9
z/h=0.6
z/h=0.1
z/h=0.3
а б
r / a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|u
r|
/u
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
z/h=1
z/h=0.9
z/h=0.5
z/h=0
z/h=0.2
r / a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|u
z|
/u
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z/h=1
z/h=0.9
z/h=0.6
z/h=0.1
в г
r / a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|u
r|
/u
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z/h=1
z/h=0.9
z/h=0.6
z/h=0
z/h=0.8
r / a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|u
z|
/u
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
z/h=1
z/h=0.9
z/h=0.6
z/h=0.1
z/h=0.8
д е
Рис. 8. Амплiтуди вертикальних i горизонтальних змiщень точок шару при дiаметрi штампа 2a=16.03 мм:
а, б – f =50 Гц, в, г – f =82 Гц, д, е – f =300 Гц,
а, в, д – uz, б, г, е – ur
В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник 45
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 34 – 47
на частотi f =300 Гц горизонтальнi змiщення при
0.9≤r/a≤1 близькi за амплiтудами до вертикаль-
них. Амплiтуди ж горизонтальних змiщень для
(z/h<0.5) здебiльшого залишаються невисокими
i спадають з ростом частоти. Це дозволяє гово-
рити про високочастотну локалiзацiю деформацiй
матерiалу шару на невеликих глибинах залягання
пiд штампом. Опосередковано цей висновок пiд-
тверджується розрахунками величини механiчно-
го iмпедансу Z для шарiв з h=1, 2 i 3 см – для
цих випадкiв ImZ для f >200 Гц виявились ду-
же близькими.
Таким чином, у матерiалi шару, розташованому
безпосередньо пiд штампом, спостерiгається ефек-
тивна трансформацiя вертикальних змiщень у го-
ризонтальнi, амплiтуди яких зростають зi збiль-
шенням частоти. Це створює сприятливi умови
для реалiзацiї механiзму сухого тертя на контактi
штамп – поверхня шару.
З вiдносної малорухомостi частини матерiалу,
який залягає на глибинах z/h<0.5, випливає ще
один важливий висновок. При розглянутих геоме-
тричних, фiзичних та хвильових параметрах си-
стеми величина iмпедансу дiлянки пiд штампом
буде слабо залежати вiд точного вигляду грани-
чних умов при z=0: гладкий безвiдривний контакт
з жорсткою основою, контакт з тертям, або повне
зчеплення. Це дозволяє зупинитись на розгляну-
тому рiвнi iдеалiзацiї моделi, який забезпечує най-
бiльш простий математичний вигляд розв’язкiв.
Варто вiдзначити, що розподiли амплiтуд го-
ризонтальних змiщень виявились досить складни-
ми й немонотонними. Так, на дорезонансних i
резонансних частотах максимальнi значення ur
при 0≤r≤a спостерiгаються не безпосередньо пiд
штампом, а на певнiй невеликiй глибинi (див.
рис. 7, а, в i 8а, в). Для великих штампiв (2a∼ h) це
справедливо i на пiслярезонансних частотах (див.
рис. 8, д). При 2a=16.03 мм зафiксовано ще одну
аномалiю – до i на резонансi горизонтальнi змiще-
ння при z=0 не завжди є найменшими.
Для пiслярезонансної частоти f =300 Гц спосте-
рiгається певна перебудова розподiлiв полiв змi-
щень як пiд штампами, так i у ближнiй зонi (див.
рис. 7, д, е i 8д, е). Як i слiд було очiкувати, цi змi-
ни бiльш яскраво вираженi для бiльшого штам-
па. Тут матерiал шару “не встигає” за штампом,
що призводить до формування пучностей змiщень
вiдразу за краєм штампа.
До певної мiри аналогiчну поведiнку демонстру-
ють розрахунковi розподiли ближнього поля змi-
щень у задачi про вiброзбудження пружної шару-
ватої структури, яка моделює поверхню тiла [25].
ВИСНОВКИ
1. З використанням граничних iнтегральних
спiввiдношень, якi зводяться до нескiнчен-
ної системи лiнiйних iнтегральних рiвнянь,
розв’язано задачу про гармонiчнi коливан-
ня в’язко-пружного шару, навантаженого пло-
ским гладким штампом кругового перерiзу.
На основi апрiорної iнформацiї про поведiнку
механiчних напружень на краю штампа побу-
довано ефективний алгоритм для обчислення
розподiлiв механiчних полiв у матерiалi ша-
ру та механiчного iмпедансу дiлянки поверхнi,
яка контактує зi штампом.
2. Встановлено, що у дiапазонi частот вiд 0 до
400 Гц розглянута система демонструє ре-
зонансну поведiнку, причому величина резо-
нансної частоти суттєво залежить вiд дiаме-
тра штампа. Окрiм того, за рахунок наяв-
ностi дисипацiї у матерiалi та механiзму ви-
промiнювання поперечних хвиль формується
активна складова iмпедансу поверхнi конта-
кту, яка має один порядок величини з ре-
активною складовою. Розрахунковi частотнi
залежностi iмпедансу добре спiввiдносяться з
даними, одержаними в експериментах по вi-
брозбудженню бiцепса людини.
3. Показано, що стержньове (низькочастотне)
наближення для уявної частини iмпедансу ви-
явилось менш точним, нiж повний розв’язок
для шару. Це свiдчить про iстотну роль, яку
грають поперечнi моди коливань i присутнiсть
матерiалу шару поза штампом, у формуваннi
динамiчної реакцiї поверхнi пiд штампом.
4. Визначено, що при переходi через резонанс
суттєво змiнюється характер розподiлу меха-
нiчних напружень пiд штампом. При цьому
поблизу краю штампа нормальнi напруження
мають кореневу особливiсть. Така поведiнка
вказує на неадекватнiсть математичних поста-
новок, у яких задається регулярний розподiл
напружень пiд штампом, незмiнний у всьому
дiапазонi частот.
5. Вивчення просторових розподiлiв полiв змi-
щень матерiалу шару показало, що найбiльш
iнтенсивного збудження зазнає приповерхне-
ва зона пiд штампом. При цьому вертикаль-
нi змiщення, iндукованi штампом, ефективно
трансформуються у горизонтальнi. Зi збiль-
шенням частоти наростає локалiзацiя дефор-
мацiй у приповерхневiй зонi шару. Зауважи-
46 В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 4. С. 34 – 47
мо, що саме iнтенсивнi горизонтальнi змiщен-
ня поверхнi пiд погано зафiксованим сенсором
створюють характерну вiброакустичну заваду
при аускультацiї звукiв дихання на поверхнi
грудної клiтки людини.
6. Одержанi результати можуть служити осно-
вою для застосування розглянутого методу
при розв’язаннi контактних задач з iншими
типами граничних умов.
ПОДЯКИ
Автори глибоко вдячнi доктору фiз.-мат. наук
О. М. Гомiлку за кориснi поради та плiдну диску-
сiю при дослiдженнi асимптотичних властивостей
розв’язку задачi.
1. Oestreicher H. L. Field and impedance of an ocsillat-
ing sphere in a viscoelastic medium with an applicati-
on to biophysics // J. Acoust. Soc. Amer.– 1951.– 23,
N 6.– P. 707–714.
2. Олiйник В. Н. Рацiональне проектування п’єзо-
акселерометрiв для вимiрювань на пiддатливих
поверхнях // Акуст. вiсн.– 1998.– 1, N 3.– С. 54–65.
3. Zhang X., Royston T. J., Mansy H. A., Sandler R. H.
Radiation impedance of a finite circular piston on
a viscoelastic half-space with application to medical
acoustics // J. Acoust. Soc. Amer.– 2001.– 109, N 2.–
P. 795–802.
4. Vermarien H., van Vollenhoven E. The recordi-
ng of heart vibrations: A problem of vibration
measurement on soft tissue // Med. Biol. Engng
Comput.– 1984.– 22.– P. 168–178.
5. Тиманин Е. М. Модель формирования импедан-
сных свойств мягких биологических тканей // Ме-
тоды вибрационной диагностики реологических
характеристик мягких материалов и биологиче-
ских тканей.– Горький: ИПФ АН СССР, 1989.–
С. 75–91.
6. Олiйник В. Н. Моделювання контактної взаємодiї
обмеженої дiлянки поверхнi тiла людини з вiбра-
тором // Акуст. вiсн.– 2003.– 6, N 2.– С. 58–67.
7. Олiйник В. Н. Моделювання механiчної реакцiї
цилiндра з в’язко-пружної бiотканини при гармо-
нiчному навантаженнi торцiв в умовах повного
зчеплення з вiбратором // Акуст. вiсн.– 2004.– 7,
N 2.– С. 65–71.
8. Verburg J., van Vollenhoven E. Phonocardiography:
physical and technical aspects and clinical uses //
Non invasive physiological measurements.– London:
Academic press, 1979.– P. 213–259.
9. Pasterkamp H., Kraman S. S., Wodicka G. R. Respi-
ratory sounds. Advances beyond the stetoscope //
J. Respir. Crit. Care Med.– 1997.– 156.– P. 974–987.
10. Лебедева Л. П. Измерение динамического ком-
плексного модуля сдвига тканей животных //
Акуст. ж.– 1965.– 11, N 2.– С. 197–200.
11. Gennisson J.-L., Catheline S., Chaffäı S., Fink M.
Transient elastography in anisotropic medium:
Application to the measurement of slow and fast
shear wave speeds in muscles // J. Acoust. Soc.
Amer.– 2003.– 114, N 1.– P. 536–540.
12. Titze I. R., Klemuk S.A., Gray S. Methodology for
rheological testing of engineering biomaterials at low
audio frequencies // J. Acoust. Soc. Amer.– 2004.–
115, N 1.– P. 392–401.
13. Олийнык В. Н. Акустические свойства слоя на
жестком основании при локальном вибровозбу-
ждении // Акуст. вiсн.– 2002.– 5, N 1.– С. 42–49.
14. Пашовкин Т. Н., Сарвазян А. П. Механические
характеристики мягких биологических тканей //
Методы вибрационной диагностики реологиче-
ских характеристик мягких материалов и био-
логических тканей.– Горький: ИПФ АН СССР,
1989.– С. 105–115.
15. Greenleaf J. F., Fatemi M., Insana M. Selected
methods for imaging elastic properties of biological
tissues // Ann. Rev. Biomed. Engng.– 2003.– 5.–
P. 57–78.
16. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические
колебания и волны в упругих телах.– К.: На-
ук. думка, 1981.– 284 с.
17. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж. Ф.
Динамика неоднородных линейно-упругих сред.–
М.: Наука, 1989.– 344 с.
18. Парфененко Д. Н., Улитко А. Ф. Вдавливание в
упругое полупространство штампа, имеющего в
плане форму кругового сегмента // Изв. РАН.
МТТ.– 1994.– N 6.– С. 32–41.
19. Сеймов В. М. Динамические контактные задачи.–
К.: Наук. думка, 1976.– 284 с.
20. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегра-
лов, сумм, рядов и произведений.– М.: Физматгиз,
1971.– 1108 с.
21. Гринченко В. Т., Вовк И. В. Волновые задачи рас-
сеяния звука на упругих оболочках.– К.: Наук.
думка, 1986.– 235 с.
22. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. О локальных осо-
бенностях в математических моделях физических
полей // Мат. методи i фiз.-мех. поля.– 1998.– 41,
N 1.– С. 12–34.
23. Улитко А. Ф. Векторные разложения в пространс-
твенной теории упругости.– К.: Академпериодика,
2002.– 342 с.
24. Еремин Е. В., Тиманин Е. М. Интерпретация ме-
ханического импеданса слоя, измеренного с по-
мощью твердого круглого штампа // Акуст. ж.–
2000.– 46, N 4.– С. 490–495.
25. Клочков Б. Н. Ближнее поле силового низко-
частотного источника на слоистой биоткани //
Акуст. ж.– 2002.– 48, N 1.– С. 70–76.
В. Т. Грiнченко, В. Н. Олiйник 47
|