Обратная геометрическая задача для упруго-жидкой слоистой среды
Рассмотрена плоская задача о вынужденных колебаниях идеальной жидкости, ограниченной сверху упругим слоем с неровной нижней поверхностью. Построено решение обратной задачи об определении формы нижней поверхности по характеру колебаний верхней. Для решения прямой задачи предлагаются три подхода - мет...
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2005
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1026 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Обратная геометрическая задача для упруго-жидкой слоистой среды / А. О. Ватульян, П. С. Углич // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 4. — С. 20-28. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859988848114663424 |
|---|---|
| author | Ватульян, А.О. Углич, П.С. |
| author_facet | Ватульян, А.О. Углич, П.С. |
| citation_txt | Обратная геометрическая задача для упруго-жидкой слоистой среды / А. О. Ватульян, П. С. Углич // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 4. — С. 20-28. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассмотрена плоская задача о вынужденных колебаниях идеальной жидкости, ограниченной сверху упругим слоем с неровной нижней поверхностью. Построено решение обратной задачи об определении формы нижней поверхности по характеру колебаний верхней. Для решения прямой задачи предлагаются три подхода - метод малого параметра, метод граничного элемента, а также приближение Борна. Решение обратной задачи сведено к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Приведены результаты численного эксперимента.
Розглянуто плоску задачу про вимушені коливання стисливої ідеальної рідини, обмеженої зверху пружним шаром з нерівною нижньою поверхнею. Побудовано розв'язок зворотної задачі про визначення форми нижньої поверхні за характером коливань верхньої. Для розв'язання прямої задачі запропоновані три підходи - метод малого параметру, метод граничного елемента, а також наближення Борна. Розв'язок зворотної задачі зведено до розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма першого роду. Наведено результати чисельних експериментів.
The paper deals with a plane problem on forced oscillations of ideal fluid. The ideal fluid is bounded at the top by the elastic layer with uneven undersurface. The solution of the inverse problem on reconstructing the undersurface shape by the character of the upper surface oscillations is developed. The three approaches are used to solve the direct problem: method of small parameter, method of boundary elements, and Born's approximation. Solving of the inverse problem is reduced to solving the Fredholm integral equation of the first kind with a smooth kernel. The results of the numerical experiment are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:30:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 20 – 28
УДК 534.26
ОБРАТНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ УПРУГО-ЖИДКОЙ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ
А. О. В А ТУЛ Ь Я Н, П. С. У Г Л И Ч
Ростовский государственный университет, Российская Федерация
Получено 04.12.2005
Рассмотрена плоская задача о вынужденных колебаниях идеальной жидкости, ограниченной сверху упругим слоем
с неровной нижней поверхностью. Построено решение обратной задачи об определении формы нижней поверхности
по характеру колебаний верхней. Для решения прямой задачи предлагаются три подхода – метод малого параметра,
метод граничного элемента, а также приближение Борна. Решение обратной задачи сведено к решению интеграль-
ного уравнения Фредгольма первого рода. Приведены результаты численного эксперимента.
Розглянуто плоску задачу про вимушенi коливання стисливої iдеальної рiдини, обмеженої зверху пружним шаром
з нерiвною нижньою поверхнею. Побудовано розв’язок зворотної задачi про визначення форми нижньої поверхнi
за характером коливань верхньої. Для розв’язання прямої задачi запропонованi три пiдходи – метод малого пара-
метру, метод граничного елемента, а також наближення Борна. Розв’язок зворотної задачi зведено до розв’язання
iнтегрального рiвняння Фредгольма першого роду. Наведено результати чисельних експериментiв.
The paper deals with a plane problem on forced oscillations of ideal fluid. The ideal fluid is bounded at the top by the
elastic layer with uneven undersurface. The solution of the inverse problem on reconstructing the undersurface shape by
the character of the upper surface oscillations is developed. The three approaches are used to solve the direct problem:
method of small parameter, method of boundary elements, and Born’s approximation. Solving of the inverse problem is
reduced to solving the Fredholm integral equation of the first kind with a smooth kernel. The results of the numerical
experiment are presented.
ВВЕДЕНИЕ
Задачи о колебаниях слоистых структур разли-
чной природы с нерегулярностями часто возника-
ют в акустике, сейсмологии, биомеханике, техни-
ческой диагностике трубопроводов, при модели-
ровании ледяного покрова и физике твердого те-
ла. Как правило, они решаются методом возмуще-
ний [1 – 7], который обычно реализуется в предпо-
ложении малости амплитуды неровности по срав-
нению с толщиной слоя и длиной волны. Однако
такой подход становится неприменимым в случае
больших амплитуд.
В этой ситуации может быть с успехом использо-
вана идеология метода граничных интегральных
уравнений, широко применяемая в акустике и те-
ории упругости для решения задач о колебаниях
полуограниченных сред с дефектами типа поло-
сти, трещины, включения. Техника построения та-
ких уравнений подробно описана в [8 – 10]. В каче-
стве примера приведем статью [11], в которой рас-
смотрена задача об антиплоских колебаниях упру-
гого двухслойного полупространства с полостью,
расположенной в верхнем слое (в том числе, выхо-
дящей на поверхность).
В работах [12 –17] подробно исследованы кра-
евые задачи для области типа полуплоскости с
неровной границей, внутри которой выполняются
уравнения Гельмгольца или Ляме. Они сведены
к решению граничных интегральных уравнений,
сформулированы и доказаны теоремы о существо-
вании и единственности решения и предложены
приближенные методы отыскания решений [18].
В [19 – 24] аналогичным образом изучены инте-
гральные уравнения для задачи о рассеянии волн
на неровной границе между жидкостью и твердым
телом.
Помимо прямых задач о расчете полей и влия-
нии неровности на характер волновых процессов,
большой интерес представляют обратные задачи
об определении характера и формы неровности по
полю упругих перемещений на поверхности слои-
стой среды. В частности, в статьях [25 – 27] они ре-
шались методом линеаризации в предположении
о малости амплитуды неровности. Аналогичные
формулировки для уравнения Гельмгольца были
ранее подробно исследованы для трехмерного слу-
чая [28 – 30]. В работах [31, 32] рассмотрены пря-
мая и обратная задачи о рассеянии волн на малых
компактных неоднородностях в морском волново-
де. При этом считалось, что амплитуда неровности
мала по сравнению с длиной волны, а сама неров-
ность задана на ограниченном множестве. Для ре-
шения прямой задачи использовалось приближе-
ние Борна [33].
В данной работе исследуются колебания идеаль-
ной сжимаемой жидкости, ограниченной сверху
упругим слоем с неровной нижней поверхностью.
20 c© А. О. Ватульян, П. С. Углич, 2005
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 20 – 28
На верхней поверхности слоя действует нормаль-
ная нагрузка, а на нижней выполняется условие
непротекания жидкости (касательное напряжение
отсутствует, а нормальное равно давлению жидко-
сти).
Для решения поставленной задачи использую-
тся три способа. Первый основан на методе гра-
ничных интегральных уравнений и позволяет све-
сти исходную задачу к системе нерегулярных ин-
тегральных уравнений, которая решается числен-
но на основе идеологии метода граничных элемен-
тов. В рамках второго подхода с помощью теоремы
взаимности получено соотношение, выражающее
поле перемещений в слое через значения вектора
перемещений и потенциала скоростей на неровном
участке границы раздела. При малой амплитуде
неровности оно позволяет приближенно найти по-
ле перемещений на верхней поверхности слоя, не
решая систему граничных интегральных уравне-
ний. Третий подход основан на методе возмуще-
ний и сводит исходную краевую задачу к после-
довательности неоднородных краевых задач для
ровного слоя. Он применим в случае малой ампли-
туды неровности.
Сформулирована обратная задача о нахожде-
нии формы неровного участка нижней поверхно-
сти по известному полю перемещений на верхней
поверхности слоя. В предположении малой глуби-
ны неровности задача сведена к решению инте-
грального уравнения Фредгольма первого рода с
гладким ядром. Решение такого уравнения являе-
тся некорректной задачей и строится с помощью
метода регуляризации Тихонова.
Приведены результаты вычислительных экспе-
риментов при решении прямой и обратной задач.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим в плоской постановке установивши-
еся колебания полубесконечной слоистой среды
|x1| < ∞, x2 ≤ 1, состоящей из упругого слоя
|x1| <∞, 0 ≤ εf(x1) ≤ x2 ≤ 1 с неровной нижней
границей, контактирующего с идеальной сжима-
емой жидкостью, занимающей область |x1| < ∞,
x2 < εf(x1). Здесь ε – малый параметр; f(x1) –
гладкая финитная функция, характеризующая не-
ровность.
Считаем, что компоненты вектора упругих пере-
мещений и потенциала скоростей изменяются по
закону e−iωt, где ω – частота колебаний. В этом
случае, отделяя временной множитель, имеем сле-
дующие уравнения движения:
• для амплитуд смещений слоя – уравнения Ля-
ме
(1 − 2ν)−1uj,ji + ∆ui + κ2
2ui = 0, (1)
где c2 =
√
G/ρ – скорость поперечных волн
в упругом слое; κ2 = ω/c2; G и ν – соответ-
ственно модуль сдвига и коэффициент Пуас-
сона для слоя;
• для амплитуды потенциала скоростей жидко-
сти – уравнение Гельмгольца
∆ϕ+ κ2
0ϕ = 0, (2)
где ϕ – потенциал скоростей в жидкости; κ0 =
ω/c0; c0 – скорость звука в жидкости.
Пусть на верхней поверхности слоя действует
нормальная нагрузка и касательные напряжения
отсутствуют:
σ12 = 0, σ22 = q(x1) при x2 = h. (3)
Напомним, что на нижней поверхности слоя ка-
сательные компоненты вектора напряжений рав-
ны нулю, а нормальная компонента равна давле-
нию жидкости. Кроме того, поверхность слоя счи-
тается непроницаемой для жидкости, что приво-
дит к следующим условиям сопряжения на грани-
це раздела:
σnτ = 0, σnn = −iωρ∗ϕ, −iωun =
∂ϕ
∂n̄
при x2 = εf(x1).
(4)
Здесь n̄, τ̄ – нормальный и касательный векторы
к кривой x2 = εf(x1) соответственно.
Замыкают постановку условия излучения на бе-
сконечности, при формулировке которых исполь-
зован принцип предельного поглощения [34].
2. ПОСТРОЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНО-
ГО РЕШЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ СЛОЙ –
ЖИДКОСТЬ
Обозначим через U
(m)
i фундаментальное реше-
ние для системы слой – жидкость с ровными гра-
ницами, удовлетворяющее следующим уравнени-
ям и краевым условиям:
(1 − 2ν)−1U
(m)
k,ki + ∆U
(m)
i + κ2
2U
(m)
i +
+
δim
G
δ(x− ξ) = 0,
(5)
∆Φ(m) + κ2
0Φ
(m) = 0, (6)
А. О. Ватульян, П. С. Углич 21
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 20 – 28
G
(
U
(m)
1,2 + U
(m)
2,1
)
∣
∣
∣
x2=0,1
= 0,
2G
1 − 2ν
[
νU
(m)
1,1 + (1 − ν)U
(m)
2,2
]
∣
∣
∣
x2=1
= 0,
2G
1 − 2ν
[
νU
(m)
1,1 + (1 − ν)U
(m)
2,2 +
+
iρ∗ω
G
Φ(m)
]
∣
∣
∣
x2=0
= 0,
−iωU
(m)
2 |x2=0 = Φ
(m)
,2 |x2=0.
(7)
Будем искать решение задачи (5) – (7) в виде сум-
мы двух слагаемых
U
(m)
i (x, ξ) = V
(m)
i (x, ξ) +W
(m)
i (x, ξ), (8)
где V
(m)
i (x, ξ) – решение неоднородных уравнений
Ляме (5) для плоскости, а W
(m)
i (x, ξ) – решение
краевой задачи для системы однородных уравне-
ний при следующих граничных условиях:
G
(
W
(m)
1,2 +W
(m)
2,1
)
∣
∣
∣
x2=0,1
=
= −G
(
V
(m)
1,2 + V
(m)
2,1
)
∣
∣
∣
x2=0,1
,
2G
1 − 2ν
[
νW
(m)
1,1 + (1 − ν)W
(m)
2,2
]
∣
∣
∣
x2=1
=
= −
2G
1 − 2ν
[
νV
(m)
1,1 + (1 − ν)V
(m)
2,2
]
∣
∣
∣
x2=1
,
2G
1 − 2ν
[
νW
(m)
1,1 +
+(1 − ν)W
(m)
2,2 +
iρ∗ω
G
Φ(m)
]
∣
∣
∣
x2=0
=
= −
2G
1 − 2ν
[
νV
(m)
1,1 + (1 − ν)V
(m)
2,2
]
∣
∣
∣
x2=0
,
−(iωW
(m)
2 + Φ
(m)
,2 )|x2=0 = iωV
(m)
2 |x2=0.
(9)
Фундаментальное решение для упругой плоско-
сти может быть найдено с помощью двойного пре-
образования Фурье. Трансформанты Фурье функ-
ций V
(m)
i по первой координате имеют вид
Ṽ
(m)
i (α, x2) =
∞
∫
−∞
V
(m)
i (x1, x2)e
iαx1dx1
и представимы в форме
Ṽ
(1)
1 =
eiαξ1
2Gκ2
2
(α2
γ1
e−γ1|x2−ξ2|−
−γ2e
−γ2|x2−ξ2|
)
,
Ṽ
(1)
2 =
iαeiαξ1
2Gκ2
2
(
e−γ1|x2−ξ2|−
−e−γ2|x2−ξ2|
)
sign (x2 − ξ2),
(10)
Ṽ
(2)
1 =
iαeiαξ1
2Gκ2
2
(
e−γ1|x2−ξ2|−
−e−γ2 |x2−ξ2|
)
sign (x2 − ξ2),
Ṽ
(2)
2 =
eiαξ1
2Gκ2
2
(
γ1e
−γ1|x2−ξ2|−
−
α2
γ1
e−γ2|x2−ξ2|
)
,
(11)
γi =
√
α2−κ2
i , i= 1, 2.
Функции W
(m)
i (x, ξ) найдены в форме интегра-
лов Фурье в результате решения соответствующей
краевой задачи методом интегральных преобра-
зований. В соответствии с формулой (8), функ-
ции Грина для полосы U
(m)
i (x, ξ) построены в виде
интегралов по контуру в комплексной плоскости.
Следует отметить, что функции V
(m)
i (x, ξ) име-
ют логарифмическую особенность при ξ = x, а
W
(m)
i (x, ξ) непрерывны всюду внутри полосы, за
исключением граничных поверхностей.
Обозначим через U−
i (x, ξ) фундаментальное ре-
шение для системы слой – жидкость в случае, ко-
гда источник возмущений находится в жидкости:
(1 − 2ν)−1U−
k,ki + ∆U−
i + κ2
2U
−
i = 0, (12)
∆Φ− + κ2
0Φ
− = −δ(x− ξ). (13)
Краевые условия для U−
i , Φ− имеют вид, анало-
гичный (7). Будем искать решение Φ− в виде сум-
мы двух слагаемых:
Φ−(x, ξ) = Φ0(x, ξ) + Φ1(x, ξ). (14)
Здесь Φ0 – фундаментальное решение уравнения
Гельмгольца для неограниченной плоскости:
Φ0 =
i
4
H
(1)
0 (κ0ρ), (15)
22 А. О. Ватульян, П. С. Углич
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 20 – 28
трансформанта Фурье которого имеет вид
Φ̃0 =
1
4π
eiα1x1−γ0|x2−ξ2|
γ0
. (16)
Функция Φ1(x, ξ) удовлетворяет следующим крае-
вым условиям:
(
U−
1,2 + U−
2,1
)
∣
∣
∣
x2=0,1
= 0,
2G
1 − 2ν
[
νU−
1,1 + (1 − ν)U−
2,2
]
∣
∣
∣
x2=1
= 0,
2G
1 − 2ν
[
νU−
1,1 + (1 − ν)U−
2,2+
+
iρ∗ω
G
Φ1
]
∣
∣
∣
x2=0
= −iρ∗ωΦ0|x2=0 ,
−(iωU−
2 + Φ1,2)|x2=0 = Φ0,2|x2=0 .
(17)
Окончательное выражение для трансформанты
Фурье функции Φ− имеет вид
Φ̃− =
1
4π
{
e−γ0|x2−ξ2|
γ0
−
1
∆
[
iηκ2
2
γ0
B54+
+B55sign ξ2
]
eγ0(x2−|ξ2|)
}
eiα1x1 ,
(18)
где
∆ = iηκ2
2B54 + γ0B55;
B54 = iγ1κ
2
2[4α
2
1γ1γ2sh γ1ch γ2−
−(2α2
1 − κ2
2)
2chγ1sh γ2];
B55 = [16α4
1γ
2
1γ
2
2 + (2α2
1 − κ2
2)
4]sh γ1sh γ2−
−8α2
1(2α
2
1 − κ2
2)
2γ1γ2(ch γ1ch γ2 − 1).
Выражение (18) обращается в тождественный
нуль при ξ2 > 0 и x2 < ξ2. Кроме того, следует
отметить, что интеграл Фурье, с через который
выражается Φ−(x, ξ), расходится при x2>0.
3. ФОРМУЛЫ СОМИЛЬЯНЫ ДЛЯ СИСТЕ-
МЫ СЛОЙ –ЖИДКОСТЬ
Обозначим область, занятую слоем, через S+,
верхнюю поверхность слоя – через L+, нижнюю –
через L−, а неровный участок – через Γf .
Рассмотрим область S+
R =S+ ∩ {|x1|<R}. По
формулам Сомильяны получим
um(ξ) =
∫
∂S+
R
[σkl(x)nlU
(m)
k (x, ξ)−
−uk(x)σ
(m)
kl (x, ξ)nl]dlx,
σnn = σijninj .
(19)
Устремив R к бесконечности и приняв во внимание
краевые условия, найдем
um(ξ) = uet
m(ξ) +
∫
L
−
[σnn(x)U (m)
n (x, ξ)−
−uk(x)σ
(m)
kl (x, ξ)nl]dlx,
(20)
где uet
k (ξ) – поле смещений в слое с ровными гра-
ницами от действия нагрузки q(x1).
Перейдем к рассмотрению области S−
R , ограни-
ченной сверху кривой L−, а снизу – полуокружно-
стью радиуса R с центром в начале координат.
Умножим уравнение (2) на функцию Φ(m), а урав-
нение (6) – на функцию ϕ, вычтем их друг из друга
и проинтегрируем по области S−
R :
∫
S
−
R
[∆xΦ(m)(x, ξ)ϕ(x)−
−∆xϕ(x)Φ(m)(x, ξ)]dSx =
=
∫
∂S
−
R
[∂Φ(m)(x, ξ)
∂n
ϕ(x)−
−
∂ϕ(x)
∂n
Φ(m)(x, ξ)
]
dlx.
(21)
Устремив R к бесконечности, и с учетом крае-
вых условий на границе слоя и жидкости получим
−i
∫
Γf
[∂Φ(m)(x, ξ)
∂n
(σnn(x)
ρ∗ω
)
−
−ωun(x)Φ(m)(x, ξ)
]
dlx+
+
1
ρ∗
∫
L
−
\Γf
[
σ22(x)U
(m)
2 (x, ξ)−
−u2(x)σ
(m)
22 (x, ξ)
]
dlx = 0.
(22)
Умножим выражение (22) на ρ∗ и вычтем его из
А. О. Ватульян, П. С. Углич 23
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 20 – 28
выражения (20):
um(ξ) = uet
m(y)+
+
∫
Γf
{
σnn(x)
[
U (m)
n (x, ξ) +
i
ω
∂Φ(m)(x, y)
∂n
]
−
−un(x)
[
σ(m)
nn (x, ξ) + iωρ∗Φ
(m)(x, ξ)
]
−
−uτ(x)σ(m)
nτ (x, ξ)
}
dlx.
(23)
Это соотношение позволяет при известных фун-
кциях un, uτ , σnn найти поле перемещений в слое
в любой точке ξ, для которой выполняется условие
ξ>εmaxf(x).
4. ВЫВОД СИСТЕМЫ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕ-
ГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим полуплоскость x2 < 0. Для нее
обычным образом может быть получено соотно-
шение вида
∞
∫
−∞
[∂Φ(m)(x, ξ)
∂n
ϕ(x)−
−
∂ϕ(x)
∂n
Φ(m)(x, ξ)
]
dlx = 0.
(24)
Умножим выражение (24) на ρ∗ и вычтем его из
соотношения (20). Учитывая краевые условия на
границе раздела, находим
um(ξ) = uet
m(ξ) −
∫
Γf
[iωρ∗ϕ(x)U (m)
n (x, ξ)+
+uk(x)σ
(m)
kl (x, ξ)]dlx+
+ρ∗
b
∫
a
[ψ(x1)Φ
(m)
,2 (x1, 0; ξ)−
−χ(x1)Φ
(m)(x1, 0; ξ)]dx1.
(25)
Устремляя ξ → y ∈ Γf , получаем
1
2
um(y) = uet
m(y) −
∫
Γf
[iωρ∗ϕ(x)U (m)
n (x, y)+
+uk(x)σ
(m)
kl (x, y)]dlx+
+ρ∗
b
∫
a
[ψ(x1)Φ
(m)
,2 (x1, 0; y)−
−χ(x1)Φ
(m)(x1, 0; y)]dx1.
(26)
В последних равенствах введены следующие обо-
значения: ψ(x1)=ϕ(x)|x2=0 ; χ(x1)=ϕ,2(x)|x2=0.
Рассмотрим область {a≤x1≤b, 0≤x2≤εf(x1)}.
Применив к ней формулу Грина для уравнения
Гельмгольца при ξ→y ∈ Γf , будем иметь
1
2
ϕ(y) = −
∫
Γf
[
iωρ∗un(x)Φ0(x, y)+
+ϕ(x)
∂Φ0
∂n
(x, y)
]
dlx−
−
b
∫
a
[ψ(x1)Φ
0
,2(x1, 0; y)−
−χ(x1)Φ
0(x1, 0; y)]dx1.
(27)
Устремив точку ξ к прямой x2 = 0, придем к сле-
дующему уравнению по отрезку [a, b]:
1
2
ψ(y) = −
∫
Γf
[
iωρ∗un(x)Φ0(x; y1, 0)+
+ϕ(x)
∂Φ0
∂n
(x; y1, 0)
]
dlx−
−
b
∫
a
[ψ(x1)Φ
0
,2(x1, 0; y1, 0)−
−χ(x1)Φ
0(x1, 0; y1, 0)]dx1.
(28)
Для области x2≤0 справедливо
−
1
2
ψ(y1 , 0) = Q(y1)−
−
1
ρ∗
∫
Γf
[
iωρ∗ϕ(x)U−
n (x; y1, 0)+
+uk(x)σ−
kl(x; y1, 0)
]
dlx−
−
b
∫
a
[ψ(x1)Φ
−
,2(x1, 0; y1, 0)−
−χ(x1)Φ
−(x1, 0; y1, 0)]dx1,
(29)
где
Q(y1) =
∞
∫
−∞
q(x1)U
−
2 (x1, 1; y1, 0)dx1.
Таким образом, получена система из пяти инте-
гральных уравнений относительно пяти неизвест-
ных функций.
5. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА
Считая глубину заглубления малой для компо-
нент тензора напряжений на неровной границе,
имеем:
σnn = σ22 − 2εf ′(x1)σ12 + O(ε2),
σnτ = −σ12 − εf ′(x1)(σ22 − σ11) +O(ε2).
(30)
24 А. О. Ватульян, П. С. Углич
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 20 – 28
Аналогично
un = −u2 + εf ′(x1)u1 + O(ε2),
∂ϕ
∂n̄
= −ϕ,2 + εf ′(x1)ϕ,1 + O(ε2).
(31)
Разложим граничные значения функций ū(x1, x2)
и ϕ(x1, x2) при x2 = εf(x1) в ряд Тейлора по x2 в
окрестности точки x2 =0:
ū(x1, εf(x1)) = ū(x1, 0)+
+εf(x1)ū2(x1, 0) +O(ε2),
ϕ(x1, εf(x1)) = ϕ(x1, 0)+
+εf(x1)ϕ2(x1, 0) +O(ε2).
(32)
Подставив эти выражения (с учетом формул (30)
и (31)) в соотношения (4) и отбросив малые вели-
чины высоких порядков, получим при x2 = 0 сле-
дующие линеаризованные краевые условия:
σ12 + εf(x1)σ12,2 + εf ′(x1)(σ22 − σ11) = 0,
σ22 + εf(x1)σ22,2 − 2εf ′(x1)σ12 =
= −iωρ∗(ϕ+ εf(x1)ϕ,2),
ϕ,2 + εf(x1)ϕ,22 − εf ′(x1)ϕ,1 =
= −iω[u2 + εf(x1)u2,2 − εf ′(x1)u1].
(33)
Будем искать решение задачи в виде ряда по
степеням ε:
ū = ū0 + εū1 + . . .
ϕ = ϕ0 + εϕ1 + . . .
(34)
Подставим эти разложения в исходные уравне-
ния (1), (2) и краевые условия (33) и приравняем
коэффициенты при одинаковых степенях ε. Для
определения ūi, ϕi получим однородные уравне-
ния Ляме и уравнение Гельмгольца:
(1 − 2ν)−1ui
j,jk + ∆ui
k + κ2
2u
i
k = 0, (35)
∆ϕi + κ2
0ϕ
i = 0. (36)
При этом выполняются следующие краевые
условия:
• для ū0, ϕ0 (нулевое приближение)
σ0
12 = 0, σ0
22 = q(x1) при x2 = h;
σ0
12 = 0, σ0
22 = −iωρ∗ϕ
0,
ϕ0
,2 = −iωu0
2 при x2 = 0;
(37)
• для ū1, ϕ1 (первое приближение)
σ1
12 = 0, σ1
22 = 0 при x2 = h;
σ1
12 = −f(x1)σ
0
12,2 − f ′(x1)(σ
0
22 − σ0
11),
σ1
22 + iωρ∗ϕ
1 = −f(x1)(σ
0
22,2+
+iωρ∗ϕ
0
,2),
ϕ1
,2 + iωu1
2 = −f(x1)(ϕ
0
,22 + iωu0
2,2)+
+f ′(x1)(ϕ
0
,1 + iωu0
1) при x2 = 0.
(38)
Обе задачи решены с помощью преобразования
Фурье. Очевидно, что при ε→ 0 решение, найден-
ное в нулевом приближении, совпадает с “эталон-
ным” решением uet
i .
6. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗА-
ДАЧИ
Полученная система (26) – (29) может быть ис-
следована лишь численно на основе идей ме-
тода граничного элемента [10]. Разобьем отре-
зок [a, b] на N отрезков [xi, xi+1], i = 0, N − 1,
xi = a + hi, h = (b − a)/N . Кривая Γf аппро-
ксимируется ломаной, состоящей из прямолиней-
ных отрезков (элементов) li с концами в точках
li+N = [(xi, f(xi)), (xi+1, f(xi+1))]. Предположим,
что функции ui постоянны на отрезках li. В ка-
честве узлов, в которых выполнены интегральные
уравнения (26) – (29), выбираем точки ξi, распо-
ложенные в серединах отрезков li. В результа-
те, для нахождения узловых неизвестных ui по-
лучаем систему линейных алгебраических уравне-
ний. Вообще говоря, коэффициенты алгебраиче-
ской системы представляют собой двойные инте-
гралы, однако за счет явного интегрирования по
элементу удалось выразить их через однократные.
На рис. 1 показан результат численного реше-
ния системы интегральных уравнений (26) – (29)
при κ2 = 1, ε = 0.2, f(x1) = sin(πx1). Здесь и да-
лее подразумеваем, что жидкость – вода, а упру-
гий материал – сталь. Сплошной линией показана
вещественная, а точками – мнимая часть горизон-
тального перемещения.
Найдя узловые неизвестные, согласно представ-
лению (23) рассчитаем волновые поля на верхней
границе слоя. Это можно сделать также, исполь-
зуя метод линеаризации. Кроме того, при отыска-
нии волнового поля на поверхности при малой глу-
бине неровности допустимо напрямую подставить
“эталонное” решение u0
i в представление (23). Та-
кой подход называется приближением Борна.
А. О. Ватульян, П. С. Углич 25
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 20 – 28
Рис. 1. Результат численного решения
системы интегральных уравнений (26) – (29)
при κ2 =1, ε=0.2, f(x1)=sin(πx1)
Рис. 2. График величины Re (u2−u0
2)
при κ2 =2, ε=0.1, f(x1)=sin(πx1)
На рис. 2 изображен график величины
Re (u2−u
0
2) для случая синусоидальной неров-
ности. Сплошной линией показано перемещение,
полученное с использованием метода граничного
элемента, точками – методом линеаризации, а
крестами – в приближении Борна.
Обозначим через gI
i волновое поле, найденное
Таблица. Величина δI
1 при различных значениях
амплитуды неровности и волнового числа
ε κ2 = 1 κ2 = 2
N = 20 N = 40 N = 20 N = 40
0.1 37.43 38.67 97.17 82.14
0.01 2.43 2.66 3.76 3.67
0.001 3.09 2.53 0.98 0.18
0.0001 3.53 2.60 1.12 0.37
по формуле (23), а через gII
i – поле, найденное по
формуле (38). Введем в рассмотрение величину
δI
i =
‖gI
i − gII
i ‖
‖gI
i ‖
· 100%
и исследуем ее поведение в зависимости от ампли-
туды неровности. В таблице приведены данные о
параметре δI
1 (в процентах) при различных зна-
чениях амплитуды неровности и волнового чис-
ла. Они свидетельствуют о том, что удовлетво-
рительная сходимость решений, полученных мето-
дом малого параметра, обеспечивается только для
ε�0.1.
7. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
Рассмотрим обратную задачу об определении
формы границы по известной на отрезке [c, d]
одной из составляющих вектора перемещения на
верхней поверхности слоя. Допустим также, что
известно эталонное поле перемещений на поверх-
ности слоя, соответствующее решению задачи для
слоя с ровной нижней поверхностью (ū0). Тогда
ui(0, x1) = u0
i (0, x1) + εu0
i (0, x1) + . . . ,
откуда
εu0
i (0, x1) = u1(0, x1) − u0
i (0, x1).
Предположим, что функция f отлична от нуля
только на отрезке [a, b], непрерывно дифференци-
руема на нем и f(a)=f(b)=0. Тогда, рассматривая
представление для решения в первом приближе-
нии, получаем
u1
i |x2=1 =
b
∫
a
f(x′1)K
1
i (x1, x
′
1)dx
′
1,
x ∈ [c, d],
(39)
где K1
i (x1, x
′
1) имеет достаточно сложный вид и не
может быть выражено в явном виде.
26 А. О. Ватульян, П. С. Углич
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 20 – 28
Это равенство представляет собой интегральное
уравнение Фредгольма с гладким ядром относи-
тельно функции f(x1). Процедура построения ре-
шения такого уравнения, как известно, некорре-
ктна и требует регуляризации [3, 4]. В данной ра-
боте для построения регуляризованного решения
использован метод регуляризации А. Н. Тихоно-
ва [35, 36].
Далее представлены результаты численного эк-
сперимента по восстановлению формы неровно-
сти. Численные эксперименты проводились следу-
ющим образом. Сначала при известной форме не-
ровности для отыскания неизвестных перемеще-
ний на неровном участке границы решалась систе-
ма интегральных уравнений (26) – (29). Затем для
найденных перемещений с помощью соотношений
Сомильяны (23) находились поля перемещений на
[c, d] – участке верхней поверхности полосы. Най-
денные перемещения использовались в качестве
исходной информации для решения обратной за-
дачи (в линеаризованной постановке – для реше-
ния интегрального уравнения (39)).
На рис. 3 приведены результаты расчета при
κ2 = 1 (ω≈ 4 кГц), ε= 0.01, для решения системы
линейных алгебраических уравнений использовал-
ся метод Воеводина с автоматическим подбором
параметра регуляризации по критерию обобщен-
ной невязки. Здесь и далее точками изображена
исходная форма неровности, сплошной линией –
форма неровности, восстановленная по информа-
ции на отрезке [c, d]=[−1, 2]. На рис. 4 приведены
результаты решения обратной задачи при более
сложной форме неровного участка. Хорошее сов-
падение результатов на обоих графиках свидетель-
ствует об эффективности использованного подхо-
да и соответствующей численной реализации.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В рамках метода линеаризации обратная геоме-
трическая задача об определении формы неровно-
го участка границы раздела между упругим сло-
ем и жидкостью сведена к решению интеграль-
ного уравнения Фредгольма первого рода с глад-
ким ядром. Численные эксперименты показали,
что данный подход эффективен только при малой
амплитуде неровности, не превышающей одной де-
сятой ширины слоя. При большей амплитуде не-
ровности следует использовать итерационные схе-
мы решения обратных задач [37]. Предложенная
методика может быть использована для диагно-
стики неровностей в трубопроводах и резервуарах.
Рис. 3. Результаты численного эксперимента
по решению обратной задачи
при κ2=1 (ω≈4 кГц), ε=0.01
Рис. 4. Результат решения обратной задачи
при κ2 =2, (ω≈8 кГц), [c, d]=[0,1],
f(x1)=0.0093(sin πx1 + 0.5 sin 3πx1)
БЛАГОДАРНОСТИ
Данное исследование выполнено на средства
гранта Президента Российской Федерации по под-
держке ведущей научной школы РИ-112/001/428,
государственный контракт N 02.445.11.7042.
А. О. Ватульян, П. С. Углич 27
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 4. С. 20 – 28
1. Гуляев Ю. В., Плесский Б. П. Распространение по-
верхностных акустических волн в периодических
структурах // Успехи физических наук.– 1989.–
157, N 1.– С. 85–127.
2. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в
твердых телах.– М.: Наука, 1981.– 288 с.
3. Мухсихачоян А., Белубекян М. Распространение
SH-волн в упругом слое с неровной поверхно-
стью // Мат. пробл. механiки неоднорiдних стру-
ктур: том 2.– Львiв: IППММ НАН України.–
2000.– С. 212–215.
4. Мацыпура В. Т. Звуковые поля в нерегуляр-
ных волноводах // Зб. праць акуст. симпоз.
“КОНСОНАНС-2003”.– Київ: IГМ НАН України,
2003.– С. 131–135.
5. Багдоев А. Г., Шекоян А. В., Амбарцумян В. А.
Влияние рельефа земной поверхности на интен-
сивность сейсмических взаимодействий // Физика
Земли.– 2003.– 7.– С. 17–24.
6. Fang Yingyuang. Series solution for scattering of
plane SH-wavеs by multiple shallow circular arc
canyons // Xingyong Shuxue He Lixue (Appl. Math.
Mech.).– 1995.– 16, N 7.– P. 615-624.
7. Roberts R. A. Elastodynamic scattering by a surface-
breaking void // J. Acoust. Soc. Amer.– 1989.– 85,
N 2.– P. 561–566.
8. Купрадзе В. Д. Граничные задачи теории устано-
вившихся колебаний // Усп. мат. наук.– 1953.– 8,
N 3(55).– С. 21–74.
9. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных
элементов в прикладных науках.– М.: Мир, 1984.–
494 с.
10. Колтон Д., Кресс Р. Интегральные уравнения в
теории рассеяния.– М.: Мир, 1987.– 311 с.
11. Ляпин А. А. О возбуждении волн в слоистой среде
с локальным дефектом // Прикл. мех. техн. физ.–
1994.– N 5.– С. 87–91.
12. Arens T. A new integral equation formulation for the
scattering of plane elastic waves by diffraction grati-
ngs // J. Int. Equ. Appl.– 1999.– 11.– P. 279–297.
13. Arens T., Chandler-Wilde S. N., Meier A. Integral
equation methods for scattering by one-dimensional
rough surfaces // Proc. Fifth International Conf.
Mathematical and Numerical Aspects of Wave
Propagation, SIAM.– Philadelphia, 2000.– P. 463–
488.
14. Chandler-Wilde S. N., Ross C. R. Scattering by rough
surfaces: the Dirichlet problem for the Helmholtz
equation in a non-locally perturbed half-plane //
Math. Meth. Appl. Sci.– 1996.– 19.– P. 959–976.
15. Chandler-Wilde S. N., Ross C. R., Zhang B. Scatteri-
ng by infinite one-dimentional rough surfaces // Proc.
Roy. Soc. Lond.– 1999.– A455.– P. 3637–3787.
16. Langdon S., Chandler-Wilde S. A Galerkin boundary
element method for an acoustic scattering problem,
with convergence rate independent of frequency //
Proc. Fourth UK Conf. on Boundary Integral
Methods.– Salford University Press, 2003.– P. 67–76.
17. Ross R. A. Direct and inverse scattering by rough
surfaces.– Brunel University: Ph.D. thesis, 1996.
18. Meier A., Arens T., Chandler-Wilde S. N., Kirsch A.
A Nyström method for a class of integral equations
on the real line with applications to scattering by
diffraction gratings and rough surfaces // J. Int. Equ.
Appl.– 2000.– 12.– P. 281–321.
19. Natroshvili D., Kharibegashvili S., Tediashvi-
li Z. Direct and inverse fluid-structure interaction
problems // Rendiconti di Matematica (Roma).–
2000.– Ser. VII, 20.– P. 57–92.
20. Natroshvili D. Direct and inverse problems of fluid-
structure interaction // Int. Congr. Math. (ICM
1998).– Abstr. Short Commun. and Poster Sess, Aug.
18–27, 1998, Berlin.– P. 241–242.
21. Natroshvili D., Tediashvili Z. Mixed type direct
and inverse scattering problems // Operator Theory:
Advances and Applications.– 2001.– 121.– P. 366–
389 (In memory of Prof. S.Prössdorf).
22. Natroshvili D., Arens T., Chandler-Wilde S. N. Uni-
queness, existence and integral equation formulati-
ons for interface scattering problems // Mem. Dif.
Eqs Math. Phys. (Georgian Acad. Sci.).– 2003.– 30.–
P. 105–146.
23. Natroshvili D., Karseladze G. Uniqueness results for
fluid-solid interaction problems // Bull. Georgian
Acad. Sci.– 2001.– 164, N 3.– P. 454–457.
24. Natroshvili D. Uniqueness theorems for inverse fluid-
solid interaction problems // Abstr. 11.TMP, Int.
Conf. on Recent Advances in Analytical and Numeri-
cal Treatment of Operator Equations (in memory of
Prof S.Prössdorf).– March 25–28, 1999, Chemnitz,
Germany.– P. 241–242.
25. Ватульян А. О., Коренский С. А. Метод линеари-
зации в геометрических обратных проблемах те-
ории упругости // Прикл. мат. мех.– 1997.– 61,
N 4.– С. 639–646.
26. Ватульян А. О., Коренский С. А. О восстановле-
нии формы приповерхностного дефекта в полупро-
странстве // Докл. РАН.– 1995.– 334, N 6.– С. 753–
755.
27. Ватульян А. О., Углич П. С. Определение фор-
мы неровной границы раздела между упру-
гой и жидкой средами // Изв. вузов. Северо-
Кавказский Регион.– 2001.– Спецвыпуск. Матема-
тическое моделирование.– С. 44–46.
28. Ingenito F. F. Scattering from an object in stratifi-
ed medium // J. Acoust. Soc. Amer.– 1987.– 87.–
P. 2051–2059.
29. Wetton B. T. R., Fawcett J. A. Scattering from
small tree-dimentional irregularities in ocean floor //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1989.– 85.– P. 1482–1488.
30. Fawcett J. A. Reconstruction of batymetry shape
from remote acoustic observation // Inverce
Problems.– 1990.– 6.– P. 185–191.
31. Захаренко А. Д. Рассеяние звука на малых ком-
пактных неоднородностях в морском волноводе //
Акуст. ж.– 2000.– 46, N 2.– С. 200–204.
32. Захаренко А. Д. Рассеяние звука на малых ком-
пактных неоднородностях в морском волноводе:
обратная задача // Акуст. ж.– 2002.– 48, N 2.–
С. 200–204.
33. Горюнов А. А., Сасковец А. В. Обратные задачи
рассеяния в акустике.– М.: Изд-во МГУ, 1989.–
152 с.
34. Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические сме-
шанные задачи теории упругости для неклассиче-
ских областей.– М.: Наука, 1979.– 320 с.
35. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения
некорректных задач.– М.: Наука, 1986.– 288 с.
36. Тихонов А. Н., Степанов В. В., Гончарский А. В.,
Ягола А. Г. Численные методы решения некорре-
ктных задач.– М.: Наука, 1986.– 287 с.
37. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В.
Экстремальные методы решения некорректных
задач.– М.: Наука, 1988.– 288 с.
28 А. О. Ватульян, П. С. Углич
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1026 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:30:26Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ватульян, А.О. Углич, П.С. 2008-07-15T08:56:03Z 2008-07-15T08:56:03Z 2005 Обратная геометрическая задача для упруго-жидкой слоистой среды / А. О. Ватульян, П. С. Углич // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 4. — С. 20-28. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1026 534.26 Рассмотрена плоская задача о вынужденных колебаниях идеальной жидкости, ограниченной сверху упругим слоем с неровной нижней поверхностью. Построено решение обратной задачи об определении формы нижней поверхности по характеру колебаний верхней. Для решения прямой задачи предлагаются три подхода - метод малого параметра, метод граничного элемента, а также приближение Борна. Решение обратной задачи сведено к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Приведены результаты численного эксперимента. Розглянуто плоску задачу про вимушені коливання стисливої ідеальної рідини, обмеженої зверху пружним шаром з нерівною нижньою поверхнею. Побудовано розв'язок зворотної задачі про визначення форми нижньої поверхні за характером коливань верхньої. Для розв'язання прямої задачі запропоновані три підходи - метод малого параметру, метод граничного елемента, а також наближення Борна. Розв'язок зворотної задачі зведено до розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма першого роду. Наведено результати чисельних експериментів. The paper deals with a plane problem on forced oscillations of ideal fluid. The ideal fluid is bounded at the top by the elastic layer with uneven undersurface. The solution of the inverse problem on reconstructing the undersurface shape by the character of the upper surface oscillations is developed. The three approaches are used to solve the direct problem: method of small parameter, method of boundary elements, and Born's approximation. Solving of the inverse problem is reduced to solving the Fredholm integral equation of the first kind with a smooth kernel. The results of the numerical experiment are presented. ru Інститут гідромеханіки НАН України Обратная геометрическая задача для упруго-жидкой слоистой среды An inverse geometric problem for elastic-fluid layered medium Article published earlier |
| spellingShingle | Обратная геометрическая задача для упруго-жидкой слоистой среды Ватульян, А.О. Углич, П.С. |
| title | Обратная геометрическая задача для упруго-жидкой слоистой среды |
| title_alt | An inverse geometric problem for elastic-fluid layered medium |
| title_full | Обратная геометрическая задача для упруго-жидкой слоистой среды |
| title_fullStr | Обратная геометрическая задача для упруго-жидкой слоистой среды |
| title_full_unstemmed | Обратная геометрическая задача для упруго-жидкой слоистой среды |
| title_short | Обратная геометрическая задача для упруго-жидкой слоистой среды |
| title_sort | обратная геометрическая задача для упруго-жидкой слоистой среды |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1026 |
| work_keys_str_mv | AT vatulʹânao obratnaâgeometričeskaâzadačadlâuprugožidkoisloistoisredy AT ugličps obratnaâgeometričeskaâzadačadlâuprugožidkoisloistoisredy AT vatulʹânao aninversegeometricproblemforelasticfluidlayeredmedium AT ugličps aninversegeometricproblemforelasticfluidlayeredmedium |