Критерий поиска особых точек R-функций
Рассмотрена проблема геометрического моделирования сложных объектов при помощи R-функций. Предложен критерий поиска особых точек геометрической структуры моделируемых R-функциями объектов. Розглянуто проблему геометричного моделювання складних об’єктів за допомогою R-функцій. Запропоновано критерій...
Saved in:
| Published in: | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103868 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Критерий поиска особых точек R-функций / С.В. Чопоров, С.И. Гоменюк // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 57-61. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-103868 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Чопоров, С.В. Гоменюк, С.И. 2016-06-25T20:29:28Z 2016-06-25T20:29:28Z 2011 Критерий поиска особых точек R-функций / С.В. Чопоров, С.И. Гоменюк // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 57-61. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103868 681.5.001.63: 519.711 Рассмотрена проблема геометрического моделирования сложных объектов при помощи R-функций. Предложен критерий поиска особых точек геометрической структуры моделируемых R-функциями объектов. Розглянуто проблему геометричного моделювання складних об’єктів за допомогою R-функцій. Запропоновано критерій пошуку особливих точок геометричної структури об’єктів, що моделюються R-функціями. A problem of geometrical modeling of complex solids on the basis of R-functions is described in the article. Authors propose the criterion for finding characteristic points of a geometric structure of objects, that simulated by R-functions. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Прикладная математика Критерий поиска особых точек R-функций The search criterion of singularity points of R-functions Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Критерий поиска особых точек R-функций |
| spellingShingle |
Критерий поиска особых точек R-функций Чопоров, С.В. Гоменюк, С.И. Прикладная математика |
| title_short |
Критерий поиска особых точек R-функций |
| title_full |
Критерий поиска особых точек R-функций |
| title_fullStr |
Критерий поиска особых точек R-функций |
| title_full_unstemmed |
Критерий поиска особых точек R-функций |
| title_sort |
критерий поиска особых точек r-функций |
| author |
Чопоров, С.В. Гоменюк, С.И. |
| author_facet |
Чопоров, С.В. Гоменюк, С.И. |
| topic |
Прикладная математика |
| topic_facet |
Прикладная математика |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы машиностроения |
| publisher |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
The search criterion of singularity points of R-functions |
| description |
Рассмотрена проблема геометрического моделирования сложных объектов при помощи R-функций. Предложен критерий поиска особых точек геометрической структуры моделируемых R-функциями объектов.
Розглянуто проблему геометричного моделювання складних об’єктів за допомогою R-функцій. Запропоновано критерій пошуку особливих точок геометричної структури об’єктів, що моделюються R-функціями.
A problem of geometrical modeling of complex solids on the basis of R-functions is described in the article. Authors propose the criterion for finding characteristic points of a geometric structure of objects, that simulated by R-functions.
|
| issn |
0131-2928 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103868 |
| citation_txt |
Критерий поиска особых точек R-функций / С.В. Чопоров, С.И. Гоменюк // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 57-61. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT čoporovsv kriteriipoiskaosobyhtočekrfunkcii AT gomenûksi kriteriipoiskaosobyhtočekrfunkcii AT čoporovsv thesearchcriterionofsingularitypointsofrfunctions AT gomenûksi thesearchcriterionofsingularitypointsofrfunctions |
| first_indexed |
2025-11-26T20:16:50Z |
| last_indexed |
2025-11-26T20:16:50Z |
| _version_ |
1850772977750114304 |
| fulltext |
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 1 57
УДК 681.5.001.63: 519.711
С. В. Чопоров
С. И. Гоменюк, д-р техн. наук
Запорожский национальный университет
(E-mail: choporov@list.ru; serega@znu.edu.ua)
КРИТЕРИЙ ПОИСКА ОСОБЫХ ТОЧЕК R-ФУНКЦИЙ
Рассмотрена проблема геометрического моделирования сложных объектов при помощи
R-функций. Предложен критерий поиска особых точек геометрической структуры мо-
делируемых R-функциями объектов.
Розглянуто проблему геометричного моделювання складних об’єктів за допомогою R-
функцій. Запропоновано критерій пошуку особливих точок геометричної структури
об’єктів, що моделюються R-функціями.
Введение
В настоящее время в научных и промышленных исследованиях одно из ведущих
мест занимают исследования, проводимые при помощи компьютера. Сложность и экономи-
ческая дороговизна получения физических моделей делают более выгодным использование
компьютерных моделей.
В современной технике одним из наиболее сложных является этап анализа функцио-
нальных характеристик, механических свойств, прочности и долговечности проектируемых
и уже существующих конструкций, сооружений, машин и механизмов. Для проведения это-
го этапа необходимо построение различных сложных математических моделей, в состав-
ляющие части которых, как правило, входят сложные геометрические модели исследуемых
объектов.
Среди существующих на сегодня автоматизированных систем геометрического мо-
делирования и САПР наиболее распространены три подхода к решению проблемы автома-
тизации построения геометрических моделей сложных тел с использованием инженерных
чертежей; библиотек базовых геометрических элементов; формальных языков.
Одним из исторически первых подходов к геометрическому моделированию необхо-
димого тела являются инженерные чертежи, основанные на идее представления объекта на-
бором плоских проекций. Данный подход получил широкое распространение в инженерном
деле как средство коммуникации между инженерами и развит в таких САПР-системах, как
AutoCAD [1] и КОМПАС [2]. Однако следует отметить, что в общем случае для произволь-
ного сложного трехмерного объекта трудно определить количество плоских проекций, не-
обходимое для полного и адекватного описания его геометрии.
Одним из наиболее распространенных подходов является подход, основанный на
идее описания геометрической модели как комбинации базовых геометрических примити-
вов, сконструированной на основе геометрических и логических операций. Данный подход
применяется в таких известных автоматизированных системах, как ANSYS [3], COSAR [4],
COSMOS [5], ЛИРА [6] и других. Такой подход к геометрическому моделированию доста-
точно эффективный и наглядный для пользователя, однако с его помощью трудно строить
геометрические модели объектов с особенностями нестандартной формы.
Другим распространенным подходом к построению геометрической модели является
использование формальных языков (например, BDRY [7], CSG [8] и др.) для параметриче-
ского описания топологии объектов сложной формы. В основу таких языков положена воз-
можность описать набор геометрических примитивов (например, линия, сплайн, шар и т. д.)
и эйлеровых операций над ними. Преимущество данного подхода над описанным выше –
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 1 58
большая гибкость при моделировании объек-
тов нестандартной формы, противовесом ко-
торой выступает большая сложность и трудо-
емкость процесса моделирования.
Одним из наиболее универсальных
подходов к решению проблемы геометриче-
ского моделирования является использование
формального математического аппарата для
функционального описания геометрической
структуры плоских и пространственных об-
ластей. Для применения такого подхода к гео-
метрическому моделированию областей
сложной формы необходимо решение ряда
возникающих в этом случае задач. Одной из
наиболее актуальных здесь является проблема
отыскания характерных точек конструкции
(концентраторы механических напряжений,
геометрические особенности конструкции).
Метод R-функций для функционального описания геометрических моделей
Пусть Ω – сплошное тело, геометрическую модель которого необходимо получить.
Наиболее общим методом определения множества точек X, образующих объект Ω, является
определение предиката A, который может быть вычислен для каждой точки p пространства
[13]
X = {p | A(p) = true}.
Таким образом, X определено неявно и состоит из всех точек, удовлетворяющих ус-
ловию, определенному предикатом A. Простейшей формой предиката является ограничение
на знак некоторой действительной функции f(p). Например, если f(x, y, z) =
= Ax + By + Cz + D, тогда f(x, y, z) = 0, f(x, y, z) ≥ 0 и f(x, y, z) < 0 определят соответственно
плоскость, закрытое полупространство и открытое полупространство. Например, функция
f1(x, y) = 4 – y ≥ 0 определит полуплоскость, расположенную ниже прямой y = 4, а функция
f2(x, y) = y – x2 ≥ 0 – внутреннюю часть параболы (рис. 1).
Более сложные функции могут быть использованы для определения объектов нетри-
виальной формы. Развитием данного подхода является построение таких функций конструк-
тивно, используя логические комбинации более простых функций, которые эквивалентны
стандартным операциям над множествами. Общий подход, реализующий возможность кон-
структивного построения сложных функций, разработан в работах В. Л. Рвачева [9–12], ко-
торый получил название теории R-функций и в котором предложены непрерывные в Cm
функции для описания теоретико-множественных операций.
Функции В. Л. Рвачева являются логически изменяемыми действительными функ-
циями, знак которых полностью определяется знаками их аргументов. Наиболее часто при-
меняемая на практике система R-функций имеет вид [11, 12]
,
,
,
,const
2
2
2
12121
2
2
2
12121
x+x+x+x=xx
x+xx+x=xx
x=x
=C
∨
−∧
−
где x, x1 и x2 – некоторые действительные функции (элементарные или R-функции) n пере-
менных (в общем случае для n-мерного евклидова пространства En), которые больше нуля
внутри необходимой исследователю части пространства, меньше нуля вне нее и равны нулю
на границе. Операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции – это обобщение логических
Рис. 1. Область, определенная пересечением
функций f1(x, y) = 4 – y ≥ 0 и f2(x, y) = y – x2 ≥ 0
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 1 59
операций на случай действительных функций. Таким образом, результирующая R-функция
– это действительная функция n переменных, которая является результатом логических опе-
раций над элементарными функциями (аргументами R-функции) и которая больше нуля
внутри необходимой исследователю части пространства, меньше нуля вне нее и равна нулю
на границе.
Например, область, заштрихованная на рис. 1, может быть определена конъюнкцией
функций f1 и f2
( ) ( )2222
211 44),(),(),( xy+yx=yxfyxf=yxw −−−−∧ . (1)
Под особой точкой R-функции (или «углом» R-функции) будем понимать точки пе-
ресечения границ областей, определенных операндами R-функций. Их определение с напе-
ред заданной точностью особенно важно, когда в некоторой окрестности таких точек обра-
зуются геометрически острые углы (например, пересечение границ областей функций f1 и f2
на рис. 1). Определение таких точек представляет особенный интерес для механики дефор-
мированного твердого тела, поскольку в таких точках возникают большие значения напря-
жения. Анализ конструкции методом конечных элементов при потере таких «углов» теряет
свое вычислительное качество.
Критерий поиска особых точек простых R-функций
Пусть ρ(X) – простая R-функция – результат R-операции над элементарными функ-
циями ϕ(X) и ψ(X), где X – точка пространства En. Если точка X0 – особая точка функции
ρ(X), тогда из определения следует, что в этой точке одновременно обращаются в ноль
функции ρ(X), ϕ(X) и ψ(X). Следовательно, справедливо следующее утверждение.
Утверждение 1. Для того чтобы точка X0 была особой точкой функции ρ(X), необхо-
димо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
κ(℘, ψ) = ϕ2(X0) + ψ2(X0) = 0. (2)
Необходимость данного утверждения следует непосредственно из определения осо-
бой точки. Если X0 – особая точка, тогда ϕ(X0) = 0 и ψ(X0) = 0, следовательно, выполняется
равенство (2).
Пусть ϕ2(X0) + ψ2(X0) = 0. Очевидно, что функция κ(℘, ψ) = ϕ2 + ψ2 всюду неотрица-
тельная и обладает единственным корнем – точкой (0, 0), т. е. точкой, в которой одновре-
менно обращаются ее аргументы. Следовательно, ϕ(X0) = 0 и ψ(X0) = 0, X0 – особая точка
функции ρ(X).
Таким образом, необходимость и достаточность данного утверждения доказаны.
Например, для функции w1, определенной формулой (1), критерий особой точки бу-
дет иметь вид
κ1(x, y) = (4 – y)2 + (y – x2)2.
Очевидно, что действительными корнями функции κ1(x, y) являются точки (–2, 4) и
(2, 4).
Критерий поиска особых точек сложных R-функций
В общем случае, при геометрическом моделировании объектов сложной формы ре-
зультирующая функция строится конструктивно, используя элементарные функции и по-
строенные на ранних этапах R-функции. При таком подходе особые точки могут образовы-
вать любые R-функции, входящие в композицию. Для поиска всех особых точек необходимо
построить функции вида (2) (функции особой точки) для каждой R-операции (конъюнкция
или дизъюнкция), входящей в композицию; произвести поиск корней построенных функций
особой точки и оставить те, в которых обращается в ноль искомая сложная функция. Однако
такой подход требует большого числа поиска корней (минимума), следовательно, разумно
ввести единую функцию особой точки сложной R-функции.
Пусть в сложную R-функцию входит i R-операций (конъюнкции или дизъюнкции) и
κi – функция особой точки i-й R-операции. Тогда функция
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 1 60
∏κ
i
i X=XK )()( (3)
будет всюду неотрицательной функцией как про-
изведение всюду неотрицательных функций и бу-
дет обращаться в нуль, когда обращается в нуль
одна из функций κi (и при этом достигать своего
минимума).
Записанные выше свойства функции (3) по-
зволяют сделать вывод, что обращение в нуль
функции Κ(X) является необходимым условием
наличия особой точки в точке X0, и достаточным
условием, если при этом обращается в нуль иско-
мая сложная R-функция (т. к. особая точка R-
операции над элементарными функциями может
оказаться вне моделируемой области в результате
последующих R-операций). Таким образом, если
R(X) – сложная R-функция, то справедливо следующее утверждение.
Утверждение 2. Для того чтобы точка X0 была особой точкой сложной R-функции
R(X), необходимо и достаточно выполнение условия
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ =κ∏
0.)(
0,)()(
0
00
=XR
X=XK
i
i
Например, область, изображенную на рис. 2, можно описать при помощи следующей
формулы:
w2(x, y) = (4 – y) ∧ (y + 3) ∧ (7 – x) ∧ (x + 4 – y) ∧ (y + x + 3). (4)
Соответствующую функции w2, определенной формулой (4), функцию критерия осо-
бой точки можно представить формулой
K2(x, y) = [(4 – y)2 + (y + 3)2] × [((4 – y) ∧ (y + 3))2 + (7 – x)2] ×
[((4 – y) ∧ (y + 3) ∧ (7 – x))2 + (x + 4 – y)2] ×
[((4 – y) ∧ (y + 3) ∧ (7 – x) ∧ (x + 4 – y))2 + (y + x + 3)2].
Функция обращается в нуль (достигает минимума) в точках (–3,5; 0,5), (0; 4), (7; 4),
(7; –3), (0; –3).
Рассмотрим параллелепипед
размером a×b×c. Его можно предста-
вить уравнением вида
w3(x, y, z) =
= (a2 – x2) ∧ (b2 – y2) ∧ (c2 – z2).
Соответствующую ему функ-
цию особой точки можно записать
как
K2(x, y) =
=[(a2 – x2)2 + (b2 – y2)2] × (5)
× [((a2 – x2) ∧ (b2 – y2))2 + (c2 – z2)2].
Корни уравнения (5) образу-
ют четыре прямые и восемь отрезков
(рис. 3). Однако применение доста-
точного условия позволяет сделать
вывод, что особыми точками будут
Рис. 2. Область, описанная формулой (4)
Рис. 3. Корни уравнения (5)
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 1 61
все точки ребер параллелепипеда.
Выводы
Таким образом, в статье предложены необходимые и достаточные условия поиска
особых точек простых и сложных R-функций. Особенностью предложенных функций явля-
ется то, что особые точки R-функций одновременно являются корнями и точками минимума
предложенных функций.
Литература
1. Савельев Л. А. AutoCAD 2009 с нуля / Л. А. Савельев, О. В. Бранин, С. А. Сорокин и др. – М.: Луч-
шие книги, 2009. – 272 с.
2. Каширский В. КОМПАС-3D V10: универсальность, эффективность, надежность / В. Каширский //
САПР и графика. – 2008. – № 3. – С. 38-40.
3. Басов К. А. ANSYS и LMS Virtual Lab. Геометрическое моделирование / К. А. Басов. – М.: ДМК
Пресс. – 2006. – 240 c.
4. Данкерт Дж. Вычислительная система «COSAR» для исследования трехмерной проблемы проч-
ности методом конечных элементов / Дж. Данкерт, У. Габберт // Сопротивление материалов и тео-
рия сооружений. – 1978. – № 33. – С. 3–9.
5. Абашев О. Комплексный инженерный анализ с использованием семейства программных продук-
тов COSMOS / О. Абашев // САПР и графика. – 2005. – № 4. – С. 86–93.
6. Боговис В. Е. ЛИРА 9.4. Примеры расчета и проектирования. Учебн. пособие / В. Е. Боговис,
Ю. В. Гензерский, Ю. Д. Гераймович и др. – Киев: Факт, 2008. – 280 с.
7. GRUMMP – Generation and Refinement of Unstructured, Mixed-Element Meshes in Parallel. [Элек-
тронный ресурс] : – http://tetra.mech.ubc.ca/GRUMMP.
8. Shewchuk J. Delaunay Refinement Algorithms for Triangular Mesh Generation / J. Shewchuk // Compu-
tational Geometry: Theory and Appl. – 2002. – № 22 (1–3). – P. 21–74.
9. Кравченко В. Ф. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях /
В. Ф. Кравченко, В. Л. Рвачев. – М.: Физматлит, 2006. – 416 с.
10. Рвачев В. Л. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах / В. Л. Рвачев,
А. П. Слесаренко. – Киев: Наук. думка, 1976. – 287 с.
11. Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения / В. Л. Рвачев. – Киев: Наук. думка,
1982. – 552 с.
12. Рвачев В. Л. Введение в теорию R-функций / В. Л. Рвачев, Т. И. Шейко // Пробл. машиностроения.
– 2001. – Т. 4, № 1–2. – С. 46–58.
13. Farin G. Handbook of computer-aided geometric design / G. Farin, J. Hoschek, M.-S. Kim. – Amster-
dam: Elsevier Science B. V., 2002. — 799 p.
Поступила в редакцию
14.10.10
УДК 681.3
Ш. А. Назиров, д-р физ.-мат. наук
Ф. М. Нуралиев, канд. физ.-мат. наук
Институт математики и информационных технологий
АН Республики Узбекистан
(Узбекистан, г. Ташкент, E-mail: shnazirov@mail.ru)
АЛГОРИТМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАГНИТОУПРУГОСТИ
ТОНКИХ ТЕЛ МЕТОДОМ R-ФУНКЦИЙ
Приводятся гипотезы магнитоупругости тонких оболочек (пластин), на основе кото-
рых выводятся математические модели движения пластин и оболочек в магнитном по-
ле, представленные системой дифференциальных уравнений в частных производных с
соответствующими начально-краевыми условиями. Задачи решаются при совместном
применении вариационных методов и структурного метода R-функций. Для проведения
|