Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия

Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия

Определяется переходной процесс в колебательной системе при действии периодического удара в виде Фурье-сингуларисного ряда. Фурье-сингуларисное воздействие отображает последовательность периодических несинусоидальных импульсных нагрузок, обуславливающих особенности переходных процессов в системе. Ви...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Проблемы машиностроения
Дата:2011
Автор: Божко, А.Е.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2011
Теми:
Динамика и прочность машин
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103874
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия / А.Е. Божко // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 22-25. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-103874
record_format dspace
spelling Божко, А.Е.
2016-06-26T15:03:08Z
2016-06-26T15:03:08Z
2011
Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия / А.Е. Божко // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 22-25. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
0131-2928
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103874
531.01(0752)
Определяется переходной процесс в колебательной системе при действии периодического удара в виде Фурье-сингуларисного ряда. Фурье-сингуларисное воздействие отображает последовательность периодических несинусоидальных импульсных нагрузок, обуславливающих особенности переходных процессов в системе.
Визначається перехідний процес у коливальній системі при дії періодичного удару у вигляді Фур'є-сингуларисного ряду. Фур'є-сингуларисний вплив відображає послідовність періодичних несинусоїдальних імпульсних навантажень, що обумовлюють особливості перехідних процесів у системі.
The transitional process in oscillating system from Furie-singularisnal force is defined. Furiesingularisnal effect displays a sequence of periodic nonsinusoidal pulse loads, causing the transition process in the system.
ru
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
Проблемы машиностроения
Динамика и прочность машин
Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия
On oscillating in oscillating system furie-singularisnal force
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия
spellingShingle Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия
Божко, А.Е.
Динамика и прочность машин
title_short Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия
title_full Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия
title_fullStr Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия
title_full_unstemmed Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия
title_sort осцилляции в колебательной системе от фурье-сингуларисного воздействия
author Божко, А.Е.
author_facet Божко, А.Е.
topic Динамика и прочность машин
topic_facet Динамика и прочность машин
publishDate 2011
language Russian
container_title Проблемы машиностроения
publisher Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
format Article
title_alt On oscillating in oscillating system furie-singularisnal force
description Определяется переходной процесс в колебательной системе при действии периодического удара в виде Фурье-сингуларисного ряда. Фурье-сингуларисное воздействие отображает последовательность периодических несинусоидальных импульсных нагрузок, обуславливающих особенности переходных процессов в системе. Визначається перехідний процес у коливальній системі при дії періодичного удару у вигляді Фур'є-сингуларисного ряду. Фур'є-сингуларисний вплив відображає послідовність періодичних несинусоїдальних імпульсних навантажень, що обумовлюють особливості перехідних процесів у системі. The transitional process in oscillating system from Furie-singularisnal force is defined. Furiesingularisnal effect displays a sequence of periodic nonsinusoidal pulse loads, causing the transition process in the system.
issn 0131-2928
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103874
citation_txt Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия / А.Е. Божко // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 22-25. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT božkoae oscillâciivkolebatelʹnoisistemeotfurʹesingularisnogovozdeistviâ
AT božkoae onoscillatinginoscillatingsystemfuriesingularisnalforce
first_indexed 2025-11-25T22:42:43Z
last_indexed 2025-11-25T22:42:43Z
_version_ 1850569767652425728
fulltext ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 22 УДК 531.01(0752) А. Е. Божко, член-кор. НАН Украины Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины (г. Харьков, E-mail: bozhko@ipmach.kharkov.ua) ОСЦИЛЛЯЦИИ В КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТ ФУРЬЕ-СИНГУЛАРИСНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ Определяется переходной процесс в колебательной системе при действии периодиче- ского удара в виде Фурье-сингуларисного ряда. Фурье-сингуларисное воздействие ото- бражает последовательность периодических несинусоидальных импульсных нагрузок, обуславливающих особенности переходных процессов в системе. Визначається перехідний процес у коливальній системі при дії періодичного удару у ви- гляді Фур'є-сингуларисного ряду. Фур'є-сингуларисний вплив відображає послідовність періодичних несинусоїдальних імпульсних навантажень, що обумовлюють особливості перехідних процесів у системі. Введение В транспортных средствах от действия периодических полусинусоидальных ударов в узлах возникают механические колебания (вибрации), по-другому – осцилляции, способ- ствующие разрушению этих узлов и машин в целом. С целью виброзащиты от таких колеба- ний применяются пружины, демпферы различных типов. В совокупности масса узла, пру- жины и демпферы представляют собой колебательную систему (КС). Для определения па- раметров пружин, демпферов при соответствующей массе и при известных вибровоздейст- виях необходимо осуществлять расчет как переходных, так и установившихся осцилляций КС, для чего нужна разработанная теория этих колебаний. Основная часть В данной статье рассмотрим КС с одной степенью свободы, механическая схема ко- торой изображена на рис. 1, где m – масса; х – перемещение массы; Пр, D – пружина и демпфер соответственно; F – внешнее воздействие. Отмеченный ранее полусинусоидальный удар (F) изображен на рис. 2, где Fa – амплитуда; t – время; Т – период следования импуль- сов. Известно, например, из [1], что сигналы, изображенные на рис. 2, могут быть пред- ставлены разложением в ряд Фурье вида ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −ω ⋅ +ω ⋅ −ω ⋅ +ω π + π = ...6cos 75 14cos 53 12cos 31 1cos 42 12)( ttttFtF a . (1) Как видно из выражения (1), в данном разложении присутствует постоянная состав- ляющая Fa/π. При действии на КС удара в виде (1) в момент t = 0 0... 75 1 53 1 31 1 42 12)0( FFtF a =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + π + π == , то есть появляется дополнительная постоянная составляю- щая ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + π + π ... 75 1 53 1 31 1 42 12 aF , которая примерно равна aF π 24,2 . Обшая постоянная составляющая периодиче- ского полукосинусоидального удара при t = 0 равна x m Пр D F O Рис. 1. Механическая схема КС с одной степенью свободы ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 23 0 24,3 FFF aa =≈ π . Эта F0, с точки зрения воздействия на КС является скачкообразной функцией F01(t), где ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = 0 при 0 0 tпри 1 )(1 t t . Известно [2, 3], что скачкообразную функцию 1(t), а значит, и F01(t) можно представить в виде сингуларисно- го разложения ( ) ∑ ∞ = α−α− ω+−= 1 00 cos1)(1 m kak tt tUFeeFtF , (2) где α – коэффициент затухания; ,12 , , ,1 1 1 1 ≈= ω ω = π = n k UUkU a ak k a ,1 n 1k ∑ = =akU ωk – круго- вая частота k-й гармоники; Uak – амплитуда k-й гармоники. Свойства сингуларисного разложения описаны в работе [3]. Используя в (1) выраже- ние (2), получим разложение F(t), названное по моему предложению Фурье-сингуларисным, в виде ( ) ....6cos 75 14cos 53 12cos 31 1cos 4 2 cos1)( 1 00 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −ω ⋅ +ω ⋅ −ω ⋅ +ω π π + +ω+−= ∑ ∞ = α−α− ttttF tUeFeFtF a m kak tt (3) Именно выражение (3) описывает периодический полусинусоидальный удар, изо- браженный на рис. 2. Для определения реакции КС на удар в виде (3) запишем следующее дифференциальное уравнение движения КС: )(2 2 1 tFсx dt dxb dt xdm =++ , (4) где b, c – коэффициенты диссипации и жесткости соответственно. Удар в виде (3) создает свободные и вынужденные осцилляции в КС. Определение осцилляции в КС при действии данного удара будем осуществлять операционным методом, используя изображения Карсона [4]. В изображениях Карсона уравнение (4) с учетом (3) имеет вид ( ) ( ) ( ) , 36 75 1 16 53 1 4 31 1 4 2 )( 22 2 22 2 22 2 22 2 1 2200 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω+⋅ + ω+⋅ − ω+⋅ + ω+ π π + + ω+α+ α+ + α+ α =++ ∑ = p p p p p p p pF p ppF p Fcbpmppx a n k k (5) где х(р) – изображение Карсона оригинала x(t), dt dp = – оператор. Из (5) ( ) ( ) .... 36 75 1 16 53 1 4 31 1 4 2 1 )( 22 2 22 2 22 2 22 2 1 2200 1 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ω+⋅ + ω+⋅ − ω+⋅ + ω+ π π + + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ω+α+ α+ + α+ α ++ = ∑ = p p p p p p p pF p ppF p F cbpmp px a n k k (6) 2 T 0 Fa t T F Рис. 2. Полусинусоидальный удар ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 24 Оригинал x(t), соответствующий выражению (6), находим по таблицам, представ- ленным в работе [4]. Но вначале применим метод простых дробей [4], в результате которого выражение (6) представим в виде ( ) . 431 2 2 )( 22 33 2 33 22 22 2 22 22 11 2 11 1 0 2 1110 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω+ + + ++ + π⋅ + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω+ + + ++ + + ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ω+α+ + + ++ + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ + + α+ ≈ ∑ = p DpC m c m bpp BpA m F p DpC m c m bpp BpA m F p DPC m c m bpp BAUF m c m bpp DpB p A m Fpx aa k kkkk n k ak (7) На основе сравнения (6) и (7) получаем систему уравнений ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++++ω++ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++++ω++ α+=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++++ω+α++ α=α+++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ . 4 , , , 22 33 22 33 22 22 22 22 22 11 22 11 11 2 1 p m c m bppDpCpBpA p m c m bppDpCpBpA pp m c m bppDPCpBA pDpB m c m bppA kkkkk (8) Из уравнений (8) можно получить значения коэффициентов A1, B1, D1, A1k, B1k, C1k, D1k, A2, A3, B2, B3, C2, C3, D2, D3, приравнивая левые части уравнений при операторе «р» пра- вым частям при этих же операторах с соответствующими показателями степени. Для того чтобы не загромождать материал статьи элементарными преобразованиями в виде подстановок в (8) при определении указанных коэффициентов, предоставим читате- лю самостоятельно определить эти коэффициенты. Заметим, что на общий вид выражения осцилляций в КС величины этих коэффициентов не оказывают влияния. Потому представим выражения осцилляций, используя эти коэффициенты в своих обозначениях. По таблицам из работы [5] изображению (7) соответствует следующий оригинал: ( ) ( ) ( ),2cos1 4 31 22sin 4 31 2 sin 2 cos1 31 2sin 31 2 cos1 2 sin 2 sin 2 cos1 2 sin 2 sincos1 sin sin 2 cos1sin sin 2 cos1sin11 )( 33 0 0 0 2 30 2 0 3 2 22 0 0 0 2 20 2 0 2 22 1 1 0 0 0 2 1 0 2 1 0 10 0 0 0 2 1 0 0 2 0 1 010 tD m FtC m F t m bteB c FteA m F tD m FtC m Ft m bte B c FteA m FtteD teCt m bte c BteA m F t m bteD c FteB m FeA m Ftx aa t m b a t m b a aa t m b a t m b a k k k t k k k t k k t m b k t m bn k k t m bt m b t ω− ωπ⋅ +ω ωπ⋅ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω +ω− π⋅ +ω ωπ⋅ + +ω− ω +ω ω + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω +ω−× ×+ω ω + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω α +ω− ω+α + +ω ω + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω +ω−+ω ⎩ ⎨ ⎧ ω + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω +ω−+ω ω +− α = −− − −α− α−−− = −−α− ∑ (9) ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 25 где 22 0 2 , 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛>⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−=ω m b m c m b m c . Выражение (9) в упрощенном виде следующее: ( ) ( ) ,2cos 431 22sin 431 2cos 2 sin 2 cossincossin)( 3 3 2 22 1 00 0 0000 2 00 tD m Ft m CFt m DFt m CF tbtaU m FetBtAeexxtx aaaa n k kkkkak tt m b t ω ωπ⋅⋅ +ω ωπ⋅⋅ +ω ω −ω ω + +ω−ω+ω−ω+−= ∑ = α−−α− (10) где + π⋅ + ω ++ ω+α +++ α = ∑∑ == c BFD m F c BFDU m FUB c F c DFA m Fx aaa n k k k ak n k akk 31 2 22 3 22 2 1 22 10 1 1 01010 0 ωπ⋅⋅ + m DFa 431 2 3 , α = m AFx a 1 01 , ∑ ∑ = = + ω −− ω + ω − ω = n k n k kakkak aa BU cm bFAU m F cm bDFB m FA 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 22 0 3 0 3 2 0 2 0 3131 2 4 4 2 ωπ⋅⋅ − ωπ⋅⋅ + ω − ω + cm bBF m AFB cm bFA c F aaaa , ∑ = π⋅ ++−= n k aa kak a c BFB c FBU c FD c FB 1 3 21 0 10 31 2 2 , ( ) kk kk k D k ca ω α ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ω+α − ω = 22 11 0 , 22 1 0 k k k Db ω+α = . Как видно из (10), перемещение x(t) представляет собой сложное колебание, состоя- щее из постоянного смещения х0, затухающей экспоненты x01e–αt, затухающих колебаний с собственной частотой ω0 и коэффициентом затухания m b 2 =γ , затухающих полигармониче- ских колебаний с частотами ωk и коэффициентом затухания α и установившихся колебаний с частотами ω, 2ω. Еще раз отметим, что гармоники с частотами 4ω, 6ω и т.д. здесь не учиты- ваются из-за очень малых их амплитуд. Заметим, что при α = ∞ x01e–αt = 0 и ( ) 0cossin 0 1 0 0 =ω−ω∑ = α− tbtaU m Fe kk n k kkak t . В этом случае переходной процесс определяется коэффициентом затухания m b 2 =γ . Вывод Наличие в колебании нескольких гармоник обуславливает в выборе параметров КС, таких, чтобы на этих частотах не было резонансов. Литература 1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники / Л. А. Бессонов. – М.: Высш. шк., 1978. – 528 с. 2. Божко А. Е. Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в элек- троцепях / А. Е. Божко // Доп. НАН України. − 2007. – № 6. – С. 81–87. 3. Божко А. Е. О сингуларисном разложении скачкообразной функции / А. Е. Божко // Доп. НАН України. − 2008. – № 2. – С. 42–47. 4. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях / С. Г. Гинзбург. − М.: Сов. радио, 1959. – 404 с. Поступила в редакцию 05.01.11

Схожі ресурси