Нестационарные колебания прямоугольной пластины с пьезоактивным слоем при механическом нагружении
Исследуются нестационарные колебания тонкой прямоугольной пластины типа металл-пьезокерамика при механическом нагружении. С использованием метода суперпозиции и интегрального преобразования Лапласа по времени начально-краевая задача сведена к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра. Пре...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2011
|
| Series: | Проблемы машиностроения |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103875 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нестационарные колебания прямоугольной пластины с пьезоактивным слоем при механическом нагружении / И.В. Янчевский // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 26-32. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-103875 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1038752025-02-05T20:29:03Z Нестационарные колебания прямоугольной пластины с пьезоактивным слоем при механическом нагружении Non-stationary vibrations of rectangular plate with piezoactive layer under mechanical load Янчевский, И.В. Динамика и прочность машин Исследуются нестационарные колебания тонкой прямоугольной пластины типа металл-пьезокерамика при механическом нагружении. С использованием метода суперпозиции и интегрального преобразования Лапласа по времени начально-краевая задача сведена к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра. Представлена также методика решения задачи идентификации механической нагрузки как функции времени по значениям разности потенциалов между сплошными электродами пьезоэлемента. Досліджуються нестаціонарні коливання тонкої прямокутної пластини типу метал-п’єзокераміка при механічному навантаженні. З використанням методу суперпозиції та інтегрального перетворення Лапласа за часом початково-крайова задача зведена до нескінченної системи інтегральних рівнянь Вольтерра. Наведено також методика розв’язання задачі ідентифікації механічного навантаження як функції часу за значеннями різниці потенціалів між суцільними електродами п’єзоелемента. Non-stationary vibrations of an rectangular metal-piezoceramics plate under mechanical load are investigated. By using the method of superposition and Laplace integral transform in time the problem is reduced to infinite system of Volterra integral equations. The problem of mechanical load as a function of time identification by values of potential difference between continuous electrodes of a piezoelement is also considered. 2011 Article Нестационарные колебания прямоугольной пластины с пьезоактивным слоем при механическом нагружении / И.В. Янчевский // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 26-32. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103875 534.1 : 539.3 ru Проблемы машиностроения application/pdf Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин |
| spellingShingle |
Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин Янчевский, И.В. Нестационарные колебания прямоугольной пластины с пьезоактивным слоем при механическом нагружении Проблемы машиностроения |
| description |
Исследуются нестационарные колебания тонкой прямоугольной пластины типа металл-пьезокерамика при механическом нагружении. С использованием метода суперпозиции и интегрального преобразования Лапласа по времени начально-краевая задача сведена к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра. Представлена также методика решения задачи идентификации механической нагрузки как функции времени по значениям разности потенциалов между сплошными электродами пьезоэлемента. |
| format |
Article |
| author |
Янчевский, И.В. |
| author_facet |
Янчевский, И.В. |
| author_sort |
Янчевский, И.В. |
| title |
Нестационарные колебания прямоугольной пластины с пьезоактивным слоем при механическом нагружении |
| title_short |
Нестационарные колебания прямоугольной пластины с пьезоактивным слоем при механическом нагружении |
| title_full |
Нестационарные колебания прямоугольной пластины с пьезоактивным слоем при механическом нагружении |
| title_fullStr |
Нестационарные колебания прямоугольной пластины с пьезоактивным слоем при механическом нагружении |
| title_full_unstemmed |
Нестационарные колебания прямоугольной пластины с пьезоактивным слоем при механическом нагружении |
| title_sort |
нестационарные колебания прямоугольной пластины с пьезоактивным слоем при механическом нагружении |
| publisher |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Динамика и прочность машин |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103875 |
| citation_txt |
Нестационарные колебания прямоугольной пластины с пьезоактивным слоем при механическом нагружении / И.В. Янчевский // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 26-32. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Проблемы машиностроения |
| work_keys_str_mv |
AT ânčevskijiv nestacionarnyekolebaniâprâmougolʹnojplastinyspʹezoaktivnymsloemprimehaničeskomnagruženii AT ânčevskijiv nonstationaryvibrationsofrectangularplatewithpiezoactivelayerundermechanicalload |
| first_indexed |
2025-11-25T06:25:18Z |
| last_indexed |
2025-11-25T06:25:18Z |
| _version_ |
1849742516554825728 |
| fulltext |
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 26
УДК 534.1 : 539.3
И. В. Янчевский, канд. техн. наук
Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет
(г. Харьков, E–mail: yanchevsky@khadi.kharkov.ua)
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
ПЛАСТИНЫ С ПЬЕЗОАКТИВНЫМ СЛОЕМ
ПРИ МЕХАНИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
Исследуются нестационарные колебания тонкой прямоугольной пластины типа ме-
талл-пьезокерамика при механическом нагружении. С использованием метода суперпо-
зиции и интегрального преобразования Лапласа по времени начально-краевая задача
сведена к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра. Представлена
также методика решения задачи идентификации механической нагрузки как функции
времени по значениям разности потенциалов между сплошными электродами пьезоэле-
мента.
Досліджуються нестаціонарні коливання тонкої прямокутної пластини типу метал-
п’єзокераміка при механічному навантаженні. З використанням методу суперпозиції та
інтегрального перетворення Лапласа за часом початково-крайова задача зведена до не-
скінченної системи інтегральних рівнянь Вольтерра. Наведено також методика
розв’язання задачі ідентифікації механічного навантаження як функції часу за значен-
нями різниці потенціалів між суцільними електродами п’єзоелемента.
Введение
Асимметричные биморфные (металл-пьезокерамика) электромеханические преобра-
зователи энергии относятся к весьма распространенным элементам конструкций в совре-
менной технике. Особенно эффективно их применение в качестве первичной преобразова-
тельной составляющей в ответственной и высокочувствительной измерительной аппаратуре,
в частности как датчики быстропеременного давления (электроупругий слой преобразовате-
ля при этом находится в режиме прямого пьезоэффекта). Поэтому актуальными являются
исследования механических и электрических характеристик в биморфных преобразователях
при ударном их нагружении.
Статический режим работы электроупругих преобразователей рассмотрен в публи-
кациях [1–3]. В статьях [4, 5] построены решения задач для пластин, составленных из пьезо-
пассивных (без пьезоэффекта) и пьезоактивных слоев, в случае периодических во времени
процессов. Установившиеся электроупругие колебания многослойной прямоугольной пьезо-
электрической пластины изучены в [6]. Исследованиям нестационарных колебаний много-
слойных пластинчатых и цилиндрических пьезопреобразователей при их механическом воз-
буждении посвящены статьи [7, 8].
В настоящей работе исследуется возбуждение изгибных колебаний прямоугольной в
плане тонкостенной биморфной пластины при ударном нагружении (прямая задача). Также
рассмотрена задача восстановления внешней нестационарной нагрузки как функции време-
ни на основании данных регистрации разности потенциалов между сплошными электроди-
рованными покрытиями пьезопреобразователя (обратная задача). Частные примеры неста-
ционарных обратных задач и их решения для асимметричных балочных электроупругих
преобразователей представлены в [9, 10]. Следует отметить монографию [11], в которой из-
ложены методы решения задач идентификации импульсных нагрузок в случае упругих и
вязкоупругих элементов конструкций.
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 27
1. Постановка прямой задачи
В декартовой системе координат Oxyz рассматривается биморфная пластина металл-
пьезокерамика, слои которой жестко соединены между собой и имеют постоянные толщины
hm и hp. Ось z ортогональна плоскости контакта слоев и проходит через геометрический
центр пластины, а горизонтальная координатная плоскость Oxy отстоит от границы контакта
на расстоянии ( ) ( )m
m
p
p
m
mp hchchchcz 1111
2
11
2
p110 2 +−= , где ( )2
1111 11 j
jj sc ν−= (j = m, p); js11 , νj – уп-
ругие податливости ( Ep ss 1111 = ; Esm 111 = , E – модуль Юнга металлической подложки) и коэф-
фициенты Пуассона материалов ( EE
p ss 1112−=ν ). Отметим, что значение z0 записано в допу-
щении приближенного равенства коэффициентов νp ≈ νm [4]. Пластина шарнирно закреплена
по контуру и занимает в плане прямоугольную область [2L×2B].
Пьезокерамической слой, материал которого принадлежит гексагональной системе
класса 6mm, предварительно поляризован вдоль толщиной координаты z и имеет бесконеч-
но тонкие сплошные электродные покрытия. При этом потенциал на внутреннем электроде
равен нулю ( 0
0
=ϕ
=zz ).
Колебания пластины возбуждаются импульсной механической нагрузкой p(t), нор-
мальной к плоской поверхности упругого слоя. Предполагается, что область распределения
нагрузки [2l×2b] симметрична относительно координатных осей Ox и Oy и является извест-
ной.
Вследствие изгибных колебаний пластины между разомкнутыми электродами пьезо-
элемента генерируется разность потенциалов V(t) ( Vhzz =ϕ
−= p0
).
В этой постановке давление p(t), физические и геометрические параметры материа-
лов двухслойного пакета известны, а функция V(t) и деформированное состояние пластины
подлежат определению.
Начальные условия – нулевые: до момента приложения нагрузки (t = 0) преобразова-
тель находится в состоянии покоя.
2. Система уравнений
Динамические процессы в рассматриваемом преобразователе моделируются в рам-
ках теории тонких электроупругих пластин, основанной на классических механических ги-
потезах Кирхгофа–Лява и адекватных им гипотезах относительно электрических полевых
величин [1, 4, 12]. При сделанных допущениях и за счет соответствующего выбора положе-
ния поверхности приведения (z = 0) планарные и изгибные формы колебаний разделяются.
При этом для принятого вида закрепления торцов планарные перемещения точек в плоско-
сти z = 0 тождественно равны нулю. Тогда в декартовых координатах исходная система
уравнений включает уравнение изгибных колебаний пластины [12]
P
t
ww =
∂
∂
+∇∇ 2
2
22 , (1)
где 2
2
2
2
2
yx ∂
∂
+
∂
∂
=∇ , w(x, y, t) – нормальное смещение точек поверхности приведения (z = 0);
P(x, y, t) = p(t)⋅H(l – |x|)⋅H(b – |y|), H(t) – единичная функция Хевисайда, и интегро-
дифференциальное соотношение для потенциала на внешней электродированной плоскости
∫ ∫
α β
∇
βε
=
0 0
2
3
2
p
2
3 dywdx
D
ahe
V , (2)
которые дополняются граничными условиями [1, 4]
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 28
.0;0
;0;0
2
2
2
2
2
2
2
2
=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
ν−==
=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
ν+
∂
∂
−==
β±=
β±=β±=
α±=
α±=α±=
V
y
w
x
wMw
V
y
w
x
wMw
y
y
yy
x
xxx
(3)
где ν – приведенный коэффициент Пуассона.
Отметим, что постановка задачи (1)–(3) записана в безразмерных обозначениях, со-
гласно которым координаты x, y отнесены к L, время t – к 4
1 DL ρ , напряжение V – к
DaLe 2
3 , механическая нагрузка p – к 4LD , изгибающий момент M – к 2LD , и введены
нормирующие коэффициенты
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ,
1
,
12
,
33
,
,,1,1,2,,1
3
3
2
33
0
3
0
113
p0
3
0
11
1
2
333113130
DD
DDheDzhzchzzcDDDD
hhksdehzaLBLL
pp
m
mp
mmppp
T
p
p
p
Δ+
Δ+ν
=ν
ε
=Δ−++−−=Δ+=
ρ+ρ=ρ−ε=εν−=−==β==α
d31 – пьезомодуль; T
33ε – диэлектрическая проницаемость при постоянных напряжениях;
Tedk 33331
2 2p ε= – планарный коэффициент электромеханической связи [12]; ρj (j = m, p) –
плотности материалов, составляющих двухслойный пакет.
Очевидно, что уравнение изгибных колебаний (1) и граничные условия на контуре
пластины (3) имеют обычный для теории изгиба тонких упругих пластин вид. Выражение
(2) получено на основании условия равенства нулю тока смещения через срединную по-
верхность пьезоэлемента 0
0 0
=
∂
∂
∫ ∫
α β
dydxD
t z (Dz – нормальная составляющая вектора электри-
ческой индукции D), уравнений состояния предварительно поляризованной пьезокерамики и
квазистатического приближения уравнений Максвелла относительно D (divD = 0) [12].
3. Решение задачи
Согласно принципу суперпозиции [8] нормальное перемещение может быть пред-
ставлено в виде суммы
w = w1 + w2, (4)
в которой функция 1w аппроксимирует изогнутую поверхность пластины и удовлетворяет
граничным условиям (3). Анализ равенств (3) показывает, что выражение для 1w можно по-
лучить, рассмотрев задачу изгиба шарнирно опертой прямоугольной упругой пластины за
счет приложения по ее контуру равномерно распределенного изгибающего момента M = V.
На основе изложенной в [13] методики решение для 1w представим следующим образом:
w1 = –V(t)⋅F(x, y), (5)
где ( )∑
∞
= ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
αη
η
−
η⋅β
η
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
βμ
μ
−
μ⋅α
μ
−=
1
33 )ch(
)ch(1)cos(
)ch(
)ch(1)cos(12),(
k k
k
k
k
k
k
k
kk xyyxyxF ; ( )
α
π−
=μ
5.0k
k ;
( )
β
π−
=η
5.0k
k – волновые числа.
Второе слагаемое (4) ищем в виде разложения по собственным формам колебаний
прямоугольной пластины с однородными граничными условиями [13]
∑∑
∞
=
∞
=
ημ=
1 1
2 )cos()cos()(
m n
nmmn yxtAw , (6)
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 29
где Amn – коэффициенты, подлежащие определению.
Действующая механическая нагрузка P(x, y, t) также представима рядом, аналогич-
ным (6) –
∑∑
∞
=
∞
=
ημζ=
1 1
)cos()cos()(
m n
nmmn yxtpP , (7)
где )sin()sin(14
00 βηαμ
ημαβ
=ζ nm
nm
mn ; α0 = l/L; β0 = b/L.
В результате подстановки (4)–(6) в интегро-дифференциальное соотношение (2) по-
лучим, что через неизвестные коэффициенты разложения Amn могут быть выражены как ис-
комая разность потенциалов
∑∑
∞
=
∞
=
ωΨ
−
=
1
)1(
1
)(1
m
mnmn
n
mn tA
K
V , (8)
так и прогиб w (см. (4), (5))
∑∑
∞
=
∞
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ημ+ωΨ=
1 1
)1( )cos()cos(1),()(
m n
nmmnmnmn yx
K
yxFtAw . (9)
В равенствах (8) и (9) 2
p
2
3
32
ahe
DK βε
+αβ= , 22
nmmn η+μ=ω ; ( )
nm
nm
mn ημ
−
=Ψ
+1)1( .
Для нахождения коэффициентов Amn(t) подставляем формулу (9) в дифференциаль-
ное уравнение (1). Далее с использованием интегрального преобразования Лапласа по вре-
мени и свойства ортогональности тригонометрических функций в пределах изменения аргу-
ментов (x, y) с учетом нулевых начальных условий получим
22
1 1
)1(
22
22)1( 214
mn
L
mn
r k
rkrk
L
rk
mn
mn
mn
mnL
mn s
pA
s
s
K
A
ω+
ζ
=ωΨ
ω+
ω+
ω
Ψ
αβ
− ∑∑
∞
=
∞
=
, (10)
где ( )sAL
mn и pL(s) – изображения функций Amn и p соответственно; s – комплексный параметр
преобразования.
Последующий переход в пространство оригиналов не вызывает принципиальных за-
труднений. В результате обращения получаем бесконечную систему линейных интеграль-
ных уравнений Вольтерра второго рода относительно функций Amn(t)
( )( )
( )( ) .sin)(
sin)(14)(18)(
0
1 1 0
)1()1(
1 1
)1(
)1(
∫
∑∑ ∫∑∑
ττ−ωτ
ω
ζ
=
=ττ−ωτωΨΨ
αβ
+ωΨ
ω
Ψ
αβ
−
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
t
mn
mn
mn
r k
t
mnrkrkrkmn
r k
rkrkrk
mn
mn
mn
dtp
dtA
K
tA
K
tA
(11)
При решении система уравнений (11) подвергалась усечению и использовался ите-
рационный метод последовательных приближений. Исследуемый конечный временной ин-
тервал [0, T] разбивался на равные отрезки длиной Δt. Входящие в (11) функции Amn и p ап-
проксимировались кусочно-постоянными аналогами Amn и p в области изменения перемен-
ной t
( ) [ ] [ ]∑∑
Δ
=
−
Δ
=
− −−−⋅=−−−⋅=
tT
i
iii
tT
i
iiimn ttHttHtpttHttHtA
1
1
1
1 )()()(;)()()( pAmn ,
где ti = i⋅Δt – узлы разбиения. При вычислении интегралов использовался метод квадратур.
После нахождения последовательности значений ( )imnA согласно равенствам (8) и
(9) вычислялись разность потенциалов V(t) и положения точек изогнутой поверхности при-
ведения пластины w(x, y, t) в фиксированные моменты времени ti.
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 30
4. Решение обратной задачи
Полученные соотношения между возбуждающей механической нагрузкой p и харак-
теристиками переходного процесса в биморфной пластине позволяют рассмотреть задачу
восстановления функции p(t) по результатам регистрации разности потенциалов V(t) между
электродами пьезокерамического элемента. При этом, как и ранее, область распределения
нагрузки симметрична относительно координатных осей Ox, Oy и считается заданной.
Для решения задачи идентификации перепишем уравнение (10) в предположении,
что функция V(t) (8), а следовательно и ее трансформанта, являются известными
22
22)1(
22
24
mn
mnL
mn
mnL
mn
mn
L
mn
s
sVA
s
p
ω+
ω+
ω
Ψ
αβ
+=
ω+
ζ .
Последующее умножение на KmnmnωΨ− )1( и суммирование по переменным индексам
позволяет исключить функции L
mnA с учетом соотношения (8). С использованием таблиц
операционного исчисления в пространстве оригиналов получим интегральное уравнение
Вольтерра первого рода относительно функции p(t)
( )( )
( ) ( ) ( )( )∫ ∑∑∑∑
∫ ∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
ττ−ωωΨτ
αβ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Ψ
αβ
−=
=ττ−ωζΨτ−
t
m n
mnmnmn
m n
mn
t
m n
mnmnmn
dtVKtV
dtp
0 1 1
2)1(
1 1
2)1(
0 1 1
)1(
.sin)(48)(
sin)(
. (12)
Эффективным приемом решения уравнения (12) является построение конечномерно-
го аналога [11], представляющего собой систему линейных алгебраических уравнений отно-
сительно коэффициентов pi, с последующей реализацией регуляризирующего алгоритма
А. Н. Тихонова.
5. Числовые результаты
Для количественного анализа рассматривались колебания биморфной пластины раз-
мером L = 25 мм и B = 0,6⋅L. Для слоя из электрически пассивного материала принималось,
что hm = 0,5 мм, ρm = 4450 кг/м3, E = 11,3⋅1010 Н/м2 (титановый сплав ВТ-6). Электроупругий
слой толщиной hp = 1 мм – пьезокерамика PZT-5 – ρp = 7600 кг/м3, Es11 = 15,4⋅10–12 м2/Н,
Es12 = –5,1⋅10–12 м2/Н, 13d = –178⋅10–12 Кл/H, T
33ε = 1750⋅ε0 (ε0 = 8,85⋅10–12 Ф/м). Область при-
ложения механической нагрузки задавалась границами l = 0,4⋅L, b = 0,4⋅B.
Точность расчетов контролировалась сопоставлением результатов, полученных при
различном порядке усечения системы (11), а также варьированием шага по времени Δt. От-
метим, что при проведении вычислений в
двойных рядах Фурье удерживалось
10×10 форм колебаний, а шаг дискретиза-
ции временного интервала принят равным
0,01, что обеспечивает приемлемую по-
грешность счета (менее 1%).
На рис. 1 приведены графики раз-
ности потенциалов между электродами
пьезокерамического слоя при приложе-
нии механической нагрузки прямоуголь-
ного профиля – p(t) = H(T1 – t), где T1 –
длительность импульса. Кривая 1 получе-
на для T1 = 1,5⋅T0, кривая 2 – для
T1 = 1,75⋅T0 и кривая 3 – для T1 = 2⋅T0, где
T0 = 0,65 – период собственных колеба-
0
V (t)
-0.01
-0.005
0.005
t0.65 1.3
2
1
34
Рис. 1. Разность потенциалов при p(t) = H(T1 – t)
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 31
ний пластины. Из рисунка видно, что по-
сле снятия нагрузки (t > T1) функция V(t)
совершает колебания около нулевого зна-
чения, соответствующего невозмущенно-
му состоянию преобразователя. Ампли-
тудные значения V(t) при t > T1 зависят от
T1: они максимальны, когда окончание
прямоугольного импульса совпадает с мо-
ментом равенства V(t) максимальному зна-
чению (T1 = 1,5⋅T0), и минимальны, когда
V(T1) = 0 (T1 = 2⋅T0). Отметим, что кривая
прогиба в центральной точке пластины
w(0, 0, t), графики которой в настоящей
работе не приведены, коррелирует с кри-
вой разности потенциалов V(t) (экстре-
мальные значения V и w(0, 0, t) происходят
одновременно).
Достоверность результатов была оценена путем решения задачи с помощью конеч-
ноэлементного программного комплекса. Штриховая кривая 4 на рис. 1 иллюстрирует зна-
чения V(t) для случая, когда p(t) = H(1,5⋅T0 – t). В целом отличие результатов, полученных
принципиально различными подходами, не превышает 10%. По-видимому, это обусловлено
в первую очередь погрешностью используемых гипотез.
На рис. 2 представлены результаты решения прямой задачи, когда преобразователь
возбуждается синусоидальным механическим импульсом длительностью T1 = 2⋅T0
(p(t) = H(T1 – t)⋅sin(ωt)) при ω = 2π/T0 (кривая 1), ω = π/T0 (кривая 2) и ω = π/2T0 (кривая 3). В
этом случае на временном интервале приложения нагрузки [0; T1] укладывается 4, 2 и 1 по-
луволны синусоидального сигнала соответственно. Очевидно, что наибольшие значения
( )V t имеют место при ω = 2π/T0, при этом наблюдается линейное увеличение амплитуды на
временном промежутке действия нагрузки. После ее снятия преобразователь совершает ко-
лебания относительно равновесного положения с максимальной на момент t = T1 амплиту-
дой. Результаты решения задачи на основе метода конечных элементов при ω = 2π/T0 пред-
ставлены на рис. 2 штриховой кривой 4. Хорошее совпадение аналитического (кривая 1) и
конечноэлементного (кривая 4) результатов свидетельствует об эффективности разработан-
ной методики решения прямой задачи.
На рис. 3 кривыми 1 и 2 представлены восстановленные на основании уравнения (12)
механические нагрузки p(t). Исходными данными при решении обратных задач принима-
лись результаты, полученные с помощью
конечноэлементного пакета (кривые 4 на
рис. 1 и 2 соответственно). Параметр ре-
гуляризации вычислялся на основании
принципа невязки и составлял 10–8. Оче-
видно, что использование классических
гипотез приводит к тому, что идентифи-
цированные функции p(t) (рис. 3, кривые
1 и 2) получаются несколько меньше от
задаваемого в программном комплексе
единичного уровня (рис. 3, кривые 3 и 4
соответственно). Однако качественное
сравнение указанных кривых свидетель-
ствует об эффективности изложенного
подхода решения обратной задачи и при-
емлемой точности идентификации.
0
V (t)
-0.02
-0.01
0.01
t0.65 1.3
2 3
1
4
Рис. 2. Разность потенциалов
при p(t) = H(T1 – t)⋅sin(ω⋅t)
0
p (t)
-1.0
t0.65 1.3
-0.5
0.5
1.0
1
2
3
4
Рис. 3. Результаты идентификации
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 32
Заключение
В настоящей работе представлены задачи моделирования переходных процессов в
полупассивном прямоугольном преобразователе, пьезокерамический элемент которого ра-
ботает в режиме прямого пьезоэлектрического эффекта. Упрощенная модель деформирова-
ния пластины построена в рамках обобщенных гипотез Кирхгофа. Изложена методика ре-
шения обратной задачи по восстановлению временной зависимости механической нагрузки,
действующей на заданной области упругого слоя. При этом значения разности потенциалов
между сплошными электродными покрытиями пьезоэлемента считаются известными. Для
оценки достоверности результатов и адекватности принятых допущений решены тестовые
задачи с помощью прикладных программ.
Литература
1. Управление поверхностью секционированной биморфной пластины / А. О. Ватульян, Н. Б. Лапиц-
кая, А. В. Наседкин [и др.] // Прикл. механика и техн. физика. – 1995. – Т. 36, № 4. – С. 131–136.
2. Фильштинский Л. А. Однородные решения для граничащего с вакуумом пространственного пье-
зокерамического слоя / Л. А. Фильштинский, Л. В. Шрамко // Пробл. машиностр. – 2004. − Т. 7,
№ 2. – С. 56–63.
3. Шмалий А. Ю. Математическое моделирование колебаний пьезоэлектрической односторонне-
выпуклой пластины / А. Ю. Шмалий // Пробл. машиностр. – 2008. − Т. 11, № 1. – С. 63–70.
4. Чувствительность биморфного преобразователя типа металл-керамика / Ю. Б. Евсейчик,
С. И. Рудницкий, В. Л. Шарапов, Н. А. Шульга // Прикл. механика. – 1990. – Т. 26, № 12. – С. 67–
75.
5. Рассказов А. О. Параметрические колебания слоистых пьезопластин / А. О. Рассказов, В. И. Коз-
лов, О. В. Карнаухова // Теорет. и прикл. механика. – 2001. – № 33. – С. 169–174.
6. Exact three-dimensional solutions of laminated orthotropic piezoelectric rectangular plates featuring in-
terlaminar bonding imperfections modeled by a general spring layer / W. Q. Chen, J. B. Cai, G. R. Ye,
Y. F. Wang // Int. J. Sol. and Struct. – 2004. – Vol. 41. – P. 5247–5263.
7. Янчевский И. В. Нестационарные колебания асимметричного дискового биморфа в режиме прямо-
го пьезоэлектрического эффекта / И. В. Янчевский // Пробл. машиностр. – 2010. – Т. 13, № 6. –
С. 42–52.
8. Wang H. M. Dynamic solution of a multilayered orthotropic piezoelectric hollow cylinder for axisymmet-
ric plane strain problems / H. M. Wang, H. J. Ding, Y. M. Chen // Int. J. Sol. and Struct. – 2005. –
Vol. 42. – P. 85–102.
9. Бабаев А. Э. Определение ударной нагрузки, действующей на электроупругую биморфную балку с
разрезными токопроводящими покрытиями / А. Э. Бабаев, И. В. Янчевский // Прикл. механика. –
2010. – Т. 46, № 9. – С. 60–70.
10. Янчевский И. В. Идентификация нестационарной нагрузки, воздействующей на асимметричный
биморф / И. В. Янчевский // Вестн. НТУ «ХПИ». Динамика и прочность машин. – 2008. – № 36. –
С. 184–190.
11. Идентификация нагрузок при импульсном деформировании тел: в 2 ч. Ч. 2 / Е. Г. Янютин,
А. В. Воропай, С. И. Поваляев, И. В. Янчевский. – Харьков : Изд-во Харьк. нац. автомоб.-дор. ун-
та, 2010. – 212 с.
12. Гринченко В. Т. Механика связанных полей в элементах конструкций: В 5 т. Т. 5. Электроупру-
гость / В. Т. Гринченко, А. Ф. Улитко, Н. А. Шульга. – Киев : Наук. думка, 1989. – 280 с.
13. Тимошенко С. П. Пластины и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. – М. : Наука,
1966. – 636 с.
Поступила в редакцию
12.10.10
|