К построению сферического солнечного коллектора

Представлена конструктивная схема сферического солнечного коллектора и описан принцип его работы. Получено аналитическое выражение винтовой линии и её длины на сферической поверхности в параметрическом виде. Полученные формулы в дальнейшем будут использованы при проектировании и изготовлении сфериче...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Мацевитый, Ю.М., Ценципер, А.И., Сафонов, Н.А., Лушпенко, С.Ф.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2011
Schriftenreihe:	Проблемы машиностроения
Schlagworte:	Прикладная математика
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103877
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	К построению сферического солнечного коллектора / Ю.М. Мацевитый, А.И. Ценципер, Н.А. Сафонов, С.Ф. Лушпенко // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 46-51. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-103877
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1038772025-02-09T22:25:08Z К построению сферического солнечного коллектора For constructing a spherical solar collector Мацевитый, Ю.М. Ценципер, А.И. Сафонов, Н.А. Лушпенко, С.Ф. Прикладная математика Представлена конструктивная схема сферического солнечного коллектора и описан принцип его работы. Получено аналитическое выражение винтовой линии и её длины на сферической поверхности в параметрическом виде. Полученные формулы в дальнейшем будут использованы при проектировании и изготовлении сферических солнечных коллекторов, а также при вычислении потока солнечной энергии, воспринимаемой ими в зависимости от пространственных координат и времени. Наведено конструктивну схему та опис принципу роботи сферичного сонячного колектора. Отримано аналітичний вираз гвинтової лінії та її довжини на сферичній поверхні в параметричному вигляді. Отримані формули надалі будуть використані при проектуванні та виготовленні сферичних сонячних колекторів, а також при обчислюванні потоку сонячної енергії, сприйманої ними залежно від просторових координат і часу. The scheme of a spherical solar collector is presented. Its principle of operation is described. The analytical forms for the helical curve and its length are found. They will be used for design and making of spherical solar collectors and for calculation of solar energy flow which is received by them against the space coordinates and time. 2011 Article К построению сферического солнечного коллектора / Ю.М. Мацевитый, А.И. Ценципер, Н.А. Сафонов, С.Ф. Лушпенко // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 46-51. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103877 516.3, 516.65 ru Проблемы машиностроения application/pdf Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Прикладная математика Прикладная математика
spellingShingle	Прикладная математика Прикладная математика Мацевитый, Ю.М. Ценципер, А.И. Сафонов, Н.А. Лушпенко, С.Ф. К построению сферического солнечного коллектора Проблемы машиностроения
description	Представлена конструктивная схема сферического солнечного коллектора и описан принцип его работы. Получено аналитическое выражение винтовой линии и её длины на сферической поверхности в параметрическом виде. Полученные формулы в дальнейшем будут использованы при проектировании и изготовлении сферических солнечных коллекторов, а также при вычислении потока солнечной энергии, воспринимаемой ими в зависимости от пространственных координат и времени.
format	Article
author	Мацевитый, Ю.М. Ценципер, А.И. Сафонов, Н.А. Лушпенко, С.Ф.
author_facet	Мацевитый, Ю.М. Ценципер, А.И. Сафонов, Н.А. Лушпенко, С.Ф.
author_sort	Мацевитый, Ю.М.
title	К построению сферического солнечного коллектора
title_short	К построению сферического солнечного коллектора
title_full	К построению сферического солнечного коллектора
title_fullStr	К построению сферического солнечного коллектора
title_full_unstemmed	К построению сферического солнечного коллектора
title_sort	к построению сферического солнечного коллектора
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Прикладная математика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103877
citation_txt	К построению сферического солнечного коллектора / Ю.М. Мацевитый, А.И. Ценципер, Н.А. Сафонов, С.Ф. Лушпенко // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 46-51. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series	Проблемы машиностроения
work_keys_str_mv	AT macevityiûm kpostroeniûsferičeskogosolnečnogokollektora AT cenciperai kpostroeniûsferičeskogosolnečnogokollektora AT safonovna kpostroeniûsferičeskogosolnečnogokollektora AT lušpenkosf kpostroeniûsferičeskogosolnečnogokollektora AT macevityiûm forconstructingasphericalsolarcollector AT cenciperai forconstructingasphericalsolarcollector AT safonovna forconstructingasphericalsolarcollector AT lušpenkosf forconstructingasphericalsolarcollector
first_indexed	2025-12-01T09:59:45Z
last_indexed	2025-12-01T09:59:45Z
_version_	1850299580848013312
fulltext	ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 46 УДК 516.3, 516.65 Ю. М. Мацевитый, акад. НАН Украины А. И. Ценципер, канд. техн. наук Н. А. Сафонов, канд. физ.-мат. наук С. Ф. Лушпенко, д-р техн. наук Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины (г. Харьков, E-mail: tsentsiper@meta.ua) К ПОСТРОЕНИЮ СФЕРИЧЕСКОГО СОЛНЕЧНОГО КОЛЛЕКТОРА Представлена конструктивная схема сферического солнечного коллектора и описан принцип его работы. Получено аналитическое выражение винтовой линии и её длины на сферической поверхности в параметрическом виде. Полученные формулы в дальнейшем будут использованы при проектировании и изготовлении сферических солнечных кол- лекторов, а также при вычислении потока солнечной энергии, воспринимаемой ими в зависимости от пространственных координат и времени. Наведено конструктивну схему та опис принципу роботи сферичного сонячного колек- тора. Отримано аналітичний вираз гвинтової лінії та її довжини на сферичній поверхні в параметричному вигляді. Отримані формули надалі будуть використані при проекту- ванні та виготовленні сферичних сонячних колекторів, а також при обчислюванні по- току сонячної енергії, сприйманої ними залежно від просторових координат і часу. Введение В настоящее время, как правило, для преобразования солнечной энергии в тепловую используют плоские трубчатые коллекторы. Обычно это стационарно установленные кол- лекторы, ориентированные на юг с наклоном к горизонтали, зависящим от широты данной местности. Принципиальным недостатком всех существующих конструкций плоских кол- лекторов является необходимость иметь в их составе специальные механизмы, следящие за траекторией движения Солнца как по высоте, так и по углу азимута в течение всего светово- го дня от восхода до захода. Такие механизмы довольно сложны, а для их привода требуется дополнительная энергия [1]. Нами предложена принципиально новая геометрическая схема солнечного коллекто- ра сферического типа, конструктивная схема которого представлена на рис. 1. Коллектор выполнен в виде единой непрерывной металлической трубки круглого сечения, навитой по сферической поверхности диаметром D по винтовой линии с шагом навивки S. Благодаря такой форме коллектор «следит» за Солнцем не только в течение дня, но и в разное время года, когда оно проходит по небосводу на разной высоте и под разными углами азимута. В результате этого исключается необходимость ориентации коллектора. Сферический коллек- тор «захватывает» солнечную энергию, поступающую со всех направлений. Лучи также проникают через межвитковые промежутки, нагревая внутренние поверхности витков. Кро- ме того, такой коллектор улавливает как отражённый, так и рассеянный в атмосфере свет. Таким образом, предлагаемый сферический солнечный коллектор позволяет полу- чить максимальное количество лучистой солнечной энергии в течение всего светового дня. Нагретый теплоноситель поступает для дальнейшего потребления (отопление, горячее водо- снабжение и т. п.). Постановка задачи Для построения, проведения расчётов и последующего изготовления трубчатого сферического коллектора необходимо математически описать винтовую линию на сфериче- ской поверхности радиусом R с шагом навивки S. Известны винтовые линии на цилинд- ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 47 рической и конической поверхностях. На бесконечном цилиндре винтовая линия бесконечна в обоих направлениях, на конусе – в одном, а на сфере она конечна. Винтовая линия на сфе- рической поверхности начинается из точки условного «южного полюса» сферы и заверша- ется в точке условного «северного полюса» (рис. 2). На рисунке в качестве примера показан один полный виток винтовой линии на сферической поверхности, в которой шаг S равен диаметру сферы D. Ясно, что таких винтовых линий на данной сферической поверхности можно построить бесчисленное множество, причём при n → ∞ S → 0. Единственность такой винтовой линии (с точностью до поворота вокруг оси шара) при S = const определяется ко- личеством витков n вокруг оси z. При этом максимальный угол вращения текущей точки ϕmax этой линии вокруг оси z равен 2πn. Математическое описание сферической винтовой линии позволит вычислить длину вин- товой линии L при заданном числе витков n. Это необходимо для определения площади суммарной поверхности трубчатого коллектора при проведе- нии теплофизических расчётов, объёмных и мас- совых расходных характеристик теплоносителя, проходящего через коллектор, а также для опре- деления длины заготовки при изготовлении кол- лектора. Основная часть Пусть в декартовой системе координат x, y, z центр сферы радиуса R совмещён с началом O (0, 0, 0) этой системы (рис. 3). На данной сфе- рической поверхности построим винтовую ли- нию, начиная из точки с координатами (0, 0, −R) и заканчивая её с координатами в точке (0, 0, R). Выход горячего теплоносителя Вход холодного теплоносителя S Рис. 1. Конструктивная схема сферического солнечного коллектора Рис. 2. Винтовая линия на сферической поверхности (один виток) ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 48 Любая полуплоскость, ограниченная осью z, пересекает каждый виток винтовой линии в оп- ределённой точке. В одной из таких полуплоско- стей возьмём две любые точки A и B, принадле- жащие двум соседним виткам. При этом шаг вин- товой линии S представляет собой абсолютную величину разности координат двух этих точек по оси z (рис. 3). Координаты точек A и B записыва- ются следующим образом: (x, y, z) и (x, y, z–S) ли- бо (x, y, z+S) и (x, y, z). Всё сказанное выше спра- ведливо для любой такой полуплоскости. Отсюда вытекает зависимость S = 2R/n. Для аналитического описания данной пространственной кривой определим зависимости координат её точек от какого-либо параметра. В качестве такого параметра выберем угол враще- ния ϕ вокруг оси z текущей точки кривой. При возрастании параметра ϕ от 0 до значения ϕmax = 2πn координата z текущей точки кривой должна изменяться линейно относительно изменения параметра так, чтобы S = const. Таким образом, имеем линейное преобразование углов поворота в отрезок оси z от −R до R: ϕ ϕ +−=ϕ max 2)( RRz . Определим зависимости x(ϕ)и y(ϕ). Поскольку текущая точка C сферической винто- вой линии вращается вокруг оси z (рис. 4) и для этой точки радиус вращения r зависит от координаты z: 22 zRr −= , получаем для координат x и y следующие выражения: ϕ−=ϕ cos)( 22 zRx и ϕ−=ϕ sin)( 22 zRy . Подставив в последние выражения зависимость )(ϕz , получим следующее аналити- ческое описание сферической винтовой линии в параметрическом виде .sin12sin)( ,cos12cos)( ,2)( maxmax 22 maxmax 22 max ϕ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ ϕ − ϕ ϕ =ϕ−=ϕ ϕ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ ϕ − ϕ ϕ =ϕ−=ϕ ϕ ϕ +−=ϕ RzRy RzRx RRz (1) Анализируя приведенные зависимости (1), можно отметить взаимно однозначное со- ответствие координат точек кривой и значений пара- метра ϕ. Длина описанной сферической винтовой ли- нии вычисляется как интеграл вида ∫ ϕ ϕ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ = max 0 222 d d dz d dy d dxL [2]. После диффе- ренцирования функциональных зависимостей коорди- нат точки этой линии по параметру ϕ и очевидных преобразований имеем следующее выражение для вы- числения её длины: z x A(x, y, z) B (x, y, z–S) О y S R –R y Рис. 3. Шаг винтовой линии на сферической поверхности x z y O C z r R Рис. 4. Координаты текущей точки ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 49 ∫ ϕ − ϕ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ ϕ − ϕ ϕ ϕ+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ ϕ − ϕ ϕ ϕ = max 0 5,0 2 max 2 max 2 max 1 2 max 2 maxmax 42 dRL . Введём следующую замену переменных ( )ucos1 2 max − ϕ =ϕ . После перехода к пере- менной u получим выражение для определения длины сферической винтовой линии ∫ π π+= 0 422 sin1 duunRL . Для практических целей (например, при навивке трубчатого сферического солнечно- го коллектора) число витков n принимаем целым числом. Тогда длина винтовой линии вы- разится так: ∫∫ π π π π+=π+= 5.0 422 5.0 0 422 sin12 sin12 duunRduunRL . Это позволяет при вычислении длины взять любое из приведенных выше выраже- ний, например ∫∫ ππ ω=π+= 5.0 0 0 5.0 0 422 )(2 sin12 duuRduunRL . (2) Итак, чтобы найти длину L построенной винтовой линии для n заданных витков на сферической поверхности радиуса R, необходимо вычислить определённый интеграл (2). Поскольку точный результат получить затруднительно [3], найдём приближённую формулу. В первом приближении представим интеграл (2) следующим образом: . 5.0)(2 sin 2 sin12 2 5.0 0 1 5.0 0 2 5.0 0 422 nRduuRduunRduunRL π=ω=π≈π+= ∫∫∫ πππ Здесь проведено упрощение подкоренного выражения путём удаления единицы. При этом абсолютная величина разности обеих подынтегральных функций уменьшается при приближении переменной интегрирования к верхнему пределу. Ошибка будет максимальна для значения u = 0. Чем больше число витков n винтовой линии, тем меньше будет ошибка для значений u → 0,5π, так как при этом неравенство π2u2sin2u > 1 усиливается с увеличени- ем n. В окрестности нижнего предела имеем обратное неравенство 1sin422 <unπ для зна- чений u → 0. Поэтому необходимо построить второе приближение с целью уменьшения ошибки для значений переменной u в окрестности нуля. На рис. 5 изображены подынтегральные аппроксимируемая ω0 и аппроксимирующая ω1 функции. Заметим, что в окрестности нижнего предела интегрирования функции ω0 и ω1 существенно отличаются, а с возрастанием аргумента погрешность аппроксимации умень- шается. Используя приближённое равенство u ≈ sinu для значений u вблизи нуля, получим следующее приближение: 422422 1sin1 unun π+≈π+ . Представим это выражение пятью членами ряда Маклорена таким образом: )(5,01 !4 1211 2 422 422 422 uununun ω=π+= π +≈π+ . Обозначим через ue правую границу отрезка [0, ue], на котором определим функцию ω2(u). Величину ue находим из выражения ε−π+=π+ 422422 5,011 ee unun , где ε > 0 − погрешность. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 50 После интегрирования функции ω2(u) от нуля до верхнего предела ue получаем по- правку к первому приближению и, суммируя его с первым, − приближённую формулу для длины сферической винтовой линии в виде ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +≈ n nRL 402964,1934802,4 . (3) Приведенная формула является приближённой с избытком, поскольку для практиче- ского изготовления сферического солнечного коллектора при навивке трубопровода необхо- димо иметь достаточную длину заготовки. Из рис. 5 видно, что величина площади под кривой ω1 для 0 ≤ u ≤ π/2, представляю- щая собой первое приближение длины кривой, меньше, чем величина площади под кривой ω0 для тех же значений аргумента. Значит, первое приближение длины кривой L – прибли- жение с недостатком. Величина площади под кривой ω2 для 0 ≤ u ≤ ue есть добавочное сла- гаемое к первому приближению. Из этого же рис. 5 видно, что интеграл на отрезке [0, ue] от аппроксимирующей функции ω2 больше, чем такой же интеграл от функции ω0, и площадь под кривой ω1 на этом же отрезке в конечном итоге учитывается дважды, но первое при- ближение было с недостатком. В результате получается компенсация недостающей площади между первой и нулевой кривыми после первого приближения. Для проверки точности приближённой формулы (3) длина сферической винтовой линии определялась путём численного интегрирования исходного интеграла (2) либо вычис- лением длины кусочно-линейной кривой в виде следующей суммы: ( ) ( ) ( )∑ − = +++ ϕ−ϕ+ϕ−ϕ+ϕ−ϕ≈ 1 0 2 1 2 1 2 1 )()()()()()( m i iiiiiim zzyyxxL , (4) где ϕi = iΔϕ, i = 0, 1, …, m, Δϕ = ϕmax/m, m − количество отрезков кусочно-линейной кривой. В качестве примера в таблице для сферы радиуса R = 500 проводится сравнение длин сфери- ческой винтовой линии, посчитанных по приближённой формуле (3), со значениями, вычис- ленными по формуле (4) в зависимости от количества витков n. Рис. 5. График аппроксимируемой (кривая ω0) и аппроксимирующих (кривые ω1 и ω2) функций ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 51 Сравнение значений длин винтовой линии Значения длин n по формуле (4) приближённое погрешность, % 1 3131,287 3168,883 1,2006 2 5416,547 5430,825 0,2636 3 7798,742 7807,204 0,1085 4 10214,369 10220,345 0,0585 5 12646,088 12650,717 0,0366 10 24893,561 24895,838 0,0091 15 37190,545 37192,137 0,0043 20 49503,613 49504,876 0,0026 25 61824,253 61825,321 0,0017 30 74149,165 74150,103 0,0013 35 86476,764 86477,607 0,0010 40 98806,183 98806,954 0,0008 45 111136,902 111137,616 0,0006 50 123468,588 123469,255 0,0005 Для достижения желаемой точности приведенная сумма вычислялась каждый раз при удвоении величины m. Вычисления останавливались при выполнении следующего не- равенства: \|L2m – Lm\| < 10–6, где L2m − это сумма (4), полученная при удвоении количества от- резков кусочно-линейной кривой. Как видно из таблицы, с возрастанием n погрешность уменьшается. Таким образом, получено аналитическое описание винтовой линии на сферической поверхности в параметрическом виде, которое в дальнейшем может быть использовано при проектировании сфероидных солнечных коллекторов, а также при вычислении потока вос- принимаемой ими солнечной энергии. Вычислена длина винтовой линии на сферической поверхности, зависящая от диа- метра сферы и числа витков, и приведена формула для определения длины винтовой линии, пригодная для проведения практических расчётов при конструировании и изготовлении сферических солнечных коллекторов. Литература 1. Бринкворт Б. Дж. Солнечная энергия для человека / Б. Дж. Бринкворт. – М. Мир, 1976. – 286 с. 2. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии / П. К. Рашевский. – М.; Л.: Гостехиздат, 1950. – 428 с. 3. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Ры- жик. – М: Физматгиз, 1971. – 1108 с. Поступила в редакцию 11.02.11

К построению сферического солнечного коллектора

Institution

Ähnliche Einträge