Моделирование бездиссипативного переноса тепла и массы в неклассических средах

Исследуется система гидродинамических уравнений, которые описывают перенос тепла и массы в сверхтекучих жидкостях. Система решается аналитически с помощью преобразования Фурье и разложения начального вектора (соответствующего начальному возмущению температуры или концентрации) по собственным вектора...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2011
Main Authors:	Немченко, К.Э., Рогова, С.Ю.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2011
Series:	Проблемы машиностроения
Subjects:	Прикладная математика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103879
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Моделирование бездиссипативного переноса тепла и массы в неклассических средах / К.Э. Немченко, С.Ю. Рогова // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 61-68. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-103879
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1038792025-02-09T22:41:57Z Моделирование бездиссипативного переноса тепла и массы в неклассических средах Modeling of the no dissipative heat transport in no classical medium Немченко, К.Э. Рогова, С.Ю. Прикладная математика Исследуется система гидродинамических уравнений, которые описывают перенос тепла и массы в сверхтекучих жидкостях. Система решается аналитически с помощью преобразования Фурье и разложения начального вектора (соответствующего начальному возмущению температуры или концентрации) по собственным векторам матрицы системы. Собственные векторы вычисляются во втором приближении по параметру гидродинамичности, благодаря чему система удовлетворяется с требуемой точностью. Досліджується система гідродинамічних рівнянь, які описують перенос тепла й маси у надплинних рідинах. Система вирішується аналітично за допомогою перетворення Фур’є й розкладання початкового вектора (який відповідає початковому збурюванню температури або концентрації) по власних векторах матриці системи. Власні вектори обчислюються в другому наближенні за параметром гідродинамічності, завдяки чому система задовольняється з необхідною точністю. The system of hydrodynamic equations is written that describe heat and mass transfer in a superfluid. The system is solved analytically by Fourier transformation and expansion of the initial vector (corresponding to the initial perturbation of temperature or concentration) in the eigenvectors of the matrix system. In this study, eigenvectors are calculated in the second approximation in the hydrodynamic parameter, so that the system met the required accuracy. 2011 Article Моделирование бездиссипативного переноса тепла и массы в неклассических средах / К.Э. Немченко, С.Ю. Рогова // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 61-68. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103879 538.941, 536.24.01, 536.243 ru Проблемы машиностроения application/pdf Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Прикладная математика Прикладная математика
spellingShingle	Прикладная математика Прикладная математика Немченко, К.Э. Рогова, С.Ю. Моделирование бездиссипативного переноса тепла и массы в неклассических средах Проблемы машиностроения
description	Исследуется система гидродинамических уравнений, которые описывают перенос тепла и массы в сверхтекучих жидкостях. Система решается аналитически с помощью преобразования Фурье и разложения начального вектора (соответствующего начальному возмущению температуры или концентрации) по собственным векторам матрицы системы. Собственные векторы вычисляются во втором приближении по параметру гидродинамичности, благодаря чему система удовлетворяется с требуемой точностью.
format	Article
author	Немченко, К.Э. Рогова, С.Ю.
author_facet	Немченко, К.Э. Рогова, С.Ю.
author_sort	Немченко, К.Э.
title	Моделирование бездиссипативного переноса тепла и массы в неклассических средах
title_short	Моделирование бездиссипативного переноса тепла и массы в неклассических средах
title_full	Моделирование бездиссипативного переноса тепла и массы в неклассических средах
title_fullStr	Моделирование бездиссипативного переноса тепла и массы в неклассических средах
title_full_unstemmed	Моделирование бездиссипативного переноса тепла и массы в неклассических средах
title_sort	моделирование бездиссипативного переноса тепла и массы в неклассических средах
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Прикладная математика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103879
citation_txt	Моделирование бездиссипативного переноса тепла и массы в неклассических средах / К.Э. Немченко, С.Ю. Рогова // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 61-68. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.
series	Проблемы машиностроения
work_keys_str_mv	AT nemčenkoké modelirovaniebezdissipativnogoperenosateplaimassyvneklassičeskihsredah AT rogovasû modelirovaniebezdissipativnogoperenosateplaimassyvneklassičeskihsredah AT nemčenkoké modelingofthenodissipativeheattransportinnoclassicalmedium AT rogovasû modelingofthenodissipativeheattransportinnoclassicalmedium
first_indexed	2025-12-01T11:55:25Z
last_indexed	2025-12-01T11:55:25Z
_version_	1850306857544974336
fulltext	ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 61 The offered problem-solving procedure is easily parallelizable and their implementation for a multi-processor computer will allow simultaneous calculation of several local maxima. References 1. Stoyan Y. G. Optimization problem of packing identical circles into a multiply connected region. Part 1. Mathematical model and its characteristics / Y. G. Stoyan, A. M. Chugay // J. Mech. Eng. – 2011. – Vol. 14, № 1. – P. 44–52. 2. Stoyan Y. Packing cylinders and rectangular parallelepipeds with distances between them into a given region / Y. Stoyan, A. Chugay // European J. Oper. Res. – 2009. –Vol. 197, № 2. – Р. 446–455. 3. Stoyan Y. G. Solving of some multiextremal problems by means of the decremental neighborhood method / Y. G. Stoyan, V. Z. Sokolovskiy. – Kiev: Nauk. Dumka, 1980. – 208 р. 4. Zoutendijk G. Nonlinear programming, computational methods / G. Zoutendijk // Integer and Nonlinear Programming. – Amsterdam: North Holland Publishing Co. – 1970. – P. 37–86. 5. Gill P. E. Practical Optimization / P. E. Gill, W. Murray and M. H. Wright // Academic Press. – 1981. – 509 p. 6. Gondzio J. HOPDM (version 2.12) - A Fast LP Solver Based on a Primal-Dual Interior Point Method / J. Gondzio // European J. Oper. Res. – 1995. – Vol. 85, № 1. – Р. 221–225. 7. Meszaros C. On numerical issues of interior point methods / C. Meszaros // Siam J. Matrix Anal. Appl. – 2008. – Vol. 30, № 1. – Р. 223–235. 8. Birgin E. Optimizing the packing of cylinders into a rectangular container: A nonlinear approach / E. Birgin, J. Martínez, D. Ronconi // European J. Oper. Res. – 2005. – Vol. 160, № 1. – Р. 19–33. Поступила в редакцию 30.11.2010 УДК 538.941, 536.24.01, 536.243 К. Э. Немченко, д-р.физ.-мат.наук С. Ю. Рогова Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина (г. Харьков, E-mail: nemchenko@bk.ru) МОДЕЛИРОВАНИЕ БЕЗДИССИПАТИВНОГО ПЕРЕНОСА ТЕПЛА И МАССЫ В НЕКЛАССИЧЕСКИХ СРЕДАХ Исследуется система гидродинамических уравнений, которые описывают перенос теп- ла и массы в сверхтекучих жидкостях. Система решается аналитически с помощью преобразования Фурье и разложения начального вектора (соответствующего началь- ному возмущению температуры или концентрации) по собственным векторам матри- цы системы. Собственные векторы вычисляются во втором приближении по парамет- ру гидродинамичности, благодаря чему система удовлетворяется с требуемой точно- стью. Досліджується система гідродинамічних рівнянь, які описують перенос тепла й маси у надплинних рідинах. Система вирішується аналітично за допомогою перетворення Фу- р’є й розкладання початкового вектора (який відповідає початковому збурюванню тем- ператури або концентрації) по власних векторах матриці системи. Власні вектори об- числюються в другому наближенні за параметром гідродинамічності, завдяки чому си- стема задовольняється з необхідною точністю 1. Введение Квантовые свойства вещества в макроскопических масштабах проявляются не толь- ко в виде необычных явлений или свойств, таких, как сверхтекучесть и сверхпроводимость, но также и в виде, казалось бы, менее экзотических явлений, таких, как транспорт электро- нов в металлах и полупроводниках, тепловые явления в твердых телах, магнитные свойства ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 62 веществ. К таким свойствам относится также и явление «второго» звука, которое обуслав- ливает процесс переноса тепла не диссипативным образом, как в газах и классических жид- костях, а звуковым. Этот бездиссипативный перенос тепла в звуковом волновом процессе, на первый взгляд, кажется уникальным явлением, присущим лишь экзотическим сверхтекучим жидко- стям. На самом деле он описывает перенос тепла в кристаллических твердых телах, магне- тиках, сверхпроводниках, которые в настоящее время все больше используются в энергетике и теплотехнике. Существование этого температурного волнового процесса, который был назван вто- рым звуком, впервые было теоретически предсказано в работе [1]. Экспериментально вто- рой звук был обнаружен в [2], а в работе [3] было высказано предположение о возможности существования волн второго звука в твердых телах. В работах [4–6] впервые теоретически были рассмотрены волны второго звука в кристаллических твердых телах. Возможность су- ществования звуковых температурных волн в ферромагнетиках впервые рассматривалась в работах [7, 8], изучение их свойств проводилось в работах [9–11], в антиферромагнетиках их существование рассматривалось в [12]. В полупроводниках эти волны были изучены в рабо- тах [13, 14], а в металлах – в работе [15]. Экспериментально волны второго звука в твердых телах наблюдались в твердом гелии [16, 17], в чистых монокристаллах NaF [18, 19], в висму- те [20], в сапфире [21] при изучении распространения теплового импульса. Рассмотрение и сравнение математических моделей описания бездиссипативного переноса тепла в перечисленных средах, а также решение задачи о релаксации теплового всплеска в квантовых жидкостях является целью данной работы. 2. Основные уравнения В обычных жидкостях и газах процессы переноса массы и энтропии определяются движением вещества и поэтому происходят с одинаковой скоростью – со скоростью движе- ния вещества V ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∇=+ ∂ ∂ =+ ∂ ∂ ).κ(div1divρρ ,0divρρ T T s t s t V V Здесь выписаны уравнения сохранения массы (непрерывности) и переноса тепла без учета вязкости. Величина ρ – плотность; s – энтропия единицы массы; κ – коэффициент теплопро- водности. В случае неподвижной среды и в пренебрежении коэффициентом теплового рас- ширения из этих уравнений при учете уравнения Эйлера получаем такое уравнение тепло- проводности: T t T Δ= ∂ ∂ χ , где VCκ/χ = – отношение теплопроводности к теплоемкости при постоянном объеме. Таким образом, температурные волны в классических жидкостях и газах являются чисто диссипативными. Перенос тепла в кристаллах осуществляется так называемыми фононами (квантами звука) – тепловыми возбуждениями кристаллической решетки. Сама решетка при этом оста- ется неподвижной, то есть перенос массы отсутствует. Уравнения для газа фононов выписы- ваются в газодинамической модели и представляют собой уравнения Эйлера и теплопровод- ности ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Δ=+ ∂ ∂ −=∇+ ∂ ∂ .χdiv ρρ T C S t T rTS t V VV ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 63 Здесь S и C – энтропия и теплоемкость единицы объема; r – коэффициент трения, описы- вающий взаимодействие фононов с решеткой. В идеальных кристаллах, когда трение прак- тически отсутствует, тепло распространяется по кристаллу чисто звуковым образом [21-26]. В случае большого коэффициента трения перенос тепла приобретает диффузионный харак- тер. В сверхтекучих растворах перенос энтропии и тепла осуществляется только частью жидкости, так называемой нормальной компонентой. С этой же частью жидкости движутся и все примеси. Другая часть сверхтекучего раствора, так называемая сверхтекучая компо- нента, движется без диссипации и тепло не переносит. Здесь выписаны уравнения сохранения массы (непрерывности) для всей жидкости, примесей и переноса тепла без учета вязкости. Величина ρ = ρs + ρn – плотность; v = vs + vn – скорость; S – энтропия; κ – коэффициент теплопроводности. ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∇=+ ∂ ∂ =ρ+ ∂ ∂ =+ ∂ ∂ ).κ(div1div ,0divρ ,0divρρ T T S t S c t c t n n V V V Таким образом, сверхтекучие растворы квантовых жидкостей 3Не -4Не сочетают особенности переноса тепла и массы, которые присущи как классическим жидкостям и га- зам, так и твердым телам, сверхпроводникам и магнетикам. Это послужило объяснению то- му факту, что целый ряд актуальных задач о переносе тепла и массы в этих растворах остал- ся нерешенным до настоящего времени. Среди них задача об установлении стационарного неравновесного состояния при включении потока тепла на отрезке, задача о фазовом пере- ходе первого рода в пересыщенных сверхтекучих растворах 3Не -4Не. Данная работа посвя- щена описанию переноса тепла и массы сверхтекучих растворов в бесконечной одномерной среде и на отрезке с помощью системы уравнений гидродинамики для этих растворов. 3. Создание модели Для создания модели переноса тепла и массы в сверхтекучих растворах 3Не -4Не в одномерном случае при произвольных температурах (с учетом диффузии и термодиффузии) за основу берется линеаризованная система уравнений [27] ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ,ρρρ ,0 ρρρ cμ ,0 ,0 ,0ρ 2 2 0 2 2 n 0000 2 0 00 0 0 0 0s 0 x T T k x cD x vc t c t c x ccz x cz x z xt v T zgq xx vS t S x p t j x j t T n (1) где введены малые отклонения термодинамических переменных от равновесных значений. Величина ρ описывает отклонение плотности; j – импульса; p – давления; S – энтропии; с – концентрации; μ – химического потенциала раствора; z – химического потенциала раство- ренного 3He. Величины S0, ρ0 и c0 – равновесные значения энтропии, плотности и концен- ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 64 трации; vn, vs – скорости нормальной и сверхтекучей компонент; D, kT – коэффициенты диф- фузии и термодиффузии; q, g – тепловой поток и поток примесей. Равновесные значения плотности и импульса устанавливаются значительно быстрее равновесных значений концентрации, энтропии и нормальной скорости, т.е можно положить ρ = 0 и j = 0. После некоторых преобразований оставшихся уравнений можно переписать систему (1), выбрав в качестве независимых переменных скорость относительного движения нор- мальной и сверхтекучей компонент w(x, t) = vn – vs, с(x, t) – отклонение концентрации от рав- новесного значения, и T(x, t) – отклонение температуры от равновесного значения ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ −= ∂ ∂ ,),(ζρχ),(ζρ),( ρ ρ),( ,),(),(),( ρ ρ),( ,),( ρ ζρ),( ρ ),( 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 0 2 2 0 0 00 x txT CT Dk x txc C Dk x txw C ST t txT x txT T kD x txcD x txwc t txc x txcc x txTS t txw V T V T V s Ts nn (2) с начальным условием ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ).(δ~)0,( ,0),( ,0,0)( xxT txC xw или ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = .0)0,( ),(δ~),( ,0,0)( xT xtxC xw 4. Решение задачи о релаксации начального возмущения температуры (концентрации) в бесконечной среде Исследуем решения системы (2) в неограниченной области, предполагая, что откло- нения макроскопических переменных от равновесных значений стремятся к нулю на боль- ших расстояниях. Тогда можно определить преобразование Фурье для w(x, t), C(x, t), T(x, t). Введем в рассмотрение трехмерное пространство векторов [28–31], координаты ко- торых соответствуют гидродинамическим переменным ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = )( )( )( )( tT tc tw t q q q a . Тогда система (2) может быть записана в виде дифференциального уравнения )()( tMt t qaa = ∂ ∂ с начальным условием 0 )0( )0( )0( )0( aa ≡ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ == q q q T c w t . Матрица системы (2) имеет вид ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 65 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−−− −−− −− = V T V T nV Ts nn q CT Dkq C Dkq C STiq T kDqDqciq Siqciq M 0 0 2 20200 0 22 0 0 00 ζρχζρ ρ ρ ρ ρ ρρ ζρ0 . Найдём собственные значения λi (i = 1, 2, 3) этой матрицы. Отметим, что гидродина- мическое описание можно использовать только для медленно изменяющихся в пространстве явлений. Это означает, что в преобразовании Фурье существенными являются коэффициен- ты только с малыми значениями параметра q. Следовательно, можно ограничиться рассмотрением собственных значений в пределе q→0. В этом случае величины λi можно записать в виде разложений λi = aiq + biq2 + O(q3). Тогда получим три собственных значения в виде λ1,2 = ±iu2q – Гsq2, effDq2 3λ −= , где ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++=Γ 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ε2 1χ 2 1 cC Sk u uD u u V TN s – коэффициент поглощения второго звука; 2 2 ε2 2 2 0 2 2 2 ε2 2 2 2 2 1χ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+= u u Cc Sk u uD u uD N V T N eff – коэффициент эффективной диффузии; ρρ ρ ρ ςρ 2 ε2 2 2 0 0 22 02 2 uu C TScu N Vn s n s +≡+= – квадрат скорости второго звука. Так как матрица Mq – неэрмитова, то её левые и правые собственные вектора отли- чаются. Находятся они из соотношений MqXi = λiXi, YiMq = λiYi, (i = 1, 2, 3) и при q→0 вы- глядят следующим образом: ( )( ) ( )( ) . ρ , ρ ζ , ρ Y , χρ , )(ρ ζρ,1 , ρ ρ ρ χρ ρ )(ρ ρ 1 2 200 0 0 3 22 00 2,1 2 2 0 0 3 20 0 20 0 2,1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Γ−Γ± = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Γ− Γ± = s VN n eff snsn nN s eff sV s s s CuсSTSTiqD iqu S iqu c Y u Sc iqD , X iquC ST iqu cX m mm m m m Ранее собственные вектора находились с точностью q0, и поэтому полученное реше- ние не удовлетворяло системе с требуемой точностью. Здесь мы вычислили собственные значения и вектора с одинаковой точностью. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 66 Найденные собственные векторы и соответ- ствующие им собственные значения матрицы Mq по- зволяют решить систему (2). Разложим a0 по собственным векторам a0 = α1X1 + α2X2 + α3X3, где αI = (Yi, a), i = 1, 2, 3. Тогда решение системы (2) будет иметь вид .ααα)( ,ααα)( ,ααα)( )3( 3 λ 3 )2( 3 λ 2 )1( 3 λ 1 )3( 2 λ 3 )2( 2 λ 2 )1( 2 λ 1 )3( 1 λ 3 )2( 1 λ 2 )1( 1 λ 1 321 321 321 xexexetT xexexetC xexexetw ttt q ttt q ttt q −−− −−− −−− ++= ++= ++= Выполнив обратное преобразование Фурье, получим решение системы (2). Решение системы для начального возмущения температуры (начальные условия w(x, t) = 0, c(x, t) = 0, T(x, t) = δ(x)) запишем так: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .),(),( 2 1),(2χ),(),( 2 1 ρ ),( ,),(),(3χ 2 1),(),(),( 2 1),( ,),(),(3χ2 2 1),(),( 2 1),(),( )()( 2 )()( 2 )()( 2 )()( 0 2 2 2 ε2 0 )()( 3 2 2 ε2)()( 2 2 2 ε2 2 2 2 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ Γ− +−= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − Γ− +−+= −Γ−+++= +−+− −+−+ −+−+ txGtxGtxG u txGtxG u Stxw txGtxG u txGtxGtxG TS C u uctxc txGtxG u utxGtxG u utxG u utxT xxx s n xx sDV xxs N effD eff effD (3) На рис. 1 приведен пример расчета по формуле (3) распределения температуры в бесконечной одномерной среде от точечного мгновенного источника тепла. Левый пик со- ответствует вкладу диссипативной моды, а правый – вкладу звуковой моды. Пунктирная ли- ния – вклад добавочных членов. Решение системы для начального возмущения концентрации (начальные условия w(x, t) = 0, c(x, t) = δ(x), T(x, t) = 0) имеет вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .),(),(),(),(),( 2 1 ρ ρ),( ,),(),(3χ 2 1),(),(),( 2 1),( ,),(),(3 2 1),(),( 2 1),(),( 2 2 2 ε2)()()()( 2 2 2 2 0 0 )()( 2 )()( * 0 2 2 2 2 )()( 3 2 2 2)()( 2 2 2 2 2 2 2 ε2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +Γ+−= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − Γ− +−+= −Γ+++= +−+− −+−+ +−−+ txG u uDtxGtxGtxGtxG u u c txw txGtxG u txGtxGtxG k T u utxT txGtxG u utxGtxG u utxG u utxc effD eff effD xeffxxs N s xx sD T N xxs NN Здесь введены функции , 4 exp π42 ),(, 4 exp π4 1),( 22 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= tD x tDtD xtxG tD x tD txG effeffeff D x effeff D eff eff которые описывают релаксацию за счет диссипативного механизма теплопроводности, и функции , 4 )(exp π42 )(),(, 4 )(exp π4 1),( 2 22)( 2 2)( ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Γ ± − ΓΓ ± −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Γ ± − Γ = ±± t tux tt tuxtxG t tux t txG sss x ss описывающие релаксацию, обусловленную распространением второго звука. 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 T, a . u . x, m Рис. 1. Распределение температуры в бесконечной одномерной среде от точечного мгновенного источника тепла: T0 = 0,08 K, с0 = 0,1, t = 0,001 c ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 67 5. Диссипативная часть скорости относительного движения нормальной и сверхтекучей компонент скорости w(x, t) При описании модели получены выражения для диссипативной части скорости от- носительного движения нормальной и сверхтекучей компонент скорости w(x, t) ( ) ),(2χ ρ ),( 22 txG uu Stxw effD x s n diss Γ− = при начальном возмущении температуры; ),( ρ ρ),( 2 2 2 ε2 0 0 txG u uD c txw effD xeff s diss = при начальном возмущении концентрации. Ранее диссипативная часть w(x, t) считалась рав- ной нулю. Примеры расчетов по этим формулам приведены на рис. 2. Распределение скоро- сти при точечном мгновенном источнике тепла (T0 = 0,01 K, с0 = 0,1, t = 0,01 c) дано на рис. 2, а, при точечном мгновенном источнике концентрации (T0 = 1,7 K, с0 = 0,1, t = 0,005 c) – на рис. 2, б. Левый пик соответствует диссипативной моде, а правый – вкладу звуковой моды. Пунктирная линия – вклад добавочных членов. 6. Выводы Рассмотрены математические модели описания бездиссипативного переноса тепла в таких различных средах, как твердые кристаллические тела, обычные (классические) жидко- сти и газы, квантовые жидкости, а также впервые решена задача о релаксации теплового всплеска в квантовых жидкостях во втором приближении по параметру гидродинамичности. С помощью полученной модели описан перенос тепла и массы в сверхтекучих рас- творах 3Не-4Не в бесконечной одномерной среде при начальном возмущении температуры и концентрации. Литература 1. Ландау Л. Д. Теория сверхтекучести гелия II / Л. Д. Ландау // Журн. эксперимент. и теорет. физики – 1941. – Т. 11, № 5. – С. 592–614. 2. Пешков В. П. Второй звук в гелии II / В. П. Пешков // Докл. АН СССР. – 1944. – № 45. – С. 385– 389 . 3. Peshkov V. P. Report of the Cambridge low temperature conference / V. P. Peshkov. – London, 1947. – 19 p. 4. Ward J. C. The velocity of second sound in liquid helium near the absolute zero / J. C. Ward, J. Wilks // Philos. Mag. – 1951. – Vol. 42. – P. 314–316. 5. Ward J. C. Second Sound and thermomechanical effect at very low temperatures / J. C. Ward, J. Wilks // Philos. Mag. – 1952. – Vol. 43. – P. 48–50. 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0 200 400 600 800 1000 а) б) Рис. 2. Пример распределения скорости относительного движения нормальной и сверхтекучей компонент скорости w(x,t) в бесконечной одномерной среде ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 68 6. Dingle R. V. The velocity of second sound in various media / R. V. Dingle // Proc. Phys. Soc. London – 1952. – Vol. 65, № 396. – P. 1044–1050. 7. Гуржи Р. Н. О втором звуке в твердых телах / Р. Н. Гуржи // Физика твердого тела. – 1965. – Т. 7, вып. 12. – С. 3516–3521. 8. Гуляев Ю. В. О возможности “вторых” спиновых волн в феромагнетиках / Ю. В. Гуляев // Письма в Журн. эксперимент. и теорет. физики. – 1965. – Т. 2, вып. 1. – С. 3–6. 9. Гуржи Р. Н. Гидродинамические эффекты в твердых телах при низких температурах / Р. Н. Гуржи // Усп. физ. наук. – 1968. – Т. 94.– С. 689–718. 10. Ахиезер А. И. Спиновые волны / А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский. – М.: Наука, 1967. – 364 с. 11. Зырянов П. С. Влияние второго звука в ферромагнетиках на затухание упругих волн / П. С. Зыря- нов, Г. Г. Талуц, В. Г. Шавров // Журн. эксперимент. и теорет. физики. – 1968. – Т. 55, вып. 12. – С. 2230–2236. 12. Тарасенко В. В. Второй звук в антиферромагнетиках / В. В. Тарасенко, В. Г. Шавров // Журн. экс- перимент. и теорет. физики. – 1970. – Т. 59, вып. 7. – С. 266–275. 13. Гуревич Л. Э. К теории второго звука в полупроводниках / Л. Э. Гуревич, Б.И. Шкловский // Физи- ка твердого тела. – 1966. – Т. 8, № 10. – С. 3050–3061. 14. Гуржи Р. Н. Теплопроводность металлов с равным числом электронов и дырок / Р. Н. Гуржи, В. М. Конторович // Физика твердого тела. – 1969. – Т. 11, № 11. – С. 3109–3118. 15. Гуржи Р. Н. Электронный звук в металлах./ Р. Н. Гуржи, В. М. Конторович // Журн. эксперимент. и теорет. физики. – 1969. – Т. 55, № 9. – С. 1105–1116. 16. Second Sound in solid Helium / C. C. Ackermann, B. Bertman, H. A. Fairbank, R. A. Guyer // Phys. Rev. Letters. – 1966. – Vol. 16. – P. 789–801. 17. Ackerman C. C. Second Sound in solid Helium–3 / C. C. Ackermann, W. C. Overton // Phys. Rev. Let- ters. – 1969. – Vol. 22. – P. 764–778. 18. McNelly T. F. Heat pulses in NaF: Onset of second sound / T. F. McNelly, S. J. Rogers, D. J. Chanin, R. J. Rollefson, W. M. Goubau, G. E. Schmidt, J. A. Krumhansl, R. O. Pohl // Phys. Rev. Letters. – 1970. – Vol. 24. – P. 100–116. 19. Jackson H. E. Thermal Conductivity, Second Sound and Phonon-Phonon Interaction in NaF / H. E. Jack- son, C. T. Walker // Phys. Rev. B. – 1971. – Vol. 3, № 4. – P. 1428–1439. 20. Narayanamurti V. Observation of second sound in Bismuth / V. Narayanamurti, R. C. Dunes // Phys. Rev. Lett. – 1972. – Vol. 28, № 22. – P. 1461–1465. 21. Пешков В. П. Определение скорости распространения второго звука в гелии II / В. П. Пешков // Журн. эксперимент. и теорет. физики. – 1946. – Т. 16, вып. 8. – С. 1001–1010. 22. Питаевский Л. П. Второй звук в твердом теле / Л. П. Питаевский // Усп. физ. наук. – 1968. – Т. 95, вып. 1. – С. 139–144. 23. Ахиезер А. И. К теории вторичных волн / А. И. Ахиезер, В. Ф. Алексин, В. Д. Ходусов // Укр. фіз. журн. – 1985. – Т. 30. – С. 1248–1262. 24. Ахиезер А. И. О поглощении звука в твердых телах / А. И. Ахиезер // Журн. эксперимент. и теорет. физики. – 1938. – Т. 8, № 12. – С. 1318–1329. 25. Ахиезер А. И. Газодинамика квазичастиц. I. Общая теория / А. И. Ахиезер, В. Ф. Алексин, В. Д. Ходусов // Физика низких температур. – 1994. – Т. 20, № 12. – С. 1199–1238. 26. Ахиезер А. И. Газодинамика квазичастиц. II. Кинетические коэффициенты в уравнениях переноса квазичастиц / А. И. Ахиезер, В. Ф. Алексин, В. Д. Ходусов // Физика низких температур. – 1995. – Т. 21, № 1. – С. 3–23. 27. Халатников И. М. Теория сверхтекучести / И. М. Халатников.− М.: Наука, 1970. − 160 с. 28. Nemchenko K. Sound and dissipative relaxation in superfluid 3Не-4Не mixtures / K. Nemchenko, S. Rogova // Наук. вісн. Ужгород. ун-ту. Сер. Фізика. – 2007. – Вип. 21. – C. 57–62. 29. Nemchenko K. Second Sound Contribution to Temperature Gradient Evolution in Superfluid Mixtures / K. Nemchenko, S. Rogova // J. Low Temp. Phys. – 2008. – Vol. 150, №. 3–4. – P. 187–193. 30. Nemchenko K. Heat and 3He Transfer by Second Sound in Superfluid Helium at Low Temperatures / K. Nemchenko, S. Rogova // J.Molecular Liquids. – 2010. – Vol. 151. – P. 9–11. 31. Немченко К. Э. Математическое моделирование переноса тепла в жидком гелии при конечных размерах нагревателя / К. Э. Немченко, Ю. В. Рогов, С. Ю. Рогова // Вісн. Харків. нац. ун-ту ім. В. Н. Каразіна. – 2010. – № 925, вип. 14. – C. 155–161. Поступила в редакцию 24.03.11

Моделирование бездиссипативного переноса тепла и массы в неклассических средах

Institution

Similar Items