Численное исследование устойчивости слоистого композита при одноосном сжатии слоев наполнителя
Із застосуванням основних співвідношень тривимірної лінеаризованої теорії стійкості в рамках моделі кусково-однорідного середовища одержано числовий розв'язок задачі щодо визначення критичних параметрів стійкості шаруватого композитного матеріалу при стиску шарів наповнювача поверхневим наванта...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103918 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Численное исследование устойчивости слоистого композита при одноосном сжатии слоев наполнителя / В.А. Декрет, В.С. Зеленский, В.М. Быстров // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 80-91. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-103918 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Декрет, В.А. Зеленский, В.С. Быстров, В.М. 2016-06-26T18:40:06Z 2016-06-26T18:40:06Z 2014 Численное исследование устойчивости слоистого композита при одноосном сжатии слоев наполнителя / В.А. Декрет, В.С. Зеленский, В.М. Быстров // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 80-91. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103918 Із застосуванням основних співвідношень тривимірної лінеаризованої теорії стійкості в рамках моделі кусково-однорідного середовища одержано числовий розв'язок задачі щодо визначення критичних параметрів стійкості шаруватого композитного матеріалу при стиску шарів наповнювача поверхневим навантаженням. Розглянуто випадок змішаних граничних умов на бічних сторонах композитного зразка, які відповідають умовам регулярності структури матеріалу і симетрії поверхневого навантаження, та випадок граничних умов у напруженнях для вільної від напружень однієї із бокових сторін композитного зразка. Виявлено залежність критичного навантаження від співвідношення геометричних та механічних компонент композита і композитного зразка. Досліджено вплив неоднорідності початкового стану, пов'язаного з умовами поверхневого навантаження, на форми втрати стійкості. Показано, що втрата стійкості у структурі композитного матеріалу має характер приповерхневої втрати стійкості біля завантаженої поверхні з формами втрати стійкості, які згасають при віддаленні від торцевої поверхні і відповідають механізму руйнування матеріалу у вигляді зминання торців. A numerical solution of the problem of determination of critical parameters of stability of a layered composite material is obtained for the case of compression of the filler layers basing on of the main relationships of the three-dimensional linearized theory of stability within the framework of the model of piece-wise –homogeneous medium. The case of the mixed boundary conditions on the lateral sides of composite sample is considered, which corresponds to conditions of regularity of the material structure and symmetry of surface loading. Also the case of boundary conditions in stresses is analyzed for one lateral side which is free of stresses. A dependence of critical load on the ratio of geometrical and mechanical properties of components of composite and the composite sample in whole is revealed. An effect of inhomogeneity of the initial state linked with conditions of the surface loads on the modes of stability loss is studied. It is shown that stability loss of the structure of composite has a character of the near-the-surface stability loss near the loaded surface with the modes of stability loss, which attenuate with moving away from the end surface and correspond to the mechanism of fracture of composite in the form of crumpling of ends. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Численное исследование устойчивости слоистого композита при одноосном сжатии слоев наполнителя Numerical Study of Stability of Layered Composite under Uni-Axial Compression of Filler Layers Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Численное исследование устойчивости слоистого композита при одноосном сжатии слоев наполнителя |
| spellingShingle |
Численное исследование устойчивости слоистого композита при одноосном сжатии слоев наполнителя Декрет, В.А. Зеленский, В.С. Быстров, В.М. |
| title_short |
Численное исследование устойчивости слоистого композита при одноосном сжатии слоев наполнителя |
| title_full |
Численное исследование устойчивости слоистого композита при одноосном сжатии слоев наполнителя |
| title_fullStr |
Численное исследование устойчивости слоистого композита при одноосном сжатии слоев наполнителя |
| title_full_unstemmed |
Численное исследование устойчивости слоистого композита при одноосном сжатии слоев наполнителя |
| title_sort |
численное исследование устойчивости слоистого композита при одноосном сжатии слоев наполнителя |
| author |
Декрет, В.А. Зеленский, В.С. Быстров, В.М. |
| author_facet |
Декрет, В.А. Зеленский, В.С. Быстров, В.М. |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Numerical Study of Stability of Layered Composite under Uni-Axial Compression of Filler Layers |
| description |
Із застосуванням основних співвідношень тривимірної лінеаризованої теорії стійкості в рамках моделі кусково-однорідного середовища одержано числовий розв'язок задачі щодо визначення критичних параметрів стійкості шаруватого композитного матеріалу при стиску шарів наповнювача поверхневим навантаженням. Розглянуто випадок змішаних граничних умов на бічних сторонах композитного зразка, які відповідають умовам регулярності структури матеріалу і симетрії поверхневого навантаження, та випадок граничних умов у напруженнях для вільної від напружень однієї із бокових сторін композитного зразка. Виявлено залежність критичного навантаження від співвідношення геометричних та механічних компонент композита і композитного зразка. Досліджено вплив неоднорідності початкового стану, пов'язаного з умовами поверхневого навантаження, на форми втрати стійкості. Показано, що втрата стійкості у структурі композитного матеріалу має характер приповерхневої втрати стійкості біля завантаженої поверхні з формами втрати стійкості, які згасають при віддаленні від торцевої поверхні і відповідають механізму руйнування матеріалу у вигляді зминання торців.
A numerical solution of the problem of determination of critical parameters of stability of a layered composite material is obtained for the case of compression of the filler layers basing on of the main relationships of the three-dimensional linearized theory of stability within the framework of the model of piece-wise –homogeneous medium. The case of the mixed boundary conditions on the lateral sides of composite sample is considered, which corresponds to conditions of regularity of the material structure and symmetry of surface loading. Also the case of boundary conditions in stresses is analyzed for one lateral side which is free of stresses. A dependence of critical load on the ratio of geometrical and mechanical properties of components of composite and the composite sample in whole is revealed. An effect of inhomogeneity of the initial state linked with conditions of the surface loads on the modes of stability loss is studied. It is shown that stability loss of the structure of composite has a character of the near-the-surface stability loss near the loaded surface with the modes of stability loss, which attenuate with moving away from the end surface and correspond to the mechanism of fracture of composite in the form of crumpling of ends.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103918 |
| citation_txt |
Численное исследование устойчивости слоистого композита при одноосном сжатии слоев наполнителя / В.А. Декрет, В.С. Зеленский, В.М. Быстров // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 80-91. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT dekretva čislennoeissledovanieustoičivostisloistogokompozitapriodnoosnomsžatiisloevnapolnitelâ AT zelenskiivs čislennoeissledovanieustoičivostisloistogokompozitapriodnoosnomsžatiisloevnapolnitelâ AT bystrovvm čislennoeissledovanieustoičivostisloistogokompozitapriodnoosnomsžatiisloevnapolnitelâ AT dekretva numericalstudyofstabilityoflayeredcompositeunderuniaxialcompressionoffillerlayers AT zelenskiivs numericalstudyofstabilityoflayeredcompositeunderuniaxialcompressionoffillerlayers AT bystrovvm numericalstudyofstabilityoflayeredcompositeunderuniaxialcompressionoffillerlayers |
| first_indexed |
2025-11-25T21:07:22Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:07:22Z |
| _version_ |
1850545341937483776 |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 5
80 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, № 5
В .А .Д е к р е т , В .С . З е л е н с к и й , В .М . Бы с т р о в
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СЛОИСТОГО
КОМПОЗИТА ПРИ ОДНООСНОМ СЖАТИИ СЛОЕВ НАПОЛНИТЕЛЯ
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: numer@inmech.kiev.ua
Abstract: A numerical solution of the problem of determination of critical parameters
of stability of a layered composite material is obtained for the case of compression of the
filler layers basing on of the main relationships of the three-dimensional linearized theory of
stability within the framework of the model of piece-wise –homogeneous medium. The case
of the mixed boundary conditions on the lateral sides of composite sample is considered,
which corresponds to conditions of regularity of the material structure and symmetry of sur-
face loading. Also the case of boundary conditions in stresses is analyzed for one lateral side
which is free of stresses. A dependence of critical load on the ratio of geometrical and me-
chanical properties of components of composite and the composite sample in whole is re-
vealed. An effect of inhomogeneity of the initial state linked with conditions of the surface
loads on the modes of stability loss is studied. It is shown that stability loss of the structure
of composite has a character of the near-the-surface stability loss near the loaded surface
with the modes of stability loss, which attenuate with moving away from the end surface
and correspond to the mechanism of fracture of composite in the form of crumpling of ends.
Key words: layered composite material, uni-axial longitudinal compression, critical load,
mode of stability loss, three-dimensional linearized theory of stability, crumpling of ends.
Введение.
При эксплуатационных нагрузках и технологических процессах изготовления во-
локнистых и слоистых композитных материалов (КМ) возникают сжимающие напря-
жения, которые могут привести к потере несущей способности и разрушению элемен-
тов конструкций и образцов из указанных материалов. Среди возможных механизмов
разрушения композитов при сжатии [2, 6, 10 – 12, 15 – 19, 21, 22, 24 – 27] одним из
основных является потеря устойчивости в структуре волокнистых и слоистых компо-
зитных материалов. В [2, 15, 18] сформулированы неклассические проблемы механи-
ки разрушения и рассмотрены соответствующие механизмы разрушения КМ при сжа-
тии. Одной из таких проблем является разрушение в виде смятия торцов образцов и
элементов конструкций из композитов при сжатии [2, 3, 6]. Континуальная теория
разрушения при смятии торцов рассмотрена в [2] и показано, что на первоначальном
этапе разрушения при смятии торцов наиболее вероятным механизмом является поте-
ря устойчивости в структуре композита, которая имеет характер приповерхностной
потери устойчивости вблизи загруженного торца с формами потери устойчивости,
затухающими при удалении от торца. Этот механизм относится к однонаправленным
или ортогонально-армированным композитам при нагружении вдоль осей симметрии.
В [3, 6] в рамках модели кусочно-однородной среды представлены результаты численно-
го исследования приповерхностной потери устойчивости слабоармированного слоистого
КМ при одноосном поверхностном нагружении для случая кусочно-однородного докри-
тического состояния, которые подтверждают наличие указанного механизма.
При одноосном сжатии однонаправленных композитов вдоль направления арми-
рования возникают нормальные сжимающие напряжения на плоскостях, параллель-
81
ных торцевой поверхности. Это обусловливает описанный выше механизм на перво-
начальном этапе разрушения композита при смятии торцов. При этом начальное на-
пряженно-деформированное состояние в случае равномерной поверхностной нагруз-
ки можно рассматривать, как однородное или кусочно-однородное. Более сложное
напряженно-деформированное состояние может иметь место в случае ограничений на
перемещения в плоскости торца и более сложных условий нагружения поверхности
материала. К таким условиям нагружения можно отнести поверхностную нагрузку,
которая прикладывается только к армирующим компонентам КМ и, в общем случае,
имеет период, сравнимый или превышающий характерный размер структуры мате-
риала. В [20] показано, что размер и геометрия области неоднородности напряженно-
го состояния, характер распределения напряжений и деформаций зависят от соотно-
шения механических и геометрических характеристик компонент материала, степени
их анизотропии а также от соотношения геометрических параметров, которые опре-
деляют микроструктуру композита и размер расчетной области. Наличие в области
приложения поверхностной нагрузки отличных от нуля сдвиговых касательных на-
пряжений, как известно, может существенным образом повлиять на критические па-
раметры устойчивости КМ [22, 27]. Неоднородность докритического состояния также
влияет на механизмы разрушения, связанные с потерей устойчивости в структуре КМ,
последовательность их проявления и характер взаимодействия при разрушении эле-
ментов конструкций и образцов из КМ.
Отметим, что адекватное описание столь сложного явления как потеря устой-
чивости в структуре КМ не может быть достаточно надежно реализовано в рамках
двумерных прикладных теорий устойчивости тонкостенных элементов (стержней,
пластин и оболочек). В настоящее время наиболее строгим и точным подходом
при решении задач указанного класса является применение модели кусочно-
однородной среды и основных соотношений трехмерной линеаризированной тео-
рии устойчивости (ТЛТУДТ), которые учитывают неоднородность докритическо-
го состояния [1, 13].
Сложность получения аналитических решений для задач указанного класса
предполагает использование современных численных методов [4, 7, 8]. Числен-
ный подход на основе метода сеток к решению задач определения устойчивости
композитов слоистой и волокнистой структуры при неоднородных докритических
состояниях развит в [4, 5, 9, 14]. Заметим, что при использовании численных ме-
тодов и, в частности, метода сеток, который применяется в данной работе, задачи
определения докритического состояния и устойчивости формулируются для рас-
четной области конечных размеров. Переход от исходной модели для материалов,
которым соответствует бесконечная или полубесконечная область, к области ко-
нечных размеров осуществляется из условий регулярности и периодичности ком-
позитных структур, симметричности условий нагружения. При этом для расчет-
ной области конечных размеров должны быть определенным образом учтены ус-
ловия периодичности композитной структуры, соответствующие материалу, кото-
рый моделируется бесконечной или полубесконечной областью [2, 16, 26]. Реше-
ние задачи устойчивости для представительного элемента КМ при граничных ус-
ловиях, которые соответствуют условиям симметрии (а не условиям периодичности),
приводит к более высоким значениям критических нагрузок и формам потери устой-
чивости, которые соответствуют т.н. «однонаправленным» формам потери устойчи-
вости (unidirectional buckling) [17]. Это связано с наложением дополнительных свя-
зей в виде, например, смешанных граничных условий на боковых сторонах расчет-
ной области, которые соответствуют условиям симметрии и включают кинема-
тические условия по одной из составляющих. Но с другой стороны, такая рас-
четная модель определенным образом учитывает влияние боковых поверхностей
образца или элемента конструкции при исследовании механизма разрушения ма-
териала при смятии торцов. Включение в расчетную схему граничных условий для
свободной от напряжений боковой поверхности образца также позволяет более
адекватно учесть влияние на механизмы разрушения реальных условий эксплуа-
тации элементов конструкций и условий испытания образцов из КМ.
82
Данная работа является развитием численных исследований устойчивости
композитных материалов при неоднородных докритических состояниях и имеет
отношение к разработке моделей для их совместного использования в рамках вы-
числительного эксперимента при расчете композитных материалов и элементов
конструкций из них. В [5] с использованием модели кусочно-однородной среды и
соотношений трехмерной линеаризированной теории устойчивости построена
расчетная схема для численного исследования и проведения сравнительного ана-
лиза критических параметров устойчивости материала и элемента конструкции
слоистой структуры при одноосном продольном сжатии поверхностной нагрузкой
армирующих слоев (для элемента конструкции – более жестких слоев). Эта рас-
четная схема может быть использована для исследования механизмов разрушения
КМ, связанных с потерей устойчивости в структуре композита, которая имеет ха-
рактер приповерхностной потери устойчивости вблизи загруженной торцевой по-
верхности материала.
Ниже на основе указанной расчетной схемы исследовано влияние неоднородности
докритического состояния на критическую нагрузку и форму потери устойчивости
слоистого КМ. Задача решена для двух видов граничных условий на боковых сторо-
нах расчетной области. Одно из них соответствует условиям симметрии для беско-
нечной слоистой среды, второе – случаю свободной от напряжений одной из боковых
поверхностей композитного образца. Рассмотрение различных видов граничных ус-
ловий позволяет более полно учесть реальные условия эксплуатации композитов. В
работе также исследована зависимость критической нагрузки от соотношения геомет-
рических и механических характеристик компонент композитных структур и прове-
ден сравнительный анализ результатов для различных видов граничных условий на
боковых сторонах расчетной области. С использованием статического метода Эйлера
задача сведена к обобщенной задаче на собственные значения. Для численного реше-
ния задачи использован модифицированный вариационно-разностный подход. Для
решения разностных задач применены эффективные прямые и итерационные методы,
которые обеспечивают необходимую точность проведения расчетов в рамках вычисли-
тельного эксперимента.
§1. Постановка задачи. Расчетные схемы.
Рассмотрим задачу устойчивости слоистого двухкомпонентного КМ регуляр-
ной структуры (рис 1, а) при равномерном одноосном сжатии армирующих слоев
поверхностной нагрузкой постоянной интенсивности. Предполагаем, что на бес-
конечности армирующие слои также нагружены сжимающей нагрузкой. Исходя из
условий симметрии нагружения и регулярности структуры КМ, задачу устойчивости
решаем для расчетной области конечных размеров (рис 1, б). Поскольку исследу-
ем влияние на критические параметры устойчивости граничных условий на боко-
вых сторонах расчетной области, будем различать потерю устойчивости в КМ и
композитном образце, который соответствует этому материалу. В первом случае
граничные условия на боковых сторонах расчетной области соответствуют усло-
виям симметрии. Во втором случае рассматриваем образец со свободной от на-
пряжений одной из сторон, а для другой стороны используем те же условия, что и
в первом случае. Первую расчетную схему будем условно относить к материалу, а
вторую – к композитному образцу. Таким образом, рассматриваем две расчетные
схемы, которые позволяют провести сравнительный анализ потери устойчивости в
структуре материала для различных условий закрепления образца. При этом сле-
дует иметь в виду, как отмечено выше, что значения критических нагрузок будут
иметь более высокие значения, чем для расчетных схем, которые учитывают усло-
вия периодичности структуры композита.
Пусть поверхностная нагрузка приложена только к слоям наполнителя, что, в об-
щем случае, приводит к неоднородному докритическому состоянию. Предполагаем, что
поверхностное нагружение реализуется в виде «мертвой» нагрузки, что обеспечивает
выполнение достаточных условий применимости статического метода ТЛТУДТ [23].
Для исследования устойчивости композитных структур применяем статический метод
ТЛТУДТ в рамках второго варианта теории малых докритических деформаций. Докри-
тическое состояние определяем из решения плоской задачи линейной теории упругости
83
кусочно-однородных тел для различных граничных условий, которые соответствуют
трехслойному элементу периодичности в случае материала и трехслойному элементу
структуры с боковыми сторонами, свободными от напряжений, в случае композитно-
го образца. Исходя из условий симметрии нагружения, для КМ и композитного об-
разца слоистой структуры в качестве расчетной схемы рассматриваем краевую задачу
со следующими граничными условиями (рис.1, в). Для КМ – с однородными смешан-
ными граничными условиями на боковых сторонах двухслойной расчетной области.
Для композитного образца – с однородными смешанными граничными условиями
(совпадают с условиями для КМ) на одной из сторон и однородными условиями в
напряжениях для стороны, свободной от напряжений.
а б
x2
x1
;00,112 x
Px 0,122
;00,112 x
.00,122 x
0,2 2
2
1
1
11 xllu – (для
КМ);
0,2 2
2
1
1
111 xll –
(для композитного образца).
;0,0 21 xu
.0,0 212 x
.02/, 2112 lx
.02/, 212 lxu
.0,2 2
2
1
1
112 xll
Наполнитель
Связующее
в
Рис. 1
При постановке задачи КМ и композитный образец слоистой структуры (в дальней-
шем – композитные структуры) отнесем к декартовой системе координат 1 2 3Ox x x и раз-
местим в верхнем полупространстве 02x . Принимаем, что слои являются достаточно
84
протяженными в направлении оси 3Ox ,
размещены параллельно плоскости
2 3Ox x и армирующие слои сжимаются
вдоль оси 2Ox поверхностной (торце-
вой) нагрузкой постоянной интенсивно-
сти. При выполнении этих условий зада-
чу можно рассматривать в двумерной
постановке для случая плоской деформа-
ции в плоскости 1 2x Ox (рис. 1).
Как следует из вышеизложенного,
задачу устойчивости формулируем для
расчетной области, которая для материа-
ла слоистой структуры соответствует
элементу периодичности и по своим гео-
метрическим и механическим характе-
ристикам совпадает с расчетной обла-
стью для композитного образца. Таким образом, расчетная область, представленная на
рис. 1, в и рис. 2, ориентирована как на исследование устойчивости КМ, так и композит-
ного образца при одноосном сжатии армирующих слоев поверхностной нагрузкой.
На рис. 2 использованы обозначения:
1 2
1 1 1 1 2 2(0 2, 2),S x l l x l 1 2
2 1 1 1 2 2( 2, 0 ),S x = l l x l
1 1 2
3 1 1 1 1 2( 2 2, 0),S l x l l x 1
4 1 1 2(0 2, 0)S x l x , 5 1 2 2( 0, 0 )S x x l .
При использовании статического метода Эйлера задача устойчивости сводится к
обобщенной задаче на собственные значения, в которой минимальное собственное
значение определяет критическую загрузку, а соответствующая собственная функ-
ция 1 2( )u ,uu = – форму потери устойчивости. Уравнения и граничные условия для
определения критических параметров устойчивости рассматриваемых композитных
структур имеют следующий вид:
0
,( ) 0, ;im ik m,k iu x (1.1)
0
21 2 1 2 1( ) 0, 0, ;k ,ku u x S
0
12 1 2 1 2( ) 0, 0,k ,ku u x S – для КМ;
0( ) 0,im ik m,k 2u x S – для композитного образца; (1.2)
0
3( ) 0,im ik m,ku x S ; 22 22 2,2 4( ) 0, ;u x S
0
12 1 2, 1 5( ) 0, 0, .k ku u x S
Условия контакта между слоями имеют вид:
0; 0.ij iu (1.3)
Критическую нагрузку определяем из следующего условия:
x1
x2
21
1l
S2
S4 S3
S1
S5
Рис. 2
22
1l
22l
85
1 3 4
1 2
1 1 1 1
( )
min / ( ) ( ) кр
x S S
P l l p x dx
= 1 1 2
1 1 1min ( ( )),P l l l (1.4)
где min – минимальное по модулю собственное число задачи (1.1), (1.2). Вид соотно-
шения (1.3) отражает тот факт, что сжимающую нагрузку 1( )p x прикладываем только к
армирующим слоям.
Компоненты докритического состояния определяем из уравнений линейной тео-
рии упругости, которые вместе с граничными условиями и основными соотношения-
ми имеют такой вид:
0 0,ij,i x ; (1.5)
0 0
21 2 10, 0, u x S ;
0 0
12 1 20, 0, u x S – для КМ;
0
20, ij x S – для композитного образца; (1.6)
0
30, ij x S ; 0 0
22 21 4, 0, P x S ; 0 0
12 50 0, 1u x S ;
0
ii ik ikA ; 0 2ij ijG ;
1
( )
2ij i, j j,iu u , i j ; (1.7)
(1 )
(1 )(1 2 )ii
E
A
;
(1 )(1 2 )ij
E
A
. (1.8)
Обозначения в (1.1) – (1.8) являются общепринятыми и индексы изменяются
от 1 до 2. В соотношениях (1.1) – (1.7) верхним индексом «0» обозначены компоненты
напряжений и перемещений для докритического состояния. Индекс, обозначающий при-
надлежность к слою композитной структуры для удобства опущен.
Для сравнительного анализа результатов определения критических нагрузок и
форм потери устойчивости в композитных структурах при однородных и неоднород-
ных докритических состояниях в рамках вычислительного эксперимента определены
значения напряжений в области установившегося напряженного состояния для неод-
нородного докритического состояния. Эти значения на последующих этапах вычис-
лительного эксперимента использованы для задания условий нагружения, которые
приводят к кусочно-однородному докритическому состоянию.
§2. Численное решение задачи. Применение метода сеток.
Задачу (1.1) – (1.4) решаем методом сеток с использованием концепции базовой
схемы. При таком подходе разностную схему для расчетной области строим в каждом
сеточном узле как определенную сумму значений базовой схемы, представляющей
собой разностную схему, полученную вариационно-разностным способом на шаблоне
ячейки разностной сетки [3, 4].
При использовании численного подхода задача для исходной полубесконечной
модели композитного материала сводится к задаче для ограниченной расчетной об-
ласти. Размер этой области определяем в результате вычислительного эксперимен-
та, исходя из условия, что расчетные параметры принимают установившееся значе-
ние относительно изменения (увеличения) размеров расчетной области в направле-
нии оси 2Ox . Такими расчетными параметрами являются размер области неодно-
родного докритического состояния и критические нагрузки. Установленные разме-
86
ры расчетной области для КМ используем также для композитного образца при
сравнительном анализе влияния граничных условий на критические параметры ус-
тойчивости композитных структур.
На рис. 2 представлена расчетная область в которой введена неравномерная раз-
ностная сетка. На прямоугольной неравномерной разностной сетке , которая
аппроксимирует область задаче (1.1) – (1.4) ставим в соответствие разностную
задачу такого вида:
m mA B u u x (2.1)
, ,
, ;
m u
m
m u
a
A
Eu
ξ
ξ
m
m
x
u x
u
x
, ,
;
m u
m
m u
b
B
Eu
ξ
ξ
m
m
x
u x
u
x
0 0
, ,( )
, ( ) ,
jj
k k
j j
jk i jk iji ji
i i
u u
a H b H
ξ u u x ; (2.2)
ii ik kkA ; 12 122G ; , ,0,5
j iij i ju u ; , sign
i
i i
i
z z
z
h
.
В (2.1), (2.2) переменные обозначаем (где такое возможно) так же, как соот-
ветствующие континуальные переменные, что, по-видимому, не может привести к
недоразумениям; ,m ma b – компоненты базовых операторов a , b ; H – площадь
ячейки; ih – шаг ячейки в направлении ix ; ,ij ij – разностные аналоги компонент
напряжений, деформаций из (1.1) – (1.4); , i
z – разностная производная сеточной
функции z ξ в направлении ix , правая – при 0i ; 1 2, , i i ξ – параметр
узла ячейки; знак
ξ x
– суммирование компоненты базовой схемы по тем параметрам
ξ , которые совпадают с сеточным узлом x ; i i ; E – тождественный оператор;
mu
– участок границы , на котором m -ая компонента разностного аналога граничного
условия задана в смещениях.
Для решения дискретных задач применены эффективные численные методы [23]
в соответствии с методикой, представленной в работах [3, 4]. В рассматриваемом слу-
чае алгебраическая задача решена прямым методом Холецкого, а после сгущения раз-
ностной сетки применен итерационный метод сопряженных градиентов. При этом
решение, полученное методом Холецкого, было интерполировано и принято в качест-
ве начального приближения для решения дискретной задачи на собственные значения
методом итерирования подпространства.
§3. Числовые результаты и их анализ.
Рассмотрены композитный материал и композитный образец слоистой структуры
с одинаковой расчетной областью и одинаковыми условиями поверхностного (торце-
вого) нагружения со следующими механическими и геометрическими характеристи-
ками: 1 2/E E = 10, 20, 50, 100, 500, 1000; 1 = 2 =0,3; ac 4 3 4( )S S S = = 0,1; 0,111;
0,125; 0,143; 0,167; 0,2; 0,25; 0,333; 0,5 ( ac – объемное содержание армирующих ком-
87
понентов). Здесь 1 2, E E и 1 , 2 – соответственно, модули Юнга и коэффициенты
Пуассона армирующих слоев и слоев связующего.
На рис. 3 представлена зависимость критических нагрузок для материала и ком-
позитного образца от объемного содержания армирующих компонентов для различ-
ных значений отношения их модулей Юнга. Кривые 1, 2 соответствуют однородным
граничным условиям в напряжениях (для композитного образца) на границе 2x S для
значений 1 2/E E = 10 и 1 2/E E = 100, соответственно, а кривые 3, 4 – однородным
смешанным граничным условиям (для элемента периодичности композитного материа-
ла) на границе 2x S для значений 1 2/E E = 10 и 1 2/E E = 100, соответственно.
Рис. 3
На рис. 4 представлена зависимость отношения /н с
кр крP P критических нагру-
зок ( н
крP – для случая граничных условий в напряжениях и с
крP – для смешанных
граничных условий) от объемного содержания ac армирующих компонент. Кри-
вая 1 соответствует отношению 1 2/E E = 100, а кривая 2 – 1 2/E E = 10. Концен-
трация армирующих слоев изменялась в пределах 0,1 – 0,5.
Как видно из представленной графической информации, критическая нагруз-
ка, которая соответствует смешанным граничным условиям (элемент периодич-
ности композитного материала), характеризуется большим значением, чем в
случае граничных условий в напряжениях (элемент симметрии композитного
образца) при объемном содержании армирующих компонент ac 0,16 для
1 2/E E = 100 и ac < 0,18 для 1 2/E E = 10.
Рис. 4
88
На рис. 5 и 6 представлены формы потери устойчивости в КМ и композитном об-
разце, соответственно (расчеты проведены при объемном содержании армирующих
компонент aс = 0,5). Зависимости 1 2( )u x приведены для сечений 1 /x h = 0,125; 0,25;
0,375; 0,5; 0,625; 0,75, обозначенных на рисунках, соответственно, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кри-
вая 4 (сечение 1 /x h = 0,5) соответствует линии контакта. Значения координаты 2x и
значения возмущений 1u отнесены к параметру структуры 1 2
1 1( ) 2h l l .
в г
Рис. 5
На рис. 5 (а, б) представлены формы потери устойчивости в КМ при неодно-
родном докритическом состоянии, соответственно, для слоя наполнителя и слоя
связующего. Эти формы имеют затухающий характер и характеризуют поверх-
ностную неустойчивость материала. Формы потери устойчивости локализуются
вблизи поверхности материала и имеют вид синусоиды с затухающей амплиту-
дой при удалении от поверхности. Для сравнения на рис. 5 (в, г) представлена
аналогичная графическая информация для случая кусочно-однородного докри-
тического состояния. При таком докритическом состоянии область локализации
форм потери устойчивости (область поверхностной неустойчивости) имеет зна-
чительно меньший размер, а максимальная амплитуда форм потери устойчивости
характеризуется более высоким значением.
89
На рис. 6 (а, б) представлены формы потери устойчивости в композитном образце
при неоднородном докритическом состоянии, соответственно, для слоя наполнителя и
слоя связующего с теми же механическими и геометрическими характеристиками, что
в случае КМ. Эти формы также имеют затухающий характер и характеризуют потерю
устойчивости в структуре композитного образца. Как и в случае КМ формы потери
устойчивости локализуются в торцевой области композитного образца.
Рис. 6
Для сравнения на рис. 6 (в, г) представлена аналогичная графическая информация
для случая кусочно-однородного докритического состояния. При таком докритичес-
ком состоянии локализация форм потери устойчивости имеет более ярко выраженный
характер, а максимальная амплитуда форм потери устойчивости, как и в случае КМ,
характеризуется более высоким значением.
Выводы.
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.
1. При неоднородном начальном состоянии для рассмотренных граничных усло-
вий на боковых поверхностях композитного образца в определенном диапазоне зна-
чений объемного содержания армирующих слоев композитному материалу соответ-
ствует меньшее значение критической нагрузки. Такими граничными условиями яв-
90
ляются однородные смешанные граничные условия (совпадают с условиями для ма-
териала) на одной из сторон и однородные условия в напряжениях для стороны, сво-
бодной от напряжений.
2. Потеря устойчивости в структуре слоистого композитного материала и композит-
ного образца при объемном содержании армирующих компонент aс = 0,5 имеет характер
приповерхностной потери устойчивости вблизи загруженной поверхности с формами
потери устойчивости, которые затухают при удалении от торцевой поверхности. Уста-
новленный факт указывает на то, что разрушение композитного материала, обусловлен-
ное потерей устойчивости при одноосном сжатии, имеет характер смятия торцов.
3. Неоднородность докритического состояния существенным образом влияет на
амплитудные характеристики форм потери устойчивости и размеры области их лока-
лизации. Максимальные амплитуды форм потери устойчивости в случае композитно-
го материала характеризуются менее высоким значением, чем в случае композитного
образца, но область их локализации имеет больший размер как при неоднородном, так
и при кусочно-однородном состоянии.
Р Е ЗЮМ Е Із застосуванням основних співвідношень тривимірної лінеаризованої теорії стій-
кості в рамках моделі кусково-однорідного середовища отримано чисельний розв’язок задачі щодо
визначення критичних параметрів стійкості шаруватого композитного матеріалу при стиску шарів
наповнювача поверхневим навантаженням. Розглянуто випадок змішаних граничних умов на бічних
сторонах композитного зразка, які відповідають умовам регулярності структури матеріалу і симетрії
поверхневого навантаження, та випадок граничних умов у напруженнях для вільної від напружень
однієї із бокових сторін композитного зразка. Виявлено залежність критичного навантаження від
співвідношення геометричних та механічних компонент композиту і композитного зразка. Дослідже-
но вплив неоднорідності початкового стану, пов’язаного з умовами поверхневого навантаження, на
форми втрати стійкості. Показано, що втрата стійкості у структурі композитного матеріалу має
характер приповерхневої втрати стійкості біля завантаженої поверхні з формами втрати стійкості,
які згасають при віддаленні від торцевої поверхні і відповідають механізму руйнування матеріалу
у вигляді зминання торців.
1. Гузь А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. – К.: Вища школа,
1986. – 512 c.
2. Гузь А.Н. Основы механики разрушения композитов при сжатии: В 2-х т. (Т.1. Разрушение
в структуре материала. – 592 с. Т.2. Родственные механизмы разрушения. – 736 с.). – К.:
“ЛИТЕРА”, 2008.
3. Гузь А.Н., Коханенко Ю.В. Численное исследование задач устойчивости композитов (обзор)
// Прикл. механика. – 2004. – 40, № 11. – С. 117 – 126.
4. Григоренко Я.М., Шевченко Ю.В., Василенко А.Т. и др. Численные методы // Механика композитов:
В 12-и т. / Под общей ред. А.Н. Гузя. Т.11. – К.: “А.С.К.”, 2002. – 448 с.
5. Зеленский В.С., Декрет В.А., Быстров В.М. Устойчивость слоистого композитного материала при
одноосном нагружении // Збірник наук. праць Дніпродзержинського держ. техн. ун-ту (технічні
науки). Тематичний випуск “Математичні проблеми технічної механіки” / Дніпродзержинськ:
ДДТУ, 2012. – Випуск 2(19). – C. 49 – 53.
6. Коханенко Ю. В. Хрупкое разрушение композитных материалов при смятии торцов // Докл. АН
СССР. – 1987. – 296, № 4. – С. 805 – 808.
7. Akin J. E. Finite element analysis concepts: via SolidWorks. – Hackensack, NJ: World Scientific,
2010. – 335 p.
8. Barbero E. J. Finite Element Analysis of Composite Materials Using ANSYS. – CRC Press, 2nd edition,
2013. – 366 р. http://barbero.cadec-online.com/feacm-ansys.
9. Bashchuk E.Yu., Baichuk V.Yu. Influence of the Principal Stress State of the Critical Loads of a Plate with
a Crack // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 3. – P. 82 – 89.
10. Fleck N.A. Compressive failure of fiber composites // Advances in Appl. Mech. – 1997. – 33. –
P. 43 – 117.
11. Greszczuk LB. Microbuckling failure of lamina-reinforced composites // Composite Materials : Testing
and Design (3rd Conf) ASTM STP N 546. – Philadelphia (Pa), 1974. – P. 5 – 29.
91
12. Greszczuk LB. Microbuckling failure of circular fiber-reinforced composites // AIAA J. – 1975.
– 13. – 1311 – 1318.
13. Guz A.N. Fundamentals of the Three-Dimensional Theory of Stability of Deformable Bodies. Berlin:
Springer-Verlag, 1999. – 555 p.
14. Guz A.N., Dekret V.A. On two models in three-dimensional theory of stability of composite materi-
als // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 1. – P. 839 – 854.
15. Guz A.N. On study of nonclassical problems of fracture and failure mechanics and related mecha-
nismus // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 1. – P. 1 – 31.
16. Guz A.N. Setting up a theory of stability of fibrous and laminated composites // Int. Appl. Mech. – 2009.
– 45, N 6. – P. 587 – 613.
17. Guz A.N. Stability of elastic bodies under omnidirectional compression (Review) // Int. Appl. Mech.
– 2012. – 48, N 3. – P. 241 – 293.
18. Guz A.N., Guz I.A., Menshikov A.V., Menshikov V.A. The Spatial Problems of Dynamical Fracture Me-
chanics of Materials with Cracs at Interface (Review) // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 1. – P. 3 – 79.
19. Jelf P.M., Fleck N.A. Compression Failure Mechanisms in Unidirectional Composites // J. of Composite
Materials. – 1992. – 26, N 18. – P. 2706 – 2726.
20. Kokhanenko Yu.V., Bystrov V.M. Edge Effect in a Laminated Composite with Longitudionally Com-
pressed Laminas // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 8. – P. 922 – 927.
21. Naik, N.K., Kumar R.S. Compressive strength of unidirectional composites: evaluation and comparison
of prediction models // Composite Structures. – 1999. – 46. – P. 299 – 308.
22. Nestorovic M.D., Triantafyllidis N. Onset of failure in finitely strained layered composites subjected to
combined normal and shear loading // J. Mech. Phys.Solids. – 2004. – 52. – P. 941 – 974.
23. Pissanetzky S. Sparse Matrix Technology. – London: Academic Press, 1984. – 321 pp.
24. Rosen B.W. Mechanics of composite strengthening // Fiber Composite Materials. American Society of
Metals, Metals Park, OH. – 1965. – P. 37 – 75.
25. Soutis C. Compressive Behavior of Composites. – London: Rapra Technology Ltd, 1997. – 132 pp.
26. Triantafyllidis N., Scynaidt W.C. Сomparison of microscopic and macroscopic instabilities in a class of
two-dimensional periodic composites // J. Mech. Phys.Solids. – 1993. – 41, N 9. – P. 1533 – 1565.
27. Vogler T. J., Hsu S.-Y., Kyriakides S. Composite failure under combined compression and shear // Int. J.
Solids Struct. – 2000. – 37, N 12. – P. 1765 – 1791.
Поступила 28.12.2012 Утверждена в печать 29.05.2014
|