Напряженное состояние гибких композитных оболочек с подкрепленными отверстиями
Досліджено нелінійне деформування гнучких композитних оболонок з підкріпленими криволінійними отворами при дії статичного навантаження. Дано постановку задач вказаного класу та методику їх числового розв'язання з врахуванням скінченних прогинів. Для ортотропної циліндричної оболонки з підкріпле...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103919 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Напряженное состояние гибких композитных оболочек с подкрепленными отверстиями / В.А. Максимюк, Е.А. Сторожук, И.С. Чернышенко // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 92-100. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-103919 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Максимюк, В.А. Сторожук, Е.А. Чернышенко, И.С. 2016-06-26T18:41:40Z 2016-06-26T18:41:40Z 2014 Напряженное состояние гибких композитных оболочек с подкрепленными отверстиями / В.А. Максимюк, Е.А. Сторожук, И.С. Чернышенко // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 92-100. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103919 Досліджено нелінійне деформування гнучких композитних оболонок з підкріпленими криволінійними отворами при дії статичного навантаження. Дано постановку задач вказаного класу та методику їх числового розв'язання з врахуванням скінченних прогинів. Для ортотропної циліндричної оболонки з підкріпленим круговим отвором, навантаженої рівномірним внутрішнім тиском, досліджено розподіл напружень, деформацій і переміщень вздовж контура отвору та в зоні їх концентрації. Одержані дані порівняно з розв'язками відповідних задач в лінійно-пружній постановці та для оболонки з вільним отвором. Проведено аналіз одержаних результатів. A nonlinear deformation of the flexible composite shells with supported curvilinear holes under action of static loading is considered. A statement of problems of the mentioned class and a technique of their numerical solving with allowance for the finite deflections are given. For the orthotropic cylindrical shell with supported circular hole loaded by the uniform internal pressure, the distribution of stresses, strains, and displacements along the hole contour and in the zone of their concentration is studied. The findings are compared with solutions of corresponding linear problem and the shell with free hole. The results are analyzed. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Напряженное состояние гибких композитных оболочек с подкрепленными отверстиями Stress State of Flexible Composite Shells with Stiffened Holes Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Напряженное состояние гибких композитных оболочек с подкрепленными отверстиями |
| spellingShingle |
Напряженное состояние гибких композитных оболочек с подкрепленными отверстиями Максимюк, В.А. Сторожук, Е.А. Чернышенко, И.С. |
| title_short |
Напряженное состояние гибких композитных оболочек с подкрепленными отверстиями |
| title_full |
Напряженное состояние гибких композитных оболочек с подкрепленными отверстиями |
| title_fullStr |
Напряженное состояние гибких композитных оболочек с подкрепленными отверстиями |
| title_full_unstemmed |
Напряженное состояние гибких композитных оболочек с подкрепленными отверстиями |
| title_sort |
напряженное состояние гибких композитных оболочек с подкрепленными отверстиями |
| author |
Максимюк, В.А. Сторожук, Е.А. Чернышенко, И.С. |
| author_facet |
Максимюк, В.А. Сторожук, Е.А. Чернышенко, И.С. |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Stress State of Flexible Composite Shells with Stiffened Holes |
| description |
Досліджено нелінійне деформування гнучких композитних оболонок з підкріпленими криволінійними отворами при дії статичного навантаження. Дано постановку задач вказаного класу та методику їх числового розв'язання з врахуванням скінченних прогинів. Для ортотропної циліндричної оболонки з підкріпленим круговим отвором, навантаженої рівномірним внутрішнім тиском, досліджено розподіл напружень, деформацій і переміщень вздовж контура отвору та в зоні їх концентрації. Одержані дані порівняно з розв'язками відповідних задач в лінійно-пружній постановці та для оболонки з вільним отвором. Проведено аналіз одержаних результатів.
A nonlinear deformation of the flexible composite shells with supported curvilinear holes under action of static loading is considered. A statement of problems of the mentioned class and a technique of their numerical solving with allowance for the finite deflections are given. For the orthotropic cylindrical shell with supported circular hole loaded by the uniform internal pressure, the distribution of stresses, strains, and displacements along the hole contour and in the zone of their concentration is studied. The findings are compared with solutions of corresponding linear problem and the shell with free hole. The results are analyzed.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103919 |
| citation_txt |
Напряженное состояние гибких композитных оболочек с подкрепленными отверстиями / В.А. Максимюк, Е.А. Сторожук, И.С. Чернышенко // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 92-100. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT maksimûkva naprâžennoesostoâniegibkihkompozitnyhoboločekspodkreplennymiotverstiâmi AT storožukea naprâžennoesostoâniegibkihkompozitnyhoboločekspodkreplennymiotverstiâmi AT černyšenkois naprâžennoesostoâniegibkihkompozitnyhoboločekspodkreplennymiotverstiâmi AT maksimûkva stressstateofflexiblecompositeshellswithstiffenedholes AT storožukea stressstateofflexiblecompositeshellswithstiffenedholes AT černyšenkois stressstateofflexiblecompositeshellswithstiffenedholes |
| first_indexed |
2025-11-26T09:46:37Z |
| last_indexed |
2025-11-26T09:46:37Z |
| _version_ |
1850619740242837504 |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 5
92 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, № 5
В .А .Ма к с и мю к 1 , Е . А .С т о р о ж у к 1 , И .С .Ч е р ныш е н к о 2
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГИБКИХ КОМПОЗИТНЫХ
ОБОЛОЧЕК С ПОДКРЕПЛЕННЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ
Инcтитут механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина;
e-mail: 1 desс@inmech.kiev.ua, 2 prikl@inmech.kiev.ua
Abstract: A nonlinear deformation of the flexible composite shells with supported curvilin-
ear holes under action of static loading is considered. A statement of problems of the mentioned
class and a technique of their numerical solving with allowance for the finite deflections are
given. For the orthotropic cylindrical shell with supported circular hole loaded by the uniform
internal pressure, the distribution of stresses, strains, and displacements along the hole contour
and in the zone of their concentration is studied. The findings are compared with solutions of
corresponding linear problem and the shell with free hole. The results are analyzed.
Key words: geometrically nonlinear problem, composite shell, stress concentration, cy-
lindrical shell, circular hole, finite deflections, internal pressure.
Введение.
Исследования напряженности и деформативности современных тонкостенных
конструкций и их элементов (оболочек, пластин) в случае подкрепления контуров
отверстий (вырезов) в них тонким стержнем (кольцом) представляют значительный
интерес для инженерной практики.
Основные теоретические результаты по проблеме концентрации напряжений в
изотропных и анизотропных оболочках с подкрепленными отверстиями при действии
разного вида статических нагрузок получены на основе решения линейно-упругих
задач и изложены в обобщающих монографиях и обзорных статьях [5, 9, 12, 16 и др.].
Большинство исследований по данной проблеме с учетом нелинейных факторов
относится к решению осесимметричных задач [5, 11, 14].
Результаты решения нелинейных двумерных задач для оболочек с подкреплен-
ными отверстиями получены только для оболочек, изготовленных из изотропных ма-
териалов. Так, в работе [2] изучено напряженно-деформированное состояние (НДС)
ребристых пологих оболочек с подкрепленным прямоугольным отверстием при упруго-
пластической стадии деформирования. Влияние конечных прогибов и пластических де-
формаций материала на распределение перемещений, деформаций и напряжений в облас-
ти подкрепленного кругового отверстия на боковой поверхности цилиндрической обо-
лочки исследовано в работе [9]. Числовые результаты решения физически и геометриче-
ски нелинейных задач для изотропной сферической оболочки с подкрепленным эллип-
тическим отверстием представлены в [9].
Ниже дана постановка геометрически нелинейных двумерных задач для произ-
вольных тонких композитных оболочек с подкрепленными криволинейными (круго-
выми, эллиптическими) отверстиями и приведены основные соотношения. Изложена
методика численного решения данного класса задач и представлены конкретные чи-
словые результаты исследования нелинейного деформирования гибкой ортотропной
цилиндрической оболочки с подкрепленным круговым отверстием при действии рав-
номерного внутреннего давления.
93
1. Постановка задачи. Основные нелинейные соотношения.
Тонкую произвольную оболочку, ослабленную одним или несколькими отвер-
стиями и находящуюся под действием поверхностных { } { }1 2
, ,
T
p p p pa a a g= и
краевых сил { } { }, , ,
T
k k k k km T S Q M= , отнесем к криволинейной ортогональной
системе координат ( )1 2, ,a a g . Предполагаем, что оболочка изготовлена из компо-
зитного материала (КМ). За координатную поверхность (поверхность приведения
0g = ) примем срединную поверхность ( )0S . Контуры отверстий могут быть
подкреплены кольцами или криволинейными стержнями (рис. 1).
При традиционном подходе оболочка
с подкрепленными отверстиями рассматри-
вается как конструкция, состоящая из соб-
ственно оболочки и подкрепляющих ее
одномерных тонких стержней. НДС каждо-
го из этих элементов определяется уравне-
ниями соответствующей прикладной тео-
рии и имеет свои особенности. Поэтому
при построении теории, описывающей
НДС оболочек с подкрепленными отвер-
стиями, возникают трудности, связанные с
необходимостью учета совместности работы
элементов различной мерности и удовле-
творения контактных условий [5, 9]. От-
метим, что такие же проблемы имеют место и при исследовании НДС ребристых обо-
лочек [4, 7, 13, 17]. Ниже изложим подход к учету подкреплений контуров отверстий,
который позволяет избежать указанных выше трудностей и прост в реализации.
Рассмотрим случай подкрепления контуров криволинейных отверстий тонкими
стержнями, центры тяжести поперечных сечений которых не лежат в срединной поверх-
ности оболочки (рис. 1). В произвольной точке сопряжения оболочки и подкрепления
введем ортогональную систему координат ( , , )m t g , где ,m t – внешняя нормаль и каса-
тельная к контуру отверстия, а g – нормаль к срединной поверхности оболочки. Примем,
что поперечное сечение подкрепляющего элемента лежит в плоскости ( , )m g . Эсцентри-
ситет подкрепления обозначим ce , а главные центральные оси инерции его поперечного
сечения – ,x h . Моделируем подкрепления фрагментами оболочек того же вида, что и
основная оболочка. Примем, что срединные поверхности подкреплений эквидистантны
срединной поверхности основной оболочки. За координатные поверхности подкреплений
примем их эквидистантные поверхности ( )1 2, , ... , NS S S , которые сопряжены со сре-
динной поверхностью оболочки. Такой подход позволяет использовать одни и те же соот-
ношения при моделировании деформирования как оболочки, так и криволинейных стерж-
ней (колец), а также учесть работу подкрепляющих элементов на растяжение (сжатие),
кручение и изгиб в двух плоскостях. Аналогичный подход к расчету ребристых оболочек и
тонкостенных конструкций ступенчато-переменной жесткости описан в работах [1, 3].
Пусть при повышенных уровнях нагрузки в оболочке и подкреплениях возникают
большие (конечные) прогибы. Деформирование гибкой оболочки и тонких подкрепляю-
щих элементов опишем соотношениями геометрически нелинейной теории непологих
оболочек в квадратичном приближении, основанной на гипотезах Кирхгофа – Лява [5].
Выражения для компонент мембранной ( )ije и изгибной ( )ijm деформаций пред-
ставим в векторной форме [15]:
0 *
11 11 11;e e e= + 0
11 1
1 1
;
u
е
A
e
a
¶
= ⋅
¶
1
2
11
1
;
2 ae j* = 0 *
12 12 12 ;e e e= +
Рис. 1
94
0
12 2 1
1 1 2 2
;
u u
е е
A A
e
a a
¶ ¶
= ⋅ + ⋅
¶ ¶
1 212 ;a ae j j* = 0
11 11 1
1 1
;е
A
j
m m
a
¶
= =- ⋅
¶
1
1 1
;
u
n
Aaj
a
¶
= ⋅
¶
0
12 12 2 1
1 1 2 2
2 2 ;е е
A A
j j
m m
a a
¶ ¶
= =- ⋅ - ⋅
¶ ¶
(1)
11 11 11 ;e e gm= + 12 12 122e e gm= + (1 2) ,
где 1 2,A А – параметры Ламе; 1 2 1 1 2 2 3 3u ue ve wn u i u i u i= + + = + +
– вектор переме-
щений точек координатной поверхности оболочки (подкрепления); 1 2, ,e e n
– орты
криволинейной ортогональной системы координат 1 2( , , )a a g ; 1 2 3, ,i i i
– орты глобаль-
ной декартовой системы координат ( , , )X Y Z ;
1 21 2 1 1 2 2e e i ia aj j j j j= + = + +
3 3ij+
– вектор углов поворота касательных к координатным линиям; индексы «0» и «* »
вверху соответствуют линейной и нелинейной частям компонент деформации.
Внутренние усилия ( ijT ) и моменты ( ijM ), вводимые в теории оболочек, связаны
с компонентами деформации законом Гука [5]. Принимая, что в каждой точке обо-
лочки (подкрепления) имеется одна плоскость упругой симметрии, параллельная ко-
ординатной поверхности, соотношения упругости при произвольном выборе коорди-
натной поверхности записываем в таком виде:
0 ;ii ii iiT T T *= + 0
12 12 12 ;T T T *= +
0 0 0 0 0 0 0
1 11 2 22 3 12 1 11 2 22 3 122 ;ii i i i i i iT C C C K K Ke e e m m m= + + + + +
0 0 0 0 0 0 0
12 31 11 32 22 33 12 31 11 32 22 33 122 ;T C C C K K Ke e e m m m= + + + + +
1 11 2 22 3 12 ;ii i i iT C C Ce e e* * * *= + + 12 31 11 32 22 33 12 ;T C C Ce e e* * * *= + +
0 ;ii ii iiM M M *= + 0
12 12 12 ;M M M *= + (2)
0 0 0 0 0 0 0
1 11 2 22 3 12 1 11 2 22 3 122 ;ii i i i i i iM K K K D D De e e m m m= + + + + +
0 0 0 0 0 0 0
12 31 11 32 22 33 12 31 11 32 22 33 122 ;M K K K D D De e e m m m= + + + + +
1 11 2 22 3 12 ;ii i i iM K K Ke e e* * * *= + + 12 31 11 32 22 33 12M K K Ke e e* * * *= + + ( 1, 2).i =
Здесь , , ( , 1, 2, 3)mn mn mnC K D m n = – жесткостные характеристики оболочки (подкре-
пления), которые вычисляются по формулам:
3
2; ; ; ( ),
12mn mn mn mn mn mn mn mn kl
h
C B h K B eh D B he B B a
æ ö÷ç ÷ç= = = + =÷ç ÷÷çè ø
(3)
где h – толщина оболочки или высота подкрепления; e – отклонение срединной по-
верхности от координатной поверхности; величины kla выражаются через механиче-
ские параметры материала оболочки или подкрепления.
95
2. Методика решения двумерных геометрически нелинейных задач для ком-
позитных оболочек с подкрепленными отверстиями.
Учитывая существенную нелинейность геометрических соотношений (1) и с целью
отслеживания истории процесса деформирования оболочки с подкрепленными отвер-
стиями, при построении разрешающей системы уравнений использована процедура
пошагового нагружения и представления исходных уравнений в инкрементальной форме.
Такая система получена из принципа возможных перемещений с помощью модифици-
рованного метода Ньютона – Канторовича и метода конечных элементов (МКЭ) [9].
Вариационное уравнение принципа возможных перемещений для гибкой оболочки с
подкрепленными отверстиями, записанное в конце n -го шага нагружения, имеет вид [9]:
{ } { } { } { }( )0
0 ( )i
N
T
i
э m m m dd *
= S
D + D + D S-åòò
{ } { } { }( ) { } { } { }( )
( ) ( )
0,
p k
TТ
k k k
Г
u p p d u m m dsa a ad d
S
- D + D S- D + D =òò ò (4)
где { } { }, ,
T
u u v wa = , { } { }, , ,
T
k m mu u u wt j= - – векторы перемещений точек сре-
динной поверхности и контура оболочки; { } { }11 22 12 11 22 12, , , , , 2
Т
э e e e m m m= – вектор
деформаций; { } { }11 22 12 11 22 12, , , , ,
Т
m T T T M M M= – вектор внутренних силовых фак-
торов; ( )pS – часть области ( )0S , на которой заданы поверхностные силы; ( )kГ –
часть контура срединной поверхности оболочки, на которой заданы краевые силы;
символами fD и f обозначены приращение функции f на n -м шаге нагружения и
ее значение в конце предыдущего шага.
В результате проведения линеаризации приходим к такому функционалу:
0 ( )
1
({ } [ ]{ } { } [ ]{ })
2
i
N
T T
i
П э D э S da aj j
= S
= D D + D D S+åòò
0 ( )
({ } { } { } [ ] { })
i
N
T T T
L
i
э m A T daj
*
= S
+ D D + D D D S-åòò (5)
( ) ( )
{ } { } { } { }
p k
T T
k k
Г
u p d u m dsa a
S
- D D S- D D +òò ò
0 ( ) ( ) ( )
{ } { } { } { } { }{ }
i p k
N
T T
k k
i Г
э m d u p d u m dsa a
= S S
+ D S- D S- Dåòò òò ò .
Здесь { }эD – линейные относительно приращений компонент векторов перемеще-
ний и углов поворота составляющие приращений деформаций; Sé ù
ë û – симметричная
матрица накопленных тангенциальных усилий; { }TD – значения приращений компо-
нент вектора внутренних усилий; [ ]LAD , { }ajD – матрица и вектор приращений
углов поворота; [ ]D – матрица жесткостей оболочки (подкрепления).
96
Линейную задачу решаем с помощью варианта метода конечных элементов
(МКЭ), разработанного для расчета тонких композитных оболочек сложной геомет-
рии с подкрепленными отверстиями.
Предложенная модификация МКЭ имеет ряд особенностей.
Во-первых, для компонент деформации используются соотношения в векторной
форме. В этом случае при вычислении компонент тангенциальной деформации обо-
лочки и подкреплений вектор перемещений точек координатной поверхности u
ап-
проксимируется билинейной функцией
( )
4
( )
1 2
1
, ( 1, 2, 3),i
k k i
i
u u L kx x
=
= =å (6)
где ( )i
ku – проекции вектора перемещений на оси глобальной декартовой системы коор-
динат в i -ом узле; ( )1 2,iL x x – билинейные функции формы локальных координат 1 2,x x .
Во-вторых, вектор углов поворота касательных к координатным линиям j
не оп-
ределяется по формулам (1), как это принято в классическом МКЭ для тонких оболо-
чек, а аппроксимируется биквадратичными полиномами серендипового типа, т.е.
( )
8
( )
1 2
1
, ( 1, 2, 3)i
k k i
i
K kj j x x
=
= =å (7)
с выполнением зависимостей (1) для углов поворота только в узлах конечного элемента
(КЭ) [9]. Здесь ( )i
kj – проекции вектора углов поворота j
на оси глобальной декартовой
системы координат в i -ом узле; ( )1 2,iK x x – биквадратичные функции формы.
Такой подход к определению вектора углов поворота, по существу, является реа-
лизацией гипотез Кирхгофа – Лява в дискретной форме. Впервые метод дискретного
наложения гипотез Кирхгофа – Лява был предложен в работе [10] и далее широко
применялся для расчета тонких пластин и оболочек [6, 8].
Построенный криволинейный КЭ оболочки (подкрепления) удовлетворяет услови-
ям непрерывности векторов перемещений и углов поворота, точно описывает поступа-
тельную часть перемещения КЭ как жесткого целого и имеет 20 степеней свободы.
Из условий стационарности дискретного аналога функционала (5) получим сис-
тему разрешающих уравнений для тонкой композитной оболочки с подкрепленными
криволинейными отверстиями при учете конечных прогибов, которая в матричной
форме для n -го шага нагружения имеет вид
[ ] [ ]( ) { } { } { } { }0 ,K K K q Pj s
é ù+ + D = D - DW + DYê úë û (8)
где [ ]0K – матрица жесткости линейно-упругих оболочки и подкреплений; [ ],K Kj s
é ùê úë û –
матрицы влияния начальных углов поворота и напряжений; { }qD – вектор приращений
узловых степеней свободы; { }PD – вектор нагрузок; { }DW – вектор нелинейностей;
{ }DY – вектор невязок уравнений равновесия в конце ( 1)n- -го шага нагружения.
Отметим, что в случае использования принципа возможных перемещений геомет-
рические условия контакта оболочки и подкреплений
;c
m mu u= ;cu ut t= ;cu wg = c
mtq j=- (9)
удовлетворяются на этапе составления выражения для полной энергии оболочки и
подкрепляющих элементов (5), а статические условия контакта выполняются автома-
тически, т.е. следуют из условий стационарности полной энергии. В формулах (9)
обозначено: , ,c c c
mu u ut g – перемещения стержня на линии контакта; ,c
mtq j- – углы
поворота поперечного сечения стержня и нормали g к срединной поверхности обо-
лочки вокруг касательной к контуру отверстия.
97
3. Апробация методики.
Эффективность разработанной методики проверена путем решения тестовых за-
дач и сравнения полученных результатов с данными других авторов. В качестве тес-
тового примера рассмотрено деформирование ортотропной сферической оболочки
радиуса R , толщины 0h с подкрепленным круговым отверстием радиуса 0r . Средин-
ная поверхность оболочки отнесена к полугеодезической системе координат ( , )r q с
началом в центре отверстия.
Исследования проведены для оболочки с геометрическими параметрами
0 400;R h = 0 0 30r h = и характеристиками материала 15rrE = ГПа; 12Eqq = ГПа;
2,33rG q = ГПа; 0,12rqn = .
Контур отверстия подкреплен кольцом прямоугольного поперечного сечения высо-
той 03ch h= , шириной 03cb h= и эксцентриситетом 0ce = . Кольцо изготовлено из
однородного изотропного материала с коэффициентом Пуассона 0,3cn = .
Оболочка находится под действием равномерного внутреннего давления
5
0 10q q= ⋅ Па и перерезывающей силы 2
0 0/ (2 )k cQ qr r b= - , приложенной к оси коль-
ца. Внешний контур оболочки 0( 6 )r r= – шарнирно закреплен.
В табл. 1 приведены значения относительных радиальных перемещений 0( )u u h= ,
прогибов ( 0w w h= ), радиальных ( 0 510r rs s= ⋅ Па) и окружных ( 0 510q qs s= ⋅ Па)
напряжений на внешней ( 0 0,5hg g= = ) и внутренней ( 0,5g =- ) поверхностях
оболочки на контуре отверстия, полученные с помощью разработанной методики (не-
классического подхода). Расчеты выполнены в линейной постановке для интенсивности
внутреннего давления 0 1q = и ряда значений модуля Юнга материала подкрепления:
1) 0cE = ( 1;N = свободное отверстие); 2) 1,5cE = ГПа ( 2);N = 3) 15cE = ГПа
( 3);N = 4) 40cE = ГПа ( 4);N = 5) 80cE = ГПа ( 5);N = 6) 515 10cE = ⋅ ГПа
( 6;N = жесткое включение). Эта задача также была решена с использованием клас-
сического подхода, в котором деформирование подкрепления описывается теорией
криволинейных стержней, основанной на гипотезах Кирхгофа – Клебша (табл. 2).
Таблица 1
Неклассический подход
Решение g
1N = 2N = 3N = 4N = 5N = 5N =
2
10u ⋅ 0,0 6,939 5,971 2,946 1,531 0,765 –0,437
10w⋅ 0,0 23,17 20,21 8,020 4,169 2,570 0,582
0,5 –4 –7 223 184 125 –9 0
rs
–0,5 –2 72 73 218 335 559
0,5 1205 1047 410 202 113 –1 0
qs
–0,5 739 649 335 209 146 54
Таблица 2
Классический подход
Решение g
1N = 2N = 3N = 4N = 5N = 6N =
2
10u ⋅ 0,0 6,939 5,995 2,993 1,571 0,795 –0,436
10w⋅ 0,0 23,17 20,30 8,154 4,249 2,618 0,581
0,5 –4 –7 224 187 128 –9 0
rs
–0,5 –2 72 69 212 330 559
0,5 1205 1052 418 207 116 –1 0
qs
–0,5 739 651 339 212 148 54
98
Из представленных данных следует, что наибольшее отличие максимальных на-
пряжений, полученных с использованием обоих подходов, имеет место для подкреп-
ления близкого к оптимальному ( 4)N = и не превышает 3%. Это свидетельствует об
эффективности разработанной методики и возможности ее применения для расчета
тонких оболочек с подкрепленными отверстиями.
4. Нелинейное деформирование цилиндрической оболочки с подкрепленным
круговым отверстием.
Представим результаты исследования НДС воз-
ле подкрепленного кругового отверстия радиуса 0r
на боковой поверхности гибкой ортотропной орга-
нопластиковой цилиндрической оболочки радиуса
R , которая нагружена внутренним давлением ин-
тенсивности 5
0 10q q= ⋅ Па (рис. 2). Введем на коор-
динатной поверхности прямоугольную декартовую
( , )x y и полярную ( , )r q системы координат.
Расчеты выполнены для таких геометрических параметров оболочки и подкрепления
прямоугольного сечения: 0/ 400;R h = 0 0/ 30;r h = 03 ;c ch b h= = 0ce = .
Оси ортотропии материала цилиндра ориентированы так, что 38,4xxE = ГПа;
25,3yyE = ГПа; 7,6xyG = ГПа; 0,157yxn = .
Подкрепление изготовлено из изотропного материала с механическими характе-
ристиками: 25cE = ГПа; 0,3cn = .
Принято, что отверстие закрыто крышкой, которая передает на ось подкрепления
только действие перерезывающего усилия 2
0 0/ (2 )k cQ qr r b= - , а на достаточном рас-
стоянии от контура отверстия имеет место безмоментное напряженное состояние.
На оболочку действует внутреннее давление интенсивности 0 1,7q = . При проведении
расчетов заданная величина нагрузки разбивалась на 20 шагов.
Результаты решения линейной (ЛЗ) и
геометрически нелинейной (ГНЗ) задач
для цилиндрической оболочки со свобод-
ным ( 1)N = и подкрепленным ( 2)N =
круговыми отверстиями получены в виде
графиков и таблиц.
На рис. 3 показан характер изменения
относительных прогибов ( 0w w h= ) вдоль
контура отверстия. Здесь пунктирные ли-
нии соответствуют решениям линейной, а
сплошные – геометрически нелинейной
задач.
Таблица 3
ЛЗ ГНЗ
N q g
210re ⋅ 210eq ⋅ 210re ⋅ 210eq ⋅
0,5 –0,1606 0,9732 –0,1861 1,1520
0
–0,5 –0,3322 2,1220 –0,1860 1,1710
0,5 –0,2120 0,8965 –0,1305 0,5266
1
90
–0,5 0,2371 –1,0220 0,0181 –0,0956
0,5 –0,0856 0,4950 –0,0392 0,5102
0
–0,5 0,1477 0,6660 0,0902 0,5275
0,5 0,2312 0,3324 0,1317 O,2560
2
90
–0,5 –0,1860 0,0108 –0,0906 0,0957
Рис. 2
Рис. 3
99
Таблица 4
ЛЗ ГНЗ
N q g
0
rs 0
qs 0
rs 0
qs
0,5 –31 2457 –21 2911
0
–0,5 4 5370 –9 2961
0,5 4 3443 –13 2019
1
90
–0,5 –17 –3928 –12 –370
0,5 –31 1248 163 1316
0
–0,5 1006 1843 690 1443
0,5 816 1471 507 1104
2
90
–0,5 –482 –73 –178 325
В табл. 3 приведены значения радиальных ( re ) и окружных ( eq ) деформаций на ко-
нтуре отверстия в узловых точках 0q= и 90q= на внешней ( 0,5g = ) и внутренней
( 0,5g =- ) поверхностях оболочки. Величины соответствующих напряжений
( 0 510r rs s= ⋅ Па и 0 510q qs s= ⋅ Па) в тех же точках представлены в табл. 4.
Из полученных результатов решения ЛЗ и ГНЗ следует, что как для оболочки со
свободным, так и подкрепленным отверстиями, максимальные прогибы имеют место
на контуре отверстия в точке 90q= , а максимальные деформации и напряжения –
на контуре отверстия в точке 0q= на внутренней поверхности. Отметим, что для
обоих вариантов расчета ( 1, 2)N = максимальными являются окружные деформации
и напряжения.
Из анализа представленных данных следует, что подкрепляющее кольцо умень-
шает максимальные прогибы, деформации и напряжения. Так, уменьшение макси-
мальных прогибов составляет 65% и 42%, максимальных деформаций – 69% и 55%, а
максимальных напряжений – 66% и 51%, соответственно, для линейной и геометри-
чески нелинейной задач.
Геометрическая нелинейность проявляется, в основном, в случаях неподкреплен-
ного и подкрепленных кольцами малой жесткости отверстий. С увеличением жестко-
сти подкрепления ее влияние уменьшается. Так, учет конечных прогибов в случае
неподкрепленного отверстия приводит к уменьшению максимальных напряжений на
45%, максимальных деформаций на 45% и максимальных прогибов на 57%, а в случае
подкрепления контура отверстия кольцом данной жесткости – на 22%, 21% и 28%,
соответственно.
Заключение.
Таким образом, в работе дана постановка и изложена методика численного реше-
ния двумерных геометрически нелинейных задач для тонких композитных оболочек с
подкрепленными криволинейными отверстиями, которая базируется на применении
процедуры пошагового нагружения, модифицированного метода Ньютона – Канторо-
вича и метода конечных элементов. Особенность предложенной методики состоит в
использовании одних и тех же соотношений при моделировании деформирования как
оболочки, так и подкрепляющих элементов. Эффективность описанного подхода прове-
рена путем решения тестовых задач. С помощью разработанной методики исследовано
нелинейное напряженно-деформированное состояние гибкой ортотропной цилиндри-
ческой оболочки с подкрепленным круговым отверстием при действии равномерного
внутреннего давления. Числовые результаты представлены в виде таблиц и графиков.
100
Р Е ЗЮМ Е . Досліджено нелінійне деформування гнучких композитних оболонок з підкріпле-
ними криволінійними отворами при дії статичного навантаження. Дано постановку задач вказаного
класу та методику їх чисельного розв’язання з врахуванням скінченних прогинів. Для ортотропної
циліндричної оболонки з підкріпленим круговим отвором, навантаженої рівномірним внутрішнім
тиском, досліджено розподіл напружень, деформацій і переміщень вздовж контура отвору та в зоні їх
концентрації. Отримані дані порівняно з розв’язками відповідних задач в лінійно-пружній постановці
та для оболонки з вільним отвором. Проведено аналіз отриманих результатів.
1. Карпов В.В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения: В 2 ч. Ч. 1. Модели и
алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения.
М.: Физматлит, 2010. – 288 с.
2. Ларионов А.А. Расчет пологой оболочки с подкрепленным прямоугольным отверстием в упруго-
пластической стадии // Сб. науч. тр. Красноярск. политехн. ин-та. – 1975. – № 8. – С. 55 – 62.
3. Сахаров А.С., Кислоокий В.Н., Киричевский В.В. Метод конечных элементов в механике твердых тел.
– К.: Вища шк., 1982. – 480 с.
4. Теория ребристых оболочек / Амиро И.Я., Заруцкий В.А. – К.: Наук. думка, 1980. – 368 с. – (Мето-
ды расчета оболочек: В 5 т.; Т.2).
5. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями / А.Н.Гузь, И.С.Чернышенко, В.Н.Чехов и др.
– К.: Наук. думка, 1980. – 636 с. – (Методы расчета оболочек: В 5 т.; Т.1).
6. Areias P.M.A., Song J.-H., Belytschko T. A finite-strain quadrilateral shell element based on discrete
Kirchhoff-Love constraints // Int. J. Numer. Meth. Engng. – 2005. – 64. – P. 1166 – 1206.
7. Bushnell D. Analysis of Ring-stiffened Shells of Revolution under Combined Thermal and Mechanical
Loading // AIAA Journal. – 1971. – 9, N 3. – P. 401 – 410.
8. Dvorkin E.N., Bathe K.-J. A continuum mechanics based four-node shell element for general nonlinear
analysis // Engineering Computations. – 1984. – 1. – P. 77 – 88.
9. Guz A.N., Storozhuk E.A., Chernyshenko I.S. Nonlinear Two-Dimensional Static Problems for Thin Shells
with Reinforced Curvilinear Holes // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 12. – P. 1269 – 1300.
10. Herrmann L.R., Campbell D.M. A finite-element analysis for thin shells // AIAA Journal. – 1968. – N 6.
– P. 1842 – 1847.
11. Kaufman A., Spera D. Investigation of the elastic-plastic stress state around reinforced opening in a
spherical shell // NASA Scientific and technical publications. – Washington, 1965. – P. 1 – 27.
12. Kharat A., Kulkarni V.V. Stress Concentration at Openings in Pressure Vessels – A Review // Int. J. of
Innovative Research in Science, Engineering and Technology. – 2013. – 2, N 3. – P. 670 – 678.
13. Maiborodina N.V., Meish V.F. Forced Vibrations of Ellipsoidal Shells Reinforced with Transverse Ribs
Under a Nonstationary Distributed Load // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 6. – P. 693 – 701.
14. Maximyuk V.A., Storozhuk E.A., Chernyshenko I.S. Nonlinear Deformation of Thin Isotropic and
Orthotropic Shells of Revolution with Reinforced Holes and Rigid Inclusions // Int. Appl. Mech.
– 2013. – 49, N 6. – P. 685 – 692.
15. Maximyuk V.A., Storozhuk E.A., Chernyshenko I.S. Variational Finite-Difference Methods in Linear and
Nonlinear Problems of the Deformation of Metallic and Composite Shells (review) // Int. Appl. Mech.
– 2012. – 48, N 6. – P. 613 – 687.
16. Pilkey W.D., Pilkey D.F. Peterson's Stress Concentration Factors. – New-York: John Wiley & Sons, Inc.,
2008. – 560 p.
17. Qatu M.S., Asadi E., Wang W. Review of Recent Literature on Static Analyses of Composite Shells:
2000 – 2010 // Open Journal of Composite Materials. – 2012. – 2. – P. 61 – 86.
Поступила 28.12.2012 Утверждена в печать 29.05.2014
|