Собственные колебания ребристой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругим основанием
Викладено методику розв'язання задачі про власні коливання ребристих циліндричних оболонок, які взаємодіють з вісесиметричною пружною основою, що розглядається за моделями Вінклера та Пастернака. На числових прикладах досліджено вплив жорсткості пружної основи та її положення по довжині оболонк...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103921 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Собственные колебания ребристой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругим основанием / Ю.В. Скосаренко // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 111-118. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859592206981005312 |
|---|---|
| author | Скосаренко, Ю.В. |
| author_facet | Скосаренко, Ю.В. |
| citation_txt | Собственные колебания ребристой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругим основанием / Ю.В. Скосаренко // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 111-118. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Викладено методику розв'язання задачі про власні коливання ребристих циліндричних оболонок, які взаємодіють з вісесиметричною пружною основою, що розглядається за моделями Вінклера та Пастернака. На числових прикладах досліджено вплив жорсткості пружної основи та її положення по довжині оболонки на частоти власних коливань оболонки.
A technique of solving the problem of natural vibrations of the ribbed cylindrical shells, which interact with the axisymmetric elastic foundation by the Winkler’s and Paternak’s models is expounded. An effect of stiffness of elastic foundation and its location over the shell length on the shell natural frequencies is studied on examples.
|
| first_indexed | 2025-11-27T15:32:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 5
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, №5 111
Ю .В .С к о с а р е н к о
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕБРИСТОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ОБОЛОЧКИ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С УПРУГИМ ОСНОВАНИЕМ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057 Киев, Украина; string@inmech.kiev.ua
Abstract. A technique of solving the problem of natural vibrations of the ribbed cylin-
drical shells, which interact with the axisymmetric elastic foundation by the Winkler’s and
Paternak’s models is expounded. An effect of stiffness of elastic foundation and its location
over the shell length on the shell natural frequencies is studied on examples.
Key words: cylindrical shell, stiffening ribs, elastic foundation, natural vibrations.
Введение.
Динамика подкрепленных оболочечных конструкций, как в линейной, так и в гео-
метрически нелинейной постановках, исследована многими авторами [1, 2, 4, 5, 7,
8 – 12, 18 и др.]. Изучению влияния внешней среды на устойчивость и колебания обо-
лочек посвящены работы [6, 10, 13 – 17 и др.]. Как следует из обзора имеющихся пуб-
ликаций, остается актуальным исследование влияния параметров внешней среды на
частоты и формы собственных колебаний ребристых оболочек. В данной работе
внешняя среда рассмoтрена в виде упругого основания, учитываемого на основе мо-
дели типа П.Л. Пастернака [3] и модели Винклера.
1. Постановка задачи. Основные уравнения.
Для решения задачи используем классическую теорию оболочек и стержней [1].
Примем, что система продольных подкрепляющих ребер регулярна. На торцах обо-
лочки заданы граничные условия шарнирного опирания. Оболочка взаимодействует с
осесимметричным упругим основанием, препятствующим ее нормальным перемеще-
ниям и поворотам срединной поверхности относительно окружной координатной ли-
нии. Для решения задачи применяем энергетический метод. Полную потенциальную
энергию рассматриваемой упругой системы, а также кинетическую энергию, предста-
вим в виде
1 2o fU U U U U ; (1)
1 2o fV V V V V (2)
22
2
0 0
2(1 )
2(1 )
l π rEh u v w u v w
U μ
x y r x y rμ
22 2π 3 2 2
2 2 2
0 0
1 1
4 24(1 )
l ru v Eh w w v
dxdy
y x r yx y
112
22 2 2
2 2
1 1
2(1 )
w w v w v
μ dxdy;
r y x y r xx
(3)
1
22 2
1 1
1 1 1 1 1 2
1 0
1
2
lk
i i
i i i y i
i
du d w
U E F E I dx
dx dx
; (4)
2
22 22π rk
2j 2j 2j 2j
2 2j 2j 2j x2j 2 2
j=1 0
dv w d w w1
U = E F - + E I + dy
2 dy r dy r
; (5)
2l 2π
f
0 0 0
1
E
2
r
f
f
w
U dzdydx
z
; (6)
2 2 22
0 02
l r
o
o
h u v w
V dxdy
t t t
; (7)
1
2 2
1 1
1 1 1
1 0
1
2
lk
i i
i i
i
u w
V F dx
t t
; (8)
2
2 22
2 2
2 2 2
1 0
1
2
rk
j j
j j
j
v w
V F dy
t t
; (9)
22
0 0 02
l r
f f
f
w
V dzdxdy
t
, (10)
где 1 2, , , o fU U U U – потенциальная энергия обшивки, продольных, кольцевых ре-
бер и упругого основания; 0 1 2, , , fV V V V – кинетическая энергия обшивки, продоль-
ных, кольцевых ребер и упругого основания; , , oE – модуль упругости, плотность
и коэффициент Пуассона материала обшивки; , ,u v w – осевое, окружное и нормаль-
ное перемещения срединной поверхности обшивки; x r , y r , z r – про-
дольная, окружная и нормальная координаты; t – время; , ,h r l – толщина обшивки,
радиус срединной поверхности оболочки и ее длина, соответственно; 1 2,k k – число
продольных и кольцевых ребер; 1 1 1 1 1 1, , , , , i i i y i i iE F I u w – модуль упругости, плот-
ность материала, площадь и момент инерции поперечного сечения относительно ок-
ружной координатной линии, продольное и нормальное перемещения i -го продоль-
ного ребра; 2 2 2 2 2 2, , , , , j j j x j j jE F I v w – модуль упругости, плотность материала,
площадь и момент инерции поперечного сечения относительно продольной коорди-
натной линии, окружное и нормальное перемещения j -го кольцевого ребра;
, , f f fE w – модуль упругости, плотность материала и перемещения точек упругого
основания, окружающего оболочку с внешней стороны ее боковой поверхности.
113
Перемещения продольных и кольцевых ребер связаны с перемещениями средин-
ной поверхности оболочки следующими зависимостями [1, 2]:
2
1 1 1 1
0
( )( )i i iu u h d
;
2
1 1
0
( )i iw wd
;
1/
2 2 2 2
0
( )( )
r
j j jv v h d ;
1/
2 2
0
( )
r
j jw wd , (11)
где 1 2( ), ( )i j – функции Дирака; 1 2,i j – координаты линий контакта i -го
продольного и j -го кольцевого ребер с оболочкой; 1 2,i jh h – соответствующие экс-
центриситеты поперечного сечения продольных и кольцевых ребер; 1 /w x ;
2 / /w y v r .
Зависимость между величиной fw и перемещениями оболочки принимаем в виде
1 2f
r w
w C w rC
r z x
. (12)
Безразмерные коэффициенты 1 2,C C характеризуют свойство упругого основания
препятствовать нормальным перемещениям и поворотам срединной поверхности обо-
лочки. В выражении (12) учтено также затухающее воздействия упругого основания
на оболочку при удалении от ее поверхности. Выполнив интегрирование в выражени-
ях (6), (10) по координате z , получим следующие выражения для потенциальной и
кинетической энергий упругого основания:
2l/r 2
2
1 3 22
0 0
2
2(1 )
f f f f
Eh w w
U w w d d
; (13)
22l/r 2 2 2
* * *
1 1 3 22
0 0
2
2(1 )
f o f f f f
Eh w w w w
V d d
(14)
2 2
1 1(1 ) / 3f frE C Eh , 2 2
1 2(1 ) / 3f frE C Eh , 2
1 1 2(1 ) / 3f frE C C Eh ;
* 2
1 1 /f f оrC h , * 2
1 2 /f f оrC h , *
1 1 2 /f f оrC C h
/t T , 2 2 2(1 ) /o or ET ,
2 1T t t – заданный промежуток времени, 1 2,t t – фиксированные моменты времени).
Уравнения движения рассматриваемой упругой системы получим, исходя из
принципа стационарности действия [1], согласно которому
0W
2
1
( ( )
t
t
W V U dt – действие по Гамильтону). (15)
Подставив в (15) выражения (1) – (5), (7) – (9), (13), (14) с учетом (11) и принятых
граничных условий, получим вариационное уравнение свободных колебаний обо-
лочки. На основе независимости и произвольности вариаций перемещений точек сре-
динной поверхности оболочки получена следующая система уравнений:
114
1 22 2 2 2
1 1 112 2 2
1 0
1 1
( ) ( )
2 2
k
i i i
i
u u v w u
1 23 2 2 3
* *
21 0 1 1 11 213 2 2 2
1 0
( ) ( )
k
i i i i i
i
w u u w
d d
2 / 2
*
2 2 12 2
1 0
( ) ( ) 0
l rk
j j j
j
u
d
;
2 2 2 3 3
2 2 2
2 2 2 3
1 1
(1 ) (1 4 ) (2 )
2 2
u v v w w w
a a a
2 / 2 3
2 2 12 12 222 3
1 0
( ) ( )
l rk
j j j j j
j
v w w
d
1 22 /2 2
*
o 1 1 11 2 22 2
1 10 0
( ) ( ) ( ) ( )
l rk k
i i i j j
i j
v v
d
2 2 3
2 2* *
12 222 2
δ 1 1 0
τ
j j
j j
h hv w
d
r r
;
3 3 4 4 4
2 2
2 3 4 2 2 4
(2 ) 2
u v v v w w w
a w a
1 22 /3 4
1 1 21 1 2 2 123 4
1 10 0
( ) ( ) ( ) ( )
l rk k
i i i i j j j
i j
u w v
d
3 4 2 2
22 2 12 22 12 12 1 23 4 2 2
2( ) ( )j j j j j j f f
v w w w
w d w
1 2π2 3 2 4
* * *
o 1 1 21i 11i 31i2 2 2 2 2
1 0
δ (θ θ ) δ (θ θ ) δ δ δ
ξ τ τ ξ τ
k
i i
i
w u w w
dθ
2 l/rk 2 3 4
2* * *
2 j 2 12 22 322 2 2 2
j 1 0
v
δ (ξ ξ ) δ (ξ ξ ) δ δ 1
τ θ τ
j
j j j j
hw w
d
r
2 4
* *
1 22 2 2
w
δ 0
τ
f f
w
(16)
2 2 2/ (12 )a h r ,
2
1 1
11
(1 )i i
i
E F
Ehr
, 1
21 11
i
i i
h
r
,
115
1
31 21
i
i i
h
r
, 1 31 11i i i ,
2
1 1
11 3
(1 )i y i
i
E I
Ehr
, * 1 1
11
i i
i
o
F
hr
,
21 11
* *1
i i
ih
r
,
31 21
* *1
i i
ih
r
2
2 2
12
(1 )j j
j
E F
Ehr
, 2
22 12
j
j j
h
r
, 2
32 22
j
j j
h
r
, 2 32 12j j j ,
2
2 2
12 3
(1 )j x j
j
E I
Ehr
, 2 2*
12
j j
j
o
F
hr
,
22 12
2* *
j j
jh
r
, 32 22
2* *
j j
jh
r
. (17)
2. Методика решения задачи.
Представим перемещения точек срединной поверхности оболочки в виде двойных
тригонометрических рядов по пространственным координатам, умноженных на гар-
моническую функцию времени, т.е.
1 2
1 1
1 0
cos ( cos sin )cos
M N
mn mn m
m n
u u n u n d
;
1 2
2 2
1 0
cos ( sin cos )sin
M N
mn mn m
m n
v u n u n d
;
1 2
3 3
1 0
cos ( cos sin )sin
M N
mn mn m
m n
w u n u n d
, (18)
где 1
1mnu , 2
1mnu ,…, 2
3mnu – искомые коэффициенты форм собственных колебаний;
T ; /md m r l .
Подставив (18) в (16), выполнив дифференцирование и интегрирование по коор-
динатам , , получим систему однородных алгебраических уравнений, из условия
нетривиальности решения которой определяем частоты и формы собственных коле-
баний.
Данная система уравнений в случае неосесимметричного упругого основания яв-
ляется связанной однородной системой алгебраических уравнений порядка
6p M N . Если упругое основание осесимметричное, получаем две независимые
системы уравнений порядка 3p M N относительно искомых коэффициентов
форм с верхним индексом 1 и с верхним индексом 2. Последние в силу регулярности
продольных ребер, распадаются на системы уравнений еще меньшего порядка [2, 16],
что облегчает вычислительный процесс.
3. Числовые результаты.
На основании изложенного подхода изучено влияние параметров упругого осно-
вания на низшие частоты и формы колебаний оболочки, подкрепленной шестнадца-
тью продольными и четырьмя кольцевыми ребрами. Плотность материала оболочки и
ребер принята равной: 1 2o i j = 38,23 10 3кг / м . Их модули упругости –
1 2i jE E E 11 22,1 10 H / м ; коэффициент Пуассона 0,3 ; толщина обшивки
30,44 10 мh ; длина образующей 0,43 мl ; радиус оболочки 0,16 мr .
116
Продольные ребра, как и кольцевые, располагались на одинаковом расстоянии
друг от друга и имели одинаковые размеры поперечного сечения
( 6 2
1 3,40 10 мiF ; 3
1 1,39 10 мih ; 12 4
1 5,27 10 мiI ;
6 2
2 5,20 10 мjF ; 3
2 1,89 10 мjh ; 12 4
2 18,38 10 мjI ).
Жесткость упругого основания и его положение по длине оболочки варьировались.
При вычислениях в решении (18) удерживали члены ряда по продольной координате
до 21M , а по окружной координате – пять членов ряда (определяемые как в [2, 16]).
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Из числовых результатов следует, что увеличение жесткости упругого основания
приводит (рис. 1) к возрастанию минимальной частоты собственных колебаний, где
кривая 1 получена при 2 = 0 (упругое основание типа Винклера – модель 1), кривая 2
– при 3
1 0,48 10 (упругое основание типа Пастернака – модель 2). На рис. 1 и др.
по оси ординат представлены значения относительных частот f (отнесенных к ми-
нимальной собственной частоте оболочки без упругого основания). Зависимость не-
скольких низших частот от параметра n (число волн по окружности оболочки) при-
ведены на рис. 2. Здесь, кривая 1 получена для оболочки без упругого основания, кри-
вая 2 – упругое основание учитывается по модели 1 ( 3
1 0,48 10 , 2 = 0); кривая 3
117
– упругое основание учитывается по мо-
дели 2 ( 3
1 0,48 10 ; 3
2 0,48 10 ).
Анализ кривых показывает, что учет уп-
ругого основания по модели 2 наиболее
сильно влияет на низшие частоты собст-
венных колебаний оболочки.
На рис. 3, 4 показана зависимость ми-
нимальной частоты от места приложения
упругого основания по длине оболочки. На
рис. 3 параметром 1 задано расстояние от
торца оболочки до сечения, в котором уп-
ругое основание «обрывается», а на рис. 4
– 2 – это ширина упругого основания,
которое расположено от среднего сечения
оболочки до ее торцов.
Как видно из графиков, в случае, если упругое основание приложено у края обо-
лочки (рис. 3), различие между значениями минимальных частот, полученных по мо-
дели 1 (кривая 1) и модели 2 (кривая 2), существенно отличаются при всех значениях
1 . Если же упругое основание приложено в средней части оболочки (рис. 4), то при
2 0,5 минимальные частоты, полученные по обеим моделям, примерно равны ме-
жду собой, а далее при 2 0,5 различие между ними возрастает.
Такой эффект обусловлен тем, что изгибные деформации в средней части оболоч-
ки, когда она колеблется по форме колебаний, соответствующей минимальной часто-
те, невелики.
На рис. 5 приведены результаты расчета для случая, когда жесткость упругого ос-
нования изменяется по длине оболочки по параболическому закону
1 1( ) [1 4 (1 )] , 2 2( ) [1 4 (1 )] ,
где 3
1 2 0,48 10 . Параметр варьируется от –1 до 1, при этом жесткость уп-
ругого основания в среднем сечении оболочки ( 0,5 /l r ) возрастает от нуля до
30,96 10 .
Из графиков видно, что зависимости минимальной собственной частоты от пара-
метра , полученные по первой и второй моделям упругого основания, имеют оди-
наковый характер.
Выводы.
В работе предложена методика решения задачи о собственных колебаниях ребри-
стых цилиндрических оболочек, взаимодействующих с упругим основанием, прило-
женном как на всей длине оболочки, так и на ее части. Рассмотрен случай, когда же-
сткость упругого основания изменяется по длине оболочки по параболическому зако-
ну. Методика решения задачи реализована в виде вычислительного программного
комплекса. Исследовано влияние параметров упругого основания на минимальную и
низшие частоты собственных колебаний оболочки. Проведено сравнение результатов,
полученных на основе модели упругого основания Винклера и модели Пастернака.
Р Е ЗЮМ Е . Викладено методику розв’язання задачі про власні коливання ребристих цилінд-
ричних оболонок, які взаємодіють з осесиметричною пружною основою, що розглядається за моде-
лями Вінклера та Пастернака. На числових прикладах досліджено вплив жорсткості пружної основи
та її положення по довжині оболонки на частоти власних коливань оболонки.
Рис. 5
118
1. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Теория ребристых оболочек.– К.: Наук.думка, 1980. –368 с. – (Методы
расчета оболочек: В 5-ти т.; Т.2).
2. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Ревуцкий В.Н., Скосаренко Ю.В. и др. Колебания ребристых оболочек
вращения. – К.: Наук. думка, 1988. – 172 с.
3. Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи
двух коэффициентов постели. – М.: Госстройиздат, 1954. – 56 с.
4. Bray F.M., Egle D.M. An Experimental Investigation of the Free Vibration of Thin Cylindrical Shells
with Discrete Longitudinal Stiffening // J. Sound and Vibration. – 1970. – 12, N 2. – P. 153 – 164.
5. Grigorenko Ya. M., Grigorenko A. Ya. Static and Dynamic Problems for Anisotropic Inhomogeneous
Shells with Variable Parameters and Their Numerical Solution (Review) // Int. Appl. Mech. – 2013. –
49, N 2. – P. 123 – 193.
6. Gulyaev V. I., Lugovoi P. Z., Zayets Yu. A. Shielding of Elastic Nonstationary Waves by Interfaces // Int.
Appl. Mech. – 2012. – 48, N 4. – P. 414 – 422.
7. Harari A., Baron M. L. Analysis for the Dynamic Response of Stiffened Shells // Trans. ASME. J. Appl.
Mech. – 1973. – E40, N 4. – P. 1085 – 1090.
8. Jain R. K., Kirk C. L. Axisymmetric Vibrations of Ring-Stiffened Shallow Spherical Shells // Aeronaut. J.
– 1974. – 78, N 757. – P. 32 – 36.
9. Kubenko V. D., Yanchevskii I. V. Vibrations of a Nonclosed Two – Layer Spherical Electroelastic Shell
under Impulsive Electromechanical Loading // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 3. – P. 303 – 314.
10. Lugovoi P. Z., Prokopenko N. Ya. Influence of Reinforcement and Elastic Foundation on the Vibrations
of Shallow Shells With Rectangular Planform // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 6. – P. 714 – 719.
11. McDaniel T. J. Dynamics of Non-Circular Stiffened Cylindrical Shells // J. Sound and Vibration. – 1972.
– 23, N 2. – P. 217 – 227.
12. Rinehart S. A., Wang J. T. S. Vibration of Simply Supported Cylindrical Shells with Longitudinal Stiff-
eners // J. Sound and Vibration. – 1972. – 24, N 2. – P. 151 – 163.
13. Paliwad D.N., Pandey Rajesh K. The free vibrations of a cylindrical shell on an elastic foundation
// Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust. – 1998. – 120, N1. – P. 63 – 71.
14. Rosen A., Singer J. Vibrations and Buckling of Eccentrically Loaded Stiffened Cylindrical Shells with
Elastic Restraints // Exp. Mech. – 1976. – 16, N 3. – P. 88 – 94.
15. Rosen A., Singer J. Vibrations and Buckling of Axially Loaded Stiffened Cylindrical Shells with Elastic
Restraints // Int. J. Solid and Struct. – 1976. – 12, N 8. – P. 577 – 588.
16. Skosarenko Yu. V. Stability of a Ribbed Cylindrical Shall Interacting with an Elastic Foundation // Int.
Appl. Mech. – 2010. – 46, N 5. – P. 556 – 561.
17. Vasilenko A. T., Golub G. P. Asymmetric Deformation of Orthotropic Shells of Revolution on a Nonlin-
eary Elastic Foundation // Int. Appl. Mech. –1995. – 31, N 9. – P. 738 – 741.
18. Wang J. T. S., Rinehart S. A. Free Vibrations of Longitudinally Stiffened Cylindrical Shells // Trans.
ASME. J. Appl. Mech. – 1974. – E41, N 4. – P. 1087 – 1093.
Поступила 15.05.2012 Утверждена в печать 29.05.2014
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-103921 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T15:32:56Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Скосаренко, Ю.В. 2016-06-26T18:48:04Z 2016-06-26T18:48:04Z 2014 Собственные колебания ребристой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругим основанием / Ю.В. Скосаренко // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 111-118. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103921 Викладено методику розв'язання задачі про власні коливання ребристих циліндричних оболонок, які взаємодіють з вісесиметричною пружною основою, що розглядається за моделями Вінклера та Пастернака. На числових прикладах досліджено вплив жорсткості пружної основи та її положення по довжині оболонки на частоти власних коливань оболонки. A technique of solving the problem of natural vibrations of the ribbed cylindrical shells, which interact with the axisymmetric elastic foundation by the Winkler’s and Paternak’s models is expounded. An effect of stiffness of elastic foundation and its location over the shell length on the shell natural frequencies is studied on examples. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Собственные колебания ребристой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругим основанием Natural Vibrations of Ribbed Cylindrical Shell interacting with Elastic Foundation Article published earlier |
| spellingShingle | Собственные колебания ребристой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругим основанием Скосаренко, Ю.В. |
| title | Собственные колебания ребристой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругим основанием |
| title_alt | Natural Vibrations of Ribbed Cylindrical Shell interacting with Elastic Foundation |
| title_full | Собственные колебания ребристой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругим основанием |
| title_fullStr | Собственные колебания ребристой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругим основанием |
| title_full_unstemmed | Собственные колебания ребристой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругим основанием |
| title_short | Собственные колебания ребристой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругим основанием |
| title_sort | собственные колебания ребристой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругим основанием |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103921 |
| work_keys_str_mv | AT skosarenkoûv sobstvennyekolebaniârebristoicilindričeskoioboločkivzaimodeistvuûŝeisuprugimosnovaniem AT skosarenkoûv naturalvibrationsofribbedcylindricalshellinteractingwithelasticfoundation |