Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты
Рассматривается влияние аэродинамического момента на колебания космического аппарата (КА) в режиме гравитационной стабилизации. Исследования проводятся с учетом изменений плотности атмосферы при орбитальном движении КА и зависимости коэффициента аэродинамического момента от ориентации КА. Построено...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2009
|
| Series: | Техническая механика |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103950 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Техническая механика. — 2009. — № 3. — С. 87-97. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-103950 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1039502025-02-09T17:25:30Z Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты Маслова, А.И. Пироженко, А.В. Рассматривается влияние аэродинамического момента на колебания космического аппарата (КА) в режиме гравитационной стабилизации. Исследования проводятся с учетом изменений плотности атмосферы при орбитальном движении КА и зависимости коэффициента аэродинамического момента от ориентации КА. Построено аналитическое решение уравнения малых колебаний КА и показано, что переменность аэродинамического момента может оказывать существенное влияние на точность стабилизации КА. Розглядається вплив аеродинамічного моменту на коливання космічного апарата (КА) в режимі гравітаційної стабілізації. Дослідження проводяться з урахуванням змін густини атмосфери при орбітальному русі КА і залежності коефіцієнта аеродинамічного моменту від орієнтації КА. Побудовано аналітичний розв’язок рівняння малих коливань КА і показано, що змінність аеродинамічного моменту може суттєво впливати на точність стабілізації КА. Influence of the aerodynamic moment on spacecraft oscillations under gravitational stabilization is considered. The research is conducted considering variations in the atmosphere density at an orbital motion of spacecraft and the dependence of the aerodynamic moment coefficient on the spacecraft orientation. The analytical solution of a spacecraft small oscillations equation is obtained, and it is shown that variability of the aerodynamic moment may have a pronounced effect on the accuracy of the spacecraft stabilization. 2009 Article Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Техническая механика. — 2009. — № 3. — С. 87-97. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1561-9184 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103950 629.78 ru Техническая механика application/pdf Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается влияние аэродинамического момента на колебания космического аппарата (КА) в режиме гравитационной стабилизации. Исследования проводятся с учетом изменений плотности атмосферы при орбитальном движении КА и зависимости коэффициента аэродинамического момента от ориентации КА. Построено аналитическое решение уравнения малых колебаний КА и показано, что переменность аэродинамического момента может оказывать существенное влияние на точность стабилизации КА. |
| format |
Article |
| author |
Маслова, А.И. Пироженко, А.В. |
| spellingShingle |
Маслова, А.И. Пироженко, А.В. Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты Техническая механика |
| author_facet |
Маслова, А.И. Пироженко, А.В. |
| author_sort |
Маслова, А.И. |
| title |
Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты |
| title_short |
Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты |
| title_full |
Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты |
| title_fullStr |
Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты |
| title_full_unstemmed |
Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты |
| title_sort |
влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно стабилизированного ка в плоскости круговой орбиты |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| publishDate |
2009 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103950 |
| citation_txt |
Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Техническая механика. — 2009. — № 3. — С. 87-97. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Техническая механика |
| work_keys_str_mv |
AT maslovaai vliânieperemennostiaérodinamičeskogomomentanadinamikugravitacionnostabilizirovannogokavploskostikrugovojorbity AT piroženkoav vliânieperemennostiaérodinamičeskogomomentanadinamikugravitacionnostabilizirovannogokavploskostikrugovojorbity |
| first_indexed |
2025-11-28T15:41:47Z |
| last_indexed |
2025-11-28T15:41:47Z |
| _version_ |
1850049313237893120 |
| fulltext |
87
УДК 629.78
А.И. МАСЛОВА, А.В. ПИРОЖЕНКО
ВЛИЯНИЕ ПЕРЕМЕННОСТИ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО МОМЕНТА НА
ДИНАМИКУ ГРАВИТАЦИОННО СТАБИЛИЗИРОВАННОГО КА В
ПЛОСКОСТИ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
Рассматривается влияние аэродинамического момента на колебания космического аппарата (КА) в
режиме гравитационной стабилизации. Исследования проводятся с учетом изменений плотности атмосфе-
ры при орбитальном движении КА и зависимости коэффициента аэродинамического момента от ориента-
ции КА. Построено аналитическое решение уравнения малых колебаний КА и показано, что переменность
аэродинамического момента может оказывать существенное влияние на точность стабилизации КА.
Розглядається вплив аеродинамічного моменту на коливання космічного апарата (КА) в режимі гра-
вітаційної стабілізації. Дослідження проводяться з урахуванням змін густини атмосфери при орбітальному
русі КА і залежності коефіцієнта аеродинамічного моменту від орієнтації КА. Побудовано аналітичний
розв’язок рівняння малих коливань КА і показано, що змінність аеродинамічного моменту може суттєво
впливати на точність стабілізації КА.
Influence of the aerodynamic moment on spacecraft oscillations under gravitational stabilization is consid-
ered. The research is conducted considering variations in the atmosphere density at an orbital motion of spacecraft
and the dependence of the aerodynamic moment coefficient on the spacecraft orientation. The analytical solution
of a spacecraft small oscillations equation is obtained, and it is shown that variability of the aerodynamic moment
may have a pronounced effect on the accuracy of the spacecraft stabilization.
Исследованию динамики космического аппарата (КА) относительно цен-
тра масс с учетом гравитационного и аэродинамического момента посвящено
множество работ (например [1 – 5]). Однако большинство исследований про-
водилось в предположениях постоянства коэффициента лобового сопротив-
ления КА и постоянства плотности атмосферы на круговой орбите [1 – 5].
Вместе с тем, в работах [6 – 9] отмечалась необходимость учета переменно-
сти коэффициента аэродинамического момента и изменения плотности атмо-
сферы вдоль орбиты. В [10] показано, что для высот 550 – 750 км учет суточ-
ного эффекта вздутия атмосферы на солнечной стороне Земли может приво-
дить к изменению плотности на постоянной высоте в 5 раз. При совместном
учете суточного эффекта вздутия атмосферы и изменений высоты орбиты,
обусловленных несферичностью Земли, плотность на орбите может меняться
в 8 раз. При таких изменениях плотности предположение о ее постоянстве не
представляется вполне обоснованным. Кроме того, в колебательном движе-
нии КА появляется дополнительное периодическое возмущение, которое мо-
жет приводить к резонансным эффектам.
Постановка задачи. Исследуется движение относительно центра масс в
плоскости орбиты КА с гравитацион-
ной системой стабилизации (ГСС).
Диапазон высот орбит 550 – 750 км.
Предполагается, что ГСС представляет
собой штангу с гравитационным гру-
зом на конце, прикрепленную к КА
(рис.1). Рассматривается режим дви-
жения гравитационной стабилизации,
т.е. режим движения, когда амплитуды
колебаний КА невелики, а его про-
дольная ось движется в окрестности
местной вертикали. При построении
уравнений движения будем предпола-
Земля
Местная
вертикаль
ϕ
Рис. 1
А.И. Маслова, А.В. Пироженко, 2009
Техн. механика. – 2009. – № 3.
88
гать, что КА движется по кеплеровой круговой орбите. При моделировании
плотности атмосферы будем также учитывать изменения высоты орбиты КА,
обусловленные нецентральностью гравитационного поля Земли.
Новизна исследований обусловлена новизной рассматриваемой модели
аэродинамического момента. Модель аэродинамического момента, во-
первых, учитывает непостоянство коэффициента аэродинамического момен-
та при изменении ориентации КА к набегающему потоку. Предполагается,
что коэффициент аэродинамического момента линейно зависит от синуса
угла отклонения продольной оси КА от местной вертикали ϕ (рис. 1). Обос-
нование этого предположения дано в [11]. Во-вторых, модель аэродинамиче-
ского момента учитывает изменения плотности атмосферы при движении КА
по орбите, обусловленные неравномерностью плотности на заданной высоте
из-за вздутия атмосферы на подсолнечной стороне Земли, а также изменени-
ем высоты орбиты из-за нецентральности гравитационного поля Земли. Как
показано в [10], рассматриваемые изменения плотности атмосферы хорошо
описываются рядом Фурье с удержанием первых трех гармоник. Актуаль-
ность исследований обусловлена важностью решения задачи повышения ка-
чества работы систем стабилизации движения КА.
Уравнение движения. В качестве исходных уравнений рассматриваются
уравнения движения КА относительно центра масс в плоскости круговой ор-
биты [12]
( ) =MCAB +ϕϕ−ω−=ϕ cossin2
03&& , (1)
где ϕ – угол между продольной осью КА и местной вертикалью; A , B , C –
главные центральные моменты инерции КА; 0ω – угловая скорость орби-
тального движения; =M – момент аэродинамических сил; точки означают
производные по времени t .
Момент аэродинамических сил будем описывать следующим образом [11]
( )
2
1
2
0
V
aM aa
ρ
ϕσ+= sin ,
где 0a , aσ – величины, характеризующие взаимодействие КА с потоком и
зависящие от площадей поверхностей КА, отклонений их центров давлений
от центра масс КА и условий взаимодействия их с потоком; 0a имеет раз-
мерность [м
3
], aσ – безразмерный коэффициент, характеризующий измене-
ние момента при изменении ориентации КА; V – модуль скорости КА отно-
сительно потока; ρ – плотность атмосферы. Отметим, что обычно, при ори-
ентации КА с ГСС, когда стабилизирующий груз находится выше КА,
00 <a .
Плотность атмосферы будем описывать следующей зависимостью [10]
( ) ( )
+ω+=ρ ∑
=
3
1
00 1
n
nn ftnbbt cos ,
где 0b – средняя на орбите плотность атмосферы; nb , nf – коэффициенты,
характеризующие распределение плотности при движении КА по орбите.
89
Будем предполагать, что коэффициенты 0a , aσ , 0b , nb , nf постоянны
для фиксированной орбиты и фиксированной конструкции КА; 0ω= RV , где
R – расстояние от центра Земли до центра масс КА.
Переходя к новой независимой переменной t0ω=τ , уравнение (1) можно
записать в виде
( ) ( )
+τ+ϕσ+λ+ϕϕ−=ϕ′′ ∑
=
3
1
11
2
1
3
n
nna fnbHI cossincossin , (2)
где ( ) BCAI −= , Ba /0=λ , 2
0RbH = , штрихом обозначены производные
по τ .
Интегральные параметры КА и орбиты. Рассмотрим параметры, вхо-
дящие в (2), оценим возможные их значения и выделим рассматриваемый
класс КА.
Отношение моментов инерции I характеризует распределение масс, и
для КА с ГСС примем, что оно изменяется в пределах [0,5; 1].
Отношение Ba /0=λ , имеющее размерность [м/кг], в основном опреде-
ляется конструкцией КА и характеризует отношение между аэродинамиче-
скими и инерционными свойствами КА. Для модельных КА, рассмотренных
в [11] (поверхность которых представлена набором простых тел – сфера, ци-
линдр, конус, пластина), в грубом приближении оно равно отношению диа-
метра штанги к массе груза ГСС. Далее будем рассматривать КА, для кото-
рых ≤λ 0,01 м/кг.
Коэффициент aσ , характеризующий изменение аэродинамического мо-
мента при изменении ориентации КА, также в большей степени определяется
конструкцией КА. Его абсолютная величина существенно зависит от наличия
на КА больших поверхностей, ориентированных под малым углом к набе-
гающему потоку. Расчеты, проведенные для модельных КА, рассмотренных в
[11], показывают, что ≤σa 0,5.
Для сравнения, приведем приближенные значения рассмотренных пара-
метров для КА «Сич – 1М» и КА «МС – 1 – ТК». Для КА «Сич – 1М»:
=I 0,555, −=σa 0,116, −=λ 0,0037 м/кг; для КА «МС – 1 – ТК»: =I 0,8,
=σa 0,1986, −=λ 0,0018 м/кг.
Плотность атмосферы на орбите, ее среднее значение ( 0b ) и изменения
при орбитальном движении ( nb , n =1, 2, 3) зависят от множества факторов. В
статье рассматривается влияние следующих факторов: высота орбиты, изме-
нения высоты КА при движении по орбите из-за нецентральности гравитаци-
онного поля Земли, расположение орбиты по отношению к солнечному гор-
бу, а также уровень солнечной активности. Учет других факторов [13, 14],
например, таких как сезонные изменения плотности атмосферы, может при-
вести лишь к некоторым количественным отличиям в 0b и nb , n =1, 2, 3, и
не скажется на методике и качественных результатах исследований. Расчеты
плотности проводятся согласно [14].
На основании расчетов средней плотности на орбите можно сказать, что
90
величина 2
0RbH = для низкой солнечной активности 0F = 75 Вт/(м
2
Гц) мо-
жет меняться приблизительно от 0,4 кг/м до 4,2 кг/м, для высокой солнечной
активности 0F = 250 Вт/(м
2
Гц) – от 8 кг/м до 108 кг/м. Т.е. можно считать,
что 0,4 кг/м ≤≤ H 110 кг/м.
Проведенные для ряда орбит расчеты показывают, что амплитуды пере-
менной составляющей плотности атмосферы nb ( nb >0) могут достигать зна-
чений: 1b – до 0,83, 2b – до 0,23, 3b – до 0,02.
Таким образом, далее рассматривается класс КА, для которого выполня-
ются следующие условия:
0,5 <≤ I 1, ≤λ 0,01 м/кг, ≤σa 0,5. (3)
Предполагается, что характеристики плотности атмосферы для рассмат-
риваемых орбит удовлетворяют условиям
0,4 кг/м ≤≤ H 110 кг/м, ≤1b 0,83, ≤2b 0,23, ≤3b 0,02. (4)
Среднее положение КА. Движение КА в режиме гравитационной стаби-
лизации можно рассматривать как колебания относительно некоторого (сме-
щенного относительно местной вертикали) положения продольной оси КА, т.е.
( )τϕ+ϕ=ϕ ~
0 , (5)
где 0ϕ – среднее положение продольной оси КА относительно местной вер-
тикали (угол смещения); ( )τϕ~ описывает колебания КА относительно 0ϕ .
Значение среднего положения 0ϕ определяется равенством гравитаци-
онного и аэродинамического моментов при постоянной, равной средней,
плотности атмосферы. Из уравнения (2) при const=ϕ , 0=nb , n =1, 2, 3 по-
лучим
( )000 1 ϕσ+=ϕϕ sincossin as , (6)
где
I
H
s
6
λ
= – безразмерный коэффициент. Для определенных выше диапазо-
нов изменения λ , H и I выполняется неравенство <s 0,37.
Запишем (6) в виде
as
s
σ−ϕ
=ϕ
0
0
cos
sin . (7)
Для рассматриваемого случая, когда ||cos asσ>ϕ0 , из (7) следует, что
знак 0ϕ совпадает со знаком s (т.е. знаком 0a ) и с ростом || s увеличивается
|| 0ϕ . Из (7) легко получить, что совпадение знаков s и aσ приводит к уве-
личению смещения продольной оси КА. Характер зависимости 0ϕ от коэф-
фициентов s и aσ приведен на рисунке 2. Из рисунка видно, что при малых
|| s (соответственно малых 0ϕ ) переменность коэффициента аэродинамиче-
ского момента aσ слабо влияет на 0ϕ .
91
Рис. 2
Из рис. 2 видно, что для определенного выше диапазона изменения па-
раметров (3), (4) смещение среднего положения продольной оси КА может
превосходить 35º. Возможность столь большого смещения продольной оси
КА обусловлена широтой рассматриваемого диапазона изменения парамет-
ров и в первую очередь диапазона изменения плотности атмосферы, которая
может меняться более чем в 200 раз. Для достижения режима гравитацион-
ной стабилизации КА его конструкция должна соответствовать ожидаемой
плотности атмосферы для предполагаемых высоты и уровня солнечной ак-
тивности.
Далее будем предполагать, что параметры КА и плотности атмосферы
таковы, что || 0ϕ не превосходит единиц градусов. Для определенности при-
мем, что <s 0,1, следовательно, || 0ϕ <6,08º. Например, для КА «Сич –1М»
величина ( ) ≈λ I6/ 0,0011 м/кг, тогда для любой из рассматриваемых орбит
|| s будет меняться от 5,55*10
-4
до 0,121, т.е. || 0ϕ не будет превышать 7º, а
при =s 0,1 модуль 0ϕ не будет превышать 5,8º. Вообще говоря, отклонение
среднего положения продольной оси КА от местной вертикали на почти 6º
представляется несколько чрезмерным для системы гравитационной стаби-
лизации. Так, 0ϕ =5,8º почти в два раза превосходит требования к точности
ориентации КА «Сич – 1М». Однако, длительное существование КА приво-
дит к снижению его орбиты, что в свою очередь повышает среднюю плот-
ность атмосферы. Также существенное влияние на стабилизацию КА могут
оказывать кратковременные (порядка недель) повышения плотности атмо-
сферы, обусловленные вспышками на Солнце либо магнитными бурями [9].
С точки зрения характерного времени колебаний КА относительно центра
масс и периода орбитального движения эти изменения весьма продолжи-
тельны и могут рассматриваться как квазистационарные.
Уравнение малых колебаний КА. Рассмотрим малые колебания КА от-
носительно среднего положения 0ϕ . Подставляя (5) в уравнение (2) и линеа-
ризуя полученное выражение с учетом (6), найдем
( ) ( )∑∑
==
+τ=ϕ
+τϕσ−+ϕ′′
3
1
3
1
0
2
3
n
nn
n
nna fnbdfnbIsk cos~coscos~ (8)
где введены следующие обозначения: ( )00
2
23 ϕσ−ϕ= coscos asIk ,
( )013 ϕσ+= sinaIsd .
s
0
5
10
15
20
25
30
35
0 0,1 0,2 0,3 0,4
0ϕ , г!=д
σа
σа =$0,5
σа =$0,25
σа
=0
σа =0,25
=0,5
92
Уравнение (8) представляет собой уравнение типа Хилла (с периодиче-
скими коэффициентами) с периодической правой частью. Для исследования
свойств решения такого уравнения целесообразно применять приближенные
методы [12, 15].
Особенностью уравнения (8) является наличие малого коэффициента s .
Уравнение (8) можно отнести к следующему, более общему, виду уравнений
( )( ) ( )tFytPay =ε++ 2
&& , (9)
где y – искомая величина; a – постоянный коэффициент; <<ε 1 – малый
параметр; t – независимая переменная; ( )tP , ( )tF – функции, которые могут
быть представлены в виде линейной комбинации элементарных тригономет-
рических функций с частотами Pia , =i 1, 2, …, l , Fia , =i 1, 2, …, m соот-
ветственно; точки означают производные по t .
Рассмотрим задачу Коши для уравнения (9) с начальными условиями
00 yy =)( , 00 yy && =)( . Без потери общности будем считать, что свободные
члены ( )tP , ( )tF равны нулю.
Выделение малого параметра в (9) предполагает, что другие параметры
системы являются величинами порядка единицы, т.е. a , 0y , 0y& , PiA ,
FiA ~1, где PiA , FiA – амплитуды изменений функций ( )tP и ( )tF при со-
ответствующих частотах.
Построим решение уравнения (9) методом последовательных приближе-
ний. Введем новую переменную 1y с теми же начальными условиями
( 01 0 yy =)( , 01 0 yy && =)( )
0
1 yyy ~−= ,
где 0y~ – решение уравнения ( )tFyay =+ ~~ 2&& с нулевыми начальными усло-
виями, т.е. [16]
( ) ( )∫ ττ−τ=
t
dtaF
a
y
0
0 1
sin~ .
Будем предполагать, что система не находится в окрестности линейного
резонанса, т.е. ε>>− Fiaa . Тогда каждый член ( )tF привнесет в изменение
0y~ слагаемые
( )
( )FiFi
Fi
Fi ta
aa
A
β+
−
sin
22
,
( )( )( +β
−
− Fi
Fi
Fi ata
aaa
A
sincos
22
)FiFi ata β+ cossin , амплитуда которых имеет порядок единицы, где Fiβ –
сдвиг фазы, соответствующий частоте Fia , при представлении ( )tF в ряд по
синусам, =i 1, 2, …, m .
Уравнение для 1y запишется в виде
( )( ) ( ) )(~ tFytPytPay 1
0
1
2
1 ε=ε−=ε++&& . (10)
Поскольку ( )tP не содержит свободных членов, то произведение ( ) 0ytP ~
93
не будет содержать членов с частотой a , и это произведение можно предста-
вить в виде линейной комбинации элементарных тригонометрических функ-
ций с частотами || Piaa ± , || FiPi aa ± , а также свободного члена.
Заменой переменных 0
111 yyy −=~ , где 2
10
0
1 aFy /ε= , а 10F – свободный
член 1F , приведем уравнение (10) к виду уравнения (9)
( )( ) )(
~~~ tFytPay 11
2
1 ε=ε++&& , (11)
но с правой частью, пропорциональной ε , ( ) 0
111 ytPFtF −=)(
~
. К частотам 1F
в 1
1F
~
прибавятся частоты Pia . Изменятся также и начальные условия
( ) 0
101 0 yyy −=~ , а ( ) 01 0 yy && =~ .
Вообще говоря, возможно продолжение процедуры замены переменной
для повышения порядка малости правой части (11) (построения частного ре-
шения с нулевыми начальными условиями уравнения (9)). Но продолжение
этой процедуры сталкивается с необходимостью удаления в уравнениях типа
(10) резонансных членов, порождаемых самой процедурой. Это приводит к
достаточно громоздким преобразованиям.
Таким образом, проведенная замена переменных позволила явно ввести в
правую часть уравнений малый параметр, что дает возможность применить
асимптотические методы для исследования движений.
Построим с помощью метода усреднения первое приближение по ε для
решения (11). Для этого введем новые переменные B и w – амплитуду и
фазу колебаний переменной 1y
~
.sin~,cos~ wBaywBy −== 11
&
Нетрудно получить (см., например, [17]), что уравнения для B и w
имеют вид
( ) ( )
( ) ( ) ,cos
~
cos
,sin
~
sin
wtF
aB
wtP
a
aw
wtF
a
wtP
a
B
B
1
2
12
2
ε
−
ε
+=
ε
−
ε
=
&
&
т.е. приводятся к виду, стандартному для применения метода усреднения.
Усредним уравнения вдоль порождающего решения constB = , ( )0ttaw −= ,
получаемого при ε =0. В случае, когда система не близка к параметрическо-
му резонансу ε>>− Piaa2 и линейному резонансу ε>>− iFaa
1
, где iFa 1
–
частоты 1F , получим, что амплитуда колебаний 1y
~ не изменяется в первом
приближении по ε .
Нетрудно видеть, что проведенные выше рассуждения доказывают, что
при отсутствии резонансов решение уравнения (9) с точностью порядка ε
совпадает с решением уравнения ( )tFyay =+ 2
&& на интервале времени поряд-
ка 1/ ε .
94
Таким образом, при отсутствии резонансных совпадений частот, движе-
ние КА в плоскости круговой орбиты при малых ϕ~ , с точностью порядка
ϕ~s , описывается уравнением
( )∑
=
+τ=ϕ+ϕ′′
3
1
2
n
nn fnbdk cos~~ . (12)
Частоты и резонансы в системе. Определим возможность резонансных
совпадений частот в системе. Для качественных оценок условие неблизости к
резонансам в уравнении (9) запишем как условие ε удаленности частот:
ε>− || 1
a
aj
и ε>− || 1
2a
aPi , где через ja обозначены частоты функций F и
1F . Для уравнения (8) запишем его в виде: |||| s
k
i
>−1 , =i 1, 2,…, 6 и
|||| s
k
n
>−1
2
, =n 1, 2, 3. Так как в рассматриваемом случае <<|| s 1, частота
колебаний КА близка к частоте гравитационных колебаний, |||| sIk ≈− 3 и
3351 <≤ I, , то, как нетрудно видеть, система может быть близка толь-
ко к линейному резонансу k ≈1 и к параметрическому резонансу, обуслов-
ленному близостью удвоенной частоты собственных колебаний с утроенной
частотой орбитального движения (третей гармоникой разложения плотности
атмосферы), 2 ≈k 3. Отметим, что учет других, более высоких, гармоник раз-
ложения плотности не приводит к появлению новых резонансов. Расчет зна-
чений k для определенных выше параметров (3), (4) и <s 0,1 дает следую-
щий диапазон возможного изменения: 1,17 ≤≤ k 1,76. Таким образом, для рас-
сматриваемых случаев в движении КА линейный резонанс невозможен, а
возможен только параметрический резонанс 2 ≈k 3.
Движение КА в нерезонансных случаях. С учетом решения уравнения
(12), изменение угла ϕ можно представить в виде [16]
( )
( ) ,coscoscossinsin
sincos
∑
=
+τ+τ−τ+
+τ
ϕ′
+τϕ−ϕ+ϕ=ϕ
3
1
0
0
0
0
n
nnnn fnfkfk
k
n
A
k
k
k
(13)
где
22 nk
b
dA n
n
−
= – амплитуда вынужденных колебаний с частотой n .
Численное интегрирование уравнения (2) показывает, что в случае, когда
система не находится в окрестности резонансов, для малых амплитуд коле-
баний решение (13) дает хорошее совпадение с решением исходного уравне-
ния. Например, при движении КА «Сич – 1М» на высоте 750 км по полярной
орбите, плоскость которой перпендикулярна оси симметрии атмосферного
горба, при низком уровне солнечной активности 0F =75 Вт/(м
2
Гц) амплитуда
вынужденных колебаний будет составлять всего 0,02º (рис. 3а) и отличия
между численным ( ч,“лϕ ) и аналитическим ( =…ϕ ) решениями пренебрежимо
95
малы. При движении на высоте 550 км по экваториальной орбите с макси-
мальными изменениями плотности атмосферы в условиях высокой солнеч-
ной активности 0F =250 Вт/(м
2
Гц) амплитуда вынужденных колебаний дос-
тигает 15º (рис. 3б). Здесь уже наблюдаются отличия в решениях (2) и (13)
(на рисунке ч,“лϕ и =…ϕ соответственно), проявляющиеся в основном в
сдвиге фазы колебаний. Можно утверждать, что эти отличия обусловлены
нелинейностью уравнения (2), поскольку проведенные численные расчеты
решения уравнения (13) и решения уравнения (8) в этом случае практически
совпадают.
Рис. 3а
Рис. 3б
Из решения (13) видно, что амплитуда вынужденных колебаний КА су-
щественно зависит от частоты собственных колебаний спутника. В рассмат-
риваемом диапазоне изменений параметров (3), (4) и <s 0,1 величина 2k
находится приблизительно в диапазоне от 1,4 до 3,1. Т.е., в зависимости от
инерционных параметров, амплитуда вынужденных колебаний с орбиталь-
ной частотой может как вдвое увеличиваться, так и вдвое уменьшаться отно-
сительно амплитуды приведенного аэродинамического момента с данной
частотой (приведенная динамическая жесткость системы для орбитальной
частоты находится в диапазоне от 0,4 до 2,1). Для удвоенной орбитальной
частоты приведенная динамическая жесткость находится в диапазоне от 0,9
до 2,6. Влияние третей гармоники разложения плотности атмосферы, при от-
сутствии параметрического резонанса, очень мало в силу малости 3b и высо-
кой динамической жесткости системы.
Сравним влияние переменности плотности атмосферы и стационарного
(среднего) значения плотности на движение КА. Переменность плотности
атмосферы обуславливает появление вынужденных колебаний спутника с
0 360 720 1080 1440
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
ч,“лϕ
=…ϕ
=…ч,“л ϕϕ , , г!=д
τ , г!=д
0,01
0 720 1440 2160 2880 3600
-30
-20
-10
0
10
ч,“лϕ
=…ϕ
τ , г!=д
=…ч,“л ϕϕ , , г!=д
20
96
амплитудами nA . Среднее значение плотности сказывается в основном на
абсолютном значении угла смещения 0ϕ . Если пренебречь переменностью
коэффициента аэродинамического момента ( =σa 0), приближенно отноше-
ние амплитуды вынужденных колебаний с орбитальной частотой 1A к моду-
лю угла смещения равно
2
1
0
1
11 k
bA
/|| −
=
ϕ
.
В данном случае ((3), (4) и <s 0,1) коэффициент динамичности системы [18]
( )211
−−k меняется приблизительно от 1,5 до 3,5. Тогда, с учетом возмож-
ных значений 1b , можно утверждать, что для всех рассматриваемых КА с
ГСС (3) существуют орбиты, для которых амплитуда вынужденных колеба-
ний больше угла смещения. Более того, можно утверждать, что для КА с от-
ношением моментов инерции I , близким к 0,5, амплитуда вынужденных ко-
лебаний может превышать модуль угла смещения в несколько раз.
Выводы. Определены интегральные параметры, характеризующие от-
ношение инерционных и аэродинамических свойств КА. Для КА с ГСС опре-
делены диапазоны изменения этих параметров, а также требования к области
их изменения для движения КА в режиме гравитационной стабилизации. По-
лучены оценки возможных абсолютных значений угла смещения, зависящего
от среднего значения плотности атмосферы на орбите.
Показано, что малые колебания КА описываются уравнениями типа
Хилла с периодической правой частью. Построено приближенное аналитиче-
ское решение малых колебаний при отсутствии резонансов и показано сле-
дующее: в рассматриваемом диапазоне изменений параметров ((3), (4) и
<s 0,1), амплитуда вынужденных колебаний с орбитальной частотой может
как увеличиваться, так и уменьшаться почти в два раза относительно ампли-
туды приведенного аэродинамического момента с данной частотой; ампли-
туда вынужденных колебаний с удвоенной орбитальной частотой почти все-
гда не превосходит амплитуды приведенного аэродинамического момента с
данной частотой; влияние третей гармоники разложения плотности атмосфе-
ры, при отсутствии параметрического резонанса, очень мало.
Показано, что для всех рассматриваемых КА с ГСС существуют орбиты,
для которых амплитуда вынужденных колебаний больше угла смещения, а
при определенных отношениях моментов инерции амплитуда вынужденных
колебаний может превышать величину угла смещения в несколько раз.
Проведен анализ возможности возникновения резонансов в движении КА
с СГС и показано, что в системе может наблюдаться параметрический резо-
нанс, обусловленный близостью удвоенной частоты собственных колебаний
к утроенной частоте орбитального движения. Другие резонансы в рассматри-
ваемом случае невозможны.
1. Сарычев В. А. Влияние сопротивления атмосферы на систему гравитационной стабилизации искусст-
венных спутников Земли / В. А. Сарычев // Космические исследования. – 1964. – Т. 2., № 1. – С. 23 – 32.
2. Фрик М. А. Устойчивость ориентации спутников под действием гравитационного и аэродинамического
моментов / М. А. Фрик // Ракетная техника и космонавтика. – 1970. – № 10. – С. 54 – 61.
3. Ефименко Г. Г. Пространственное движение связки двух тел под действием гравитационных и аэроди-
намических сил / Г. Г. Ефименко // Космические исследования. – 1973. – Т. 11., № 3. – С. 484 – 486.
97
4. Сарычев В. А. Вопросы ориентации искусственных спутников / В. А. Сарычев // Итоги науки и техни-
ки : исследование космического пространства. – М. : ВИНИТИ, 1978. – 223 с.
5. Сарычев В. А. Исследование положений равновесия спутника, подверженного действию гравитацион-
ного и аэродинамического моментов / Сарычев В. А., Мирер С. А., Дегтярев А. А., Дуарте Е. К. – Моск-
ва : ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2004. – 20 с. (Препринт / РАН ; ИПМ им. М.В. Келдыша ; 2004).
6. Ковтуненко В. М. Аэродинамика орбитальных космических аппаратов / В. М. Ковтуненко,
В. Ф. Камеко, Э. П. Яскевич. – Киев : Наукова думка, 1977. – 156 с.
7. Сарычев В. А. Влияние сопротивления атмосферы на одноосную гравитационную ориентацию искусст-
венного спутника / В. А. Сарычев, В. В. Сазонов // Космические исследования. – 1982. – Т. 20., № 5. –
С. 659 – 673.
8. Сазонов В. В. Об одном механизме потери устойчивости режима гравитационной ориентации спутника /
В. В. Сазонов // Космические исследования. – 1989. – Т. 27., № 6. – С. 836 – 848.
9. Басс В. П. Анализ аэродинамических возмущений, действовавших на космический аппарат «Океан – О»
в условиях его эксплуатации / В. П. Басс, Н. В. Петрушенко, С. Т. Стасенко // Техническая механика. –
2004. – Вып. 1 – С. 86 – 95.
10. Маслова А. И. Изменения плотности атмосферы при движении космических аппаратов на низких око-
лоземных орбитах / А. И. Маслова, А. В. Пироженко // Космічна наука і технологія. – 2009. – Т. 15.,
№ 1. – С. 13 – 18.
11. Маслова А. И. Аппроксимация момента аэродинамических сил, действующих на космический аппарат
с гравитационной системой стабилизации / А. И. Маслова, А. В. Пироженко // Техническая механика. –
2008. – Вып. 1. – С. 9 – 20.
12. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс / В. В. Белецкий. – М. :
Наука, 1965. – 416 с.
13. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / В. К. Абалакин, Е. П. Аксенов,
Е. А. Гребенников, В. Г. Демин, Ю. А. Рябов. – М. : Наука, 1976. – 864 с.
14. ГОСТ Р 25645.166 – 2004 Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для баллистического обеспе-
чения полетов искусственных спутников Земли. – Принят 2004-03-09. – М. : ИПК Издат-во стандартов,
2004. – 24 с.
15. Горяченко В. Д. Элементы теории колебаний / В. Д. Горяченко. – М. : Высшая школа, 2001. – 395 с.
16. Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики. В 2 т. Т. 1. Кинематика, статика, динамика. – М. :
Наука, 1972. – 456 с.
17. Динамика космических систем с тросовыми и шарнирными соединениями / А. П. Алпатов,
В. В. Белецкий, В. И. Драновский, А. Е. Закржевский, А. В. Пироженко, Г. Трогер, В. С. Хорошилов. –
Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2007. – 558 с.
18. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний / Я. Г. Пановко. – М. : Наука, 1991. – 256 с.
Институт технической механики Получено 15.04.09,
НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 25.06.09
Днепропетровск
|