Случайные процессы в моделях «нагрузка – прочность»
Обсуждаются вопросы оценки показателей надежности на основе параметрических моделей «нагрузка – прочность». Получены выражения для определения гамма-процентной наработки до отказа для случая, когда нагрузка и прочность описываются гауссовскими стационарными процессами. Приведен алгоритм распределени...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Техническая механика |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2009
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103952 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Случайные процессы в моделях «нагрузка – прочность» / Е.С. Переверзев // Техническая механика. — 2009. — № 3. — С. 110-115. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-103952 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Переверзев, Е.С. 2016-06-27T10:53:59Z 2016-06-27T10:53:59Z 2009 Случайные процессы в моделях «нагрузка – прочность» / Е.С. Переверзев // Техническая механика. — 2009. — № 3. — С. 110-115. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1561-9184 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103952 621. 192:519.2 Обсуждаются вопросы оценки показателей надежности на основе параметрических моделей «нагрузка – прочность». Получены выражения для определения гамма-процентной наработки до отказа для случая, когда нагрузка и прочность описываются гауссовскими стационарными процессами. Приведен алгоритм распределения коэффициентов запаса между элементами для обеспечения минимальной массы системы при заданном уровне надежности. Обговорюються питання оцінки показників надійності на основі параметричних моделей «навантаження – міцність». Отримані вирази для визначення гамма-процентного наопрацювання до відмови для випадку, коли навантаження і міцність описуються гауссовскими стаціонарними процесами. Приведено алгоритм розподілення коефіцієнтів запасу між елементами для забезпечення мінімальної маси системи при заданому рівні надійності. Problem of the assessment of reliability factors are discussed using parametric models of the load and the strength. Derived are expressions for defining a gamma-percent prefailure life when the load and the strength are described by the Gaussian stationary processes. An algorithm for distributing the store coefficients between elements to provide a minimal mass of the system under given conditions of the reliability is presented. ru Інститут технічної механіки НАН України і НКА України Техническая механика Случайные процессы в моделях «нагрузка – прочность» Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Случайные процессы в моделях «нагрузка – прочность» |
| spellingShingle |
Случайные процессы в моделях «нагрузка – прочность» Переверзев, Е.С. |
| title_short |
Случайные процессы в моделях «нагрузка – прочность» |
| title_full |
Случайные процессы в моделях «нагрузка – прочность» |
| title_fullStr |
Случайные процессы в моделях «нагрузка – прочность» |
| title_full_unstemmed |
Случайные процессы в моделях «нагрузка – прочность» |
| title_sort |
случайные процессы в моделях «нагрузка – прочность» |
| author |
Переверзев, Е.С. |
| author_facet |
Переверзев, Е.С. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Техническая механика |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| format |
Article |
| description |
Обсуждаются вопросы оценки показателей надежности на основе параметрических моделей «нагрузка – прочность». Получены выражения для определения гамма-процентной наработки до отказа для случая, когда нагрузка и прочность описываются гауссовскими стационарными процессами. Приведен алгоритм распределения коэффициентов запаса между элементами для обеспечения минимальной массы системы при заданном уровне надежности.
Обговорюються питання оцінки показників надійності на основі параметричних моделей «навантаження – міцність». Отримані вирази для визначення гамма-процентного наопрацювання до відмови для випадку, коли навантаження і міцність описуються гауссовскими стаціонарними процесами. Приведено алгоритм розподілення коефіцієнтів запасу між елементами для забезпечення мінімальної маси системи при заданому рівні надійності.
Problem of the assessment of reliability factors are discussed using parametric models of the load and the strength. Derived are expressions for defining a gamma-percent prefailure life when the load and the strength are described by the Gaussian stationary processes. An algorithm for distributing the store coefficients between elements to provide a minimal mass of the system under given conditions of the reliability is presented.
|
| issn |
1561-9184 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/103952 |
| citation_txt |
Случайные процессы в моделях «нагрузка – прочность» / Е.С. Переверзев // Техническая механика. — 2009. — № 3. — С. 110-115. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT pereverzeves slučainyeprocessyvmodelâhnagruzkapročnostʹ |
| first_indexed |
2025-11-27T03:04:33Z |
| last_indexed |
2025-11-27T03:04:33Z |
| _version_ |
1850795909069144064 |
| fulltext |
110
УДК 621. 192:519.2
Е.С. ПЕРЕВЕРЗЕВ
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МОДЕЛЯХ «НАГРУЗКА-ПРОЧНОСТЬ»
Обсуждаются вопросы оценки показателей надежности на основе параметрических моделей «на-
грузка – прочность». Получены выражения для определения гамма-процентной наработки до отказа для
случая, когда нагрузка и прочность описываются гауссовскими стационарными процессами. Приведен
алгоритм распределения коэффициентов запаса между элементами для обеспечения минимальной массы
системы при заданном уровне надежности.
Обговорюються питання оцінки показників надійності на основі параметричних моделей «наванта-
ження – міцність». Отримані вирази для визначення гамма-процентного наопрацювання до відмови для
випадку, коли навантаження і міцність описуються гауссовскими стаціонарними процесами. Приведено
алгоритм розподілення коефіцієнтів запасу між елементами для забезпечення мінімальної маси системи
при заданому рівні надійності.
Problem of the assessment of reliability factors are discussed using parametric models of the load and the
strength. Derived are expressions for defining a gamma-percent prefailure life when the load and the strength are
described by the Gaussian stationary processes. An algorithm for distributing the store coefficients between ele-
ments to provide a minimal mass of the system under given conditions of the reliability is presented.
Среди параметрических моделей надежности наибольшее распростране-
ние получили модели «нагрузка – прочность». В таких моделях вероятность
безотказной работы P , которая при вероятностных расчетах прочности на-
зывается вероятностью неразрушения, находится из соотношения [1, 2]
( )[ ]0>−= QRb�!P , (1)
где R – несущая способность элемента конструкции; Q – нагрузка, дейст-
вующая на элемент.
Наибольшее развитие получили методы оценки вероятности (1) для слу-
чая, когда R и Q представляют собой случайные величины. В общем случае
для произвольных законов распределения нагрузки и прочности вероятность
P находится из выражений
( ) ( )dyygyFP ∫
∞
∞−
= , (2)
( )[ ] ( )dxxfxG1P ∫
∞
∞−
−= , (3)
где ( ) ( )...g,...G – функция и плотность распределения несущей способности;
( ) ( )...f,...F – функция и плотность распределения нагрузки.
Здесь через X обозначена нагрузка, через Y – несущая способность.
Для произвольных распределений несущей способности и нагрузки получить
аналитические выражения вида (1) из (2) и (3) не удается.
Рассмотрим случай, когда несущая способность R и нагрузка Q описы-
ваются случайными процессами. Вероятность неразрушения элемента конст-
рукции в течение времени t в этом случае находится так:
( ) ( ) ( )[ ]t,,XYPtP 00 ∈>τ−τ= , (4)
Е.С. Переверзев, 2009
Техн. механика. – 2009. – № 3.
111
где ( ) ( )tX,tY – соответственно случайные процессы, описывающие изме-
нение во времени несущей способности ( )tR и нагрузки ( )tQ .
Если процессы ( )tY и ( )tX являются гауссовскими стационарными, по-
лучим следующие оценки [3]
( ) ( )
σ
−
−−
σ
−
≥
2
2
0
2
exp
QRQR MM
tn
MM
FtP , (5)
( ) ( )
σ
−
−−
σ
−
≤
2
2
0
2
expexp
QRQR MM
tn
MM
FtP , (6)
где ( ) dt
t
xF
x
∫
∞−
−
π
=
2
exp
2
1 2
– стандартная нормальная функция распре-
деления.
Параметры σ и 0n вычисляются по формулам
( ) QRQR R σσ−σ+σ=σ 02222 , (7)
( ) ( ) ( )[ ]QRQR Rrrn σσ′′+′′σ−′′σ−
π
= 0200
2
1
2
2
1
2
0 , (8)
где QQRR MM σσ ,,, – математические ожидания и средние квадратиче-
ские отклонения соответственно несущей способности и нагрузки;
( ) ( )ττ 21 r,r – нормированные корреляционные функции процессов ( )tY и
( )tX ; ( )τR – взаимная нормированная корреляционная функция между про-
цессами ( )tY и ( )tX ;
( ) ( )
0
0
=τ
τ
τ
=′′
2
1
2
1
d
rd
r , ( ) ( )
0
0
=τ
τ
τ
=′′
2
2
2
2
d
rd
r , ( ) ( )
0
0
=τ
τ
τ
=′′
2
2
d
Rd
R .
Выражение (5) дает нижнюю оценку для вероятности неразрушения, а
выражение (6) – верхнюю оценку.
Для некоррелированных процессов получим
( )
( )
σ+σ
−
−−
σ+σ
−
≥
22
2
22 2
exp
QR
QR
0
QR
QR MM
tn
MM
FP , (9)
( ) ( )
( )
σ+σ
−
−−
σ+σ
−
≤
22
2
22 2
expexp
QR
QR
0
QR
QR MM
tn
MM
FtP , (10)
( ) ( )[ ]00
2
1
2
2
1
2
0 rrn QR ′′σ−′′σ−
π
= . (11)
112
Представим выражения (9) и (10) в следующем виде
( )
−−≥
2
exp
2
0
h
tnhFP , (12)
( )
−−≤
2
expexp
2
0
h
tnhFP . (13)
Параметр h находим по формуле
222
1
ην+ν
−η
=
RQ
h , (14)
где
Q
R
M
M
=η − коэффициент запаса;
R
R
R
M
σ
=ν − коэффициент вариации не-
сущей способности;
R
Q
Q
M
σ
=ν − коэффициент вариации нагрузки.
Параметр η представляет собой отношение математических ожиданий
несущей способности и нагрузки. В [2] этот коэффициент называется стати-
стическим запасом прочности.
Задавшись вероятностью неразрушения P , из выражений (12), (13) с
учетом (14) можно найти потребное значение 2!η для обеспечения требуе-
мой вероятности неразрушения
( )
( )
ν+ν
−η
−−
ην+ν
−η
=
22
2
0
222 2
1
exp
1
RQ
2!
2!RQ
2!
2! tnFP , (15)
( )
( )
ν+ν
−η
−−
ην+ν
−η
=
2
R
2
Q
2!
2
2!
2
R
2
Q
2!
2! tnFP
2
1
expexp
1
2
0 . (16)
Приведенные соотношения используются в теории надежности для
оценки изменения вероятности безотказной работы во времени.
Среди показателей надежности технических систем одним из наиболее
обобщенных является гамма-процентная наработка γt , которая находится из
соотношения
( ) γ=γtP , (17)
где γ – вероятность безотказной работы в течение γt .
Если вероятность безотказной работы ( )tP находится по формуле (12),
то имеет место равенство
( )
−−=γ γ
2
exp
2
0
h
tnhF . (18)
113
Отсюда получим
( )[ ]
γ−
=γ
2
exp
2
0
h
n
hF
t
ã
. (19)
Для выражения (13) имеем
( )
−−=γ γ
2
expexp
2
0
h
tnhF . (20)
Соответственно
γ
−=γ
2
exp
2
0
h
n
t
*ln
, (21)
где
( )hF
* γ
=γ .
Для логарифмически-нормального распределения нагрузки и прочности
получим аналогичные соотношения. В этом случае только параметры h и η
вычисляются по формулам
222
QR
QR
bb
h
+η
µ−µ
= , (22)
Q
R
µ
µ
=η , (23)
где QRQR b,b,, µµ – параметры логарифмически-нормального распреде-
ления соответственно R и Q .
Различные элементы имеют различные значения коэффициентов вариа-
ции прочности, различаются по степени сложности и важности и т.д. В связи
с этим в общем случае значения вероятности безотказной работы элементов и
соответствующие им значения коэффициентов запаса целесообразно распре-
делять между элементами таким образом, чтобы затраченная стоимость на
достижение заданного уровня надежности была минимальной. В частном
случае, эта задача может быть сведена к тому, чтобы общая масса системы
при заданном уровне надежности была минимальной. В связи с этим кратко
обсудим вопрос о распределении коэффициентов запаса между элементами
таким образом, чтобы обеспечить минимум массы всей системы при требуе-
мом уровне надежности.
Рассмотрим решение этой задачи для случая, когда нагрузка и прочность
описываются гауссовским стационарным процессом и массу всей системы,
состоящей из п элементов, можно представить в виде
( )[ ]∑
=
η+=
n
i
iii GgG
1
, (24)
где ig – часть массы элемента, не зависящая от коэффициента запаса;
( )iiG η – часть массы элемента, зависящая от коэффициента запаса.
114
Для выбора оптимальных значений коэффициентов запаса отдельных
элементов могут быть использованы различные методы. Решим эту задачу
методом неопределенных множителей Лагранжа.
Рассмотрим систему, состоящую из C независимых последовательно со-
единенных элементов. Для решения поставленной задачи составим следую-
щую функцию:
( )[ ]
=
λ+η+=Φ
∏
∏∑
=
==
,PP
,PGg
Š!
n
i
i
n
i
i
n
i
iii
1
11 , (25)
где λ – неопределенный множитель Лагранжа; iP – вероятность безотказной
работы i -го элемента; TpP – требуемое значение вероятности безотказной
работы системы.
Условия выполнения экстремума функционала (24) имеют вид
n,i,/ i 10 ==η∂Φ∂ . (26)
Из (26) с учетом (25) получим следующую систему уравнений для опре-
деления оптимальных значений коэффициентов iη :
( )
==
=
η∂
∂
λ+
η∂
η∂
∏
=
.n,i,Pp
,
P
P
PG
i
iŠ!
i
i
i
Tp
i
i
1
0
1
n
. (27)
Если нагрузка и прочность описываются гауссовскими стационарными
процессами, получим
( )
+
−
ν+ην
ν+ην
=
η∂
∂
2
1
2
exp 0
2
3/22
2
22
1
2
2
2
1
htn
hP i
iii
iii
i
i . (28)
Если нагрузка и прочность являются нормальными случайными величи-
нами, то
( )
( )
( )
ν+ην
−η
−
πν+ην
ν+ην
=
η∂
∂
2
2
22
1
2
3/22
2
22
1
2
2
2
1
2
1
exp
2
1
iii
i
iii
iii
i
iP , (29)
где
iiii QQiRRi /m,/m σ=νσ=ν 21 .
Решив систему уравнений (27), найдем значения коэффициентов запаса,
обеспечивающих минимальную массу системы при заданном уровне надеж-
ности.
Для зависимых элементов вместо равенства ∏
=
=
n
i
TpP
1
iP можно исполь-
зовать следующее выражение [3]
115
( ) min
1
1 pPP
i
iŠ! +µ−= ∏
=
n
, (30)
где minP – наименьшее значение из iP , n,i 1= .
Параметр µ учитывает степень зависимости между показателями надеж-
ности элементов и изменяется от нуля до единицы. Для независимых элемен-
тов 0=µ .
Если нагрузка и прочность являются нормальными случайными величи-
нами, то параметр µ находится по формуле
ij
n
ji
r
N
arcsin
2
≠
∑∑π
=µ , (31)
где
( )
2
1−
=
nn
N ; ijr – коэффициенты корреляции.
Зависимость массы от вероятности безотказной работы можно описать
выражением
( )PbaG −+= 1ln , (32)
где a и b – эмпирические коэффициенты.
Расчеты оптимальных значений показателей надежности составляющих
элементов показывают, что массу некоторых систем можно снизить на 10 –
20 % при сохранении требуемого значения показателя надежности системы.
1. Прочность самолета (методы нормирования расчетных условий прочности самолета) / Под ред. акад.
А. И. Макаревского. – М. : Машиностроение, 1975. – 280 с.
2. Гладкий В. Ф. Вероятностные методы проектирования конструкции летательного аппарата /
В. Ф. Гладкий – М. : Наука, 1982. – 272 с.
3. Переверзев Е. Надежность технических систем / Переверзев Е., Алпатов А., Даниев Ю., Новак П. –
Днепропетровск : Пороги, 2002. – 396 с.
Институт технической механики Получено 18. 06.09,
НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 22.06.09
Днепропетровск
|