Эволюция вакансионных кластеров при отжиге металлов, прошедших интенсивную пластическую деформацию в криогенных условиях
Выполнено теоретическое исследование зарождения, роста и последующего растворения вакансионных кластеров в металле при термическом отжиге в интервале температур 450 - 600 К. Получена система кинетических уравнений, описывающих эволюцию ансамбля вакансионных кластеров. Найдены численные решения данно...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Металлофизика и новейшие технологии |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/104087 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Эволюция вакансионных кластеров при отжиге металлов, прошедших интенсивную пластическую деформацию в криогенных условиях / Р.В. Шаповалов, А.В. Пахомов, В.В. Слезов // Металлофизика и новейшие технологии. — 2013. — Т. 35, № 3. — С. 305-324. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860236704190824448 |
|---|---|
| author | Шаповалов, Р.В. Пахомов, А.В. Слезов, В.В. |
| author_facet | Шаповалов, Р.В. Пахомов, А.В. Слезов, В.В. |
| citation_txt | Эволюция вакансионных кластеров при отжиге металлов, прошедших интенсивную пластическую деформацию в криогенных условиях / Р.В. Шаповалов, А.В. Пахомов, В.В. Слезов // Металлофизика и новейшие технологии. — 2013. — Т. 35, № 3. — С. 305-324. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Металлофизика и новейшие технологии |
| description | Выполнено теоретическое исследование зарождения, роста и последующего растворения вакансионных кластеров в металле при термическом отжиге в интервале температур 450 - 600 К. Получена система кинетических уравнений, описывающих эволюцию ансамбля вакансионных кластеров. Найдены численные решения данной системы при различных значениях материальных параметров.
Виконано теоретичне дослідження зародження, росту та наступного розчинення вакансійних кластерів у металі при термічному відпалюванні в інтервалі температур 450—600 К. Одержано систему кінетичних рівнянь, які описують еволюцію ансамблю вакансійних кластерів. Знайдено числові розв’язки даної системи при різних значеннях матеріальних параметрів.
Theoretical investigation of nucleation, growing and subsequent dissolution of vacancy clusters in metals is performed under thermal annealing in temperature range 450—600 K. The set of kinetic equations describing an evolution of vacancy clusters is obtained. A numerical solution of this system is found for various values of material parameters.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:26:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
305
PACS numbers:61.72.Bb, 61.72.Cc,61.72.J-,61.72.Yx,64.60.Q-,81.20.Hy, 82.60.Nh
Эволюция вакансионных кластеров при отжиге металлов,
прошедших интенсивную пластическую деформацию
в криогенных условиях
Р. В. Шаповалов, А. В. Пахомов, В. В. Слёзов
Институт теоретической физики им. А. И. Ахиезера
ННЦ «Харьковский физико-технический институт»,
ул. Академическая, 1,
61108 Харьков, Украина
Выполнено теоретическое исследование зарождения, роста и последующе-
го растворения вакансионных кластеров в металле при термическом отжи-
ге в интервале температур 450—600 К. Получена система кинетических
уравнений, описывающих эволюцию ансамбля вакансионных кластеров.
Найдены численные решения данной системы при различных значениях
материальных параметров.
Виконано теоретичне дослідження зародження, росту та наступного розчи-
нення вакансійних кластерів у металі при термічному відпалюванні в інте-
рвалі температур 450—600 К. Одержано систему кінетичних рівнянь, які
описують еволюцію ансамблю вакансійних кластерів. Знайдено числові
розв’язки даної системи при різних значеннях матеріальних параметрів.
Theoretical investigation of nucleation, growing and subsequent dissolution of
vacancy clusters in metals is performed under thermal annealing in tempera-
ture range 450—600 K. The set of kinetic equations describing an evolution of
vacancy clusters is obtained. A numerical solution of this system is found for
various values of material parameters.
Ключевые слова: вакансионный кластер, пластическая деформация, от-
жиг, потенциал Гиббса, система кинетических уравнений.
(Получено 17 декабря 2012 г.)
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время одним из основных путей создания кристалли-
ческих материалов, сочетающих высокие прочностные и пластиче-
Металлофиз. новейшие технол. / Metallofiz. Noveishie Tekhnol.
2013, т. 35, № 3, сс. 305—324
Оттиски доступны непосредственно от издателя
Фотокопирование разрешено только
в соответствии с лицензией
© 2013 ИМФ (Институт металлофизики
им. Г. В. Курдюмова НАН Украины)
Напечатано в Украине.
306 Р. В. ШАПОВАЛОВ, А. В. ПАХОМОВ, В. В. СЛЁЗОВ
ские свойства, является применение интенсивных пластических
деформаций (ИПД), обеспечивающих измельчение субзерен до раз-
мера, не превышающего сотни нанометров. Дополнительным фак-
тором формирования наноструктурных материалов при ИПД явля-
ется осуществление деформаций в криогенных условиях [1—4]. При
этом имеет место подавление процессов динамического возврата,
что, в свою очередь, увеличивает плотность линейных дефектов и
обеспечивает термодинамические предпосылки для создания в ма-
териале широкого спектра точечных дефектов (ТД). Отметим, что
при проведении ИПД при криогенных температурах отогрев даже
до комнатной температуры является условием реализации отжига,
т.е. диффузионных процессов [5]. Важной фундаментальной про-
блемой является изучение и понимание процессов, происходящих в
таких структурах при последующих термических воздействиях.
Повышение температуры после низкотемпературных обработок
давлением (экструзия, волочение, прокатка) означает существен-
ное увеличение подвижности ТД, частоты рекомбинации и интен-
сивности взаимодействия с дислокационной подсистемой. При
этом, как известно, дислокационная подсистема обладает так назы-
ваемым преференсом к междоузлиям, вызванным неодинаковым
взаимодействием упругих полей дислокаций с вакансиями и меж-
доузлиями. Следствием преференса является обогащение материа-
ла некомпенсированными вакансиями. Очевидно, что такой пере-
сыщенный раствор вакансий имеет избыточную комбинаторную
энтропию. Дополнительным, наряду со стоком на дислокации, ка-
налом сброса избытка энтропии будет образование вакансионных
кластеров. Вакансионные кластеры, состоящие из нескольких ты-
сяч вакансий, тождественны нанопорам, наличие которых может
привести к уменьшению пластичности материала [6].
В настоящей работе выполнено теоретическое исследование за-
рождения, роста и последующего растворения вакансионных кла-
стеров в материале, прошедшем ИПД в криогенных условиях, и
подвергнутом термическому отжигу в интервале температур 450—
600 К.
Для получения замкнутой системы уравнений описывающих
эволюцию вакансионных кластеров использован способ, хорошо
зарекомендовавший себя при изучении фазовых переходов первого
рода. Методы равновесной термодинамики, лежащие в его основе,
дают возможность использовать небольшое количество материаль-
ных параметров. Этот факт сам по себе является одновременно как
его достоинством, поскольку значения всех параметров диффузи-
онных процессов в материалах со сложной структурой получить
крайне трудно, так и недостатком, вследствие абстрагирования от
специфики конкретного материала. Но даже в такой постановке за-
дачи в общем случае невозможно получить аналитическое решение,
ЭВОЛЮЦИЯ ВАКАНСИОННЫХ КЛАСТЕРОВ ПРИ ОТЖИГЕ МЕТАЛЛОВ 307
поэтому полученная система уравнений решается численно.
2. ТЕРМОДИНАМИКА ВАКАНСИОННОГО КЛАСТЕРА
Абстрагируясь от конкретных особенностей материала, положим,
что вакансионный кластер имеет сферическую форму, минимизи-
рующую значение некоторого термодинамического потенциала в
изотропной среде. Величину потенциала будем считать зависящей
только от площади поверхности кластера и коэффициента поверх-
ностного натяжения γ. Введем понятие равновесной концентрации
ТД вблизи поверхности n-вакансионного кластера. Определим эту
величину следующим образом. Если в системе, состоящей из кла-
стера и раствора ТД в исходной матрице, один ТД может быть пере-
несен из раствора в кластер без совершения работы, то их концен-
трация считается равновесной. В соответствии с § 20 в [7], мини-
мальная работа может быть выражена через изменение потенциала
Гиббса. Для того чтобы построить потенциал Гиббса такой системы,
необходимо привлечь некоторые дополнительные модельные сооб-
ражения. Положим, что раствор ТД слабый и, как было оговорено
выше, имеется резкая граница между раствором и кластером. По-
лучим (см. § 87 и гл. XV в [7]):
2 2/3
( , , , , )
( ln ) ( ln ) 4 .
v i v i
v v v i i i
B B
n N N c c
N k T c N k T c a n
Φ =
= ψ + + ψ + + π γ
(1)
Здесь Φ – потенциал Гиббса системы, состоящей из раствора ТД с
концентрацией вакансий c
v
и междоузлий c
i, а также n-вакансион-
ного кластера, N
v
и N
i
– количество соответственно вакансий и
междоузлий в растворе, ψv
и ψi
– потенциалы Гиббса одной вакан-
сии и междоузлия в растворе соответственно; a – межатомное рас-
стояние. Условие равновесия системы обычное – потенциал Гиббса
достигает своего минимального значения. Рассматривая только по-
атомный рост кластера, получим следующие математические фор-
мулировки условия равновесия
2 2/3
2 2/3
( 1)( ln ) 4 ( 1)
( ln ) 4 ,
v v ve
B n
v v ve
B n
N k T c a n
N k T c a n
− ψ + + πγ + =
= ψ + + πγ
(2.1)
2 2/3
2 2/3
( 1)( ln ) 4 ( 1)
( ln ) 4 .
i i ie
B n
i i ie
B n
N k T c a n
N k T c a n
+ ψ + + π γ + =
= ψ + + π γ
(2.2)
Эти соотношения дают возможность определить равновесные кон-
центрации точечных дефектов. После несложных преобразований
получим равновесную концентрацию ТД, вакансий и междоузлий
соответственно, вблизи поверхности кластера, состоящего из n ва-
308 Р. В. ШАПОВАЛОВ, А. В. ПАХОМОВ, В. В. СЛЁЗОВ
кансий
= β + − β2/3 2/3
exp{ ( 1) },
ve ve
nc c n n (3.1)
= β − β +2/3 2/3
exp{ ( 1) }.
ie ie
nc c n n (3.2)
Аналогичные выкладки для процесса растворения дают такие же
результаты с заменой n на n − 1, что, очевидно, не имеет особого
значения. Выбор формул (3.1), (3.2) для равновесных концентра-
ций продиктован соображениями удобства вычислений.
Потенциалы Гиббса одной вакансии и междоузлия в растворе со-
ответствуют работе по удалению соответствующего ТД из раствора,
а кластер бесконечного размера может быть сопоставлен пустому
полупространству, поэтому равновесная концентрация ТД в мате-
риале определяется соотношениями
( )= − ψexp ( ) ,
ve v
Bc k T (4.1)
( )= − ψexp ( ) .
ie i
Bc k T (4.2)
Следующая величина характеризует удельную поверхностную
энергию
β = π γ2
4 ( ) .Ba k T (5)
Если предположить, что концентрация одного сорта ТД является
равновесной для кластера данного размера, то из соотношений (1) и
(3.1) (либо (3.2)) легко видеть, что для термодинамически выгодно-
го роста n-вакансионного кластера необходима либо избыточная
концентрация вакансий
v ve
nc c> , либо недостаточная концентрация
междоузлий .i ie
nc c<
3. КИНЕТИКА ВАКАНСИОННЫХ КЛАСТЕРОВ
Для построения системы уравнений, описывающих эволюцию кла-
стеров, используем метод виртуальных сред [8]. Для кластера дан-
ного размера виртуальная среда ТД – это раствор с равновесной
концентрацией вакансий
ve
nc и/или междоузлий .ie
nc Виртуальная
среда по своим свойствам точно совпадает со свойствами припо-
верхностного слоя материала, в котором находится кластер. В этом
слое очень быстро по сравнению с характерными временами макро-
скопических диффузионных процессов устанавливается квазиста-
ционарное состояние, в котором поток ТД в приповерхностный слой
из среды совпадает с таковым из приповерхностного слоя в кластер.
При этом одинаковы кинетические коэффициенты, определяющие
ЭВОЛЮЦИЯ ВАКАНСИОННЫХ КЛАСТЕРОВ ПРИ ОТЖИГЕ МЕТАЛЛОВ 309
потоки на приповерхностный слой и из него.
Такие условия обычно соблюдаются при фазовых превращениях
первого рода в конденсированных средах. Это связано с тем, что с
одной стороны время существования флуктуации благоприятной
для перехода данного ТД через межфазную границу значительно
больше времени перехода атома через межфазную границу. С дру-
гой стороны время существования такой флуктуации, как правило,
мало по сравнению со временем существования среднего состояния
атомов в данном месте около межфазной границы. Именно иерар-
хия времен и приводит к пересечению межфазной границы атома-
ми поодиночке. Пересечение межфазной границы группой атомов
является событием второго и более высоких порядков малости. По-
сле этих предварительных замечаний сформулируем основной ре-
зультат работы [8], справедливый для замкнутой гетерогенной (не-
однородной) метастабильной системы состоящей из равновесных
частиц новой фазы и равновесной же бесконечной среды. Эти части
замкнутой системы в общем случае не находятся в термодинамиче-
ском равновесии между собой. Отношение частоты перехода части-
цы новой фазы из состояния с числом атомов n + 1 в состояние с
числом атомов n к частоте обратного процесса определяется мини-
мальной работой, совершенной над системой. Применительно к ис-
следуемой системе: для вакансий речь идет об отношении частоты
испускания n + 1-кластером, к частоте поглощения n-кластером, а
для междоузлий речь идет об отношении частоты поглощения n + 1-
кластером, к частоте испусканий n-кластером. Явная форма отно-
шений частот перехода, следуя идеологии работы [8], имеет вид:
1 ( 1, 1, , , ) ( , , , , )
exp ,
v v i v i v i v i
n
v
Bn
w n N N c c n N N c c
k Tw
−
+
+
Φ + − − Φ=
1 ( 1, , 1, , ) ( , , , , )
exp .
i v i v i v i v i
n
i
Bn
w n N N c c n N N c c
k Tw
−
+
+
Φ + + − Φ=
Здесь
v
nw +
– частота поглощения вакансий n-вакансионным кла-
стером, 1
v
nw −
+ – частота испускания вакансии для кластера, состоя-
щего из n + 1 вакансии; 1
i
nw −
+ – частота поглощения междоузлия
кластером, состоящим из n + 1 вакансии,
i
nw +
– частота испускания
междоузлия n-вакансионным кластером. Знак «+» у частоты пере-
хода означает, что она определяет рост кластера, а знак «−» соответ-
ствует его растворению. Используя (1), (3.1) и (3.2), получим
− +
+ =
1
,
v v ve v
n n nw w c c (6.1)
− +
+ =
1
.
i i i ie
n n nw w c c (6.2)
Выражение для частот поглощения и испускания вакансий мож-
310 Р. В. ШАПОВАЛОВ, А. В. ПАХОМОВ, В. В. СЛЁЗОВ
но получить, используя макроскопическую скорость изменения
объема кластера Vn в диффузионном приближении
( ) .i vndV
d
dt
= − J J S (7)
Здесь J
v, J
i
– потоки вакансий и междоузлий на кластер. В данной
работе мы ограничимся так называемым диффузионным прибли-
жением скорости роста, т.е. положим, что скорость встраивания ТД
в кластер существенно выше, чем скорость их подвода. В этом слу-
чае концентрация ТД на границе кластера определяется из условия
термодинамического равновесия (3.1) и (3.2), а потоки можно найти
из независимого решения стационарного уравнения диффузии для
каждого вида ТД
= − +( ) ( ) ,v ve v v
nc r c c R r c (8.1)
= − +( ) ( ) .i ie i i
nc r c c R r c (8.2)
Здесь c
v, c
i
– средние концентрации вакансий и междоузлий в ма-
териале. Используя первый закон Фика и очевидную связь объема
кластера с количеством составляющих его вакансий, получим сле-
дующее выражение для скорости роста
= − − −1/3 1/3
2 2
3 3
( ) ( )
v i
v ve i ie
n n
dn D D
n c c n c c
dt a a
(9)
(где D
v
– коэффициент диффузии вакансий, D
i
– коэффициент
диффузии междоузлий). Очевидно, что эта величина определяется
также разностью частот поглощения и испускания ТД:
+ − + −= − + −( ) ( ).v v i i
n n n ndn dt w w w w (10)
Соотношения (9) и (10) с хорошей точностью согласуются, если
принять, что кинетические коэффициенты задаются формулами
1/3
2
1/3 1/3 2/3 2/3
12 2
3
,
3 3
( 1) ( 1) exp( ( 1) ),
v
v v
n
v v
v ve ve
n n
D
w n c
a
D D
w n c c n n n
a a
+
−
−
=
= − = − β − β −
(11)
1/3 1/3 2/3 2/3
2 2
1/3
2
3 3
( 1) ( 1) exp( ( 1) ),
3
.
i i
i ie ie
n n
i
i i
n
D D
w n c c n n n
a a
D
w c n
a
+
−
= + = + β − β +
=
(12)
Соотношения (11) и (12) находятся в полном соответствии с (6.1) и
ЭВОЛЮЦИЯ ВАКАНСИОННЫХ КЛАСТЕРОВ ПРИ ОТЖИГЕ МЕТАЛЛОВ 311
(6.2) соответственно.
Введем функцию распределения кластеров fn(t). По определению,
это количество n-вакансионных кластеров, приходящихся на один
атом исследуемого материала. Кинетическое уравнение, описыва-
ющее изменение этой величины со временем имеет следующий вид:
1 1 1 1
.n
n n n n n n n n
f
W f W f W f W f
t
+ − + −
− − + +
∂
= − − +
∂
(13)
Кинетические коэффициенты определены аддитивно:
.i v
n n nW w w± ± ±= +
В литературе уравнения (13) известны как кинетические уравне-
ния Фаркаса—Беккера—Деринга (ФБД) [9].
4. УРАВНЕНИЯ БАЛЛАНСА ТОЧЕЧНЫХ ДЕФЕКТОВ
Кинетические уравнения необходимо дополнить уравнениями ба-
ланса ТД. В этих уравнениях мы учтем три причины изменения
концентрации ТД. Первая – рекомбинация ТД, вторая – взаимо-
действие с дислокационной подсистемой, и третья – взаимодей-
ствие с вакансионными кластерами. Рассмотрим подробнее третий
механизм. Начнем с вакансий. Кластер, состоящий из трех и более
вакансий, в одном акте испускает или поглощает только одну ва-
кансию, а дивакансия при распаде образует пару вакансий. Тогда
все кластеры размера n > 2 поглощают ( )v v
n n nw w f+ −− вакансий в се-
кунду, а кластер из двух поглощает 2 2 2
( 2 )v vw w f+ −− вакансий в секун-
ду. Кроме того, из системы исчезает 1
2 v vw c+
вакансий в секунду за
счет слияния вакансий в пары. Дополнительным источником ва-
кансий в системе становится процесс поглощения дивакансией од-
ного междоузлия с интенсивностью 2 2
.iw f−
Таким образом, убывание
вакансий за счет взаимодействия с кластерами описывается следу-
ющим соотношением
1 2 2 2 2
2clust
2 ( ) .
v
v v v i v v
n n n
n
c
w c w f w f w w f
t
∞
+ + − + −
=
∂ = − + + − −
∂
Можно показать, что полученное соотношение можно записать в
компактной форме, особенно удобной для численного решения
2 2
2 vacclust
,
v
i n
n
fc
w f n
t t
∞
−
=
∂∂ = −
∂ ∂ (14)
где
312 Р. В. ШАПОВАЛОВ, А. В. ПАХОМОВ, В. В. СЛЁЗОВ
1 1 1 1
vac
.
v v v vn
n n n n n n n n
f
w f w f w f w f
t
+ − + −
− − + +
∂
= − − +
∂
Взаимодействие междоузлий с кластерами рассматривается по-
добным образом. Кластер размера n ≥ 2 поглощает ( )v v
n n nw w f+ −−
междоузлий в секунду. Убывание междоузлий за счет взаимодей-
ствия с кластерами
2clust
( ) .
i
i i
n n n
n
c
w w f
t
∞
+ −
=
∂ = −
∂
Это выражение также можно преобразовать в форму, удобную для
последующих расчетов:
2 2
2 interclust
,
i
i n
n
fc
w f n
t t
∞
−
=
∂∂ = +
∂ ∂ (15)
где
1 1 1 1
inter
.
i i i in
n n n n n n n n
f
w f w f w f w f
t
+ − + −
− − + +
∂
= − − +
∂
Уравнения баланса, в которых учитываются все три механизма
изменения концентрации точечных дефектов, имеют следующий
вид
2 2
2 vac
( ) ,
v
i v v v ve i n
n
fc
Ac c K c c w f n
t t
∞
−
=
∂∂ = − − − + −
∂ ∂ (16.1)
2 2
2 inter
( ) .
i
i v i i ie i n
n
fc
Ac c K c c w f n
t t
∞
−
=
∂∂ = − − − + +
∂ ∂ (16.2)
Первые слагаемые в обоих уравнениях описывают рекомбинацию
вакансий и междоузельных атомов. Интенсивность этого процесса
определяется частотой рекомбинации A. Вторые слагаемые описы-
вают взаимодействие точечных дефектов с дислокационной подси-
стемой. Интенсивность взаимодействия пропорциональна отличию
концентрации ТД от равновесного значения. Легко видеть, что в от-
сутствие дислокаций в системе выполняется очевидный закон со-
хранения
2
( ) 0.
v i n
n
f
c c n
t t
∞
=
∂∂ − + =
∂ ∂
Все материальные константы имеют диффузионную природу, так
что определяются они однотипно. Частота рекомбинации
ЭВОЛЮЦИЯ ВАКАНСИОННЫХ КЛАСТЕРОВ ПРИ ОТЖИГЕ МЕТАЛЛОВ 313
2
3
( ).i vA D D
a
α= + (17)
Величина α ≅ 1—10 определяет эффективность взаимодействия ТД
разных знаков. Параметры взаимодействия с дислокациями
,i i d iK D= κ ρ (18.1)
.v v d vK D= κ ρ (18.2)
Здесь ρd
– плотность дислокаций, κv
и κi
– параметры взаимодей-
ствия вакансий и междоузлий с дислокацией. Дислокация притя-
гивает междоузлия сильнее, чем вакансии – κi
> κv. Этот эффект из-
вестен как дислокационный преференс междоузлий. Коэффициен-
ты диффузии могут быть рассчитаны по хорошо известным форму-
лам аррениусовского типа
exp ,
mi
i
B
h
D
k T
= −
(19.1)
exp .
mv
v
B
h
D
k T
= −
(19.2)
Здесь h
mi
и h
mv
– соответственно энтальпии миграции междоузлий и
вакансий.
5. СВОЙСТВА СИСТЕМЫ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В общем случае для системы нелинейных алгебро-дифференциаль-
ных уравнений (13), (16.1)—(16.2) получить аналитическое решение
невозможно. В отсутствие взаимодействия с дислокациями в неко-
торых случаях можно получить приближенно автомодельное
асимптотическое решение [10]. В случае кластеров больших разме-
ров систему обыкновенных дифференциальных уравнений (13)
можно преобразовать в одно уравнение в частных производных. Та-
кое уравнение легко получается из исходного набора при использо-
вании тейлоровского разложения:
2
21
1
.
2
n n nng g g g
n n
±
∂ ∂= ± +
∂ ∂
(20)
Применив его к (13) получим уравнение типа Фоккера—Планка
(ФП)
2
2
( ) 1
( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) .
2
f x
W x W x f x W x W x f x
t x x
− + − +∂ ∂ ∂ = − + + ∂ ∂ ∂
(21)
314 Р. В. ШАПОВАЛОВ, А. В. ПАХОМОВ, В. В. СЛЁЗОВ
Свойства этого уравнения в ряде случаев хорошо изучены. При-
мечательно то, что решения уравнения (21) и системы (13) оказы-
ваются близкими в тех случаях, когда их удается найти.
Следует отметить, что, если в уравнении ФП заменить диффе-
ренциальные операторы центральными разностями на некоторой
сетке с узлами xn по схеме
1
1 1
1 1
( )
n
n n n
g x g
x d d d
−
− −
∂ → − + ∂ +
+
− −
+ − + − +
1
1 1
1 1 1 1
n n
n n n n n
g g
d d d d d
(22.1)
и
2
1 12
1 1 1 1
2 2 2
( ) ,
( ) ( )
n n n
n n n n n n n n
g x g g g
d d d d d d d dx
− +
− − − −
∂ → − +
+ +∂
(22.2)
где dn = xn+1 − xn – расстояние между узлами, то на сетке, состоящей
из натуральных чисел, будет получен исходный набор уравнений
(13) [11]. Из этого следует, что для численного решения задачи
можно построить так называемую сквозную разностную схему. Она
тождественна исходному набору (13) для кластеров небольшого
размера, для которых дискретность процессов роста и растворения
существенна. Для кластеров большого размера, где такая точность
избыточна с точки зрения экспериментальной проверки, число
уравнений можно существенно сократить. Подобный подход был
использован в работе [12] для изучения радиационно-индуцирован-
ного фазового перехода.
Основное, с точки зрения теории систем дифференциально-
алгебраических уравнений первого порядка, свойство системы (13),
(16.1), (16.2) – ее жесткость. Определение жесткости и методы ре-
шения таких уравнений детально рассмотрены в книге [13]. Авторы
книги описали и предоставили для открытого использования про-
граммный код RADAU5, специализированный для решения систем
жестких ДУ. Основное отличие методов решения таких систем от
«классических» нежестких методов – это использование т.н. неяв-
ной разностной схемы, требующей решения системы линейных ал-
гебраических уравнений (СЛАУ) и использования итерационных
схем. Применение явных схем для жестких задач в общем случае не
дает решения с надлежащей точностью за приемлемое время. В
данной задаче при использовании явной схемы многократно увели-
чиваются затраты машинного времени, а при некоторых значениях
параметров наблюдается разрушение решения.
Использование неявных схем в нашем случае осложняется тем,
ЭВОЛЮЦИЯ ВАКАНСИОННЫХ КЛАСТЕРОВ ПРИ ОТЖИГЕ МЕТАЛЛОВ 315
что при точном описании эволюции вакансионных кластеров, и
других подобных объектов, как правило, возникают СЛАУ с рангом
порядка сотен миллионов. Их решение, в общем случае, имеет ку-
бическую по рангу сложность, т.е. требует O(rang3) операций. Ме-
тод редукции числа уравнений, описанный выше, в принципе поз-
воляет ограничиться всего несколькими тысячами уравнений. Од-
нако в этом случае при некоторых наборах параметров возникают
осцилляции решения, которые могут носить как регулярный, так и
хаотический характер и, в конечном итоге, полностью разрушают
решение. Причиной этого является значительное преобладание
конвективного слагаемого (22.1), над диффузионным (22.2), кото-
рое возникает в том случае, если расстояние между узлами dn начи-
нает превышать некоторое предельное значение. Избежать этого
явления не удается даже при использовании так называемых ди-
вергентных разностных схем. Уменьшение расстояния между уз-
лами приводит к росту ранга СЛАУ. В нашем случае, однако, осо-
бенность задачи такова, что матрица Якоби системы (13), (16.1) и
(16.2) имеет весьма специальный вид (tridiagonal matrix with fring-
es). Это позволило построить эффективный matrix solver с линейной
по рангу сложностью. Таким образом, в нашем распоряжении ока-
зался программный код, позволяющий разумно сочетать математи-
чески необходимую и физически достаточную детализацию. Кла-
стеры, состоящие не более чем из 105
вакансий, описываются си-
стемой уравнений ФБД, а для кластеров большего размера исполь-
зуются уравнения, полученные дискретизацией уравнения ФП на
квазиоднородной решетке, в которой расстояние между узлами
подчинялось экспоненциальному закону 1
(1 ) .n nd d+ = + ε «Прира-
щение» ε лежало в диапазоне
5 210 10 .− −≤ ε ≤
6. ОБСУЖДЕНИЕ МОДЕЛИ, ЗНАЧЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНЫХ
ПАРАМЕТРОВ
По нашему мнению, математическая модель (13), (16.1), (16.2) в
достаточной мере адекватно описывает процессы эволюции вакан-
сионных кластеров. С другой стороны от расчетов с кинетическими
коэффициентами (11), (12) можно ожидать скорее качественного, а
не количественного согласия с процессами, происходящими в ре-
альных материалах. Причиной этого, как было указано выше, яв-
ляется чрезвычайная общность и простота использованного термо-
динамического метода. Естественно, что в этом направлении модель
можно усложнять и улучшать. Однако это неизбежно ведет к уве-
личению числа параметров задачи, численные значения которых
зачастую известны весьма неточно. В такой ситуации можно ре-
шать «обратную» задачу, т.е. рассматривать значения параметров
как подгоночные величины и искать их значения так, чтобы реше-
316 Р. В. ШАПОВАЛОВ, А. В. ПАХОМОВ, В. В. СЛЁЗОВ
ние обеспечивало наилучшее согласие с экспериментальными дан-
ными. Такая задача зачастую усложнена косвенностью экспери-
ментальных данных. Например, могут быть известны только неко-
торые средние по распределению вакансионных кластеров величи-
ны.
Цель данной работы – решение «прямой задачи» – найти зави-
симости некоторых характеристик функции распределения вакан-
сионных кластеров от значения материальных параметров, входя-
щих в формулы для кинетических коэффициентов. Расчеты ориен-
тированы на исследование вакансионных кластеров в титане после
осуществления процесса ИПД при 77 К. Для части материальных
параметров имеются данные или прямые аналогии, позволяющие
установить их значения. Значения прочих параметров установлены
по косвенным аналогиям с величинами, используемыми в теории
гомогенного зародышеобразования. В таблице 1 приводятся значе-
ния параметров, которые использовались в расчетах.
Молекулярный объем титана ΩTi = 10,6 см
3/моль; следовательно,
межатомное расстояние
1/3
A
3
0,161 нм.
4
a
N
Ω= = π
(23)
Параметр кубической решетки ОЦК- или ГЦК-типа с таким меж-
ТАБЛИЦА 1. Значения параметров математической модели.
Название Обозначение Значение Источник
Энтальпия образования
вакансии
ψv 1,27 эВ [14], [15]
Энтальпия образования
междоузлия
ψi 3,175 эВ [14]
Энтальпия миграции
вакансий
hv 0,8 эВ
Оценка, по
аналогии с [16]
Энтальпия миграции
междоузлий
hi 0,2 эВ [14]
Начальная концентрация ТД
0PDc
0,001 ат.
долей
Оценка, по
аналогии с [1]
Коэффициент рекомбинации α 1 Данная работа
Плотность дислокаций ρd 1010
см
−2 Оценка, по
аналогии с [1]
Коэффициент поверхностного
натяжения
γ 300 эрг/см
2 Данная работа
Температура отжига T 450—600 К Данная работа
ЭВОЛЮЦИЯ ВАКАНСИОННЫХ КЛАСТЕРОВ ПРИ ОТЖИГЕ МЕТАЛЛОВ 317
атомным расстоянием равняется 0,327 или 0,412 нм соответствен-
но. Параметры решетки титана a = 0,2951 нм, c = 0,4697 нм хорошо
согласуются с этими данными.
В работах [14] и [15] приведены данные по энергии образования
вакансий в титане. В [14] указано, что для междоузлий эта величи-
на выше в 2—2,5 раза. Также в этой работе дается значение энергии
миграции междоузлий. Для сравнения приведем данные по отно-
шениям энергий образования и миграции точечных дефектов, взя-
тые из работы [16], в которой исследовался цирконий:
ε ε =
Zr Zr
2,021,if vf (24.1)
ε ε =
Zr Zr
0,274.im vm (24.2)
Цирконий и титан являются ГЦК-металлами, отношение энер-
гий образования ТД у них подобно, поэтому мы считаем, что энер-
гии миграции точечных дефектов в титане также отличаются в 4—5
раз. Различием между энергией и энтальпией в данном случае мы
пренебрегаем также, как, по-видимому, и авторы указанных выше
работ.
В работах [17] и [18] рассматриваются вопросы, относящиеся к
взаимодействию точечных дефектов с дислокационной подсисте-
мой. В работе [17] приведены следующие значения коэффициентов
в формулах (18.1) и (18.2): κv
= 1 и κi
= 1,2.
Согласно данным обзора [1] плотность дислокаций в некоторых
материалах после деформации прокаткой в жидком гелии может
достигать величины 7,4⋅1011
см
−2, а концентрация точечных дефек-
тов – 0,001 ат. долей. Точное соотношение вакансий и междоузлий
в этой концентрации неизвестно. Некоторые методы криогенной
ИПД, подразумевают наличие больших гидростатических давле-
ний. По всей видимости, это исключает наличие заметного количе-
ства вакансионных кластеров. В связи с этим в наших расчетах
начальное значение функции распределения равно нулю –
fn(t = 0) = 0 при n ≥ 2, т.е. используется модель гомогенного образо-
вания кластеров. Поскольку начальные условия не являются пара-
метрами модели, то при необходимости, или при наличии экспери-
ментальных данных, не представляет труда выполнить соответ-
ствующие расчеты, учитывающие возможность гетерогенного обра-
зования вакансионных кластеров.
Значение коэффициента поверхностного натяжения, по всей ви-
димости, можно рассматривать как подгоночную величину. Во
многих работах используется ставшая уже традиционной величи-
на, получающаяся из макроскопических опытов – порядка 1
эрг/см2. Другие авторы указывают, что при таком значении можно
моделировать эволюцию, но не гомогенное зарождение кластеров и
используют значения от 0,3 до 0,7 эрг/см
2. С определенностью
318 Р. В. ШАПОВАЛОВ, А. В. ПАХОМОВ, В. В. СЛЁЗОВ
можно утверждать, что результаты расчетов зарождения кластеров
очень чувствительны к значению этой величины. В книге [9], по-
священной теории образования и роста зародышей, данный вопрос
подробно рассмотрен в главе 3.
7. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
До тех пор, пока это не будет специально оговорено, результаты
расчетов приведены для температуры 500 К.
Влияние начальной концентрации междоузлий. В отсутствие точ-
ных данных о доле междоузлий в начальной концентрации ТД
представляет интерес степень влияния этого фактора на эволюцию
вакансионных кластеров. Для расчетов были выбраны три соотно-
шения начальных концентраций ТД:
0 0 PD00 ,i vc c c= = (25.1)
0 PD0 0 PD01 /
,
1 / 1 /
i v
i v
i v i v
c c c c
ψ ψ= =
+ ψ ψ + ψ ψ
(25.2)
0 PD0 0 PD0
/ 2 / 2.
i vc c c c= = (25.3)
Рис. 1. Вакансионная пересыщенность (а) и междоузельная пересыщен-
ность (б) в зависимости от времени отжига. Кривая 1 соответствует случаю
(25.1), кривая 2 – случаю (25.2), кривая 3 – случаю (25.3).
ЭВОЛЮЦИЯ ВАКАНСИОННЫХ КЛАСТЕРОВ ПРИ ОТЖИГЕ МЕТАЛЛОВ 319
Соотношение (25.1) предполагает, что в ходе криогенной ИПД меж-
доузлия практически не возникают. Соотношение (25.2) предпола-
гает, что вакансий больше ровно во столько раз, во сколько раз
меньше их энтальпия образования. В соотношении (25.3) предпола-
гается, что начальные концентрации ТД обоих типов одинаковы.
Предположение о том, что в ходе ИПД концентрация междоузлий
превышает концентрацию вакансий, не рассматривалось как мало-
вероятное.
На рисунке 1 показано, как меняется, так называемая, пересы-
щенность – отношение текущей концентрации точечных дефектов
к своему равновесному значению при температуре отжига. Можно
видеть, что концентрации точечных дефектов стремятся к своему
равновесному, при данной температуре, значению. Чем выше
начальная концентрация междоузлий, тем быстрее возникает со-
стояние равновесия. В случае (25.1) и (25.2) междоузлия и вакан-
сии достигают равновесного значения практически одновременно.
А в случае (25.3) вакансиям для этого требуется приблизительно
вдвое больше времени.
На рисунке 2 показана величина среднего размера и объемной
доли вакансионных кластеров. Сравнение с рис. 1 показывает, что
вакансионные кластеры исчезают практически в то же время, когда
концентрация вакансий достигает своего равновесного значения.
Рис. 2. Величина среднего радиуса кластера (а), количество кластеров в
единице объема в зависимости от времени отжига (б). Кривая 1 соответ-
ствует случаю (25.1), кривая 2 – случаю (25.2), кривая 3 – случаю (25.3).
320 Р. В. ШАПОВАЛОВ, А. В. ПАХОМОВ, В. В. СЛЁЗОВ
Этот рисунок, также как и предыдущий, показывает, что дислока-
ционная подсистема, являющаяся стоком ТД неограниченной
мощности, подавляет рост вакансионных кластеров.
Влияние преференса на междоузлия. Предыдущая серия расчетов,
проиллюстрированная рис. 1—3 была проведена для значения пре-
ференса в 20%, т.е. κv
= 1 и κi
= 1,2. Расчеты показывают, что при
фиксированной величине κv
= 1, величину преференса можно ме-
нять от 0 до 1000% практически без изменения характера процесса
эволюции.
Влияние интенсивности взаимодействия ТД с дислокационной
подсистемой. В силу вышесказанного этот вопрос можно исследо-
вать при одном и том же уровне преференса. Соотношение началь-
ных концентраций вакансий и междоузлий зафиксируем на уровне
(25.2). Рассмотрим три случая
κi/κv
= 1,2, κv
= 0,5, (26.1)
κi/κv
= 1,2, κv
= 1, (26.2)
κi/κv
= 1,2, κv
= 1,5. (26.3)
Рисунки 3, 4 иллюстрируют характер эволюции вакансионных
кластеров при различных значениях уровня взаимодействия ва-
Рис. 3. Вакансионная пересыщенность (а) и междоузельная пересыщен-
ность (б) в зависимости от времени отжига. Кривая 1 соответствует случаю
(26.1), кривая 2 – случаю (26.2), кривая 3 – случаю (26.3).
ЭВОЛЮЦИЯ ВАКАНСИОННЫХ КЛАСТЕРОВ ПРИ ОТЖИГЕ МЕТАЛЛОВ 321
кансий и дислокаций. Из уравнений (16.1), (16.2) и (18.1), (18.2)
видно, что условия (26.1)—(26.3) эквивалентны варьированию
плотности дислокаций, т.е. ρd
= 0,5⋅1010, 1010, 1,5⋅1010
см
−2
соответ-
ственно.
Рисунок 4 показывает, что изменение плотности дислокаций не
оказывает существенного влияния на концентрацию точечных де-
фектов. Рисунок 4, б свидетельствуют о том, что форма функции
распределения также мало зависит от плотности дислокаций, по-
скольку она определяется самосогласованным взаимодействием
кластеров друг с другом посредством подвижных ТД. Средний раз-
мер кластеров, напротив, довольно чувствителен к значению плот-
ности дислокаций. Возрастание плотности дислокаций приводит к
ускорению поглощения ими вакансий и, естественно, к быстрей-
шему растворению вакансионных кластеров.
Влияние коэффициента рекомбинации. Начальные концентрации
ТД были зафиксированы на уровне (25.2), а интенсивность взаимо-
действия с дислокациями на уровне (26.2). Исследовалось влияние
коэффициента рекомбинации α (17) на эволюцию распределения
вакансионных кластеров. Оказалось, что вариация этого коэффи-
циента в пределах α = 1—10 изменяет показатели распределения,
приведенные на рис. 1—3, не более, чем на 1%. Следовательно, ин-
тенсивность рекомбинации дефектов не оказывает сколько-нибудь
Рис. 4. Величина среднего радиуса кластера (а) и количество кластеров в
единице объема (б) в зависимости от времени отжига. Кривая 1 соответ-
ствует случаю (26.1), кривая 2 – случаю (26.2), кривая 3 – случаю (26.3).
322 Р. В. ШАПОВАЛОВ, А. В. ПАХОМОВ, В. В. СЛЁЗОВ
заметного влияния на последеформационный отжиг ТД.
Влияние температуры. Из приведенных графиков видно, что тем-
пература отжига при 500 К достигает величины ≅ 3 лет. Для техни-
ческой процедуры это время слишком велико. Выясним, насколько
влияет на скорость эволюции микроструктуры температура отжига
в интервале 450—600 К, при условиях (25.2) и (26.2).
Отметим, что при температуре выше 600 К в титане начинаются
интенсивные процессы рекристаллизации, полностью убирающие
дислокационную структуру, полученную в ходе криогенной ИПД.
Поэтому более высокие температуры не рассматриваются. При тем-
пературах ниже 450 К процессы эволюции микроструктуры замед-
лены настолько, что с практической точки зрения их можно счи-
тать несуществующими. Как видно из рис. 5, с увеличением темпе-
ратуры время Δtanneal, требуемое для того, чтобы вакансионные кла-
стеры полностью растворились, быстро уменьшается. Приближен-
ное соотношение, дающее время отжига, выраженное в секундах,
как функцию абсолютной температуры отжига, имеет вид
Δtanneal
[c] = 1025,66—0,037T [К]. (27)
Рис. 5. Величина среднего радиуса кластера (а) и количество кластеров в
единице объема (б) в зависимости от времени отжига. Кривая 1 соответ-
ствует отжигу при T = 450 К, кривая 2 – T = 500 К, кривая 3 – T = 550 К,
кривая 4 – T = 600 К. Время отжига ≅ 32 года при 450 К, ≅ 5,5 месяца при
500 К, ≅ 48 часов при 550 К, ≅ 50мин. при 600К.
ЭВОЛЮЦИЯ ВАКАНСИОННЫХ КЛАСТЕРОВ ПРИ ОТЖИГЕ МЕТАЛЛОВ 323
В титане, находящемся при температуре ниже 500 К, процессы
релаксации точечных дефектов и, как следствие, эволюция вакан-
сионных кластеров, идут чрезвычайно медленно. В этом случае
может возникнуть локальная неоднородность микроструктуры
вследствие возможного локального нагрева. Характер этого процес-
са, естественно, зависит от условий, в которых может находиться
титан.
8. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1. Показано, что концентрации ТД, используемые в кинетических
уравнениях в качестве начальных условий, могут быть заданы в со-
отношении, обратно пропорциональном их энергиям образования.
Поскольку величины этих энергий известны не точно, были прове-
дены расчеты для некоторого диапазона значений. Найдено, что
при меньшей величине энергии образования междоузлия и, соот-
ветственно, большей доле междоузлий, сокращается время отжига
ТД до их равновесных значений.
2. Проведены расчеты эволюции вакансионных кластеров для раз-
личных значений величины преференса междоузлий на дислока-
ции. Показано, что при прочих равных условиях, изменение этой
величины оказывает незначительное влияние на эволюцию вакан-
сионных кластеров и время отжига ТД до их равновесных значе-
ний. Тот же вывод получен для частоты рекомбинации точечных
дефектов.
3. Выяснено, что наибольшее влияние на скорость зарождения и
роста, а также на темп растворения вакансионных кластеров ока-
зывают плотность дислокаций и температура процесса. Найдена
зависимость между температурой отжига T и временем Δta, в тече-
ние которого в титане полностью исчезают избыточные ТД.
4. С точки зрения рассмотренной модели эволюции вакансионных
кластеров представляется целесообразным проводить стабилизи-
рующий отжиг металлов, подвергнутых криогенным ИПД. Это поз-
волит избежать возникновения и роста нанопор в металле в случае
возможного локального нагрева. Полный отжиг вакансионных
кластеров при температуре T = 500 К занимает около 4 мес., при T =
= 550 К сокращается до 25 часов, а при T = 600 К происходит в тече-
ние 40 мин.
БЛАГОДАРНОСТИ
Авторы выражают благодарность В. И. Соколенко и О. И. Волчку за
полезные обсуждения.
Работа финансировалась в рамках совместного проекта НАН
324 Р. В. ШАПОВАЛОВ, А. В. ПАХОМОВ, В. В. СЛЁЗОВ
Украины и РФФИ № 10-08-12 (У).
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. И. А. Гиндин, Я. Д. Стародубов, В. К. Аксенов, Металлофизика, 2, № 2: 49
(1980).
2. В. К. Аксенов, О. И. Волчок, В. М. Горбатенко, В. А. Емлянинов, М. Б. Ла-
зарева, А. В. Мац, В. С. Оковит, Я. Д. Стародубов, О. В.Черный, Л. А. Чир-
кина, ФНТ, 20, № 6: 595 (1994).
3. В. В. Брык, И. М. Неклюдов, В. И. Соколенко, Я. Д. Стародубов, П. А. Хай-
мович, Металлофиз. новейшие технол., 27, № 4: 551 (2005).
4. И. М. Неклюдов, О. И. Волчок, В. В. Калиновский, В. С. Оковит, В. И. Со-
коленко, П. А. Хаймович, Н. А. Черняк, Л. А. Чиркина, ВАНТ. Сер. Ваку-
ум, чистые металлы, сверхпроводники, № 17: 108 (2008).
5. В. С. Оковит, М. Б. Лазарева, П. А. Хаймович, Л. А. Чиркина, А. С. Була-
тов, В. В. Калиновский, В. И. Соколенко, К. В. Ковтун, В. Ф. Долженко,
Р. В. Ажажа, Вестник ХНУ. Сер. Физика, № 794, вып. 1/37: 63 (2008).
6. Y. M. Wang and E. Ma, Acta Mater., 52: 1699 (2004).
7. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая физика. Часть 1 (Москва:
Наука: 1976).
8. В. В. Слезов, ФТТ, 42, вып. 4: 733 (2000).
9. D. Kashchiev, Nucleation Basic Theory with Applications (Oxford: Butterworth
Heinemann: 2000).
10. И. М. Лифшиц, В. В. Слезов, ЖЭТФ, 35, вып. 2 (8): 479 (1958).
11. D. B. Duncan and A. R. Soheili, Applied Numerical Mathematics, 37, Iss. 1—2: 1
(2001).
12. A. A. Turkin and A. S. Bakai, J. Nucl. Mat., 358: 10 (2006).
13. Э. Хайрер, Г. Ваннер, Решение обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи (Москва: Мир:
1999) (пер. с англ.).
14. E. Hashimoto, E. A. Smirnov, and T. Kino, J. Phys. F: Met. Phys., 14: L215
(1984).
15. A. T. Rajia, S. Scandolob, R. Mazzarelloc, S. Nsengiyumvaa, M. Härtinga, and
D. T. Brittona, Philos. Magazine, 89, No. 20: 1629 (2009).
16. V. I. Dubinko, A. S. Abyzov, and A. A. Turkin, J. Nucl. Mater., 336: 11 (2005).
17. A. H. Duparc, C. Moingeon, N. Smetniansky-de-Grande, and A. Barbu, J. Nucl.
Mater., 302: 143 (2002).
18. V. V. Slesov and P. A. Bereznyak, Physics of Radiation Effects in Crystals (Eds.
N. A. Jоhnson and A. N. Orlov) (Amsterdam: Elsevier Science Publshers B.V.:
1986), p. 575.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-104087 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1024-1809 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:26:03Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шаповалов, Р.В. Пахомов, А.В. Слезов, В.В. 2016-07-01T12:51:04Z 2016-07-01T12:51:04Z 2013 Эволюция вакансионных кластеров при отжиге металлов, прошедших интенсивную пластическую деформацию в криогенных условиях / Р.В. Шаповалов, А.В. Пахомов, В.В. Слезов // Металлофизика и новейшие технологии. — 2013. — Т. 35, № 3. — С. 305-324. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1024-1809 PACS numbers:61.72.Bb, 61.72.Cc,61.72.J-,61.72.Yx,64.60.Q-,81.20.Hy, 82.60.Nh https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/104087 Выполнено теоретическое исследование зарождения, роста и последующего растворения вакансионных кластеров в металле при термическом отжиге в интервале температур 450 - 600 К. Получена система кинетических уравнений, описывающих эволюцию ансамбля вакансионных кластеров. Найдены численные решения данной системы при различных значениях материальных параметров. Виконано теоретичне дослідження зародження, росту та наступного розчинення вакансійних кластерів у металі при термічному відпалюванні в інтервалі температур 450—600 К. Одержано систему кінетичних рівнянь, які описують еволюцію ансамблю вакансійних кластерів. Знайдено числові розв’язки даної системи при різних значеннях матеріальних параметрів. Theoretical investigation of nucleation, growing and subsequent dissolution of vacancy clusters in metals is performed under thermal annealing in temperature range 450—600 K. The set of kinetic equations describing an evolution of vacancy clusters is obtained. A numerical solution of this system is found for various values of material parameters. Авторы выражают благодарность В. И. Соколенко и О. И. Волчку за полезные обсуждения. Работа финансировалась в рамках совместного проекта НАН Украины и РФФИ № 10-08-12 (У). ru Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України Металлофизика и новейшие технологии Физика прочности и пластичности Эволюция вакансионных кластеров при отжиге металлов, прошедших интенсивную пластическую деформацию в криогенных условиях Evolution of Vacancy Clusters under Thermal Annealing of Metals Undergone Severe Plastic Deformation under Cryogenic Conditions Article published earlier |
| spellingShingle | Эволюция вакансионных кластеров при отжиге металлов, прошедших интенсивную пластическую деформацию в криогенных условиях Шаповалов, Р.В. Пахомов, А.В. Слезов, В.В. Физика прочности и пластичности |
| title | Эволюция вакансионных кластеров при отжиге металлов, прошедших интенсивную пластическую деформацию в криогенных условиях |
| title_alt | Evolution of Vacancy Clusters under Thermal Annealing of Metals Undergone Severe Plastic Deformation under Cryogenic Conditions |
| title_full | Эволюция вакансионных кластеров при отжиге металлов, прошедших интенсивную пластическую деформацию в криогенных условиях |
| title_fullStr | Эволюция вакансионных кластеров при отжиге металлов, прошедших интенсивную пластическую деформацию в криогенных условиях |
| title_full_unstemmed | Эволюция вакансионных кластеров при отжиге металлов, прошедших интенсивную пластическую деформацию в криогенных условиях |
| title_short | Эволюция вакансионных кластеров при отжиге металлов, прошедших интенсивную пластическую деформацию в криогенных условиях |
| title_sort | эволюция вакансионных кластеров при отжиге металлов, прошедших интенсивную пластическую деформацию в криогенных условиях |
| topic | Физика прочности и пластичности |
| topic_facet | Физика прочности и пластичности |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/104087 |
| work_keys_str_mv | AT šapovalovrv évolûciâvakansionnyhklasterovpriotžigemetallovprošedšihintensivnuûplastičeskuûdeformaciûvkriogennyhusloviâh AT pahomovav évolûciâvakansionnyhklasterovpriotžigemetallovprošedšihintensivnuûplastičeskuûdeformaciûvkriogennyhusloviâh AT slezovvv évolûciâvakansionnyhklasterovpriotžigemetallovprošedšihintensivnuûplastičeskuûdeformaciûvkriogennyhusloviâh AT šapovalovrv evolutionofvacancyclustersunderthermalannealingofmetalsundergonesevereplasticdeformationundercryogenicconditions AT pahomovav evolutionofvacancyclustersunderthermalannealingofmetalsundergonesevereplasticdeformationundercryogenicconditions AT slezovvv evolutionofvacancyclustersunderthermalannealingofmetalsundergonesevereplasticdeformationundercryogenicconditions |