Разработка динамической модели тормозного механизма с учетом дискретности фрикционного контакта
Разработана динамическая модель тормоза использует колебательную систему с двумя степенями свободы. Колесо вращается со скоростью по заданному закону, влияние тормозного усилия на скорость колеса не учитывается. Возможности аналитических методов исследования ограничены системами с одной степенью сво...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Розробка родовищ |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
УкрНДМІ НАН України, Інститут геотехнічної механіки НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/104571 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Разработка динамической модели тормозного механизма с учетом дискретности фрикционного контакта / А.Н. Коптовец // Розробка родовищ: Зб. наук. пр. — 2014. — Т. 8. — С. 387-392. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859630082289565696 |
|---|---|
| author | Коптовец, А.Н. |
| author_facet | Коптовец, А.Н. |
| citation_txt | Разработка динамической модели тормозного механизма с учетом дискретности фрикционного контакта / А.Н. Коптовец // Розробка родовищ: Зб. наук. пр. — 2014. — Т. 8. — С. 387-392. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Розробка родовищ |
| description | Разработана динамическая модель тормоза использует колебательную систему с двумя степенями свободы. Колесо вращается со скоростью по заданному закону, влияние тормозного усилия на скорость колеса не учитывается. Возможности аналитических методов исследования ограничены системами с одной степенью свободы, поэтому актуальной является разработка вычислительных алгоритмов для компьютерного моделирования и анализ колебательных процессов с трением методом вычислительного эксперимента.
Розроблена динамічна модель гальма використовує коливальну систему з двома ступенями свободи. Колесо обертається зі швидкістю за заданим законом, вплив гальмівного зусилля на швидкість колеса не враховується. Можливості аналітичних методів дослідження обмежені системами з одним ступенем свободи, тому актуальною є розробка обчислювальних алгоритмів для комп'ютерного моделювання та аналіз коливальних процесів з тертям методом обчислювального експерименту.
Dynamic brake model uses vibratory system with two degrees of freedom is developed. A wheel turns round with preset speed, and effect of brake power on the wheel speed is not involved. Systems with one degree of freedom set a limit to analytical research; that’s why it is vital to develop computational algorithm for computer simulation as well as analysis of oscillating processes with friction using computational experiment.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:09:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
387
УДК 622.625.28-592.112 © А.Н. Коптовец
А.Н. Коптовец
РАЗРАБОТКА ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ТОРМОЗНОГО МЕХАНИЗМА С УЧЕТОМ
ДИСКРЕТНОСТИ ФРИКЦИОННОГО КОНТАКТА
Разработана динамическая модель тормоза использует колебательную систему с
двумя степенями свободы. Колесо вращается со скоростью по заданному закону, влия-
ние тормозного усилия на скорость колеса не учитывается. Возможности аналитиче-
ских методов исследования ограничены системами с одной степенью свободы, поэто-
му актуальной является разработка вычислительных алгоритмов для компьютерно-
го моделирования и анализ колебательных процессов с трением методом вычислите-
льного эксперимента.
РОЗРОБКА ДИНАМІЧНОЇ МОДЕЛІ ГАЛЬМІВНОГО МЕХАНІЗМУ З УРАХУВАННЯМ
ДИСКРЕТНОСТІ ФРИКЦІЙНОГО КОНТАКТУ
Розроблена динамічна модель гальма використовує коливальну систему з двома сту-
пенями свободи. Колесо обертається зі швидкістю за заданим законом, вплив гальмі-
вного зусилля на швидкість колеса не враховується. Можливості аналітичних методів
дослідження обмежені системами з одним ступенем свободи, тому актуальною є роз-
робка обчислювальних алгоритмів для комп'ютерного моделювання та аналіз колива-
льних процесів з тертям методом обчислювального експерименту.
DEVELOPMENT OF DYNAMIC MODEL OF BRAKING GEAR INVOLVING FRICTIONAL
CONTACT INCREMENT
Dynamic brake model uses vibratory system with two degrees of freedom is developed. A
wheel turns round with preset speed, and effect of brake power on the wheel speed is not in-
volved. Systems with one degree of freedom set a limit to analytical research; that’s why it is
vital to develop computational algorithm for computer simulation as well as analysis of oscil-
lating processes with friction using computational experiment.
ВВЕДЕНИЕ
Имеется ряд теорий, объясняющих
причину наблюдаемой разницы между ста-
тическим и кинетическим трением, вместе
с тем единое мнение относительно меха-
низма, лежащего в основе этого явления,
отсутствует [1].
В ранних работах [2, 3], посвященных
исследованию фрикционных автоколеба-
ний, в качестве основных причин такой
разности рассматривались падение силы
трения скольжения при увеличении отно-
сительной скорости скольжения и рост сил
трения покоя в зависимости от продолжи-
тельности неподвижного контакта при со-
вместном движении соприкасающихся по-
верхностей. Позднее были проведены мно-
гочисленные экспериментальные исследо-
вания [4, 5], подтверждающие гипотезу,
388
что основной причиной разницы между
статическим и кинетическим трением не-
смазанных поверхностей являются колеба-
ния тел в плоскости, перпендикулярной к
плоскости скольжения, и предложен ряд
математических моделей, описывающих
возникновение и взаимодействие нормаль-
ных и тангенциальных автоколебаний.
В работе [6] возникновение нормаль-
ных колебаний объясняется столкновением
микронеровностей контактирующих по-
верхностей при взаимных тангенциальных
смещениях. В [7] на основе модели, в ко-
торой предполагалось наличие феномено-
логической нелинейной вязко-упругой за-
висимости между сближением тел и силой
контакта, рассмотрена классическая сис-
тема: ползун, скользящий с трением по
движущейся ленте транспортера, растяги-
вает горизонтальную пружину. Рассмот-
ренная система допускала перемещения
ползуна в двух направлениях (вертикаль-
ном и горизонтальном). В результате чис-
ленного моделирования установлено, что
возможно наблюдать автоколебания пол-
зуна и при отсутствии локального макси-
мума, соответствующего трению покоя. В
работе [8] в явном виде вводятся в рас-
смотрение функции, описывающие шеро-
ховатость контактирующих поверхностей,
и на основе результатов вычислительного
эксперимента сделан вывод, что учет ше-
роховатостей поверхностей и вертикаль-
ных колебаний ползуна позволил устано-
вить возможность реализации фрикцион-
ных автоколебаний в чисто упругой систе-
ме, в которой не вводится искусственная
разница между статическим и динамиче-
ским коэффициентами трения. В [9] пред-
ложена математическая модель фрикцион-
ных колебаний, обусловленных деформи-
рованием шероховатостей контактирую-
щих поверхностей, трение между которы-
ми описывается законом Амонтона, и раз-
работан вычислительный алгоритм для ис-
следования взаимодействия нормальных и
тангенциальных колебаний методом уста-
новления. Взаимодействие нормальных и
тангенциальных фрикционных колебаний
колодки колесного тормоза подвижного
состава рельсового транспорта шахт при
наличии конструктивных связей исследо-
вано в работе [10].
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
В качестве расчетной схемы тормоза
рассмотрим простейшую колебательную
систему с двумя степенями свободы
(рис. 1), состоящую из колодки массой m ,
скользящей по колесу радиуса R , вра-
щающемуся с постоянной угловой скоро-
стью ω , и упругодемпфирующего элемен-
та Фойхта, жесткость и коэффициент вяз-
кости которого обозначим с и b соответ-
ственно. Кривизной поверхностей колодки
и колеса будем пренебрегать. К колодке
приложено внешнее постоянное усилие Q,
прижимающее ее к колесу. Номинальная
площадка контакта колодки и колеса имеет
форму прямоугольника со сторонами 2а и
е. Область фактического контактного
взаимодействия дискретна и состоит из со-
вокупности пятен контакта. Причиной воз-
никновения дискретности контакта являет-
ся шероховатость контактирующих по-
верхностей.
Рис. 1. Расчетная схема динамической модели
тормозного механизма
Упругодемпфирующий элемент моде-
лирует конструктивную связь тормозного
механизма, действующую в направлении
под углом ≤α 90º к плоскости трения. От-
389
метим, что именно наличие в рассматри-
ваемой модели такой связи приводит к ко-
ординатной взаимосвязи нормальных и
тангенциальных колебаний колодки.
Введем абсолютную систему координат
ОХY таким образом, что направление оси
OX совпадает с направлением тангенци-
альных колебаний колодки, а направление
оси OY – с направлением ее нормальных
колебаний. Положение колодки определя-
ется ее координатами ( ) ( ){ }ty,tx . Введем
также две локальные системы координат
sssO ηξ , 21,s = для колодки и колеса со-
ответственно.
Считается, что колодка и колесо абсо-
лютно жесткие, однако каждая контакти-
рующая поверхность покрыта деформи-
руемым шероховатым слоем, состоящим
из линейно-упругих пружин одинаковой
жесткости k различной высоты. В локаль-
ных системах координат sssO ηξ , 21,s =
шероховатые поверхности колодки и коле-
са описываются соответственно функция-
ми:
( ) ( ) ( )( )=
=
1
1
1
11
11
N
i
ii singf ξωξ ;
( ) ( ) ( )( )=
=
1
1
2
22
22
N
i
ii singf ξωξ ,
где ( )1
ig , ( )1
iω , 11 N,i = – коэффициенты,
описывающие шероховатую поверхность
колодки; ( )2
ig , ( )2
iω , 21 N,i = – коэффици-
енты, описывающие шероховатую поверх-
ность колеса.
В процессе относительного движения
колодки и колеса происходит смятие мик-
ронеровностей. В первом приближении
нормальную компоненту локальных сил
взаимодействия микронеровностей будем
считать пропорциональной величине их
взаимного перекрытия. Тогда нормальная
компонента yF усилия контактного взаи-
модействия колодки и колеса определяется
следующим образом:
( ) ( ) ( )( ) ×−−−+=
−
a
a
y yfUtxfkey,xF ξξ 12
( ) ( )( ) ξξξ dyfUtxfH −−−+× 12 , (1)
где ( )sH – функция Хевисайда [11], опре-
деляемая как
( )
=
,
,
sН
0
1
если
если
.s
;s
0
0
≤
>
Трение между контактирующими по-
верхностями описывается одночленным
законом Амонтона, который запишем в
следующей форме:
yx FF ϕ≤ ; (2)
UxFF yx =< ϕ ; (3)
Ux
Ux
F
FFF
x
x
yx −
−−==
ϕ , (4)
где xF – сила трения; ϕ – коэффициент
трения; RU ω= – скорость движения по-
верхности колеса.
Отметим, что соотношение (3) выпол-
няется при сцеплении колодки и колеса, а
соотношение (4) – при их взаимном сколь-
жении.
Особенностью закона трения (2) – (4)
является его «пороговый» характер: вза-
имное скольжение начинается не при лю-
бом значении xF , а лишь при достижении
силой трения определенного порога, рав-
ного yFϕ . Отмеченная особенность значи-
тельно усложняет построение решений
рассматриваемого класса задач. Поэтому в
работах [8, 11] вводились дополнительные
упрощения, в частности, снятие порога (3)
по началу скольжения приводило к закону
«жидкого» трения, по существу, – к гидро-
динамической модели, в которой всегда
yx FF ϕ= .
Таким образом, динамическое поведе-
ние рассматриваемой системы описывает-
390
ся следующей системой уравнений:
( ) ( )×+−++ cyybcxxbxm cc β
0=−× xcs Fβ ; (5)
( ) ( )×+−++ cxxbcyybym ss β
0=+−× QFycsβ , (6)
где αβ 2coscc = ; αβ 2sinss = ;
ααβ sincoscs = .
Учитывая, что для моделирования фрик-
ционных колебаний используется метод
установления, начальные условия примем
следующими
( ) 00 =x , ( ) 00 =x ;
( ) 00 =y , ( ) 00 =y .
Задача состоит в определении закона
движения колодки ( ) ( ){ }ty ,tx с учетом свя-
занности тангенциальных и нормальных
колебаний.
Для разработки вычислительного алго-
ритма решения сформулированной выше
динамической задачи с трением использу-
ется вариационный подход [12 – 14]. Пусть
{ }v,u – возможные перемещения колодки;
{ } { }yv,xuy,x −−=δδ – вариации компо-
нент перемещений колодки;
{ } { }yv,xuy,x −−=δδ – вариации компо-
нент скорости колодки. Сложив уравнения
(5) и (6), умноженные на соответствующие
вариации компонент скорости, получим
( ) ( )( )( )+−−+−++ xuFcyybcxxbxm xcscc ββ
( ) ( )( )( ) .yvQFcxxbcyybym ycsss 0=−+−+−+++ ββ (7)
Соотношение (7) выражает принцип
возможных мощностей для рассматривае-
мой системы.
Представим последнее из равенств (4) в
виде
( ) .UxFUxF xx 0=−+− (8)
Соотношение (8) выполняется и при
сцеплении колодки с колесом, поскольку в
этом случае .Ux = Временно предполо-
жим, что скорость u также удовлетворяет
условию (8). Вычитанием находим, что
( ) ( ) 0=−+−−− xuFUxUuF xx .
Следовательно,
( ) ( )UxUuFxuF xx −−−−=− . (9)
Правая часть полученного равенства
оценивается снизу величиной
( )UxUuFy −−−− ϕ .
В самом деле, если даже yx FF ϕ= , то
имеет место равенство; если же yx FF ϕ< ,
то Ux = и правая часть формулы (9) по-
ложительна, следовательно
( ) ( )UxUuFxuF yx −−−−≥− ϕ . (10)
Докажем теперь, что оценка (10) имеет
место для произвольной возможной скоро-
сти u . С этой целью изучим знак выраже-
ния
( ) ( )UxUuFxuFA yx −−−+−= ϕ .
Заметим, прежде всего, что при
yx FF ϕ< выполняется Ux = ; следова-
тельно, в этом случае
( ) ≥−+−= UuFUuFA yx ϕ
( ) 0≥−+−≥ UuFUuF xx , u∀ .
391
Если же yx FF ϕ= , то
( ) ( )+−−−= UuFUuFA xx
UuFUuF xx −−−+ .
С учетом (14), получим
( ) 0≥−+−= UuFUuFA xx ,
что и требовалось доказать.
Таким образом, с учетом оценки (10),
решение { }y ,x системы уравнений (5) – (6)
удовлетворяет неравенству
( ) ( )( )( ) ( )( )+−−−+−+−++ UxUuy,xFxucyybcxxbxm ycscc ϕββ
( ) ( ) ( )( )( ) 0≥−+−+−+++ yvQy,xFcxxbcyybym ycsss ββ , { }.v,u∀ (11)
Используя терминологию, введенную в
работах Ж.-Л. Лионса и его учеников [15],
неравенство (11) можно отнести к типу
квазивариационных вследствие того, что
нормальное усилие yF , определяемое по
формуле (1), зависит от перемещений ко-
лодки ( ) ( ){ }.ty,tx
ВЫВОДЫ
Разработана математическая модель
фрикционных колебаний в тормозном ме-
ханизме, обусловленных деформировани-
ем шероховатых контактирующих поверх-
ностей, трение между которыми описыва-
ется законом Амонтона. Получена вариа-
ционная формулировка в виде квазивариа-
ционного неравенства динамической зада-
чи для колебательной системы с двумя
степенями свободы при наличии вязкого и
сухого трения Амонтона и деформирова-
нии шероховатых контактирующих по-
верхностей.
В качестве динамической модели рас-
смотрена простейшая система с двумя сте-
пенями свободы. Установлено, что в рас-
сматриваемой системе возможно возник-
новение фрикционных автоколебаний при
отсутствии разницы между статическим и
динамическим коэффициентами трения.
Нормальные вынужденные колебания
возбуждаются кинематически от дискрет-
ности контакта с равновесной шероховато-
стью от износа. Тангенциальными колеба-
ниями являются: составляющие нормаль-
ных колебаний от конструктивных связей в
тормозном механизме, фрикционные от
нормальных переменных усилий по закону
трения Амонтона-Кулона, фрикционные
автоколебания от разницы между статиче-
ским, кинетическим и динамическим ко-
эффициентами трения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Справочник по триботехнике. Т. 3. Теоретические
основы / под общ. ред. М. Хебты, А.В. Чичинадзе. – М.:
Машиностроение, 1989. – 400 с.
2. Кайдановский Н.Л. Механические релаксационные
колебания / Н.Л. Кайдановский, С.Э. Хайкин // ЖТФ. –
1933. – Т. III, вып. 1. – С. 91 – 109.
3. Манько Н.Н. Трение и износ тормозных колодок
подвижного состава с учетом режимов торможения
/ Н.Н. Манько // Изв. вузов. Гор. журн. – 1971. – № 12. –
С. 102 – 104.
4. О величине коэффициента трения при малых
скоростях скольжения / Новиков Е.Е., Смирнов В.К., Ста-
ховский Е.А. [и др.] // Теория и расчет горных машин. –
К., 1982. – С. 39 – 51.
392
5. Ишлинский А.Ю. О скачках при трении / А.Ю. Иш-
линский, И.В. Крагельский // ЖТФ. – 1944. – Т. XIV,
Вып. 4 – 5. – С. 276 – 283.
6. Кудинов В.А. Трение и колебания // Трение, изна-
шивание и смазка: справочник: в 2 т. / В.А. Кудинов,
Д.М. Толстой; под ред. И.В. Крагельского, В.В. Алисина. –
М.: Машиностроение, 1979. – Т. 2. – С. 11 – 22.
7. Martins J.A.C. A study of static and kinetic friction
/ J.A.C. Martins, J.T. Oden, F.M.E. Simoes // Int. J. Engng.
Sci. – 1990. – Vol. 28, № 1. – P. 29 – 92.
8. Бородич Ф.М. Фрикционные автоколебания, обу-
словленные деформированием контактирующих по-
верхностей / Ф.М. Бородич, И.В. Крюкова // Письма в
ЖТФ. – 1997. – Т. 23, №. 6. – С. 67 – 73.
9. Бобылёв А.А. Математическая модель фрикци-
онных автоколебаний, обусловленных деформировани-
ем шероховатостей контактирующих поверхностей
/ А.А. Бобылёв, А.Н. Коптовец // Методи розв’язування
прикладних задач механіки деформівного твердого
тіла. − Д.: Наука і освіта, 2006. − Вип. 7. – С. 11 – 21.
10. Коптовец А.Н. Взаимодействие нормальных и
тангенциальных фрикционных автоколебаний при на-
личии конструктивных связей / А.Н. Коптовец, А.А. Бо-
былёв // Вібрації в техніці та технологіях. – Вінниця,
2007. – № 3(48). – С. 97 – 100.
11. Владимиров В.С. Обобщенные функции в мате-
матической физике / В.С. Владимиров. – М.: Наука,
1979. – 320 с.
12. Дюво Г. Неравенства в механике и физике
/ Г. Дюво, Ж.-Л. Лионс. – М.: Наука, 1980. – 384 с.
13. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их
приложения / П. Панагиотопулос. – М.: Мир, 1989. –
492 с.
14. Кравчук А.С. Вариационные и квазивариацион-
ные неравенства в механике / А.С. Кравчук. – М.:
МГАПИ, 1997. – 340 с.
15. Lions J.-L. Surface problems: Methods of variational
and quasivariational inequalities / J.-L. Lions // Lect. Notes
in Math. Syst. – 1975. – № 461. – P. 129 – 148.
ОБ АВТОРАХ
Коптовец Александр Николаевич – д.т.н., профес-
сор кафедры транспортных систем и технологий На-
ционального горного университета.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-104571 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2415-3435 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:09:55Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | УкрНДМІ НАН України, Інститут геотехнічної механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коптовец, А.Н. 2016-07-12T13:16:55Z 2016-07-12T13:16:55Z 2014 Разработка динамической модели тормозного механизма с учетом дискретности фрикционного контакта / А.Н. Коптовец // Розробка родовищ: Зб. наук. пр. — 2014. — Т. 8. — С. 387-392. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 2415-3435 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/104571 622.625.28-592.112 Разработана динамическая модель тормоза использует колебательную систему с двумя степенями свободы. Колесо вращается со скоростью по заданному закону, влияние тормозного усилия на скорость колеса не учитывается. Возможности аналитических методов исследования ограничены системами с одной степенью свободы, поэтому актуальной является разработка вычислительных алгоритмов для компьютерного моделирования и анализ колебательных процессов с трением методом вычислительного эксперимента. Розроблена динамічна модель гальма використовує коливальну систему з двома ступенями свободи. Колесо обертається зі швидкістю за заданим законом, вплив гальмівного зусилля на швидкість колеса не враховується. Можливості аналітичних методів дослідження обмежені системами з одним ступенем свободи, тому актуальною є розробка обчислювальних алгоритмів для комп'ютерного моделювання та аналіз коливальних процесів з тертям методом обчислювального експерименту. Dynamic brake model uses vibratory system with two degrees of freedom is developed. A wheel turns round with preset speed, and effect of brake power on the wheel speed is not involved. Systems with one degree of freedom set a limit to analytical research; that’s why it is vital to develop computational algorithm for computer simulation as well as analysis of oscillating processes with friction using computational experiment. ru УкрНДМІ НАН України, Інститут геотехнічної механіки НАН України Розробка родовищ Геомеханіка Разработка динамической модели тормозного механизма с учетом дискретности фрикционного контакта Розробка динамічної моделі гальмівного механізму з урахуванням дискретності фрикційного контакту Development of dynamic model of braking gear involving frictional contact increment Article published earlier |
| spellingShingle | Разработка динамической модели тормозного механизма с учетом дискретности фрикционного контакта Коптовец, А.Н. Геомеханіка |
| title | Разработка динамической модели тормозного механизма с учетом дискретности фрикционного контакта |
| title_alt | Розробка динамічної моделі гальмівного механізму з урахуванням дискретності фрикційного контакту Development of dynamic model of braking gear involving frictional contact increment |
| title_full | Разработка динамической модели тормозного механизма с учетом дискретности фрикционного контакта |
| title_fullStr | Разработка динамической модели тормозного механизма с учетом дискретности фрикционного контакта |
| title_full_unstemmed | Разработка динамической модели тормозного механизма с учетом дискретности фрикционного контакта |
| title_short | Разработка динамической модели тормозного механизма с учетом дискретности фрикционного контакта |
| title_sort | разработка динамической модели тормозного механизма с учетом дискретности фрикционного контакта |
| topic | Геомеханіка |
| topic_facet | Геомеханіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/104571 |
| work_keys_str_mv | AT koptovecan razrabotkadinamičeskoimodelitormoznogomehanizmasučetomdiskretnostifrikcionnogokontakta AT koptovecan rozrobkadinamíčnoímodelígalʹmívnogomehanízmuzurahuvannâmdiskretnostífrikcíinogokontaktu AT koptovecan developmentofdynamicmodelofbrakinggearinvolvingfrictionalcontactincrement |