Напряженно-деформированное состояние прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины при различных граничных условиях
Проведено исследование напряженно-деформированного состояния пологой прямоугольной в плане ортотропной оболочки с переменной толщиной в двух координатных направлениях при различных граничных условиях на краях в уточненной постановке. Для решения двумерных краевых задач использован численно-аналитиче...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/104775 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Напряженно-деформированное состояние прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины при различных граничных условиях / А.Я. Григоренко, Н.П. Яремченко, С.Н. Яремченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 6. — С. 31-37. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860262003599212544 |
|---|---|
| author | Григоренко, А.Я. Яремченко, Н.П. Яремченко, С.Н. |
| author_facet | Григоренко, А.Я. Яремченко, Н.П. Яремченко, С.Н. |
| citation_txt | Напряженно-деформированное состояние прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины при различных граничных условиях / А.Я. Григоренко, Н.П. Яремченко, С.Н. Яремченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 6. — С. 31-37. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Проведено исследование напряженно-деформированного состояния пологой прямоугольной в плане ортотропной оболочки с переменной толщиной в двух координатных направлениях при различных граничных условиях на краях в уточненной постановке. Для решения двумерных краевых задач использован численно-аналитический подход, основанный на применении сплайн-аппроксимации и метода дискретной ортогонализации.
Проведено дослiдження напружено деформованого стану пологої прямокутної в планi ортотропної оболонки зi змiнною товщиною в двох координатних напрямках при рiзних граничних умовах на краях в уточненiй постановцi. Для розв’язання двовимiрних крайових задач використано чисельно-аналiтичний пiдхiд, який базується на застосуваннi сплайн-апроксимацiї та методу дискретної ортогоналiзацiї.
The stress-strain state of a shallow rectangular orthotropic shell with variable thickness in two
coordinate directions at different boundary conditions on the edges in refined formulation is studied.
The numerical-analytical approach based on the spline approximation and the method of discrete
orthogonalization is used to solve two-dimensional boundary-value problems.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:57:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
6 • 2016
МЕХАНIКА
http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.06.031
УДК 539.3
А.Я. Григоренко, Н.П. Яремченко, С.Н. Яремченко
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: ayagrigorenko@yandex.ru
Напряженно-деформированное состояние
прямоугольных в плане пологих оболочек переменной
толщины при различных граничных условиях
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.М. Назаренко)
Проведено исследование напряженно-деформированного состояния пологой прямоуголь-
ной в плане ортотропной оболочки с переменной толщиной в двух координатных на-
правлениях при различных граничных условиях на краях в уточненной постановке. Для
решения двумерных краевых задач использован численно-аналитический подход, осно-
ванный на применении сплайн-аппроксимации и метода дискретной ортогонализации.
Ключевые слова: пологая оболочка, ортотропный материал, неклассическая модель,
сплайн-аппроксимация, переменная толщина.
Основные предположения теории пологих оболочек изложены в монографиях [1–3]. Иссле-
дование данного класса оболочек остается актуальной проблемой, об этом могут свидетель-
ствовать работы [4–6]. В настоящем сообщении проведено исследование поведения оболочек
данного класса переменной толщины в двух координатных направлениях при различных
граничных условиях под действием равномерно распределенного нормального давления.
Одним из существенных требований к законам изменения толщины оболочки является
сохранение массы оболочки при переходе от оболочек постоянной толщины к оболочкам
переменной толщины. В качестве исходных принимаем уравнения уточненной теории обо-
лочек, основанной на гипотезе прямолинейного элемента [7]. В этом случае напряженно-де-
формированное состояние оболочек определяется решением двумерных краевых задач для
систем дифференциальных уравнений в частных производных. Для сведения двумерных
задач к одномерным используем сплайн-аппроксимацию. Полученные одномерные задачи
решаем методом дискретной ортогонализации [8].
© А.Я. Григоренко, Н.П. Яремченко, С. Н. Яремченко, 2016
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №6 31
1. В качестве исходных принимаем уравнения теории оболочек, основанной на гипотезе
прямой линии. Суть этой гипотезы состоит в том, что первоначально нормальный к ко-
ординатной поверхности элемент после деформации остается прямолинейным, но уже не
перпендикулярным к деформированной координатной поверхности. При этом принимае-
тся, что указанный элемент не изменяет свою длину. В соответствии с принятой гипотезой
перемещения оболочки представим в виде:
ux(x, y, z) = u(x, y) + zψx(x, y),
uy(x, y, z) = v(x, y) + zψy(x, y),
uz(x, y, z) = w(x, y),
(1)
где x, y, z — координаты точек оболочки; ux, uy, uz — соответствующие перемещения; u,
v, w — перемещения точек координатной поверхности в направлениях x, y, z; ψx, ψy —
полные углы поворота прямолинейного элемента.
Уравнения для деформаций:
ex(x, y, z) = εx(x, y) + zκx(x, y);
ey(x, y, z) = εy(x, y) + zκy(x, y);
exy(x, y, z) = εxy(x, y) + z2κxy(x, y);
exz(x, y, z) = γx(x, y); eyz(x, y, z) = γy(x, y).
(2)
Здесь
εx =
∂u
∂x
+ k1w; εy =
∂v
∂y
+ k2w; εxy =
∂u
∂y
+
∂v
∂x
;
κx =
∂ψx
∂x
− k21w; κy =
∂ψy
∂y
− k22w; 2κxy =
∂ψx
∂y
+
∂ψy
∂x
;
γx = ψx − ϑx; γy = ψy − ϑy; ϑx = −∂w
∂x
+ k1u; ϑy = −∂w
∂y
+ k2v,
(3)
где εx, εy, εxy — тангенциальные, а κx, κy, κxy — изгибные деформации координатной
поверхности; k1, k2 — кривизны; ϑx, ϑy — углы поворота нормали без учета поперечных
сдвигов; γx, γy — углы поворота нормали, обусловленные поперечными сдвигами.
Уравнения равновесия имеют вид
∂Nx
∂x
+
∂Nyx
∂y
= 0;
∂Ny
∂y
+
∂Nxy
∂x
= 0;
∂Qx
∂x
+
∂Qy
∂y
− k1Nx − k2Ny + q = 0;
∂Mx
∂x
+
∂Myx
∂y
−Qx = 0;
∂My
∂y
+
∂Mxy
∂x
−Qy = 0;
Nxy − k2Myx −Nyx − k1Mxy = 0,
(4)
где Nx, Ny, Nxy, Nyx — тангенциальные усилия; Qx, Qy — перерезывающие усилия; Mx,
My, Mxy, Myx — изгибающие и крутящие моменты.
Соотношения упругости для ортотропных оболочек:
Nx = C11εx + C12εy; Ny = C12εx + C22εy;
32 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №6
Nxy = C66εxy + 2k2D66κxy; Nyx = C66εxy + 2k1D66κxy;
Mx = D11κx +D12κy; My = D12κx +D22κy;
(5)
Myx =Mxy = 2D66κxy; Qx = K1γx; Qy = K2γy.
В (5) коэффициенты определяются так:
C11 =
Exh
1− νxνy
, C12 = νyC11, C22 =
Eyh
1− νxνy
, C66 = Gxyh,
D11 =
Exh
3
12(1− νxνy)
, D12 = νyD11, D22 =
Eyh
3
12(1− νxνy)
,
D66 =
Gxyh
3
12
, K1 =
5
6
Gxzh, K2 =
5
6
Gyzh.
(6)
В формулах (6) Ex, Ey, νx, νy — модули упругости и коэффициенты Пуассона в направ-
лениях x и y; Gxy, Gxz, Gyz — модули сдвига.
Выберем в качестве разрешающих функций компоненты вектора перемещений u, v, w
и полные углы поворота ψx и ψy. Если ввести обозначения
ũ =
∂u
∂x
; ṽ =
∂v
∂x
; w̃ =
∂w
∂x
; ψ̃x =
∂ψx
∂x
; ψ̃y =
∂ψy
∂x
, (7)
то напряженно-деформированное состояние оболочки описывается системой (5) дифферен-
циальных уравнений в частных производных, которую можно представить в виде [6]:
F1
(
∂ũ
∂x
, ũ,
∂u
∂y
,
∂2u
∂y2
, ṽ,
∂v
∂y
,
∂ṽ
∂y
, w, w̃,
∂ψx
∂y
,
∂2ψx
∂y2
, ψ̃y,
∂ψ̃y
∂y
)
= 0;
F2
(
∂ṽ
∂x
, ũ,
∂u
∂y
,
∂ũ
∂y
, v, ṽ,
∂v
∂y
,
∂2v
∂y2
, w,
∂w
∂y
, ψ̃x,
∂ψ̃x
∂y
, ψy,
∂ψy
∂y
,
∂2ψy
∂y2
)
= 0;
F3
(
∂w̃
∂x
, u, ũ, v,
∂v
∂y
, w, w̃,
∂w
∂y
,
∂2w
∂y2
, ψx, ψ̃x, ψy,
∂ψy
∂y
, q
)
= 0;
F4
(
∂ψ̃x
∂x
, u, w, w̃, ψx, ψ̃x,
∂ψx
∂y
,
∂2ψx
∂y2
, ψ̃y,
∂ψy
∂y
,
∂ψ̃y
∂y
)
= 0;
F5
(
∂ψ̃y
∂x
, v, w,
∂w
∂y
, ψ̃x,
∂ψx
∂y
,
∂ψx
∂y
, ψy, ψ̃y,
∂ψy
∂y
,
∂2ψy
∂y2
)
= 0.
(8)
Здесь Fi (i = 1, 5) — линейные функции своих аргументов с коэффициентами, зависящими
от x и y (0 6 x 6 a, 0 6 y 6 b); q — нормально распределенная нагрузка.
При x = 0 и x = a будем задавать условия жесткого закрепления
u = v = w = 0; ψx = ψy = 0 (9)
и условия свободного края
∂u
∂x
+ k1w + νy
(
∂v
∂y
+ k2w
)
= 0;
∂u
∂y
+
∂v
∂x
= 0; ψx +
∂w
∂x
− k1u = 0;
∂ψx
∂x
− k21w + νy
(
∂ψy
∂y
− k22w
)
= 0;
∂ψx
∂y
+
∂ψy
∂x
= 0,
(10)
а при y = 0, y = b будем рассматривать условия (9).
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №6 33
2. Решение задачи g(x, y) = {u, v, w, ψx, ψy} представим в виде
g =
N∑
i=o
gi(x)φi(y), (11)
где gi = {ui, vi, wi, ψxi, ψyi} — неизвестные функции, a φi — линейные комбинации B-сплай-
нов третьей степени на равномерной сетке, удовлетворяющие заданным граничным усло-
виям (9). Подставляя выражения (11) в разрешающие уравнения (8) и соответствующие
граничные условия (9) или (10) требуем, чтобы полученная система и граничные условия
точно удовлетворялись в точках коллокации. В результате получим одномерную краевую
задачу, которую можно представить в виде
dY
dx
= AY + f, (12)
где Y = {g0, . . . , gN , g′0, . . . , g′N} вектор-функция от x; f — вектор правых частей; A —
квадратная матрица размерности 10(N + 1)× 10(N + 1), элементы которой зависят от x.
Граничные условия для полученной системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений можно записать так:
B1Y (0) = 0; B2Y (a) = 0. (13)
B1 и B2 — прямоугольные матрицы размерности 5(N + 1) × 10(N + 1).
Для решения одномерной краевой задачи (12), (13) применим устойчивый численный
метод дискретной ортогонализации.
3. Для оценки достоверности результатов расчетов по предложенной методике решена
задача для изотропной пологой оболочки c жестко закрепленными сторонами под действием
равномерно распределенной нормальной нагрузки q. При этом a = b = 10; ν = 0,3; k1 =
= k2 = 0,1; толщина оболочки изменяется по таким законам:
1) h = h0
(
1 + α
[
3
{
2x
a
− 1
}2
− 1
])(
1 + β
[
3
{
2y
b
− 1
}2
− 1
])
,
2) h = h0
(
1 + α
[
2x
a
− 1
])(
1 + β
[
2y
b
− 1
])
,
3) h = h0
(
1 + α cos
πx
a
)(
1 + β cos
πy
b
)
,
(14)
где h0 = 0,5.
В табл. 1 приведены результаты расчетов прогибов wE/q в точке x = a/2, y = b/2 для
трех вариантов изменения толщины (14). При этом количество точек коллокации N + 1
изменяется от 14 до 22. Параметры α и β изменяются так, что в случае α = 0,3, β = 0
толщина меняется в направлении x, т. е. в направленни ортогонализиции, а в случае α = 0,
β = 0,3 — в направлении коллокации y.
Как видно из табл. 1, с увеличением количества точек коллокации различия между
полученными результатами незначительны, что свидетельствует о достоверности решений.
4. С помощью изложенного подхода решена задача для ортотропных пологих оболочек
при разных вариантах изменения толщины. Оболочка находится под действием равномер-
ной нормальной нагрузки q0 = const, края x = 0, x = a — свободны, а y = 0, y = b —
34 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №6
Рис. 1 Рис. 2
жестко закреплены. При этом характеристики оболочки такие [9]: Ex = E0, Ey = 4,07E0,
νy = 0,277, Gxy = Gyz = 0,407E0, Gxz = 0,357E0, a = b = 10, k1 = k2 = 0,1.
На рис. 1 и 2 показаны распределения соответственно прогибов wE0/q0 и напряжений
на внешней поверхности оболочки σ+x /q0 в случае если толщина оболочки изменяется по
закону h = h0(1 + α[2x/a− 1])(1 + β[3{2y/b− 1}2 − 1]), где h0 = 0,5, при разных значениях
параметров изменения толщины α и β в сечении y = b/2:
1) α = 0, β = 0; 2) α = 0,3, β = 0,3;
3) α = −0,3, β = −0,3; 4) α = −0,3, β = 0,3.
(15)
Из рис. 1 видно, что если рассмотреть графики 2 и 4, можно отметить, что прогибы
при x = 0 для случая 2 совпадают с прогибами при x = a для случая 4 и наоборот.
Это значит, что изменяя параметр α на противоположный, при постоянном значении β
получим фактически аналогичные результаты. Из графиков 3 и 4 можно увидеть, как
влияет изменение параметра β на распределение прогибов. С изменением β от −0,3 до
0,3 прогиб увеличивается примерно на 30%. Случай 1 соответствует оболочке постоянной
толщины, поэтому график симметричный относительно середины сечения, и на краях x = 0,
x = a прогибы совпадают.
Анализируя графики на рис. 2, отметим, что максимальные напряжения достигаются
в случаях 2 и 4. При этом, как и в случае с прогибами, можно отметить, что эти случаи
соответствуют одной и той же оболочке, если поменять местами значения x = 0 и x = a. Пос-
кольку на краях x = 0 и x = a задавались условия свободного края, то напряжения σ+x /q0
равны 0. В случае 3 на внешней поверхности наблюдаются отрицательные напряжения.
На рис. 3 и 4 показаны распределения соответственно прогибов wE0/q0 и напряжений
на внешней поверхности оболочки σy + /q0 в случае если толщина оболочки изменяется
Таблица 1
h
wE/q
α = 0,3; β = 0 α = 0; β = 0,3
N = 13 N = 17 N = 21 N = 13 N = 17 N = 21
1 70,71 70,80 70,84 68,93 70,18 70,46
2 120,94 120,33 120,10 121,12 120,40 120,13
3 121,06 120,43 120,19 121,63 120,70 120,33
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №6 35
Рис. 3 Рис. 4
по закону h = h0(1 + α[2x/a − 1])(1 + β[2y/b − 1]), где h0 = 0,5 при разных значениях
параметров изменения толщины α и β в сечении x = 0. Параметры изменяются так как
указано в (15). График, соответствующий варианту 1, симметричный относительно средины
края y = b/2, так как в этом случае толщина постоянная. Из графиков 2 и 4 можно увидеть,
как влияет на изменения прогиба параметр α. C изменением α от −0,3 до 0,3 максимальный
прогиб увеличивается более чем в 2 раза. Влияние параметра β можно увидеть рассмотрев
графики 3 и 4.
Из рис. 4 можно отметить, что максимальные значение напряжений σy + /q0 наблю-
даются у краев оболочки y = 0 и y = b. Наибольшее значение напряжения соответствует
варианту 2, при этом напряжения σ+y /q0 превышают напряжения для варианта постоянной
толщины у края y = 0 примерно в 2,5 раза.
Таким образом, результаты проведенных численных экспериментов дают возможность
сделать вывод о том, что изменяя толщину оболочки по различным законам, сохраняя при
этом ее массу, при различных граничных условиях, можно влиять на ее напряженно-дефор-
мированное состояние. Это дает возможность оптимизировать работу различных констру-
кций, имеющих форму прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины.
Цитированная литература
1. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. – Москва: Наука, 1974. – 446 с.
2. Vlasov V. Z. General theory of shells and its application in engineering. – Washington: NASA, 1964. –
913 p.
3. Ventsel E., Krauthammer T. Thin Plates and Shells. Theory, Analysis, and Applications. – New York;
Basel: Marcel Dekker, 2001. – 658 p.
4. Khandelwal R. P., Chakrabarti A., Bhargava P. Inter-laminar stresses in a laminated shallow shell panel //
Acta Mech. – 2013. – 224, No 11. – P. 2735–2748.
5. Awrejcewicz J., Kurpa L., Osetrov A. Investigation of the stress-strain state of the laminated shallow shells
by R-functions method combined with spline-approximation // ZAMM. J. of Appl. Math. and Mech. –
2011. – 91, No 6. – P. 458–467.
6. Григоренко А.Я., Яремченко Н.П., Яремченко С.Н. Расчет напряженно-деформированного состо-
яния слоистых прямоугольных в плане пологих ортотропных оболочек в уточненной постановке //
Доп. НАН України. – 2012. – № 2. – С. 76–82.
7. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya., Vlaikov G.G. Problems of mechanics for anisotropic inhomogeneous
shells on the basis of different models – Kiev: Akademperiodika, 2009. – 550 p.
36 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №6
8. Григоренко Я.М., Шевченко Ю.Н., Василенко А.Т. и др. Численные методы / Механика композитов:
в 12 т. под общ. ред. А. Н. Гузя. Т. 11 – Киев: А.С. К., 2002. – 448 с..
9. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. – Москва: Наука, 1977. – 416 с.
References
1. Ambartsumyan S.A. General theory of anisotropic shells, Moscow: Nauka, 1974 (in Russian).
2. Vlasov V. Z. General theory of shells and its application in engineering, Washington: NASA, 1964.
3. Ventsel E., Krauthammer T. Thin Plates and Shells. Theory, Analysis, and Applications, New York; Basel:
Marcel Dekker, 2001.
4. Khandelwal R. P., Chakrabarti A., Bhargava P. Acta Mech., 2013, 224, No 11: 2735–2748.
5. Awrejcewicz J., Kurpa L., Osetrov A. ZAMM. J. of Appl. Math. and Mech., 2011, 91, No 6: 458–467.
6. Grigorenko A.Ya., Yaremchenko N.P., Yaremchenko S.N. Dopov. NAN Ukraine, 2012, No 2: 76–82 (in
Russian).
7. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya., Vlaikov G.G. Problems of mechanics for anisotropic inhomogeneous
shells on the basis of different models, Kiev: Akademperiodika, 2009.
8. Grigorenko Ya.M., Shevchenko Yu.N., Vasilenko A.T. at al. Numerical methods (Mechanics of composites
in 12 vol. Guz A. N ed. Vol. 11), Kiev: A. S. К, 2002 (in Russian).
9. Lekhnitskii S.G. Theory of elasticity of anisotropic body, Moscow: Nauka, 1977 (in Russian).
Поступило в редакцию 01.10.2015
О.Я. Григоренко, Н. П. Яремченко, С.М. Яремченко
Iнститут механiки iм. С. П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: ayagrigorenko@yandex.ru
Напружено-деформований стан прямокутних в планi пологих
оболонок змiнної товщини при рiзних граничних умовах
Проведено дослiдження напружено деформованого стану пологої прямокутної в планi орто-
тропної оболонки зi змiнною товщиною в двох координатних напрямках при рiзних грани-
чних умовах на краях в уточненiй постановцi. Для розв’язання двовимiрних крайових задач
використано чисельно-аналiтичний пiдхiд, який базується на застосуваннi сплайн-апрокси-
мацiї та методу дискретної ортогоналiзацiї.
Ключовi слова: полога оболонка, ортотропний матерiал, некласична модель, сплайн-апро-
ксимацiя, змiнна товщина.
A.Ya. Grigorenko, N.P. Yaremchenko, S. N. Yaremchenko
S. P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: ayagrigorenko@yandex.ru
Stress-strain state of rectangular shallow shells of variable thickness
under various boundary conditions
The stress-strain state of a shallow rectangular orthotropic shell with variable thickness in two
coordinate directions at different boundary conditions on the edges in refined formulation is studied.
The numerical-analytical approach based on the spline approximation and the method of discrete
orthogonalization is used to solve two-dimensional boundary-value problems.
Keywords: shallow shells, orthotropic material, non-classical model, spline approximation, vari-
able thickness.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №6 37
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-104775 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:57:09Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Григоренко, А.Я. Яремченко, Н.П. Яремченко, С.Н. 2016-07-17T18:17:30Z 2016-07-17T18:17:30Z 2016 Напряженно-деформированное состояние прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины при различных граничных условиях / А.Я. Григоренко, Н.П. Яремченко, С.Н. Яремченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 6. — С. 31-37. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/104775 539.3 Проведено исследование напряженно-деформированного состояния пологой прямоугольной в плане ортотропной оболочки с переменной толщиной в двух координатных направлениях при различных граничных условиях на краях в уточненной постановке. Для решения двумерных краевых задач использован численно-аналитический подход, основанный на применении сплайн-аппроксимации и метода дискретной ортогонализации. Проведено дослiдження напружено деформованого стану пологої прямокутної в планi ортотропної оболонки зi змiнною товщиною в двох координатних напрямках при рiзних граничних умовах на краях в уточненiй постановцi. Для розв’язання двовимiрних крайових задач використано чисельно-аналiтичний пiдхiд, який базується на застосуваннi сплайн-апроксимацiї та методу дискретної ортогоналiзацiї. The stress-strain state of a shallow rectangular orthotropic shell with variable thickness in two
 coordinate directions at different boundary conditions on the edges in refined formulation is studied.
 The numerical-analytical approach based on the spline approximation and the method of discrete
 orthogonalization is used to solve two-dimensional boundary-value problems. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Напряженно-деформированное состояние прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины при различных граничных условиях Напружено-деформований стан прямокутних в планi пологих оболонок змiнної товщини при рiзних граничних умовах Stress-strain state of rectangular shallow shells of variable thickness under various boundary conditions Article published earlier |
| spellingShingle | Напряженно-деформированное состояние прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины при различных граничных условиях Григоренко, А.Я. Яремченко, Н.П. Яремченко, С.Н. Механіка |
| title | Напряженно-деформированное состояние прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины при различных граничных условиях |
| title_alt | Напружено-деформований стан прямокутних в планi пологих оболонок змiнної товщини при рiзних граничних умовах Stress-strain state of rectangular shallow shells of variable thickness under various boundary conditions |
| title_full | Напряженно-деформированное состояние прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины при различных граничных условиях |
| title_fullStr | Напряженно-деформированное состояние прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины при различных граничных условиях |
| title_full_unstemmed | Напряженно-деформированное состояние прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины при различных граничных условиях |
| title_short | Напряженно-деформированное состояние прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины при различных граничных условиях |
| title_sort | напряженно-деформированное состояние прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины при различных граничных условиях |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/104775 |
| work_keys_str_mv | AT grigorenkoaâ naprâžennodeformirovannoesostoânieprâmougolʹnyhvplanepologihoboločekperemennoitolŝinyprirazličnyhgraničnyhusloviâh AT âremčenkonp naprâžennodeformirovannoesostoânieprâmougolʹnyhvplanepologihoboločekperemennoitolŝinyprirazličnyhgraničnyhusloviâh AT âremčenkosn naprâžennodeformirovannoesostoânieprâmougolʹnyhvplanepologihoboločekperemennoitolŝinyprirazličnyhgraničnyhusloviâh AT grigorenkoaâ napruženodeformovaniistanprâmokutnihvplanipologihobolonokzminnoítovŝinipririznihgraničnihumovah AT âremčenkonp napruženodeformovaniistanprâmokutnihvplanipologihobolonokzminnoítovŝinipririznihgraničnihumovah AT âremčenkosn napruženodeformovaniistanprâmokutnihvplanipologihobolonokzminnoítovŝinipririznihgraničnihumovah AT grigorenkoaâ stressstrainstateofrectangularshallowshellsofvariablethicknessundervariousboundaryconditions AT âremčenkonp stressstrainstateofrectangularshallowshellsofvariablethicknessundervariousboundaryconditions AT âremčenkosn stressstrainstateofrectangularshallowshellsofvariablethicknessundervariousboundaryconditions |