Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 2. Исследование особенностей возбуждения ультразвуковых волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот

В этой статье на основе решений, полученных в первой части исследования, построена математическая модель ультразвукового преобразователя электромагнитного типа. Изучены особенности процесса возбуждения нормальных волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот. У цій ста...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2007
Main Author:	Петрищев, О.Н.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2007
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1048
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 2. Исследование особенностей возбуждения ультразвуковых волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот / О.Н. Петрищев // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 3. — С. 70-79. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860117231625568256
author	Петрищев, О.Н.
author_facet	Петрищев, О.Н.
citation_txt	Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 2. Исследование особенностей возбуждения ультразвуковых волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот / О.Н. Петрищев // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 3. — С. 70-79. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	В этой статье на основе решений, полученных в первой части исследования, построена математическая модель ультразвукового преобразователя электромагнитного типа. Изучены особенности процесса возбуждения нормальных волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот. У цій статті на базі розв'язків, одержаних у першій частині дослідження, побудовано математичну модель ультразвукового перетворювача електромагнітного типу. Вивчені особливості процесу збудження нормальних хвиль у феромагнітних і неферомагнітних стержнях у широкому діапазоні частот. A mathematical model of an electromagnetic ultrasonic transducer has been developed in this paper on the basis of the solutions obtained in the first part of the study. The features of normal wave excitation process in the ferromagnetic and non-ferromagnetic rods have been studied in a wide frequency range.
first_indexed	2025-12-07T17:37:09Z
format	Article
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 70 – 79 УДК 534.213:534.232.74 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН В ИЗОТРОПНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРАХ. ЧАСТЬ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ВОЗБУЖДЕНИЯ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ВОЛН В ФЕРРОМАГНИТНЫХ И НЕФЕРРОМАГНИТНЫХ СТЕРЖНЯХ В ШИРОКОМ ДИАПАЗОНЕ ЧАСТОТ О. Н. П ЕТР И ЩЕВ Национальный технический университет Украины “КПИ”, Киев Получено 24.10.2006 В этой статье на основе решений, полученных в первой части исследования [1], построена математическая модель ультразвукового преобразователя электромагнитного типа. Изучены особенности процесса возбуждения нормаль- ных волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот. У цiй статтi на базi розв’язкiв, одержаних у першiй частинi дослiдження [1], побудовано математичну модель уль- тразвукового перетворювача електромагнiтного типу. Вивченi особливостi процесу збудження нормальних хвиль у феромагнiтних i неферомагнiтних стержнях у широкому дiапазонi частот. A mathematical model of an electromagnetic ultrasonic transducer has been developed in this paper on the basis of the solutions obtained in the first part of the study [1]. The features of normal wave excitation process in the ferromagnetic and non-ferromagnetic rods have been studied in a wide frequency range. 1. МЕТОДИКА РАСЧЕТА СИЛОВЫХ ФАК- ТОРОВ ПРИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ СПО- СОБЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ УЛЬТРАЗВУКО- ВЫХ ВОЛН В МЕТАЛЛАХ Чтобы не отвлекаться на частотно-зависимые особенности процесса возбуждения упругих волн, 2 R z I*e i t 1 2 Рис. 1. Расчетная схема преобразователя электромагнитного типа обусловленные формой и размерами источника пе- ременного магнитного поля в составе ультразву- кового преобразователя электромагнитного типа, рассмотрим модельную ситуацию, расчетная схе- ма которой показана на рис. 1. Переменное магнитное поле в металлическом стержне (позиция 1) создается витком бесконечно тонкого проводника (позиция 2), по которому про- текает переменный электрический ток i(t)=I∗eiωt. Кроме того, в области существования переменного магнитного поля с помощью некоторых внешних устройств (на схеме не показаны) создано посто- янное магнитное поле, вектор напряженности ко- торого полностью определяется аксиальным ком- понентом H0 z . Эту величину считаем постоянной в пределах области, в которой существуют заметные уровни компонентов вектора напряженности пере- менного магнитного поля ~H∗(ρ, z)eiωt. Напряжен- ность постоянного поля подмагничивания и ам- плитуда переменного тока выбраны таким обра- зом, что для всего металлического стержня выпол- няется сильное неравенство \|H0 z \|�\|~H∗(ρ, z)\|. Если стержень выполнен из ферромагнитного металла, то совокупность переменного и постоян- ного магнитных полей создает деформации сжа- 70 c© О. Н. Петрищев, 2007 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 70 – 79 тия – растяжения, обусловленные поверхностными нагрузками σ∗ ρρ(α2, z) = m2H 0 zH∗ z (α2, z), σ∗ ρz(α2, z) = m1 − m2 2 H0 z H∗ ρ(α2, z) и распределенными в объеме силами с объемными плотностями f∗ ρ (ρ, z) = σ∗ ρρ,ρ(ρ, z) + σ∗ ρz,z(ρ, z)+ + 1 2 [σ∗ ρρ(ρ, z) − σ∗ ϑϑ(ρ, z)], f∗ z (ρ, z) = σ∗ ρz,z(ρ, z) + σ∗ zz,z(ρ, z) + 1 ρ σ∗ ρz(ρ, z). Здесь m1 и m2 – магнитострикционные константы; σ∗ ϑϑ(ρ, z) = m2H 0 zH∗ z (ρ, z); σ∗ zz(ρ, z) = m1H 0 zH∗ z (ρ, z). Помимо этого, в металле возникает вихревой ток, вектор поверхностной плотности которого определяется окружной компонентой J∗ ϑ. В акси- альном поле подмагничивания этот ток форми- рует радиально ориентированную силу Лоренца с объемной плотностью L∗ ρ =µε 3H 0 z J∗ ρ . Здесь µε 3 – ма- гнитная проницаемость, измеряемая в направле- нии поля подмагничивания в режиме постоянства деформаций в объеме ферромагнетика. Указанная система силовых факторов дополняется составля- ющими тензора Максвелла M∗ ρz(α2, z) = µε 3H 0 z H∗ ρ(α2, z), M∗ ρρ(α2, z) = − 1 2 µε 3H 0 zH∗ z (α2, z), которые определяют пондеромоторное действие электромагнитного поля на боковую поверхность металлического стержня. Очевидно, что количественная оценка перечи- сленных силовых факторов становится возможной лишь после вычисления компонент H∗ ρ(ρ, z) и H∗ z (ρ, z) вектора напряженности переменного ма- гнитного поля в объеме токопроводящего цилин- дра. Искомые величины H∗ β(ρ, z), β=ρ, z определяю- тся в результате решения следующей квазистаци- онарной граничной задачи электродинамики: тре- буется найти окружную компоненту A∗ ϑ(ρ, z) ве- кторного потенциала электромагнитного поля, ко- торый вне пределов ферромагнитного цилиндра удовлетворяет дифференциальному уравнению −A∗ ϑ,zz(ρ, z) − A∗ ϑ,ρρ(ρ, z)− − 1 ρ A∗ ϑ,ρ(ρ, z) + 1 ρ2 A∗ ϑ(ρ, z) − Rϑ(ρ, z) = 0 ∀(ρ > α2, \|z\| < ∞) (1) и обращается в нуль при бесконечном удалении от боковой поверхности цилиндра: lim ρ→∞ A∗ ρ(ρ, z) = 0, (2) а на поверхности цилиндра ρ=α2 удовлетворяет условиям A∗ ϑ,z(α2, z) + µε 2H ∗ ρ(α2, z) = 0 ∀z ∈ (−∞,∞), (3) 1 µ0 [ 1 ρ A∗ ϑ(ρ, z) + A∗ ϑ,ρ(ρ, z) ] ∣ ∣ ∣ ∣ ρ=α2 − −H∗ z (α2, z) = 0 ∀z ∈ (−∞,∞). (4) Компоненты вектора напряженности переменно- го магнитного поля внутри цилиндра H∗ β(ρ, z), β=ρ, z удовлетворяют уравнениям Максвелла H∗ ρ,z(ρ, z) − H∗ z,ρ(ρ, z) = r2E ∗ ϑ(ρ, z), −E∗ ϑ(ρ, z) = −iωµε 2H ∗ ρ(ρ, z), 1 ρ E∗ ϑ(ρ, z) + E∗ ϑ,ρ(ρ, z) = −iωµε 3H ∗ z (ρ, z). (5) В соотношениях (1) – (5) приняты следую- щие обозначения: Rϑ(ρ, z)=µ0J ∗ 0 ∀(ρ, z)∈S0; µ0 =4π ·10−7 Гн/м – магнитная проницаемость вакуума; J∗ 0 – плотность переменного тока в проводнике. Заметим, что I∗= lim S0→0 (J∗ 0 S0), где S0 – площадь поперечного сечения проводника; r2 – компонента тензора электрической проводи- мости материала цилиндра, перпендикулярная направлению постоянного поля подмагничива- ния; E∗ ϑ(ρ, z) – окружная компонента вектора напряженности переменного электрического поля, сопряженного с переменным магнитным полем; µε 2 и µε 3 – магнитные проницаемости в поперечном и продольном относительно направления поля подмагничивания направлениях, определяемые при постоянных деформациях ферромагнетика. О. Н. Петрищев 71 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 70 – 79 Эффективное решение граничной задачи эле- ктродинамики (1) – (5) реализуется с помощью метода интегральных преобразований [2]. Одна- ко формальное его применение приводило к не- преодолимым трудностям на этапе перехода от интегральных образов к оригиналам искомых функций. Причина этого заключалась в отсут- ствии четкого определения параметра интеграль- ного преобразования. Это обстоятельство застави- ло С. Н. Шубаева в работе [3] записать конечные результаты с формальными решениями в виде ин- тегралов Фурье и Фурье – Бесселя. Автор очень содержательной статьи [4] вышел из положения с помощью численного интегрирования обратных интегральных преобразований. Отмеченные труд- ности позволили Ю. М. Шкарлету в работе [5] сделать следующее заявление: “Точные решения для нитевидных моделей содержат неберущиеся несобственные интегралы от довольно громоздких комбинаций элементарных и специальных функ- ций и для непосредственного анализа практичес- ки непригодны; используются они для построения графиков с помощью расчетов на ЭВМ, а также для создания широко применяющихся упрощен- ных приближенных решений. . . Простота нитеви- дных моделей в конце концов дорого обходится – теряется слишком много инженерного и машинно- го времени при выполнении расчетов, затруднены анализ и дальнейшее использование решений”. Для того, чтобы “неберущиеся интегралы” исче- зли, в [5] были предложены так называемые “гар- монические модели”. Так, источник возмущений моделировался с помощью гармонических функ- ций типа cos(ωt±νx), когда речь идет о стержнях или полосах, длина которых отсчитывается вдоль оси Ox, или комбинации функций J1(νρ) cosωt, когда речь идет о возбуждении ультразвуковых цилиндрических волн в металлических пластинах (под J1(νρ) подразумеваем функцию Бесселя пер- вого порядка, а под ρ – текущее значение ради- альной координаты). В обеих записях ω – круго- вая частота смены знака (полярности) возмуще- ния (внешних сил) во времени; ν – “пространствен- ная частота” смены знака возмущения. Заметим, что прямое преобразование Фурье, которым начи- нается решение задачи электродинамики для стер- жня или полосы, дает обобщенную δ-функцию Ди- рака δ(λ±ν) с единичным весом, аргумент которой фактически определяет параметр интегрального преобразования – он равен “пространственной ча- стоте” смены знака внешних сил. Неадекватность “гармонических” моделей ре- альным конструкциям ультразвуковых преобразо- вателей электромагнитного типа очевидна. Без- условно, это понимал и сам автор “гармониче- ских” моделей. В качестве аргумента в их защи- ту он пишет следующее [5, стр. 12]: “. . . если ис- точник поля описывается синусоидально изменяю- щейся по координате функцией, то решение не со- держит несобственных интегралов по переменной, отображающей текущую пространственную часто- ту. Но чтобы поле содержало одну пространствен- ную гармонику, его источник должен быть беско- нечно протяженным вдоль поверхности объекта. Не является ли этот факт существенным препят- ствием к использованию гармонических моделей? Во-первых, бесконечная модель с успехом и ши- роко используется (цилиндр в однородном про- дольном и поперечном полях), во-вторых, в дан- ном случае “бесконечно большие” (гармонические модели) и “бесконечно малые” сечения проводов нитевидных моделей) величины – относительно одинаково далеки от практических величин. Ве- роятно, в некоторых исключительных случаях мо- гут проявиться особенно ярко как достоинства, так и недостатки каждого из типов моделей. С точки зрения физико-математической обе моде- ли принципиально равноценны, так как потенци- альные возможности применения их для расче- та реальных преобразователей (с произвольным сечением катушек) одинаковы. Явное преимуще- ство гармонических моделей заключается, прежде всего, в упрощении решений для них. Кроме то- го, гармонические модели лучше должны соответ- ствовать плоским преобразователям и преобразо- вателям в виде периодических структур, исполь- зуемым в электромагнитно-акустическом методе.” В этой цитате следует особо выделить тезис о физико-математической равноценности обеих мо- делей. Это утверждение, мягко говоря, не соот- ветствует реальному положению вещей. Так на- зываемые “нитевидные модели” доставляют реше- ния, имеющие смысл функций Грина для соответ- ствующих областей. Сам Ю. М. Шкарлет пишет об этом четырьмя абзацами ранее: “Достоинством нитевидных моделей является их фундаменталь- ность в том смысле, что из отдельных нитей мож- но построить преобразователь с любыми размера- ми поперечного сечения обмоток катушек”. К это- му следовало бы добавить еще одну фразу: “Путем вычисления свертки (интеграла Дюамеля) от по- лученных решений”. Таким образом, вывод о физико- математической равноценности “гармонических” и “нитевидных” моделей следует признать ошибо- чным. Самое же главное заключается в том, что проблема корректного определения параметра интегрального преобразования с применением 72 О. Н. Петрищев ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 70 – 79 “гармонических” моделей не разрешается, а трансформируется в проблему корректного опре- деления “пространственной” частоты ν . Если бы в работе [5] была предложена какая-то процедура, строго и формально определяющая параметр ν , то использование формулировок типа “основы общей теории. . . ”, “закономерности возбуждения. . . ” в названиях статей [6 – 9] в полной мере отражало бы их качественное содержание. В действительности же идеология “гармонических моделей” является суррогатным вариантом фундаментального ме- тода интегральных преобразований, применение которого позволяет получать физически содержа- тельные решения задач математической физики в частных производных. Как это ни парадоксально, но никаких проблем, сопряженных с использованием метода интеграль- ных преобразований для решения граничной за- дачи (1) – (5), не возникает. Действительно, фор- мулы [1, (36), (38), (40)] для расчета амплиту- дных множителей продольных волн содержат в себе интегральные образы объемных и поверхно- стных плотностей внешних нагрузок. Рассмотрим, например, соотношение [1, (40)]. Применительно к решаемой задаче его можно переписать в следую- щем виде: U (±) 0 = − im1H 0 z Eγ1α 2 2 α2 ∫ 0 ρ× ×    ∞ ∫ −∞ H∗ z,z(ρ, z)e∓iγ1zdz    dρ. (6) Введем обозначение H∗ z (ρ,±γ1) = ∞ ∫ −∞ H∗ z (ρ, z)e±iγ1zdz. (7) Если переменное магнитное поле создается ре- альным (ограниченным по мощности и размерам) источником, то компоненты вектора напряженно- сти H∗ β(ρ, z) (β=ρ, z) удовлетворяют условиям фи- зической реализуемости: lim \|z\|→∞ {H∗ β(ρ, z); H∗ β,z(ρ, z)} = 0, (8) т. е. и магнитная, и электрическая составля- ющие электромагнитного поля обращаются в нуль при бесконечном удалении от источника. Предельное условие (8) позволяет утверждать, что H∗ β,z(ρ,±γ1)=∓iγ1H ∗ β(ρ,±γ1), β=ρ, z. Тогда выражение (6) можно записать как U (±) 0 = ± m1H 0 z Eα2 2 α2 ∫ 0 ρH∗ z (ρ,∓γ1)dρ. (9) Анализируя вид соотношения (9), делаем вывод о том, что для определения амплитудных мно- жителей ультразвуковых волн, возбуждаемых электромагнитным способом, нужно определить лишь интегральные образы компонент вектора напряженности переменного магнитного поля и (если в этом есть необходимость) интегральные образы компонентов вектора поверхностной плот- ности вихревого тока. При этом в роли парамет- ра интегрального преобразования выступает вол- новое число распространяющейся упругой волны. Исходя из этого, решение граничной задачи (1) – (5) будем искать в терминах Фурье-образов: F (ρ,±γ) = ∞ ∫ −∞ F (ρ, z)e±iγzdz, (10) где F (ρ,±γ) – Фурье-образ определяемой физиче- ской величины; γ – волновое число распространя- ющейся ультразвуковой волны. Применив к соотношениям (1) – (5) интеграль- ное преобразование (10), после выполнения доста- точно стандартных вычислительных процедур по- лучаем следующее: H∗ ρ(ρ,±γ) = ∓iI∗ γ ζ D(γ, ζ)I1(ρζ), H∗ z (ρ,±γ) = −I∗D(γ, ζ)I0(ρζ), (11) J∗ ϑ(ρ,±γ) = I∗ζD(γ, ζ)I1(ρζ). (12) Здесь ζ = √ µε 3(γ 2+iωµε 2r2)/µε 2; зависящая от ча- стоты функция D(γ, ξ) определяется как D(γ, ζ) = µ0 µε 2 ζRK1(γR)× × [ γα2K0(γα2)I1(ζα2)+ µ0 µε 2 ζα2K1(γα2)I0(ζα2) ]−1 ; R≥α2 – радиус витка; Kν(x), Iν(x) – функции Макдональда и модифицированные функции Бес- селя соответственно. При выполнении дальнейших вычислений будем считать, что магнитострикционные константы m1 и m2 соотносятся между собой как m2 =−m1/2. О. Н. Петрищев 73 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 70 – 79 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1,0 1 2 3 4 5 6 ( ) )1n( 02 2 Рис. 2. Влияние магнитной проницаемости материала стержня на амплитудный множитель стержневой волны 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0 2 40 531 = 0,3; r2 = 16 / ; 02 32 ),0(U )( z Рис. 3. Смещения на оси токопроводящего ферромагнитного цилиндра, рассчитанные по стержневой модели (штрих-пунктирная) и по точной теории (сплошная) В этом случае компоненты H∗ β(ρ, z), определен- ные соотношением (11), дают следующие значения объемных плотностей сил: f∗ ρ (ρ,±γ) = I∗ m1 2 H0 zζD(γ, ζ)I1(ρζ), f∗ z (ρ,±γ) = ±iI∗ m1 4 H0 zγD(γ, ζ)I0(ρζ). (13) Определенная соотношением (12) окружная ком- понента вектора плотности вихревого тока дает значение радиальной компоненты силы Лоренца: L∗ ρ(ρ,±γ) = I∗µε 3H 0 z ζD(γ, ζ)I1(ρζ). (14) Из определений силовых факторов следует, что L∗ ρ(ρ,±γ) f∗ ρ (ρ,±γ) = 2µε 3 m1 . В полях подмагничивания порядка половины ко- эрцитивной силы магнитострикционная констан- та m1∼10−1, а, к примеру, магнитная проницае- мость никеля составляет µε 3 =35µ0 =44·10−6 Гн/м. При этом L∗ ρ(ρ,±γ)/f∗ ρ (ρ,±γ)=8.8·10−4. Аналоги- чным образом соотносятся между собой и поверх- ностные силы. Вывод очевиден – при электро- магнитном способе возбуждения ультразвуковых волн в ферромагнитных стержнях силы Лоренца и пондеромоторное действие электромагнитного по- ля можно не принимать во внимание. 2. РАСЧЕТ АМПЛИТУДНЫХ МНОЖИТЕ- ЛЕЙ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН В ШИРОКОМ ДИА- ПАЗОНЕ ЧАСТОТ Подставляя Фурье-образ H∗ z (ρ, z) аксиальной компоненты вектора напряженности переменно- го магнитного поля в соотношение (9), определя- ем амплитудный множитель плоской стержневой волны, возбуждаемой электромагнитным спосо- бом в ферромагнитном цилиндре: U (±) 0 = ∓U ст 0 Ξст(ω). (15) Здесь Ξст(ω) – частотная характеристика преобра- зователя электромагнитного типа в режиме воз- буждения плоской продольной волны в феррома- гнитном стержне кругового поперечного сечения; U ст 0 = I∗m1H 0 z 2G(1 + ν) ; Ξст(ω) = I1(ζα2) (ζα2) D(γ, ζ). 74 О. Н. Петрищев ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 70 – 79 На рис. 2 показаны частотные зависимости функции Ξст(ω) для разных значений магнитной проницаемости µε 2 материала стержня, рассчитан- ные при R/α2 =1.02, r2 =0, µε 2 =2(n−1)µ0, (n – но- мер кривой на графике). По оси абсцисс отложена безразмерная частота Ω=ksα2. Здесь и везде да- лее коэффициент Пуассона изотропного материа- ла принят равным 0.3. Все кривые нормированы на предельное значение lim ω→0 Ξст(ω) = 0.5. Отчетливо видно, что чем больше магнитная проницаемость, тем больше графики функции Ξст(ω) прижимаются к оси ординат. Это означает, что происходит сужение полосы частот, в пределах которой эффективно возбуждаются ультразвуко- вые волны. Это вызвано увеличением длины обла- сти нагружения ферромагнитного стержня пере- менным магнитным полем. С ростом магнитной проницаемости происходит своего рода шунтиро- вание магнитного поля. Силовые линии магнитно- го поля “втягиваются” из окружающего пространс- тва в объем стержня. На рис. 3 штрих-пунктирной кривой показан мо- дуль функции Ξст(ω), рассчитанный для стержня из никеля (µε 2 =44 · 10−6 Гн/м; r2 =16.3 · 106 См/м; R/α2 =1.02; α2 =5 · 10−3 м; G=75 ГПа; ν=0.3; ρ0 =8900 кг/м 3 ). По оси абсцисс отложена без- размерная частота Ω=ksα2. Максимальные зна- чения модуля наблюдаются в области очень ма- лых значений Ω. Незначительное отклонение без- размерной частоты от нуля сопровождается рез- ким уменьшением \|Ξст\|. В области частот Ω>1 резкие изменения уступают место плавному спада- нию рассматриваемой функции по мере возраста- ния частоты. Такое поведение частотной характе- ристики ультразвукового преобразователя объя- сняется тем, что наряду с делокализацией магни- тного поля, обусловленной достаточно большим значением магнитной проницаемости µε 2, проявля- ется так называемый скин-эффект [10], когда фа- ктически по поверхности металлического стержня протекают окружные вихревые токи, практичес- ки полностью экранирующие первичное перемен- ное магнитное поле витка. Тогда эффективное воз- буждение продольных волн происходит в узкой приповерхностной области ферромагнитного ци- линдра. Очевидно, что значения функции Ξст(ω) полностью определяют уровни смещений матери- альных частиц на оси металлического стержня. По этой причине ось ординат на рис. 3 снабжена сим- волом U (−) z (0, γ), который для стержневой модели напряженно-деформированного состояния цилин- дра имеет смысл модуля функции Ξст(ω). После подстановки силовых факторов, опре- деленных через Фурье-образы компонент векто- ра напряженности переменного магнитного по- ля и поверхностную плотность вихревого тока J∗ ϑ(ρ,±γ), в соотношение [1, (38)] конечный ре- зультат вычислений можно представить в следу- ющем виде: nu(±) ρ (ρ, z) = −iU0Ξ(ω, γn) αn γn × × [ J1(αnρ) − 2γ2 nJ1(αnα2) (γ2 n − β2 n)J1(βnα2) J1(βnρ) ] × ×e±iγnz, nu(±) z (ρ, z) = ∓U0Ξ(ω, γn)× × [ J0(αnρ) + 2αnβnJ1(αnα2) (γ2 n − β2 n)J1(βnα2) J0(βnρ) ] × ×e±iγnz. (16) Здесь U0 =m1H 0 z I∗/(4G) для ферромагнетика и U0 =µ0H 0 z I∗/(2G) для металла неферромагнитной группы. Зависящая от частоты и волнового числа функция Ξ(ω, γn) для двух типов металлов опре- деляется формулой Ξ(ω, γn) = L0 (ksα2)2D0 [AV (γn) + AS(γn)], (17) где L0 = µ0 µε 2 γnRK1(γnR)ζα2I0(ζα2) γnα2 × × [ γnα2K0(γnα2)I1(ζα2)+ + µ0 µε 2 ζα2K1(γnα2)I0(ζα2) ]−1 ; ζ = √ µε 3(γ 2 n+iωµε 2r2)/µε 2. Для металлов неферро- магнитной группы µε 2 =µε 3 =µ0 и ζ2≈ iωµ0r2. Сим- волом D0 в соотношении (17) обозначено выра- жение, появляющееся в результате вычисления производной ∆′(χn) в формуле [1, (38)], причем ∆′(χn)=−k2 sD0/(βnα2). Символами AV (γn) и AS(γn) определены состав- ляющие амплитудного множителя n-ой нормаль- ной волны, формируемые объемными и поверхно- О. Н. Петрищев 75 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 70 – 79 стными нагрузками. Заметим, что AV (γn) = (βnα2) J0(βnα2) J0(αnα2) × × [ 4 ( γn ks )2 − 2J1(βnα2) βnα2J0(βnα2) ] × × [ −(αnα2) 2(Mρα+Mρβ)+ (γnα2) 2 2 (Mzα+Mzβ) ] , где Mρα = − (ζα2) 2 (αnα2)2 + (ζα2)2 × × [ J2(αnα2) I1(ζα2) ζα2I0(ζα2) + J1(αnα2) αnα2 I2(ζα2) I0(ζα2) ] ; Mρβ = 2(ζα2) 2 (αnα2)2 + (ζα2)2 × × (γnα2) 2(βnα2)J1(αnα2) [(γnα2)2 − (βnα2)2](αnα2)J1(βnα2) × × [ J2(βnα2) I1(ζα2) ζα2I0(ζα2) + J1(βnα2) βnα2 I2(ζα2) I0(ζα2) ] ; Mzα = 1 (αnα2)2 + (ζα2)2 × × [ (αnα2)J1(αnα2) + (ζα2)J0(αnα2) I1(ζα2) I0(ζα2) ] ; Mzβ = 1 (βnα2)2 + (ζα2)2 × × 2(αnα2)(βnα2)J1(αnα2) [(γnα2)2 − (βnα2)2]J1(βnα2) × × [ (βnα2)J1(βnα2) + (ζα2)J0(βnα2) I1(ζα2) I0(ζα2) ] . Для стержня из неферромагнитного металла Mzα =Mzβ =0. Для ферромагнитного стержня составляющая амплитудного множителя AS(γn) определяется следующей формулой: AS(γn) = −(βnα2) [ (γnα2) 2 − (βnα2) 2 ] J1(βnα2)+ +3(γnα2) 2(βnα2) 2 [ J0(βnα2) − J1(βnα2) (βnα2) ] × × I1(ζα2) (ζα2)I0(ζα2) . Значение коэффициента, стоящего перед вто- рым слагаемым, обусловлено выбором соотноше- ния между магнитострикционными константами: m2 =−m1/2. Для стержня из неферромагнитного металла AS(γn) = − 1 2 (βnα2)[(γnα2) 2 − (βnα2) 2]J1(βnα2)+ +2(γnα2) 2(βnα2) 2 [ J0(βnα2) − J1(βnα2) (βnα2) ] × × I1(ζα2) (ζα2)I0(ζα2) . На рис. 4 сплошными кривыми показаны акси- альные смещения 1u (−) z (0, z) на оси ферромагни- тного цилиндра в первой нормальной волне, опре- деленные с точностью до множителя U0e −iγ1z по формуле (16) при ρ=0 для стержня из магнито- стрикционного феррита (r2 =0) при двух значени- ях магнитной проницаемости: µε 2 =µ0 и µε 2 =32µ0. Штриховыми кривыми показаны результаты, по- лученные по стержневой модели (формула (15)), где величина U ст 0 была переопределена через U0 =m1H 0 z I∗/(4G). Естественно, в области низких частот Ω<1 соответствующие кривые совпадают. Аналогичная картина наблюдается и в случае эле- ктропроводящих ферромагнетиков. Так, на рис. 3 сплошной кривой представлены аксиальные сме- щения в первой нормальной волне на оси стержня из никеля. Определенные представления об особенностях возбуждения ультразвуковых волн в широком ди- апазоне частот дает анализ потоков мощности, уносимой из области нагружения ферромагнитно- го стержня переменным магнитным полем пер- выми четырьмя продольными волнами (рис. 5). Расчет потоков мощности выполнен по методике, изложенной в монографии [11], в предположении, что R/α2=1.02, µε 2 =32µ0, r2 =0 (стержень из ма- гнитострикционного феррита). Целесообразность рассмотрения первых че- тырех мод обусловлена тем, что их частоты за- пирания обладают различными аналитическими свойствами. Так, первая мода имеет нулевую ча- стоту запирания, где одновременно выполняются условия J1(βα2)=0 и 2ξJ1(αα2)−αα2J0(αα2)=0, (ξ=(1−2ν)/[2(1−ν)]). При этом α, β→0. Частота запирания второй моды – особая точка с координа- тами Ω∗=3.561889 и ξ∗=1.02875, являющаяся то- чкой входа комплексной ветви частотного спектра нормальных волн [11] в плоскость Im ξ=0. На ча- стоте запирания третьей моды выполняется усло- вие 2ξJ1(αα2)−αα2J0(αα2)=0, причем β 6=0, α=0. 76 О. Н. Петрищев ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 70 – 79 Для частоты запирания четвертой моды справе- дливо J1(βα2)=0, α 6= 0, β=0. Отметим, что для последующих мод перечисленные условия повто- ряются в том или ином порядке. По оси ординат на рис. 5 отложены нормиро- ванные значения потоков мощности, которые уно- сятся из области нагружения продольными волна- ми, уходящими вправо от источника. Нормировка выполнена относительно максимальной величины потока для первой нормальной волны. Здесь же штриховыми линиями показаны групповые скоро- сти первых четырех продольных волн, нормиро- ванные относительно скорости волны сдвига (им соответствует правая ось ординат). По оси абсцисс отложена безразмерная частота Ω=ksα2. На частотах запирания, где материальные ча- стицы бесконечного стержня совершают синфа- зные радиальные колебания, продольные волны, начиная со второй, способны переносить беско- нечно большие уровни энергии. Действительно, для поддержания этого типа движения во всем стержне (в том числе и в областях, бесконеч- но удаленных от области нагружения) требу- ется неограниченная энергия. Отметим, что с формальной точки модельный источник гармо- нических колебаний, работающий по определе- нию бесконечное время, обладает таким неогра- ниченным запасом энергии, которую он и отда- ет стержню. По мере ухода от частоты запира- ния, длина волны, а следовательно и области, где напряженно-деформированное состояние име- ет один знак, уменьшаются. Вследствие этого по- токи мощности, уносимые второй и последующи- ми продольными волнами, очень быстро спадают (см. рис. 5). Кроме того, на частотах Ω2, Ω3 и Ω4, не совпадающих с частотами запирания, суммар- ные потоки обращаются в нуль. Это обусловлено особенностями кинематики материальных частиц гармонически деформируемого стержня, которые проявляются в том, что в пределах его поперечно- го сечения формируются противоположно направ- ленные потоки энергии. Впервые на это обстоя- тельство было указано в монографии [11]. На рис. 6 показаны распределения потоков мощ- ности (плотности потока) по сечению цилиндра на фиксированных частотах для первых продольных волн. Нормировка каждой кривой своя – по моду- лю максимального значения. По оси абсцисс отло- жена безразмерная радиальная координата ρ/α2. Цифры возле кривых соответствуют значениям безразмерных частот. При качественном анализе результатов, представленных на рис. 5, с помо- щью графиков, показанных на рис. 6, необходимо принимать во внимание, что при электромагни- 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2 4 6 8 10 0 = 0,3; r2 = 0 ),0(U )( z 02 02 32 Рис. 4. Аксиальные смещения на оси цилиндра в первой моде, рассчитанные по стержневой модели 0 0 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 10 20 30 42 3 1 2 3 4 = 0,3; r2 = 0; 02 32 P, . . vg/vs 0,4 2,0 1,6 1,2 0,8 0 Рис. 5. Потоки мощности (сплошные) и групповые скорости (штриховые) первых четырех продольных волн в цилиндре тном способе возбуждения ультразвуковых волн наиболее эффективное возбуждение упругих ко- лебаний наблюдается в приповерхностных обла- стях цилиндра, а наименее эффективное – на оси стержня. С ростом частоты неоднородность воз- буждения ультразвуковых волн по сечению уве- личивается и нормальные волны все сильнее ло- кализуются вблизи боковой поверхности стержня. Отметим, что для первой продольной волны, ко- О. Н. Петрищев 77 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 70 – 79 Pz( ), . . / 2 1,0 1,0 0,8 0,6 0,4 0,40,2 0,2 0 0 0,8 0,6 1 5 2,604 10 20 Pz( ), . . / 2 1,0 1,0 0,8 0,6 0,4 0,40,2 0,2 0 0 0,8 0,6 7,54 6,5 3,562 10 20 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 Pz( ), . . / 2 1,0 1,0 0,8 0,6 0,4 0,40,2 0,2 0 0 0,8 0,6 4 7 10 15 30 -0,2 Pz( ), . . / 2 1,0 1,0 0,8 0,6 0,4 0,40,2 0,2 0 0 0,8 0,6 7,2 16,56 13,8 10,6 30 -0,2 -0,4 -0,6 а б в г Рис. 6. Распределение потока мощности в первых четырех продольных волнах по сечению цилиндра на различных частотах: а – первая волна; б – вторая волна; в – третья волна; г – четвертая волна торая на высоких частотах трансформируется в поверхностную волну Рэлея, максимальные значе- ния плотности потока мощности на высоких ча- стотах наблюдаются как раз в приповерхностных областях. Этим и объясняется относительно высо- кий уровень энергии, переносимой этой волной на частотах Ω>10. После прохождения точек Ω2, Ω3, Ω4 (см. рис. 5) соответствующие потоки мощности возрастают. Для мод, начиная со второй, после достижения некоторых максимальных значений наблюдается плавное уменьшение потоков уносимой мощности до нуля. Это вызвано преимущественно кинемати- ческими особенностями – энергоемкость высших мод на высоких частотах становится наибольшей в центральной области, прилегающей к оси цилин- дра (см. рис. 6), где, как уже отмечалось, возбуж- дение упругих волн электромагнитным способом наименее эффективно. Обращает на себя внимание то, что характер ча- стотного изменения потоков мощности на рис. 5 практически не коррелирует с изменением группо- вых скоростей. Это принципиально отличает обсу- ждаемые результаты от результатов Петера Тор- вика [12], исследовавшего особенности возбужде- ния продольных волн нормальными силами, дей- ствующими на торце полубесконечного волновода. Все дело в существенном различии в способах по- дачи энергии внешнего источника в объем упруго- го волновода. Еще более разительные отличия, по сравнению с [12], демонстрирует рис. 7, на котором представ- 78 О. Н. Петрищев ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 70 – 79 лены потоки мощности для нормальных волн в медном цилиндре (ρ0 =8960 кг/м3; G=42.7 ГПа; ν =0.3; r2 =64.5 МСм/м; µε 2 =µ0 =4π ·10−7 Гн/м; α2 =5·10−3 м; R/α2=1.02). Уместно напомнить, что в схеме возбуждения упругих волн по Торвику максимумы уносимой нормальными волнами энергии наблюдались в том диапазоне частот, где вектор смещения матери- альных частиц практически полностью опреде- лялся своей аксиальной компонентой. При этом групповая скорость нормальной волны превышала скорости всех других распространяющихся мод. При электромагнитном (вихретоковом) способе возбуждения ультразвуковых волн нулевые зна- чения потоков мощности совпадают с частотами, на которых волновое число α=0, т. е. когда ветвь корней дисперсионного уравнения пересекает пря- мую ζ =k`α2. Здесь обращается в нуль радиальная компонента вектора смещения материальных ча- стиц и их движение полностью определяется по- стоянной по сечению цилиндра аксиальной ком- понентой, т. е. возникает режим плоской продоль- ной волны. Одновременно полностью закрывается канал подвода энергии электромагнитного поля в объем металлического стержня. Последующее увеличение частоты смены знака напряженности переменного магнитного поля со- провождается вначале ростом, а затем плавным уменьшением уровней переносимой энергии. Это объясняется особенностями кинематики матери- альных частиц и скин-эффектом. Остается доба- вить, что именно благодаря скин-эффекту значи- тельная доля подводимой к металлическому стер- жню энергии трансформируется в энергию по- верхностных волн Рэлея. Это позволяет предполо- жить, что вихретоковые ультразвуковые преобра- зователи следует рассматривать как перспектив- ные устройства для возбуждения и приема поверх- ностных волн в стержнях из неферромагнитных металлов. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Представленные аналитические и количественные результаты формируют теоретическую основу для расчета и проектирования ультразвуковых пре- образователей электромагнитного типа, применя- емых в системах различного назначения. Построе- на общая схема для расчета амплитудных множи- телей нормальных волн, определяющих частотно- волновые характеристики рассматриваемого пре- образователя. 0 0 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 10 20 30 1 2 3 4 = 0,3; r2 = 64,5 / ; 02 P, . . vg/vs 0,4 2,0 1,6 1,2 0,8 0 Рис. 7. Потоки мощности первых четырех продольных волн в медном цилиндре 1. Петрищев О. Н. Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 1. Расчет ампли- тудных множителей нормальных волн и опреде- ление частотной характеристики ультразвукового преобразователя // Акуст. вiсн.– 2007.– 10, N 1.– С. 54–68. 2. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математиче- ской физики.– М.: Высшая школа, 1970.– 710 с. 3. Шубаев С. Н. Анализ акустического поля, возбуждаемого электромагнитным методом // Дефектоскопия.– 1974.– N 3.– С. 100–109. 4. Kavashima K. Theory and numerical calculation of the acoustic field produced in metal by an electromagnetic ultrasonic transducer // J. Acoust. Soc. Amer.– 1976.– 60, N 5.– P. 1089–1099. 5. Шкарлет Ю. М. О теоретических осно- вах электромагнитных и электромагнитно- акустических методов неразрушающего контро- ля // Дефектоскопия.– 1974.– N 1.– С. 11–18. 6. Шкарлет Ю. М. Основы теории гармониче- ских моделей накладных электромагнитных и электромагнитно-акустических преобразовате- лей // Дефектоскопия.– 1974.– N 2.– С. 39–44. 7. Шкарлет Ю. М. Основы общей теории возбужде- ния акустических колебаний гармоническими по- лями сил // Дефектоскопия.– 1974.– N 3.– С. 84– 92. 8. Шкарлет Ю. М. Возбуждение акустическо- го поля плоским электромагнитным полем // Дефектоскопия.– 1974.– N 3.– С. 93–99. 9. Шкарлет Ю. М. Закономерности возбуждения акустических поверхностных волн электромагни- тным полем // Дефектоскопия.– 1974.– N 4.– С. 12–23. 10. Тамм И. Е. Основы теории электричества.– М.: Наука, 1976.– 616 с. 11. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические ко- лебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. дум- ка, 1981.– 283 с. 12. Torvik P. J., McClatchey J. J. Response of an elastic plate to a cyclic longitudinal force // J. Acoust. Soc. Amer.– 1968.– 44, N 1.– P. 59–64. О. Н. Петрищев 79
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1048
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-7507
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T17:37:09Z
publishDate	2007
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Петрищев, О.Н. 2008-07-15T09:14:28Z 2008-07-15T09:14:28Z 2007 Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 2. Исследование особенностей возбуждения ультразвуковых волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот / О.Н. Петрищев // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 3. — С. 70-79. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1048 534.213:534.232.74 В этой статье на основе решений, полученных в первой части исследования, построена математическая модель ультразвукового преобразователя электромагнитного типа. Изучены особенности процесса возбуждения нормальных волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот. У цій статті на базі розв'язків, одержаних у першій частині дослідження, побудовано математичну модель ультразвукового перетворювача електромагнітного типу. Вивчені особливості процесу збудження нормальних хвиль у феромагнітних і неферомагнітних стержнях у широкому діапазоні частот. A mathematical model of an electromagnetic ultrasonic transducer has been developed in this paper on the basis of the solutions obtained in the first part of the study. The features of normal wave excitation process in the ferromagnetic and non-ferromagnetic rods have been studied in a wide frequency range. ru Інститут гідромеханіки НАН України Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 2. Исследование особенностей возбуждения ультразвуковых волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот Electromagnetic excitation of ultrasonic longitudinal waves in isotropic metal cylinders. Part 2. Investigation of peculiarities of ultrasonic wave excitation in ferromagnetic and non-ferromagnetic rods in a wide frequency range Article published earlier
spellingShingle	Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 2. Исследование особенностей возбуждения ультразвуковых волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот Петрищев, О.Н.
title	Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 2. Исследование особенностей возбуждения ультразвуковых волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот
title_alt	Electromagnetic excitation of ultrasonic longitudinal waves in isotropic metal cylinders. Part 2. Investigation of peculiarities of ultrasonic wave excitation in ferromagnetic and non-ferromagnetic rods in a wide frequency range
title_full	Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 2. Исследование особенностей возбуждения ультразвуковых волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот
title_fullStr	Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 2. Исследование особенностей возбуждения ультразвуковых волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот
title_full_unstemmed	Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 2. Исследование особенностей возбуждения ультразвуковых волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот
title_short	Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 2. Исследование особенностей возбуждения ультразвуковых волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот
title_sort	электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. часть 2. исследование особенностей возбуждения ультразвуковых волн в ферромагнитных и неферромагнитных стержнях в широком диапазоне частот
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1048
work_keys_str_mv	AT petriŝevon élektromagnitnoevozbuždenieulʹtrazvukovyhprodolʹnyhvolnvizotropnyhmetalličeskihcilindrahčastʹ2issledovanieosobennosteivozbuždeniâulʹtrazvukovyhvolnvferromagnitnyhineferromagnitnyhsteržnâhvširokomdiapazonečastot AT petriŝevon electromagneticexcitationofultrasoniclongitudinalwavesinisotropicmetalcylinderspart2investigationofpeculiaritiesofultrasonicwaveexcitationinferromagneticandnonferromagneticrodsinawidefrequencyrange

Institution

Similar Items