Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии

В приближении Буссинеска, следуя методу асимптотических многомасштабных разложений, исследуются нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом турбулентной вязкости и диффузии. В работе определяются декремент затухания волны и погранслойные решения у дна и свободной поверхности. Сре...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Морской гидрофизический журнал
Дата:	2009
Автори:	Слепышев, А.А., Мартынова, И.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Морський гідрофізичний інститут НАН України 2009
Теми:	Термогидродинамика океана
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105083
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии / А.А. Слепышев, И.С. Мартынова // Морской гидрофизический журнал. — 2009. — № 5. — С. 3-22. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-105083
record_format	dspace
spelling	Слепышев, А.А. Мартынова, И.С. 2016-08-06T14:18:10Z 2016-08-06T14:18:10Z 2009 Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии / А.А. Слепышев, И.С. Мартынова // Морской гидрофизический журнал. — 2009. — № 5. — С. 3-22. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0233-7584 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105083 551.466.8 В приближении Буссинеска, следуя методу асимптотических многомасштабных разложений, исследуются нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом турбулентной вязкости и диффузии. В работе определяются декремент затухания волны и погранслойные решения у дна и свободной поверхности. Среднее течение, индуцированное волной, находится во втором порядке малости по крутизне волны. Получены коэффициенты нелинейного уравнения Шредингера для огибающей волнового пакета. Показано, что в длинноволновом пределе слабонелинейная плоская волна устойчива к продольной модуляции; если длина волны меньше некоторого критического значения, то волна модуляционно неустойчива. In the Boussinesque approximation and following the method of asymptotic multi-scale expansion, non-linear effects in propagation of internal waves are studied with allowance for turbulent viscosity and diffusion. The wave attenuation decrement and boundary-layer solutions near the bottom and the free surface are defined. The wave-induced mean current is of the second order infinitesimal in the wave steepness expansion. The coefficients of the Schrödinger non-linear equation for the wavepacket envelope are obtained. It is shown that within the long-wave limit a weak-nonlinear flat wave is stable to the longitudinal modulation. If the wavelenth is smaller than a certain critical value, the wave is unstable to modulation. ru Морський гідрофізичний інститут НАН України Морской гидрофизический журнал Термогидродинамика океана Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии
spellingShingle	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии Слепышев, А.А. Мартынова, И.С. Термогидродинамика океана
title_short	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии
title_full	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии
title_fullStr	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии
title_full_unstemmed	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии
title_sort	нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии
author	Слепышев, А.А. Мартынова, И.С.
author_facet	Слепышев, А.А. Мартынова, И.С.
topic	Термогидродинамика океана
topic_facet	Термогидродинамика океана
publishDate	2009
language	Russian
container_title	Морской гидрофизический журнал
publisher	Морський гідрофізичний інститут НАН України
format	Article
description	В приближении Буссинеска, следуя методу асимптотических многомасштабных разложений, исследуются нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом турбулентной вязкости и диффузии. В работе определяются декремент затухания волны и погранслойные решения у дна и свободной поверхности. Среднее течение, индуцированное волной, находится во втором порядке малости по крутизне волны. Получены коэффициенты нелинейного уравнения Шредингера для огибающей волнового пакета. Показано, что в длинноволновом пределе слабонелинейная плоская волна устойчива к продольной модуляции; если длина волны меньше некоторого критического значения, то волна модуляционно неустойчива. In the Boussinesque approximation and following the method of asymptotic multi-scale expansion, non-linear effects in propagation of internal waves are studied with allowance for turbulent viscosity and diffusion. The wave attenuation decrement and boundary-layer solutions near the bottom and the free surface are defined. The wave-induced mean current is of the second order infinitesimal in the wave steepness expansion. The coefficients of the Schrödinger non-linear equation for the wavepacket envelope are obtained. It is shown that within the long-wave limit a weak-nonlinear flat wave is stable to the longitudinal modulation. If the wavelenth is smaller than a certain critical value, the wave is unstable to modulation.
issn	0233-7584
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105083
citation_txt	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии / А.А. Слепышев, И.С. Мартынова // Морской гидрофизический журнал. — 2009. — № 5. — С. 3-22. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT slepyševaa nelineinyeéffektyprirasprostraneniivnutrennihvolnsučetomvliâniâturbulentnoivâzkostiidiffuzii AT martynovais nelineinyeéffektyprirasprostraneniivnutrennihvolnsučetomvliâniâturbulentnoivâzkostiidiffuzii
first_indexed	2025-11-25T22:46:25Z
last_indexed	2025-11-25T22:46:25Z
_version_	1850572823467130880
fulltext	ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 3  А.А. Слепышев, И.С. Мартынова, 2009 Термогидродинамика океана УДК 551.466.8 А.А. Слепышев, И.С. Мартынова Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии В приближении Буссинеска, следуя методу асимптотических многомасштабных разложе- ний, исследуются нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом тур- булентной вязкости и диффузии. В работе определяются декремент затухания волны и по- гранслойные решения у дна и свободной поверхности. Среднее течение, индуцированное вол- ной, находится во втором порядке малости по крутизне волны. Получены коэффициенты не- линейного уравнения Шредингера для огибающей волнового пакета. Показано, что в длинно- волновом пределе слабонелинейная плоская волна устойчива к продольной модуляции; если длина волны меньше некоторого критического значения, то волна модуляционно неустойчива. Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн проявляют- ся в генерации средних на масштабе волны течений [1, 2]. Физической при- чиной этого является отличие от нуля волновых напряжений вследствие за- висимости огибающей волнового пакета от пространственно-временных ко- ординат [3, 4]. Огибающая узкоспектрального пакета внутренних волн удов- летворяет нелинейному уравнению Шредингера [2]. Внутренние волны рас- пространяются преимущественно цугами – локализованными в пространстве волновыми пакетами. Физической причиной перемежаемости волнового поля является, с одной стороны, разнесенность источников и стоков энергии, с другой – модуляционная неустойчивость внутренних волн, которая приводит к сложной эволюции огибающей волнового пакета [5]. Теория нестационарных слабонелинейных пакетов внутренних волн при отсутствии турбулентной вязкости и диффузии создана в работах [1, 2]. Средние течения и неосциллирующие поправки к средней плотности, инду- цированные волной, находились во втором порядке малости по крутизне вол- ны. Погранслойные решения для поверхностных волн, как и средние течения, генерируемые волной за счет нелинейности, описаны в [6]. В настоящей ра- боте определяются средние течения, индуцированные внутренней волной, при учете турбулентной вязкости и диффузии и коэффициенты нелинейного уравнения Шредингера для огибающей, а также декремент затухания волны, погранслойные решения у дна и свободной поверхности. Делается вывод о модуляционной неустойчивости внутренних волн. Постановка задачи Рассматриваются свободные внутренние волны с учетом турбулентной вязкости и диффузии. Применяется асимптотический метод многомасштабных ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 4 разложений для исследования нелинейных эффектов при наличии стока энер- гии внутренних волн в турбулентность. В первом порядке малости по ампли- туде волны получено решение линейного приближения и дисперсионное соот- ношение для внутренних волн. Неосциллирующие поправки к средней плотно- сти и скорости течения находятся во втором порядке малости по амплитуде волны. Из условия разрешимости краевой задачи, определяющей вертикаль- ную структуру основной гармоники в третьем порядке малости по амплитуде волны, получено нелинейное эволюционное уравнение для огибающей. Примем в качестве исходных уравнений для волновых возмущений урав- нения Навье – Стокса для неоднородной жидкости и введем безразмерные переменные по следующим формулам (волнистой чертой сверху обозначены размерные физические величины): , ~ ,/ ~ ),3,1(~ 33  HgHttiHxx ii  ),()0()(~,~ 30030 xxgHuu ii   ,/~,/ ~ HgHkk   ,)0( ~ 0 gHPP  , ~ 11 KK  , ~ 33 KK  , ~ 11 MM  g H H MM 2 2 233 , ~    , где )3,1( iui – горизонтальная и вертикальная компоненты волновой скоро- сти течения соответственно; H – глубина моря; )( 30 x – средняя плотность; 3 – возвышение свободной поверхности; ii MK , – коэффициенты турбулент- ной вязкости и диффузии; )(max 31 xK , k – горизонтальное волновое чис- ло;  – частота волны. Далее получим систему уравнений гидродинамики для волновых возмущений в приближении Буссинеска с учетом коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии при реальной стратификации: , 3 1 3 3 2 2 1 1 1 1 2 2 1 11                                x u K xx u K xx P x u u t u i i  (1а) , 3 3 3 3 2 2 1 3 1 1 2 2 3 33                                 x u K xx u K xx P x u u t u i i (1б) , 3 0 3 3 3 3 2 2 1 1 1 2 2 x u x M xx M xx u t i i                                    (1в) .0   i i x u (1г) На свободной поверхности используем кинематическое и динамическое граничные условия [7] ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 5 02 3 3 3 2 23     x u KP  , (2а) 0 1 3 1 3 1 3       x u K x u K , (2б) 3 3 u t    , (2в) здесь (2а), (2б) определяют отсутствие нормальных и тангенциальных напря- жений. На дне примем условия прилипания 0)1(3 u , (3а) 0)1(1 u . (3б) Граничные условия по плотности следующие: при 33 x const),( 1  txs , (4а) при 13 x const),( 1  txb . (4б) Указанные граничные условия сводятся к виду: при 03 x 0)0( 3 0 3        i i xx     , (5а) при 13 x 0)1(  . (5б) Решение исходной системы уравнений (1) будем искать в виде асимптотиче- ского ряда    1 3 ),,,( n n n x  ,    1 3 ),,,( n n n x  , (6) где ),,( 31 txx – функция тока, которая определяет поле волновых скоростей ( 3x  – горизонтальная скорость, 1x    – вертикальная скорость);  – кру- тизна волны; ),(; 1 2 tCxt g  gC – групповая скорость в линейном приближении. Здесь  и  – медленные переменные,  – быстрая перемен- ная и фаза волны, xk  , t  . Введем дифференциальные операторы .2, 2 2 2 2 2 2               kkM z kL ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 6 Подставляя разложение (6) в исходную систему уравнений движения и при- равнивая члены при одинаковых степенях  , с точностью до 3 получим: , 2 22 3 1 2 3 33 2 1 3 1 2 3 2 2 3 1 2 3 3 2 1 2 2 1 11                                                                                    x K xx Kk x x kK x kKkkk L (7а) 01 3 02 2 3 1 3 3 2 2 1 1 1                                        k dx d x M x kMk , (7б)       ,)( , 2 2112 2 2 2 22 3 2 2 3 33 1 3 2 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 2 3 3 2 2 2 2214 4 4 12 1211,1 3                     MKk x K xx M x kK x xx kK x Kk kMLLkJLC xg                                                                               (8а)   ,0 , 12 3 02 2 3 2 3 3 2 211 2 22 2 2 2 111, 21 3                                                     k xx M x MMkMkJC xg (8б)                                                                                                                                               2 1 2 2 112 2 2 2 1 3 2 2 3 3 2 3 3 12 2 2 2 1 2 1 2 22 3 2 2 1 2 2 23 11,12,21, 2 1 3 212 31 [ ] [ ,,, 333                                           kKMkKk xx kK x MkK MkKkkk MkJLkJLkJ M MCLCLL xxx gg (9а)                                                    3 2 2 3 3 2 1 3 2 2 1 3 2 2 3 3 [] xx kKk xx kK x           ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 7 ,] 2 22 3 3 2 3 33 1 2 3 2 2 1                                             x K xxx kK   .0),( , 12, 23 3 02 2 3 3 3 3 2 2 12 1 2 2 23 121, 132 3 3                                                                                                             x xg kJ k xx M x kM kMkkJC (9б) Первый порядок малости по крутизне волны. В первом порядке малости по крутизне волны волновые возмущения давления 1P , плотности 1 и функции тока 1 представим в виде   iA e11 к.c.,   iAn e11 к.c.,  iAPP e101 к.c., (10) здесь к.c. – комплексно-сопряженные слагаемые. Приведем граничные усло- вия с точностью до 1 : при 03 x 02 3 1 3 2 22 3 1 2 3 3 2 2 1 3 1 1 2 2 3 1 1            dx d kKi dx d K dx d ik dx d Kik dx d k k          , (11а) 01 2 12 3 1 2 3    kK dx d K , (11б) при 13 x 0 3 1 1  dx d  . (11в) Уравнения для )( 31 x и )( 31 xn имеют вид ,1 3 02 12 3 2 222 212 3 2 2 3 3 3 1 22 22 3 1 2 3 33 1 1 2 3 3 1 3 3 11 22 3 3 3 2 2 2 21 2        dx d k dx d k dx d k dx d M dx d Mki dx d K dx d dx d Kk dx d dx d K dx d Kkk dx d M dx d Mki                                                                                                  (12а) ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 8 1 3 0 1 3 3 3 2 2 2 21 2    dx d ikn dx d M dx d Mki                   . (12б) Граничные условия для функции 1n следующие: при 03 x .0)0()0( 3 0 11  dx dk n    , (13а) при 13 x 0)1(1 n . (13б) Уравнение (12а) будем решать методом Люстерника – Вишика, разлагая 1 1, ,n  в асимптотические ряды [7, 8]:    0 0 2 2 2 0 2 1 2 0 23131 )()( i i i i i i i i i vvxx  , (14а) 0 0 2 2 2 0 2 1 2 0 2311 )( i i i i i i i i i wwxnn     , (14б) ...03 2 202201   , (14в) где )/)1((,)/)1(( 23 1 23 1  xwxv ii  – погранслойные решения в окрестности дна; )/(,)/( 23 0 23 0  xwxv ii – погранслойные решения в окрестности свобод- ной поверхности. В нулевом порядке малости по параметру 2 получим уравнение и гра- ничные условия для 10 : 010 3 02 102 3 2 22 01              dx d k dx d k ; (15а) при 03 x 00102 01 2 10 33  x k x    , (15б) при 13 x 0110 3 x . (15в) Краевая задача (15) имеет счетный набор собственных значений k , соответ- ствующих различным номерам мод при фиксированном 01 . Подставляя разложение (14а) в уравнение (12а), получим с точностью до 0 2 уравнение для )( 1 0 v ) 1 ( 2 3   x  : ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 9 2 012 1 0 2 01334 1 0 4 6 1 0 6 33 )(             v MKi vv MK . (16) Решение уравнения (16): )exp()exp( 2 1 01 1 0 1 0   GDv , где )1( )1(2 3 01 1 i M      , )1( )1(2 3 01 2 i K      , (17) 21 13101 0 3 \|/      xx D , 1 0 1 0 DG  . Найдем погранслойные решения 0 0v в разложении (14а), чтобы удовле- творить граничным условиям (11а), (11б) в окрестности свободной поверхно- сти. Подставляя разложение (14а) в уравнение (12а), получим с точностью до 0 2~  уравнение для ),(0 0 v )( 2 3   x  : 2 0 0 2 2 0133014 0 0 4 6 0 0 6 33 )(            v MKi vv MK . (18) Решение уравнения (18): )exp()exp()( 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0  FCv  , где     0 0 30 23 0 201 130 1301 0 1 0 0 )()( FiKiKC    , (19а) ))()(( \|/)0( 20 1 20 23 0 2 310 2 310 2 10 0 3       K dxdKkK F x , (19б)    30 23 0 201 130 1301 0 1 )()(  iKiK   , (19в) 0 2 0 1 , определяются по формулам (17), только функции 33, MK берутся в точке 03 x . Уравнение следующего приближения в (12а) для 11 получается после подстановки разложений (14а), (14в) в (12а) и приравнивания членов 2~  : 3 0 10 2 01 02 11 2 3 0 112 3 2 22 01 2 dx d kk dx d dx d k                  , (20) граничные условия для 11 : ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 10 при 03 x 0 311 01 11 01  x k k     , (21а) при 13 x .011  (21б) Условием разрешимости полуоднородной краевой задачи (20), (21) является ортогональность правой части собственной функции однородной краевой задачи для 10 . Ввиду того что правая часть уравнения (20) при 002  не ортогональна 10 , краевая задача (20), (21) не разрешима и функция 11 не определена, так же как и не определена поправка к частоте 02 . Рассмотрим уравнение для 12 , полученное из уравнения (12а) после подстановки разло- жений (14а), (14в) и приравнивания членов 2 2~  : . 2 12 3 10 2 310 3 1 3 102 13 3 10 3 3 3 0101102 3 2 2 2 3 2 3 2 10312 2 3 0 122 3 2 22 01 F dx d kKkKki dx d kK dx d K dx d i dx d k dx d iMkiMk dx d dx d k                                                               (22а) Граничные условия для 12 следуют из (11а), (11в) после подстановки разло- жений (14а), (14в) во втором порядке малости по параметру 2 : 012122 01 2 12 33  xx k    , 0112 3 x , где                            k x K x K xk K x k ik 3 10 32 3 10 2 3 3 1 3 10 01 12 2 1    . (22б) Условие разрешимости краевой задачи (22) имеет вид [9] )0(1012310 0 1 1    dxF . (23) Из условия (23) следует выражение для 03 : ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 11 )].0(\|])0(2))(( 1 )0([ )]())(( ))(()()))(( ([[ )0()0( 2 2 100 3 10 32 3 10 2 33 3 1 3 10 01 3102 3 10 2 32 3 2 3 10 31 3 2 2 3 10 33 3 1031 4 102 3 2 2 3 3 3 0 1 1 2 01 1 0 1 01 10 3 10 01 32 10 2 3 0 03 3                                 x dx d kK dx d xK dx d k K dx d k k dx dx d K dx d dx d xK dx d k k dx d xK dx d xKk dx d k dx d M dx d Mki dx ddx k dx d (24) Второй порядок малости по крутизне волны. Решения уравнений второго порядка малости по параметру  – крутизне волны будем искать в виде .ê.c),,(e),(e),( 334 2 322  xCxAxA ii   , (25а) ..ê),,(e),(e),( 334 2 322 cxRxAnxAn ii    (25б) Из граничных условий (2), (3) с точностью до членов 2 ~  получим краевые условия для 22 , n : ,0\|16 4224 0 3 2 01 22 232 3 2 2 3 3 2 2 3 2 1 22 2 2 2 3 10 2 10 2 2 3 10 3 2 01012 2 3                                              x x ikK x K x x KkA x ikA x ik x iik           (26а) 04 021 2 2 3 2 2 3 3    xKk x K   , (26б) 0121 3 2 33     xx x   . (26в) Граничные условия для 2n : ,0\| 01 2 3 0 1 3 2 2 2 3 0 3 1 12 2 2 2 3 1 1 3 0 2 3                   xA dx d dx dk A dx d dx dk kA dx dk dx dk n              012 3 xn . Уравнение второго приближения для 2 имеет вид ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 12 . 4222 42 164242 3 1 2 3 2 2 1 22 12 3 2 2 3 1 3 3 3 2 2 2 21 22 3 1 1 3 1 12 3 02 3 2 2 2 3 33 2 1 2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 2 221 4 22 3 2 2 3 3 3 2 2 2 21 2                                                                                                                                                          dx d x kkiAA x k dx d ki x M x MkiA dx dn dx d n x k x K xx Kk xx ikK x Kk x ki x M x Mki             (27а) Функция 2n удовлетворяет уравнению 2 3 1 1 3 1 12 3 0 2 3 3 3 2 2 2 21 2 242 A dx dn dx d nki dx d ikn x M x Mki                                    . (27б) Решение уравнений (27а), (27б), следуя асимптотическому методу Люстер- ника – Вишика, будем искать в виде ...21 2 2202   , (28а) ...21 2 2202  nnn  . (28б) Из (27а) найдем уравнение для 20 : .2 2444 3 10 2 3 2 2 10 22 102 3 2 2 3 10 01 2 3 10 10 3 10 10 2 20 3 02 202 3 2 22 01                                               dx d dx d kkAA dx d k dx d k A dx dn dx d nk dx d k x k          (29) Представляя 20 в виде 2 320120 )( Ax  , из (27а) получим обыкновенное дифференциальное уравнение для )( 3201 x (30), а из граничных условий (26) с точностью до 0 2~  – краевые условия для этой функции: ;2 2444 3 10 2 3 2 2 10102 3 2 2 3 10 01 3 10 10 3 10 10 2 201 3 02 2012 3 2 22 01                                             dx d dx d kk dx d k dx d k dx dn dx d nk dx d k dx d k          (30) при 03 x ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 13 02244 2 3 10 2 1001 2 3 10 01 3 2012 01201 2          dx d k dx d k dx d k       , (31а) при 13 x .0201 3 201   dx d (31б) Из (27б) получим 2 3 10 10 3 10 10 01 20 3 0 01 20 2 A dx dn dx d n k dx dk n                , (32) где 10 3 0 01 10    dx dk n  . Подставляя (25а), (25б) в (8а), (8б) и собирая слагаемые, пропорциональные ie , получим уравнения для 44 , n : ,22 2 2 2 3 1 1 3 2 2 3 1 3 3 2 211 3 14112 3 2 22 22 3 4 2 3 3 3 4 1 2 33 4 3 3 2 2 2 241 4 42 3 2 2            A dx d ikK dx d A dx d K dx d AKik AnkinAkA x kC x K x x Kk xx ikK x Kk x ki g                                                                                (33а) .)( 2 14 3 0 2 21114 3 3 3 2 2 2 21 2      Aki dx d AMiknAnCn x M x Mki g                        (33б) Граничные условия для 4 : при 03 x ,02 3 4 3 22 2 2 3 4 2 3 3 2 2 3 4 1 22 2 3 4 4 2                                 x Kki x K xx Kk x iik         (34а) 0 2 3 4 2 341 2     x KKk   , (34б) ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 14 при 13 x 0 3 4 4     x   . (34в) Граничные условия для 4n : при 03 x 0 3 0 44  dx dk n    , (34г) при 13 x 0)1(4 n . (34д) Решение уравнений (33а), (33б) будем искать в виде ),(),( 34043404 xnAnxA   где функции )( 340 x , )( 340 xn удовлетворяют следующим уравнениям:  ,22 2 3 1 1 3 2 2 3 1 3 3 2 211 3 140112 3 2 22 22 3 40 2 3 33 40 1 2 33 40 3 3 2 2 2 2401 4 402 3 2 2                                                                                 dx d ikK xdx d K x Kik nkink x kC x K xx Kk xx ikK x Kk x ki g         (35) )(2 140 3 02 211140 3 3 3 2 2 2 21 2                          ki dx d MiknnCn x M x Mki g . (36) Граничные условия для 40 : при 03 x ,02 3 40 3 22 2 2 3 1 2 3 3 2 2 3 40 1 22 2 3 40 40 2                                 x Kki x K xx Kk x iik         (37а) 0 2 3 40 2 3401 2     x KKk   , (37б) при 13 x ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 15 0 3 40 40     x   . (37в) Граничные условия для 40n : при 03 x 0 3 0 4040  dx dk n    , (38а) при 13 x 0)1(40 n . (38б) Уравнения для неосциллирующих поправок к функции тока ),,( 3xÑ  и к возмущениям плотности ),,( 3xR  получаются после подстановки (25а), (25б) в (8а), (8б) и осреднения по периоду волны:                                             11112 3 2 2 3 2 3 2 32 3 2 2 2 .ê.ñ AA x k x ki x Ñ K x  , (39а)                         1111 33 3 3 2 2 ê.c. AAn x ki x R M x  , (39б) где )2exp( 0311   AAAA . Из (39) следует, что функции ),,( 3xÑ  и ),,( 3xR  необходимо искать в виде * 1133 )(),,( AAxcxÑ  ,   1133 )(),,( AAxrxR  , причем )( 3xc и )( 3xr удовлетворяют уравнениям                                112 3 2 2 3 2 3 2 32 3 2 2 2  x k dx d ki x c K dx d к.с., (40а)           11 33 3 3 2 2  n dx d ki dx dr M dx d к.с. (40б) Эти уравнения следует дополнить граничными условиями, вытекающими из (2), (3): при 03 x            2 3 1 2 * 12 3 2 3 3 2 2 dx d ki x c K dx d   к.с., (41а) 0 2 3 2  dx cd , (41б) при 13 x ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 16 0 3  c dx dc . (41в) Граничные условия для функции )( 3xr : при 03 x 0222 1 3 0 1 3 2 2 1 3 0 2 2 3 1 1 3 1 1 3 0                dx d dx dk dx dk dx d c k dx d Cdx d r g             , (42а) при 13 x 0)1( r . (42б) Подставляя разложение (14) для функций )(),( 3131 xnx в уравнения (40а), (40б) и граничные условия (41), получим уравнения и граничные условия для решений 00 , rc в основной толще жидкости: ,1202 3 2 2 3 10102 3 2 2 3 1202 3 0 2 32 3 2                                                  x k dx d x k dx d x c K dx d (43а)  1201012010 33 0 3 3 2 nn dx d k dx dr M dx d          , (43б) здесь i n n i 12 120 12 120 ,    – действительные функции. Граничные условия для )( 30 xñ : при 03 x            2 3 0 2 3 3 2 3 120 2 102 3 10 2 120 22 x c K dx d dx d k dx d k     , (44а) 0 2 3 0 2    x c , (44б) при 13 x 00 3 0    c x c . (44в) Горизонтальная компонента средней скорости индуцированного течения определяется по формуле   . 3 2 1èíä dx dc ÀU  (45) Граничные условия для функции r0(x3): при 03 x ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 17 0222 1 3 0 10 3 2 01 2 10 3 0 2 01 2 3 10 10 013 10 10 3 0 0                dx d dx dk dx dk dx d c k dx d Cdx d r g             , (46а) при 13 x 0)1(0 r . (46б) Третий порядок малости по крутизне волны. Решение уравнений (9а), (9б) в третьем порядке малости по параметру  будем искать в виде ),,( ~ .ê.ceee 3 3 33 2 32313 xCiii    , (47а) ),,( ~ .ê.ceee 3 3 33 2 32313 xRnnn iii    , (47б) где ),,( ~ ),,,( ~ 33 xRxC  – неосциллирующие поправки к функции тока и средней плотности. Подставляя (47) в (9а), (9б) и собирая слагаемые, пропор- циональные ie , получим уравнение для 31 . Решая последнее методом Люстерника – Вишика и используя разложение ...2 31 2 2 0 3131   , получим уравнение для 0 31 :              1 2 131211 0 31 2 3 00 312 3 2 22 01 AAsAsAsk dx d x k    . (48) Из граничных условий (2), (3) в третьем порядке малости по  , собирая сла- гаемые, пропорциональные ie , найдем краевые условия для 0 31 с точностью до 0 2 : при 03 x 132 01 2 0 31 3 0 31        k x ,  1 2 11313 AA , (49а) , 1 2 0 2 01 102 3 20 2 012 3 10 2 2001 3 10 3 20 01 3 10 2 3 10 20 01 3 3 10 01 3 13 3            x g dx d k dx d k dx d dx d k dx dc C k dx dk dx dck               (49б) при 13 x 01 0 31 3 x . (49в) Условие разрешимости краевой задачи (48), (49а), (49в) имеет вид   )0(1013310 0 1 1 2 131211     dxAAsAsAs , (50) где 321 ,, sss определяются по формулам ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 18 102 3 2 2 01101           dx d kiikns , (51а) , 2 400110 2 0140 2 01 1001402 3 2 2 0140 3 0 402 niik Ck dx d kCi dx d iknikCs ggg               (51б) .422 42 3 10 202 3 2 2 102 3 2 2 3 20 3 3 3 10 3 102 3 2 2 3 20 102 3 2 2 01 202 3 2 2 3 10 3 20 10 3 10 20 2 3 20* 1 2 3 dx d dx d kik dx d k dx d k dx cd k dx dc dx d kk dx d dx d kk dx d k dx d ki dx dn dx d nk dx d nks                                                                                        (51в) Из (50) следует эволюционное уравнение для огибающей 01 2 14111   AAAA   , (52) где     0 1 3101 0 1 3102 1 dxs dxs    ,     0 1 3101 0 1 3103 2 dxs dxs    , (53)    0 1 3101 1013 3 )0( dxs    , 324   . Коэффициенты 41,  – чисто мнимые. С помощью замены i q 12  , i T 4 уравнение (52) сводится к нелинейному уравнению Шредингера 0 2 2 2 2       AAiT Aq i A  . (54) Это уравнение имеет частное решение – огибающую слабонелинейной пло- ской волны )exp( 2 00 AiTA  , которая при 0Tq неустойчива к продольной модуляции в силу критерия Лайтхилла [10]. ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 19 Р и с. 1. Средний профиль частоты Брента – Вяйсяля при H = 78 м (штриховая) и H = = 300 м (сплошная) Р и с. 2. Вертикальное распределение средней скорости индуцированного течения при 78H м (штриховая) и H = 300м (сплошная) Результаты расчетов Сделаем расчет индуцированных течений в северо-западной части Чер- ного моря при стратификации, показанной на рис. 1. Краевые задачи (15), (22) решались численно по неявной схеме Адамса третьего порядка точности. У внутренних волн низшей моды с периодом 1 ч при глубине 78 м 31088,6 k м 1 , декремент затухания волны i/03  равен 71055,5  рад/с; если глубина составляет 300 м, то 31035,2 k м 1 , 71001,1  рад/с. При решении краевой задачи (22) находилось единст- венное решение, ортогональное 10 при следующих коэффициентах турбу- лентного обмена: 2 1 10K м 2 /с, 6 3 108 K м 2 /с, 006,01 M м 2 /с, 6 3 105 M м 2 /с. Решение краевой задачи (43а), (44) по определению верти- кальной структуры индуцированного течения находилось путем интегриро- вания уравнения (43а), интегралы вычислялись численно. Горизонтальная компонента средней скорости индуцированного течения определялась по формуле (45). Величина 1A находилась по известной величине максималь- ной амплитуды вертикальных смещений. Действительно, если функция тока 1 линейного приближения определяется по формуле (10), то можно найти вертикальное смещение 3 , используя соотношение 3 3 u dt d   : ê.c.)exp(110 01 3  tiikxA k    Отсюда следует, что 01 10 3 1 max2 max     k A  . ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 20 На рис. 2 показаны вертикальные профили среднего течения, индуци- рованного внутренней волной низшей моды периодом 1 ч при максимальной амплитуде вертикальных смещений 0,5 м. С возрастанием глубины скорость индуцированного течения при неизменных коэффициентах турбулентного обмена и амплитуде волны уменьшается. Сделаем аналогичный расчет для 40- и 20-минутных внутренних волн низшей моды при тех же коэффициентах турбулентной вязкости и диффузии при стратификации, соответствующей глубине 300 м (рис. 1). У 40-минутных внутренних волн 31059,3 k м 1 , 71064,1  рад/с, у 20-минутных k = 7,95 · 10 -3 м 1 , 71088,5  рад/с. Получим картину индуцированных течений при той же максимальной амплитуде волны (рис. 3). С уменьшением периода волны скорость индуцированного за счет нелинейности среднего течения возрастает. Для исследования модуляцион- ной неустойчивости внутренних волн делался расчет коэффициентов нели- нейного уравнения Шредингера при стратификации, соответствующей глу- бине 78 м (рис. 1). Р и с. 3. Вертикальное распределение средней скорости индуцированного течения для 20- минутных (штриховая) и 40-минутных (сплошная) внутренних волн низшей моды ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 21 Зависимость коэффициентов Tq, от волнового числа k показана на рис. 4, 5. Величина произведения qT  положительна в длинноволновом пре- деле, при 018,0k м 1 происходит смена знака qT  , при 018,0k м 1 име- ет место модуляционная неустойчивость. Выводы 1. Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн прояв- ляются в генерации средних на временном масштабе волны течений, пропор- циональных квадрату текущей амплитуды волны. 2. С увеличением частоты волны скорость индуцированного течения при фиксированной максимальной амплитуде вертикальных смещений уве- личивается. 3. С уменьшением глубины скорость индуцированного течения при фиксированной максимальной амплитуде вертикальных смещений и частоте волны возрастает. 4. Огибающая волнового пакета удовлетворяет нелинейному уравнению Шредингера. Показано, что слабонелинейная плоская волна в длинноволно- вом пределе устойчива к продольной модуляции. Если длина волны меньше некоторого критического значения, то волна модуляционно неустойчива. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Борисенко Ю.Д. , Воронович А.Г. , Леонов А.И. , Миропольский Ю.З. К теории неста- ционарных слабонелинейных внутренних волн в стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. – 1976. – 12, № 3. – C. 293 – 301. 2. Grimshow R. The modulation of an internal gravity wave packet and the resonance with the mean motion // Stud. Appl. Math. – 1977. – 56. – P. 241 – 266. Р и с. 4. Зависимость коэффициента q от волнового числа Р и с. 5. Зависимость коэффициента не- линейного самовоздействия T от волново- го числа ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 22 3. Езерский А.Б., Островский Л.А., Степанянц Ю.А. Индуцированные течения и их вклад в энергию волновых движений жидкости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океа- на. – 1982. – 17, №11. – С. 1201 – 1208. 4. Езерский А.Б., Папко В.В. Лабораторное исследование потенциальных течений, инду- цированных пакетом поверхностных волн // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океа- на. – 22, № 9 – 1986. – С.979 – 986. 5. Юэн Г., Лэйк Б. Теория нелинейных волн в приложении к волнам на глубокой воде // Солитоны в действии. – М.: Мир, 1981. – С. 108 – 131. 6. Дворянинов Г.С. Эффекты волн в пограничных слоях атмосферы и океана. – Киев: На- ук. думка, 1982. – 176 с. 7. Черкесов Л.В. Гидродинамика волн. – Киев: Наук. думка, 1980. – 259 с. 8. Задорожный А.И. Затухание длинных волн в экспоненциально стратифицированном море // Морские гидрофизические исследования. –1975. – №3. – С 96 – 110. 9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1971. – 576 с. 10. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних волн в океане. – Л.: Гидрометеоиздат,1981. – 216 с. Морской гидрофизический институт НАН Украины, Материал поступил Севастополь в редакцию 13.03.08 Филиал МГУ им. М.В. Ломоносова После доработки 14.04.08 в Севастополе ABSTRACT In the Boussinesque approximation and following the method of asymptotic multi-scale expansion, non-linear effects in propagation of internal waves are studied with allowance for turbu- lent viscosity and diffusion. The wave attenuation decrement and boundary-layer solutions near the bottom and the free surface are defined. The wave-induced mean current is of the second order infini- tesimal in the wave steepness expansion. The coefficients of the Schrödinger non-linear equation for the wavepacket envelope are obtained. It is shown that within the long-wave limit a weak-nonlinear flat wave is stable to the longitudinal modulation. If the wavelenth is smaller than a certain critical value, the wave is unstable to modulation.

Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии

Репозитарії

Схожі ресурси