Ассимиляция данных наблюдений и адаптивный прогноз природных процессов

Предложена динамическая модель для прогнозирования случайных составляющих природных процессов, основанная на системной концепции адаптивного баланса влияний – Adaptive Balance of Causes (АВС-модель). Модель содержит динамические уравнения для коэффициентов влияний, которые адаптируются к корреляцион...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Тимченко, И.Е., Игумнова, Е.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Морський гідрофізичний інститут НАН України 2009
Schriftenreihe:	Морской гидрофизический журнал
Schlagworte:	Математическое моделирование морских систем
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105091
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Ассимиляция данных наблюдений и адаптивный прогноз природных процессов / И.Е. Тимченко, Е.М. Игумнова // Морской гидрофизический журнал. — 2009. — № 6. — С. 47-70. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-105091
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1050912025-02-09T16:07:48Z Ассимиляция данных наблюдений и адаптивный прогноз природных процессов Тимченко, И.Е. Игумнова, Е.М. Математическое моделирование морских систем Предложена динамическая модель для прогнозирования случайных составляющих природных процессов, основанная на системной концепции адаптивного баланса влияний – Adaptive Balance of Causes (АВС-модель). Модель содержит динамические уравнения для коэффициентов влияний, которые адаптируются к корреляционным связям прогнозируемого процесса. С целью уточнения прогнозов рассмотрены две возможные схемы ассимиляции данных наблюдений в уравнениях АВС-модели: Колмогорова и Калмана. Обе схемы ориентированы на использование выборочных коэффициентов корреляции при прогнозировании временных рядов наблюдений и, следовательно, учитывают нестационарность реальных природных процессов. Приводятся примеры прогнозирования имитированных временных рядов, поясняющие алгоритмы ассимиляции данных наблюдений. Делается вывод о перспективности системного моделирования и адаптивного прогноза случайных процессов АВС-методом. Dynamic model for predicting random components of natural processes based on the systems conception of Adaptive Balance of Causes (ABC-model) is proposed. The model contains dynamic equations for cause coefficients which adapt themselves to correlation dependences of the forecasted process. To improve prediction accuracy, two possible schemes of data assimilation in the ABC-model equations, namely Kolmogorov and Kalman ones, are considered. Both of them are supposed to use sample correlation coefficients in prediction of measurement time series and, consequently, take into account nonstationarity of real natural processes. Examples of prediction of the simulated time series are presented to clarify the algorithms of data assimilation. The conclusion is drawn that systems modeling and adaptive prediction of random processes by the ABC-method show considerable promise. 2009 Article Ассимиляция данных наблюдений и адаптивный прогноз природных процессов / И.Е. Тимченко, Е.М. Игумнова // Морской гидрофизический журнал. — 2009. — № 6. — С. 47-70. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0233-7584 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105091 551.46.02 ru Морской гидрофизический журнал application/pdf Морський гідрофізичний інститут НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математическое моделирование морских систем Математическое моделирование морских систем
spellingShingle	Математическое моделирование морских систем Математическое моделирование морских систем Тимченко, И.Е. Игумнова, Е.М. Ассимиляция данных наблюдений и адаптивный прогноз природных процессов Морской гидрофизический журнал
description	Предложена динамическая модель для прогнозирования случайных составляющих природных процессов, основанная на системной концепции адаптивного баланса влияний – Adaptive Balance of Causes (АВС-модель). Модель содержит динамические уравнения для коэффициентов влияний, которые адаптируются к корреляционным связям прогнозируемого процесса. С целью уточнения прогнозов рассмотрены две возможные схемы ассимиляции данных наблюдений в уравнениях АВС-модели: Колмогорова и Калмана. Обе схемы ориентированы на использование выборочных коэффициентов корреляции при прогнозировании временных рядов наблюдений и, следовательно, учитывают нестационарность реальных природных процессов. Приводятся примеры прогнозирования имитированных временных рядов, поясняющие алгоритмы ассимиляции данных наблюдений. Делается вывод о перспективности системного моделирования и адаптивного прогноза случайных процессов АВС-методом.
format	Article
author	Тимченко, И.Е. Игумнова, Е.М.
author_facet	Тимченко, И.Е. Игумнова, Е.М.
author_sort	Тимченко, И.Е.
title	Ассимиляция данных наблюдений и адаптивный прогноз природных процессов
title_short	Ассимиляция данных наблюдений и адаптивный прогноз природных процессов
title_full	Ассимиляция данных наблюдений и адаптивный прогноз природных процессов
title_fullStr	Ассимиляция данных наблюдений и адаптивный прогноз природных процессов
title_full_unstemmed	Ассимиляция данных наблюдений и адаптивный прогноз природных процессов
title_sort	ассимиляция данных наблюдений и адаптивный прогноз природных процессов
publisher	Морський гідрофізичний інститут НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Математическое моделирование морских систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105091
citation_txt	Ассимиляция данных наблюдений и адаптивный прогноз природных процессов / И.Е. Тимченко, Е.М. Игумнова // Морской гидрофизический журнал. — 2009. — № 6. — С. 47-70. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
series	Морской гидрофизический журнал
work_keys_str_mv	AT timčenkoie assimilâciâdannyhnablûdenijiadaptivnyjprognozprirodnyhprocessov AT igumnovaem assimilâciâdannyhnablûdenijiadaptivnyjprognozprirodnyhprocessov
first_indexed	2025-11-27T19:59:30Z
last_indexed	2025-11-27T19:59:30Z
_version_	1849974929412325376
fulltext	ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 47 © И.Е Тимченко, Е.М. Игумнова, 2009 Математическое моделирование морских систем УДК 551.46.02 И.Е Тимченко, Е.М. Игумнова Ассимиляция данных наблюдений и адаптивный прогноз природных процессов Предложена динамическая модель для прогнозирования случайных составляющих при- родных процессов, основанная на системной концепции адаптивного баланса влияний – Adap- tive Balance of Causes (АВС-модель). Модель содержит динамические уравнения для коэффи- циентов влияний, которые адаптируются к корреляционным связям прогнозируемого процес- са. С целью уточнения прогнозов рассмотрены две возможные схемы ассимиляции данных наблюдений в уравнениях АВС-модели: Колмогорова и Калмана. Обе схемы ориентированы на использование выборочных коэффициентов корреляции при прогнозировании временных ря- дов наблюдений и, следовательно, учитывают нестационарность реальных природных процес- сов. Приводятся примеры прогнозирования имитированных временных рядов, поясняющие алгоритмы ассимиляции данных наблюдений. Делается вывод о перспективности системного моделирования и адаптивного прогноза случайных процессов АВС-методом. Введение. Создание динамических моделей природных процессов, кото- рые позволяют получать оценки этих процессов в будущие моменты време- ни, является одной из основных прикладных проблем геофизических иссле- дований. Природные процессы – сложные объекты моделирования, посколь- ку наряду с детерминированными составляющими в них, как правило, при- сутствуют случайные компоненты. Применение общих методов теории слу- чайных функций при построении прогностических моделей дает возмож- ность оценить статистику ошибок прогнозов по отношению к данным на- блюдений и использовать эту информацию для улучшения качества прогно- зов. На этом основана ассимиляция данных наблюдений [1,2] в моделях при- родных процессов, которая играет важную роль при построении сценариев развития процессов в интегральных эколого-экономических системах мор- ской среды [3, 4] и в природно-хозяйственных системах прибрежной зоны моря [5]. При интегральном описании морских систем используются наиболее распространенные прогностические модели, предложенные А.Н. Колмогоро- вым [6] и Р. Калманом [7]. В этих моделях будущие значения процесса фор- мируются его прошлыми значениями под влиянием корреляционных связей, которые предполагаются известными из наблюдений либо могут быть найде- ны из динамических уравнений, специально создаваемых для этой цели. Оп- тимальной по точности прогностической оценкой процесса является его среднее значение в будущий момент времени, условное по отношению к на- ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 48 блюдениям процесса в прошлом. Достаточно полный перечень задач, связан- ных с вероятностными алгоритмами ассимиляции данных океанологических наблюдений, можно найти в работах [8 – 13]. Наиболее реалистичной представляется модель случайной составляющей процесса с переменными статистическими связями между сечениями ансамб- ля реализаций. Для построения подобной модели необходимо перейти к вы- борочным корреляциям, зависящим от времени, что становится возможным при накоплении архивных данных наблюдений о реальной динамике природ- ного процесса и оперативной оценке коэффициентов корреляции. В этих ус- ловиях происходит непрерывная адаптация прогностических оценок к выбо- рочным или прогнозируемым коэффициентам корреляции. Для практической реализации этой идеи оказываются полезными сис- темные принципы моделирования природных процессов [14]. В основе сис- темной методологии моделирования лежит принцип адаптивного баланса влияний, согласно которому любая сложная система стремится к установле- нию динамического баланса с переменными внешними воздействиями, при- ложенными к этой системе. Будущие значения процесса формируются под воздействием внешних сил, уже оставивших следы своего влияния в данных наблюдений изменчивости процесса в прошлом. Поэтому будущие значения процесса можно рассматривать как результат адаптации к ожидаемым внеш- ним воздействиям на систему и к известным наблюдениям процесса в про- шлом. Заметим, что концепция влияния известных из прошлого данных наблю- дений случайного процесса на прогнозируемые будущие значения заключает в себе несколько иной смысл, чем концепция статистической зависимости между двумя соответствующими сечениями ансамбля реализаций, разнесен- ными по времени. Различие между влиянием и корреляцией такое же, как между физикой и математикой: влияние не может существовать вне времени, так как причина всегда предшествует следствию, тогда как корреляция – мгновенная фиксация того факта, что имеется (в среднем) сходство тенден- ций в изменчивости двух случайных величин. На этом соображении основан системный принцип адаптивного баланса влияний, который послужил отправным пунктом при создании одноименного метода моделирования причинно-следственных связей в сложных системах: АВС-метода [14]. Используя этот принцип в задаче прогнозирования природ- ных процессов, предполагают, что будущие значения процесса представляют собой результат адаптивной подстройки под систему влияний, исходящих из прошлого. Этим объясняются применяемые в данной работе термины «сис- темное моделирование» и «адаптивный прогноз». Принцип адаптивного баланса влияний позволяет построить общую про- гностическую модель для любых процессов. Поэтому с методической точки зрения целесообразно рассмотреть возможности системного моделирования природных процессов на имитированных временных рядах наблюдений, имеющих такие же корреляционные связи, какие отмечаются, например, в случайных флуктуациях возвышений уровня морской поверхности или в слу- чайных отклонениях температуры поверхности моря от известного суточного хода. ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 49 Системное моделирование природных процессов. Модель для прогно- за природных процессов должна учитывать в явном виде скорость их измене- ния. Универсальное правило построения формальных моделей динамических процессов было найдено И. Ньютоном: мгновенная скорость изменения лю- бого процесса есть некоторая функция от самого этого процесса и от прило- женных к нему внешних влияний. Поэтому динамическое уравнение для лю- бого природного процесса  tx , находящегося под действием внешнего влия- ния  ty , должно иметь следующий вид:  yxF dt dx , . (1) Все искусство моделирования состоит в том, чтобы, используя дополни- тельную информацию о рассматриваемом процессе, найти явный вид функ- ции  yxF , . Если допустить, что внешние влияния отсутствуют и выбрать наиболее простую зависимость   xxF  , то решением уравнения будет экс- поненциально растущая функция tCx e . Такой сценарий развития процесса объясняется наличием положительной обратной связи между скоростью из- менения процесса и самим процессом. Поскольку в данном случае они равны друг другу, с увеличением скорости растет значение процесса, что, в свою очередь, еще больше увеличивает его скорость и т.д. Если в качестве правой части уравнения (1) выбрать зависимость   xxF  , это уравнение дает при- мер отрицательной обратной связи: с ростом скорости процесса его значения будут убывать, и его сценарий с течением времени будет представлен неог- раниченно убывающей функцией tCx  e . Системный принцип адаптивного баланса влияний [14] постулирует су- ществование динамического равновесия в системе, которое должно быть обеспечено балансом положительных и отрицательных обратных связей. Применяя этот принцип, следует учесть в правой части уравнения (1) одно- временно обе зависимости x и x с некоторыми коэффициентами   xF  и   xF  , которые могут быть названы базовыми функциями влияния. Тогда уравнение процесса принимает вид      xxFxxF dt dx   . (2) Потребуем далее, чтобы с ростом x базовая функция   xF  монотонно убывала, а базовая функция   xF  монотонно росла. Для обеспечения обще- го баланса достаточно поставить дополнительное условие симметрии базо- вых функций влияния:       1  xFxF . (3) С учетом этого условия универсальное уравнение системной модели процесса x принимает следующую форму: ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 50    xFx dt dx  21 , (4) где   xF  – любая монотонно растущая функция. Выбор базовой функции влияния   xF  в уравнении (4) определяется исключительно удобством ма- тематического решения этого уравнения. Универсальный характер уравнения объясняется системным принципом баланса влияний, что подтверждает целе- сообразность использованного выше названия «системное моделирование». Таким образом, системное моделирование дает возможность получить неко- торую общую прогностическую модель природного процесса. Представляет интерес применить наиболее простую базовую функцию влияния, выбрав ее в виде    xxF  . Тогда уравнение (4) принимает форму нелинейного уравнения Бернулли )21( xx dt dx  . (5) Подобные уравнения (с учетом коэффициентов, уравнивающих размер- ности) широко используются для моделирования динамических процессов в естествознании. Например, в математической биологии одно их них известно как уравнение динамики популяции или уравнение логистического типа [15]. Общее решение этого уравнения получается в виде   txx x x - 00 0 e212   , (6) где через х0 обозначено начальное условие при t = 0. При любых положитель- ных х0 решение стремится к постоянному равновесному значению х = 0,5. Таким образом, процесс, представляемый уравнением (5), приходит в состоя- ние равновесия и находится в нем до тех пор, пока на него не будет оказано внешнее влияние. В АВС-методе было предложено учитывать внешние влияния путем до- бавления соответствующих функций в аргументы базовых функций влияния   xF  [12]. Рассмотрим в качестве примера формирование будущего значе- ния процесса ix под влиянием суммы 1n известных прошлых значений jy . Полагая, что каждое известное значение дает вклад, пропорциональный его величине, т.е. jijj xay  , получим                     jij n j ii i xaxFx dt dx 1 )(21 , ji  . (7) С учетом условия    xxF  система уравнений (7) принимает оконча- тельный вид прогностической АВС-модели для нахождения оценок будущих значений процесса ix : ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 51                    jij n j ii i xaxx dt dx 1 21 , ji  . (8) Как показывают исследования [3 – 5, 14, 16], АВС-модели вида (8) при правильном выборе коэффициентов влияний ija обладают быстрой сходимо- стью к стационарным решениям. В условиях изменяющихся внешних воздей- ствий jij xa происходит непрерывная подстройка решений под сумму этих воздействий, благодаря заложенной в модели системной концепции адаптив- ного баланса влияний. Поэтому принципиальное значение имеет объектив- ный выбор коэффициентов влияний ija . Роль внешних воздействий могут выполнять другие процессы, объеди- ненные с процессом ix в общую систему причинно-следственных связей и описывающие динамику природной среды. В этом случае уравнения (8) представляют собой динамическую модель природной среды, интегрально описывающую эволюцию ее состояний, представленных множеством про- цессов  ix . Адаптивный прогноз с использованием информации о статистиче- ских свойствах процесса в уравнениях АВС-модели. Коэффициенты влия- ний ija в уравнениях модели (8) могут быть идентифицированы при наличии временных рядов наблюдений за прогнозируемыми природными процессами, выполненных на протяжении некоторого времени и накопленных, например, в архивах. Для статистической оценки коэффициентов уравнений будем предполагать, что временные ряды наблюдений представляют собой случай- ные отклонения jx от известного среднего значения. Они вызывают откло- нения от этого среднего значения будущих значений процесса, которые яв- ляются следствием суммы влияний следующего вида:    n j jiji xax 1 , ji  . (9) Введем в рассмотрение коэффициенты взаимной корреляции отклонений  lkkl xxER  . (10) Умножая равенство (9) поочередно на kx , выполняя осреднение полу- ченных выражений и используя обозначения (10), получим             n k jkkiijjjij RaRRa 1 ,, 1 , ik  . (11) Выражение (11) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов влияний в уравнени- ях АВС-модели (8). Таким образом, при наличии архивных данных наблюде- ний для нахождения элементов корреляционной матрицы (10) оказывается ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 52 возможной объективная оценка коэффициентов влияний ija . Заметим, что уравнения для оценки коэффициентов влияний через коэффициенты корре- ляции совпадают по форме с известными уравнениями оптимальной интерпо- ляции стационарных случайных функций, полученными Колмогоровым [6]. В качестве примера использования модели (8) – (11) для прогнозирова- ния случайной составляющей природного процесса рассмотрим задачу оцен- ки будущих значений случайного временного ряда наблюдений. В проведен- ном вычислительном эксперименте были использованы отклонения от де- терминированной составляющей временного ряда, корреляционная функция которых показана на рис. 1, а. Условимся называть «отсчетами» значения от- клонений процесса от среднего значения, «точками отсчета» – моменты вре- мени выполнения наблюдений, а «шагами» по времени – временные интерва- лы между наблюдениями. Поставим задачу прогноза временного ряда откло- нений на 20 шагов вперед по 2, 3 и 4 известным отклонениям, измеренным через 20 шагов. Обоснованность использования подобного интервала между измерениями будет рассмотрена ниже. Для оценки коэффициентов влияний был выбран случайный временной ряд наблюдений, содержавший 1000 отсчетов, и рассчитана его корреляцион- ная матрица по значениям в 200 начальных точках ряда. Прогнозирование ряда выполнялось с 220-й точки отсчета, как показано на рис. 1, б. Точность прогнозирования характеризуют графики дисперсий ошибок прогнозов, вы- численные путем сравнения оценок, полученных по модели (8) – (11), с ис- тинными значениями ряда. На рис. 1, в эти графики показывают изменчи- вость выборочных дисперсий ошибок прогнозов по мере перемещения опе- рации прогнозирования вдоль ряда. Дисперсии рассчитывались путем осред- нения по 200 текущим точкам ряда и нормировались на выборочные диспер- сии истинных значений этого ряда. Рис. 2, а, б позволяют судить о качестве прогнозов, полученных в этом эксперименте. Точность прогнозирования оказалась различной по мере перемещения группы из четырех измерений вдоль имитированного ряда наблюдений. Если судить по средним вдоль всего ряда величинам относительных дисперсий ошибок, качество прогнозов по трем отсчетам заметно выше, чем по двум. Вместе с тем эффект от добавления данных еще одного (четвертого) измере- ния оказался не столь существенным. Постоянные коэффициенты влияний, идентифицированные с помощью системы уравнений Колмогорова (11), имели следующие значения: 12a = 0,15, 13a = 0,21, 14a = 0,5, 15a = 0,5. Судя по их величинам, основную роль в форми- ровании будущих значений процесса играли третье и четвертое измерения, в то время как наибольшие корреляционные связи с точками прогнозов имели первое и второе измерения. Объяснение этого эффекта, возможно, связано с тем, что в этом эксперименте были использованы постоянные выборочные коэффициенты корреляции, построенные по первым 200 точкам ряда. Поэто- му представляло интерес провести дальнейшие эксперименты с переменной вдоль всего ряда наблюдений матрицей выборочных коэффициентов корре- ляции. ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 53 50 100 150 200 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 а а 12 а 13 а 14 а 15 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 140 160 180 200 220 б 100 200 300 400 500 600 700 800 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 в 1 2 3 Р и с. 1. Постановка задачи прогнозирования: а – корреляционная функция прогнозируемого ряда наблюдений; б – положение точек измерений (черные) по отношению к точке прогноза (белая); в – дисперсии ошибок прогнозов, нормированные на дисперсию прогнозируемого ряда (осреднение по 200 точкам), при использовании данных измерений х1 и х2 (1), измерений х1, х2 и х3 (2), измерений х1, х2, х3 и х4 (3) ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 54 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 1 2 а 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 1 2 б Р и с. 2. Сопоставление прогнозов (1) с истинным процессом (2): а – прогноз по данным двух измерений на 20 шагов вперед с интервалом 20 шагов между измерениями; б – тот же прогноз по данным четырех измерений (см. рис. 1, б) Построение адаптивной прогностической модели с переменными ко- эффициентами влияний. Из общего алгоритма оценки коэффициентов влияний (11) следует, что они не зависят от данных наблюдений, используе- мых при прогнозе, так как определяются только значениями коэффициентов корреляции между точкой прогноза и точками измерений [17]. Если изменить схему расположения измерений, изменятся коэффициенты корреляции и, как следствие, изменятся весовые коэффициенты экстраполяции ряда наблюде- ний. Эту причинно-следственную зависимость можно выразить с помощью ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 55 метода адаптивного баланса влияний следующим образом. В соответствии с системой уравнений Колмогорова (11) коэффициенты влияний в уравнениях АВС-модели (8) подстраиваются под схему корреляционных связей, задан- ную выбором точек расположения измерений. Поэтому по отношению к ним может быть вновь применен системный принцип адаптивной подстройки под сумму внешних воздействий, в качестве которых теперь выступают коэффи- циенты корреляции, заданные выбором расположения точек измерений. Это дает основание для построения динамической АВС-модели коэффициентов влияний следующего вида [14, 16]:                             n k jkkiijjjijij ij RaRRaa dt da 1 ,, 1 21 , nji ,...,2,1,  , ik  . (12) Уравнения (12) позволяют прогнозировать коэффициенты влияний с ис- пользованием для этой цели корреляционной матрицы системы измерений jx и введением предположения о том, что коэффициенты корреляции сохра- няют свои значения на интервале времени прогноза будущих значений про- цесса ix . Здесь и в дальнейшем изложении мы опускаем штрихи в обозначе- ниях отклонений ix от среднего значения. Таким образом, уравнения (12) вводят переменные коэффициенты влия- ний в АВС-модель (8) и, следовательно, открывают возможность ассимили- ровать в модели информацию об изменчивости статистических связей между точкой прогноза и точками измерений. Иными словами, прогностическая мо- дель (8), (12) становится адаптивной, поскольку в ней используются выбо- рочные коэффициенты корреляции, учитывающие нестационарность случай- ных составляющих природных процессов, которая чаще всего имеет место на практике. Для того чтобы оценить роль переменных коэффициентов влияний при адаптивном прогнозе вероятностных процессов, были проведены вычис- лительные эксперименты, результаты которых приведены на рис. 3 и 4. Случайный ряд отклонений, изображенный на рис. 2, был использован дважды для прогноза его значений сначала на 40, а затем на 60 шагов вперед. Прогнозирование выполнялось на каждом шаге вычислений, начиная с 200-го отсчета. Для получения прогностических оценок были использованы четыре последовательных отсчета ряда, расположенных через 20 шагов. На каждом временном шаге рассчитывалась корреляционная матрица по 200 точкам ря- да, которые предшествовали группе из четырех измерений, используемых для прогнозов. Выборка из 200 отсчетов перемещалась вдоль ряда вместе с 4 отсчетами, по которым выполнялись прогнозы. Начальные 200 точек имити- ровали имеющиеся архивные данные. Последующие значения имитировали поступление новых данных наблюдений, которые пополняли архив для пере- счета матрицы выборочных корреляций на каждом шаге. Поэтому в первом эксперименте находились прогностические оценки в 240, 241, … , 900 точках ряда, а во втором – в 260, 261, … , 900 точках. ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 56 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 1 2 а 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 а12 а13 а14 а15 б 100 200 300 400 500 600 700 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 в Р и с. 3. Адаптивный прогноз на 40 шагов вперед: а – исходный ряд (1), прогноз (2); б – дина- мика коэффициентов влияний в процессе адаптации; в – дисперсия ошибки прогноза на 40 шагов вперед, нормированная на дисперсию прогнозируемого ряда (осреднение по 200 точкам) ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 57 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 1 2 а 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 б а12 а13 а14 а15 100 200 300 400 500 600 700 0.4 0.6 0.8 1.0 в Р и с. 4. Адаптивный прогноз на 60 шагов вперед: а – исходный ряд (1), прогноз (2); б – дина- мика коэффициентов влияний в процессе адаптации; в – дисперсия ошибки прогноза на 60 шагов вперед, нормированная на дисперсию прогнозируемого ряда (осреднение по 200 точкам) ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 58 На каждом шаге решалась следующая система уравнений с переменными коэффициентами влияний, которая вытекает из общей модели (8), (12):                     111 4 1 11 1 21 jj j xaxx dt dx ,                              4 2 2,11,112 1 221212 12 21 k kk RaRRaa dt da ,                                     4 2 1 3,11,113 1 331313 13 21 k k kk RaRRaa dt da , (13)                                     4 3 1 4,11,114 1 441414 14 21 k k kk RaRRaa dt da ,                                    3 1 5,11,115 1 551515 15 21 k kk RaRRaa dt da . Система уравнений АВС-модели (13) обеспечивает адаптацию коэффициен- тов влияний ija друг к другу и к переменным элементам корреляционной матрицы klR на каждом шаге вычислений. В свою очередь, переменные ко- эффициенты влияли на формирование прогностических оценок, получаемых по уравнению для х1, тем самым обеспечивая адаптивный прогноз процесса. Динамика адаптации коэффициентов влияний показана на рис. 3, б и 4, б. Из рисунков следует, что эти коэффициенты испытывали существенные из- менения, обусловленные нестационарностью выборочных коэффициентов корреляции. На каждом шаге прогнозирования происходило перераспределе- ние ролей каждого из четырех использованных измерений в формировании прогностической оценки процесса (см. рис. 1, а). Увеличение заблаговремен- ности прогноза на 20 шагов во втором эксперименте не привело к значитель- ным изменениям в графиках каждого из коэффициентов влияний. И в первом и во втором экспериментах наибольшее значение для формирования прогно- зов имел отсчет 2x , так как его коэффициент влияния принимал максималь- ные значения. Эти результаты позволяют предположить, что определяющую роль в формировании прогностической оценки играет не близость располо- жения точки измерения к точке прогноза, а совместный (эмерджентный [16]) эффект системы статистических связей, представляемых матрицей выбороч- ных корреляций. ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 59 Качественное сравнение прогнозов на 40 и 60 шагов с истинными значе- ниями процесса можно выполнить по их временным графикам, приведенным на рис.3, а и 4, а. Количественные оценки – выборочные дисперсии ошибок прогнозов, нормированные на соответствующие дисперсии исходного ряда, показывают заметное отличие в точности прогнозирования (см. рис. 3, в и 4, в). Если при прогнозе на 40 шагов эти оценки колеблются в интервале зна- чений 0,2 – 0,6, то при увеличении заблаговременности до 60 шагов они пе- ремещаются в интервал 0,5 – 0,9. Ассимиляция данных наблюдений по схеме оптимального фильтра Колмогорова. Последовательное прогнозирование случайной составляющей природного процесса в точки будущих наблюдений дает возможность с тече- нием времени накопить временные ряды ошибок или невязок прогнозов по отношению к данным наблюдений. Изучение статистики невязок позволяет использовать заключенную в них информацию для уточнения прогностиче- ских оценок процесса. Рассматривая невязки прогноза в точках наблюдений как «измерения» компоненты ошибок прогноза, можно выполнить прогноз их значений и добавить прогностические оценки невязок к прогностическим оценкам самого процесса. Эта операция ассимиляции данных наблюдений должна увеличивать точность прогностических оценок процесса за счет но- вой информации, содержащейся в измерениях невязок. Оптимальный прогноз невязок должен быть обеспечен корреляционной матрицей невязок. Естественно использовать при этом метод оптимальной интерполяции и назвать эту процедуру ассимиляцией данных наблюдений по схеме оптимального фильтра Колмогорова. В рассмотренном выше случае прогнозирования временного ряда на 40 шагов вперед по данным четырех измерений корреляционная матрица невязок прогнозов могла быть рассчита- на непосредственно по ряду наблюдений ошибок прогнозов, накопленному за некоторый период времени, например, за 200 шагов. Поэтому применение схемы Колмогорова, основанной на АВС-модели (13), не представляло труда. Поставим своей целью уточнить результаты прогнозирования путем ус- воения четырех невязок прогнозов, которые появлялись в точках отсчетов (см. рис. 1, б) всякий раз, когда наступал момент времени прогноза. Корреля- ционная функция ряда невязок прогнозов, рассчитанная по первым 200 точ- кам ряда, показана на рис. 5, а. Как видно из этого рисунка, интервал корре- ляции ряда невязок оказался существенно короче, чем у исходного ряда (см. рис. 1, а), так как первое пересечение нулевой отметки сместилось с 90-го на 22-й шаг по времени. С учетом установленного интервала прогнозирования на 40 шагов вперед было необходимо увеличить интервал корреляции невя- зок с тем, чтобы его величина превышала интервал прогнозирования. С этой целью к ряду невязок прогнозов была применена операция скользящего ос- реднения [17] по 250 точкам. Эта операция увеличила интервал корреляции ряда невязок, так как первое пересечение нуля графиком корреляционной функции сместилось на 57-й шаг по времени (см. рис. 5, а). ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 60 25 50 75 100 125 150 175 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1 2 3 а 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 3 2 1 б Р и с. 5. Статистические характеристики временных рядов наблюдений: а – корреляционные функции исходного ряда (1), невязок прогнозов до предварительной фильтрации (2), невязок прогнозов после предварительной фильтрации (3); б – спектральные плотности исходного ряда (1), невязок прогнозов до предварительной фильтрации (2), невязок прогнозов после предвари- тельной фильтрации (3), (масштаб по горизонтальной оси 5 · 10-3 безразмерных единиц) Как известно, точность прогнозирования случайных процессов зависит не только от того, насколько интервал корреляции ряда превышает заблаго- временность прогноза, но и от правильного выбора интервалов между изме- рениями, используемыми в прогнозах. В соответствии с теоремой Котельни- кова – Шеннона [18] для каждого случайного процесса существует некоторая ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 61 верхняя граничная частота c соответствующей ему функции спектральной плотности )(S , с которой связан максимальный допустимый интервал меж- ду отсчетами процесса optt . Увеличение интервала между измерениями сверх этого значения приводит к появлению среднеквадратичной ошибки прогнозов )( c . Ее среднее значение может быть оценено по формуле   dS c c )()(    . (14) Заметим, что для уточнения прогнозов путем ассимиляции данных на- блюдений в этом случае необходимо выполнить операцию предварительной фильтрации (префильтрации [8 – 10, 18]) невязок прогнозов, смысл которой заключается в сглаживании ряда невязок и приведении верхней граничной частоты спектральной плотности этого ряда в соответствие с выбранным ин- тервалом между отсчетами. Для того чтобы убедиться в правильности выбранного выше интервала в 20 шагов по времени между отсчетами исходного ряда, а также ряда невязок, достаточно построить кривые спектральных плотностей для соответствую- щих корреляционных функций. Так как корреляционные функции, изобра- женные на рис. 5, а, относятся к типу экспоненциально-косинусных, все они могут быть аппроксимированы зависимостями вида:   cose)( R . (15) Оценка параметров в формуле (15) методом наименьших квадратов дала следующие результаты: для корреляционной функции исходного ряда 1 = = 0,01, 1 = 0,03; для ряда невязок прогнозов 2 = 0,15, 2 = 0,08; для сгла- женного ряда невязок 3 = 0,05, 3 = 0,018. Выполняя преобразование Фурье от корреляционной функции (15), мож- но получить выражение для спектральных плотностей рассматриваемых вре- менных рядов:           2222 )()(2 1 )(      S . (16) Построенные по этой формуле графики спектральных плотностей приве- дены на рис. 5, б. По этому рисунку несложно найти безразмерные оценки ci ·5 · 10 -3 – верхних граничных частот спектров: для исходного ряда 1c = = 15, для невязок прогнозов 2c = 40 и для сглаженных невязок прогнозов 3c = 20. По теореме Котельникова – Шеннона интервалы между измерениями процесса, которые используются для восстановления значений этого процес- са в произвольной точке, не должны превышать величину optt , которая мо- жет быть определена по формуле: ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 62  22  coptt . Поэтому для исходного ряда 1optt = 42 шага по времени, для ряда невязок 2optt = 16 шагов, а для сглаженного ряда невязок 3optt = 31 шаг. Выбранный для прогноза интервал между отсчетами исходного ряда составлял 20 шагов и, следовательно, был меньше предельно допустимого. Однако для ряда невя- зок он превысил предельно допустимую величину 16 шагов. Поэтому была выполнена префильтрация ряда невязок, которая увеличила предельно допус- тимую величину интервала между невязками до значения в 31 шаг. Для реализации алгоритма фильтра Колмогорова на каждом шаге про- гнозирования по системе уравнений (13) рассчитывалась корреляционная матрица невязок прогнозов  ijP . Ее элементы существенным образом меня- лись во времени, о чем можно судить по рис. 6, а, на котором показаны вре- менные графики весовых коэффициентов ассимиляции данных наблюдений. Р и с. 6. Общие характеристики прогнозов: а – динамика весовых коэффициентов ассимиля- ции данных наблюдений; б – динамика среднеквадратичных ошибок прогнозов до ассимиля- ции (1) и после ассимиляции (2) ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 63 Все весовые коэффициенты усвоения невязок прогнозов, за исключением коэффициента g13, демонстрируют значительную изменчивость, обусловленную изменениями выборочных коэффициентов корреляции. Взвешивание с этими коэффициентами четырех усваиваемых невязок прогнозов позволило выполнить оптимальный прогноз невязок на 40 шагов вперед. На рис. 6, б среднеквадратич- ные ошибки прогнозов с усвоением данных по схеме фильтра Колмогорова со- поставлены с ошибками прогнозов без усвоения данных. Из этого рисунка сле- дует, что весовые коэффициенты ассимиляции, несмотря на внешне неупорядо- ченный временной ход, в каждый отдельный момент времени были достаточно хорошо согласованы между собой, что и привело к уточнению прогнозов. Ассимиляция данных наблюдений по схеме оптимального фильтра Калмана. Рассмотрим теперь общий случай, когда информации о фактиче- ских ошибках прогнозов недостаточно для непосредственной оценки элемен- тов корреляционной матрицы невязок по ряду наблюдений. Выход из подоб- ного положения был найден Р. Калманом [7], который предложил строить прогностические модели для оценки элементов корреляционной матрицы не- вязок прогнозов, используя для этой цели динамическую модель исходного процесса. В этом заключается смысл известного фильтра Калмана, который широко применяется в приложениях [2, 8 – 13]. Обозначим через jz невязки прогнозов в точках jt , а весовые коэффици- енты, с которыми они должны быть добавлены к прогнозу процесса в момент времени it , – через ijg . Для коэффициентов корреляции ряда невязок в точках it и jt будем снова использовать обозначение ijP . Предположим далее, что для прогноза в точку it используется in отсчетов поля, а для прогноза в точку jt используется jn отсчетов. Чтобы уточнить прогноз в точке it производится ассимиляция данных наблюдений в m точках, предшествующих этой точке. Тогда на основе прогностической модели процесса (8), (12) может быть построена следующая динамическая АВС-модель ассимиляции данных на- блюдений в m точках, реализующая фильтр Калмана через прогнозирование элементов корреляционной матрицы невязок прогнозов в этих точках:                     i jji n k n l kljlikiljl n l jkik n k ijijij ij RaaRaRaRPP dt dP 1 111 21 , nji ,...,2,1,  , ik  , lj  , (17)                             m k kjikijjjijij ij PgPPgg dt dg 1 1 21 , mji ,...,2,1,  , ij  , ik  , (18)                  m l lili opt i opt i opt i zgxxx dt dx 1 )(21 , ni ,...,2,1 , il  , (19) ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 64                           jkjk m j ikikik ik PgPPP dt Pd 1 21 , mki ,...,2,1,  , jk  . (20) Поясним последовательность операций при ассимиляция данных наблю- дений по схеме фильтра Калмана в АВС-модели (13), (17) – (20). 1. По известной из анализа архивных данных корреляционной матрице  ijR процесса x , которая связывает точку прогноза it с точками наблюдений jt , из сис- темы уравнений (12) находятся коэффициенты влияний ija , а из уравнений (8) вы- числяется адаптивная прогностическая оценка ix в будущий момент времени. 2. АВС-модель коэффициентов влияний (12) и корреляционная матрица  ijR используются для прогноза элементов корреляционной матрицы  ijP отклонений прогностических оценок процесса от данных наблюдений – невя- зок прогнозов процесса. Этой цели служат адаптационные уравнения (17), которые обеспечивают подстройку будущих значений матрицы  ijP под зна- чения элементов матрицы  ijR . 3. С помощью полученной корреляционной матрицы  ijP для намечен- ной к ассимиляции группы данных наблюдений (невязок прогнозов) по сис- теме уравнений (18) вычисляются коэффициенты ассимиляции ijg . 4. Из уравнения (19) получается оптимальная прогностическая оценка процесса opt ix в будущий момент времени it , адаптированная к n наблюде- ниям процесса в прошлом и улучшенная путем ассимиляции m данных на- блюдений ошибок (невязок) прогнозов в предшествующие моменты времени. 5. С помощью уравнений (20) корректируются прогностические оценки корреляционной матрицы  ijP , которые затем могут быть использованы на следующем этапе ассимиляции данных. При ki  эти же уравнения позво- ляют оценивать погрешности ассимиляции данных, связанные в выбором ко- эффициентов ассимиляции ijg . Рассмотрим пример ассимиляции данных наблюдений по приведенной выше схеме фильтра Калмана в варианте прогноза процесса на 40 шагов впе- ред по данным четырех точек измерений, отстоящих друг от друга на 20 ша- гов. В целях упрощения примем, что для уточнения прогнозов должны быть использованы только две текущих невязки прогнозов: во второй и третьей точках (см. рис. 1, б). Адаптивный прогноз с ассимиляцией данных двух предшествующих прогнозу наблюдений дает уравнение (19):   )(21 313212111 1 zgzgxxx dt dx optopt opt  . (21) Весовые коэффициенты ассимиляции 12g и 13g должны удовлетворять сис- теме уравнений (18), которая в данном случае сводится к виду: ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 65    321312 1 221212 12 21 PgPPgg dt dg   , (22)    231213 1 331313 13 21 PgPPgg dt dg   . Коэффициенты взаимной корреляции невязок прогнозов, необходимые для решения этой системы уравнений, находим из адаптационных АВС-уравне- ний (17) следующего вида: )]}()([21{ 33233213232322121323121212 12 RaRaRaRaRaRPP dt dP  , )]}()([21{ 32323313223223121232131313 13 RaRaRaRaRaRPP dt dP  , )]}([21{ 232322323323323232 32 RaRaRaRPP dt dP  , (23) )]}2([21{ 33232323222222 22 RaRaRPP dt dP  , )]}2([21{ 22323232333333 33 RaRaRPP dt dP  . Для нахождения прогностических оценок коэффициентов корреляции из сис- темы уравнений (23) должна быть построена еще одна система уравнений, позволяющая адаптировать коэффициенты влияний ija к выборочным коэф- фициентам корреляции исходного временного ряда. С учетом схемы ассими- ляции данных двух текущих наблюдений, которые предшествуют прогнозам, система АВС-уравнений для коэффициентов влияний принимает вид:   )((21 321312 1 221212 12 RaRRaa dt da   ,   )((21 231213 1 331313 13 RaRRaa dt da   ,   )((21 132123 1 332323 23 RaRRaa dt da   , (24)   )((21 312321 1 112121 21 RaRRaa dt da   ,   )((21 213132 1 223232 32 RaRRaa dt da   . Таким образом, системы уравнений (21) – (24) образуют адаптивную прогно- стическую модель фильтра Калмана, построенную АВС-методом. ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 66 Результаты применения этого алгоритма ассимиляции данных наблюде- ний показаны на рис. 7 и 8. 100 200 300 400 500 600 700 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 a12 a13 a23 а 100 200 300 400 500 600 700 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 a21 a31 a32 б 100 200 300 400 500 600 700 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P12 P13 P32 P22 P33 в Р и с. 7. Изменчивость коэффициентов влияний (а, б) и результаты прогнозирования элемен- тов корреляционной матрицы ряда невязок прогнозов (в) ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 67 100 200 300 400 500 600 700 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 g12 g13 а 100 200 300 400 500 600 700 800 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 1 2 б 100 200 300 400 500 600 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 2 3 в Р и с. 8. Результаты ассимиляции данных наблюдений: а – изменчивость весовых коэффици- ентов ассимиляции g12, g13; б – исходный ряд наблюдений (1), прогноз на 40 шагов вперед по четырем отсчетам ряда с усвоением ближайших двух отсчетов (2); в – среднеквадратичная ошибка прогноза исходного ряда на 40 шагов вперед по четырем отсчетам ряда без ассимиля- ции данных наблюдений (1), того же прогноза с ассимиляцией данных четырех наблюдений по схеме фильтра Колмогорова (2), того же прогноза с ассимиляцией данных двух наблюдений по схеме фильтра Калмана (3) ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 68 Рис. 7, а и б дают представление о заметной изменчивости всех коэффи- циентов влияний а12, а13, а23, а21, а32 в процессе перемещения вдоль ряда на- блюдений группы отсчетов, используемых при прогнозировании значений этого ряда. На рис. 7, в приведены результаты прогнозирования элементов корреляционной матрицы ряда невязок прогнозов Р12, Р13, Р32, Р22, Р33. Как следует из этого рисунка, коэффициенты корреляции невязок прогнозов име- ли общую тенденцию к убыванию по величине по мере увеличения количест- ва ассимилированных данных наблюдений. Результаты ассимиляции иллюстрируют графики процессов, изображен- ные на рис. 8. Весовые коэффициенты ассимиляции данных наблюдений 12g и 13g , показанные на рис. 8, а, имели существенную изменчивость вдоль временного ряда невязок прогнозов. Добавление к прогнозу процесса двух невязок с этими коэффициентами привело к некоторому улучшению прогно- стических оценок. Достигнутую итоговую точность прогнозов с ассимиляци- ей данных характеризуют рис.8, б и в. Первый их них дает качественное представление о результатах прогнозирования процесса на 40 шагов вперед с ассимиляцией данных двух наблюдений, второй – показывает, насколько уменьшилась выборочная среднеквадратичная ошибка прогнозов при усвое- нии данных двух наблюдений по схеме фильтра Калмана. Наилучшим из выполненных вариантов прогнозирования оказался про- гноз с усвоением данных четырех измерений по схеме Колмогорова с исполь- зованием переменных (выборочных) коэффициентов корреляции ряда на- блюдений. Несколько меньшей оказалась точность прогнозирования по схеме фильтра Калмана с ассимиляцией данных двух измерений. Заметим, однако, что в последнем случае корреляционная функция ряда невязок прогнозов рассчитывалась по модели и усваивались данные только двух измерений процесса вместо четырех. Заключение. Прогнозирование природных процессов состоит в оценке их будущих значений с помощью модели, в которой используется конкретная информация о прошлом поведении процесса, заключенная в данных его из- мерений, а также информация о динамике процесса и об ожидаемых условиях протекания процесса в будущем. Системное моделирование природных про- цессов дает возможность строить их динамические модели, используя общий метод адаптивного баланса влияний (АВС-метод). Для процессов, имеющих случайный характер изменчивости, уравнения АВС-метода позволяют приме- нить метод оптимальной фильтрации Колмогорова для получения наиболее точных прогностических оценок. Повышение точности достигается за счет адаптации будущих значений процесса к прогнозируемым статистическим связям между прошлыми и будущими значениями процесса. Особенностью применения оптимальной фильтрации Колмогорова в АВС-моделях является динамическая модель (12), которая вводит перемен- ные коэффициенты влияний в уравнения АВС-метода и таким путем обеспе- чивает адаптацию прогнозов к динамике выборочных статистических связей процессов. В проведенных вычислительных экспериментах переменные ко- эффициенты влияний в АВС-модели (8) позволили ассимилировать в этой модели информацию об изменчивости статистических связей между точкой ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 69 прогноза и точками измерений, что привело к повышению качества прогно- зирования. Результаты экспериментов позволяют сделать следующие общие выводы. 1. Системное моделирование природных процессов, имеющих случай- ный характер изменчивости, позволяет создавать практические схемы асси- миляции данных наблюдений, основанные на оптимальных методах фильт- рации Колмогорова и Калмана. Теоретически эти методы обеспечивают наи- лучшую точность прогнозирования случайных процессов при условии из- вестных из наблюдений или из модельных расчетов корреляционных матриц процессов. 2. АВС-модель (8), (12) может быть успешно применена для прогноза процессов с ассимиляцией данных наблюдений по схеме оптимального фильтра Колмогорова, когда имеется возможность вычислять выборочные коэффициенты корреляции самого процесса и ряда невязок прогнозов непо- средственно по наблюдениям. 3. АВС-модель (8), (12), (17) – (20) позволяет прогнозировать процессы с усвоением одиночных измерений, когда отсутствует возможность непосред- ственной оценки коэффициентов корреляции невязок прогнозов и статистика невязок вычисляется по динамической модели (12), (17). Полученные результаты применимы к системам взаимосвязанных про- цессов, развивающихся в интегральных моделях природной среды. Они мо- гут быть распространены также на случаи ассимиляции данных наблюдений в узлах сеточной области, которая обычно производится при четырехмерном анализе полей океана и атмосферы. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Беляев В.И., Тимченко И.Е. О применении объективного и четырехмерного анализа в океанографии // Морские гидрофизические исследования. – Севастополь: МГИ АН УССР, 1972. – № 2(58). – С. 80 – 92. 2. Тимченко И.Е. Прогнозирование гидрофизических процессов на основе фильтра Калмана // Там же. – Севастополь: МГИ АН УССР, 1973. – № 1(60). – С. 99 – 109. 3. Игумнова Е.М., Тимченко И.Е. Моделирование процессов адаптации в экосистемах// Морской гидрофизический журнал. – 2003. – № 1. – С. 46 – 57. 4. Еремеев В.Н., Игумнова Е.М., Тимченко И.Е. Моделирование эколого-экономических систем. – Севастополь: НПЦ «ЭКОСИ-Гидрофизика», 2004. – 320 с. 5. Иванов В.А., Игумнова Е.М., Латун В.С., Тимченко И.Е. Модели управления ресурсами прибрежной зоны моря. – Севастополь: НПЦ «ЭКОСИ-Гидрофизика», 2007. – 258 с. 6. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных по- следовательностей // Изв. АН СССР. Серия матем. – 1941. – 5. – С. 3 –13. 7. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // J. Basic Engen. – Trans. of ASME. – 1960. – March. – P. 35 – 45. 8. Timchenko I.E. Stochastic Modeling of Ocean Dynamics. – Chur – London –Paris –New-York: Harwood Acad. Publ., 1984. – 320 p. 9. Кочергин В.П., Тимченко И.Е. Мониторинг гидрофизических полей океана. – Л.: Гидро- метеоиздат, 1987. – 280 с. ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 6 70 10. Тимченко И.Е. Системные методы в гидрофизике океана. – Киев: Наук. думка, 1988. – 180 с. 11. Modern Approaches to Data Assimilation in Ocean Modeling / Ed. P. Malanotte-Rizzoli // Else- vier Oceanography Series. – 1996. – 455 p. 12. Robinson A.R., Lermusiaux P.F.J. Overview of data assimilation // Harvard Rep. Phys. Interdiscip. Ocean Sci. – Cambridge, Massachusetts: Harvard University. – 2000. – № 62. – 28 р. 13. Коротаев Г.К., Еремеев В.Н. Введение в оперативную океанографию Черного моря. – Севастополь: НПЦ «ЭКОСИ-Гидрофизика», 2006. – 382 с. 14. Тимченко И.Е., Игумнова Е.М., Тимченко И.И. Системный менеджмент и АВС-техноло- гии устойчивого развития. – Севастополь: НПЦ «ЭКОСИ-Гидрофизика», 2000. – 225 с. 15. Математические модели в биологической океанографии / Под ред. Т. Платта, К.Х. Ман- на, Р.Е. Улановича. – Париж: Изд-во ЮНЕСКО, 1984. – 195 с. 16. Тимченко И.И., Игумнова Е.М., Тимченко И.Е. Образование и устойчивое развитие. Сис- темная методология. – Севастополь: НПЦ «ЭКОСИ-Гидрофизика», 2004. – 527 с. 17. Яглом А.М. Корреляционная теория стационарных случайных функций. – Л.: Гидроме- теоиздат, 1981. – 280 с. 18. Petersen D., Middlton D. Sampling and reconstruction of wave-number-limited functions in N- dimensional Euclidean spaces // Inform. and Contr. – 1962. – 5. – P. 81 – 104. Морской гидрофизический институт НАН Украины, Материал поступил Севастополь в редакцию 10.07.08 После доработки 07.08.08 ABSTRACT Dynamic model for predicting random components of natural processes based on the systems conception of Adaptive Balance of Causes (ABC-model) is proposed. The model contains dynamic equations for cause coefficients which adapt themselves to correlation dependences of the forecasted process. To improve prediction accuracy, two possible schemes of data assimilation in the ABC-model equations, namely Kolmogorov and Kalman ones, are considered. Both of them are sup- posed to use sample correlation coefficients in prediction of measurement time series and, conse- quently, take into account non-stationarity of real natural processes. Examples of prediction of the simulated time series are presented to clarify the algorithms of data assimilation. The conclusion is drawn that systems modeling and adaptive prediction of random processes by the ABC-method show considerable promise.

Ассимиляция данных наблюдений и адаптивный прогноз природных процессов

Institution

Ähnliche Einträge