О реконструкции изображения объекта по модулю его Фурье-образа

Путём машинного эксперимента исследована сходимость итерационного процесса, предложенного ранее для реконструкции изображения объекта конечных размеров по квадрату модуля его фурье-образа. Подтверждена хорошая сходимость процесса к правильному результату из некоторой его окрестности в пространстве и...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автори:	Корниенко, Ю.В., Скуратовский, С.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2008
Теми:	Прикладная радиофизика
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10562
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О реконструкции изображения объекта по модулю его Фурье-образа / Ю.В. Корниенко, С.И. Скуратовский // Радіофізика та електроніка. — 2008. — Т. 13, № 1. — С. 130-141. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859610965440462848
author	Корниенко, Ю.В. Скуратовский, С.И.
author_facet	Корниенко, Ю.В. Скуратовский, С.И.
citation_txt	О реконструкции изображения объекта по модулю его Фурье-образа / Ю.В. Корниенко, С.И. Скуратовский // Радіофізика та електроніка. — 2008. — Т. 13, № 1. — С. 130-141. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	Путём машинного эксперимента исследована сходимость итерационного процесса, предложенного ранее для реконструкции изображения объекта конечных размеров по квадрату модуля его фурье-образа. Подтверждена хорошая сходимость процесса к правильному результату из некоторой его окрестности в пространстве изображений и возможность сходимости к неправильному результату (так называемой ловушке) при произвольном выборе начального приближения. Установлен дискретный характер множества таких ловушек. Исследована зависимость предела, к которому сходится итерационный процесс, от начального приближения и установлен фракталоподобный характер этой зависимости. Исследована вероятность правильного восстановления изображения при случайном выборе начального приближения. Полученные результаты проиллюстрированы графиками, полутоновыми изображениями и цветными картами. Шляхом машинного експерименту досліджено збіжншсть ітераційного процесу, який було запропоновано раніше для реконструкції зображення об’єкту кінцевих розмірів за квадратом модуля його фур’є-образу. Підтверджено добру збіжність процесу до правильного результату із деякого його околу у просторі зображень та можливість збіжності до неправильного результату (так званої пастки) при вільному виборі початкового наближення. Установлено дискретний характер множини таких пасток. Досліджено залежність границі, до якої сходиться ітераційний процес, від початкового наближення та встановлено фракталоподібний характер цієї залежності. Досліджено ймовірність правильного відновлення зображення при випадковому виборі початкового наближення. Одержані результати проілюстровано графіками, напівтоновими зображеннями та кольоровими картами. The iterative reconstruction procedure proposed before for the object of limited size was investigated by means of com-puter experiment. Good convergence to the correct result from some its neighborhood was confirmed, and the possibility of convergence to a wrong result (called ‘trap’), while a random initial approximation was selected, was shown. A discrete nature of such traps set was established. Fractal-like dependence was found of the process convergence limit on the initial approximation. Probability of correct image reconstruction under random initial approximation was estimated. The obtained results are illustrated with graphics, half-tone images and color maps.
first_indexed	2025-11-28T12:00:44Z
format	Article
fulltext	__________ ISSN 1028-821X Радиофизика и электроника, том 13, №1, 2008, с. 130-141 © ИРЭ НАН Украины, 2008 УДК 535.39:531.715.1 О РЕКОНСТРУКЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЯ ОБЪЕКТА ПО МОДУЛЮ ЕГО ФУРЬЕ-ОБРАЗА Ю. В. Корниенко, С. И. Скуратовский Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины, 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: kornienko@ire.kharkov.ua Путѐм машинного эксперимента исследована сходимость итерационного процесса, предложенного ранее для реконст- рукции изображения объекта конечных размеров по квадрату модуля его фурье-образа. Подтверждена хорошая сходимость про- цесса к правильному результату из некоторой его окрестности в пространстве изображений и возможность сходимости к непра- вильному результату (так называемой ловушке) при произвольном выборе начального приближения. Установлен дискретный ха- рактер множества таких ловушек. Исследована зависимость предела, к которому сходится итерационный процесс, от начального приближения и установлен фракталоподобный характер этой зависимости. Исследована вероятность правильного восстановления изображения при случайном выборе начального приближения. Полученные результаты проиллюстрированы графиками, полутоно- выми изображениями и цветными картами. Ил. 4. Библиогр.: 18 назв. Ключевые слова: видение сквозь турбулентную атмосферу, спекл-интерферометрия, фазовая проблема, восстановление изображения по спектру. При наблюдении объекта сквозь среду со случайными неоднородностями показателя преломления возникают искажения фазового фронта приходящей от объекта волны, которые вызывают искажения фурье-компонент изобра- жения, причѐм преимущественно их фаз. Это приводит к замытию изображения, т. е. к сниже- нию его чѐткости. Такой эффект можно видеть, например, в длинноволновой радиоастрономии (из-за неоднородностей в ионосфере), в оптиче- ской астрономии (из-за неоднородностей в ниж- ней тропосфере) или при наблюдении подводно- го объекта с помощью ультразвука (из-за неод- нородностей температуры воды). Усреднение получаемого изображения по большой серии реализаций случайного поля неоднородностей может позволить записать связь между зареги- стрированным и истинным изображениями в виде уравнения Фредгольма [1], что позволяет сформулировать и решить задачу оптимальной статистической оценки истинного изображения [2-4]. В простейшем случае это приводит к ши- роко известному винеровскому фильтру [5]. Од- нако при реальных значениях отношения сиг- нал - шум такая процедура приводит к подавле- нию высших пространственных частот, в ре- зультате чего чѐткость восстановленного изо- бражения часто оказывается намного ниже наи- большей возможной при данных размерах апер- туры приѐмного устройства. В частности, при наблюдении астрономического объекта в види- мой области спектра с помощью крупного теле- скопа его разрешающая способность под влия- нием атмосферы снижается в десятки раз по сравнению с дифракционным пределом. Это обстоятельство побудило исследовате- лей заняться поиском других, более эффективных способов накопления сигнала. Среди них наибо- лее естественным, с одной стороны, и продуктив- ным, с другой, оказался метод Лабейри [6] (спекл-интерферометрия). В этом случае изобра- жения, полученные при разных реализациях поля неоднородностей, не суммируются, а подверга- ются преобразованию Фурье, после чего сумми- руются квадраты модулей их фурье-образов. Ко- нечным результатом применения этого метода оказывается энергетический спектр истинного изображения объекта, полученный с дифракци- онным разрешением телескопа. По этому спектру можно построить автосвѐртку изображения объ- екта с полным разрешением, доступным телеско- пу, что в случае простых объектов позволяет оп- ределить их параметры (угловой диаметр звезды, угловые расстояния между компонентами крат- ной звезды и т. д.). Однако в общем случае изо- бражение объекта этим способом получить нель- зя, так как информация о фазах фурье-компонент оказывается полностью потерянной. Возникает вопрос: при каких дополнительных условиях по энергетическому спектру можно было бы восста- новить изображение объекта? Один из вариантов ответа был получен в работе [7] – восстановить изображение можно, если в состав объекта входит точечный источник достаточной интенсивности. Там же описана и процедура такого восстановления. Однако вопрос не был исчерпан, так как оставалось неясным, является ли это условие необходимым. В работе [8] было показано, что восстановление изображе- ния по спектру возможно при значительно более слабом условии: достаточно, чтобы яркость объ- екта была отлична от нуля только в ограниченной области на плоскости. Это утверждение анало- гично соотношениям Крамерса-Кронига в элек- тродинамике, вытекающим из принципа причин- ности. Однако условие конечности объекта явля- ется более сильным, чем принцип причинности, поскольку объект ограничен со всех сторон, а mailto:kornienko@ire.kharkov.ua Ю. В. Корниенко и др. / О реконструкции изображения объекта… _________________________________________________________________________________________________________________ 131 ядро, описывающее отклик системы на воздейст- вие, ограничено только с одной стороны – со сто- роны прошлого. В той же работе [8] был предложен ите- рационный алгоритм реконструкции изображения по спектру. Предлагалось на каждом шаге итера- ционного процесса выполнять коррекцию рекон- струируемого изображения в два этапа: сначала спектральную, а затем пространственную. При спектральной коррекции модули фурье- компонент приравниваются заданным значениям при сохранении их фаз. При пространственной коррекции значение яркости за пределами объек- та приравнивается нулю. Там же были приведены соображения в пользу того, что при достаточно малом отличии нулевого приближения от истин- ного изображения процесс должен сходиться (приблизительно по закону геометрической про- грессии). Практическая проверка алгоритма на мо- дельных изображениях [9] полностью подтверди- ла выводы работы [8]. Позже они были подтвер- ждены в работе [10]. Однако ряд существенных вопросов, связанных с реконструкцией изображе- ния по его спектру, оставался невыясненным. Первым из них был такой: является ли предел, к которому сходится результат итерационного про- цесса, единственным? Дело в том, что положение работы [8] о сходимости процесса относится лишь к случаю, когда отличие изображения в ну- левом приближении от истинного (искомого) изображения достаточно мало. Этот факт сходи- мости имеет большое принципиальное значение. Однако для практики важен вопрос о судьбе ите- рационного процесса при разных начальных при- ближениях, не обязательно близких к искомому изображению. Предварительные исследования этого вопроса, выполненные разными автора- ми [11, 12], дают на него неблагоприятный ответ. Это ставит под сомнение практическую ценность идеи о реконструкции изображения объекта по результатам спекл-интерферометрии. С тех пор прошло много времени. Поя- вился ряд новых идей, как преодолеть мешающее влияние атмосферных неоднородностей, от адап- тивной оптики [13-16] до интерферометрического формирования изображений [17]. Однако вопрос об оптимальной обработке последовательности мгновенных изображений, частичным решением которого является спекл-интерферометрия, в це- лом до сих пор так и не решѐн. Он требует даль- нейших исследований. В частности, требует к себе внимания вопрос об эффективности проце- дуры восстановления изображения по спектру, еѐ реальных возможностях и путях еѐ дальнейшего усовершенствования. Эти исследования были начаты в ИРЭ АН УССР ещѐ в 1978 г. при уча- стии Д. Г. Станкевича [9]. Однако вычислитель- ный потенциал, доступный в то время, не позво- лял развернуть их в должной мере. Современная вычислительная техника открывает более широ- кие возможности для таких исследований, что позволяет надеяться на дальнейшее продвижение вперѐд в этой области. Начинать этот новый этап исследований следует с более детального изучения особенно- стей поведения этой итерационной процедуры в отсутствие шума регистрации при разных на- чальных приближениях. Этому вопросу и посвя- щена данная статья. 1. Формулировка задачи восстановле- ния изображения по его пространственному спектру. Пусть yxJ ,0 - функция, описываю- щая зависимость яркости объекта от координат x , y на плоскости, определѐнная на всей плос- кости и отличная от нуля только внутри некото- рого квадрата C со стороной l. Наблюдение объ- екта производится с помощью телескопа с конеч- ной апертурной, и поэтому поставляет информа- цию о фурье-образе yx kkJ , ~ 0 функции yxJ ,0 только в пределах некоторого квадрата K со cтороной 2 a в частотной плоскости с координа- тами kx, ky. Функцию яркости, в фурье-образе которой присутствуют только эти частоты, обо- значим через J(x, y). Это так называемое дифрак- ционно ограниченное изображение объекта, реа- лизующее дифракционный предел разрешения данного телескопа. В силу теоремы Найквиста- Котельникова это приводит к тому, что функция J(x, y) полностью определяется своими значе- ниями в узлах решѐтки с шагом 1/2a. Поэтому функцию J(x, y) можно без потери информации представить массивом J из N = n×n еѐ значений в узлах решѐтки, где n не должно быть меньше, чем 2a. С другой стороны, исходя из тех же сообра- жений применительно к функции yx kkI , ~ , еѐ можно представить аналогичным массивом того же размера I ~ . Эти массивы преобразуются друг в друга с помощью процедуры дискретного пре- образования Фурье. Таким образом, при практи- ческих расчѐтах изображение будет представлено N вещественными числами. Его фурье-образ бу- дет представлен N комплексными числами, т. е. 2N вещественными числами. Однако эти два представления изображения объекта оказываются эквивалентными по числу независимых компо- нент, если учесть соотношение симметрии, кото- рому удовлетворяет фурье-образ вещественного изображения yxyx kkIkkI , ~ , ~ * , (1) где звѐздочка означает комплексное сопряжение. Ю. В. Корниенко и др. / О реконструкции изображения объекта… _________________________________________________________________________________________________________________ 132 При наблюдении объекта сквозь турбу- лентную среду фазы фурье-компонент подверга- ются сильному возмущению и становятся недос- товерными. Метод Лабейри исключает их из ре- зультатов наблюдения, оставляя только модули фурье-компонент. В результате массив получен- ных данных содержит только N/2 независимых компонент, которых недостаточно для восстанов- ления изображения, состоящего из N независи- мых элементов. В этом случае изображение мож- но восстановить, только привлекая на помощь априорную информацию об объекте (см. [3, 4]). В рамках данной задачи такой информацией явля- ется знание факта конечности размеров объекта, т. е. равенства нулю его яркости I(x, y) за преде- лами кадра. Если из условия задачи известно, что яркость объекта фактически отлична от нуля только в пределах массива размером n/2 n/2 компонент, а остальные компоненты массива I равны нулю, изображение объекта описывается набором из N/4 независимых компонент, т. е. меньшим количеством, чем число компонент N в исходных данных. Тогда задача становится пере- определѐнной, что порождает надежду на еѐ ус- пешное решение, но создаѐт опасность еѐ некор- ректности при наличии шума регистрации. В рамках данной работы мы будем считать, что шум регистрации отсутствует, что осуществимо при численном моделировании с достаточно вы- сокой точностью. Таким образом, задача реконструкции изображения конечного объекта по квадрату мо- дуля его фурье-образа в рамках данной работы поставлена так: задан энергетический спектр объ- екта II ~~* в виде массива M вещественных чисел размером 2n 2n компонент, не содержащих по- грешностей измерения; известно, что искомая яркость объекта, описываемая массивом вещест- венных чисел того же размера, отлична от нуля только в пределах подмассива размером n n эле- ментов; требуется найти массив I , описывающий яркость объекта. 2. Алгоритм реконструкции. Алгоритм, предложенный в работе [8], состоит в следую- щем. Левый верхний квадрант массива I заполня- ется нулевым приближением 0I , остальные его элементы устанавливаются в ноль. Затем выпол- няется итерационный процесс, i-й шаг которого состоит из двух этапов. На первом этапе выпол- няется частотная коррекция изображения с по- мощью оператора A€ . Для этого вычисляется фу- рье-образ iI ~ изображения iI , после чего значе- ния модулей фурье-компонент заменяются на значения компонент массива M, заданные усло- вием задачи, при сохранении значений фаз, после чего выполняется обратное преобразование Фу- рье. На втором этапе изображение подвергается действию оператора B€ , состоящему в подавле- нии (обращении в нуль) значений яркости во всех узлах решѐтки за пределами верхнего левого квадранта, в результате чего получается новое приближение 1iI . Одновременно вычисляется норма разности 1iii II (2) и модуль еѐ изменения 1iii . (3) Процесс завершается, когда i становится мень- ше заданной величины. При дальнейшем усовершенствовании этого алгоритма в него была добавлена ещѐ одна коррекция с помощью оператора C€ , состоящая в подавлении отрицательных значений яркости. Это несколько ускоряет сходимость процесса (поскольку норма вектора pCB €€ может быть меньше нормы вектора pB € ), но мало что меняет в принципиальном отношении. В наших исследо- ваниях, описанных в этой статье, он применялся именно в таком виде. 3. Вопрос о сходимости процесса. Этот вопрос является центральным при исследовании практических возможностей алгоритма, описан- ного в работе [8] и в предыдущем параграфе дан- ной статьи. В той же работе были кратко изложе- ны соображения, приводящие к выводу, что при достаточно малом отличии I0 от J следует ожи- дать сходимости процесса. Изложим их здесь бо- лее подробно. Рассмотрим N-мерное (N=4n 2 ) эвк- лидово пространство P всех изображений, задан- ных на квадрате 2n 2n элементов (т. е. простран- ство всех массивов I), с нормой, равной корню из суммы квадратов компонент массива I и скаляр- ным произведением, определяемым как сумма попарных произведений компонент. Пространст- во всех массивов, отличных от нуля только в ле- вом верхнем квадранте, образует линейное под- пространство Q пространства P. Оператор B€ является проектором, отображающим любой век- тор p  пространства P в его ортогональную про- екцию q  на подпространство Q. Теперь рассмотрим множество R точек I пространства P, у которых квадраты модулей фурье-компонент (энергетический спектр) совпа- дают с заданным M. Оно образует замкнутую гиперповерхность в пространстве P, имеющую размерность N/4. Искомое изображение J лежит на пересечении подпространства Q и гиперпо- верхности R. Результатом действия оператора A€ Ю. В. Корниенко и др. / О реконструкции изображения объекта… _________________________________________________________________________________________________________________ 133 на любой вектор p  из P является точка r этой гиперповерхности, ближайшая к p  . При доста- точно малом отличии I от J это проектирование p  на R мало отличается от ортогонального про- ектирования D€ точки p  на N/4 -мерную гиперп- лоскость S, касательную к R в точке J. Тогда m шагов описанного выше итера- ционного процесса оказываются приближѐнно эквивалентными воздействию на погрешность нулевого приближения I0 - J линейного оператора mDA )€€( . При естественных предположениях норма погрешности m-го приближения будет приближѐнно равна JIm 0 , где - констан- та меньшая единицы. Таким образом, процесс будет сходиться к истинному изображению J, а норма погрешности будет убывать приблизитель- но по закону геометрической прогрессии. Главным предположением в этих рассу- ждениях является малость разности I0 - J. Однако искомое изображение до обработки результатов наблюдения далеко не всегда бывает известно с хорошей точностью. Поэтому большой интерес представляет вопрос о том, как будет зависеть результат выполнения описанного алгоритма от начального приближения. На сегодняшний день выполнить такое исследование представляется возможным только с помощью компьютерного эксперимента, который и является главным инст- рументом в выполненном нами исследовании. 4. Организация вычислений. Посколь- ку речь идѐт об объектах с малым угловым раз- мером (иначе проявится неизопланатичность ат- мосферы, и метод спекл-интерферометрии станет неэффективным), для эксперимента были выбра- ны изображения низкой чѐткости: 4 4, 8 8 и 16 16 элементов. Соответственно размеры мас- сива I составляли 8 8, 16 16 и 32 32 элементов. Чтобы лучше имитировать случай "отсутствия шума", яркости были представлены с двойной точностью (восьмибайтовыми числами с пла- вающей точкой). В результате, отношение шум- сигнал при вычислениях составляло величину 10 -34 . Такая точность намного превышала практи- ческие потребности. В качестве тест-объекта использовалось двухуровневое изображение (со значениями яр- кости 0 и 1) заглавной латинской буквы F, испол- ненное для каждого формата отдельно. Для вы- полнения дискретного фурье-преобразования массивов использовался общеизвестный алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) [18]. Начальное приближение I0 выбиралось по-разному в зависимости от целей эксперимента. Обычно это был случайный вектор пространства Q с изотропным гауссовым распределением и средним значением равным нулю, J или какой- либо другой интересующей нас точке простран- ства Q. В других случаях оно выбиралось плано- мерно в некотором заранее выбранном подмно- жестве пространства Q. Для реконструкции изображения выполня- лось некоторое количество циклов описанного вы- ше итерационного процесса, достаточное для дос- тижения желаемой точности. Полученный резуль- тат анализировался путѐм сравнения с оригиналом J или с другими результатами реконструкции. Исследование было направлено на выяс- нение следующих вопросов: - действительно ли при достаточно малом отличии I0 от J процесс сходитcя к J и при том довольно быстро; - при каких отклонениях I0 от J такая схо- димость ещѐ имеет место; - каковы другие варианты итога итераци- онного процесса; - если правильная сходимость имеет место не всегда, то какова еѐ вероятность при случай- ном выборе начального приближения; - как зависит вероятность правильного ре- зультата от дисперсии случайного вектора, ис- пользуемого при формировании начального при- ближения; - как изменяется результат в малой окрест- ности некоторой точки q пространства Q и как эта картина зависит от выбора точки q. Ниже излагаются ответы на эти вопросы, полученные в ходе исследования. 5. Сходимость итерационного процес- са. Для выяснения первого вопроса исследовалась статистика результатов реконструкции в разных приближениях при случайном выборе начального приближения. В качестве начального приближе- ния использовалось изображение rJI0 , (4) где r - стандартный случайный вектор простран- ства Q, компоненты которого распределены неза- висимо и нормально с дисперсией 1; - пара- метр, значение которого выбиралось в зависимо- сти от поставленной задачи. В данном случае значение изменялось от 0,05 до 10 6 . Было ус- тановлено, что при < 0,1 для n = 4, < 0,05 для n = 8 и < 0,01 для n = 16 процесс во всех случа- ях сходился к правильному результату J. Степень близости реконструируемого изображения в i-ом приближении iI к истинному изображению J описывалась эвклидовым расстоянием 1 0 1 0 2 n n ii JI , (5) Ю. В. Корниенко и др. / О реконструкции изображения объекта… _________________________________________________________________________________________________________________ 134 где iI , J - элементы изображений iI и J; и н - номера соответственно строки в изображе- нии и элемента в строке. Типичные примеры зависимости i от i (для разных начальных приближений) приведены на рис. 1. Видно, что логарифм расстояния i убывает с ростом i приблизительно линейно, что совпадает с предсказанием теории (п. 3). Для дос- тижения точности реконструкции изображения 10 -8 (среднеквадратичная разность яркости на восстановленном и исходном изображениях) в типичном случае требуется 150 - 200 итераций (на графиках каждая точка соответствует прохожде- нию 10 итераций). ___________________________________________ 2 4 6 8 10 12 -20 -15 -10 -5 2 4 6 8 10 12 14 -20 -15 -10 -5 а) б 20 40 60 80 100 -15 -10 -5 5 20 40 60 80 100 -15 -10 -5 5 в) г) Рис. 1. Зависимость расстояния от номера итерации i для: а) n = 4 и = 0,5; б) n = 8 и = 5; в) n = 16 и = 20; в) n = 16 и = 10000 ___________________________________________ При увеличении свыше 0,1 начинают появляться случаи неправильной сходимости процесса: он попадает в так называемые ловушки и стремится к предельному циклу с отличной от нуля разностью JI . На рис. 1,г этим случаям соответствуют кривые, которые загибаются и идут почти параллельно оси i, стремясь при i к расстоянию этой ловушки I от J. На рис. 2 приведены примеры изображе- ний при правильной сходимости (оно не отличает- ся по виду от J ) и при захвате процесса ловушкой. Условной границей области приемлемой сходимости 1/2 можно считать такое значение , при котором вероятность правильного результата равна 1/2. Эта граница для n = 4 оказывается рав- ной 2,0. 6. Статистика ловушек. Когда с увеличе- нием начинают проявлять себя ловушки, это происходит, начиная с ловушек, которым соответ- ствуют меньшие значения , т. е. ближайших к J. В ходе экспериментов была собрана статистика значений , к которым приводит итерационный процесс в случаях неправильной сходимости. Ре- зультат такой статистики был представлен в виде гистограмм. процесса с точностью порядка 10 -8 зна- чения 50 . Эти гистограммы показали, что увели- чение приводит к уменьшению вероятности за- хвата процесса ближайшими ловушками и увеличе- нию вероятности более удалѐнных ловушек, однако множество значений остаѐтся одним и тем же. Дискретный характер этого множества позволяет сделать естественное предположение о том, что множество ловушек также является дискретным. Чтобы проверить это предположение, был поставлен такой эксперимент. Была выбрана некоторая ловушка L, и через неѐ в пространстве Q случайным образом проводилась двумерная плоскость, ортогональная L. В этой плоскости выбирался квадрат K со стороной a и центром в ловушке L. В этом квадрате строилась дискретная двумерная квадратная решѐтка с достаточно ма- лым шагом h. Затем последовательно для каждого узла этой решѐтки выполнялась процедура рекон- струкции со значением вектора p  в этом узле в качестве начального приближения I0. Значения , приближѐнно вычисленные по результату Ю. В. Корниенко и др. / О реконструкции изображения объекта… _________________________________________________________________________________________________________________ 135 реконструкции изображения, отображались на карте в точках, соответствующих использован- ным начальным приближениям. В результате, получалась карта, представляющая как функ- цию точки в пределах квадрата K. Пример такой карты для n = 4 приведен на рис. 3,л. Здесь точ- ками показано расположение выбранных лову- шек, а цвет области характеризует удалѐнность данной ловушки от истинного объекта (на этой карте масштаб цветовой шкалы отличается от показанного на рис. 3,м). Анализ таких карт для разных ловушек показал, что во всех случаях ловушка была окру- жена областью, в которой = 0 . Эта область образует как бы "бассейн" этой ловушки (точнее, его двумерное сечение выбранной плоскостью), из любой точки которого процесс сходится к этой ловушке, которая таким образом оказывается изолированной от других ловушек. Аналогичная окрестность существует и вокруг правильного решения J, что, впрочем, было ясно из соображе- ний, изложенных в п. 3. ___________________________________________ а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к) л) м) Рис. 2. Реконструированные изображения объекта при правильной сходимости и в трѐх ловушках для n = 4 (а, б, в, г); n = 8 (д, е, ж, з); n = 16 (и, к, л, м); а, д, и - правильно реконструированные изображения ___________________________________________ Правильно восстановленное изображение и первые три ловушки, ближайшие к истинному изображению J для n = 4, 8 и 16 показаны на рис. 2. Для надѐжного отождествления ловушек вычисления велись с высокой точностью порядка 10 -8 . Поэтому правильно восстановленное изобра- жение неотличимо от оригинала (и потому истин- ное изобажение J здесь не приводится). Ловушки же, даже ближайшие к истинному изображению, наоборот, отчѐтливо отличаются от него. 7. Зависимость вероятности правиль- ной реконструкции от параметра альфа. Как явствует из предыдущего, существует такое d0, что для всякого I0, удалѐнного от J меньше, чем на d0, имеет место сходимость итерационного процесса к правильному изображению J. Ю. В. Корниенко и др. / О реконструкции изображения объекта… _________________________________________________________________________________________________________________ 136 Однако, если начальное приближение I0 выбирается в соответствии с формулой (4), при любом существует отличная от нуля вероят- ность неправильной сходимости процесса к неко- торой ловушке. При << d0 она пренебрежимо мала, при увеличении она возрастает и при- ближается к вероятности попадания в ловушку при случайном выборе I0 с равной вероятностью всех I0 . При большой размерности пространства Q эта величина близка к единице, и шансов на правильную реконструкцию изображения остаѐт- ся мало. Поэтому представляет интерес исследо- вание вероятности правильного восстановления в зависимости от значения . С этой целью для каждого намеченного значения выбиралось начальное приближение по формуле (4) и производилась реконструкция изображения. Число таких проб при данном выбиралось с таким расчетом, чтобы флуктуация числа полученных благоприятных исходов была порядка одного процента от числа проб. Полу- ченные результаты представлены в виде графиков на рис. 4. Из этих графиков видно, что вероят- ность правильной реконструкции плавно убывает от единицы (при = 0), приближаясь к некото- рому предельному значению. Рис. 4. Вероятность сходимости процесса к истинному изо- бражению как функция при разных n 8. Зависимость результата от начально- го приближения. Как уже было сказано в п. 5, результат iI , получаемый на i-ом шаге итераци- онного процесса, при i стремится к пределу I , который может совпадать или не совпадать с истинным изображением J. Было бы интересно исследовать зависимость I от 0I в надежде най- ти на этом пути какие-то правила целенаправлен- ного выбора начального приближения, обеспечи- вающего правильную сходимость процесса. Слож- ность этой задачи, связанная с большой размерно- стью пространства, к которому принадлежит 0I , побудила нас ограничиться в рамках данной рабо- ты более простой задачей - исследованием функ- ции F, выражающей зависимость от I0 )( 0IF (6) на отдельных, специально выбранных подмноже- ствах пространства Q. Исследование производилось следующим образом. В пространстве Q выбиралась некоторая двумерная плоскость S, в этой плоскости выби- рался квадрат K, а в нѐм строилась квадратная решѐтка с шагом h. Выбор S, K и h определялся характером задачи. Затем для каждого узла ре- шѐтки выполнялся описанный в п. 2 итерацион- ный процесс до достижения заданной точности результата (обычно 10 -8 ). По полученному изо- бражению вычислялось значение Дельта, которое считалось приближѐнным значением предела и отображалось на карте непрерывным цветовым кодом (без грубой дискретизации). Первым вопросом, подлежавшим изуче- нию, было поведение функции F в окрестности точки J. Для этого в пространстве Q проводился радиус-вектор из нуля в точку J. Затем через точ- ку J случайным образом проводилась двумерная плоскость, ортогональная этому радиус-вектору. В этой плоскости выбирался случайно ориенти- рованный квадрат со стороной a и центром в точ- ке J. В нѐм строилась квадратная решѐтка форма- том 251 251 узлов. В этой решѐтке строилась карта, отражающая поведение функции F. Такие карты строились для n = 4, 8, 16. При этом значения яркости в некоторых деталях изображения J несколько варьировались, чтобы проверить чувствительность получаемой картины к сюжету изображения. Результаты исследования показали, что точка J всегда лежит внутри облас- ти, в которой функция F равна нулю, карты для n равного 4, 8 и 16 весьма похожи друг на друга и мало изменяются при небольших вариациях изо- бражения J . 9. Особенности поведения функции F. Существенной чертой функции F, неизменно проявлявшейся во всех экспериментах, оказалось то, что множество значений, которые она прини- мает, является дискретным. Это порождает на картах одноцветные области, разделѐнные чѐтки- ми границами (рис. 3). В пределах области значе- ние функции является константой, величину ко- торой можно оценить, используя цветовую шка- лу, приведенную на рис. 3, м. На рис. 3, ж, з показаны карты значений функции F в окрестности правильного изображе- ния. (Оно находится вблизи правого нижнего и левого нижнего узла соответственно.) Белым представлена область, где = 0. Ю. В. Корниенко и др. / О реконструкции изображения объекта… _________________________________________________________________________________________________________________ 137 а) б) в) г) д) е) Рис. 3. Карты сходимости процесса в окрестности истинного изображения и ловушек: а-е – объект 16 16; ж, з, к – объект 8 8, и, л – объект 4 4, а также цветовая шкала (м); плоскость проводится через три случайных приближения (а-и), а также через правильный объект , зеркальный объект и случайное приближение (к); для случая (л) все три приближения лежат в отображаемой плоскости и отмечены синими точками в соответствующих областях; числами показано их отклонение от правильного восстановления Ю. В. Корниенко и др. / О реконструкции изображения объекта… _________________________________________________________________________________________________________________ 138 ж) з) и) к) л) м) Рис. 3. (продолжение) Ю. В. Корниенко и др. / О реконструкции изображения объекта… _________________________________________________________________________________________________________________ 139 На рис. 3,и представлена область, далѐкая от истинного изображения. В ней нет ни одной белой точки; из любой еѐ точки процесс попадает в одну из трѐх ловушек. На рис. 3,к карта по- строена в плоскости, проведенной через истинное изображение, его зеркальный образ (в небольшой окрестности которого нет точек правильной схо- димости) и случайно выбранную точку. Здесь чѐтко выражена большая область правильной сходимости (внизу), которая простирается до точки J и захватывает еѐ, и зона неправильной сходимости (вверху), доходящая до зеркального изображения J * . 10. Структура функции F. Если бы в расположении областей, в пределах которых зна- чение функции F постоянно, была обнаружена какая-нибудь закономерность, это дало бы наде- жду найти способ, анализируя расположение об- ластей, отыскать путь в область, из которой про- цесс сходится к J. Поэтому было предпринято обстоятельное исследование структуры этой функции. Однако при исследовании открылась совсем другая картина. Для исследования в пространстве Q раз- мерности 256 было произвольно выбрано плоское двумерное сечение, а в нѐм квадратная область с таким лишь условием, чтобы карта значений , построенная в ней, была достаточно разнообраз- ной и обязательно содержала область правильной сходимости (к изображению J ). Этому условию, по мнению авторов, соответствовала карта, при- веденная на рис. 3,а. Здесь видны достаточно большие белые области (области правильной сходимости с = 0), включая чисто белые облас- ти и белые области с многочисленными остров- ками неправильной сходимости, а также обшир- ные однородные области неправильной сходимо- сти. Сторона квадрата составляла 2,0 (яркость на исходном изображении принимала значения 0 и 1). В этом квадрате выбирались небольшие квад- ратные участки, вызывавшие интерес, и для них строились полноразмерные карты в решѐтке 251 251 элементов. Так, на карте а (рис. 3,а) были выбраны участки б (размером 0,0048) и в (разме- ром 0,5). Их полноразмерные карты (251 251) представлены на рис. 3,б и 3,в. Из рис. 3,б видно, что белый клин слева вверху на рис. 3,а сохраняет свою остроту в мас- штабе рис. 3,б. и, по-видимому, в более мелком масштабе. Из рис. 3,в видно, что участок в на рис. 3,а имеет сложную мелкую структуру, не видимую на рис. 3,а, но хорошо различимую на рис. 3,в. Подобным же образом участок г (разме- ром 0,04) на рис. 3,в при дальнейшем повышении разрешения (в пространстве Q ) обнаруживает весьма сложную структуру; то же относится и к участку д на рис. 3,г. На рис. 3,д был выбран участок е разме- ром 0,00768, который кажется, в основном, одно- родным, однако и он проявляет на рис. 3,е слож- ную структуру. Выводы. Проблема видения сквозь среду со случайными неоднородностями показателя преломления занимает важное место в радиофи- зике, наблюдательной астрономии и в приклад- ных областях науки. Существует много идей, как преодолеть мешающее влияние среды распро- странения (метод замыкания фаз в радиоастроно- мии, метод спекл-интерферометрии в оптической астрономии, метод интерферометрического фор- мирования изображений, применение адаптивной оптики и много других). Все эти методы по тем или иным причинам не являются полным реше- нием проблемы. Это делает необходимым поиск новых методов и усовершенствование старых. Фазовые искажения волны, вызываемые неоднородностями среды, приводят к искажению формируемого изображения объекта, причѐм преимущественно фаз фурье-компонент изобра- жения, информация о которых часто полностью теряется. Это обстоятельство приводит к задаче реконструкции изображения по его энергетиче- скому спектру (квадрату модуля его фурье- образа). Такая задача в общем виде не может быть решена однозначно. Однако она может быть однозначно решена при довольно слабом допол- нительном условии: объект должен иметь конеч- ные размеры (его яркость должна быть отличной от нуля только в конечной области плоскости). Давно предложен алгоритм такой рекон- струкции, а также различные его усовершенство- вания. Он представляет собой итерационный процесс, безупречно сходящийся при начальном приближении, достаточно близком к искомому изображению. Однако его поведение при произ- вольном выборе начального приближения не все- гда приемлемо: он может давать сходимость к неправильному результату. С тех пор предложен ряд новых идей преодоления мешающего влияния среды. Однако проблема по-прежнему радикально не решена, и предстоит дальнейший поиск новых путей. При этом интерес к реконструкции изображения по спектру может ещѐ не раз вспыхнуть с новой си- лой, поскольку эта процедура может стать со- ставной частью новых, более совершенных мето- дов. Главным на сегодняшний день представляет- ся вопрос о сходимости процесса и влиянии на результат выбора начального приближения. Исследование этого вопроса должно вес- тись как теоретически, так и с помощью машин- ного эксперимента. Однако большая сложность задачи, проистекающая от большой размерности пространства, в котором ищется реконструируе- мое изображение, приводит к тому, что машин- Ю. В. Корниенко и др. / О реконструкции изображения объекта… _________________________________________________________________________________________________________________ 140 ный эксперимент на сегодняшний день оказыва- ется более коротким путѐм к пониманию ряда вопросов. Именно этот путь был выбран для ис- следований, описанных в данной статье. В результате выполненного исследования были подтверждены или установлены заново сле- дующие факты: - в достаточно малой окрестности искомого изображения предложенный ранее итерационный процесс всегда сходится к искомому изображению со скоростью геометрической прогрессии; - при произвольном выборе начального приближения процесс всегда сходится, однако может сходится как к правильному, так и к непра- вильному результату (т. е. попадать в ловушку); - ловушки образуют в пространстве изо- бражений дискретное множество. Типичные рас- стояния между ближайшими друг к другу ловуш- ками 0,1; - для понимания поведения итерационного процесса при произвольном начальном приближе- нии полезно исследовать функцию F, которая ото- бражает пространство изображений на веществен- ную прямую, а отдельное изображение I - на рас- стояние предела итерационного процесса от пра- вильного изображения в случае, когда I использо- вано в качестве начального приближения; - характерной отличительной чертой этой функции является то, что она принимает значения из дискретного набора чисел. Поэтому простран- ство изображений оказывается разделѐнным на отдельные области с чѐткими границами между ними, в пределах каждой из которых значение функции F является константой; - предварительное исследование этих об- ластей показало, что они имеют сложную фракта- лоподобную структуру. Поэтому остаѐтся мало надежды на то, что удастся найти какую-то регу- лярную закономерность в их расположении, ко- торая могла бы открыть путь к алгоритму регу- лярного поиска области правильной сходимости, в которой F = 0. 1. Коваль И. К. Астрон. циркуляр. - 1965. - №317. - С.1. 2. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. - М.: Мир, 1974. - 491 с. 3. Турчин В. Ф., Козлов В. П., Малкевич М. С. Использование методов математической статистики для решения некор- ректных задач // Успехи физ. наук. - 1970. - 202, №3. - С.345-386. 4. Корниенко Ю. В. Статистический подход к фильтрации и информативность изображения // Радиофизика и электро- ника. - Харьков: Ин-т радиофизики и электрон. НАН Ук- раины. - 2005. - 10, спец. вып. - С.652-676. 5. Дудинов В. Н. О возможности учета погрешностей, вы- званных замытием изображения планет // Астрономиче- ский журн. - 1969. - 46, №5. - С.1064-1073. 6. Labeyrie A. Attainment of diffraction limited resolution in large telescopes by fourier analysing speckle patterns in star images. - Astron. Et astrophys. - 1970. - 6, N1. - P.85-87. 7. Петров В. А. О восстановлении функций по модулю пре- образования Фурье // Весн. Харьков. ун-та. - 1981. - 223, № 16. - С.25-33. 8. Корниенко Ю. В. О возможности восстановления изобра- жения слабого объекта, искаженного влиянием земной атмосферы // Докл. АН УССР. Сер.А. - 1977. - № 10. - С.931-933. 9. Бабичев А. А., Корниенко Ю. В. Парусимов В. Г. и др. Цифровая обработка астрономических изображений // Тр. 14-го Международ. конгресса по высокоскоростной фото- графии и фотонике. - М. - 1980. - С.436-439. 10. Fienup J. R. Reconstruction of an object from the modulus of its Fourier transform // Opt. Lett.. - 1978. - 3. - P. 27-29. 11. Fienup J. R., Wackerman C. C. Diffraction-limited imaging of space objects III // Final Report, 1 Mar. 1982 - 31 Oct. 1985. Environmental Research Inst. of Michigan. - Ann Arbor. - 1986. 12. Knox K. T., Thompson B. J. New methods of processing speckle pattern star images // Astrophysical journal. - 1973. - 182. - P.L133. 13. Бакут П. А., Устинов Н. Д., Троицкий И. М. и др. Методы обработки световых полей при наблюдении через турбу- лентную среду // Зарубежная радиоэлектроника. - 1977. - №1. - С.3-29. 14. Roggemann M. C., Welsh B. M., and Fugate R. Q. Improving the resolution of ground-based telescopes // Reviews of Mod- ern Physics. - 1997. - N69. - С.437-505. 15. Баранов Ю. В., Новиков С. Б., Овчинников А. А. Улучше- ние разрешения телескопа с помощью компенсатора на- клонов волнового фронта // Методы повышения эффек- тивности оптических телескопов / Под ред. С.А. Глады- шева - М.: Изд-во Москов. ун-та. - 1987. - 180 с. 16. Баранов Ю.В., Белкин Н.Д., Горбинский В. Н. и др. Астро- номический циркуляр. - 1984. - №1929. - С.2. 17. Корниенко Ю. В. Интероферометрический подход к про- блеме видения сквозь турбулентную атмосферу. I. // Кине- матика и физика небесных тел. - 1994. - 10, №2. - С.98-106. 18. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Пер. с англ. под ред. А. М. Трахтмана. - М.: Сов. радио, 1973. - 368 с. ON THE IMAGE RECONSTRUCTION UNDER ITS FOURIER-TRANSFORM MODULUS Yu. V. Kornienko, S. I. Skuratovskiy The iterative reconstruction procedure proposed before for the object of limited size was investigated by means of com- puter experiment. Good convergence to the correct result from some its neighborhood was confirmed, and the possibility of con- vergence to a wrong result (called ‘trap’), while a random initial approximation was selected, was shown. A discrete nature of such traps set was established. Fractal-like dependence was found of the process convergence limit on the initial approximation. Probability of correct image reconstruction under random initial approxima- tion was estimated. The obtained results are illustrated with graph- ics, half-tone images and color maps. Key words: vision through turbulent atmosphere, speckle-interferometry, phase problem, image reconstruction under its spectrum. ПРО РЕКОНСТРУКЦІЮ ЗОБРАЖЕННЯ ОБ’ЄКТУ ЗА МОДУЛЕМ ЙОГО ФУР’Є-ОБРАЗУ Ю. В. Корнієнко, С. І. Скуратовський Шляхом машинного експерименту досліджено збіжншсть ітераційного процесу, який було запропоновано раніше для реконструкції зображення об’єкту кінцевих розмі- Ю. В. Корниенко и др. / О реконструкции изображения объекта… _________________________________________________________________________________________________________________ 141 рів за квадратом модуля його фур’є-образу. Підтверджено добру збіжність процесу до правильного результату із деякого його околу у просторі зображень та можливість збіжності до неправильного результату (так званої пастки) при вільному виборі початкового наближення. Установлено дискретний характер множини таких пасток. Досліджено залежність гра- ниці, до якої сходиться ітераційний процес, від початкового наближення та встановлено фракталоподібний характер цієї залежності. Досліджено ймовірність правильного відновлення зображення при випадковому виборі початкового наближен- ня. Одержані результати проілюстровано графіками, напівто- новими зображеннями та кольоровими картами. Ключові слова: бачення крізь турбулентну атмос- феру, спекл-інтерферометрія, фазова проблема, відновлення зображення за спектром Рукопись поступила 6 декабря 2007 г.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10562
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-821X
language	Russian
last_indexed	2025-11-28T12:00:44Z
publishDate	2008
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
record_format	dspace
spelling	Корниенко, Ю.В. Скуратовский, С.И. 2010-08-04T08:23:55Z 2010-08-04T08:23:55Z 2008 О реконструкции изображения объекта по модулю его Фурье-образа / Ю.В. Корниенко, С.И. Скуратовский // Радіофізика та електроніка. — 2008. — Т. 13, № 1. — С. 130-141. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10562 535.39:531.715.1 Путём машинного эксперимента исследована сходимость итерационного процесса, предложенного ранее для реконструкции изображения объекта конечных размеров по квадрату модуля его фурье-образа. Подтверждена хорошая сходимость процесса к правильному результату из некоторой его окрестности в пространстве изображений и возможность сходимости к неправильному результату (так называемой ловушке) при произвольном выборе начального приближения. Установлен дискретный характер множества таких ловушек. Исследована зависимость предела, к которому сходится итерационный процесс, от начального приближения и установлен фракталоподобный характер этой зависимости. Исследована вероятность правильного восстановления изображения при случайном выборе начального приближения. Полученные результаты проиллюстрированы графиками, полутоновыми изображениями и цветными картами. Шляхом машинного експерименту досліджено збіжншсть ітераційного процесу, який було запропоновано раніше для реконструкції зображення об’єкту кінцевих розмірів за квадратом модуля його фур’є-образу. Підтверджено добру збіжність процесу до правильного результату із деякого його околу у просторі зображень та можливість збіжності до неправильного результату (так званої пастки) при вільному виборі початкового наближення. Установлено дискретний характер множини таких пасток. Досліджено залежність границі, до якої сходиться ітераційний процес, від початкового наближення та встановлено фракталоподібний характер цієї залежності. Досліджено ймовірність правильного відновлення зображення при випадковому виборі початкового наближення. Одержані результати проілюстровано графіками, напівтоновими зображеннями та кольоровими картами. The iterative reconstruction procedure proposed before for the object of limited size was investigated by means of com-puter experiment. Good convergence to the correct result from some its neighborhood was confirmed, and the possibility of convergence to a wrong result (called ‘trap’), while a random initial approximation was selected, was shown. A discrete nature of such traps set was established. Fractal-like dependence was found of the process convergence limit on the initial approximation. Probability of correct image reconstruction under random initial approximation was estimated. The obtained results are illustrated with graphics, half-tone images and color maps. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Прикладная радиофизика О реконструкции изображения объекта по модулю его Фурье-образа Про реконструкцію зображення об’єкту за модулем його Фур’є-образу On the image reconstruction under its Fourier-transform modulus Article published earlier
spellingShingle	О реконструкции изображения объекта по модулю его Фурье-образа Корниенко, Ю.В. Скуратовский, С.И. Прикладная радиофизика
title	О реконструкции изображения объекта по модулю его Фурье-образа
title_alt	Про реконструкцію зображення об’єкту за модулем його Фур’є-образу On the image reconstruction under its Fourier-transform modulus
title_full	О реконструкции изображения объекта по модулю его Фурье-образа
title_fullStr	О реконструкции изображения объекта по модулю его Фурье-образа
title_full_unstemmed	О реконструкции изображения объекта по модулю его Фурье-образа
title_short	О реконструкции изображения объекта по модулю его Фурье-образа
title_sort	о реконструкции изображения объекта по модулю его фурье-образа
topic	Прикладная радиофизика
topic_facet	Прикладная радиофизика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10562
work_keys_str_mv	AT kornienkoûv orekonstrukciiizobraženiâobʺektapomodulûegofurʹeobraza AT skuratovskiisi orekonstrukciiizobraženiâobʺektapomodulûegofurʹeobraza AT kornienkoûv prorekonstrukcíûzobražennâobêktuzamodulemiogofurêobrazu AT skuratovskiisi prorekonstrukcíûzobražennâobêktuzamodulemiogofurêobrazu AT kornienkoûv ontheimagereconstructionunderitsfouriertransformmodulus AT skuratovskiisi ontheimagereconstructionunderitsfouriertransformmodulus

О реконструкции изображения объекта по модулю его Фурье-образа

Репозитарії

Схожі ресурси