Описание границ в задачах рассеяния с помощью дробных операторов

Анализируется возможность применения дробных операторов в задачах отражения электромагнитных волн от плоских границ. Рассматриваются дробная производная и дробный ротор, получаемые как результат фрактализации обычных операторов производной и ротора. Дробный ротор может применяться для описания эффек...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Радіофізика та електроніка
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Велиев, Э.И., Ивахниченко, М.В., Ахмедов, Т.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2009
Schlagworte:	Электродинамика СВЧ
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105739
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Описание границ в задачах рассеяния с помощью дробных операторов / Э.И. Велиев, М.В. Ивахниченко, Т.М. Ахмедов // Радіофізика та електроніка. — 2009. — Т. 14, № 2. — С. 133-140. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-105739
record_format	dspace
spelling	Велиев, Э.И. Ивахниченко, М.В. Ахмедов, Т.М. 2016-09-07T17:49:48Z 2016-09-07T17:49:48Z 2009 Описание границ в задачах рассеяния с помощью дробных операторов / Э.И. Велиев, М.В. Ивахниченко, Т.М. Ахмедов // Радіофізика та електроніка. — 2009. — Т. 14, № 2. — С. 133-140. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105739 537.874.35 Анализируется возможность применения дробных операторов в задачах отражения электромагнитных волн от плоских границ. Рассматриваются дробная производная и дробный ротор, получаемые как результат фрактализации обычных операторов производной и ротора. Дробный ротор может применяться для описания эффекта изменения поляризации волны, отраженной от биизотропного слоя или границы, описываемой анизотропными импедансными граничными условиями. Порядок дробного ротора определяется через материальные параметры рассматриваемой задачи. Граничные условия с дробной производной обобщают условия для идеальных электрически- и магнитно-проводящих границ. Рассматриваются применения дробных граничных условий (ДГУ) для моделирования отражения от плоских границ. На примере задачи дифракции на ленте конечной ширины сравниваются рассеивающие свойства ленты с ДГУ и импедансной ленты. Получены выражения, связывающие дробный порядок и импеданс. Показано, что в широком диапазоне изменения параметров ДГУ могут применяться для моделирования отражения от импедансных границ, а также от диэлектрического слоя. ДГУ соответствуют импедансным границам с чисто мнимым значением импеданса. Также отмечены особенности рассеивающих характеристик ленты с ДГУ, связанные с ее «сверхволновыми» свойствами. Аналізується можливість застосування дробових операторів в задачах відбивання електромагнітних хвиль від плоских меж. Розглядаються дробова похідна та дробовий ротор, що виникають як результат фракталізації звичайних операторів похідної та ротора. Дробовий ротор може використовуватися для опису ефекту зміни поляризації хвилі, що відбилася від біізотропного шару чи межі, яка описується анізотропними імпедансними граничними умовами. Порядок дробового ротору визначається через матеріальні параметри задачі, що розглядається. Граничні умови з дробовою похідною узагальнюють умови для ідеальних електрично- та магнітно-провідних меж. Розглядаються застосування дробових граничних умов (ДГУ) для моделювання відбивання від плоских меж. На прикладі задачі дифракції на стрічці скінченої ширини порівнюються розсіювальні властивості стрічки з ДГУ та імпедансної стрічки. Отримано вирази, що пов’язують дробовий порядок і імпеданс. Показано, що в широкому діапазоні зміни параметрів ДГУ можут застосовуватися для моделювання відбивання від імпедансних меж, а також від діелектричного шару. ДГУ відповідають імпедансним межам з чисто уявним значенням імпедансу. Також відмічено особливості розсіювальних характеристик стрічки з ДГУ, пов’язані з «надхвильовими» властивостями. Possibility of utilization of fractional operators in reflection of electromagnetic waves from plane boundaries is analyzed. Fractional derivative and fractional curl operator obtained as a result of fractionalization of usual operators of derivative and curl are under consideration. A fractional curl operator can be used to describe effect of changing of polarization of wave reflected from biisotropic slab or boundary described by anisotropic impedance boundary conditions. The order of fractional curl operator is defined from material parameters of considered problem. Boundary conditions with a fractional derivative generalize conditions for perfect electric and magnetic conductive boundaries. Usage of fractional boundary conditions (FBC) to simulate reflection from plane boundaries. Scattering properties of a strip with FBC and an impedance strip are compared on example of diffraction problem by a strip of finite width. Equations that are relate a fractional order and an impedance have been evaluated. It is shown that FBC can be used to simulate scattering from impedance boundaries and also from a dielectric slab for a wide range of parameters. FBC correspond impedance boundaries with a pure imaginary value of impedance. Also special scattering features of a strip with FBC related with its superwave properties have been shown. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радіофізика та електроніка Электродинамика СВЧ Описание границ в задачах рассеяния с помощью дробных операторов Опис меж в задачах розсіяння за допомогою дробових операторів Description of boundaries in scattering problems with the help of fractional operators Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Описание границ в задачах рассеяния с помощью дробных операторов
spellingShingle	Описание границ в задачах рассеяния с помощью дробных операторов Велиев, Э.И. Ивахниченко, М.В. Ахмедов, Т.М. Электродинамика СВЧ
title_short	Описание границ в задачах рассеяния с помощью дробных операторов
title_full	Описание границ в задачах рассеяния с помощью дробных операторов
title_fullStr	Описание границ в задачах рассеяния с помощью дробных операторов
title_full_unstemmed	Описание границ в задачах рассеяния с помощью дробных операторов
title_sort	описание границ в задачах рассеяния с помощью дробных операторов
author	Велиев, Э.И. Ивахниченко, М.В. Ахмедов, Т.М.
author_facet	Велиев, Э.И. Ивахниченко, М.В. Ахмедов, Т.М.
topic	Электродинамика СВЧ
topic_facet	Электродинамика СВЧ
publishDate	2009
language	Russian
container_title	Радіофізика та електроніка
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
format	Article
title_alt	Опис меж в задачах розсіяння за допомогою дробових операторів Description of boundaries in scattering problems with the help of fractional operators
description	Анализируется возможность применения дробных операторов в задачах отражения электромагнитных волн от плоских границ. Рассматриваются дробная производная и дробный ротор, получаемые как результат фрактализации обычных операторов производной и ротора. Дробный ротор может применяться для описания эффекта изменения поляризации волны, отраженной от биизотропного слоя или границы, описываемой анизотропными импедансными граничными условиями. Порядок дробного ротора определяется через материальные параметры рассматриваемой задачи. Граничные условия с дробной производной обобщают условия для идеальных электрически- и магнитно-проводящих границ. Рассматриваются применения дробных граничных условий (ДГУ) для моделирования отражения от плоских границ. На примере задачи дифракции на ленте конечной ширины сравниваются рассеивающие свойства ленты с ДГУ и импедансной ленты. Получены выражения, связывающие дробный порядок и импеданс. Показано, что в широком диапазоне изменения параметров ДГУ могут применяться для моделирования отражения от импедансных границ, а также от диэлектрического слоя. ДГУ соответствуют импедансным границам с чисто мнимым значением импеданса. Также отмечены особенности рассеивающих характеристик ленты с ДГУ, связанные с ее «сверхволновыми» свойствами. Аналізується можливість застосування дробових операторів в задачах відбивання електромагнітних хвиль від плоских меж. Розглядаються дробова похідна та дробовий ротор, що виникають як результат фракталізації звичайних операторів похідної та ротора. Дробовий ротор може використовуватися для опису ефекту зміни поляризації хвилі, що відбилася від біізотропного шару чи межі, яка описується анізотропними імпедансними граничними умовами. Порядок дробового ротору визначається через матеріальні параметри задачі, що розглядається. Граничні умови з дробовою похідною узагальнюють умови для ідеальних електрично- та магнітно-провідних меж. Розглядаються застосування дробових граничних умов (ДГУ) для моделювання відбивання від плоских меж. На прикладі задачі дифракції на стрічці скінченої ширини порівнюються розсіювальні властивості стрічки з ДГУ та імпедансної стрічки. Отримано вирази, що пов’язують дробовий порядок і імпеданс. Показано, що в широкому діапазоні зміни параметрів ДГУ можут застосовуватися для моделювання відбивання від імпедансних меж, а також від діелектричного шару. ДГУ відповідають імпедансним межам з чисто уявним значенням імпедансу. Також відмічено особливості розсіювальних характеристик стрічки з ДГУ, пов’язані з «надхвильовими» властивостями. Possibility of utilization of fractional operators in reflection of electromagnetic waves from plane boundaries is analyzed. Fractional derivative and fractional curl operator obtained as a result of fractionalization of usual operators of derivative and curl are under consideration. A fractional curl operator can be used to describe effect of changing of polarization of wave reflected from biisotropic slab or boundary described by anisotropic impedance boundary conditions. The order of fractional curl operator is defined from material parameters of considered problem. Boundary conditions with a fractional derivative generalize conditions for perfect electric and magnetic conductive boundaries. Usage of fractional boundary conditions (FBC) to simulate reflection from plane boundaries. Scattering properties of a strip with FBC and an impedance strip are compared on example of diffraction problem by a strip of finite width. Equations that are relate a fractional order and an impedance have been evaluated. It is shown that FBC can be used to simulate scattering from impedance boundaries and also from a dielectric slab for a wide range of parameters. FBC correspond impedance boundaries with a pure imaginary value of impedance. Also special scattering features of a strip with FBC related with its superwave properties have been shown.
issn	1028-821X
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105739
citation_txt	Описание границ в задачах рассеяния с помощью дробных операторов / Э.И. Велиев, М.В. Ивахниченко, Т.М. Ахмедов // Радіофізика та електроніка. — 2009. — Т. 14, № 2. — С. 133-140. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT velievéi opisaniegranicvzadačahrasseâniâspomoŝʹûdrobnyhoperatorov AT ivahničenkomv opisaniegranicvzadačahrasseâniâspomoŝʹûdrobnyhoperatorov AT ahmedovtm opisaniegranicvzadačahrasseâniâspomoŝʹûdrobnyhoperatorov AT velievéi opismežvzadačahrozsíânnâzadopomogoûdrobovihoperatorív AT ivahničenkomv opismežvzadačahrozsíânnâzadopomogoûdrobovihoperatorív AT ahmedovtm opismežvzadačahrozsíânnâzadopomogoûdrobovihoperatorív AT velievéi descriptionofboundariesinscatteringproblemswiththehelpoffractionaloperators AT ivahničenkomv descriptionofboundariesinscatteringproblemswiththehelpoffractionaloperators AT ahmedovtm descriptionofboundariesinscatteringproblemswiththehelpoffractionaloperators
first_indexed	2025-11-25T23:07:32Z
last_indexed	2025-11-25T23:07:32Z
_version_	1850580844580700160
fulltext	__________ ISSN 1028-821X Радиофизика и электроника, том 14, № 2, 2009, с. 133-140 ИРЭ НАН Украины, 2009 УДК 537.874.35 ОПИСАНИЕ ГРАНИЦ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ Э. И. Велиев 1 , М. В. Ивахниченко 1 , Т. М. Ахмедов 2 1 Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина Е-mail: veliev@kharkov.ua 2 Институт математики НАН Азербайджана 9, ул. Ф. Агаева, Баку, 1141, Азербайджан Анализируется возможность применения дробных операторов в задачах отражения электромагнитных волн от плоских границ. Рассматриваются дробная производная и дробный ротор, получаемые как результат фрактализации обычных операторов производной и ротора. Дробный ротор может применяться для описания эффекта изменения поляризации волны, отраженной от биизотропного слоя или границы, описываемой анизотропными импедансными граничными условиями. Порядок дробного ротора определяется через материальные параметры рассматриваемой задачи. Граничные условия с дробной производной обобщают усло- вия для идеальных электрически- и магнитно-проводящих границ. Рассматриваются применения дробных граничных усло- вий (ДГУ) для моделирования отражения от плоских границ. На примере задачи дифракции на ленте конечной ширины сравнива- ются рассеивающие свойства ленты с ДГУ и импедансной ленты. Получены выражения, связывающие дробный порядок и импе- данс. Показано, что в широком диапазоне изменения параметров ДГУ могут применяться для моделирования отражения от импе- дансных границ, а также от диэлектрического слоя. ДГУ соответствуют импедансным границам с чисто мнимым значением импе- данса. Также отмечены особенности рассеивающих характеристик ленты с ДГУ, связанные с ее «сверхволновыми» свойствами. Ил. 6. Библиогр.: 26 назв. Ключевые слова: дробная производная, дробный ротор, граничные условия, дифракция. В последнее время дробным операторам находят широкое применение в различных зада- чах электродинамики. Дробные операторы опре- деляются как фрактализованные от известных операторов. Например, дробные производные и интегралы являются обобщением обычной произ- водной и интеграла. Также находят применение оператору дробного ротора, который определяет- ся как фрактализованный оператор от обычного оператора ротора [1]. Оператор ротор играет важную роль в уравнениях электродинамики. Оператор дробного ротора rot позволяет строить новые решения. Применение ,rot где  – дробный порядок, к некоторому решению уравнений Максвелла ),( 00 HE  ( 00 , HE  – напряженности электричес- кого и магнитного поля соответственно) в виде ),(rot)(),( 00 0 HEikHE    (1) приводит к тому, что дробное поле ),(  HE  снова является решением уравнений Максвелла в той же среде, что и исходное поле ),( 00 HE  [1]. Применение rot приводит к изменению поля- ризации поля [2, 3]. Дробное поле ),(  HE  выступает в роли промежуточного решения между исходным ),( 00 HE  и дуальным )/1,(),( 0 0 0 0 11 EHHE    решениями [4], ко- торые соответствуют значениям дробного поряд- ка 0 и 1 . Используя оператор ,rot на примере за- дачи отражения нормально падающей плоской волны на границу раздела N. Engheta [1] получил импедансную границу со значением импеданса )2/(itg   , которая описывает промежуточ- ное состояние между идеально электрически- (ИЭП) и магнитно-проводящей (ИМП) границами при изменении  от 0 до 1. В данной работе рассматриваются дву- мерные задачи отражения электромагнитных волн от границы раздела. При этом решение представляется как результат применения дроб- ного ротора к известному решению задачи на им- педансной границе. Новое дробное решение (1) соответствует новой границе, параметры которой зависят от исходной границы и порядка дробного ротора. Решая обратную задачу, можно по из- вестному дробному полю определить свойства границы, получив уравнение, связывающее  и материальные параметры. Таким образом, дан- ный подход позволяет получить решение задачи отражения, не решая самой задачи отражения от сложной поверхности, а применить rot с задан- ным  к известному решению задачи отражения от простой границы (обычно ИЭП либо импе- дансной). Получение простых граничных условий (ГУ) для описания отражающих свойств сложных материалов является актуальной задачей. Извест- ны два аспекта при рассмотрении граничных ус- ловий. Первый связан с нахождением граничных условий для описания рассеивающих свойств mailto:veliev@kharkov.ua Э. И. Велиев и др. / Описание границ в задачах… _________________________________________________________________________________________________________________ 134 заданной физической структуры. Второй аспект – это нахождение физической структуры, которая реализует заданные граничные условия. Послед- няя задача является актуальной в теории антенн, в частности, для получения антенн с заданными излучающими свойствами. С другой стороны, введение новых ГУ позволяет строить модели границ с новыми свойст- вами. Реализация границ с произвольным значе- нием параметров, определяющих ГУ, представля- ется непростой задачей. ГУ должны позволять построить эффек- тивный численный алгоритм получения точного решения с заданной точностью. Построение простых и адекватных математических моделей для описания рассеивающих свойств поверхно- стей является одной из общих задач в теории дифракции. Достаточно хорошо изученная граница, которая может служить промежуточным состоя- нием между ИЭП и ИМП границами, – это импе- дансная граница [5, 6]: )),(()( rHnnrEn    ,Sr   (2) где n  – нормаль к поверхности .S Значение им- педанса меняется от 0 для ИЭП до i для ИМП. Задачам дифракции на импедансных гра- ницах посвящено большое количество работ. Им- педансные граничные условия (ИГУ) успешно использовались для моделирования отражающих свойств хороших проводников, а также решеток и др. В каждом случае существуют формулы для получения значения импеданса как функции про- водимости металла, параметров решетки и др. ИГУ являются приближенными ГУ, имеют огра- ничения для их применения и не могут описать отражающих свойств всего многообразия по- верхностей. Дальнейшее уточнение ИГУ может быть выполнено с использованием производных более высокого (целого) порядка или обобщенных ГУ [5, 7, 8]. Общая методология получения точ- ных импедансных ГУ высокого порядка в спек- тральной области представлена в монографии D. J. Hoppe и Y. Rahmat-Samii [7], где были рас- смотрены плоские покрытия (а также поверхно- сти с кривизной), состоящие из однородных ма- териалов с произвольными (линейными, бианизо- тропными) материальными уравнениями. Как было показано [7], в спектральной области можно получить точные ИГУ, часто в аналитической форме. Однако не всегда удается получить ИГУ в пространственной области в явном виде, поэтому необходимо аппроксимировать ИГУ в спектраль- ном области, чтобы можно было применить об- ратное преобразование Фурье. В основном для аппроксимации используются рациональные функции. Этот метод позволил вывести ИГУ вы- сокого порядка для различных покрытий: много- слойных [9–11], неоднородных диэлектрических слоев [12], многослойных покрытий на криволи- нейных проводящих телах [13], неоднородных диэлектрических слоев [14], однородных биани- зотропных слоев [14], а также для сложных гео- метрий [15]. Заметим, что производные приме- няются к тангенциальным компонентам поля вдоль поверхности. Другое, не менее простое с математиче- ской точки зрения, чем импедансное, граничное условие, обобщающее идеальные границы, было предложено в 2005 г. I. V. Lindell и A. H. Sihvo- la [16, 17] – идеально электрически-магнитно проводящая (ИЭМП) граница: .0 EMH  (3) При 0M ИЭМП переходит в ИЭП границу, а при M в ИМП. Несмотря на то что подобные границы имеют простое математическое описание, их фи- зическая реализация представляет собой сложную задачу. Физическая модель для реализации ИЭМП границы была предложена в 2006 г. в ра- боте [17], где I. V. Lindell показал, что для нор- мального падения ИЭМП может моделировать отражение от анизотропного слоя. Также были предложены другие физические модели. При этом задача дифракции на подобной границе не рассматривалась. Дальнейшее обобщение ИЭМП – обоб- щенная GSHS-поверхность (soft-and-hard surface), рассмотренная в работе [18] в виде ГУ: ,0Ea  ,0Ha  где ba  , – комплексные векторы, удовлетворяю- щие условию 0 bnan  и .1ba  GSHS-поверхность может трансформи- ровать любую заданную поляризацию плоской падающей волны в любую другую поляризацию отраженной волны при соответствующем выборе векторов ba  , [18]. Использование дробных производных приводит к дробным ГУ (ДГУ), обобщающих идеальные границы: ,0\|)( Sn rUD  (4) где дробная производная берется по нормали к поверхности. Функция U описывает тангенци- альную компоненту электрического или магнит- ного поля. Дробная производная определяется через интеграл Римана-Лиувилля на полубеско- нечном интервале [19]. Рассматриваются значения дробного по- рядка  между 0 и 1. Крайние значения дробно- го порядка 0 и 1 приводят к ИЭП и ИМП границам, соответственно. ДГУ обобщают идеальные границы, такие как ИЭП и ИМП. Э. И. Велиев и др. / Описание границ в задачах… _________________________________________________________________________________________________________________ 135 ДГУ рассматривались в задачах отражения в ра- ботах Э. И. Велиева, N. Engheta [3, 20, 21] в 2003 г., где были приведены коэффициенты от- ражения от границ, описываемых ДГУ. Показано, что граница имеет коэффициент отражения, рав- ный по модулю 1, т. е. соответствует идеально отражающей границе. При этом фаза коэффици- ента отражения определяется дробным порядком. ДГУ могут применяться для моделирова- ния отражения электромагнитных волн от опре- деленного класса поверхностей. При этом один из главных вопросов, связанных с введением ДГУ, – это определения значения дробного порядка через исходные параметры задачи. В данной ра- боте ДГУ сопоставляются с известными импе- дансными ГУ. ДГУ являются примером нелокаль- ных ГУ. Это означает, что значение функции на границе зависит от значений поля в точках на конечном расстоянии от границы, в отличие от классических ГУ (ИЭП, ИМП, ИГУ), когда зна- чение на границе определяется только значения- ми поля в точках, бесконечно близких к границе. Это связано с применением производных нецело- го порядка вместо обычных производных. В задачах рассеяния нелокальные ГУ широко применяются в численных алгоритмах, основанных на методе конечных элементов или методе конечных разностей [22, 23]. Процедура основана на рассмотрении конечной области, ог- раничивающей рассеивающий объект для усече- ния рассчитываемого региона, при этом на грани- це новой области требуется выполнение но- вых ГУ, которые обычно имеют нелокальный характер. Нелокальные ГУ находят применение для волнового уравнения в параболическом при- ближении [23]. Нелокальные ГУ являются эффек- тивной альтернативой традиционному использо- ванию поглощающих слоев [23]. Определим основные задачи, связанные с рассмотрением ДГУ в задачах дифракции: – разработка численно-аналитического мето- да решения, который позволил бы с нужной точ- ностью получать численные результаты для ис- следования характеристик дробного решения; – качественное изучение физических свойств дробной границы; – связь дробной границы с другими извест- ными границами; – физическая реализация дробной границы. Задачи дифракции на границах с ДГУ требуют построения математического аппарата для их решения. Двумерная задача дифракции на ленте, описываемой ДГУ, и метод ее решения, основанный на применении дробной функции Грина и ортогональных полиномов, были рас- смотрены в работах [24, 25]. Ввиду развитости математического аппа- рата дробных производных, ДГУ являют простым обобщением идеальных границ (ИЭП и ИМП). ДГУ позволят получить новые математические модели для описания отражательных свойств ма- териалов. Благодаря специфическим свойствам границ, описываемых ДГУ, представляется акту- альным описать и реализовать подобные структу- ры. ДГУ требуют детального изучения с физиче- ской и математической точек зрения. 1. Получение решения задачи отраже- ния с помощью дробного ротора. Рассмотрим классическую двумерную задачу отражения на- клонно падающей (под углом  ) плоской волны на границу раздела, которая расположена в плос- кости 0y и задается ГУ с импедансом  )( 0 HnnEn     , .0y (5) Предполагая, что нам известно решение ),( 00 HE  задачи для импедансной границы (5), рассмотрим два способа построения дробного поля :),(  HE  – применение rot к полному полю: );,(rot)(),( 00 0 HEikHE    (6) – применение rot к отраженному полю: ).,(),( ),,(rot)(),( ,0,0,, ,0,0 0 ,, iiii rrrr HEHE HEikHE        (7) Для случая (6) дробная граница описывает промежуточное состояние между импедансной границей со значением  ( 0 ) и дуальной границей с импедансом 1 ( 1 ). Дробную границу можно описать с помощью анизотропных ИГУ: ),(     HnnEn   где импеданс                2221 1211 является тензором. В частных случаях тензора  получены выражения, которые определяют  через  и . Если принять ,01221    то имеем выражения для элементов тензора дробного импеданса  : )()( )( sin 1 / 011 HE i HE i ARBRABe ARBRABe         ; )()( )( sin/ 022 HE i HE i BRARBAe BRARBAe        , где ),2/sin(A )2/cos(B и , sin/1 sin/1 0 0     ER   sin)/(1 sin)/(1 1 0 1 0     HR – коэффициенты отражения. Э. И. Велиев и др. / Описание границ в задачах… _________________________________________________________________________________________________________________ 136 Если исходный импеданс ,0 то );2/tg( sin / 011    i  (8) ).2/tg(sin/ 022  i (9) Выражения (8), (9) обобщают выражение для дробного импеданса, полученного в работе [1] для случая наклонного падения. Для случая 02211    можно показать, что имеет место соотношение для поверхностных токов: ,12   mxex jj  .21   mzez jj  Поверхностные токи являются параллельными друг другу, в отличие от изотропной импеданс- ной границы, когда токи являются перпендику- лярными. Подобные границы были рассмотрены в работах I. V. Lindell и A. H. Sihvola для описа- ния ИЭМП границы (3). Чтобы построить модель границы для случая (7), рассмотрим биизотропный слой ( Ly 0 ) над ИЭП границей ( 0y ) (рис. 1). Биизотропная среда описывается материальными уравнениями: ,22 HED    ,22 HEB    где 2 , 2 – диэлектрическая и магнитная прони- цаемости соответственно. Коэффициенты 2 , 2 имеют вид 00222 )(  i , 00222 )(  i , где 2 – параметр Теллегена, 2 – киральность.  2 , 2 , 2 , 2  0 ,  0 L 0 E r E i x y Рис. 1. Геометрия задачи отражения плоской волны от биизо- тропного слоя Для дробной границы коэффициент от- ражения R можно выразить через исходные коэффициенты ,ER :HR ir ERE ,,    , .       EH EH BRAR ARBR R Применение дробного ротора приводит к изменению поляризации поля [3]. Также измене- ние поляризации наблюдается при отражении или прохождении через биизотропный слой. Дробная граница может моделировать биизотропный слой [3], если  выбрать так, чтобы коэффициенты кополяризации coR и кросс-поляризации crR были связаны соотношениями )2/cos(coR , )2/sin(crR . Уравнение для нахождения  принимает вид , cos)cos(sin)( )cos(sinsin2 2 tg 2 22 022 22 2 2 0 22 2 220            Lk Lk R R co cr где 222 /  , 22 sin  , 222 k . На рис. 2, 3 приведены зависимости дробного порядка и коэффициентов отражения от параметров слоя. Значения , близкие к 1, соот- ветствуют ,0coR 1crR , что описывает эф- фект изменения поляризации, когда падающая плоская волна преобразуется в отраженную пло- скую волну с поляризацией, повернутой на 90 относительно падающей волны. 0 1 2 3 4 5 0,0 0,5 1,0 3 1 2 \|R cr \| k 2 L Рис. 2. Дробный порядок  как функция толщины слоя Lk 2 для 8,0/ 02  : 1 – 7,0 2  ; 2 – 85,0 2  ; 3 – 1 2  0 1 2 3 4 5 0,0 0,5 1,0 3 1 2 \|R cr \| k 2 L Рис. 3. Кросс-поляризованный коэффициент отражения crR для 8,0/ 02  для тех же параметров, что и на рис. 2 Э. И. Велиев и др. / Описание границ в задачах… _________________________________________________________________________________________________________________ 137 2. Дробные граничные условия в зада- чах отражения от границ раздела. Для задачи отражения плоской волны от бесконечного полу- пространства ),0( y с ДГУ в виде 0),( yxED zky  , ,0y (10) имеем коэффициент отражения .)1(   ieR  (11) Для импедансной границы коэффициент отраже- ния имеет вид , sin/1 sin/1 0 0     impR (12) где  – угол падения. Сравнение коэффициентов отражения (11) и (12) для ДГУ и ИГУ позволяет вывести соотношение между дробным порядком и импе- дансом. Таким образом, ДГУ могут моделиро- вать ИГУ, если выбрать дробный порядок из со- отношения [24]:     sin/1 sin/1 ln 1 0 0    i . (13) Это соотношение также было приведено в работе [21]. Дробный порядок 0 соответствует ИЭП ( 0 ) границе. Значение 1 соответст- вует импедансу , i который описывает ИМП границу. Рассмотрим задачу отражения наклонно падающей волны от диэлектрического слоя (рис. 4). Диэлектрический слой можно заме- нить ДГУ вида (10) (при 0 Ly ), если дробный порядок  выбран из соотношения Lik Lik eRR eRR i L 2 2 2 2312 2 2312 1 ln 1 ),,(        , (14) где )/()( ijijijR   , jjj  / , .3,2,1, ji  3 , 3  2 , 2  1 , 1 L 0 E r E i x y Рис. 4. Геометрия задачи отражения плоской волны от диэлект- рического слоя Если 0\|\| 12 R , 0\|\| 23 R , то из (14) по- лучаем выражение )ln( 1 22 2312 Lik eRR i     . Если же среда 3 – ИЭП, т. е. ,3  то 123 R и имеем выражение для коэффициента отражения: )ctg( )ctg( 22 22 Lki Lki R      . При этом дробный порядок )ctg( )ctg( ln 1 22 22 Lki Lki i        , где 122 /  – нормализованный импеданс среды 2. Перепишем это уравнение следующим образом: )2/ctg()ctg( 22 Lk , ))2/ctg(arcctg( 22 Lk . Значение 0 соответствует случаю, когда )ctg( 2Lk , 1R . Это выполняется при очевидном случае, когда толщина слоя 0L , а также при толщине слоя ,2 nLk  ...,3,2,1n . При 1 имеем условие 0)ctg( 2 Lk ( ,2/2 nLk   ...,2,1,0n ) и .1R 3. Дифракция на ленте с ДГУ. Рассмот- рим двумерную задачу дифракции на ленте с ДГУ в виде 0),( yxED zky  , .0y (15) Подробно метод решения этой задачи для случай Е-поляризации был рассмотрен в работе [24], где были представлены численные результаты для рассеивающих характеристик ленты: диаграмма направленности, поперечник обратного рассея- ния, плотность распределения поверхностных токов. Дробная граница может поддерживать как электрический, так и магнитный токи. По- добное распределение поверхностных токов на- блюдается для импедансной поверхности. В ра- боте [25] было проведено как качественное, так и численное сравнение отражающих свойств ленты с ДГУ и импедансной ленты с импедансом, опре- деляемым из соотношения (13), которое является точным в случае бесконечных границ. Получен- ное соотношение можно использовать при рас- смотрении конечных границ таким же образом, как были введены ГУ Леонтовича сначала для бесконечных границ, для которых определяют значение импеданса, а далее применяются для Э. И. Велиев и др. / Описание границ в задачах… _________________________________________________________________________________________________________________ 138 конечных границ. В этом смысле, так же как и ИГУ, ДГУ являются приближенными. Для конечных границ точность примене- ния ДГУ вместо ИГУ требует дополнительного анализа и может быть проверена, в частности, численно, решая соответствующие задачи ди- фракции. В работе [25] были проанализированы рамки применимости ДГУ для моделирования ИГУ на примере задачи дифракции на ленте. Сравнивая в дальней зоне поля для ленты с ДГУ и импедансной ленты в приближении физической оптики, можно вывести аналитическое уравнение, связывающее дробный порядок и импеданс [25]. Это уравнение в точности совпадает с выражени- ем (13), полученным для бесконечных границ. Для задачи дифракции на ленте ДГУ яв- ляются схожими с ИГУ [25] при достаточно ма- лых значениях длины волны, когда краевые эф- фекты играют меньшую роль (рис. 5). 0 20 40 60 80 60 40 20 0 20 – – Дб  1 2 3 4 – Рис. 5. Поперечник обратного рассеяния для 2ka : 1 – дроб- ная лента при 25,0 ; 2 – импедансная лента при )25,0(  ; 3 – дробная лента при 75,0 ; 4 – импедансная лента при )75,0(  При больших же значениях длины волны ДГУ приводят к некоторым особенностям. Как отмечено в работе [24], лента ДГУ имеет резо- нанс по углу падения для поперечника обратного рассеяния при значении дробного порядка 2/1 при больших значениях длины волны по сравнению с поперечными размерами ленты (рис. 6). Подобный резонанс не наблюдается для импедансной ленты той же ширины. Этот резо- нанс не связан с геометрией ленты, а связан со свойствами самой поверхности. Лента с ДГУ по- рядка ,2/1 имеет «сверхволновые» свойства. Отметим, что подобные «сверхволновые» свойст- ва известны для поверхностей с фрактальной геометрией. Возможность применения ДГУ для анализа шероховатых поверхностей была отмече- на в работе А. А. Потапова [26]. 0 20 40 60 80 60 40 20 0 – – Дб  2 3 1 – Рис. 6. Поперечник обратного рассеяния: 1 – для дробной ленты 2/1 , полученный численно; 2 – для импедансной ленты с  sin/i ; 3 – для дробной ленты 2/1 , полу- ченный аналитически 4. Физическая реализация ДГУ. Обра- тимся к соотношению (5). Как видно, ДГУ при 10   соответствуют чисто мнимому импе- дансу ia (  a0 ). При частном значении дробного порядка 2/1 ДГУ соответствуют импедансу .i Если принять определение импеданса в виде ,/   тогда ДГУ можно моделировать с помощью слоя с параметрами, связанными соот- ношением .0sin2 00       Случай 1/ 0  соответствует значению ди- электрической проницаемости  2 0 sin/  . Если ДГУ применяются для моделирова- ния резистивного слоя [1] со значением резистив- ности )1(0   k i Re , где  – толщина слоя, которая полагается достаточно маленькой ( 00 k ), тогда можно получить соотношение для определения для дробного порядка в виде )1( )2/tg( sin 0      k ii . В частном случае 2/1 имеем 1/ 1 0 0    k , что соответствует значению диэлектрической проницаемости   0 0 1 1/ k  , которое обычно меньше 0. Выводы. Рассмотрены основные воз- можности применения дробных операторов для описания отражающих свойств различных по- Э. И. Велиев и др. / Описание границ в задачах… _________________________________________________________________________________________________________________ 139 верхностей. Рассмотрены операторы дробного ротора и дробной производной. Дробное поле, полученное в результате применения дробного ротора, может описывать решение задачи отра- жения от границы, описываемой анизотропными ИГУ, либо от биизотропного слоя. Выведены со- отношения для определения порядка дробного ротора через материальные параметры. Наряду с ИГУ, ДГУ с дробной производ- ной по нормали являются обобщением идеальных границ (ИЭП и ИМП). Найдены выражения для определения дробного порядка через параметры структур для случая поверхностей, моделируе- мых ИГУ, а также резистивного слоя. На примере задачи дифракции на ленте найдены условия применимости ДГУ для моделирования импе- дансных границ. ДГУ могут быть использованы для моделирования рассеивающих свойств гра- ниц других поверхностей. 1. Engheta N. Fractional curl operator in electromagnetics // Microwave and Optical Technology Letters. – 1998. – 17, No. 2. - P. 86–91. 2. Ивахниченко М. В. Поляризационные свойства дробных полей // Радиофизика и электроника. – Харьков: Ин-т ра- диофизики и электроники НАН Украины. – 2007. – 12, № 2. – С. 328–334. 3. Ivakhnychenko M. V., Veliev E., Ahmedov T. M. Fractional operators approach in electromagnetic wave reflection prob- lems // Journ. of electromagnetic waves and applications. – 2007. – 21, No. 13. - P. 1787–1802. 4. Ванштейн Л. А. Электромагнитные волны. – М.: Радио и связь, 1988. – 440 с. 5. Senior T. B., Volakis J. L. Approximate boundary conditions in electromagnetics. – London: The institution of electrical engineers, 1995. – 353 p. 6. Leontovich M. A. Investigations on radiowave propagation // Academy of Sciences. – 1948. – Part 2. – P. 5–12. 7. Hope D. J., Rahmat-Samii Y. Impedance boundary conditions in electromagnetics. – Washington, DC: Taylor and Francis, 1995. – 196 p. 8. Idemen M. Universal boundary conditions of the electromag- netic fields // J. Phys. Soc. Jpn. – 1990. – 59, No. 1. – P. 71–80. 9. Cicchetti R. A. Class of exact and higher-order surface boun- dary conditions for layered structures // IEEE Transactions on antennas and propagation. – 1996. – 44, No. 2. – P. 249–259. 10. Ricoy M. A., Volakis J. L. Derivation of generalized transi- tion/boundary conditions for planar multiple-layer structures // Radio science. – 1990. – 25, No. 4. – P. 391–405. 11. Tretyakov S. A. Generalized impedance boundary conditions for isotropic multilayers // Microwave and optical technology letters. – 1998. – 17, No. 4. – P. 262–265. 12. Galdi V., Pinto I. M. Higher-order impedance boundary condi- tions for metal-backed inhomogeneous dielectric layers // Mi- crowave and optical technology letters. – 1999. – 22, No. 4. – P. 249–254. 13. Galdi V., Pinto I. M. SDRA approach for higher-order impe- dance boundary conditions for complex multilayer coatings on curved conducting bodies // Journ. of electromagnetic waves and applications. – 1999. – 13, No. 12. – P. 1629–1630. 14. Galdi V., Pinto I. M. Derivation of higher-order impedance boundary conditions for stratified coatings composed of in- homogeneous-dielectric and homogeneous-bianisotropic lay- ers // Radio science. – 2000. – 35, No. 2. – P. 287–303. 15. Cicchetti R., Faraone A. Exact surface impedance/admittance boundary conditions for complex geometries: theory and ap- plications // IEEE Transactions on antennas and propagation. – 2000. – 48, No. 2. – P. 223. 16. Lindell I. V., Sihvola A. H. Transformation method for Prob- lems Involving Perfect Electromagnetic Conductor (PEMC) Structures // IEEE Transactions on antennas and propagation. – 2005. – 53, No. 9. – P. 3005–3011. 17. Lindell I. V., Sihvola A. H. Realization of the PEMC boundary // IEEE Transactions on antennas and propagation. – 2005. – 53, No. 9. – P. 3012–3018. 18. Hanninen Ilari, Lindell I. V., Sihvola A. H. Realization of generalized soft-and-hard boundary // Progress in electromag- netics research. – 2006. – 64. – P. 317-333. 19. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложе- ния. – Минск : Наука и техника, 1987. – 688 c. 20. Veliev E., Engheta N. Fractional curl operator in reflection problems // Mathematical methods in electromagnetic theory: 10th international conference: conf. proc. – Dnieperpetrovsk, 2004. – P. 228–230. 21. Engheta N. Fractionalization methods and their applications to radiation and scattering problems // Mathematical methods in electromagnetic theory: conf. proc. – Kharkiv, 2000. – P. 34–40. 22. Marin S. P. Computing scattering amplitudes for arbitrary cylinders under incident plane waves // IEEE Transactions on antennas and propagation. – 1982. – 30, No. 6. – P. 1045–1049. 23. Hyaric Z. L. Wide-angle nonlocal boundary conditions for the parabolic wave equation // IEEE Transactions on antennas and propagation. – 2001. – 49, No. 6. – P. 916–922. 24. Veliev E. I., Ivakhnychenko M. V., Ahmedov T. M. Fractional boundary conditions in plane waves diffraction on a strip // Progress in electromagnetics research. – 2008. – 79. – P. 443–462. 25. Ivakhnychenko M. V., Veliev E. I., Ahmedov T. M. Scattering properties of the strip with fractional boundary conditions and comparison with the impedance strip // Progress in electro- magnetics research C. – 2008. – 2. – P. 189–205. 26. Потапов А. А. Фракталы, скейлинг и дробные операторы как основа новых методов обработки информации и конс- труирования фрактальных радиосистем // Технологии и конструирование в электронной аппаратуре. – 2008. – № 5. – С. 3–19. DESCRIPTION OF BOUNDARIES IN SCATTERING PROBLEMS WITH THE HELP OF FRACTIONAL OPERATORS E.I. Veliev, M.V. Ivakhnychenko, T.M. Ahmedov Possibility of utilization of fractional operators in ref- lection of electromagnetic waves from plane boundaries is ana- lyzed. Fractional derivative and fractional curl operator obtained as a result of fractionalization of usual operators of derivative and curl are under consideration. A fractional curl operator can be used to describe effect of changing of polarization of wave reflected from bi-isotropic slab or boundary described by anisotropic im- pedance boundary conditions. The order of fractional curl operator is defined from material parameters of considered problem. Boun- dary conditions with a fractional derivative generalize conditions for perfect electric and magnetic conductive boundaries. Usage of fractional boundary conditions (FBC) to simulate reflection from plane boundaries. Scattering properties of a strip with FBC and an impedance strip are compared on example of diffraction problem by a strip of finite width. Equations that are relate a fractional order and an impedance have been evaluated. It is shown that FBC can be used to simulate scattering from impedance boundaries and also from a dielectric slab for a wide range of parameters. FBC correspond impedance boundaries with a pure imaginary value of impedance. Also special scattering features of a strip with FBC related with its superwave properties have been shown. Key words: fractional derivative, fractional curl opera- tor, boundary conditions, diffraction. Э. И. Велиев и др. / Описание границ в задачах… _________________________________________________________________________________________________________________ 140 ОПИС МЕЖ В ЗАДАЧАХ РОЗСІЯННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ ДРОБОВИХ ОПЕРАТОРІВ Е. І. Велієв, М. В. Івахниченко, Т. М. Ахмедов Аналізується можливість застосування дробових операторів в задачах відбивання електромагнітних хвиль від плоских меж. Розглядаються дробова похідна та дробовий ротор, що виникають як результат фракталізації звичайних операторів похідної та ротора. Дробовий ротор може викорис- товуватися для опису ефекту зміни поляризації хвилі, що відбилася від біізотропного шару чи межі, яка описується анізотропними імпедансними граничними умовами. Порядок дробового ротору визначається через матеріальні параметри задачі, що розглядається. Граничні умови з дробовою похід- ною узагальнюють умови для ідеальних електрично- та маг- нітно-провідних меж. Розглядаються застосування дробових граничних умов (ДГУ) для моделювання відбивання від плос- ких меж. На прикладі задачі дифракції на стрічці скінченої ширини порівнюються розсіювальні властивості стрічки з ДГУ та імпедансної стрічки. Отримано вирази, що пов’язують дробовий порядок і імпеданс. Показано, що в широкому діа- пазоні зміни параметрів ДГУ можут застосовуватися для мо- делювання відбивання від імпедансних меж, а також від ді- електричного шару. ДГУ відповідають імпедансним межам з чисто уявним значенням імпедансу. Також відмічено особли- вості розсіювальних характеристик стрічки з ДГУ, пов’язані з «надхвильовими» властивостями. Ключові слова: дробова похідна, дробовий ротор, граничні умови, дифракція. Рукопись поступила 28 июня 2009 г.

Описание границ в задачах рассеяния с помощью дробных операторов

Institution

Ähnliche Einträge