Сравнительная характеристика зонных спектров периодических структур, образованных слоями различных материалов во внешнем магнитном поле

Проведен сравнительный анализ одномерных периодических структур, образованных двумя повторяющимися слоями: диэлектрик–диэлектрик, диэлектрик–полупроводник, диэлектрик–полупроводник в магнитном поле, феррит–феррит и повторяющаяся последовательность квантовых ям. Во всех случаях аналитически и числен...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
Hauptverfasser:	Булгаков, А.А., Ханкина, С.И., Шрамкова, О.В., Яковенко, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2008
Schlagworte:	Радиофизика твердого тела и плазмы
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10575
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Сравнительная характеристика зонных спектров периодических структур, образованных слоями различных материалов во внешнем магнитном поле / А.А. Булгаков, С.И. Ханкина, О.В. Шрамкова, В.М. Яковенко // Радіофізика та електроніка. — 2008. — Т. 13, № 2. — С. 190-199. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859887546418331648
author	Булгаков, А.А. Ханкина, С.И. Шрамкова, О.В. Яковенко, В.М.
author_facet	Булгаков, А.А. Ханкина, С.И. Шрамкова, О.В. Яковенко, В.М.
citation_txt	Сравнительная характеристика зонных спектров периодических структур, образованных слоями различных материалов во внешнем магнитном поле / А.А. Булгаков, С.И. Ханкина, О.В. Шрамкова, В.М. Яковенко // Радіофізика та електроніка. — 2008. — Т. 13, № 2. — С. 190-199. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	Проведен сравнительный анализ одномерных периодических структур, образованных двумя повторяющимися слоями: диэлектрик–диэлектрик, диэлектрик–полупроводник, диэлектрик–полупроводник в магнитном поле, феррит–феррит и повторяющаяся последовательность квантовых ям. Во всех случаях аналитически и численно проведено исследование физических особенностей перечисленных структур. Показано, что исследованные свойства могут быть применены на практике для широкого спектра частот от единиц гигагерц до сотен терагерц (от сантиметрового до рентгеновского диапазонов длин волн). Проведено порівняльний аналіз одновимірних періо-дичних структур, що створені двома повторними шарами: діелектрик–діелектрик, діелектрик–напівпровідник, діелектрик–напівпровідник у магнітному полі, ферит–ферит та повторна послідовність квантових ям. У всіх випадках аналітично та чисельно проведено дослідження фізичних особливостей перелічених структур. Показано, що досліджені властивості можуть бути застосовані на практиці для широкого спектру частот від одиниць гігагерц до сотень терагерц (від сантиметрового до рентгенівського діапазонів довжин хвиль). The comparative analysis of one-dimensional periodic structures formed by two recurring layers: dielectric-dielectric, dielectric-semiconductor, dielectric-semiconductor in a magnetic field, ferrite-ferrite and consecution of quantum wells is realized. For all cases the analytical and numerical investigation of physical peculiarities of enumerated structures is realized. It was shown that investigated peculiarities can be used in practice for the wide spectrum of frequencies from the units of GHz to hundreds of terahertz (from centimeter to X-ray wave length range).
first_indexed	2025-12-07T15:53:24Z
format	Article
fulltext	__________ ISSN 1028-821X Радиофизика и электроника, том 13, № 2, 2008, с. 190-199 © ИРЭ НАН Украины, 2008 РАДИОФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА И ПЛАЗМЫ УДК 539.216.2:621.315.592 СРАВНИТЕЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗОННЫХ СПЕКТРОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР, ОБРАЗОВАННЫХ СЛОЯМИ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ А. А. Булгаков, С. И. Ханкина, О. В. Шрамкова, В. М. Яковенко Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины, 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: bulgakov@ire.kharkov.ua; O.Shramkova@gmail.com Проведен сравнительный анализ одномерных периодических структур, образованных двумя повторяющимися слоями: ди- электрик–диэлектрик, диэлектрик–полупроводник, диэлектрик–полупроводник в магнитном поле, феррит–феррит и повторяющаяся последовательность квантовых ям. Во всех случаях аналитически и численно проведено исследование физических особенностей пере- численных структур. Показано, что исследованные свойства могут быть применены на практике для широкого спектра частот от еди- ниц гигагерц до сотен терагерц (от сантиметрового до рентгеновского диапазонов длин волн). Ил. 6. Библиогр.: 13 назв. Ключевые слова: периодическая структура, передаточная матрица, дисперсионное соотношение, TE- и TM-волны, раз- решенная и запрещенная зоны. Освоение коротковолновых частотных диапазонов от десятков до сотен гигагерц (от мил- лиметрового до рентгеновского) в настоящее вре- мя связано с развитием наноэлектроники. Одним из направлений этой области является создание тонкопленочных структур из различных материа- лов. Если свойства такой структуры обладают периодичностью, то можно говорить о создании нового материала с физическими параметрами, не существующими у естественных твердых тел. Электродинамические свойства отдельных слоев описываются уравнениями Максвелла и гранич- ными условиями. Периодичность структуры на- кладывает дополнительные требования на поля на границах слоев. В результате возникает новое свойство – трансляционная симметрия. Оно, как известно, заключается в том, что свойства мате- риала повторяются с определенным периодом. Минимальное значение периода повторения поля равно периоду структуры, а максимальное – мо- жет быть любым. В результате возникают зоны пропускания и непропускания электромагнитных волн. Эти зоны аналогичны энергетическим зо- нам для электронов в кристаллических проводя- щих твердых телах. Если периодическая структу- ра состоит из ограниченного числа периодов, то компонента волнового вектора, перпендикуляр- ная границам слоев, приобретает дискретные зна- чения. Эта особенность соответствует квантова- нию энергии электронов проводимости в кванто- вой механике твердого тела. Конфигурация зон пропускания определя- ется толщинами слоев и диэлектрической и магнит- ной проницаемостями. Если проницаемости обла- дают частотной или пространственной дисперсиями или зависят от внешних полей, то появляется воз- можность эффективного управления спектральны- ми свойствами периодических материалов. Теоретический анализ связан с решения- ми уравнений Хилла и Матье, к которым приво- дятся уравнения Максвелла, и работами [1] и [2]. Для периодической системы квантовых ям задача Кронига–Пенни [3] была одной из первых. В даль-нейшем интересные результаты были полу- чены в работах [4-10]. Обзор работ до середины 1980-х гг. приведен в монографии [11]. В настоя- щее время это направление получило значитель- ное развитие в наноэлектронике, теории левых сред, фотонике. Нами будут рассмотрены зонные спектры периодических структур, образованных повторе- нием таких слоев: диэлектрик-диэлектрик, диэлек- трик-полупроводник, диэлектрик-полупроводник в магнитном поле, феррит-феррит и периодическая система двухкоординатных квантовых ям. 1. Дисперсионное соотношение. Рас- смотрим простую задачу для периодической структуры диэлектрик–диэлектрик. В дальней- шем мы будем пользоваться методикой, подробно описаной в работе [11]. Направим ось z0 вдоль направления пе- риодичности, т. е. по нормали к границам слоев. Две других оси лежат в плоскости слоев, и их расположение может быть произвольным, так как слои диэлектриков предполагаются изотропными. Это позволяет пренебречь в решении уравнений Максвелла зависимостью, например, от коорди- наты y . В результате, как известно, электромаг- нитное поле разделится на два типа волн: TH с компонентами yzx HEE ,, ( E – волны) и TE с компонентами zxy HHE ,, ( H – волны). Реше- mailto:bulgakov@ire.kharkov.ua mailto:O.Shramkova@gmail.com А. А. Булгаков и др. / Сравнительная характеристика зонных… _________________________________________________________________________________________________________________ 191 ние для каждого слоя будем искать в виде пло- ских волн, т. е. компоненты полей предполагают- ся пропорциональными )exp( zikxikti zx . Тогда из уравнений Максвелла получим значения для нормальных компонент волновых векторов .2 2,12 2 2,1 xz k c k (1) Здесь индексы относятся к первому и второму слоям периода; c – скорость света; 2,1 – диэлек- трическая проницаемость слоев. В данном случае это константы, т. е. диэлектрическая проницае- мость слоев не имеет дисперсии. Выражения для полей E волн в каждом слое представим в виде .cossin ;sincos 21 21 zkAzkA ck H zkAzkAE zz z y zzx (2) Для дальнейшего удобно произвольные постоянные 1A и 2A выразить через значения полей при 0z , тогда .cos0sin0 ;sin0cos0 zkHzkE ck zH zkH ck zkEzE zyzx z y zy z zxx Из этих уравнений определим 0xE и 0yH через zEx и zH y и введем так назы- ваемую передаточную матрицу ____________________________________________ . cossin sincos 0 0 zH zE zm zH zE zkzk ck zk ck zk H E y xE y x zz z z z z y x ____________________________________________ Если толщины слоев обозначить через 2,1d , а период структуры – через 21 ddd , то, учитывая непрерывность полей на границе меж- ду первым и вторым слоями, получим . 0 0 2211 dH dE m dH dE dmdm H E y xE y xEE y x Здесь Em – передаточная матрица периода, а ее компоненты равны: __________________________________________ .sincoscossin ;sincoscossin ;sinsincoscos ;sinsincoscos 2211 2 2 2211 1 1 21 2211 2 2 2211 1 1 12 2211 21 12 221122 2211 12 21 221111 dkdk cik dkdk cik m dkdk ck i dkdk ck i m dkdk k k dkdkm dkdk k k dkdkm zz z zz zE zz z zz z E zz z z zz E zz z z zz E (3) Аналогичным образом для H волн получим . 0 0 2211 dH dE m dH dE dmdm H E x yH x yHH x y .sincoscossin ;sincoscossin ;sinsincoscos ;sinsincoscos 2211 2 2211 1 21 2211 2 2211 1 12 2211 2 1 221122 2211 1 2 221111 dkdk cik dkdk cik m dkdk ck i dkdk ck i m dkdk k k dkdkm dkdk k k dkdkm zz z zz zH zz z zz z H zz z z zz H zz z z zz H (4) А. А. Булгаков и др. / Сравнительная характеристика зонных… _________________________________________________________________________________________________________________ 192 Учтем периодичность структуры. Для это- го запишем условия повторяемости полей через период структуры. Как известно из теоремы Флоке (или теоремы Блоха), это означает, что поля через период могут отличаться только фазами: dikH dikE m H E E y E xE y x exp0 exp0 0 0 ; (5, а) dikH dikE m H E H x H yH x y exp0 exp0 0 0 . (5, б) Здесь введены новые поперечные волновые числа HEk , , которые описывают периодичность струк- туры. Эти числа в дальнейшем будем называть, по аналогии с твердотельными кристаллами, бло- ховскими волновыми числами. С математической точки зрения соотношения (5) позволяют “вы- брать” только те волны, соотношения между ам- плитудами которых удовлетворяют условиям пе- риодичности. Если же такие условия не выпол- няются, то распространение волн с такой часто- той и волновым числом HEk , невозможно, т. е. возникает запрещенная зона Соотношения (5) представляют собой две системы однородных уравнений. Приравнивая определители систем нулю, получим дисперси- онные соотношения для E – и H – волн: ;sinsin 2 1 coscos 2 cos 2211 21 12 12 21 2211 2211 dkdk k k k k dkdk mm dk zz z z z z zz EE E (6, а) .sinsin 2 1 coscos 2 cos 2211 1 2 2 1 2211 2211 dkdk k k k k dkdk mm dk zz z z z z zz HH H (6, б) Из этих соотношений следует, что волно- вые числа HEk , являются новыми усредненными волновыми числами вместо 2,1zk . По аналогии с твердым телом будем называть их блоховскими компонентами волнового вектора. Оба уравнения содержат перед произведе- ниями синусов множитель, величина которого больше единицы, за исключением случая, когда оба слоя имеют одинаковые параметры, т. е. среда однородна. Решение для распространяющихся волн имеет место, если значение правой части со- отношений (6) по модулю меньше или равно еди- нице. Отметим, что решение представляет собой не отдельную линию, а некоторую область – сплошную зону. Эти зоны разделены областями, в которых правая часть по модулю больше еди- ницы. Это области непропускания, так как бло- ховское число комплексно. Таким образом, дан- ные дисперсионные соотношения описывают многочисленные зоны пропускания и непропус- кания (рис. 1, зоны пропускания заштрихованы). 112 c,10 k x d 4,0 2,0 4,0 8,0 12,0 Рис. 1. Зонная структура спектра для структуры диэлектрик- диэлектрик: 03,01d см, 05,02d см, 51 , 5,12 , "+" - dk , "○" - 0dk ; прямая линия - световая линия пер- вого диэлектрика 1/ckx ; зоны пропускания затемнены Отметим особенность рисунков для зон- ной структуры. В отличие от традиционного изо- бражения зон в теории уравнений с периодиче- ским коэффициентом мы строим зависимости dkx , а не dk E или dk H . Так как в зоне пропускания блоховские волновые числа HEk , изменяются в пределах ...,2,1,/2/...0 ndnd то приведенные графики позволяют судить о характере распро- странения волн в плоскости zx0 . В запрещенных зонах мнимая часть блоховских чисел не меняется и равна или 0 , или . В этом случае рисунки по- зволяют оценить глубину проникновения поля HEk ,Re/2 в зависимости от значения dkx в задачах о распространении поверхностных волн вдоль границы периодического полупространства. Рассмотрим случай распространения волн вдоль оси z0 , когда 2,1 22 / ckx . Тог- да соотношения (6, а, б) совпадают. Это означает, что при распространении волн вдоль нормали к плоскостям слоев E и H моды имеют приблизи- тельно одинаковые зонные структуры, которые начинаются при одних и тех же частотах. Для определенности будем считать, что 21 . Тогда на частотах 2/ckx 2zk ста- новится мнимым, а поля во втором слое убывают по экспоненте от границ слоя. Правые части дис- персионных соотношений (6) остаются по модулю меньшими единицы, поэтому распространение А. А. Булгаков и др. / Сравнительная характеристика зонных… _________________________________________________________________________________________________________________ 193 волн в структуре оказывается возможным. Однако зоны пропускания сужаются. Наконец, если 01zk и 1/ckx (световая линия для первого слоя), то 1zk обращается в ноль на свето- вой линии и становится мнимым ниже нее. Так как распространение поверхностных волн на границе двух однородных диэлектриков невозможно, то ниже световой линии нет зон пропускания. Отме- тим, что при больших значениях и xk все зоны стремятся к этой световой линии. Этот вид зон можно назвать «диэлектрические зоны». 2. Периодическая структура полупро- водник–диэлектрик. Отличительной особенно- стью в этом случае является частотная дисперсия диэлектрической проницаемости полупроводни- ка. Пусть первые слои решетки будут полупро- водниковыми. Тогда для диэлектрической прони- цаемости имеем , 2 2 01 L (7) где L - ленгмюровская частота; 0 - диэлектри- ческая проницаемость решетки. Дисперсионные уравнения в данном слу- чае остаются такими же, как и раньше, т. е. (5) и (6). Однако на частотах 0/L (частота 0/Lp называется плазменной частотой) диэлектрическая проницаемость 1 отрицательна, а 1zk - мнимое число. В отличие от предыдущего случая на границах диэлектрика и полупроводника распространяются поверхностные плазмоны. По этой причине поля в слоях спадают от границ по экспоненте. Можно сказать, что поле просачи- вается через слои, а зона пропускания с ростом xk асимптотически стремится к частоте поверхност- ного плазмона (рис. 2). Кроме того, имеются две зоны: одна на частотах ниже плазменной, вторая – выше. Особенность этих зон в том, что фазовая и групповая скорости волн в структуре стремятся к нулю. Разумеется, что при учете затухания мини- мальная скорость будет ограничена. Однако в пе- риодической структуре часть энергии переносится в слоях диэлектрика, а потери в диэлектрике могут быть на один-два порядка меньше, чем в полупро- воднике. В результате и минимальная скорость в периодической структуре ниже, чем в однородном полупроводнике на таких же частотах. Такая осо- бенность спектра может быть интересной при соз- дании активных полупроводниковых приборов для генерации и усиления в диапазонах коротких мил- лиметровых и субмиллиметровых волн. 112 c,10 k x d 0,5 1,0 1,5 2,0 4,0 8,0 12,0 Рис. 2. Зонная структура спектра для структуры полупровод- ник-диэлектрик: 003,01d см, 005,02d см, 121 , 112 c10,17 12 p , "+" - dk , "○" - 0dk Другая особенность верхней зоны заклю- чается в том, что при некоторых значениях бло- ховского волнового числа наклон производной xk/ оказывается отрицательным. Это озна- чает, что групповая скорость электромагнитной волны должна быть отрицательной, в результате возникает особенность в коэффициенте прелом- ления, если волна падает на ограниченный слои- стый образец [12] Эта область спектра может быть названа «область плазменных поляритонов». 3. Зонная структура спектра в струк- туре диэлектрик–полупроводник в магнитном поле. Как известно, во внешнем магнитном поле диэлектрическая проницаемость полупроводника имеет тензорный характер. Если магнитное поле направлено вдоль оси 0у, то тензор имеет вид [13] ___________________________________________ 22 2 022 2 0 2 2 0 22 2 022 2 0 \|\| \|\| 1 10 010 01 0 00 0 € H p H p p H p H p yy i i , (8) А. А. Булгаков и др. / Сравнительная характеристика зонных… _________________________________________________________________________________________________________________ 194 kxd 3,332 1,666 2 A 4,0 8,0 а дисперсионное уравнение следующее: .sinsin 2 coscoscos 2211 2 \|\| 2 2 2 2 1 21 2 2211 dkdk kkk kk dkdkdk zz F xz F z zz F zz (9) __________________________________________ Здесь \|\| 2 \|\|F ; 22 1 / xFz kck ; 2 2 2 2 / xz kck ; H – циклотронная частота. Рассмотрим область, в которой волны имеют малую фазовую скорость, т. е. область элек- тростатического приближения. Тогда xz ikk 2,1 , а дисперсионное выражение принимает вид . 2 sh sh ch cos 2\|\| 2\|\|2\|\| 21 21 ii dkdk ddkdk xx x (10) Левая часть этого соотношения не зави- сит от частоты, а определяется только геометри- ческими параметрами. Правая же сторона зави- сит от частоты и приложенного магнитного по- ля. При больших значениях волнового числа xk правая часть стремится к нулю. Правая часть обращается в нуль на частотах 22 02,01 4/2/ pHH . Следователь- но, в магнитном поле появляются две асимпто- ты: 01 и 02 , к которым будут стре- миться зоны пропускания (рис. 3). Третья часто- та, так называемая гибридная частота 2/122 Hp , на которой обращается в нуль знаменатель выражения (10) 0\|\| . Характер зон в данном случае аналоги- чен рассмотренной ранее области поверхност- ных поляритонов. Однако расположение этих зон на оси частот различно. Так, при 02 /pH одна зона расположена на час- тотах 01 , а вторая – выше 02 . При 02 /pH обе зоны располагаются ниже частот 02,01 . Все сказанное относится к поля- ризации TM . 4. Зоны пропускания периодической структуры феррит–феррит. Рассмотрим особен- ности зонного спектра структуры, образованной слоями двух различных ферритов. Свойства фер- рита описываются с помощью тензора магнитной проницаемости [11]. Для получения компонент тензора магнитной проницаемости необходимо воспользоваться уравнением Ландау–Лифшица: 000 HMHm dt md   . c/d Рис. 3. Зонная структура спектра для структуры диэлектрик- полупроводник в магнитном поле: 02,01d см, 005,02d см, 8,171 , 112 12 c10,2 p , 20000H Е, "+" – dk , "○" – 0dk , прямая линия А – световая линия для диэлектри- ческого слоя Здесь m  – вектор переменной намагниченности; 0H  – постоянное магнитное поле; 0M  – постоян- ная намагниченность. Предполагаем, что внешнее магнитное поле направлено вдоль оси y0 , т. е. 0,,0 00 HH  . Тогда для компонент переменной намагниченности получаем . ,0 , 22 2 0 0 22 0 0 22 0 0 22 2 0 0 z H H x H H z y z H H x H H x H H M H H M im m H H M iH H M m (11) Отсюда следует, что переменная намагни- ченность не зависит от компоненты магнитного поля, направленной вдоль постоянного магнитного поля, а определяется только компонентами xH и zH поля волны. Поэтому в отличие от полупро- 02 01 А. А. Булгаков и др. / Сравнительная характеристика зонных… _________________________________________________________________________________________________________________ 195 10 -12 ,c -1 водника в магнитном поле влияние внешнего по- стоянного поля следует рассматривать для TE – моды, а не TM – моды, как в полупроводнике. Для тензора магнитной проницаемости € из соотношения для магнитной индукции HmHB  4 получаем ________________________________________ 22 2 0 0 22 0 0 22 0 0 22 2 0 0 \|\| 4104 010 4041 0 00 0 € H H H H H H H H H M H M i H M i H M . (12) Для нахождения дисперсионного соотношения необходимо использовать методику, описанную вы- ше. В результате имеем .sinsin 2 coscoscos 2211 2 22 2 11 12 2 2 2 2 1 1 21 21 2211 dkdkk kk kk dkdkdk zz FF x F z F z zz FF zz (13) __________________________________________ Волновые числа 2,1zk определяются из уравнений Максвелла ., 2,1 2 2,1 2,12,1 2 2,12 2 2,1 FxFz k c k (14) Решение уравнения (13) представлено на рис. 4. В данном случае имеется четыре асимпто- ты, к которым стремятся зоны пропускания. Про- исхождение этих асимптот различно. Так, на час- тоте 02 обращается в нуль 1F , а при 03 02F . На частотах ниже указанных в одном из слоев распространяется волна, амплиту- да которой убывает по экспоненте от границ слоя. В другом слое волны имеют волноводный харак- тер. В результате вблизи характерных частот об- разуется значительное число относительно узких зон пропускания. Для объяснения возникновения асимпто- тик на частотах 04,01 предположим, что 2,1 22 / Fx ck . Тогда из (14) следует, что 22 2,1 xz kk . Следовательно, в дисперсионном соотношении надо тригонометрические функции заменить на гиперболические. А так как аргумен- ты этих функций большие величины, то 1sh ch 2,12,1 dkdk xx . Возникновение зоны пропускания возможно, если выполняется соот- ношение .0 2 2 2 1 2 2 1 2 1 12 2 1 1 2 F F F F x F F F F k (15) Из этого уравнения определяются часто- ты 04,01 . Зоны, которые стремятся к указанным асимптотам, обладают рядом особенностей. Они оказываются очень узкими, так как произведение гиперболических функций имеет большую вели- чину. Волны в слоях в этом случае имеют по- верхностный характер, т. е. энергия переносится вблизи границ слоев. Однако поле волн во всей структуре имеет обычный характер, так как бло- ховское волновое число k действительно. Рис. 4. Зонная структура спектра для структуры феррит-феррит: 6,01d см, 45,02d см, 110 c10765,1H , "+" – dk , "○" – 0dk 5. Особенности спектра периодической последовательности бесконечно тонких кван- товых ям. В данном разделе будет проведено ис- следование периодической структуры бесконечно k x d 2,0 3,0 4,0 5,0 4,0 8,0 02 01 03 04 А. А. Булгаков и др. / Сравнительная характеристика зонных… _________________________________________________________________________________________________________________ 196 тонких квантовых ям. Глубина ям предполагается достаточно большой, чтобы выполнялось условие, аналогичное задаче Кронига-Пенни [3]: const. 2 2 lim 21 0 20 0 dd UEm P U b  (16) Здесь d1 - ширина ям, расстояние между которы- ми равно d2; U0< 0 - потенциал дна ямы; Е - энер- гия частицы. Последние две величины измеряют- ся в электрон-вольтах. На рис. 5 представлена схема задачи. Ямы расположены вдоль направле- ния z0 с периодом 21 ddd , а вдоль оси x0 частицы могут двигаться как свободные. Уравнения Шредингера для волновых функций частиц внутри ямы имеет вид ;,, , 2 0 2 2 2 22 zxEzxU zx zxm  (17, а) вне ямы zxEzx zxm ,, 2 2 2 2 22 . (17, б) Рис. 5. Схема задачи Решение этих уравнений будем искать в виде zikxikzx zx 2,1exp~),( . Тогда для z-компонент волнового вектора получим , 2 , 2 2 21 2 021 xzxz kE m kkUE m k  (18) где 2,1zk – компоненты волнового числа в облас- тях ndd 2...0 1 и nddd 2...1 соответст- венно (n - целое число). Так как U0 < 0, а для уровней энергии, расположенных внутри ямы, и 0E , то, учитывая соотношение энергий 0UE , получим, что 1zk – действительная ве- личина, если 02 2 2 UE m kx  , т. е. внутри ямы. Вне ямы 0E и 2zk – становится мнимым при тех значениях xk , для которых E m kx 2 2 2  . Та- ким образом, при больших значениях волнового числа xk оба значения 2,1zk становятся мнимы- ми. Предельное допустимое значение E m kx 2 2 2  . Это соотношение определяет асим- птоту в координатах xkE, аналогично асим- птоте для случая «диэлектрических зон». В даль- нейшем рассматривается случай, когда 2zk – мнимое число. Воспользуемся граничными условиями: непрерывностью волновых функций и их произ- водных для получения передаточной матрицы пе- риода структуры. Отметим, что эта матрица имеет такой же вид, как матрица для H - волн диэлек- трической структуры (см. (4)). Теперь можно сразу записать дисперсионное соотношение .sh sin 2 1 ch coscos 2211 2 1 1 2 2211 dkdk k k k k dkdkdk zz z z z z zz (19) По своему характеру дисперсионные зо- ны будут похожи на зоны для E – моды. Но, ра- зумеется, их физический смысл совершенно иной. Поскольку область локализации волновой функции превосходит ширину ямы, то перекры- тие волновых функций для носителей из соседних ям будет существенно зависеть от соотношения между глубиной проникновения в барьер и ши- риной барьера, т. е. от величины 22 dkz . Если 122 dkz , то можно считать, что 222222 expshch dkdkdk zzz . Тогда диспер- сионное уравнение (19) принимает вид 0. sin 2 1 cos cos- exp 11 2 1 1 2 11 2 dk k k k k dk dkdk z z z z z z z (20) Будем предполагать, что глубина про- никновения волновых функций в барьер между ямами относительно мала и второе слагаемое в скобке больше первого 1112 tg2 dkkk zzz , (21, а) если и ширина барьера мала, то из (20) имеем 1 2 12 2 dkk zz . (21, б) Для дальнейшего удобно формулы (18) записать следующим образом: 2 20 22 1 /2 zz kUmk  . Далее предположим, что 20 2/2 zkUm  и, d1 d2 d U0 0 x E z А. А. Булгаков и др. / Сравнительная характеристика зонных… _________________________________________________________________________________________________________________ 197 следовательно, 0 22 1 /2 Umkz  . С помощью соотношений (21) и используя приведенные при- ближения, получим 12/11 dkz . (21, в) Это соотношение означает, что область локализации поверхностных электронов превос- ходит ширину ямы 1d . Отсюда следует, что при наличии соседних барьеров волновые функции будут перекрываться и возникнут электронные волны, бегущие под углом к оси z0 . Таким образом, в рассматриваемой перио- дической структуре вдоль каждой ямы, т. е. вдоль области локализации носителей заряда, волны рас- пространяются по оси x0 , причем в направлении поперек ямы (область 1...0 d ) плотность носителей имеет осциллирующий характер, а их свойства определяются двумерным электронным газом. Это связано с тем, как указывалось ранее, что для на- правления вдоль оси x0 волновая функция имеет вид как для свободной частицы. В направлении же z0 в областях слоев 2d волны имеют поверхно- стный характер. Интересно отметить, что наличие блоховского волнового числа k приводит к воз- никновению нового типа волн. Они распространя- ются под углом к оси z0 и kkx /tg . Если рассматривать уравнение (19) как условие усред- нения волновых чисел 2,1zk и замены их одним волновым числом k , то распространение волн в такой структуре можно описывать только волно- выми числами xk и k . Физические же свойства таких волн будут определяться двумерным элек- тронным газом. Дальнейшее исследование уравнения (19) удобно провести численным путем. На рис. 6 представлено численное решение уравнения (19). __________________________________________ а) б) в) г) Рис. 6. Картина зон в периодической системе квантовых ям: прямая линия – асимптота m k E x 2 22 2 3 4 5 6 7 -0,1 0 -0,2 -0,3 -0,4 E, eV kx d -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 0 1 2 3 4 E, eV kx d 0 4 8 12 16 20 kx d E, eV -0,875 -0,9 -0,925 -0,95 -0,975 -1,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 -0,1 0 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 kx d E, eV А. А. Булгаков и др. / Сравнительная характеристика зонных… _________________________________________________________________________________________________________________ 198 При решении предполагалось, что глубина ям равна 12 0 106,11eVU эрг. Зоны про- пускания отмечены серым цветом. Нижний край каждой зоны соответствует значению ndk 2 , верхний - 12ndk (см. рис. 6, г). Первая запрещенная зона ограничена линиями dk ( – зона), во второй запрещенной зоне – 0dk ( 0 – зона). На рис. 6, г относительное расстояние между ямами мало и равно 01,0/2 dd , а 2/3P (см. (16)). В результате имеем набор зон разрешенной энергии, ширина которых уве- личивается с ростом Е. Этот результат соответст- вует задаче Кронига–Пенни. Если условие малости отношения dd /2 не выполняется, то картина меняется. На рис. 6, а отношение 86,0/2 dd , имеется только одна зона разрешенных энергий, а ее ширина мала. На рис. 6, б 55,0/2 dd зона расширяется при ма- лых значениях dkx , но сужается вблизи линии асимптоты. Наконец, при 4,0/2 dd (рис. 6, в) зона становится широкой и почти не меняет ши- рины до верхнего края ямы. Выводы. Таким образом, построена тео- рия зонной структуры электромагнитных волн, распространяющихся в одномерной системе пе- риодически повторяющихся слоев двух различ- ных материалов: диэлектриков, полупроводников и ферритов. Рассмотрены следующие варианты структур: диэлектрик–диэлектрик, диэлектрик– полупроводник, диэлектрик–полупроводник в магнитном поле, феррит–феррит в насыщающем магнитном поле и периодически повторяющиеся тонкие квантовые ямы. Дисперсионные уравне- ния во всех приведенных задачах имеют общие черты. Это позволяет сравнить структуры с физи- ческой точки зрения. Приведенные результаты показывают, что такие материалы могут быть использованы в различных диапазонах длин волн от сантиметров до нанометров как передающие системы, фильт- ры, покрытия зеркал, преобразователи поляриза- ции и т. п. Одним из существенных свойств явля- ется возможность управления зонной структурой, а, следовательно, и физическими свойствами с помощью внешнего магнитного поля. Характерной чертой материала диэлек- трик–диэлектрик является наличие специфиче- ского спектра зон пропускания – диэлектрическо- го спектра. Его особенность в том, что при боль- ших значениях волнового числа (т. е. при малых длинах волн) фазовая скорость определяется слоями с наибольшей проницаемостью, незави- симо от соотношения толщин слоев. Физическая причина этого явления связана с тем, что в слоях с меньшей проницаемостью распределение ам- плитуды электромагнитного поля волны имеет поверхностный характер. В структуре полупроводник – диэлектрик наиболее интересной является область в районе плазменной частоты полупроводника. Частотная дисперсия позволяет “управлять” свойствами волн, меняя частоту. В этой области появляется две зоны пропускания: одна – “акустическая”– начинается при малых частотах и асимптотически стремится к плазменной частоте; вторая – “опти- ческая” – имеет спектр, лежащий выше плазмен- ной частоты и также асимптотически стремящий- ся к этой частоте. Кроме того, оптические ветви имеют отрицательную групповую скорость. Это должно привести к интересным свойствам при отражении и прохождении волн [12]. При наличии внешнего магнитного поля полупроводник является двуосным материалом. Нами рассмотрен случай, когда направление маг- нитного поля перпендикулярно плоскости рас- пространения волн. В этом случае дисперсионное соотношение имеет вид, аналогичный предыду- щим двум задачам. Однако зависимость от маг- нитного поля и наличие анизотропии приводят к возникновению двух асимптот. Эти асимптоты связаны с тем, что на коротких волнах и частотах вблизи гибридной частоты фазовая скорость волны оказывается малой, т. е. имеет место случай стати- ки. Если бы отсутствовала диссипация, то волна остановилась бы. В данном случае имеется воз- можность управления скоростью волны с помо- щью двух частот: плазменной и циклотронной, так как именно они определяют гибридную частоту. Была рассмотрена также структура, со- стоящая из слоев двух ферритов. В этом случае, в отличие от предыдущих, интересные свойства ока- зываются у волн E - поляризации. Теперь уже име- ется четыре асимптоты, и таким образом, расширя- ются возможности управления спектром волн. В последнем разделе рассмотрена перио- дическая система квантовых ям, разделенных барьерами. Предполагается, что ямы достаточно глубокие и узкие. Тогда волновая функция в об- ласти барьера имеет поверхностный характер, а в области ямы – осциллирующий. Вдоль ямы носи- тели могут распространяться как свободные час- тицы. Таким образом, носители заряда в яме об- разуют двумерный газ. В работе показано, что при определенных условиях область локализации надбарьерных электронов больше ширины ямы. Вследствие этого квантовые состояния в различ- ных ямах оказываются связанными и возникают электронные волны, бегущие под углом к краям А. А. Булгаков и др. / Сравнительная характеристика зонных… _________________________________________________________________________________________________________________ 199 ям. Угол определяется волновым числом для на- правления вдоль ямы и блоховским волновым числом поперек ям. В заключение следует отметить относи- тельную простоту технологии получения рассмот- ренных материалов, для сантиметровых, милли- метровых и субмиллиметровых волн – это просто наборы пленок или пластинок, для других диапа- зонов - напыление и выращивание тонких пленок. 1. Ляпунов А. М. Собрание сочинений. - Изд. АН СССР, 1956. - Т.2. - 474 с. 2. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифферен- циальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. - М.: Наука, 1972. - 720 с. 3. Kronig R. de L., Penney W. G. Quantum mechanics of elec- trons in crystals // Proc.Roy.Soc. - 1931. - A130. - P. 499-513. 4. Левин М. Л. Распространение плоской электромагнитной волны в периодической слоистой структуре // Журн. техн. физики. - 1948. - 18, № 11. - С. 1399-1404. 5. Лифшиц И. М., Розенцвейг Л. Н. Динамика кристалличе- ской решетки, заполняющей полупространство // Журн. техн. физики. - 1948. - 18, № 11. - С. 1012-1021. 6. Файнберг Я. Б., Хижняк Н. А. Искусственно анизотроп- ные среды // Журн. техн. физики. - 1955. - 25, № 4. - С. 711-719. 7. Файнберг Я. Б., Хижняк Н. А. Потери энергии заряженной частицей при прохождении через слоистый диэлектрик // ЖЭТФ.-1957.- 32, № 4. - С. 883-895. 8. Файнберг Я. Б., Блиох П. В. О волнах плотности заряда в электронных пучках с переменной скоростью // Журн. техн. физики.-1956.- 26, № 3. - С. 530-535. 9. Лифшиц И. М., Пекар С. И. Таммовские связанные со- стояния электронов на поверхности кристалла и поверх- ностные колебания атомов решетки // Успехи физ. науки.- 1955.- 56, № 4. - С. 531-568. 10. Рытов С. М. Электромагнитные свойства мелкослоистой среды // Журн. эксперим. и теорет. физики. - 1955. - 29, № 5. - С. 605-611. 11. Басс Ф. Г., Булгаков А. А., Тетервов А. П. Высокочастот- ные свойства полупроводников со сверхрешетками. - М.: Наука, 1989. - 288 с. 12. Пафомов В. Е. К теории излучения Вавилова-Черенкова в анизотропных средах и при наличии границ // Труды ФИАН. - 1961. - 16. - С. 94-139. 13. Ахиезер А. И., Ахиезер И. А., Половин Р. В. и др. Электро- динамика плазмы. - М.: Наука, 1974. - 720 с. COMPARATIVE CHARACTERISTIC OF BAND SPECTRUMS OF PERIODIC STRUCTURES, FORMED BY THE LAYERS OF DIFFERENT MATERIALS IN EXTERNAL MAGNETIC FIELD A. A. Bulgakov, S. I. Khankina, O. V. Shramkova, V. M. Yakovenko The comparative analysis of one-dimensional periodic structures formed by two recurring layers: dielectric-dielectric, dielectric-semiconductor, dielectric-semiconductor in a magnetic field, ferrite-ferrite and consecution of quantum wells is realized. For all cases the analytical and numerical investigation of physical peculiarities of enumerated structures is realized. It was shown that investigated peculiarities can be used in practice for the wide spec- trum of frequencies from the units of GHz to hundreds of terahertz (from centimeter to X-ray wave length range). Key words: periodic structure, transfer matrix, disper- sion relation, TE- and TM-waves, allowed and forbidden bands. ПОРІВНЯЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ЗОННИХ СПЕКТРІВ ПЕРІОДИЧНИХ СТРУКТУР, УТВОРЕНИХ ШАРАМИ РІЗНИХ МАТЕРІАЛІВ У ЗОВНІШНЬОМУ МАГНІТНОМУ ПОЛІ О. О. Булгаков, С. І. Ханкіна, О. В. Шрамкова, В. М. Яковенко Проведено порівняльний аналіз одновимірних періо- дичних структур, що створені двома повторними шарами: діе- лектрик–діелектрик, діелектрик–напівпровідник, діелектрик– напівпровідник у магнітному полі, ферит–ферит та повторна послідовність квантових ям. У всіх випадках аналітично та чисельно проведено дослідження фізичних особливостей пере- лічених структур. Показано, що досліджені властивості можуть бути застосовані на практиці для широкого спектру частот від одиниць гігагерц до сотень терагерц (від сантиметрового до рентгенівського діапазонів довжин хвиль). Ключові слова: періодична структура, передатна матриця, дисперсійне співвідношення, TE- та TM-хвилі, до- зволена та заборонена зони. Рукопись поступила 15 апреля 2008 г.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10575
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-821X
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T15:53:24Z
publishDate	2008
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
record_format	dspace
spelling	Булгаков, А.А. Ханкина, С.И. Шрамкова, О.В. Яковенко, В.М. 2010-08-04T09:26:37Z 2010-08-04T09:26:37Z 2008 Сравнительная характеристика зонных спектров периодических структур, образованных слоями различных материалов во внешнем магнитном поле / А.А. Булгаков, С.И. Ханкина, О.В. Шрамкова, В.М. Яковенко // Радіофізика та електроніка. — 2008. — Т. 13, № 2. — С. 190-199. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10575 539.216.2:621.315.592 Проведен сравнительный анализ одномерных периодических структур, образованных двумя повторяющимися слоями: диэлектрик–диэлектрик, диэлектрик–полупроводник, диэлектрик–полупроводник в магнитном поле, феррит–феррит и повторяющаяся последовательность квантовых ям. Во всех случаях аналитически и численно проведено исследование физических особенностей перечисленных структур. Показано, что исследованные свойства могут быть применены на практике для широкого спектра частот от единиц гигагерц до сотен терагерц (от сантиметрового до рентгеновского диапазонов длин волн). Проведено порівняльний аналіз одновимірних періо-дичних структур, що створені двома повторними шарами: діелектрик–діелектрик, діелектрик–напівпровідник, діелектрик–напівпровідник у магнітному полі, ферит–ферит та повторна послідовність квантових ям. У всіх випадках аналітично та чисельно проведено дослідження фізичних особливостей перелічених структур. Показано, що досліджені властивості можуть бути застосовані на практиці для широкого спектру частот від одиниць гігагерц до сотень терагерц (від сантиметрового до рентгенівського діапазонів довжин хвиль). The comparative analysis of one-dimensional periodic structures formed by two recurring layers: dielectric-dielectric, dielectric-semiconductor, dielectric-semiconductor in a magnetic field, ferrite-ferrite and consecution of quantum wells is realized. For all cases the analytical and numerical investigation of physical peculiarities of enumerated structures is realized. It was shown that investigated peculiarities can be used in practice for the wide spectrum of frequencies from the units of GHz to hundreds of terahertz (from centimeter to X-ray wave length range). ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радиофизика твердого тела и плазмы Сравнительная характеристика зонных спектров периодических структур, образованных слоями различных материалов во внешнем магнитном поле Порівняльна характеристика зонних спектрів періодичних структур, утворених шарами різних матеріалів у зовнішньому магнітному полі Comparative characteristic of band spectrums of periodic structures, formed by the layers of different materials in external magnetic field Article published earlier
spellingShingle	Сравнительная характеристика зонных спектров периодических структур, образованных слоями различных материалов во внешнем магнитном поле Булгаков, А.А. Ханкина, С.И. Шрамкова, О.В. Яковенко, В.М. Радиофизика твердого тела и плазмы
title	Сравнительная характеристика зонных спектров периодических структур, образованных слоями различных материалов во внешнем магнитном поле
title_alt	Порівняльна характеристика зонних спектрів періодичних структур, утворених шарами різних матеріалів у зовнішньому магнітному полі Comparative characteristic of band spectrums of periodic structures, formed by the layers of different materials in external magnetic field
title_full	Сравнительная характеристика зонных спектров периодических структур, образованных слоями различных материалов во внешнем магнитном поле
title_fullStr	Сравнительная характеристика зонных спектров периодических структур, образованных слоями различных материалов во внешнем магнитном поле
title_full_unstemmed	Сравнительная характеристика зонных спектров периодических структур, образованных слоями различных материалов во внешнем магнитном поле
title_short	Сравнительная характеристика зонных спектров периодических структур, образованных слоями различных материалов во внешнем магнитном поле
title_sort	сравнительная характеристика зонных спектров периодических структур, образованных слоями различных материалов во внешнем магнитном поле
topic	Радиофизика твердого тела и плазмы
topic_facet	Радиофизика твердого тела и плазмы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10575
work_keys_str_mv	AT bulgakovaa sravnitelʹnaâharakteristikazonnyhspektrovperiodičeskihstrukturobrazovannyhsloâmirazličnyhmaterialovvovnešnemmagnitnompole AT hankinasi sravnitelʹnaâharakteristikazonnyhspektrovperiodičeskihstrukturobrazovannyhsloâmirazličnyhmaterialovvovnešnemmagnitnompole AT šramkovaov sravnitelʹnaâharakteristikazonnyhspektrovperiodičeskihstrukturobrazovannyhsloâmirazličnyhmaterialovvovnešnemmagnitnompole AT âkovenkovm sravnitelʹnaâharakteristikazonnyhspektrovperiodičeskihstrukturobrazovannyhsloâmirazličnyhmaterialovvovnešnemmagnitnompole AT bulgakovaa porívnâlʹnaharakteristikazonnihspektrívperíodičnihstrukturutvorenihšaramiríznihmateríalívuzovníšnʹomumagnítnomupolí AT hankinasi porívnâlʹnaharakteristikazonnihspektrívperíodičnihstrukturutvorenihšaramiríznihmateríalívuzovníšnʹomumagnítnomupolí AT šramkovaov porívnâlʹnaharakteristikazonnihspektrívperíodičnihstrukturutvorenihšaramiríznihmateríalívuzovníšnʹomumagnítnomupolí AT âkovenkovm porívnâlʹnaharakteristikazonnihspektrívperíodičnihstrukturutvorenihšaramiríznihmateríalívuzovníšnʹomumagnítnomupolí AT bulgakovaa comparativecharacteristicofbandspectrumsofperiodicstructuresformedbythelayersofdifferentmaterialsinexternalmagneticfield AT hankinasi comparativecharacteristicofbandspectrumsofperiodicstructuresformedbythelayersofdifferentmaterialsinexternalmagneticfield AT šramkovaov comparativecharacteristicofbandspectrumsofperiodicstructuresformedbythelayersofdifferentmaterialsinexternalmagneticfield AT âkovenkovm comparativecharacteristicofbandspectrumsofperiodicstructuresformedbythelayersofdifferentmaterialsinexternalmagneticfield

Сравнительная характеристика зонных спектров периодических структур, образованных слоями различных материалов во внешнем магнитном поле

Institution

Ähnliche Einträge