Эволюция и динамическая стабилизация мезоскопических диссипативных структур (вращающихся автоволн) с кратными топологическими зарядами в трехуровневых возбудимых системах

Работа посвящена компьютерному моделированию эволюции мезоскопических диссипативных структур (ДС), возникающих в трехуровневых возбудимых системах фазерного типа. Основное внимание уделено изучению вращающихся спиральных автоволн (ВСА), в том числе устойчивых ВСА с кратными топологическими зарядами...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автор:	Маковецкий, Д.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2008
Теми:	Радиофизика твердого тела и плазмы
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10580
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Эволюция и динамическая стабилизация мезоскопических диссипативных структур (вращающихся автоволн) с кратными топологическими зарядами в трехуровневых возбудимых системах / Д.Н. Маковецкий // Радіофізика та електроніка. — 2008. — Т. 13, № 2. — С. 200-213. — Бібліогр.: 41 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10580
record_format	dspace
spelling	Маковецкий, Д.Н. 2010-08-04T09:45:34Z 2010-08-04T09:45:34Z 2008 Эволюция и динамическая стабилизация мезоскопических диссипативных структур (вращающихся автоволн) с кратными топологическими зарядами в трехуровневых возбудимых системах / Д.Н. Маковецкий // Радіофізика та електроніка. — 2008. — Т. 13, № 2. — С. 200-213. — Бібліогр.: 41 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10580 537.86:530.182 Работа посвящена компьютерному моделированию эволюции мезоскопических диссипативных структур (ДС), возникающих в трехуровневых возбудимых системах фазерного типа. Основное внимание уделено изучению вращающихся спиральных автоволн (ВСА), в том числе устойчивых ВСА с кратными топологическими зарядами. В наших компьютерных экспериментах обнаружены и детально изучены размерные эффекты для таких ВСА. Продемонстрирована гиперчувствительность к начальным условиям для мультистабильной возбудимой системы, имеющей пространственные аттракторы в форме ВСА с различными высшими топологическими зарядами. Впервые выполнено моделирование эффекта пространственного сосуществования регулярных и нерегулярных ДС при медленных переходных процессах в возбудимой среде (подобный эффект наблюдался нами ранее в реальных экспериментах на рубиновом фазере). Робота присвячена комп'ютерному моделюванню еволюції мезоскопічних дисипативних структур (ДС), що виникають у трирівневих збуджуваних системах фазерного типу. Основну увагу приділено вивченню обертових спіральних автохвиль (ОСА), у тому числі стійких ОСА з кратними топологічними зарядами. У наших комп'ютерних експериментах виявлені та детально вивчені розмірні ефекти для таких ОСА. Продемонстрована гіперчутливість до початкових умов для мультистабільної збуджуваної системи, що має просторові атрактори у формі ОСА з різними вищими топологічними зарядами. Вперше виконано моделювання ефекту просторового співіснування регулярних та нерегулярних ДС при повільних перехідних процесах у збуджуваному середовищі (подібний ефект спостерігався нами раніше у реальних експериментах на рубіновому фазері). The work is devoted to computer modeling of evolution of mesoscopic dissipative structures (DS), which emerge in three-level excitable systems of the phaser type. The main attention is concentrared on the investigation of the rotating spiral autowaves (RSA), including stable RSA with multiple topological charges. In our computer experimemts, the dimensional phenomena for such the RSA were revealed and investigated in details. The hypersensitivity to initial conditions was demonstrated for a multistable excitable system having spatial attractors in the form of RSA with various higher topological charges. The phenomenon of spatial coexistence of regular and irregular DS during slow transition processes in excitable medium is modeled for the first time (such the phenomenon was observed by us earlier in real experiments on the ruby phaser). Автор выражает искреннюю признательность С. Д. Маковецкому (Microsoft CP) за возможность использовать разработанные им программы TLM и TLL, а также за постоянное сотрудничество в проведении компьютерных экспериментов. Автор глубоко благодарен Е. Д. Маковецкому (Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина, кафедра физической оптики), О. Л. Бандман (Институт вычислительной математики и математической геофизики, Новосибирск) и Х. Гисадо (Computer Science Department, Centro Universitario de Merida, Spain) за интерес к нашим исследованиям многочастичных трехуровневых систем и за любезно предоставленную библиографическую информацию по тематике данной работы. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радиофизика твердого тела и плазмы Эволюция и динамическая стабилизация мезоскопических диссипативных структур (вращающихся автоволн) с кратными топологическими зарядами в трехуровневых возбудимых системах Еволюція та динамічна стабілізація мезоскопічних дисипативних структур (обертових автохвиль) з кратними топологічними зарядами у трирівневих збуджуваних системах Evolution and the dynamical stabilization of mesoscopic dissipative structures (rotating autowaves) with multiple topological charges in three-level excitable systems Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Эволюция и динамическая стабилизация мезоскопических диссипативных структур (вращающихся автоволн) с кратными топологическими зарядами в трехуровневых возбудимых системах
spellingShingle	Эволюция и динамическая стабилизация мезоскопических диссипативных структур (вращающихся автоволн) с кратными топологическими зарядами в трехуровневых возбудимых системах Маковецкий, Д.Н. Радиофизика твердого тела и плазмы
title_short	Эволюция и динамическая стабилизация мезоскопических диссипативных структур (вращающихся автоволн) с кратными топологическими зарядами в трехуровневых возбудимых системах
title_full	Эволюция и динамическая стабилизация мезоскопических диссипативных структур (вращающихся автоволн) с кратными топологическими зарядами в трехуровневых возбудимых системах
title_fullStr	Эволюция и динамическая стабилизация мезоскопических диссипативных структур (вращающихся автоволн) с кратными топологическими зарядами в трехуровневых возбудимых системах
title_full_unstemmed	Эволюция и динамическая стабилизация мезоскопических диссипативных структур (вращающихся автоволн) с кратными топологическими зарядами в трехуровневых возбудимых системах
title_sort	эволюция и динамическая стабилизация мезоскопических диссипативных структур (вращающихся автоволн) с кратными топологическими зарядами в трехуровневых возбудимых системах
author	Маковецкий, Д.Н.
author_facet	Маковецкий, Д.Н.
topic	Радиофизика твердого тела и плазмы
topic_facet	Радиофизика твердого тела и плазмы
publishDate	2008
language	Russian
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
format	Article
title_alt	Еволюція та динамічна стабілізація мезоскопічних дисипативних структур (обертових автохвиль) з кратними топологічними зарядами у трирівневих збуджуваних системах Evolution and the dynamical stabilization of mesoscopic dissipative structures (rotating autowaves) with multiple topological charges in three-level excitable systems
description	Работа посвящена компьютерному моделированию эволюции мезоскопических диссипативных структур (ДС), возникающих в трехуровневых возбудимых системах фазерного типа. Основное внимание уделено изучению вращающихся спиральных автоволн (ВСА), в том числе устойчивых ВСА с кратными топологическими зарядами. В наших компьютерных экспериментах обнаружены и детально изучены размерные эффекты для таких ВСА. Продемонстрирована гиперчувствительность к начальным условиям для мультистабильной возбудимой системы, имеющей пространственные аттракторы в форме ВСА с различными высшими топологическими зарядами. Впервые выполнено моделирование эффекта пространственного сосуществования регулярных и нерегулярных ДС при медленных переходных процессах в возбудимой среде (подобный эффект наблюдался нами ранее в реальных экспериментах на рубиновом фазере). Робота присвячена комп'ютерному моделюванню еволюції мезоскопічних дисипативних структур (ДС), що виникають у трирівневих збуджуваних системах фазерного типу. Основну увагу приділено вивченню обертових спіральних автохвиль (ОСА), у тому числі стійких ОСА з кратними топологічними зарядами. У наших комп'ютерних експериментах виявлені та детально вивчені розмірні ефекти для таких ОСА. Продемонстрована гіперчутливість до початкових умов для мультистабільної збуджуваної системи, що має просторові атрактори у формі ОСА з різними вищими топологічними зарядами. Вперше виконано моделювання ефекту просторового співіснування регулярних та нерегулярних ДС при повільних перехідних процесах у збуджуваному середовищі (подібний ефект спостерігався нами раніше у реальних експериментах на рубіновому фазері). The work is devoted to computer modeling of evolution of mesoscopic dissipative structures (DS), which emerge in three-level excitable systems of the phaser type. The main attention is concentrared on the investigation of the rotating spiral autowaves (RSA), including stable RSA with multiple topological charges. In our computer experimemts, the dimensional phenomena for such the RSA were revealed and investigated in details. The hypersensitivity to initial conditions was demonstrated for a multistable excitable system having spatial attractors in the form of RSA with various higher topological charges. The phenomenon of spatial coexistence of regular and irregular DS during slow transition processes in excitable medium is modeled for the first time (such the phenomenon was observed by us earlier in real experiments on the ruby phaser).
issn	1028-821X
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10580
citation_txt	Эволюция и динамическая стабилизация мезоскопических диссипативных структур (вращающихся автоволн) с кратными топологическими зарядами в трехуровневых возбудимых системах / Д.Н. Маковецкий // Радіофізика та електроніка. — 2008. — Т. 13, № 2. — С. 200-213. — Бібліогр.: 41 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT makoveckiidn évolûciâidinamičeskaâstabilizaciâmezoskopičeskihdissipativnyhstrukturvraŝaûŝihsâavtovolnskratnymitopologičeskimizarâdamivtrehurovnevyhvozbudimyhsistemah AT makoveckiidn evolûcíâtadinamíčnastabílízacíâmezoskopíčnihdisipativnihstrukturobertovihavtohvilʹzkratnimitopologíčnimizarâdamiutrirívnevihzbudžuvanihsistemah AT makoveckiidn evolutionandthedynamicalstabilizationofmesoscopicdissipativestructuresrotatingautowaveswithmultipletopologicalchargesinthreelevelexcitablesystems
first_indexed	2025-11-26T18:49:02Z
last_indexed	2025-11-26T18:49:02Z
_version_	1850768926275796992
fulltext	__________ ISSN 1028-821X Радиофизика и электроника, том 13, № 2, 2008, с. 200-213 © ИРЭ НАН Украины, 2008 УДК 537.86:530.182 ЭВОЛЮЦИЯ И ДИНАМИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ ДИССИПАТИВНЫХ СТРУКТУР (ВРАЩАЮЩИХСЯ АВТОВОЛН) С КРАТНЫМИ ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ ЗАРЯДАМИ В ТРЕХУРОВНЕВЫХ ВОЗБУДИМЫХ СИСТЕМАХ Д. Н. Маковецкий Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины, 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: makov@ire.kharkov.ua Работа посвящена компьютерному моделированию эволюции мезоскопических диссипативных структур (ДС), возни- кающих в трехуровневых возбудимых системах фазерного типа. Основное внимание уделено изучению вращающихся спиральных автоволн (ВСА), в том числе устойчивых ВСА с кратными топологическими зарядами. В наших компьютерных экспериментах обнаружены и детально изучены размерные эффекты для таких ВСА. Продемонстрирована гиперчувствительность к начальным условиям для мультистабильной возбудимой системы, имеющей пространственные аттракторы в форме ВСА с различными выс- шими топологическими зарядами. Впервые выполнено моделирование эффекта пространственного сосуществования регулярных и нерегулярных ДС при медленных переходных процессах в возбудимой среде (подобный эффект наблюдался нами ранее в реаль- ных экспериментах на рубиновом фазере). Ил. 3. Библиогр.: 41 назв. Ключевые слова: мезоскопические диссипативные структуры, топологический заряд, фазер. Исследование процессов возникновения, эволюции, конкуренции и динамической стабили- зации диссипативных структур (ДС) является ак- туальной задачей для целого ряда направлений физики нелинейных систем [1], физической хи- мии и химической кинетики [2], наноэлектроники [3], а также для многих других областей совре- менного естествознания и техники, включая био- физику [4], технологические системы управления энергоснабжением [5] и др. Одним из наиболее распростаненных ти- пов ДС являются автоволны [6], имеющие харак- терные, вполне определенные топологические характеристики и метрические параметры. На- пример, для вращающихся спиральных автоволн (ВСА) такими величинами являются топологиче- ский заряд TQ и винеровская длина волны (вине- ровский масштаб) W [7, 8]. В распределенных и (или) многокомпонентных диссипативных систе- мах автоволны играют такую же ключевую роль, как и автоколебания в сосредоточенных системах. Все ДС, в том числе и автоволны, могут возникать и существовать только в неравновесной среде за счет проходящего через нее потока энер- гии. Свойства автоволн резко отличаются от свойств обычных волн, распространяющихся в равновесных или квазиравновесных средах. Так, автоволны не интерферируют, но могут анниги- лировать при "лобовом" столкновении друг с дру- гом. Распространяющиеся в активной среде авто- волны сохраняют свою амплитуду и форму. На- пример, при концентрическом или спиральном распространении автоволны ее амлитуда не уменьшается, как у обычной волны, поскольку энергия для поддержания автоволны черпается из каждой точки активной среды. Особый интерес представляют механиз- мы коллективной автоволновой динамики, обу- словленные самоорганизацией ДС в многочас- тичных неравновесных системах с локальными взаимодействиями [9]. Кооперативные явления в таких системах обычно являются результатом развития и стабилизации неустойчивостей, реали- зующихся на микроскопических масштабах. Ти- пичным здесь является формирование мезоскопи- ческих объектов автоволнового типа, опреде- ляющих в итоге макроскопическую динамику системы [2-4, 6, 8]. Возникновение ДС (в том числе автовол- новых объектов) в микроволновом акустическом лазере (фазере) было обнаружено ранее экспери- метально [10, 11]. Для выяснения механизмов формирования автоволновых структур в фазере требуется, как было показано в работах [12-16], моделирование мезоскопических ДС без исполь- зования процедуры пространственного усредне- ния состояний активных элементов фазера. Ти- пичными являются ситуации, когда количество D активных центров (АЦ) фазерной среды, во- влекаемых в процесс формирования ДС, является мезоскопически большим ( 43 1010 D и бо- лее). Кратко рассмотрим вопросы моделирования подобных больших систем применительно к ин- тересующей нас проблеме фазерной генерации. 1. Современное состояние проблемы и цель работы. Традиционный подход к математи- ческому моделированию такого рода сложных систем базируется на термодинамических пред- ставлениях, распространяемых на область, где имеется сильная неравновесность активной среды [17]. Самоорганизация ДС трактуется, согласно mailto:makov@ire.kharkov.ua Д. Н. Маковецкий / Эволюция и динамическая стабилизация… _______________________________________________________________________________________________________________ 201 И. Пригожину, как результат флуктуационной перестройки возбуждений в активной среде [17]. В рамках указанного подхода для ряда случаев удается корректно ввести такие парамет- ры, как температура неравновесной системы, ее теплоемкость и т. д. Подтверждением этого явля- ется, например, плодотворное использование концепции спиновой температуры при интерпре- тации микроволновых экспериментов по элект- ронному парамагнитному резонансу [18] и по фа- зерному усилению гиперзвука [19]. С другой стороны, в похожих системах к настоящему времени экспериментально обнару- жен ряд новых явлений, которые не удается объ- яснить на основе концепций неравновесной тер- модинамики. К их числу относятся и нелинейные явления в микроволновом фазерном генераторе [10, 11, 16]. В отличие от упомянутых выше работ по фазерному усилению гиперзвука [19], данные по исследованию фазерной генерации [10, 11, 16] указывают на доминирующую роль автоволн в макроскопической динамике системы. В данном случае ни спиновая температура электронной подсистемы, ни спиновая температура связанной с ней ядерной подсистемы не могут быть кор- ректно определены. Аналогичная ситуация имеет место и при исследовании генерации фононов в других частотных диапазонах [20, 21]. В работах [12-15] была предложена ди- намическая модель возбудимой трехуровневой среды фазерного типа, основанная на общности ряда важных свойств неравновесной системы па- рамагнитных АЦ в кристалле и свойств АЦ в не- равновесной физико-химической системе типа Белоусова-Жаботинского. Эта модель, в свою очередь, основана на клеточно-автоматном мето- де моделирования многочастичных систем [9]. В качестве базовой была выбрана модель возбу- димой среды Зыкова-Михайлова (ЗМ) [7], которая допускает модификацию в сторону приближения к условиям задачи о пространственной динамике трехуровневой фазерной системы [12-15]. Конкретным примером системы возбу- димых парамагнитных АЦ в кристалле являются ионы 2Ni , внедренные в решетку корунда 32OAl . Фазер на основе системы 32 2 OAl:Ni  был разработан и экспериментально исследован нами ранее [22]. Структура нижних энергетиче- ских уровней системы 32 2 OAl:Ni  и правила переходов между этими уровнями соответствуют аналогичным характеристикам модельной трех- уровневой возбудимой среды типа ЗМ [7]. В ча- стности, нижний энергетический уровень (Ni) IL для иона 2Ni , как и нижний уровень )( I ZML для АЦ в модели ЗМ, является основным (устойчи- вым по отношению к малым возмущениям). Ос- тальные уровни (средний (Ni) IIL и верхний (Ni) IIIL ) для иона 2Ni , как и соответствующие уровни )( II ZML и )( III ZML для АЦ в модели ЗМ, являются метастабильными. Существенно, что между энер- гетическими уровнями (Ni) IL , (Ni) IIL иона 2Ni строго запрещены магнитодипольные переходы (при направлении статического магнитного поля вдоль оптической оси корунда) [22]. Это соответ- ствует так называемой рефрактерности второго уровня АЦ в модели ЗМ. Верхний (третий) уро- вень (Ni) IIIL иона 2Ni в корунде является анало- гом возбужденного (третьего) уровня АЦ в моде- ли ЗМ )( III ZML . Более того, соотношение времен жизни для метастабильных уровней (Ni) IIL и (Ni) IIIL является по порядку величины таким же, как и для )( II ZML , )( III ZML , что и позволяет использовать модель ЗМ в качестве базовой для исследования фазерной системы. Однако имеется и одно принципиально важное различие между АЦ типа ионов 2Ni в корунде и АЦ в моделях типа ЗМ. Дело в том, что помимо локальной активации возбуждений (обычной для физико-химических моделей типа ЗМ) в системе 32 2 OAl:Ni  имеет место также и локальное ингибирование уже возбужденных АЦ. Это требует модификации исходной модели ЗМ, где локальное ингибирование возбуждений отсут- ствует (такова особенность реакций типа Бело- усова-Жаботинского, для описания которых слу- жит модель ЗМ). Соответствующая модификация модели ЗМ была предложена и детально описана в работах [12-15]. В рамках указанной модифицированной модели ЗМ в работах [12-15] были выполнены компьютерные эксперименты, касающиеся в ос- новном ДС типа ВСА с топологическими заряда- ми 1TQ . Численное исследование других ДС, в том числе ВСА с кратными топологическими зарядами ( 1TQ ), представляется весьма важ- ным для понимания причин возникновения авто- волновых резонансов на гармониках частоты мо- дуляции фазерной системы, а также в связи с бо- лее общим вопросом об устойчивости ДС с крат- ными топологическими зарядами в различных системах [23-25]. Таким образом, актуальной является за- дача моделирования ДС с кратными топологиче- скими зарядами в ограниченной активной среде с локально связанными трехуровневыми АЦ. Д. Н. Маковецкий / Эволюция и динамическая стабилизация… _______________________________________________________________________________________________________________ 202 Целью настоящей работы является ком- пьютерное моделирование эволюции и динамиче- ской стабилизации мезоскопических ДС типа ВСА с кратными топологическими зарядами в трехуровневых возбудимых системах (на основе клеточно-автоматного представления активной среды [7, 9]). Основные задачи работы – выполнение численных экспериментов, направленных на ис- следование размерных эффектов при самооргани- зации ВСА с кратными топологическими заряда- ми, на выяснение возможности сосуществования регулярных и нерегулярных мезоскопических ДС в процессе эволюции активной системы и на изу- чение гиперчувствительности трехуровневой воз- будимой среды фазерного типа к пространствен- ной конфигурации ее начального возбуждения при формировании ДС с кратными топологиче- скими зарядами. Перейдем к рассмотрению базовых моде- лей, используемых при организации компьютер- ных экспериментов в интересующей нас области. 2. Базовые дискретные модели трех- уровневой активной среды. Наиболее известные модели данного типа представляют собой клеточ- но-автоматные реализации концептуальной модели Винера-Розенблюта [7]. Некоторые простейшие модели из этого класса исследовались методом численных экспериментов еще в 1970-х гг. [26, 27], однако широкое внимание клеточно-автоматный подход к исследованию многочастичных систем привлек только в последние годы [9, 28]. В рамках клеточно-автоматных моделей многочастичных возбудимых систем обычно счи- тается, что система содержит трехуровневые АЦ, локально взаимодействующие между собой в пределах заданной окрестности. Задача состоит в исследовании нестационарных пространственных структур, характеризующих зависящие от време- ни t распределения АЦ по уровням )()( RL t K  , где вектор R  указывает координаты АЦ, а индекс K нумерует рабочие уровни. Далее будут рас- смотрены двумерные (2D) дискретные активные среды (прямоугольные решетки) с координатами АЦ ),( jiR   , где ji, – целые числа, причем ],1[ XMi ; ],1[ YMj ; XM , YM – размеры решетки; .XYYX DMM  Каждый АЦ в каждый из моментов вре- мени n может находиться только на одном из уровней };;{ IIIIII LLLLK  , но для определен- ности считается IIIIII LLL  . Модельное вре- мя t является дискретным: }{nt , где n – це- лые числа, лежащие в интервале .0 Nn Здесь N – продолжительность эволюции системы. Нижний (основной) уровень IL изолиро- ванного АЦ – устойчивый, он соответствует от- сутствию возбуждения данного АЦ. Если же ря- дом с данным АЦ есть и другие АЦ, но находя- щиеся на уровне IIIL , то устойчивость основного уровня нарушается и данный АЦ с ILLK  мо- жет перейти на уровень IIIL . Верхний уровень IIIL – возбужденный, причем даже изолированный АЦ может нахо- диться на уровне IIIL не дольше, чем время ре- лаксации e указанного уровня. После этого АЦ переходит на уровень IIL . Реальное же время жизни АЦ на уровне IIIL из-за взаимодействия с соседними АЦ может оказаться меньшим, чем e . Средний уровень IIL соответствует реф- рактерному состоянию АЦ, когда последний не может взаимодействовать с соседними АЦ. По- этому время жизни АЦ на уровне IIL всегда рав- но времени релаксации этого уровня r , после чего АЦ переходит на уровень IL . Совокупность всех АЦ с указанием уров- ней };;{ IIIIII LLLLK  , на которых они нахо- дятся в момент времени n , составляет текущую пространственную структуру – паттерн. Самая простая трехуровневая модель, описывающая некоторые особенности формиро- вания и эволюции паттернов в возбудимой среде (модель Гринберга-Хастингса), была предложена в работе [27]. Модель Гринберга-Хастингса сво- дится к следующему. Каждому уровню };;{ IIIIII LLLLK  ставится в соответствие зна- чение тринарной фазовой переменной }2,1,0{)( n ij следующим образом:                 .)2( ;)1( ;)0( ]),([ ]),([ ]),([ )( )( )( II )( III )( I )( n ij n ij n ij n K n K n K LjiL LjiL LjiL    (1) Эволюция системы моделируется после- довательными дискретными отображениями (ите- рациями) для матрицы фазовых состояний  )(n )(n ij . Соответствующий одношаговый колмо- горовский оператор GH  может быть определен импликативным соотношением )( )()1()(    n ijGH n ij GHB  , (2) Д. Н. Маковецкий / Эволюция и динамическая стабилизация… _______________________________________________________________________________________________________________ 203 где }2,1,0{ , а булевы выражения )(GHB име- ют вид )1( )()( 2  n ij GHB  ; (3) )]1()0[( )( , )()( 1   n sjri n ij GHB  ; (4) )]([ )( 2 )( 1 )( 0 GHGHGH BBB  . (5) Пáры индексов },{ sjri  принадлежат окрест- ности Неймана, т. е. учитываются только бли- жайшие недиагональные соседние АЦ. Модель Гринберга-Хастингса [27] является наиболее про- стой из тех, которые позволяют наблюдать воз- никновение ВСА в трехуровневой 2D-системе. Качественно иная модель трехуровневой 2D-системы, генерирующей автоволновые ДС (мо- дель Малинецкого-Шакаевой), была рассмотрена в работе [24]. В этой модели используется тринарная фазовая переменная, имеющая форму: } ~ ,1,0{)( Mn ij  , где 1 ~ M , причем Z ~ M ( Z – множество положительных целых чисел) и колмогоровский оператор MS  следующего вида:          ,~IF ;~IF ;~IF ,0 ,1 , ~ 2 )( 1 2 )( 1 )( )()1( hh h hM n ij n ij n ij n ijMS n ij      (6) где управляющие параметры 1h и 2h – соответст- венно нижнее и верхнее значения для элементов вспомогательной матрицы  )(~ n )(~ n ij , кото- рые вычисляются следующим образом:     ji n ij n ji n ij , )()( (max) )( )1(~     . (7) Здесь управляющий параметр  характеризует скорость диффузии возбуждений, ji , – коорди- наты АЦ, находящихся в активной окрестности (Неймана, Мура и т. п.). Как и модель Гринберга- Хастингса, модель Малинецкого-Шакаевой не содержит механизмов, описывающих релаксацию АЦ (релаксация предполагается "мгновенной"). Наконец, в рамках модели типа лесных пожаров (Forest Fire) [29], как и в моделях возбу- димых сред типа Гринберга-Хастингса, эволюция системы может быть описана посредством дис- кретных отображений для матрицы состояний АЦ, имеющей вид )(n ij , где фазовая перемен- ная является тринарной и принимает значения }2,1,0{)( n ij . Наряду с детерминированными локальными взаимодействиями в модели лесных пожаров имеются максимально упрощенные эле- менты нелокальных взаимодействий, описывае- мые в форме усредненного вероятностного влия- ния всей системы на каждый данный АЦ (на каж- дом шаге итерационного процесса). По сути, мо- дель лесных пожаров [29] представляет собой следующую модификацию модели Гринберга- Хастингса [27]: )( )1()(   n ij FFB ; (8) )( )()1()( 1 n ij n ij FFB     , (9) где }2,1,0{ , а булевы выражения )(FFB , )( 1 FFB имеют вид )1( )()( 2  n ij FFB  ; (10) ;)]} ~ ()1[( )0{( )1()( , )()( 1 fF B nn sjri n ij FF      (11) )]~()2[( )1()()( 0 pPB nn ij FF   ; (12) )]([ )( 2 )( 1 )( 0 )( 1 FFFFFFFF BBBB  . (13) Здесь )(nF и )(nP – принадлежат случайным по- следовательностям }{ )(nF и }{ )(nP , генерируе- мым на интервале ]1;0[ ; f ~ и p~ – пороговые значения, определяющие соответственно уровень нелокально индуцированного "зажигания" (firing) и уровень нелокально инициированного "прорас- тания" (pullulation) АЦ [29]. Под зажиганием имеется в виду переход АЦ на уровень IIIL , а под прорастанием – переход на уровень IL . Нетрудно заметить, что (как и в модели Гринберга- Хастингса) в (8) - (13) молчаливо предполагается, что 1e . Однако в противоположность модели Гринберга-Хастингса, из (8) - (13) видно, что для модели лесных пожаров время жизни уединенно- го АЦ, находящегося на уровне IIL , является не- ограниченным r . Другими словами, в рам- ках модели лесных пожаров предполагается су- ществование двух стабильных состояний АЦ: IL и IIL , а не одного (нижнего), как в модели Грин- берга-Хастингса. Все описанные выше модели являются базовыми для исследования динамики некоторых простейших классов активных трехуровневых систем, однако функциональность указанных мо- делей ограничена предположениями о мгновен- ной и (или) бесконечно медленной релаксации отдельных компонент системы. Более реалистич- ные модели должны, в частности, учитывать ко- нечный характер скорости релаксации АЦ. Д. Н. Маковецкий / Эволюция и динамическая стабилизация… _______________________________________________________________________________________________________________ 204 Рассмотрим клеточно-автоматную мо- дель активной системы, основанную на кон- цептуальном подходе Гринберга-Хастингса, но учитывающую ряд важных моментов, связан- ных как с релаксацией, так и с другими осо- бенностями трехуровневой возбудимой среды фазерного типа. Эта модель является основной для постановки наших компьютерных экспери- ментов. Данная модель была предложена ранее в работах [12-15]. В следующем разделе приве- дено краткое описание рассматриваемой моде- ли, необходимое для понимания постановки и хода компьютерных экспериментов. Полное описание этой модели содержится в указанных работах [12-15]. 3. Постановка компьютерных экспе- риментов. Корректная постановка компьютер- ного эксперимента предполагает прежде всего выбор адекватной алгоритмической схемы. Из- ложенная ниже алгоритмическая схема состав- ляет ядро математической модели трехуровне- вой среды с конечными временами релаксации АЦ и учитывает основные особенности физиче- ских парамагнитных сред, используемых в фа- зерных системах. Эта алгоритмическая схема была сформулирована в работах [12-15], она является обобщением модели Гринберга- Хастингса [27, 28] и близка по структуре к кле- точно-автоматной модели Зыкова-Михайлова (ЗМ) [7]. В отличие от модели ЗМ, которая была изначально ориентирована на химические воз- будимые системы типа Белоусова-Жаботинского [4, 8], в настоящей клеточно-автоматной модели учтены особенности обмена возбуждениями ме- жду АЦ в физической парамагнитной системе. Детальное описание указанных особенностей (локальное ингибирование возбуждений, двух- канальный механизм диффузии возбуждений и др.) можно найти в работах [12-15]. В рамках рассматриваемой модели, как и в модели Гринберга-Хастингса, для всех АЦ при Nn 0 имеют место взаимно-однозначные соотношения между текущими уровнями ),()( jiL n K , где }IIIII,I,{K и текущими значе- ниями дискретных фазовых переменных )(n ij , являющихся элементами матрицы )()( n ij n  . Однако эти соотношения носят иной характер, нежели для матрицы Гринберга-Хастингса  )(n )(n ij , а сами переменные )(n ij являются не тринарными, а определены на некотором ко- нечном подмножестве ZZ  множества целых чисел Z , причем 3Zdim  . В явном виде соотношения между ),()( jiL n K и )(n ij соответствуют соглашениям, принятым в модели ЗМ [7]                 .)( ;)0( ;)0( ]),([ ]),([ ]),([ )( )( )( II )( III )( I )( re n ije e n ij n ij n K n K n K LjiL LjiL LjiL    (14) Как видно из (14), значения матричных элементов )(n ij для всех АЦ определены на интер- вале ],0[)( re n ij   , что соответствует макси- мально возможному времени замыкания цикла IIIIIII LLLL  для каждого из АЦ. Начальные условия )0()0( ij , т. е. совокупность состояний всех АЦ при 0n , оп- ределяются стартовыми пространственным рас- пределениям АЦ по уровням KL в момент вре- мени 0n . Для определенности полагаем  1;1;0)0(  eij  , тогда                 .)1( ;)1( ;)0( )),(( )),(( )),(( )0( )0( )0( II )0( III )0( I )0( eij ij ij K K K LjiL LjiL LjiL    (15) Отметим, что в более общем случае на- чальные условия могут быть определены для сле- дующих значений фазовых переменных: };;0{ )0( ijijij   , где элементы матриц ij и ij принадлежат множествам случайных целых чисел ];1[}{ e  , ];1[}{ re   . В качестве граничных условий нами ис- пользованы условия нулевого потока возбужде- ний через границы активной среды. Для форму- лировки таких граничных условий в данной моде- ли достаточно ввести одноуровневые виртуаль- ные пассивные центры (ВПЦ), обрамляющие ак- тивную среду [12-15]. Итеративный процесс строится по той же схеме, что и в работах [12-15]. Управляющи- ми параметрами являются величины h [7] и f [12-15], которые характеризуют переходы IIII LL  и IIIII LL  (вызванные влиянием окружающих АЦ), а также параметр g , отвечаю- щий за аккумуляцию возбуждений [7]. Переход III LL  , как и в моделях Гринберга-Хастингса Д. Н. Маковецкий / Эволюция и динамическая стабилизация… _______________________________________________________________________________________________________________ 205 [27, 28] и ЗМ [7], является рефрактерным, т. е. не зависит от состояния окружающих АЦ. Инициализация системы (импульсное воз- буждение неравновесного состояния) осуществля- ется путем генерации случайных пространствен- ных распределений АЦ по уровням KL [12-15]. Завершение итеративного процесса может проис- ходить либо автоматически (после выхода систе- мы на аттрактор), либо же по предопределенной точке останова, что определяется настройками программ, реализующих компьютерное модели- рование. Подробное описание всех деталей дан- ной алгоритмической схемы приведено в работах [12-15]. Основная часть компьютерных экспери- ментов в настоящей работе выполнена с использо- ванием программ Three-Level Laser model (TLL) [30] и Three-Level Model of excitable system (TLM) [31], построенных на основе приведенной выше алгоритмической схемы. Программы TLL и TLM имеют дружественные оконные интерфейсы, набо- ры дополнительных утилит для работы как с сим- вольными, так и с битовыми представлениями об- разов активной среды, а также эмуляторы импульс- ного возбуждения среды со случайным пространст- венным распределением АЦ по уровням KL . Исходный код программы TLL [30] напи- сан на языке C++, эта программа оптимизирована по скорости выполнения итеративного процесса, но она предназначена только для работы на плат- форме Windows, т. е. преимущественно на ЭВМ, совместимых с IBM PC. Исходный код программы TLM [31] на- писан на языке Java, относительная скорость ее работы под Windows несколько ниже (при равных прочих условиях), чем у программы TLL. Однако программа TLM является кросс-платформенной и компилируется для работы не только под Windows, но и под Unix, Linux, Solaris и любыми другими платформами, для которых реализована виртуальная машина Java [32]. Поэтому програм- ма TLM может без какой-либо адаптации работать и на компьютерах, несовместимых с IBM PC, в том числе на средних и больших ЭВМ, где плат- форма Windows обычно не используется. Про- граммы TLL [30] и TLM [31] разработаны C. Д. Маковецким в Харьковском национальном университете радиоэлектроники в 2002-2006 гг. 4. Прогноз возможных сценариев эво- люции. Постановка компьютерных эксперимен- тов обычно требует предварительного анализа возможного поведения моделируемых объектов, что существенно сокращает непроизводительные затраты машинного времени. Рассмотрим воз- можные сценарии эволюции нашей диссипатив- ной системы и выделим типичные ситуации, ко- торые могут реализоваться при различных усло- виях ее инициализации. Выход на аттрактор для автономной од- нородной диссипативной системы, содержащей конечное количество D дискретных АЦ (каждый из которых имеет конечный спектр собственных состояний }{ KL ), осуществляется, в отличие от континуальных систем, за ограниченный отрезок времени эволюции  Z}{ntran . После этого такая система в силу конечности полного числа ее конфигураций D KL })(dim{ стабилизируется в одном из двух возможных регулярных состояний. Эти состояния являются пространственными ана- логами регулярных аттракторов, известных в со- средоточенных системах [7]. Первое из указанных состояний является статическим – это пространственная ДС Тьюрин- га. Второе состояние представляет собой перио- дически осциллирующую во времени пространст- венно-временную ДС – динамически стабильную автоволновую структуру. В последнем случае система в целом характеризуется, кроме tran , еще одним временным масштабом – периодом осцилляций ДС cycle . Для колмогоровского оператора   [33], описывающего эволюцию дискретной возбуди- мой системы с матрицей состояний  и локаль- ными взаимодействиями, можно записать уравне- ния, позволяющие вычислить tran и cycle :         ,)(min ;)(min ;)I( )0( mcycle mtran ac cc aa    (16) где )0( – стартовая конфигурация системы, представляющая собой матрицу начальных усло- вий: )0()0( ij ; ij – нулевая матрица, ),(0 jiij  , а вычислению подлежат пáры ),( mm ca , где }{}{ naam  , }{}{ nccm  . В зависимости от вида пар ),( mm ca мо- жет реализоваться четыре различных сценария ),( ~ mm caE , по которым реализуется эволюция рассматриваемой системы, а именно:                   .)2()1( ~ ;)2()0( ~ ;)1()1( ~ ;)1()0( ~ 21 20 11 0,1 mm, mm, mm, mm caE caE caE caE (17) Д. Н. Маковецкий / Эволюция и динамическая стабилизация… _______________________________________________________________________________________________________________ 206 Сценарий 1,0 ~ E соответствует матрице на- чальных условий, в точности равной собственной матрице оператора   , т. е. )0()0()(  nn  . Иначе говоря, уже само стартовое состояние сис- темы принадлежит ее точечному аттрактору. Для нашей системы, где устойчивым состоянием каж- дого из уединенных АЦ есть ILLK  , точечный аттрактор является единственным и имеет триви- альный вид, а именно:  . Сценарий 1,1 ~ E также приводит к выходу на указанный выше точечный аттрактор, однако в этом случае стартовое состояние системы лежит не на самóм аттракторе, а в области его притяже- ния. Таким образом, коллапс возбуждений, т. е. обращение всех ij в нуль, имеет место лишь при ненулевом ma . Обычно )( rema   , т. е. длительность переходного процесса может быть очень большой. В этом случае нестационарная пространственно-временная динамика системы может быть исключительно сложной, что уже наблюдалось в предыдущих компьютерных экс- периментах [12-15]. Сценарии 2,0 ~ E и 2,1 ~ E приводят к устой- чивому периодическому движению системы. При этом сценарий 2,0 ~ E , как и рассмотренный выше сценарий 1,0 ~ E , отвечает случаю, когда стартовое состояние системы уже принадлежит ее аттракто- ру. Разница состоит в том, что теперь матрица начальных условий не равна собственной матрице оператора   , но, очевидно, является собственной матрицей оператора mc )(  . Формально сценарий 2,0 ~ E напоминает эволюцию нелинейной системы типа Ферми-Паста- Улама (ФПУ) [34], а именно ее периодический воз- врат к исходному состоянию, хотя механизмы это- го возврата для нашей возбудимой диссипативной системы и для солитонообразующей консерватив- ной системы ФПУ качественно различны. Сценарий 2,0 ~ E для нашей системы явля- ется атипичным, поскольку для его реализации требуется задать начальные условия )0()0( ij очень специального, регуляризо- ванного вида. В то же время постановка компью- терных экспериментов подобного рода предпола- гает случайную генерацию элементов матрицы )0( ij , что соответствует естественному физиче- скому условию стохастического пространствен- ного распределения АЦ по уровням .KL С алгоритмической точки зрения подав- ляющее большинство матриц начальных условий, заданных хорошим генератором случайных чисел [35], являются невычислимыми для операторов   интересующего нас вида. Существование принципиально невычислимых конфигураций для многомерных дискретных отображений, в том чис- ле для клеточных автоматов, хорошо известно – это конфигурации "gardens of Eden" [36]. Поэтому в наших компьютерных экспериментах следует ожидать, что выход на периодический аттрактор должен практически всегда сопровождаться пере- ходным процессом, и соответственно сценарий 2,1 ~ E принадлежит к числу типичных. К этому следует добавить, что клеточно- автоматные алгоритмы позволяют легко модели- ровать эволюцию многочастичных объектов с большим количеством сосуществующих неточеч- ных (периодических) аттракторов [7]. Предыду- щие исследования [12-15] показывают, что коли- чество аттракторов для интересующей нас систе- мы быстро возрастает с увеличением ее размеров. Следовательно, можно прогнозировать, что сце- нарий 2,1 ~ E для нашей конкретной системы явля- ется не только типичным, но и основным, по- скольку сценарий 1,1 ~ E всегда реализует выход на единственный точечный аттрактор, а остальные два сценария ( 1,0 ~ E и 2,0 ~ E ), как уже отмечалось, вообще не являются типичными. Таким образом, в компьютерных экспери- ментах предполагается вычисление множеств )}({ )0()(  x , где cycletranevolNx  1 , содержащих все разрешенные конфигурации для нашего колмогоровского оператора   при задан- ных начальных условиях )0( и при описанных в предыдущем параграфе граничных условиях. Для повышения выразительности визуа- лизируемых объектов будут использоваться пат- терны )()(P x ij x L , представляющие собой мат- ричные представления мгновенного распределе- ния АЦ по уровням во всей системе. Основное внимание, как уже указывалось выше, уделено ДС типа ВСА с 1TQ . 5. Размерные эффекты при генерации ВСА с кратными топологическими зарядами. Для ряда нелинейных многокомпонентных систем (таких, как связанные осцилляторы Ван дер Поля) было показано, что пространственно-временные структуры с 1TQ неустойчивы, поэтому ко- нечным результатом эволюции могут быть лишь Д. Н. Маковецкий / Эволюция и динамическая стабилизация… _______________________________________________________________________________________________________________ 207 вихри с 1TQ [25]. Подобный же вывод был сделан в свое время Хаганом [37] и по отноше- нию к модельным системам, которые описывают- ся уравнениями типа "реакция-диффузия". К это- му же классу принадлежит и большинство конти- нуальных моделей возбудимых систем. Однако позже выяснилось, что последний результат при- меним лишь к слабо нелинейным системам, эле- менты которых совершают почти гармонические колебания. В то же время элементы возбудимой среды, объединенные в сеть с локальными связя- ми, совершают релаксационные, очень богатые гармониками колебания [8], и модель Хагана [37] для подобных систем неадекватна. Еще менее изученным является в настоя- щее время вопрос о влиянии размеров активной среды на возможность выживания высших ВСА в процессе эволюции возбудимой системы. Обычно считается, что даже небольшое увеличение раз- меров активной среды приводит к разрушению случайно выживших высших ВСА и доминирова- нию ВСА с 1TQ . Действительно, такой про- цесс реализуется в целом ряде случаев, в том чис- ле и для интересующих нас трехуровневых возбу- димых систем [12-15]. С другой стороны, для по- добных систем, как выяснилось, характерными являются и несколько качественно иных направ- лений эволюции, приводящих к динамической стабилизации высших ВСА не только при уме- ренных, но и при больших размерах активной среды ( 10/ WXYD  ). Для выяснения вопроса о роли размерных эффектов при формировании ВСА с 1TQ бы- ла выполнена следующая серия компьютерных экспериментов. Инициализация системы в каж- дом из компьютерных экспериментов этой серии производилась одним и тем же стартовым паттер- ном, имеющим фиксированные размеры ( )0()0( , YX MM ), но размеры активной среды ( YX MM , ) последовательно увеличивались от эксперимента к эксперименту следующим обра- зом: MMMMMM XYX  2)()( )0(  , где величина ...,3,2,1,0M соответствует прира- щению размеров активной среды со стороны каж- дой из ее границ. При всех 0M геометриче- ский центр начального возмущения, имеющего размеры ( )0()0( , YX MM ), совпадал с центром актив- ной среды. Состояния всех периферических АЦ, не затронутых начальным возмущением, являлись при 0n основными (т. е. выполнялось I )0( LLK  для всех АЦ, лежащих вне центральной облас- ти среды). На рис. 1 приведены результаты серии таких компьютерных экспериментов при 100)0()0(  YX MM ; ]17;0[M ; 5e ; 10r ; 1g ; 9 fh . Показаны состояния, соответствующие мгновенным снимкам систем с различными M после их выхода на соответст- вующий аттрактор (для всех паттернов на рис. 1 приведены состояния при cycletrann   510 ). Черным, серым и белым цветами на рис. 1 обо- значены возбужденные ( IIIL ), рефрактерные ( IIL ) и основные ( IL ) состояния АЦ. Рис. 1. Размерные эффекты при динамической стабилизации пространственно-временных структур в возбудимых системах с различными размерами, но с одинаковым стартовым возму- щением. Числа под паттернами показывают приращение M для размеров системы по каждой из ее сторон При 2;1;0 M аттракторами явля- ются правильные ВСА (рис. 1) с уменьшающими- ся по модулю, но неизменными по знаку тополо- гическими зарядами: 1;2;3 TQ . Поэтому может показаться, что предположение о неустой- чивости ВСА с 1TQ относительно увеличения размеров активной среды является корректным и для нашей возбудимой системы. Д. Н. Маковецкий / Эволюция и динамическая стабилизация… _______________________________________________________________________________________________________________ 208 Однако уже при 3M , как видно из рис. 1, величина TQ снова возрастает, при этом TQsgn все еще сохраняется ( 2TQ ). Увеличе- ние M еще на единицу (рис. 1, 4M ) приво- дит к обращению TQsgn при неизменном TQ , т. е. теперь аттрактором системы является ВСА с 2TQ . До сих пор (т. е. при ]4;0[ M ) все аттракторы представляли собой правильные ВСА с различными TQ и различными TQsgn . Далее при 5M происходит резкое изменение результата эволюции системы по срав- нению со случаями ]4;0[ M . Вместо перио- дического аттрактора при 5M происходит выход системы на точечный аттрактор, когда все возбуждения коллапсируют – паттерн становится чисто белым (рис. 1, 5M ). Начиная с 6M периодические ат- тракторы восстанавливаются, но кроме уединен- ных правильных ВСА ( 2TQ при 6M и 1TQ при 12M ) наблюдаются и более сложные результаты эволюции. Так, при 7M аттрактором системы становится про- странственно-временнáя структура из двух сосу- ществующих, но пространственно обособленных ВСА, каждая из которых имеет 2TQ , т. е. суммарный топологический заряд составляет 4TQ . Аналогично при 17M сосущест- вуют две ВСА с 2TQ , но из-за близости их ядер автоволны в дальней зоне выглядят как вол- ны от единого вихревого источника с 4TQ . Наконец при 8M и 15M аттрактора- ми являются сложные вихревые структуры спи- рально-лабиринтного типа, содержащие по одно- му четко выраженному ядру. Качественное объяснение столь сложных метаморфоз состояния возбудимой системы при постепенном увеличении ее размеров может быть основано на следующих соображениях. С ростом XM и YM область поверхностного слоя, при- мыкающего к поглощающим границам системы, сдвигается относительно фиксированной области начального возмущения, для которого в данных экспериментах const)0()0(  YX MM . Соответст- венно изменяются условия конкуренции для ВСА и, как результат, динамическая стабилизация той или иной ВСА (или более сложной структуры, или же, напротив, выход на точечный аттрактор) происходит по сценарию, который кажется слу- чайным, хотя система является полностью детер- минированной, а начальное возмущение фикси- ровано. По ходу эволюции ВСА, не выдержи- вающие конкуренции, вытесняются на перифе- рию активной среды и разрушаются при столкно- вении их ядер с поглощающими границами. При всех M , показанных на рис. 1, кроме единственного случая 5M , эволюция протекает по сценарию 1,2 ~ E , что подтверждает сделанный в предыдущем параграфе прогноз. В случае же 5M (рис. 1) конкуренция меж- ду ВСА приводит к тому, что ни одна из ВСА не успевает закрепиться на безопасном расстоянии от границы активной среды. В результате, как уже отмечалось выше, происходит самоиндуцирован- ный коллапс возбуждений – система переходит в состояние I )0( LLK  по сценарию 1,1 ~ E . До сих пор мы уделяли внимание только завершающему этапу эволюции нашей многочас- тичной системы, а именно, ее движению на ат- тракторе. Не менее важной является роль пере- ходных процессов, которые могут быть очень длительными. В следующем параграфе рассмат- риваются некоторые нетривиальные аспекты пе- реходных процессов в подобных системах ( trann 1 ), прежде всего при формировании ВСА с кратными топологическими зарядами. 6. Сосуществование регулярных и не- регулярных структур в возбудимой среде. Вы- полненные ранее исследования переходных про- цессов в многокомпонентных возбудимых систе- мах рассматриваемого типа показали, что здесь возможны такие интересные явления, как само- индуцированное обращение знака топологическо- го заряда, нелинейные "отражения" ВСА от гра- ниц, скользящие режимы движения ДС, а также репликация (самовоспроизведение) ВСА [12-15]. Мощным инструментом для автоматиза- ции таких исследований является программно реализованная техника сечений Пуанкаре (СП) [7], обобщенная на случай распределенных, мно- гочастичных или многокомпонентных систем. Для однокомпонентной (сосредоточенной) систе- мы сечением Пуанкаре называется дизъюнктив- ная последовательность стробоскопических кар- тин эволюции системы в условиях, когда период стробирования совпадает с тем или иным перио- дическим процессом в данной системе [7]. Если же периодичность отсутствует, то сечение Пуан- каре может характеризовать вид неупорядоченно- сти (динамический хаос, стохастичность типа бе- лого или цветного шума и т. д.). Для многокомпонентной системы возмож- ности подобной техники исследований существенно расширяются, поскольку теперь можно визуализи- ровать различные сложные движения в системе с помощью относительно небольшого количества Д. Н. Маковецкий / Эволюция и динамическая стабилизация… _______________________________________________________________________________________________________________ 209 паттернов, зарегистрированных с некоторым экспе- риментально подбранным периодом. В частности, можно увидеть "застывшую" стробоскопическую картину периодических пространственно-временных структур на фоне некоторых непериодических (пе- реходных, нестационарных) движений. На основе указанной техники нами обна- ружен нелинейный процесс, ускользавший от внимания при прямом наблюдении эволюции воз- будимых систем с дискретным спектром состоя- ний АЦ. В основе использовавшегося нами мето- да анализа итерационных последовательностей лежит получение прямых и обратных серий СП, кратко описанное ниже. Построение прямых ( finishstart nn  ) и обратных ( finishstart nn  ) серий СП было реали- зовано приведенными далее алгоритмами. Здесь startn и finishn определяют соответственно начало и конец фрагмента итерационной последователь- ности }{n , подлежащей анализу методом СП. Пусть кортеж )(B n содержит последователь- ность матриц )(B nij , где ijB – булевы функ- ции, определяемые на бинарном множестве }0,1{}FALSE,TRUE{)(B BBij n  , (18) и имеющие вид        ,)]()[(IF,0 ,)(IF,1 )(B II )( I )( III )( LLLL LL n n ij n ijB n ijB ij (19) причем ],1[ XMi , ],1[ YMj . Предполагается, что распределения АЦ по уровням, т. е. матрицы )(n ijL уже вычислены для всех указанных ),( ji при всех необходимых значениях n в диапазоне ];[ finishstart nnn . Выполним серию из k операций дизъ- юнкции для булевых значений каждого матрично- го элемента ijB при некоторых фиксированных значениях n . Для этого выберем определенный интервал времени n (интервал стробирования), через который последовательно берутся булевы величины }0,1{)(B BBij n  , начиная с некоторого момента времени 1n , где nkNnnstart  1 . В результате этих операций получаем матрицу ),,(BB 1 )()( knnij   с элементами .)](B...)]2(B )](B)(B[[[ ),,(B 11 11 1 )( nknnn nnn knn ijij ijij ij    (20) Выполним также аналогичную серию из m операций дизъюнкции, но в обратном по вре- мени порядке, начиная с некоторого момента 2n , где finishnnnm  2 (напомним, что мы работа- ем с уже готовыми наборами паттернов, что по- зволяет посмотреть эволюцию в обращенном времени). В результате получаем матрицу ),,(BB 2 )()( mnnij   с такими элементами: .)](B...)]2(B )](B)(B[[[ ),,(B 22 22 2 )( nmnnn nnn mnn ijij ijij ij    (21) Прямые и обратные серии СП представ- ляют собой наборы паттернов )(P  cross и )(P  cross , каж- дый из которых состоит из черных ( black ) и бе- лых ( white ) пикселей. Цвет пикселей с координа- тами ),( ji определяется матричными элементами ),,(B 1 )( knnij  и ),,(B 2 )( mnnij  соответственно:  )( 1 )( B~),,(P   ijcross knn  ; (22)  )( 2 )( B~),,(P   ijcross mnn  , (23) где бинарная функция )(~  для каждой индиви- дуальной клетки ),( ji  имеет вид             .)0B(IF, ;)1B(IF, )B(~ )( )( )( Bjiwhite Bjiblack ji    (24) На рис. 2 показаны прямые (левый стол- бец) и обратные (правый столбец) серии СП для системы с 100 YX MM ; 50 hre  ; 1g ; 5f . Стробирование и построение СП было осуществлено при trann 1540001 ; trann  3380002 и при cyclen 21000  ; 184)(max)(max  mk . Средний столбец со- держит обычную последовательность паттернов, на основе которых построены СП (в этом столбце черным цветом показаны только АЦ с IIIL , а все остальные АЦ – белым). Числа под всеми строка- ми – текущие величины n . Прямая серия СП (рис. 2, левый столбец) показывает, что пространственная область апе- риодических движений является ограниченной на всем исследованном интервале стробирования ],[ 21 nn . Другими словами, область периодиче- ских движений является динамически стабильной на большей части активной среды, начиная по меньшей мере с 5105,1 n . Обратная серия СП (рис. 2, правый столбец) дополняет картину фор- Д. Н. Маковецкий / Эволюция и динамическая стабилизация… _______________________________________________________________________________________________________________ 210 мирования области периодических движений при выходе системы на регулярный аттрактор по сце- нарию 2,1 ~ E ( 338000n ). В данном конкретном случае область периодических движений пред- ставляет собой ВСА с высоким топологическим зарядом 4TQ и зацепившуюся за один из ее рукавов дислокацию. Эта сложная периодическая мезоскопическая ДС, "застывающая" на стробо- скопической картинке, постепенно расширяется и становится совершенно неподвижной по мере выхода системы на аттрактор (рис. 2). Рис. 2. Сосуществование регулярной (ВСА) и нерегулярной структур при переходном процессе в возбудимой системе. Числа под паттернами – текущие шаги эволюции, следующие через два периода вращения ВСА Сосуществование периодических и апе- риодических движений в дискретной возбудимой среде, показанное на рис. 2, напоминает анало- гичный эффект в континуальных системах взаи- модействующих осцилляторов [38] (эффект "chimera states" [39]). Однако доменные стенки, разделяющие области периодических и апериоди- ческих движений в дискретной пространственно- ограниченной возбудимой системе, не могут быть неподвижными, поскольку величина tran являет- ся конечной, а все аттракторы такой системы ре- гулярны. Другими словами, в отличие от эффекта "chimera states" для континуальных систем [38, 39] в нашей возбудимой дискретной системе сосуществование областей с регулярной и нерегу- лярной пространственной динамикой возможно только в нестационарном (переходном) режиме. Еще одной важной особенностью иссле- дуемой системы является ее исключительно вы- сокая чувствительность (гиперчувствительность) к начальным условиям, т. е. к виду матрицы )0( . В следующем параграфе изложены результаты компьютерных экспериментов, демонстрирующие этот эффект на примере ВСА с кратными TQ . 7. Гиперчувствительность трехуров- невой возбудимой системы к изменению на- чальных условий. Эффект гиперчувствительно- сти континуальных нелинейных динамических систем к начальным условиям, т. е. экспоненци- альная расходимость фазовых траекторий при сколь угодно малых конечных вариациях началь- ных условий, хорошо известен как для сосредото- ченных, так и для распределенных объектов в различных областях физики, химической кинети- ки и др. [7]. Для дискретных многочастичных нелинейных систем минимальная вариация на- чальных условий обычно означает изменение на- чального состояния одного-единственного из ее элементов, причем это изменение также должно быть минимально возможным. Несмотря на счет- ность состояний пространственно-ограниченной дискретной системы с конечным спектром возбуж- дений АЦ, ее поведение при определенных усло- виях напоминает гиперчувствительность конти- нуальных систем. В настоящем параграфе выпол- нены компьютерные эксперименты, демонстри- рующие качественное изменение результата эво- люции дискретной возбудимой системы при ука- занной минимальной вариации начальных условий. Рассмотрим два параллельных варианта эволюции нашей трехуровневой возбудимой сис- темы (рис. 3), задавая начальные условия в виде почти одинаковых стартовых паттернов (0)PSL (рис. 3, левая колонка, 0n ) и (0)PSR (рис. 3, пра- Д. Н. Маковецкий / Эволюция и динамическая стабилизация… _______________________________________________________________________________________________________________ 211 вая колонка, 0n ). Каждый из этих двух старто- вых паттернов ( (0)PSL и (0)PSR ) имеет размеры 5075 YX MM . Оба варианта эволюции си- стемы, фрагменты которой показаны на рис. 3 при 0n , соответствуют идентичным парамет- рам возбудимой среды, а именно 5e ; 7r ; 3,0g ; 3h ; 9f . При 10118n наша мультистабильная система в обоих случаях уже находится на соответствующих аттракторах. Рис. 3. Компьютерный эксперимент, демонстрирующий ги- перчувствительность возбудимой системы с трехуровневыми АЦ по отношению к изменению начальных условий Стартовые пространственные конфигура- ции АЦ, находящихся в основном состоянии ( ILLK  , белые пиксели на рис. 3 при 0n ), заданы абсолютно одинаковыми для обоих стар- товых паттернов (0)PSL и (0)PSR . Отличие же между (0)PSL и (0)PSR состоит в том, что стартовые конфи- гурации АЦ, находящихся в возбужденном ( IIILLK  , черные пиксели на рис. 3 при 0n ) и рефрактерном ( IILLK  , серые пиксели на рис. 3 при 0n ) состояниях, разнятся лишь для одного АЦ. Координаты этого АЦ составляют в данном случае 66i , 41j . Для (0)PSL пиксель, соответствующий указанному АЦ, является чер- ным, а для (0)PSR – серым. Напомним, что цвета пикселей для стартового паттерна однозначно соответствуют значениям соответствующих эле- ментов матрицы фазовых состояний, а именно: 0)0( ij для белых, 1)0( kl для черных и 1)0(  emn  для серых пикселей соответственно. Несмотря на столь малое различие между стартовыми паттернами (0)PSL и (0)PSR , эволюция рассматриваемой системы качественно изменяет- ся при переходе от начальных условий (0)PSL к на- чальным условиям (0)PSR . Действительно, после старта системы из состояния (0)PSL видно, как формируется ВСА, которая после выхода на ат- трактор имеет 3TQ ; 1sgn TQ (рис. 3, левая колонка, 10118n ). В то же время эволю- ция системы, стартовавшей из состояния (0)PSR , ведет к возникновению ВСА, для которой и мо- дуль, и знак топологического заряда уже совсем другие: 2TQ ; 1sgn TQ (рис. 3, правая колонка, 10118n ). Промежуточные этапы (рис. 3, 500n и 2010n ) показывают наибо- лее характерные стадии переходных процессов для обоих рассмотренных случаев. Хорошо вид- ны противоположные тенденции в конкурентных процессах между ДС с положительными и отри- цательными вихреобразующими элементами (рис. 3, 500n ) и формирование промежуточ- ных уединенных ВСА с 1sgn TQ (рис. 3, ле- вая колонка, 2010n ) и 1sgn TQ (рис. 3, правая колонка, 2010n ). Интересно, что обе промежуточные уединенные ВСА, различаясь по знаку TQ , имеют одинаковые модули топологи- ческого заряда 4TQ (рис. 3, 2010n ). Под- черкнем, что по ходу дальнейшей эволюции сис- темы происходит дифференциация ВСА не толь- ко по знаку, но также и по модулю (рис. 3, 10118n ). В целом же приведенные выше ре- зультаты компьютерных экспериментов демонст- рируют ярко выраженный эффект гиперчувстви- тельности модельной возбудимой трехуровневой системы к изменению начальных условий, что характерно и для реальных фазерных систем. Выводы. Таким образом, методами ком- пьютерных экспериментов обнаружены и иссле- дованы эволюционные процессы в трехуровневых возбудимых системах, приводящие к самооргани- зации мезоскопических ДС (содержащих АЦ в количестве 43 1010 D и более), в том числе устойчивых ВСА с кратными топологическими зарядами. Обнаружены и детально изучены раз- мерные эффекты для таких ВСА. Методом обоб- щенных сечений Пуанкаре выполнено моделиро- вание эффекта пространственного сосуществова- Д. Н. Маковецкий / Эволюция и динамическая стабилизация… _______________________________________________________________________________________________________________ 212 ния регулярных и нерегулярных автоволновых структур при медленных переходных процессах в возбудимой среде (эффект такого рода наблюдал- ся нами ранее в реальных экспериментах на руби- новом фазере [16]). Продемонстрирована гипер- чувствительность к начальным условиям для мультистабильной возбудимой системы, имею- щей аттракторы в форме ВСА с различными высшими топологическими зарядами. Кратко рассмотрим перспективы даль- нейших исследований. Предварительные компью- терные эксперименты, выходящие за рамки по- ставленных в настоящей работе задач, показали, что гиперчувствительность исследуемой системы к начальным условиям может приводить и к дру- гим нетривиальныи явлениям, среди которых можно особо выделить спонтанное восстановле- ние симметрии, принудительно нарушенной при задании начальных условий. Так, для системы, близкой к показанной на рис. 3, можно найти ус- ловия, при которых изменение состояния одного- единственного пикселя приводит к формирова- нию не ВСА, а зеркально-симметричной мезоско- пической ДС, хотя изначально зеркальная сим- метрия стартового паттерна была существенно (по сравнению с рис. 3) искажена. Подробное ис- следование этого явления предполагается провес- ти в последующих работах. Еще одним возможным направлением развития исследований самоорганизованных структур является разработка решеточных моде- лей для диссипативных систем того же класса, что и в настоящей работе (когда релаксация ак- тивной среды протекает значительно медленнее, чем релаксация полевой подсистемы), но в усло- виях, когда АЦ не закреплены физически в неко- торых неподвижных узлах решетки, а могут миг- рировать в пределах всей рабочей среды, форми- руя специфические пространственные структуры. Подобные системы уже исследовались ранее в другом контексте – это, например, светочувстви- тельные пленки типа AgCl-Ag [40]. Алгоритмиче- ски задача о движущихся АЦ с локальными взаи- модействиями относится к тому же классу труд- ности (класс P-time [41]), что и задача о динамике дискретной возбудимой среды. Это важно с точки зрения разработки эффективного программного обеспечения для моделирования длительных эво- люционных процессов в диссипативных системах. Автор выражает искреннюю признатель- ность С. Д. Маковецкому (Microsoft CP) за возмож- ность использовать разработанные им программы TLM и TLL, а также за постоянное сотрудничество в проведении компьютерных экспериментов. Автор глубоко благодарен Е. Д. Маковецкому (Харьков- ский национальный университет им. В. Н. Каразина, кафедра физической оптики), О. Л. Бандман (Ин- ститут вычислительной математики и математи- ческой геофизики, Новосибирск) и Х. Гисадо (Computer Science Department, Centro Universita- rio de Merida, Spain) за интерес к нашим исследо- ваниям многочастичных трехуровневых систем и за любезно предоставленную библиографическую информацию по тематике данной работы. 1. Weiss C. O., Larionova Ye. Pattern Formation in Optical Resonators // Rep. Prog. Phys. - 2007. - 70. - P. 255–335. 2. Ванаг В. К. Волны и динамические структуры в реакци- онно-диффузионных системах. Реакция Белоусова- Жаботинского в обращенной микроэмульсии // Успехи физ. наук. - 2004. - 174, № 9. - С. 991-1010. 3. Oya T., Asai T., Fukui T., Amemiya Y. Reaction-Diffusion Systems Consisting of Single-Electron Oscillators // Int. J. Unconvential Computing. - 2005. - 1. - P. 177-194. 4. Murray J. D. Mathematical Biology: 3-rd Edition. - Berlin: Springer, 2002. - 618 p. 5. Fairley P. The Unruly Power Grid // IEEE Spectrum. - 2004. - 41, N 8. - P. 16-21. 6. Васильев В. А., Романовский Ю. М., Яхно В. Г. Автовол- новые процессы. - М.: Наука, 1987. - 240 с. 7. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990. - 272 с. 8. Колебания и бегущие волны в химических системах / Под ред. Ричарда Филда и Марии Бургер. - М.: Мир, 1988. - 720 с. 9. Бандман О. Л. Клеточно-автоматные модели пространст- венной динамики // Системная информатика. - Новоси- бирск: Изд-во СО РАН. - 2006. - Вып. 10. - С. 57-113. 10. Маковецкий Д. Н. Нелинейная динамика индуцированного излучения фононов в микроволновом неавтономном аку- стическом квантовом генераторе при сверхнизкочастот- ной модуляции накачки // Письма в Журн. техн. физики. - 2001. - 27, вып. 12. - С. 57-64. 11. Маковецкий Д. Н. Резонансная дестабилизация микровол- нового индуцированного излучения фононов в акустиче- ском квантовом генераторе (фазере) при периодической модуляции накачки // Журн. техн. физики. - 2004. - 74, вып. 2. - С. 83-91. 12. Makovetskiy S. D., Makovetskii D. N. A Computational Study of Rotating Spiral Waves and Spatio-Temporal Transient Chaos in a Deterministic Three-Level Active System. - Cor- nell (USA). - 2005. - 38 p. - (Preprint / Condensed Matter Re- pository. Cornell University; № cond-mat/0410460v2). 13. Маковецкий Д. Н. Нестационарные пространственные структуры, медленные переходные процессы и мульти- стабильность при слабой диффузии возбуждений в рас- пределенных неравновесных системах с трехуровневыми активными центрами // Радиофизика и электроника. - Харьков: Ин-т радиофизики и электрон. НАН Украины. - 2005. - 10, № 3. - С. 466-475. 14. Makovetskiy S. D. Numerical Modeling of Coexistence, Com- petition and Collapse of Rotating Spiral Waves in Three-Level Excitable Media with Discrete Active Centers and Absorbing Boundaries. - Cornell (USA). - 2006. - 15 p. - (Preprint / Condensed Matter Repository. Cornell University; № cond- mat/0602345). 15. Маковецкий Д. Н. Конкуренция самоорганизованных вра- щающихся спиральных автоволн в неравновесной диссипа- тивной системе с трехуровневыми активными центрами // Радиофизика и электроника. - Харьков: Ин-т радиофизики и электрон. НАН Украины. - 2007. - 12, № 1. - С. 209-222. 16. Makovetskii D. N. Slowing-Down of Transient Processes upon the Formation of the Power-Spectrum Fine Structure of a Microwave Phonon Laser (Phaser) // Ukr. J. Phys. - 2006. - 51, No. 5. - P. 449-459. Д. Н. Маковецкий / Эволюция и динамическая стабилизация… _______________________________________________________________________________________________________________ 213 17. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравно- весных системах. - М.: Мир, 1979. - 512 с. 18. Ацаркин В. А., Родак М. И. Спиновая температура в элект- ронном парамагнитном резонансе // Проблемы магнитно- го резонанса. - М.: Наука, 1978. - С.187-205. 19. Ганапольский Е. М., Маковецкий Д. Н. Усиление и гене- рация когерентных фононов в рубине в условиях инвер- сии населенностей спиновых уровней // Журн. эксперим. и теорет. физики. - 1977. - 72, вып 1. - С. 203-217. 20. Meltzer R. S., Rives J. E. New High-Energy Monoenergetic Source for Nanosecond Photon Spectroscopy // Phys. Rev. Letters. - 1977. - 38, No. 8. - P. 421-424. 21. Fokker P. A., Dijkhuis J. I., de Wijn H. W. Stimulated Emis- sion of Phonons in an Acoustical Cavity // Phys. Rev. B. - 1997. - 55, No. 5. - P. 2925-2933. 22. Маковецкий Д. Н. Исследование усиления и генерации гиперзвука парамагнитными центрами в корунде при ин- версии населенностей спиновых уровней: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Харьков, 1984. - 22 с. 23. Kevrekidis P. G., Malomed B. A., Zhigang Chen, Frantzeska- kis D. J. Stable Higher-Order Vortices and Quasivortices in the Discrete Nonlinear Schrodinger Equation // Phys. Rev. E. - 2004. - 70, No. 5. - P. 6612. 24. Малинецкий Г. Г., Шакаева М. С. Моделирование колеба- тельных химических реакций на поверхности // Журн. физ. химии. - 1995. - 69, № 8. - С. 1523-1527. 25. Зельдович Я. Б., Маломед Б. А. Топологические инварианты и струны в распределенных активных динамических систе- мах // Докл. АН СССР. - 1980. - 254, No. 1. - С. 92-94. 26. Богач П. Г., Решодько Л. В. Алгоритмические и автомат- ные модели деятельности гладких мышц / Под ред. В. М. Глушкова - К.: Наук. думка, 1979. - 348 с. 27. Greenberg J. M., Hastings S. P. Spatial Patterns for Discrete Models of Diffusion in Excitable Media // SIAM J. Appl. Math. - 1978. - 34. - P. 515-523. 28. Greenberg J. M., Greene C., Hastings S. P. Remarks on a 25 Year Old Theorem on Two-Dimensional Cellular Automata // Int. J. Unconv. Computing. - 2005. - 1, No. 4. - P. 399-402. 29. Jensen H. J. Self-Organized Criticality: Emergent Complex Behavior in Physical and Biological Systems. - Cambridge etc.: Cambridge Univ. Press, 1998. - 153 p. 30. Маковецкий С. Д. Программа для моделирования про- странственно-временных структур в трехуровневых лазе- рах // Тр. 9-го Международ. форума "Радиоэлектроника и молодежь в ХХI веке" (19 - 21 апреля 2005). - Харьков: ХНУРЭ, 2005. - С. 348. 31. Маковецкий С. Д. Метод численного моделирования не- стационарных процессов в трехуровневых возбудимых средах и его программная реализация на языке Java // Тр. 10-го Юбилейного Международ. форума "Радиоэлектро- ника и молодежь в ХХI веке" (10 - 12 апреля 2006). - Харьков: ХНУРЭ, 2006. - С. 357. 32. Арнолд К., Гослинг Дж., Холмс Д. Язык программирова- ния Java. - М.: Изд. дом "Вильямс", 2001. - 624 с. 33. Колмогоров А. Н. Избранные труды. Теория информации и теория алгоритмов. - М.: Наука, 1987. - 304 с. 34. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Studies of the Nonlinear Problems (Part I) // Collected Papers of Enrico Fermi / Ed. by E. Segre. - Chicago: Univ. of Chicago Press. - 1965. - P. 978-1007. 35. Кнут Д. Э. Получисленные алгоритмы, 3-е изд. - М.: Изд. дом "Вильямс", 2000. - 832 с. - (Искусство программиро- вания: В 3-х т.; Т.2). 36. Gardner M. On Cellular Automata Self-Reproduction, the Garden of Eden and the Game of Life // Sci. Amer. - 1971. - 224. - P. 112-117. 37. Hagan P. S. Spiral Waves in Reaction-Diffusion Equations // SIAM Journ. Appl. Math. - 1982. - 42, No. 4. - P. 762-786. 38. Kuramoto Y., Battogtokh D. Coexistence of Coherence and Incoherence in Nonlocally Coupled Phase Oscillators // Non- lin. Phenom. Complex Syst. - 2002. - 5, No. 4. - P. 380-385. 39. Abrams D. M., Strogatz S. H. Chimera States in a Ring of Nonlocally Coupled Oscillators // Int. J. Bifurc. Chaos. - 2006. - 16, No. 1. - P. 21. 40. Makovetsky E. D., Miloslavsky V. K., Ageev L. A. Spontane- ous Grating Formation in Thin Light-Sensitive AgCl-Ag Films at Linear P/S-Polarization of a Laser Beam // Journ. Op- tics A: Pure Appl. Optics. - 2005. - 7, No. 7. - P. 324-332. 41. Cormen T. H., Leiserson C. E., Rivest R. L., Stein C. Intro- duction to Algorithms: 2-nd edition. - Cambridge (Massachu- setts, USA) etc.: The MIT Press, 2001. - 984 p. EVOLUTION AND THE DYNAMICAL STABILIZATION OF MESOSCOPIC DISSIPATIVE STRUCTURES (ROTATING AUTOWAVES) WITH MULTIPLE TOPOLOGICAL CHARGES IN THREE-LEVEL EXCITABLE SYSTEMS D. N. Makovetskii The work is devoted to computer modeling of evolution of mesoscopic dissipative structures (DS), which emerge in three- level excitable systems of the phaser type. The main attention is concentrared on the investigation of the rotating spiral autowaves (RSA), including stable RSA with multiple topological charges. In our computer experimemts, the dimensional phenomena for such the RSA were revealed and investigated in details. The hypersensi- tivity to initial conditions was demonstrated for a multistable excitable system having spatial attractors in the form of RSA with various higher topological charges. The phenomenon of spatial coexistence of regular and irregular DS during slow transition processes in excitable medium is modeled for the first time (such the phenomenon was observed by us earlier in real experiments on the ruby phaser). Key words: mesoscopic dissipative structures, topo- logical charge, phaser. ЕВОЛЮЦІЯ ТА ДИНАМІЧНА СТАБІЛІЗАЦІЯ МЕЗОСКОПІЧНИХ ДИСИПАТИВНИХ СТРУКТУР (ОБЕРТОВИХ АВТОХВИЛЬ) З КРАТНИМИ ТОПОЛОГІЧНИМИ ЗАРЯДАМИ У ТРИРІВНЕВИХ ЗБУДЖУВАНИХ СИСТЕМАХ Д. М. Маковецький Робота присвячена комп'ютерному моделюванню еволюції мезоскопічних дисипативних структур (ДС), що виникають у трирівневих збуджуваних системах фазерного типу. Основну увагу приділено вивченню обертових спіраль- них автохвиль (ОСА), у тому числі стійких ОСА з кратними топологічними зарядами. У наших комп'ютерних експеримен- тах виявлені та детально вивчені розмірні ефекти для таких ОСА. Продемонстрована гіперчутливість до початкових умов для мультистабільної збуджуваної системи, що має просторо- ві атрактори у формі ОСА з різними вищими топологічними зарядами. Вперше виконано моделювання ефекту просторово- го співіснування регулярних та нерегулярних ДС при повіль- них перехідних процесах у збуджуваному середовищі (подіб- ний ефект спостерігався нами раніше у реальних експеримен- тах на рубіновому фазері). Ключові слова: мезоскопічні дисипативні струк- тури, топологічний заряд, фазер. Рукопись поступила 12 марта 2008 г.

Репозитарії

Схожі ресурси