Решающая статистика энергетического обнаружителя, основанного на двухпараметрическом разложении стохастических сигналов

Рассмотрены вопросы оптимального обнаружения скрытных стохастических сигналов с известной спектрально-временной структурой на фоне нормального шума с равномерным спектром в полосе пропускания приемника. Получены отношение правдоподобия и решающая статистика при использовании двухпараметрического раз...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2012
Main Author:	Могила, А.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2012
Series:	Радіофізика та електроніка
Subjects:	Статистическая радиофизика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105869
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Решающая статистика энергетического обнаружителя, основанного на двухпараметрическом разложении стохастических сигналов / А.А. Могила // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 1. — С. 76-84. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-105869
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1058692025-02-10T00:17:56Z Решающая статистика энергетического обнаружителя, основанного на двухпараметрическом разложении стохастических сигналов Виріішальна статистика енергетичного виявляча, що ґрунтується на двопараметричному розкладанні стохастичних сигналів The decision statistics of energy detection based on two-parametrical expansion of stochastic signals Могила, А.А. Статистическая радиофизика Рассмотрены вопросы оптимального обнаружения скрытных стохастических сигналов с известной спектрально-временной структурой на фоне нормального шума с равномерным спектром в полосе пропускания приемника. Получены отношение правдоподобия и решающая статистика при использовании двухпараметрического разложения, построена структурная схема обнаружителя. Найдены приближенные выражения для условной плотности вероятности амплитуды, если на входе действует только гауссовская помеха и если действует и сигнал, и помеха. Розглянуто питання оптимального виявляння потайних стохастичних сигналів з відомою спектрально-часовою структурою на фоні нормального шуму з рівномірним спектром у смузі пропускання приймача. Отримано відношення правдоподібності та вирішальну статистику при використанні двопараметричного розкладання, побудовано структурну схему виявляча. Знайдено наближені вирази для умовної щільності ймовірності амплітуди, якщо на вході діє тільки гаусова завада та якщо діють і сигнал, і завада. Questions of optimal detection of stochastic signals hiding with known spectral-temporal structure on the background of normal noise with a flat spectrum in a receiver pass-band are considered. The likelihood ratio and the decision statistics are obtained using two-parametrical transform; the block diagram of detector is developed. The approximate expressions for conditional probability density of amplitude are found for two cases: only Gaussian interference affects on an input; both a signal and interference affect on an input. 2012 Article Решающая статистика энергетического обнаружителя, основанного на двухпараметрическом разложении стохастических сигналов / А.А. Могила // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 1. — С. 76-84. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105869 621.391:519.2 ru Радіофізика та електроніка application/pdf Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статистическая радиофизика Статистическая радиофизика
spellingShingle	Статистическая радиофизика Статистическая радиофизика Могила, А.А. Решающая статистика энергетического обнаружителя, основанного на двухпараметрическом разложении стохастических сигналов Радіофізика та електроніка
description	Рассмотрены вопросы оптимального обнаружения скрытных стохастических сигналов с известной спектрально-временной структурой на фоне нормального шума с равномерным спектром в полосе пропускания приемника. Получены отношение правдоподобия и решающая статистика при использовании двухпараметрического разложения, построена структурная схема обнаружителя. Найдены приближенные выражения для условной плотности вероятности амплитуды, если на входе действует только гауссовская помеха и если действует и сигнал, и помеха.
format	Article
author	Могила, А.А.
author_facet	Могила, А.А.
author_sort	Могила, А.А.
title	Решающая статистика энергетического обнаружителя, основанного на двухпараметрическом разложении стохастических сигналов
title_short	Решающая статистика энергетического обнаружителя, основанного на двухпараметрическом разложении стохастических сигналов
title_full	Решающая статистика энергетического обнаружителя, основанного на двухпараметрическом разложении стохастических сигналов
title_fullStr	Решающая статистика энергетического обнаружителя, основанного на двухпараметрическом разложении стохастических сигналов
title_full_unstemmed	Решающая статистика энергетического обнаружителя, основанного на двухпараметрическом разложении стохастических сигналов
title_sort	решающая статистика энергетического обнаружителя, основанного на двухпараметрическом разложении стохастических сигналов
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Статистическая радиофизика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105869
citation_txt	Решающая статистика энергетического обнаружителя, основанного на двухпараметрическом разложении стохастических сигналов / А.А. Могила // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 1. — С. 76-84. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Радіофізика та електроніка
work_keys_str_mv	AT mogilaaa rešaûŝaâstatistikaénergetičeskogoobnaružitelâosnovannogonadvuhparametričeskomrazloženiistohastičeskihsignalov AT mogilaaa virííšalʹnastatistikaenergetičnogoviâvlâčaŝogruntuêtʹsânadvoparametričnomurozkladannístohastičnihsignalív AT mogilaaa thedecisionstatisticsofenergydetectionbasedontwoparametricalexpansionofstochasticsignals
first_indexed	2025-12-02T02:10:46Z
last_indexed	2025-12-02T02:10:46Z
_version_	1850360671612436480
fulltext	ССТТААТТИИССТТИИЧЧЕЕССККААЯЯ РРААДДИИООФФИИЗЗИИККАА _________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028−821X Радиофизика и электроника. 2012. Т. 3(17). № 1 © ИРЭ НАН Украины, 2012 УДК 621.391:519.2 А. А. Могила РЕШАЮЩАЯ СТАТИСТИКА ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ОБНАРУЖИТЕЛЯ, ОСНОВАННОГО НА ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РАЗЛОЖЕНИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: moganat10@gmail.com Рассмотрены вопросы оптимального обнаружения скрытных стохастических сигналов с известной спектрально- временной структурой на фоне нормального шума с равномерным спектром в полосе пропускания приемника. Получены отноше- ние правдоподобия и решающая статистика при использовании двухпараметрического разложения, построена структурная схема обнаружителя. Найдены приближенные выражения для условной плотности вероятности амплитуды, если на входе действует только гауссовская помеха и если действует и сигнал, и помеха. Ил. 3. Библиогр.: 16 назв. Ключевые слова: стохастический сигнал, двухпараметрическое разложение, отношение правдоподобия, решающая ста- тистика, энергетический обнаружитель, спектрально-временная структура, гауссовская помеха. В последнее время в активной локации интенсивно ведутся исследования по использова- нию стохастических радиосигналов в качестве зондирующих. Для перехвата их излучения требу- ется некоторая априорная информация о статисти- ческих характеристиках как помехи, так и обнару- живаемого радиосигнала. В работе [1] рассмотре- ны общие вопросы обнаружения сигналов и пока- зано, что если и сигнал, и помеха являются выбор- кой белого гауссова шума, то оптимальным обна- ружителем реализаций стохастического сигнала является энергетический приемник, а распределе- ние амплитуды его отклика представляется с по- мощью функции 2χ . При этом полагаются извест- ными время прихода, длительность, средняя часто- та и ширина спектра сигнала. Для этих же условий рассмотрена задача обнаружения неизвестного детерминированного сигнала и показано, что если на входе энергетического приемника присутствует обнаруживаемый сигнал, то его отклик имеет не- центральное 2χ -распределение [2]. В работе [3] рассмотрена задача обнаружения скрытных сто- хастических сигналов при неизвестных времени прихода, длительности, средней частоте и ширине спектра и показано, что обработка в этом случае становится многоканальной как в частотной, так и во временной области. При этом для сигналов с большой базой решающая статистика может при- ближенно описываться с помощью гауссовского распределения. Структура сигнала в этих работах предполагалась неизвестной. Однако если инфор- мация о структуре есть, то она может использо- ваться при расчете соответствующих обнаружите- лей для улучшения их характеристик. Такая задача может возникнуть, например, если необходимо на фоне помех обнаружить стохастический сигнал с изменяющимся во времени моментом второго по- рядка. В работе [4] рассмотрена идея улучшения отношения сигнал-шум на выходе радиолокатора миллиметрового диапазона в условиях априорной неопределенности относительно доплеровской частоты путем использования адаптивного фильтра, основанного на траекторном спектраль- ном анализе (двухпараметрическом представле- нии) отраженных целью сигналов. Однако теоре- тического исследования возможности использо- вания двухпараметрического разложения для по- строения систем обнаружения скрытных стохас- тических сигналов с изменяющимся во времени моментом второго порядка не проводилось. Цель статьи – получение решающей ста- тистики и ее вероятностных характеристик при приеме скрытных стохастических радиосигналов с известной спектрально-временной структурой. Поставленная задача решается на базе методов статистической теории решений [5], опи- сание стохастических сигналов основано на энер- гетической теории случайных процессов [6–12]. Рассматриваются модели сигнала и помехи, за- даются или оцениваются их плотности вероятнос- ти, выводятся функции и отношение правдоподо- бия, модель обнаружителя и оптимального при- емника. Получено приближенное соотношение для плотности вероятности амплитуд отклика энергетического приемника при наличии на его входе только помехи и при наличии и сигнала, и помехи. 1. Постановка задачи. На вход приемни- ка поступает сигнал ( )λϑξ ;r , существующий в течение интервала времени T наблюдения, кото- рый может состоять из аддитивной смеси ( ) ( ) ( )λϑξλϑξλϑξ ;;; gsr A += (1) – скрытного сигнала ( )λϑξ ;s и помехи ( )λϑξ ;g , если 1=A , или только из помехи ( ) ( )λϑξλϑξ ;; gr = , если 0=A . Необходимо на основе анализа входного колебания ( )λϑξ ;r вы- mailto:moganat10@gmail.com А. А. Могила / Решающая статистика энергетического… _________________________________________________________________________________________________________________ 77 нести решение о принятии гипотезы 1H о нали- чии или принятии альтернативы 0H об отсутст- вии во входной смеси ( )λϑξ ;r скрытного сигнала ( )λϑξ ;s . Здесь ϑ – текущее время, Λ∈λ , Λ – мно- жество элементарных событий λ, на аддитивной системе подмножеств которого задана вероятно- стная мера ( )⋅P такая, что ( ) 1=ΛP . Для решения этой задачи определим набор априорных данных о сигнале и помехе. 2. Априорная информация. В условиях теоремы Котельникова [13] гауссовский стохасти- ческий сигнал ( )λϑξ ;s может быть представлен в виде случайного гильбертова процесса ( )λξ ;k с дискретным временем fkk ∆= 2ϑ , который имеет нулевое среднее и конечную энергию [6] ( ) ∞< ∆ = ∑ ∈ dDk s kE f 2; 2 1 λξεξ , (2) где f∆ – ширина спектра скрытного сигнала; k – номер дискретного момента времени; ZDd ⊆ , Z – множество целых чисел; ( ){ } =λξ ;kE ( ) ( )∫Λ = λλξ dPk; – знак математического ожида- ния. Реализации ( )ps k λξ ; случайного гильберто- ва процесса ( )λξ ;ks с дискретным аргументом k могут быть представлены [7, 10] в виде двух- параметрического разложения ( ) ( ) ( )∑ ∑ ℵ∈ ∈ = i Mn inpsps d kniZk ψλλξ ;,; , (3) сходящегося по норме гильбертова пространства ( )( )nd MlMl 22 , , если ортонормированная система функций ( ){ }∞ =1iin kψ ( ) ( ) mnli Mk inlm n kk f δδψψ = ∆ ∑ ∈ * 2 1 (3а) полная в ( )22 , lMl d . Здесь ℵ − множество нату- ральных чисел, ( ) ( ) ( )∑ ∈∆ = nMk inpsps kk f niZ ; 2 1;, ψλξλ (4) – составляющие пространства компонент ( )( )222 ,, lMlL dΛ двухпараметрического разложе- ния (пространство текущих спектров); звездочкой обозначена комплексно-сопряженная функция; p − номер реализации процесса с дискретным временем; ( ) ( ) ( )knkGk iin ϕψ −= ; ( )⋅G − числовая функция, отличная от нуля на конечных диск- ретных множествах nM с мерой nK , =nM [ ]2,2 nn KnKn +−= , удовлетворяющая условию ( ) ( )    ≠ = =−− ∆ ∑ ∈ ;если,0 ,если,1 2 1 * mn mn mkGnkG f dDk (5) ( ) ( )ni Mlk 2∈ϕ – детерминированные функции, обладающие свойством ортогональности [10] ( ) ( )    ≠ =∆ = ∆ ∑ ∈ il ilfK kk f n Mk li n если,0 ,если,2 2 1 *ϕϕ и мультиплекативности; liδ и mnδ − символы Кро- некера; dn DM ⊆ ; fTK ∆= 2 − мера дискретного множества dD ; [ ]nKKint=Ι ; ( ) nKN 1−Ι= ; { }1,,1,0 −Ι∈ ι ; { }NKKM nnd ,,,,,0  ι= − дискретное множество моментов времени dMn∈ ; dnn DMk =∈ . Мера nK дискретного множества nM определяется с учетом локальной когерентнос- ти скрытного сигнала [8, 9]. В [9] показано, что в течение времени T существования сигнала с боль- шой базой интервал его локальной когерентности может изменяться в широких пределах от minT до maxT . Поэтому ортонормированная система функций ( )kinψ строиться с учетом среднего интер- вала локальной когерентности ( ) 2minmax TTTn += скрытного сигнала ( )λϑξ ;s , а nn TfK ∆= 2 . В качестве ортонормированного базиса ( ) ( ) ( )knkGk iin ϕψ −= можно взять, например, сис- тему комплексных экспоненциальных функций ( ) ( ){ }∞ −∞== ini Kikjk πϕ 2exp , взвешенных с помощью функции ( )    >− ≤−∆ =− .2если,0 ;2если,2 n nn Knk KnkKfnkG (5а) Тогда ортонормированность базиса ( )kinψ обеспе- чивается за счет ортогональности комплексных экспоненциальных функций на дискретном ин- тервале nM и свойства (5) и (5а). Предположим, что скрытный сигнал име- ет гауссово распределение амплитуд с нулевым средним и дисперсией 2 sσ . Коэффициенты ( )ps niZ λ;; , полученные для разных реализаций ( )ps k λξ ; , будут различными, так как являются значениями гауссовской случайной величины с нулевым средним ( ){ } 0;; =λniZE s , представляю- щей собой линейное преобразование (4) дискре- тизированного гауссовского случайного процесса А. А. Могила / Решающая статистика энергетического… _________________________________________________________________________________________________________________ 78 ( )λξ ;ks . Дисперсия ( )niJs ,2σ ni, -й составляющей ( ) ( ) ( )kniZkniJ inss ψλλ ;,;;; = этого сигнала ( )λξ ;ks может быть найдена как мгновенная мощность ( ) ( ) 22 ;,,;;, λλσ kniJkni sJs = (для k-го момента времени), усредненная на дискретном интервале времени nM и на множестве Λ эле- ментарных событий: ( ) ( ) ( ) ( ){ },;,;,2 ;;,, 22 22 λσλ λσ niEKniZEf KkniJEni Jsns n Mk sJs n =∆= == ∑ ∈ (6) где ( ) ( ) 2;,;, λλε niZni sJs = − энергия и ( ) ( ) nJsJs Kfnini ∆= λελσ ;,2;,2 − мощность явля- ются случайными, а ( ) ( ){ }λεε ;,, niEni JsJs = и ( ) ( ) nJsJs Kfnini ∆= ,2,2 εσ − не случайными значе- ниями ni, -й составляющей дискретизированного сигнала ( )λξ ;ks . Предполагается что энергетиче- ский спектр двухпараметрического разложения [11] ( ) ( ) ( ) 2;,,, λεε niZEnini sJss == известен. Состав- ляющие ( )λ;;; kniJs скрытного сигнала ( )λξ ;ks также распределены по гауссовскому закону с нулевым средним и дисперсией, равной ( )niJs ,2σ , так что их плотность вероятности может быть задана с помощью выражения ( ) ( ) ( ) ( )         −= ni knij ni jp js s js sni ,2 ;, exp 2, 1 2 2 , σπσ , (7) где sj − возможные значения случайной величи- ны ( )λ;;; kniJs при любом dDk ∈ . Каждая реализация ( )ps k λξ ; дискретно- го сигнала ( )λξ ;ks определяется набором сос- тавляющих ( )ps niZ λ;; и может интерпретиро- ваться как точка в пространстве ( )22 ,lMl d . Поскольку на входе приемника действует ан- самбль реализаций ( ){ }∞ =1 ; pps k λξ , то дискретизи- рованный сигнал ( )λξ ;ks может рассматривать- ся как элемент гильбертова пространства ( )( )222 ,, lMlL dΛ над гильбертовым пространст- вом ( )22 lMl d , т. е. может трактоваться как счетно- мерная гауссовская случайная величина. В эксперименте на входе приемника может действовать выборка из ансамбля ( ){ }P pqs k 1 ; = λξ , состоящая из P реализаций, а количество составляющих ( ) ( ) ( )kniZkniJ inpsps ψλλ ;;;;; = дискретизированной реализации может быть ограничено IN элементами ( ){ } NI nips kniJ , 1, ;;; = λ , так как ширина спектра скрытного сигнала на дис- кретном интервале времени dD и ширина его те- кущего спектра на nM всегда конечны и опреде- ляются полосой пропускания входного фильтра приемника и средним интервалом nT локальной когерентности [8, 9], nKI = . Тогда скрытный сигнал можно рассматривать как INP-мерную случайную величину, подчиняющуюся гауссов- скому закону распределения, параметры которого задаются с помощью корреляционной матрицы порядка INP. Вследствие ортонормированнос- ти (3а) системы функций ( ){ }∞ =1iin kψ [11, 12] кор- реляционная матрица будет диагональной, со- стоящей из дисперсий (6) случайных величин ( )λ;;, kniJs . Тогда, используя (7), случайный дис- кретный сигнал ( )λξ ;ks можно представить в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )         ∆ −× ×         = =         −× ×= ∑ ∑ ∑ ∏∏ ∏∏∏ = = = = = = = = P p N n I i Jsn ps N n I i P Js Js s P p N n I i Js niK niZf ni ni pinkJ ni sp 1 0 1 2 2 0 1 2 2 2 2 1 0 1 ,2 ;,2 exp ,2 1 ,2 ,,; exp 2, 1 σ λ πσ σ πσ ξ (8) − многомерной плотности вероятности. Это соот- ношение описывает входной сигнал приемника в отсутствие помехи и получено путем перехода от случайных функций времени ( )λϑξ ;s пространст- ва ( )( )TLL 22 ,Λ к многомерным случайным вели- чинам ( )λ;;niZs пространства ( )( )222 ,, lMlL dΛ . Помеха ( )λϑξ ;g , действующая на входе приемника в течение интервала времени T, также представляет собой гауссовский случайный про- цесс с конечной энергией (2), нулевым средним и дисперсией fNNg ∆= 0 , где 0N – односторонняя спектральная плотность, равномерная в полосе пропускания приемника f∆ . Ее дискретизирован- ные реализации ( )pg k λξ ; могут быть представле- ны с помощью соотношения (3), если ( )ps k λξ ; и ( )ps niZ λ;; заменить на ( )pg k λξ ; и ( )pg niZ λ;; соответственно. Тогда, по аналогии с (8), помеха А. А. Могила / Решающая статистика энергетического… _________________________________________________________________________________________________________________ 79 ( )λξ ;kg также может быть представлена в виде многомерной плотности вероятности ( ) ( )( ) ( ) ( ) , ,2 ,,; exp ,2 1 0 1 2 2 0 1 22         −× ×= ∑∑∑ ∏∏ = = = = = − P p N n I i g g N n I i P g ni pinkJ nigp σ πσξ (9) где ( ) ( )∑ ∈ = nMk gg kniJEni 22 ;;,, λσ − мощность ni, - й составляющей помехи. Если fNNg ∆= 0 и ( ) ngg KNni 2,2 =σ , то ( ) ( ) .;,2 1exp 22 1 0 1 2 0 2         −× ×      = ∑∑∑ = = = P p N n I i pg PNI g n niZN N Kgp λ π ξ (10) Соотношения (9) и (10) описывают вход- ной сигнал приемника, если на его входе дейст- вует только помеха. 3. Отношение правдоподобия. Для при- нятия решения о наличии или об отсутствии скрытного сигнала во входной смеси (1) восполь- зуемся критерием отношения правдоподобия. Для этого необходимо найти условную плотность ве- роятности амплитуд [5], если на входе приемника совместно действуют скрытный сигнал и помеха. В этом случае каждая составляющая ( ) ( ) ( )kniZkniJ inprpr ψλλ ;;;;; = дискретизирован- ной реализации ( )pr k λξ ; входного сигнала при- емника ( )λϑξ ;r может быть представлена в виде суммы ( ) ( ) ( )pgptpr kniJkniJkniJ λλλ ;;,;;,;;, += , где ( )pr niZ λ;, − коэффициенты ряда (3), кото- рые определяются с помощью соотношения (4), если вместо ( )ps k λξ ; под знаком интеграла ис- пользовать ( )pr k λξ ; . Поэтому на входе прием- ника действует ансамбль случайных векторов ( ){ }{ } ( ){ } PNI pnipr P p NI nipr kniJkniJ ,, 1,,1 , 1, ;;,;;, === = λλ , яв- ляющийся суммой независимых скрытного ( ){ } PNI pnipt kniJ ,, 1,, ;;, = λ и ( ){ } PNI pnipg kniJ ,, 1,, ;;, = λ помехо- вого ансамблей гауссовских векторов. Его совмест- ная плотность вероятности может быть записана в виде ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] . ,,2 ;;, exp ,,2 ,,2 ;;, exp ,,2 1 1 0 1 22 2 0 1 222 22 2 1 0 1 22         + −× ×+= =         + −× × + = ==+ ∑∑∑ ∏∏ ∏∏∏ = = = = = − = = = P p N n I i gs pr N n I i P gs gs pr P p N n I i gs r nini kniJ nini nini kniJ nini Jpgsp σσ λ σσπ σσ λ σσπ ξ (11) Тогда с учетом (9) и (11) отношение правдоподо- бия равно ( ) ( )=+= gpgspl ξξ ( ) ( ) ( ) ×         + = ∏∏ = = N n I i P gs g nini ni 0 1 2 22 2 ,, , σσ σ ( ) ( )        −× ∑∑∑ = = = P p N n I i g r ni pkniJ 1 0 1 2 2 ,2 ;;, exp σ (12) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ×        + =         + − ∏∏ = = N n I i P gs r niqnini pkniJ 0 1 2 222 2 1, 1 ,,2 ;;, σσ ( ) ( ) ( ) ( )         + × ∑∑∑ = = = P p N n I i r g pkniJ niq niq ni1 0 1 2 2 2 2 ;;, 1, , , 1 2 1exp σ , где ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nininininiq gsgs ,,,,, 222 εεσσ == − ожидаемое отношение сигнал/помеха для i-й сос- тавляющей n-го энергетического спектра. 4. Модель обнаружителя скрытных сигналов. Процесс обнаружения заключается в сравнении отношения правдоподобия l с поро- гом 0l . Из последнего выражения следует, что отношение правдоподобия является монотонной функцией от ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑ = = = + P p N n I i g r ni pkniJ niq niq 1 0 1 2 2 2 2 , ;;, 1, , σ . После логарифмирования соотношения (12) мож- но получить решающую статистику ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .;, 1, , 2 1 , ;;, 1, , 2 1 1 0 1 2 2 2 0 1 0 1 2 2 2 2 ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = + = = + =′ P p N n I i pr P p N n I i g r niZ niq niq N ni pkniJ niq niq L λ σ (13) Тогда модель обнаружителя скрытного сигнала можно представить в следующем виде: А. А. Могила / Решающая статистика энергетического… _________________________________________________________________________________________________________________ 80 выносится решение про принятие гипотезы 1H о наличии скрытного сигнала на входе приемника, если 0LL ≥ , и решение про принятие гипотезы 0H об его отсутствии, если 0LL < , т. е. ( )    ⇒< ⇒≥ = ∑∑∑ = = = , , ;, 00 10 1 0 1 2 HL HL niZL P p N n I i pf λ (14) где ( ) ( ) ( )222 ;,,;, prpf niZniKniZ λλ = – энерге- тический спектр двухпараметрического представ- ления реализации выходного сигнала весового фильтра с переменными параметрами, квадрат амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) которого имеет вид ( ) ( ) ( )( )1,,, 222 += niqniqniK ; ( )( )         ++= ∑∑ = = N n I i niqPlNL 0 1 2 000 1,lnln2 − порог обнаружения. Коэффициент передачи ( )niK , весового фильтра состоит из двух сомножителей, что по- зволяет рассматривать его как каскадное включе- ние двух фильтров. Квадрат модуля АЧХ первого фильтра (Ф1) совпадает с энергетическим спект- ром двухпараметрического преобразования скрытного сигнала ( ) ( ) ( ) 0 22 1 ,,, NniniqniK sε== . АЧХ второго фильтра (Ф2) для каждого n-го мо- мента времени совпадает с АЧХ обеляющего фильтра [14, 15]. В двухпараметрическом пред- ставлении обеляющий фильтр имеет изменяю- щиеся во времени параметры, и поэтому может называться нестационарным обеляющим фильт- ром, квадрат модуля АЧХ которого имеет вид ( ) ( )( )1,1, 22 2 += niqniK . Следует отметить, что соотношениями для ( ) 2 1 ,niK и ( ) 2 2 ,niK уста- навливаются требования только к АЧХ Ф1 и Ф2. Фазочастотная характеристика этих фильтров может быть произвольной. На рис. 1 показано семейство нормиро- ванных квадратов модуля АЧХ весового фильтра ( ) ( )niqniiK ,, 0 22 0− как функции дискретного аргумента в зависимости от расстройки ( ) iii ∆− 0 при ( ) ,730,0 2 =niq 240, 80, 9, 1, 0,3 − сплошные кривые 1–6 соответственно, а также если ( ) ∞→niq ,0 2 − пунктирная и ( ) 1,0 2 <<niq − штрихпунктирная линия. Здесь ( ) =− 2 0 , niiK ( ) ( )[ ]1,, 0 2 0 2 +−−= niiqniiq − квадрат модуля АЧХ, 0i − положение максимума ( )niq ,0 2 и i∆ − ширина текущей (n-й) АЧХ ( )niK ,1 фильтра Ф1 по уровню –3 дБ. –2 –1 0 1 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 2 3 4 5 6 Рис. 1. Зависимость АЧХ весового фильтра от расстройки Так как спектральная плотность 0N по- мехи ( )λϑξ ;g постоянна в полосе пропускания приемника, то форма ( )niq ,2 определяется фор- мой энергетического спектра двухпараметриче- ского преобразования ( )nis ,ε скрытного сигнала ( )λϑξ ;s . Поэтому если ( ) 1,2 <<niq , то при умень- шении ( )niq ,2 АЧХ весового фильтра ( )niK , сходится к энергетическому спектру двухпара- метрического преобразования ( )nis ,ε скрытного сигнала, ( ) ( )niniK s ,, 2 ε→ . Тогда соотноше- ние (14) может быть записано в следующем виде: ( ) ( ) .;,, 1 0 1 22∑∑∑ = = = = P p N n I i pr niZniqL λ (15) Если ( ) 1,2 >>niq при каждом i и n, то АЧХ весового фильтра ( )niK , сходится к едини- це, ( ) 1,  → ∞→qniK , и тогда ( )∑∑∑ = = = = P p N n I i qr niZL 1 0 1 2 ;, λ . (16) Если в соотношении (14) ∞→I , то внут- ренняя сумма сходится к норме реализации ( )qf λϑξ ; для nM -окрестности момента времени nt в координатном гильбертовом пространстве 2l , а внутренняя двойная сумма (14) сходится к нор- ме ( ) 2 22 llpx реализации ( )pf k λξ ; в пространстве ( )22 ll . Также известно [16], что если ∞→P , то усреднение по ансамблю с вероятностью 1 схо- дится к математическому ожиданию. Поэтому если P и ∞→I , то трехкратная сумма (14) схо- дится к норме ( )( ) 2 ,, 222 lMlLx Λ случайного сигнала ( )λξ ;kf в пространстве ( )( )222 , llL Λ . Но так как и Расстройка, iii ∆− /)( 0 К ва др ат А ЧХ ф ил ьт ра А. А. Могила / Решающая статистика энергетического… _________________________________________________________________________________________________________________ 81 P и ∞<I , то тройная сумма является оценкой этой нормы, а значит, и энергии случайного сиг- нала ( )λξ ;kf . 5. Функциональная схема обнаружите- ля скрытных стохастических сигналов c a priory известным двухпараметрическим спектром энер- гии показана на рис. 2. Обнаружитель состоит из последовательно включенных оптимального при- емника и порогового устройства (ПУ). Оптималь- ный приемник включает каскадносоединенные двухпараметрический преобразователь (ДПП) принятого сигнала в ортонормированном базисе гильбертова пространства ( )22 ll , квадратирующее устройство (КУ), весовой фильтр (Ф) и три сумма- тора ∑ = I i 1 , ∑ = N n 0 и ∑ − = 1 0 .P p С помощью функциональных блоков ДПП и КУ оценивается двухпараметрический спектр энергии ( )22 ;, qrp niZZ λ= реализации входного сигнала в nM -окрестности каждого n-го момента времени, составляющие которого взве- шиваются с помощью фильтра Ф. Квадрат модуля АЧХ этого фильтра, как следует из соот- ношения (14), имеет вид ( ) =niK ,2 ( ) ( ) ( )( )ninini gss ,,, 222 σσσ += . Составляющие взве- шенного энергетического спектра 2 pinp x=ε по- ступают на вход сумматора ∑ = I i 1 , с помощью которого находится энергия npε (оценка нормы nplpx ε= 2 2 в координатном гильбертовом про- странстве 2l ) реализации входного сигнала в nM -окрестности n-го момента времени. В течение дискретного интервала nKK Ι= существования реализации на множестве dM энергии вычисля- ются в nM -окрестности I-го количества смежных интервалов времени, запоминаются в блоке, ус- ловно показанном в виде набора линий задержки на интервалы fKT nn ∆= 2 , и складываются в сумматоре ∑ = N n 0 . В результате находится энер- гия pε p-й реализации − оценка нормы ( ) pllpx ε= 2 22 в пространстве ( )( )nd MlMl 22 , . Здесь предполагается, что выборка из ан- самбля состоит из P реализаций ( )ps k λξ ; , разне- сенных во времени. Она формируется в блоке памяти, который подключается к выходу сумма- тора ∑ = N n 0 . Блок памяти условно показан в виде набора линий задержки на интервалы, опреде- ляющиеся интервалами следования pT реализа- ций. Если реализации имеют неперекрывающиеся спектры, то оптимальный приемник может быть построен по многоканальной схеме. ___________________________________________ Рис. 2. Структурная схема обнаружителя скрытных радиосигналов ___________________________________________ После вычисления энергии P реализа- ций их значения усредняются с помощью сумма- тора ∑ − = 1 0 P p , что дает оценку энергии ε взвешен- ного скрытного сигнала ( )λξ ;kf . Поэтому синте- зированный приемник также [1, 2] может на- зваться энергетическим. Выходной сигнал ε=L ПУ ДПП КУ Ф Оптимальный приемник );( pr k λξ 2),( niK 2 )2(2 llpx ∑ = N n 0 ∑ − = 1 0 P p 2 2lpx 2 px 2 pZ pZ inpε npε pT pT pT pT ∑ = I i 1 nT nT nT nT pε 0LL ≥ 0LL < 0L ε L А. А. Могила / Решающая статистика энергетического… _________________________________________________________________________________________________________________ 82 сумматора ∑ − = 1 0 P p − оценка нормы ( )( ) 2 ,, 222 lMlLx Λ взвешенного стохастического сигнала в гильбер- товом пространстве ( )( )222 , llL Λ − сравнивается с порогом 0L , в результате чего принимается реше- ние о наличии или отсутствии во входной смеси (1) скрытного сигнала ( )λϑξ ;s . 6. Условные плотности вероятности решающей статистики энергетического обна- ружителя. Качество обнаружения описывается с помощью вероятностей ложной тревоги и пра- вильного обнаружения. Они могут быть опреде- лены на основе закона распределения решающей статистики L энергетического приемника, кото- рая имеет следующий вид: ( )∑∑∑ = = = = P p N n I i pinpxL 1 0 1 ;,, λ . (17) Правая часть (17) есть сумма ортого- нальных в пространстве ( )( )222 , llL Λ случайных величин ( ) ( ) ( ) nr KfniZniKinpx ∆= 2;,,;,, 22 λλ , характеристическая функция которых имеет вид ( ) ( )( ) .,21 2122 − −=Θ pnix niKvjjv σ Рассмотрим два случая, когда на входе энергетического приемника присутствует и сиг- нал, и помеха или только помеха. Если на входе приемника действует только гауссовская помеха, 0=A , то ( ) ( )pgpr niZniZ λλ ;,;, = и все составляющие ( )λ;, niZr входного сигнала оптимального при- емника ( ) ( )λϑξλϑξ ;; gr = имеют нулевое мате- матическое ожидание ( ) 01 =gm и постоянную дисперсию ( ) ( ) TNggin 0 22 == σσ . После умно- жения двухпараметрического спектра энергии ( ) 0 2 , NniZg = этого сигнала на весовую функ- цию ( ) 2,niK дисперсия 2 inσ составляющих ста- новится функцией двух ( i и n ) дискретных пе- ременных ( ) ( ) ( ) 2222 , niKggxinni σσσ == и уже не является постоянной величиной. Если на входе приемника действуют га- уссовские сигнал и помеха, 1=A , то составляю- щие входного сигнала приемника ( ) ( ) ( )λλλ ;,;,;, niZniZniZ gsr += случайные вели- чины с нулевым математическим ожиданием ( ) 01 =+ gsxm и увеличенной дисперсией ( ) ( ).22 sg inσσ + После умножения энергетическо- го спектра этого сигнала на весовую функцию ( ) 2,niK дисперсия его составляющих равна ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+=+= 222222 ,, niKsniKggsx ininni σσσσ ( ) ( )sxgx inin 22 σσ += , где ( ) ( ) ( ) 222 ,niKssx inin σσ = . Тогда в соответствии с (17) характерис- тическая функция достаточной статистики L при условиях отсутствия ( )gx и наличия ( )gsx + сигнала ( )λϑξ ;s может быть представлена в виде ( ) ( )( ) .21 0 1 22∏∏ = = − ⋅−=Θ N n I i P niL xvjjv σ (18) Отсюда (18) для решающей статистики L можно найти моменты ( )⋅Lmκ ее распределения любого порядка κ . Ниже приводятся значения моментов нулевого ( ) 10 =⋅Lm , первого ( ) ( )∑∑∑ = = = ⋅σ=⋅ P p N n I i pni xLm 1 0 1 2 1 , (19) второго ( ) ( ) ( ) , 2 2 1 0 1 2 1 0 1 4 2         ⋅+ +⋅=⋅ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = P p N n I i ni P p N n I i ni x xLm σ σ (20) третьего ( ) ( ) +⋅=⋅ ∑∑∑ = = = P p N n I i ni xLm 1 0 1 6 3 8 σ ( ) ( ) +⋅⋅+ ∑∑∑∑∑∑ = = == = = P p N n I i ni P p N n I i ni xx 1 0 1 4 1 0 1 26 σσ (21) ( ) 3 1 0 1 2         ⋅+ ∑∑∑ = = = P p N n I i ni xσ порядка и дисперсии ( ) ( )∑∑∑ = = = ⋅=⋅ P p N n I i ni xLD 1 0 1 42 σ . (22) Соотношения для моментов более высокого по- рядка громоздки, и поэтому не приводятся. Условные плотности вероятностей ре- шающей статистики ( )⋅Lp при условии отсутст- вия ( )gLp и наличия ( )sgLp + сигнала на входе могут быть представлены приближенно с помо- щью ряда Лагерра с конечным числом членов .Κ Если 3=Κ , то при 0≥L А. А. Могила / Решающая статистика энергетического… _________________________________________________________________________________________________________________ 83 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[[ ( ) ( ) ( )] ( )] ( )[ ( ) ( )                 + ⋅ ⋅ Γ× ×⋅⋅⋅+⋅⋅+         +⋅⋅−⋅⋅+         ⋅ ⋅ Γ × ×         ⋅ ⋅ −× ×         ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅ − ⋅ ⋅ 3 23 1 exp 2 1 3 3 22 1 31 4 1 2 12 1 1 1 11 2 1 LD Lm LDLLLDLDLm LmLmLmLm LD Lm L LD Lm L LD Lm LD Lm Lp a LD Lm и ( ) 0=⋅Lp при 0<L . Здесь ( )⋅Γ – гамма- функция; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 2 1 22 1 2 1 32 1 22 1 2 1 3 6 1 2 11 51 2 11 6 1 1 6 5 6 11 LL LD Lm L LD Lm LD Lm LD Lm LD Lm LD Lm LLa −         ⋅ ⋅ ++              − ⋅ ⋅ +     + ⋅ ⋅ +−         − ⋅ ⋅ + +         − ⋅ ⋅ +− ⋅ ⋅ =⋅ (24) – многочлен Лагерра 3-го порядка. На основе соотношений [19–24] рассчи- таны условные плотности вероятности решаю- щей статистики, если на входе обнаружителя присутствует только помеха ( )gLp и если при- сутствует и сигнал, и помеха ( )sgLp + , для слу- чая, когда 1=ρ и 50=m (рис. 3). Здесь ρ – от- ношение энергии сигнала к энергии помехи; m – база скрытного сигнала. Рис. 3. Плотность вероятности решающей статистики при наличии на входе обнаружителя только помехи p(L \| g) и скрытного сигнала и помехи p(L \| g + s) Из рисунка видно, что плотности вероят- ности являются асимметричными функциями, положение максимального и среднего значения которых не совпадает. Среднее значение ( )gLm1 при наличии на входе только помехи определяет- ся энергией помехи, а при наличии сигнала и по- мехи ( )sgLm +1 – энергией сигнала. Выводы. Таким образом, на основе дис- кретного двухпараметрического разложения по- лучена модель обнаружителя скрытных стохасти- ческих радиосигналов с известной спектрально- временной структурой на фоне гауссовской по- мехи с равномерным спектром. Показано, что она отличается от известного энергетического обна- ружителя структурой входного фильтра и выход- ного накопителя. Входной фильтр состоит из двух каскадно-включенных фильтров с перемен- ными параметрами: обеляющего и фильтра, АЧХ которого согласована с энергетическим спектром двухпараметрического преобразования скрытно- го сигнала. Структурная схема выходного нако- пителя в рассмотренном случае содержит три сумматора, с помощью которых оценивается энергия сигнала, взвешенного с помощью вход- ного фильтра. Также получены аналитические соотно- шения для начальных моментов и дисперсии функции распределения решающей статистики. На их основе найдены приближенные соотноше- ния для условных плотностей вероятности при наличии и отсутствии на входе обнаружителя скрытного сигнала с известным двухпараметри- ческим спектром энергии произвольной формы. Результаты, полученные в статье, могут использоваться при решении задачи перехвата скрытных радиосигналов и оценке энергетиче- ской скрытности радиоэлектронных средств. 1. Peterson W. W. The Theory of Signal Detectability / W. W. Peterson, T. G. Birdsall, W. C. Fox // IRE Trans. on Information Theory. − 1954. − PGIT-4, N 4. − P. 171–212. 2. Urkowitz H. Energy Detection of Unknown Deterministic signals / H. Urkowitz // Proc. IEEE. – 1967. – 55, N 4. – P. 523–531. 3. Shirman Y. D. Some Construction Principles of Anti-LPI Radar / Y. D. Shirman, V. M. Orlenko, V. S. Seleznev // Applied Radio Electronics. − 2005. − 4, N 1. − P. 42–46. 4. Могила А. А. Адаптивная обработка сигналов когерент- ной РЛС КВЧ ММД в условиях априорной неопределен- ности / А. А. Могила // 3-я Всесоюзн. шк.-симп. по рас- пространению мм и субмм волн в атмосфере: тез. докл. − Х., 1989. − С. 182–183. 5. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радио- техники / Б. Р. Левин. – М.: Сов. радио, 1989. – 656 с. 6. Омельченко В. А. Основы спектральной теории распозна- вания сигналов / В. А. Омельченко – Х.: Вища школа, 1983. − 159 с. 7. Могила А. А. Адаптивная фильтрация сигналов, основан- ная на двухпараметрическом представлении случайных (23) 0,04 0,03 0,02 0,01 0 В ер оя тн ос ть ( )sgLp + ( )gLp ( )gLm 1 ( )sgLm + 1 1=p 50=m Амплитуда А. А. Могила / Решающая статистика энергетического… _________________________________________________________________________________________________________________ 84 процессов / A. A. Moгила // Радиофизика и электрон.: сб. науч. тр. / Ин-т радиофизики и электрон. НАН Украины. − Х., 1997. − 2, № 2. − С. 137–141. 8. Могила А. А. Траекторный спектральный анализ / A. A. Moгила, Г. И. Хлопов, В. П. Шестопалов // Радио- техника: науч.-техн. сб. / Харьков. гос. ун-т. – Х., 1989. – Вып. 91. – С. 86−93. 9. Хлопов Г. И. Локальная когерентность сигналов, рассеян- ных сложными объектами и их адаптивная обработка в технологических РЛС миллиметрового диапазона / Г. И. Хлопов, В. П. Шecтопалов // Применение радиоволн миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов: сб. науч. тр. / Ин-т радиофизики и электроники АН УССР. − Х., 1990. − С. 85–93. 10. Могила А. А. Двухпараметрическое представление неста- ционарных случайных сигналов с конечной средневзве- шенной энергией / А. А. Могила, К. А. Лукин // Радиофи- зика и электрон.: сб. науч. тр. / Ин-т радиофизики и электрон. НАН Украины. − Х., 1996. − 1. − С. 118–124. 11. Могила А. А. Взаимосвязь двухпараметрических пред- ставлений случайных сигналов с конечной энергией в различных ортонормированных базисах / A. A. Moгила // Радиофизика и электрон.: сб. науч. тр. / Ин-т радиофизи- ки и электрон. НАН Украины. − Х., 2000. − 5, № 3. − C. 131–136. 12. Могила А. А. Взаимосвязь одно- и двухпараметрических представлений случайных сигналов с конечной энергией / А. А. Могила, К. А. Лукин // Радиофизика и электрон.: сб. науч. тр. / Ин-т радиофизики и электрон. НАН Украины. − Х., 2001. − 6, № 2–3. − С.320–326. 13. Хургин Я. И. Финитные функции в физике и технике / Я. И. Хургин, В. П. Яковлев. − М.: Наука, 1971. − 408 c. 14. Сосулин Ю. Г. Обеляющий фильтр: эволюция и примене- ние / Ю. Г. Сосулин, В. В. Костров // Радиотехника и электрон. – 1998. − 43, N 9. − С. 1030–1043. 15. Гуткин Л. С. Теория оптимальных методов радиоприема при флуктуационных помехах / Л. С. Гуткин. – М.: Гос- энергоиздат, 1961. – 488 с. 16. Cramer H. Mathematical methods of statistics / H. Cramer. – Uppsala: Almquist & Wiksells, 1945. − 575 p. Рукопись поступила 28.07.2011. A. A. Mogyla THE DECISION STATISTICS OF ENERGY DETECTION BASED ON TWO-PARAMETRICAL EXPANSION OF STOCHASTIC SIGNALS Questions of optimal detection of stochastic signals hiding with known spectral-temporal structure on the background of normal noise with a flat spectrum in a receiver pass-band are considered. The likelihood ratio and the decision statistics are obtained using two-parametrical transform; the block diagram of detector is developed. The approximate expressions for condition- al probability density of amplitude are found for two cases: only Gaussian interference affects on an input; both a signal and inter- ference affect on an input. Key words: stochastic signal, two-parametrical trans- form, likelihood ratio, decision statistics, energy detection, spectral- temporal structure, Gaussian interference. А. А. Могила ВИРІІШАЛЬНА СТАТИСТИКА ЕНЕРГЕТИЧНОГО ВИЯВЛЯЧА, ЩО ҐРУНТУЄТЬСЯ НА ДВОПАРАМЕТРИЧНОМУ РОЗКЛАДАННІ СТОХАСТИЧНИХ СИГНАЛІВ Розглянуто питання оптимального виявляння по- тайних стохастичних сигналів з відомою спектрально- часовою структурою на фоні нормального шуму з рівномір- ним спектром у смузі пропускання приймача. Отримано від- ношення правдоподібності та вирішальну статистику при використанні двопараметричного розкладання, побудовано структурну схему виявляча. Знайдено наближені вирази для умовної щільності ймовірності амплітуди, якщо на вході діє тільки гаусова завада та якщо діють і сигнал, і завада. Ключові слова: стохастичний сигнал, двопарамет- ричне розкладання, відношення правдоподібності, вирішаль- на статистика, енергетичний виявляч, спектрально-часова структура, гаусова завада.

Решающая статистика энергетического обнаружителя, основанного на двухпараметрическом разложении стохастических сигналов

Institution

Similar Items