Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть I. Формулы Френеля для операторов рассеяния

Рассмотрено обобщение классического метода сшивания (the mode-matching technique), соответствующее новой постановке задачи дифракции волн на неоднородности в волноводе. Кратко изложен используемый матрично-операторный формализм модового анализа. Для канонической задачи о ступеньке в прямоугольном во...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Радіофізика та електроніка
Date:	2012
Main Authors:	Петрусенко, И.В., Сиренко, Ю.К.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2012
Subjects:	Микроволновая электродинамика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105906
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть I. Формулы Френеля для операторов рассеяния / И.В. Петрусенко, Ю.К. Сиренко // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 3. — С. 8-15. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860256316141862912
author	Петрусенко, И.В. Сиренко, Ю.К.
author_facet	Петрусенко, И.В. Сиренко, Ю.К.
citation_txt	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть I. Формулы Френеля для операторов рассеяния / И.В. Петрусенко, Ю.К. Сиренко // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 3. — С. 8-15. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Радіофізика та електроніка
description	Рассмотрено обобщение классического метода сшивания (the mode-matching technique), соответствующее новой постановке задачи дифракции волн на неоднородности в волноводе. Кратко изложен используемый матрично-операторный формализм модового анализа. Для канонической задачи о ступеньке в прямоугольном волноводе дан вывод формул Френеля для искомых операторов отражения и прохождения мод. Аналитически доказана корректность найденной матрично-операторной модели. Показано, что полученные результаты справедливы для класса задач дифракции волн на скачкообразных неоднородностях в волноводах. Развитый обобщенный метод сшивания предназначен для эффективного строгого решения задач анализа волноводных узлов и устройств микроволновой техники. Розглянуто узагальнення класичного методу зшивання (the mode-matching technique), що відповідає новому формулюванню задачі дифракції хвиль на неоднорідності у хвилеводі. Коротко викладено матрично-операторний формалізм модового аналізу, що використовується. Для канонічної задачі про сходинку у прямокутному хвилеводі виведено формули Френеля для шуканих операторів відбиття та проходження мод. Аналітично доведена коректність знайденої матрично-операторної моделі. Показано, що отримані результати дійсні для класу задач дифракції хвиль на стрибкоподібних неоднорідностях у хвилеводах. Розвинений узагальнений метод зшивання призначено для ефективного строгого розв’язування задач аналізу хвилевідних вузлів і пристроїв мікрохвильової техніки. A generalization of the classical mode-matching technique, which corresponds to a new formulation of the scalar problem of mode diffraction on the waveguide discontinuity, is proposed. The used matrix-operator formalism of the modal analysis is briefly presented. The Fresnel formulae for the sought-for operators of mode reflection and transmission are derived for the canonical problem of the step discontinuity in a rectangular waveguide. The correctness of the obtained matrix-operator model is proved analytically. It is shown that these results are valid for a class of the problems of wave diffraction on the abrupt discontinuity in a waveguide. This generalized mode-matching technique was developed for efficient and rigorous analysis of microwave devices.
first_indexed	2025-12-07T18:50:10Z
format	Article
fulltext	ММИИККРРООВВООЛЛННООВВААЯЯ ЭЭЛЛЕЕККТТРРООДДИИННААММИИККАА _________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028−821X Радиофизика и электроника. 2012. Т. 3(17). № 3 © ИРЭ НАН Украины, 2012 УДК 517.9+535.4 И. В. Петрусенко, Ю. К. Сиренко Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: petrusigor@yahoo.com ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД СШИВАНИЯ В ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ ВОЛНОВОДНЫХ МОД ЧАСТЬ 1. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ РАССЕЯНИЯ Рассмотрено обобщение классического метода сшивания (the mode-matching technique), соответствующее новой поста- новке задачи дифракции волн на неоднородности в волноводе. Кратко изложен используемый матрично-операторный формализм модового анализа. Для канонической задачи о ступеньке в прямоугольном волноводе дан вывод формул Френеля для искомых операторов отражения и прохождения мод. Аналитически доказана корректность найденной матрично-операторной модели. Пока- зано, что полученные результаты справедливы для класса задач дифракции волн на скачкообразных неоднородностях в волново- дах. Развитый обобщенный метод сшивания предназначен для эффективного строгого решения задач анализа волноводных узлов и устройств микроволновой техники. Библиогр.: 22 назв. Ключевые слова: метод сшивания, преобразование Кэли, формулы Френеля, оператор рассеяния. В вычислительной электродинамике дав- но сложилась парадоксальная ситуация, связан- ная с использованием «метода сшивания» (также известного как метод частичных (соприкасаю- щихся) областей, метод переразложения, the mode- matching technique) для решения задач дифракции волн на неоднородностях волноведущих трактов. С одной стороны, этот метод на протяжении полу- века является востребованным и, по-видимому, наиболее широко распространенным, поскольку он достаточно универсален, относительно прост в реализации и позволяет получать вполне прием- лемые для современной инженерной практики численные результаты. А с другой стороны, до настоящего времени удовлетворительное обосно- вание этого численно-аналитического метода в общем случае отсутствует; это означает, что для большинства практически важных задач метод сшивания мало чем отличается от эвристического подхода. Классический метод сшивания всегда приводит, как известно, к математической модели в виде бесконечной системы линейных алгебраи- ческих уравнений (СЛАУ). Последний, особенно заметный всплеск интенсивного изучения метода сшивания приходится на период, когда было про- демонстрировано аналитически и численно «яв- ление относительной сходимости» приближен- ных решений этих СЛАУ сначала для частной задачи о бифуркации волновода ([1] и цитирован- ные там работы), а затем и для других задач [2, 3]. Однако предпринятые дальнейшие усилия по до- казательству существования, единственности и устойчивости решения бесконечной СЛАУ мето- да сшивания и нахождению условий сходимости проекционных приближений сколько-нибудь зна- чащих новых результатов не принесли [4]. Очевидный застой в развитии теории метода сшивания на протяжении длительного времени его использования свидетельствует, по нашему мнению, об абсолютной непригодности матричной модели в виде бесконечной СЛАУ для решения проблемы обоснования этого метода. Мы утверждаем, что бесконечные СЛАУ относительно вектора неизвестных коэффициен- тов (обобщенного) ряда Фурье, представляющего комплексную амплитуду поля, не присущи мето- ду сшивания как таковому. Они возникают лишь в связи с определенной и, как представляется, весьма частной постановкой задачи дифракции. Общепринято, что задача дифракции мод на неоднородности в волноводе ставится сле- дующим образом. На неоднородности рассеива- ется одна заданная волноводная мода; требуется найти амплитуды возбужденных мод (как распро- страняющихся, так и высших). Следствием такой постановки задачи являются все вышеупомянутые математические трудности, которые можно исключить, изменив формулировку задачи на следующую (по нашему мнению, более естественную): на неоднородность падает электромагнитная волна конечной мощнос- ти, поле которой составляет бесконечный набор мод с любым известным распределением ампли- туд; необходимо найти операторы рассеяния. При предлагаемой постановке задачи ди- фракции метод сшивания приводит к уравнению относительно оператора рассеяния, а не к беско- нечной СЛАУ [5–8]. Метод введения этого опера- тора состоит в замене неизвестного вектора коэф- фициентов Фурье, принадлежащего пространству последовательностей Н, ,H∈x на искомый мат- ричный оператор HH →:X будем именовать методом матричных операторов. Этот подход в прикладной электродинамике был, по-видимому, впервые последовательно реализован в работе [9]. Для канонической задачи о равномерном изгибе прямоугольного волновода было найдено [5], что новый подход естественным образом приво- дит к формулам Френеля mailto:petrusigor@yahoo.com И. В. Петрусенко, Ю. К. Сиренко / Обобщенный метод сшивания… _________________________________________________________________________________________________________________ 9 ( ) DIDDT IDD IDDR 2; 1− += + − = T T T (1) для матричных операторов отражения R и про- хождения T (здесь заданный оператор D опре- деляется геометрией задачи и зависит от частоты поля ω ). Затем этот результат был распространен на задачи дифракции волноводных мод на других неоднородностях [6–8]. Целью данной работы (в трех частях) является краткое изложение новых результатов теории метода сшивания, обобщенного с помо- щью введения матричных операторов, в приме- нении к таким задачам, которые приводят к опе- раторным формулам Френеля, включая строгое обоснование корректности матричной модели (1) (данная статья), доказательство применимости метода редукции для нахождения приближенных решений и факторизацию обобщенной матрицы рассеяния (работы готовятся к публикации). Заметим, что изложенный подход также можно трактовать как дальнейшее развитие метода спектральных операторов рассеяния [10–12]. 1. Скалярный модовый анализ. Пусть поле в простой (частичной) области V пол- ностью определено скалярной комплексной ам- плитудой ( )rUU  ,ω= , зависящей от радиус- вектора Vr ∈  и удовлетворяющей уравнению ,2 φ=+∆ UkU (2) где ωεµ=k – волновое число; ,0Im =k а функция ( )r  ,ωφφ = задает источник поля. Область будем называть простой, если она допус- кает решение заданной граничной задачи для уравнения Гельмгольца (2) методом разделения переменных в подходящей системе координат. Здесь мы полагаем, что область V представлена конечным или полубесконечным отрезком регу- лярного волновода. Обычное разложение комплексной ампли- туды по волноводным модам запишем в виде ( ) ( ), 1 rrxU m mm  ϕ⋅== ∑ ∞ = xϕ (3) где { }∞== 1mmxx – вектор-строка искомых ком- плексных коэффициентов, подлежащих опре- делению, а ( ) ( ){ }∞== 1mm rr  ϕϕ – суть вектор- столбец известных функций, представляющих моды заданного регулярного волновода. Будем рассматривать только «нормальные моды» вида ( ) ( ) ( ) .,1,exp ∞== ⊥ mrr mmm ζγψϕ  (4) Здесь ( )⊥rm  ψ обозначает собственную функцию однородной граничной задачи для поперечного сечения регулярного волновода Θ∈⊥r  , а mγ есть постоянная распространения m-й моды вдоль продольной оси волновода ζO . Принятое пред- ставление (4) позволяет определить структуру ( )r  ϕ в матрично-векторном виде ( ) ( ) ( )⊥= rr  шE ζϕ . (5) Здесь мы ввели диагональный матричный опера- тор ( ) ( ){ }ζγδζ mmn exp≡E , такой, что ( ) IE =0 есть единичный оператор, а также вектор-столбец вещественнозначных поперечных собственных функций ( )⊥r  ш , основные свойства которого определены равенствами ( ) ( ) ( ) ( ) I,,; =′−=′ Θ⊥⊥⊥⊥ ФФ rrrr шшшш  δ (6) где использованы обычные обозначения для дельта-функции Дирака и скалярного (билинейного) произведения функций, T означает операцию транспонирования. Используя формулы (3) и (5), производную комплексной амплитуды вдоль оси волновода ζO представим в виде ( ) ( ) ( ) ( )⊥=∂∂⋅=∂ rrrU  шEx ζγζζζ ϕϕ ; , (7) где ( ) ( ){ }ζγγδζγ mmmn exp≡E . Для упрощения записи дальнейших выкладок будем также ис- пользовать обозначение ( )0γγ EI ≡ . Поток колеблющейся мощности через поперечное сечение волновода в плоскости 0=ζ с точностью до несущественных множителей есть ( ) TT osc UUF aaxIx ⋅==∂= =Θ γζζ 0],[ , (8) где введено обозначение 21/ γIxa = . Поток ком- плексной мощности через то же сечение Θ опре- деляется величиной ( ) †† 0],[ aUaxIx ==∂= ∗ =Θ ∗ γζζUUFcmp , (9) где символами ∗ и † обозначено комплексное и эрмитово сопряжения соответственно, а }])(arg[exp{212/1 mmn / i γδγγγ −=≡ −∗− ∗IIIU есть оператор волноводного порта (или плеча), одно- значно определенный при условии mm ∀≠ ,0γ . Пусть при заданной частоте в рассмат- риваемом волноводе распространяется P типов волн. Введем ортопроекторы         =         = ∑∑ ∞ +== 11 , Pq qnmq P p pnmp δδδδ QP ; (10) так что Paa =− и Qaa =+ есть векторы ампли- туд распространяющихся волн и всех высших типов колебаний, соответственно. Далее заметим, что оператор волноводного порта является уни- тарным, †UU =−1 , а из представления PQU i= следует, что его числовая область значений лежит И. В. Петрусенко, Ю. К. Сиренко / Обобщенный метод сшивания… _________________________________________________________________________________________________________________ 10 полностью в четвертом или первом квадранте комплексной плоскости в соответствии с выбран- ным направлением течения времени )(exp tiω± . Наконец, постулируем, что поток ком- плексной мощности через волновод 22 22   −+= aa iFcmp есть величина ограниченная, ∞<cmpF (при этом автоматически получаем условие ∞<oscF ). Это эквивалентно требованию 22 ~  ∈⇔∈ xa , где       ∞<≡       ∞<≡ ∑∑ ∞ = ∞ = 1 2 2 1 2 2 :~,: m mm m m xa γxa  есть гильбертовы пространства последователь- ностей комплексных чисел. 2. Матрично-операторный формализм. Изложим основы техники матричных операторов для скалярных задач стационарной теории ди- фракции волноводных мод. В соответствии с новой постановкой за- дачи дифракции представим решение уравнения Гельмгольца (2) в виде ряда ( ) ( )rrubU m mm  ub ⋅== ∑ ∞ =1 , (11) в котором вектор-строка { }∞== 1mmbb задана, а ( ) ( ){ }∞== 1mm rur  u – вектор-столбец подлежащих определению функций (ср. с представлением (3)). Ввиду известной произвольности задания век- тора b стандартная формулировка электро- динамической задачи переносится на функ- цию ( )r  u , которая, в частности, должна удовле- творять уравнению Гельмгольца и заданным гра- ничным условиям. Следовательно, в каждом ре- гулярном волноводе для каждой неизвестной функции ( ) ...,2,1, =mrum  имеем обычное раз- ложение по волноводным модам, удовлетворяю- щее принципу суперпозиции для поля падающих, отраженных и прошедших волн. Другими словами, представление рас- сматриваемой комплексной амплитуды U в виде разложения (11) равносильно замене коэффи- циентов Фурье { }∞=1mmx в модовом разложении поля (3) на элементы бесконечной матрицы, имеющей физический смысл оператора рассеяния волн. Итак, искомыми решениями являются опе- раторы отражения и прохождения мод. Пространства, которым принадлежат b и ( ) ...,,2,1, =mrum  должны быть выбраны таким обра- зом, чтобы исходная комплексная амплитуда (11) принадлежала пространству Соболева ( )VH 1 . Оказывается, что все получаемые формулы обла- дают максимальной простотой и симметрией, если положить 2∈b . При этом необходимо стандартизовать искомые операторы рассеяния к виду 22:  →R и 22:  →T (напр., [5]). В соответствии с техникой матричных операторов введем представление Lba = , где 22:  →L суть подходящий оператор рассеяния (конкретные реализации этого оператора будут даны в следующем разделе). Тогда, согласно вы- ражению (8), поток колеблющейся мощности че- рез плоскость 0=ζ пропорционален величине ( ) TT osc UUF bLLb=∂= =Θ 0],[ ζζ . (12) Заметим, что возникающий здесь оператор TLL обладает характерной симметрией относительно операции транспонирования. Формула (9) для потока комплексной мощности через то же сече- ние волновода дает ( ) ††bLULb=∂= =Θ ∗ 0],[ ζζUUFcmp . (13) Учитывая свойства оператора порта, находим, что числовая область значений оператора †LUL лежит в четвертом или первом квадранте ком- плексной плоскости. Указанные свойства опера- торов в выражениях (12) и (13) играют опреде- ляющую роль в дальнейшем анализе. 3. Операторные формулы Френеля. Рассмотрим каноническую задачу дифракции ...,2,1,0 =mLM m или ...,1,0,1 =mLEm мод на сту- пеньке в полом бесконечном прямоугольном вол- новоде с идеально проводящими стенками, за- данными в декартовой системе координат. Геометрически область определения поля ( ) ( ){ }∞∞−∈∈=Ω∈ ,;,0;2,1, zlysx s может быть разделена на две соприкасающиеся частичные подобласти с поперечным сечением l×Ω1 и l×Ω2 . В дальнейшем без ограничения общности полагаем Ω′∪Ω=Ω 21 . Референсную плоскость совместим с апертурой неоднородности ( ){ }0;,0;2 =∈Ω∈ zlyx . Зависимость от времени примем в виде )(exp tiω . Пусть скалярная функция ( )zxU q p , обо- значает комплексную амплитуду, определяю- щую в q-м волноводе все компоненты электро- магнитного поля, источник которого расположен в p-м волноводе, 2,1, =qp . Поле этого источника содержит полный спектр мод { }∞=10 mmLM или { }∞=01 mmLE с любым известным распределением амплитуд, объединенных в вектор-строку { } 21)0( ∈= ∞ =mm pp bb . И. В. Петрусенко, Ю. К. Сиренко / Обобщенный метод сшивания… _________________________________________________________________________________________________________________ 11 Условие непрерывности тангенциальных компонентов электрического и магнитного полей на референсной плоскости, записанное в виде ( ) 2,1,0 , )(,0 ,0 , , , 1 1 2 21 21 ==        Ω′∈     =∂ = Ω∈     ∂=∂ = pz x LEU LMU x UU UU p z p p z p z pp , приводит к импликации ( ) ( ) .0, , , ,0 ,0 2 21 21 2 21 21 =Ω∈     ∂=∂ = ⇒ ⇒∈∀     =−∂ =− zx p z p z pp p pp z p ppp uu uu b uub uub  (14) Здесь ключевой момент состоит в том, что век- тор bp является общим для двух частичных об- ластей. Аналогичные рассуждения приводят к однородным граничным условиям ( ) ( ) 0, ,0 ,0 1 1 =Ω′∈ =∂ = zx LE LM p z p u u (15) на торце ступеньки. На референсной плоскости разложения по модам для рассматриваемых функций имеют вид ( )2,1, =qp ( ) ( ) ( ) ( ) 22/1 2/1 ,, ,, 0, Ω∈     ≠ =+ = − − x pqx pqx x qq pq pp p q p шIT шIRI u γ γ ; (16) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ., 2 1 ,, ,, 0, 2 2/1 2/1 Ω∈      =     ≠ =− =∂ xp pqx pqx x qq pq pp p q p z шIT шIRI u γ γ   (17) Подставляя выражения (16) и (17) в (14), получим систему матричных равенств для 2Ω∈x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    =− =+ −− , , 2/12/1 2/12/1 xx xx qq pq pp p qq pq pp p шITшIRI шITшIRI γγ γγ (18) а из граничных условий (15) находим ( ) ( ) ( )      Ω′∈     = =± LE LM x x x . ,0 ,0 1 2/121 1 2/11 1 1 шIT шIRI   γ γ (19) Применяя к соотношениям (18), (19) процедуру Бубнова–Галеркина, формально получаем иско- мое решение ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )           += +−=           += +−±= − − − − LE LM LE LM T .2 , ,2 , 0 1 2 21 1 22 2 0 1 1 12 1 11 1 DIDT IDIDR DIDT IDIDR  (20) Здесь мы ввели обозначения ( ) ., ,, 002001 2/1 21 2/1 0 221 DDDDDD IшшID TT Ф LE LM ==      = Ω ±  γγ (21) Полученное решение (20) суть формулы Френеля для операторов отражения и прохождения волно- водных мод. Существование обратных операторов в решении (20) вытекает из закона сохранения комплексной мощности и будет строго доказано в разд. 6. Здесь мы отметим свойства симметрии операторов рассеяния, следующие из полученно- го решения. Действительно, из первой формулы Френеля получаем ( ) ( ) ( )          = =± = =+−= − LE LM p p p T ppp ,2, ,1, ,2 2 1 1 R R R RIDIR  (22) поскольку p T p DD = , 2,1=p по определению (21). Свойство симметрии для операторов прохожде- ния мод TT qpTpq = проверяется непосредствен- ной подстановкой. Отметим, что первая операторная фор- мула Френеля в (20) известна, как преобразование Кэли [13] (в дальнейшем мы будем использовать оба эти названия как равноправные). При выпол- нении условия существования этого преобразова- ния, ( )pDσ∉−1 , оно является обратимым: p p p p p p RI RI D ID ID R − + =⇔ + − = . (23) В этих формулах трансформанта Кэли записана в форме Г. Вейля [13]. 4. Принцип взаимности и закон сохране- ния энергии в операторной форме. В пространст- ве комплексных амплитуд необходимо учитывать 4 базовых энергетических закона [14–16]. В их числе первая и вторая теоремы Лоренца [15], тео- рема о колеблющейся мощности [17] и общеизве- стная теорема о комплексной мощности. Для рас- сматриваемой задачи эти теоремы дают приве- денные ниже 4 группы операторных равенств, которые определяют основные свойства искомых операторов рассеяния [5, 8, 14]. При выводе этих равенств используется фундаментальное свойство пространства 2 : каждый оператор однозначно определен своей квадратичной формой. Итак, условие непрерывности потока колеблющейся мощности через апертуру неодно- родности и первая лемма Лоренца дают четыре матричные соотношения: ( ) ( ) ( ) ( ) .,,, ,2,1,,,, 21 21 2211 2211 pq qp Tq z pTq z p Tp z pTp z p ≠∂=∂ =∂=∂ ΩΩ ΩΩ uuuu uuuu (24) И. В. Петрусенко, Ю. К. Сиренко / Обобщенный метод сшивания… _________________________________________________________________________________________________________________ 12 Подставляя в эти равенства представления (16), (17), (19) и используя свойство ортогональности поперечных собственных функций (6), находим TTRR qpTpqpTp == , ; (25) ITTR =+ Tpqpqp 2 ; (26) ( ) 0TRTR =+ Tqpqpqp . (27) Эти операторные соотношения обычно записы- вают в виде свойств симметрии SS =T и инво- лютивности IS =2 (или SS =−1 ) обобщенной матрицы рассеяния. Последнее свойство означа- ет, что операторы ( ) 2/SI± являются проектора- ми (но не ортопроекторами), из чего следует, что спектр ( )Sσ состоит всего из двух точек { }1,1 −+ бесконечной кратности, а S есть сим- метрия (не эрмитовая) пространства 2 . Как следствие, обобщенный иммитанс (т. е. преобра- зование Кэли оператора S) для скачкообразных неоднородностей не определен [14]. Далее, следствиями непрерывности пото- ка комплексной мощности через апертуру неод- нородности и второй леммы Лоренца будут 4 ра- венства: ( ) ( ) ( ) ( ) .,,, ,2,1,,,, 21 21 † 22 † 11 † 22 † 11 pq qp q z pq z p p z pp z p ≠∂=∂ =∂=∂ ΩΩ ΩΩ uuuu uuuu (28) Отсюда следуют операторные соотношения ( ) ( ) †† TUTRIURI pq q pqp p p =−+ ; (29) ( ) ( ) †† TURIRIUT qp p pq q pq +=− , (30) которые объединяются в простое равенство для характеристического оператора рассеяния [16] ( ) ( ) ( ).,diag,0 21 † UUUSIUSIG ==−+≡ (31) Полученный закон сохранения энергии в опера- торной форме (31) справедлив для всех задач ди- фракции волн на скачкообразной неоднородности в волноводе [14, 16]. Как будет показано далее, соотношения (25)–(27) позволяют обобщить полученные опе- раторные формулы Френеля на весь класс задач дифракции мод для соответствующих волновод- ных 4-полюсников. В свою очередь, закон сохра- нения энергии в операторной форме (29)–(31) гарантирует существование, единственность и устойчивость полученного решения (20). 5. Универсальность операторной мо- дели. Операторные формулы Френеля (20) тожде- ственно удовлетворяют соотношениям (25)–(27), что легко проверить прямой подстановкой. Покажем, что в свою очередь эти энергетические соотношения, справедливые для всего класса за- дач рассматриваемого типа, приводят к оператор- ным формулам Френеля. Для этого запишем равенство (26) в виде ( ) ( ) TT TTRIRI =−+ (32) и будем его трактовать как уравнение относи- тельно операторов отражения и прохождения мод (в данном разделе для упрощения записи индексы операторов qp, опущены). Из этого уравнения следует, что точки спектров ( )Rσλ ∈ и ( )TTTστ ∈ принадлежат алгебраической кривой ∈=+ τλτλ ,,12 , (33) для которой известно решение задачи униформи- зации в виде рациональных функций [18]. Запи- шем это решение в виде ( ) 1, 1 4, 1 1 2 −≠ + = + − = t t t t t τλ . (34) На основании теоремы об отображении спектра (напр., [19]) заключаем, что существует такой оператор D, что ( ) ( ) ( )Dσλλ ∈−+= 1/1t и спра- ведливо представление ( ) ( )    +=− +=+ ⇒ + − = − − .2 ;2 1 1 IDRI DIDRI ID IDR (35) Учитывая свойство симметрии оператора отра- жения (25), получаем T 00 ~~ DDD = , где 0 ~D : 22  → пока произвольный ограниченный матричный оператор. Тогда из равенства (32) с учетом соот- ношений (35) следует вторая формула Френеля ( ) 0 12 DIDT −+= . (36) Здесь обозначено CDD 00 ~ = , где второй сомно- житель обладает свойством ICC =T , так что сра- зу можно положить T 00DDD = . Теперь произ- вольный ограниченный матричный оператор 0D должен быть доопределен законом сохранения комплексной мощности (31), что будет сделано в разд. 6. Заметим, что невозможно иначе распре- делить рациональные функции в равенствах (34), поскольку в дальнейшем это приводит к невы- полнению соотношений (25) и (27). Таким образом, принципиальная воз- можность параметризации кривой (33) с помо- щью однозначных функций (34) в данном случае гарантирует существование единого оператора задачи, который полностью определяет закон отражения и прохождения мод. Теорема 1. Для каждой задачи дифрак- ции мод на скачкообразной неоднородности в волноводе, для которой имеет место теорема взаимности и теорема о колеблющейся мощности в форме равенств (25)–(27), существует матема- тическая модель в виде операторных формул Френеля (35) и (36). 6. Корректность операторных формул Френеля. В терминах трансформанты Кэли pD И. В. Петрусенко, Ю. К. Сиренко / Обобщенный метод сшивания… _________________________________________________________________________________________________________________ 13 закон сохранения энергии в формах (29)–(31) принимает особенно простой вид, что позволяет исследовать основные свойства этого оператора и тем самым доказать корректность матричной мо- дели в виде формул Френеля (20). Во-первых, из формулы (31) вытекает, что все операторные соотношения закона сохра- нения комплексной мощности следуют из единст- венного условия †                   = ∗ LE LM ,† 2 2 0 1 † 1 0 U U D U UD (37) выделяющего этот элементарный оператор задачи из множества ограниченных матричных операторов. Для рассмотренной канонической задачи о сту- пеньке в прямоугольном волноводе условие (37) совпадает со свойством билинейного скалярного произведения вещественнозначных собственных функций ( ) 0,Im =T pp шш . Во-вторых, закон сохранения энергии (29) может быть записан в виде      =    =    ∗ LE LMT ., 010 22 † 22† 020† 11 11 DUD UD DUDUD DU UD (38) Эти равенства означают, что область числовых значений оператора ( )† pppp UDUD , ,2,1=p полностью лежит в четвертом (первом) квадранте комплексной плоскости. На основании известных геометрических свойств пространства 2 в рабо- те [20] было установлено, что при этом условии оператор pD является m-аккретивным, т. е. 0Re >pD . В этом доказательстве используются понятия и идеи теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой (в данном случае в пространстве Понтрягина [21]). Исходя из свойства преобразования Кэли 10Re <⇔> RD p p (39) заключаем, что оператор отражения есть строгое сжатие. Теорема 2. Решение задачи дифракции мод на ступеньке в волноводе в виде формул Френеля для операторов рассеяния (20) сущест- вует и является единственным. Далее, введем в рассмотрение оператор ( ) ( )ppp RIIDA −=+≡ − 2 11 , для которого пря- мым вычислением находим ( ) ( ) .0Re ReRe †† †† >+= =+= ppppp pppppp ADAAA ADAAAA (40) Следовательно, этот оператор является m-аккре- тивным сжатием, †Re ppp AAA > . Определим «число обусловленности» этого матричного оператора по формуле ( ) 1cond −≡ ppp AAA , тогда верна оценка ( ) .1cond1 ∞<+≤≤ pp DA Тем самым доказана устойчивость полученного решения (20) на множестве ограниченных опера- торов, определенных на всем пространстве 2 . 7. Разнообразие форм решения задачи. Эквивалентные преобразования операторных формул Френеля (20) приводят к другим эффек- тивным формам искомого решения. Представим здесь это решение посредством введенного выше оператора 2,1, =ppA в виде таблицы ( ) ( ) ( ) ( )       −== =−±= LE LM T .2,2 ,2,2 2 2 02 21 01 12 1 1 AIRDAT DATAIR  Используя обобщенную матрицу рассеяния S, этому представлению очевидным образом можно придать компактную форму ( ) ( )      +±= LE LM ,2 000 JVAJS  в которой диагональные операторные матрицы    =   =    − = 0 0 , 0 0 , 0 0 0 0 0 2 1 0 TD D V A A A I I J есть, соответственно, каноническая симметрия пространства ( )22 , m-аккретивное сжатие и сим- метричный оператор задачи. Извлекая квадрат- ный корень из оператора A, приходим к соотно- шению ( ) ( ) 1 0000 −= JVJVA  , причем правая часть этого равенства определяет m-аккретивный оператор. Таким образом, искомое решение прини- мает простой вид ( ) ( )       ±=+±= − LE LM ,22 0 2/11 000 JAJVJS  (41) особенно удобный с точки зрения компьютерных вычислений. Другое эквивалентное представление решения, вытекающее из формулы (41), суть пре- образование Кэли ( ) ( )       ±±= − LE LM ,1 0000000 JVJJVJJS  (42) связывающее операторные матрицы . 0 0 , 0 0 00221 121 0     − =      − − = TD D VJ RT TRJS Выражение (42) также может быть эффективно использовано для вычислений. Выводы. Характерные для стандартного метода сшивания трудноразрешимые проблемы И. В. Петрусенко, Ю. К. Сиренко / Обобщенный метод сшивания… _________________________________________________________________________________________________________________ 14 доказательства существования, единственности и устойчивости решения итоговой бесконечной СЛАУ являются следствием общепринятой част- ной формулировки задачи дифракции, а не собст- венно метода сшивания. Предложенная новая постановка задачи дифракции волн приводит к естественному обобщению классического метода сшивания. По своей сути, новый подход означает замену неизвестных коэффициентов Фурье на элементы искомого матричного оператора рассеяния (метод матричных операторов в теории дифракции). Как результат, корректность полученной матрич- ной модели обобщенного метода сшивания может быть строго доказана. С этой новой точки зрения матричная модель в виде бесконечной СЛАУ отнюдь не со- ответствует сущности метода сшивания, а являет- ся таким ничем не оправданным усечением обще- го матрично-операторного уравнения, которое приводит к фатальной потере необходимой ин- формации о свойствах как самого решения, так и заданного оператора задачи. Изложенные выше основы техники мат- ричных операторов для скалярных задач стацио- нарной дифракции волноводных мод позволяют естественным образом ввести матричные опера- торы рассеяния как истинные искомые величины метода сшивания. На примере канонической задачи ди- фракции волн на ступеньке в H-(E-)плоскости в прямоугольном волноводе продемонстрирован вывод формул Френеля для операторов отраже- ния и прохождения мод (20). Полученные результаты применения обобщенного метода сшивания допускают рас- пространение на другие задачи дифракции мод на скачкообразной неоднородности в волноводе (т. е. неоднородности, собственный объем которой равен нулю). Возможность выделения этого клас- са задач из всего многообразия задач дифракции волноводных мод следует из базовых энергетиче- ских законов. Именно, если для волноводных 4-полюсников записать 4 известных энергетиче- ских закона для объема dV , содержащего скачко- образную неоднородность, то при переходе к пределу 0→dV с учетом «условия на ребре» приходим к формулам (24) и (28). Следовательно, рассматриваемый класс задач дифракции мод полностью определен как такой, для которого выполняются соотношения (25)–(27) и (29)–(31), связывающие между собой искомые матричные операторы рассеяния. Если допустить для каждой задачи этого класса наличие единого «оператора задачи», за- данного геометрией неоднородности и зависяще- го от частоты, то, как найдено, из энергетических соотношений (25)–(27) вытекает существование матричной модели в виде формул Френеля для операторов отражения и прохождения мод (20). Доказано, что корректность операторных формул Френеля является прямым следствием закона сохранения комплексной мощности и второй леммы Лоренца в операторной форме (29)–(31). Тем самым полностью решена проблема строгого обоснования матричной модели обобщенного метода сшивания. Найденные операторные формулы Фре- неля порождают разнообразные эквивалентные формы решения, которые позволяют выявить структуру операторов рассеяния. Решения в фор- ме (41), (42) имеет смысл использовать для разра- ботки эффективных численных алгоритмов. Разработанный и строго обоснованный метод расчета дифракции мод на волноводных неоднородностях следует рассматривать как обобщение широко используемого в прикладной электродинамике классического метода сшивания. Библиографический список 1. Миттра Р. Аналитические методы теории волноводов / Р. Миттра, С. Ли; пер. с англ. под ред. Г. В. Воскресенско- го. – М.: Мир, 1974. – 327 с. 2. Вычислительные методы в электродинамике / под ред. Р. Миттры, – М.: Мир, 1977.– 485 с. 3. Шестопалов В. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции / В. Шестопалов, А. Кириленко, С. Маса- лов. – К.: Наук. думка, 1984. – 296 с. 4. Dudley D. Mathematical foundations for electromagnetic theory / D. Dudley. – N. Y.: IEEE Press, 1994. – 264 p. 5. Petrusenko I. V. Analytic – numerical analysis of waveguide bends / I. V. Petrusenko // Electromagnetics. – 2004. – 24, N 4. – Р. 237–254. 6. Petrusenko I. V. Matrix operator technique for analysis of wave transformers / I. V. Petrusenko // 10th Intern. conf. on mathematical methods in electromagnetic theory (MMET’04): proc. – Dnipropetrovs’k, 2004. – Р. 118–120. 7. Petrusenko I. V. Mode diffraction: analytical justification of matrix models and convergence problems / I. V. Petrusenko // 11th Intern. conf. on mathematical methods in electromagnetic theory (MMET’06): proc. – Kharkov, 2006. – Р. 332–337. 8. Petrusenko I. V. Fresnel formulae for scattering operators / I. V. Petrusenko , Yu. K. Sirenko // Telecommunications and Radio Engineering. – 2011. – 70, N 9. – Р. 749–758. 9. Шестопалов В. П. Матричные операторы в задачах ди- фракции / В. П. Шестопалов, В. В. Щербак // Изв. вузов. Радиофизика. – 1968. – 9, № 2. – С. 285-295. 10. Резонансное рассеяние волн: в 2 т. Т. 1. Дифракционные решетки / В. П. Шестопалов, А. А. Кириленко, С. А. Маса- лов, Ю. К. Сиренко. – К.: Наук. думка, 1986. – 232 с. 11. Шестопалов В. П. Резонансное рассеяние волн: в 2 т. Т. 2. Волноводные неоднородности / В. П. Шестопалов, А. А. Кири- ленко, Л. А. Рудь. – К.: Наук. думка, 1986. – 216 с. 12. Литвиненко Л. Н. Спектральные операторы рассеяния в задачах дифракции волн на плоских экранах / Л. Н. Литви- ненко, С. Л. Просвирнин. – К.: Наук. думка, 1984. – 240 с. 13. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и пред- ставления / Г. Вейль; пер. с англ. под ред. Д. А. Райков. – М.: Гос. изд. иностр. лит., 1947. – 408 с. 14. Petrusenko I. V. Basic properties of the generalized scattering matrix of waveguide transformers / I. V. Petrusenko // Elec- tromagnetics. – 2006. – 26, N 8. – Р. 601–614. И. В. Петрусенко, Ю. К. Сиренко / Обобщенный метод сшивания… _________________________________________________________________________________________________________________ 15 15. Petrusenko I. V. The lost «second Lorentz theorem» in the phasor domain / I. V. Petrusenko, Yu. K. Sirenko // Telecom- munications and Radio Engineering. – 2009. – 68, N 7. – Р. 555–560. 16. Petrusenko I. V. Generalization of the power conservation law for scalar mode-diffraction problems / I. V. Petrusenko, Yu. K. Sirenko // Telecommunications and Radio Engineer- ing. – 2009. – 68, N 16. – Р. 1399–1410. 17. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайн- штейн. – М.: Радио и связь, 1988. – 440 с. 18. Гурвиц А. Теория функций / А. Гурвиц, Р. Курант. – М.: Наука, 1968. – 648 с. 19. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики: в 2 т. Т. 1 / Р. Рихтмайер; пер. с англ. под ред. И. Д. Софронова. – М.: Мир, 1982. – 488 с. 20. Petrusenko I. V. Abrupt discontinuities: The reflection opera- tor is a contraction / I. V. Petrusenko, Yu. K. Sirenko // Tele- communications and Radio Engineering. – 2008. – 67, N 19. – Р. 1701–1709. 21. Азизов Т. Я. Основы теории линейных операторов в про- странствах с индефинитной метрикой / Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов. – М.: Наука, 1986. – 352 с. Рукопись поступила 22.03.12. I. V. Petrusenko, Yu. K. Sirenko GENERALIZED MODE-MATCHING TECHNIQUE IN THE THEORY OF MODE DIFFRACTION. PART I. FRESNEL FORMULAE FOR SCATTERING OPERATORS A generalization of the classical mode-matching technique, which corresponds to a new formulation of the scalar problem of mode diffraction on the waveguide discontinuity, is proposed. The used matrix-operator formalism of the modal analysis is briefly presented. The Fresnel formulae for the sought- for operators of mode reflection and transmission are derived for the canonical problem of the step discontinuity in a rectangular waveguide. The correctness of the obtained matrix-operator model is proved analytically. It is shown that these results are valid for a class of the problems of wave diffraction on the abrupt discontinuity in a waveguide. This generalized mode-matching technique was developed for efficient and rigorous analysis of microwave devices. Key words: mode-matching technique, Cayley’s trans- form, Fresnel formulae, scattering operator. І. В. Петрусенко, Ю. К. Сіренко УЗАГАЛЬНЕНИЙ МЕТОД ЗШИВАННЯ В ТЕОРІЇ ДИФРАКЦІЇ МОД ХВИЛЕВОДІВ ЧАСТИНА I. ФОРМУЛИ ФРЕНЕЛЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРІВ РОЗСІЮВАННЯ Розглянуто узагальнення класичного методу зшиван- ня (the mode-matching technique), що відповідає новому фор- мулюванню задачі дифракції хвиль на неоднорідності у хви- леводі. Коротко викладено матрично-операторний формалізм модового аналізу, що використовується. Для канонічної задачі про сходинку у прямокутному хвилеводі виведено формули Френеля для шуканих операторів відбиття та проходження мод. Аналітично доведена коректність знайденої матрично- операторної моделі. Показано, що отримані результати дійсні для класу задач дифракції хвиль на стрибкоподібних неодно- рідностях у хвилеводах. Розвинений узагальнений метод зши- вання призначено для ефективного строгого розв’язування задач аналізу хвилевідних вузлів і пристроїв мікрохвильової техніки. Ключові слова: метод зшивання, трансформація Келі, формули Френеля, оператор розсіювання. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД СШИВАНИЯ В ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ ВОЛНОВОДНЫХ МОД ЧАСТЬ 1. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ РАССЕЯНИЯ
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-105906
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-821X
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:50:10Z
publishDate	2012
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
record_format	dspace
spelling	Петрусенко, И.В. Сиренко, Ю.К. 2016-09-12T19:11:17Z 2016-09-12T19:11:17Z 2012 Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть I. Формулы Френеля для операторов рассеяния / И.В. Петрусенко, Ю.К. Сиренко // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 3. — С. 8-15. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105906 517.9+535.4 Рассмотрено обобщение классического метода сшивания (the mode-matching technique), соответствующее новой постановке задачи дифракции волн на неоднородности в волноводе. Кратко изложен используемый матрично-операторный формализм модового анализа. Для канонической задачи о ступеньке в прямоугольном волноводе дан вывод формул Френеля для искомых операторов отражения и прохождения мод. Аналитически доказана корректность найденной матрично-операторной модели. Показано, что полученные результаты справедливы для класса задач дифракции волн на скачкообразных неоднородностях в волноводах. Развитый обобщенный метод сшивания предназначен для эффективного строгого решения задач анализа волноводных узлов и устройств микроволновой техники. Розглянуто узагальнення класичного методу зшивання (the mode-matching technique), що відповідає новому формулюванню задачі дифракції хвиль на неоднорідності у хвилеводі. Коротко викладено матрично-операторний формалізм модового аналізу, що використовується. Для канонічної задачі про сходинку у прямокутному хвилеводі виведено формули Френеля для шуканих операторів відбиття та проходження мод. Аналітично доведена коректність знайденої матрично-операторної моделі. Показано, що отримані результати дійсні для класу задач дифракції хвиль на стрибкоподібних неоднорідностях у хвилеводах. Розвинений узагальнений метод зшивання призначено для ефективного строгого розв’язування задач аналізу хвилевідних вузлів і пристроїв мікрохвильової техніки. A generalization of the classical mode-matching technique, which corresponds to a new formulation of the scalar problem of mode diffraction on the waveguide discontinuity, is proposed. The used matrix-operator formalism of the modal analysis is briefly presented. The Fresnel formulae for the sought-for operators of mode reflection and transmission are derived for the canonical problem of the step discontinuity in a rectangular waveguide. The correctness of the obtained matrix-operator model is proved analytically. It is shown that these results are valid for a class of the problems of wave diffraction on the abrupt discontinuity in a waveguide. This generalized mode-matching technique was developed for efficient and rigorous analysis of microwave devices. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радіофізика та електроніка Микроволновая электродинамика Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть I. Формулы Френеля для операторов рассеяния Узагальнений метод зшивання в теорії дифракції мод хвилеводів. Частина I. Формули Френеля для операторів розсіювання Generalized mode-matching technique in the theory of mode diffraction. Part I. Fresnel formulae for scattering operators Article published earlier
spellingShingle	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть I. Формулы Френеля для операторов рассеяния Петрусенко, И.В. Сиренко, Ю.К. Микроволновая электродинамика
title	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть I. Формулы Френеля для операторов рассеяния
title_alt	Узагальнений метод зшивання в теорії дифракції мод хвилеводів. Частина I. Формули Френеля для операторів розсіювання Generalized mode-matching technique in the theory of mode diffraction. Part I. Fresnel formulae for scattering operators
title_full	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть I. Формулы Френеля для операторов рассеяния
title_fullStr	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть I. Формулы Френеля для операторов рассеяния
title_full_unstemmed	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть I. Формулы Френеля для операторов рассеяния
title_short	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть I. Формулы Френеля для операторов рассеяния
title_sort	обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. часть i. формулы френеля для операторов рассеяния
topic	Микроволновая электродинамика
topic_facet	Микроволновая электродинамика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/105906
work_keys_str_mv	AT petrusenkoiv obobŝennyimetodsšivaniâvteoriidifrakciivolnovodnyhmodčastʹiformulyfrenelâdlâoperatorovrasseâniâ AT sirenkoûk obobŝennyimetodsšivaniâvteoriidifrakciivolnovodnyhmodčastʹiformulyfrenelâdlâoperatorovrasseâniâ AT petrusenkoiv uzagalʹneniimetodzšivannâvteoríídifrakcíímodhvilevodívčastinaiformulifrenelâdlâoperatorívrozsíûvannâ AT sirenkoûk uzagalʹneniimetodzšivannâvteoríídifrakcíímodhvilevodívčastinaiformulifrenelâdlâoperatorívrozsíûvannâ AT petrusenkoiv generalizedmodematchingtechniqueinthetheoryofmodediffractionpartifresnelformulaeforscatteringoperators AT sirenkoûk generalizedmodematchingtechniqueinthetheoryofmodediffractionpartifresnelformulaeforscatteringoperators

Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть I. Формулы Френеля для операторов рассеяния

Institution

Similar Items