Потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории

С использованием уравнений Максвелла на основе комплексного подхода (аналитического и численного) нами найдены потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории над поверхностью цилиндра, который представляет собой диэлектрик или металл. Сформулированы условия, при которых возни...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Радіофізика та електроніка
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Дормидонтов, А.В., Прокопенко, Ю.В., Ханкина, С.И., Яковенко, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2014
Schlagworte:	Радиофизика твердого тела и плазмы
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106049
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории / А.В. Дормидонтов, Ю.В. Прокопенко, С.И. Ханкина, В.М. Яковенко // Радіофізика та електроніка. — 2014. — Т. 5(19), № 1. — С. 29-41. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859833435270414336
author	Дормидонтов, А.В. Прокопенко, Ю.В. Ханкина, С.И. Яковенко, В.М.
author_facet	Дормидонтов, А.В. Прокопенко, Ю.В. Ханкина, С.И. Яковенко, В.М.
citation_txt	Потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории / А.В. Дормидонтов, Ю.В. Прокопенко, С.И. Ханкина, В.М. Яковенко // Радіофізика та електроніка. — 2014. — Т. 5(19), № 1. — С. 29-41. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Радіофізика та електроніка
description	С использованием уравнений Максвелла на основе комплексного подхода (аналитического и численного) нами найдены потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории над поверхностью цилиндра, который представляет собой диэлектрик или металл. Сформулированы условия, при которых возникает магнитно-тормозное излучение электромагнитных волн в системе. Результаты исследований расширяют и систематизируют знания (наши представления) о механизмах генерирования электромагнитных волн в электродинамических системах, составляющих основу микроволновых генераторов. З використанням рівнянь Максвелла на основі комплексного підходу (аналітичного і чисельного) нами знайдено втрати енергії зарядженої частинки, що рухається по спіральній траєкторії над поверхнею циліндра, який є діелектриком або металом. Сформульовано умови, за яких виникає магнітно-гальмівне випромінювання електромагнітних хвиль у системі. Результати досліджень розширюють і систематизують знання (наші уявлення) про механізми генерування електромагнітних хвиль в електродинамічних системах, які складають основу мікрохвильових генераторів. In this paper, using Maxwell's equations and based on an integrated approach (analytical and numerical) the energy losses of a charged particle moving along a spiral path over the surface of the cylinder, which is a dielectric or metal, were determined. The conditions under which there is a gyrosynchrotron radiation of electromagnetic waves in the system were stated. The research results extend and systematize knowledge (our conceptions) about generation mechanisms of electromagnetic waves in electrodynamical systems that form the basis of microwave oscillators.
first_indexed	2025-12-07T15:33:55Z
format	Article
fulltext	РРААДДИИООФФИИЗЗИИККАА ТТВВЕЕРРДДООГГОО ТТЕЕЛЛАА ИИ ППЛЛААЗЗММЫЫ ________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028−821X Радиофизика и электроника. 2014. Т. 5(19). № 1 © ИРЭ НАН Украины, 2014 УДК 537.86 А. В. Дормидонтов, Ю. В. Прокопенко, С. И. Ханкина, В. М. Яковенко Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: yakovenko@ire.kharkov.ua ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ, ДВИЖУЩЕЙСЯ ПО СПИРАЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ Одной из актуальных проблем современной радиофизики и электроники является исследование механизмов генерации электромагнитных волн при движении заряженных частиц в различных электродинамических системах. При этом к числу принци- пиально важных характеристик возможного процесса генерирования относятся потери энергии одной частицы в единицу времени на возбуждение в системе собственных колебаний. Знание потерь энергии позволяет найти инкременты и определить пороговые условия неустойчивости колебаний при движении потоков заряженных частиц в системе. С использованием уравнений Максвелла на основе комплексного подхода (аналитического и численного) нами найдены потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории над поверхностью цилиндра, который представляет собой диэлектрик или металл. Сформулированы условия, при которых возникает магнитно-тормозное излучение электромагнитных волн в системе. Результаты исследований рас- ширяют и систематизируют знания (наши представления) о механизмах генерирования электромагнитных волн в электродинами- ческих системах, составляющих основу микроволновых генераторов. Ил. 9. Библиогр.: 11 назв. Ключевые слова: излучение Вавилова–Черенкова, магнитно-тормозное излучение, магнитно-циклотронный резонанс, потери энергии частицы на излучение. Для создания источников электромагнит- ного излучения миллиметрового и субмиллимет- рового диапазонов большой интерес представля- ют пучковые неустойчивости, возникающие в электродинамических системах различного рода. В последнее время особое внимание уделяется многоволновым черенковским генераторам по- верхностных волн [1, 2] и автоколебательным системам на основе диэлектрических резонато- ров [3–5]. Так, совсем недавно в работе [3] было обнаружено электромагнитное излучение в 8-мм диапазоне длин волн при прохождении азиму- тально-периодического (многоструйного) элект- ронного пучка над цилиндрическим диэлектриче- ским резонатором. Очевидно, что излучение электромагнитных волн обусловлено возбужде- нием собственных колебаний диэлектрического резонатора волнами пространственного заряда электронного пучка в магнитном поле. Для пони- мания механизма этого излучения, безусловно, заслуживают внимания исследования потерь энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории над поверхностью ди- электрического цилиндра, на возбуждение собст- венных электромагнитных волн в нем. Этому вопросу и посвящена предлагаемая работа. 1. Постановка задачи. Исходные урав- нения. Пусть частица с зарядом e и массой m (электрон) движется с поступательною ско- ростью zv по винтовой линии с радиусом 0ρρ = над цилиндром с радиусом 1ρρ = , ось которого направлена вдоль оси Z (рис. 1). Плотность заряда ),( trQ , создаваемого частицей, можно предста- вить в виде произведений δ -функций )()()(),( 000 zzyyxxetrQ −−−= δδδ . Здесь tvz z=0 ; ttxx Hωρ cos)( 000 =≡ и ttyy Hωρ sin)( 000 −=≡ , в которых =0ρ Hv ωϕ /−= – радиус вращения частицы; =Hω 22 0 /1)/( cvmceH −= – циклотронная частота частицы, движущейся со скоростью 22 ϕvvv z += ; ϕv – скорость вращательного движения частицы в плоскости XY; 0H – напряженность внешнего постоянного магнитного поля, параллельного оси Z; c – скорость света. Z 0H zv ϕv 0ρ1ρ Рис. 1. Движение заряженной частицы в магнитном поле над цилиндром Плотность тока, создаваемого заряжен- ной частицей, определяется формулой ),( trQvj = . (1) Его составляющие в цилиндрической системе координат имеют вид 0=ρj , ),( trQvj ϕϕ = и ),( trQvj zz = . Электромагнитные поля E и H , созда- ваемые движущейся частицей, находятся из сле- дующей системы уравнений: А. В. Дормидонтов и др. / Потери энергии заряженной… _________________________________________________________________________________________________________________ 30 .0div),();,(4div ;41rot;1rot =+ ∂ ∂ = + ∂ ∂ = ∂ ∂ −= j t trQtrQD j ct D c H t H c E π π (2) Электрическая индукция поля D в точке с радиус- вектором r в момент времени t без учета про- странственной дисперсии определяется мате- риальным уравнением ∫ ∞− ′′′−= t tdtrEttD ),()(ε̂ , где )(ˆ tε – параметр, характеризующий электро- магнитные свойства изотропной среды. Учитывая свойства дельта-функции Ди- рака, плотность заряда ),( trQ представим в виде набора пространственно-временных гармоник .)]()( )([exp )2( ),( 0 03 zyxzzy x dqdqdqtvzqyyq xxqietrQ −+−+ +−= ∫ ∫ ∫ ∞ ∞− ∞ ∞− ∞ ∞−π В цилиндрической системе координат ,cosϕρ=x ϕρ sin=y , ϕκ ′= cosxq и ,sinϕκ ′=yq где ϕ – угол между вектором ρ и осью x; ϕ′ – угол между вектором κ и осью x. Тогда ),( trQ можно привести к виду .)]}cos()cos([ )({exp )2( ),( 0 2 00 3 ϕωϕρϕϕρκ κκ π π ′+′−−′+ +−= ∫∫∫ ∞∞ ∞− dt tvzqiddqetrQ H zzz Используя соотношение =)cosexp( ακρi )exp()( ακρ inJi n n n −= ∑ ∞ −∞= [6], где )(κρnJ – функ- ция Бесселя n-го порядка, получим .])([exp )()( )2( ),( 0 02 ∫ ∑ ∫ ∞ ∞− ∞ −∞= ∞ ++−× ×= zHzz n nn dqtnntvzqi dJJetrQ ωϕ κκρκρκ π Принимая во внимание, что =∫ ∞ 0 0 )()( κκρκρκ dJJ nn ρρ ρρδ 0 0 )( − = [7], a =−− ])([exp tnvqi Hzz ω ,)()(exp∫ ∞ ∞− +−−= ωωωδω dnvqti Hzz плотность заряда ),( trQ можно записать следующим обра- зом .)(exp)( )( )2( ),( 0 0 2 ∫ ∑ ∫ ∞ ∞− ∞ −∞= ∞ ∞− −++−× × − = ωωϕωωδ ρρ ρρδ π dtnzqinvq dqetrQ zHzz n z (3) Поля, входящие в уравнения (2), также представим как набор пространственно- временных гармоник, например: .)(exp ),,(),( ωωϕ ωρ dtnzqi qEdqtrE z n znz −+× ×= ∑ ∫∫ ∞ −∞= ∞ ∞− ∞ ∞− (4) Отметим, что ),,(),,( * znzn qEqE −−= − ωρωρ , где «∗» указывает на комплексно-сопряженную вели- чину. Из уравнений (2) следует, что продольные компоненты электрического znE и магнитного znH полей определяются решениями уравнений n zz znzn Q c vqiEnqE ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ∂ ∂ ∂ ∂ 22 2 2 41 ω ε π ρρ ρ ρρ ; (5) )(41 2 2 2 nznzn Q c v HnqH ρ ρρ π ρρ ρ ρρ ϕ ∂ ∂ −=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ∂ ∂ ∂ ∂ . (6) Здесь )()( )2( ),,( 0 0 2 Hzzznn nvqeqQQ ωωδ ρρ ρρδ π ωρ +− − =≡ ; 2222 / zqcq −= εω ; ∫ ∞ = 0 exp)(ˆ τωττεε di – диэлект- рическая проницаемость среды. Если временная (частотная) дисперсия отсутствует, то )()(ˆ τεδτε = . Для нахождения потерь энергии частицы необходимо из уравнений (5) и (6) найти поля, создаваемые частицей в безграничной среде (т. е. поля волн, падающих на границу раздела сред), а также поля волн, отраженных от поверхности цилиндра (поля излучения). Затем значения этих полей в точке нахождения частицы 0ρρ = , tH \|\|ωϕ = и tvz z= подставить в формулу для изменения энергии частицы в единицу времени ),\|\|,( 0 tvtEve dt dW zHωρ= . (7) Следует отметить, что при потерях энер- гии заряженной частицы на возбуждение электро- магнитных волн в однородной среде выполняют- ся законы сохранения энергии и импульса ω+= 21 WW ; qpp += 21 . Здесь iW и ip – энергия и импульс частицы )2;1( =i ; ω и q – энергия и импульс кванта электромагнитного поля, излучаемого частицей; q – волновой вектор; – постоянная Планка. А. В. Дормидонтов и др. / Потери энергии заряженной… _________________________________________________________________________________________________________________ 31 Легко убедиться, что при прямолинейном движе- нии заряженной частицы эти законы сводятся к выполнению условий излучений Вавилова– Черенкова. Хорошо известно, что они реализуют- ся, если скорость частицы превышает фазовую скорость электромагнитной волны в среде. Одна- ко в постоянном магнитном поле, когда частица движется по спиральной траектории, законы со- хранения выполняются в вакууме (магнитно- тормозное излучение) [8]. 2. Поля частицы. Из уравнений (5) и (6) следует, что в областях 0ρρ < (область 1) и 0ρρ > (область 2) при удовлетворении условию конечности поля на оси винтовой траектории движения частицы (при 0→ρ ) и условию излу- чения на бесконечность (при ∞→ρ ) аксиальные компоненты электромагнитного поля выражают- ся через цилиндрические функции n-го порядка Бесселя )( ρqJn и Ганкеля )( ρqH n первого рода )()1( ρqHn при 0>ω или второго рода )()2( ρqH n при 0<ω . При 02 >q решения уравнений (5) и (6) имеют следующий вид: ),(11 ρqJCE nzn = ),(11 ρqJFH nzn = ,0ρρ < (8) ),(22 ρqHCE nzn = ),(22 ρqHFH nzn = .0ρρ > При 02 <q решения уравнений (5) и (6) выража- ются цилиндрическими модифицированными функциями Бесселя и Макдональда ),(11 ρkICE nzn = ),(11 ρkIFH nzn = ,0ρρ < (9) ),(22 ρkKCE nzn = ),(22 ρkKFH nzn = ,0ρρ > где 22222 / cqqk z εω−=−= . Азимутальные компоненты поля частицы определяются через аксиальные znE и znH сле- дующим образом: zn zzn n H q nqE cq iH 22 ρρ εω ϕ − ∂ ∂ = ; (10) ρ ω ρϕ ∂ ∂ −−= zn zn z n H cq iE q nqE 22 . (11) Неизвестные константы 1C , 2C , 1F , 2F определяются из граничных условий на поверх- ности 0ρρ = , где непрерывны тангенциальные составляющие электрического поля znE и nEϕ , а компоненты магнитного поля znH и nHϕ пре- терпевают разрыв. Разрывы вызваны токами nzzn Qvj = и nn Qvj ϕϕ = , а их величины находятся в результате интегрирования уравнений Макс- велла по ρ . Таким образом, получим )()()( 0 0201 zzHznzn vqn c ev HH −+=− ωωδ ρπ ρρ ϕ , )()()( 0 0201 zzH z nn vqn c evHH −+=− ωωδ ρπ ρρ ϕϕ . Система уравнений для нахождения констант при 02 >q имеет вид ,0)()( 0201 =− ρρ qHCqJC nn (12) ),( )()( 2 0 0201 zzH zz nn vqnq c v q ie qHCqJC −+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= =′−′ ωωδ ε ω πρ ρρ ,0)()( 0201 =′−′ ρρ qHFqJF nn ),( )()( 0 0201 zzH nn vqn c ev qHFqJF −+= =− ωωδ ρπ ρρ ϕ где штрих означает производную функции по ее аргументу. Из (12) находим ).()( 2 ),()( 2 01 02 1 zzHn zzHn zz vqnqH c ieqv F vqnqHq c ve C −+′−= −+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= = ωωδρ ωωδρ ε ω ϕ (13) Для 02 <q ).()( 2 ),()( 2 01 02 1 zzHn zzHn zz vqnkK c iekv F vqnkKq c vie C −+′−= −+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= = ωωδρ ωωδρ ε ω ϕ (14) 3. Поля излучения. При движении заря- женной частицы над цилиндром ее поля испыты- вают отражение и преломление на границе разде- ла сред. Возникают так называемые поля излуче- ния. В цилиндре компоненты поля связаны между собой соотношениями (10) и (11), в которых сле- дует заменить диэлектрическую проницаемость ε на диэлектрическую проницаемость цилиндра 1ε , а 2q на 222 1 2 1 / zqcq −= ωε ( 02 1 >q ). Диэлектриче- ская проницаемость 1ε , в принципе, может обла- дать частотной дисперсией. Считаем, что магнит- ное поле 0H не оказывает влияния на зависи- мость 1ε от частоты, т. е. циклотронная частота электронов проводимости меньше характерных частот среды с 1ε . Зависимости компонент znE и znH от ра- диуса находятся, соответственно, из уравнений (5) и (6), в которых 2q заменяется на 2 1q и 0=nQ . В результате получаем )( 11 ρqJAE nzn = , )( 11 ρqJBH nzn = . (15) А. В. Дормидонтов и др. / Потери энергии заряженной… _________________________________________________________________________________________________________________ 32 Такая зависимость поля от радиуса выбрана с учетом условий его конечности при 0→ρ . В области 01 ρρρ <≤ наряду с полями частицы, которым в дальнейшем приписываем верхний индекс e, существуют поля, отраженные от поверхности цилиндра. Как обусловлено ви- дом δ-функции в выражениях (13) и (14), зависи- мость поля частицы от координаты z пропор- циональна zH vniz /\|)\|(exp ωω − , где учтен отри- цательный заряд частицы в циклотронной частоте. В таком же виде ищем зависимость поля излуче- ния от координаты z. Поскольку =zq zH vn /\|)\|( ωω −= , то 2q может быть положи- тельной или отрицательной величиной. Это опре- деляется номером гармоники циклотронной час- тоты, который соответствует порядку n цилинд- рической функции. Если 02 >q (в вакууме это условие реализуется, если 22 )/1( ωωβ Hn+> , где cvz /=β ), то поля излучения описываются функ- циями Ганкеля первого рода, убывающими с ос- цилляциями при ∞→ρ . Тогда в области 01 ρρρ <≤ аксиальные компоненты поля имеют вид )( ρqAHEE n e znzn += , )( ρqBHHH n e znzn += , в которых компоненты поля частицы e znE и e znH определяются соотношениями (8) с учетом по- стоянных 1C и 1F (13): ).()()( 2 ),()()( 2 0 0 2 zzHnn e zn zzHnn zze zn vqnqJqH c qve H vqnqJqH q c veE −+′−= = −+× ×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−= ωωδρρ ωωδρρ ε ω ϕ (16) При 02 <q , когда поля излучения описываются экспоненциально-убывающими функциями Мак- дональда, имеем )( ρkAKEE n e znzn += , )( ρkBKHH n e znzn += , (17) где e znE и e znH определяются соотношениями (9) с учетом постоянных 1C и 1F (14). Константы 1A , 1B , A и B определяются из граничных условий – непрерывности танген- циальных составляющих электрического и маг- нитного полей на цилиндрической поверхности 1ρρ = . При 02 >q имеем следующую систему уравнений: ),()()( 11111 ρρρ qJAEqAH n e znn =+ (18) ),()()( 11111 ρρρ qJBHqBH n e znn =+ ),()( )()()( 11 1 111 1 2 1 1 111 1 2 ρωρ ρ ρρωρ ρ ϕ qJ cq iBqJ q nqA EqH cq iBqH q nqA nn z e nnn z ′−−= =+′−− ).()( )()()( 11 1 2 1 1111 1 1 11 1 21 ρ ρ ρεω ρρ ρ ρεω ϕ qJ q nqBqJ cq iA HqH q nqBqH cq iA n z n e nn z n −′= =+−′ В результате решения системы уравнений (18) находим, что ,1 n nA Δ Δ = .2 n nB Δ Δ = (19) Главный nΔ и вспомогательные n1Δ и 2nΔ опре- делители системы (18) имеют вид , )( )(1 )( )(111 1 1 11 11 1 1 1 1 11 11 1 2 2 2 22 1 2 1 22 1 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ − ′ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤′ − ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ′ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −× ×=Δ )( )( )( )( )( ρ ρε ρ ρε ρ ρ ρ ρω ρ ρ qH qH qqJ qJ qqH qH q qJ qJ qcqq qn qH n n n n n n n nz nn (20) ,1 )( )(1 11 2 1 1 11 11 1 122 11 11 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ − ′ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=Δ n n n n n n z nn f qH qH qqJ qJ qc i f qq nqqH )( )( )( ρ ρ ρ ρω ρ ρ , )( )( 11 1 1 1 11 11 1 1 222 11 12 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ − ′ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−=Δ n n n n n n z nn f qH qH qqJ qJ qc i f qq nqqH )( )( )( ρ ρε ρ ρεω ρ ρ где );( )( )( )()( 1 11 11 1 1 1 2 1 11 ρ ρ ρω ρ ρ ρϕ e zn n n e zn ze nn H qJ qJ cq i E q nqEf ′ − −−−= ).( )( )( )()( 1 11 111 1 1 1 2 1 12 ρ ρ ρεω ρ ρ ρϕ e zn n n e zn ze nn E qJ qJ cq i H q nqHf ′ − −+= При 02 <q составляющие поля znE и znH описы- ваются следующими формулами: в цилиндре – (15), А. В. Дормидонтов и др. / Потери энергии заряженной… _________________________________________________________________________________________________________________ 33 вне цилиндра – (17). Тогда в (19) определители nΔ , n1Δ и 2nΔ приобретают вид , )( )( )( )( )( )(1 )( )(111 )( 1 1 11 11 1 1 1 1 11 11 1 2 2 2 22 1 2 1 22 1 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ + ′ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤′ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ′ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +× ×=Δ ρ ρε ρ ρε ρ ρ ρ ρω ρ ρ kK kK kqJ qJ qkK kK k qJ qJ qckq qn kK n n n n n n n nz nn (21) , )( )(1 )( )(1 11)( 2 1 1 11 11 1 122 11 11 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ + ′ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +=Δ n n n n n n z nn f kK kK kqJ qJ qc i f kq nqkK ρ ρ ρ ρω ρ ρ . )( )( )( )( 11)( 1 1 1 11 11 1 1 222 11 12 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ + ′ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−=Δ n n n n n n z nn f kK kK kqJ qJ qc i f kq nqkK ρ ρε ρ ρεω ρ ρ 4. Потери энергии частицы. Если ди- электрические проницаемости 1ε и ε не обладают частотной дисперсией, то в такой системе су- ществуют собственные колебания только в слу- чае, когда 02 1 >q . Дисперсионное уравнение собст- венных колебаний находится из условия .0=Δn Потери энергии W частицы на излучение в единицу времени t определяются выражением (7). Тогда .),,( ),,( 0 02 0 zzzn n zzn z z dqqH cq v i qE q vnq vde dt dW ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ′− ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∑ ∫∫ ∞ −∞= ∞ ∞− ∞ ∞− ωρ ω ωρ ρ ω ϕ ϕ В этой формуле znE и znH являются суперпози- цией поля частицы и поля излучения. Таким образом, .)( )( ),,( ),,( 0 2 02 0 1 0 02 0 zn n n n z z n n z e zn z e zn z z n dqqH cq v i qH q vnq v qH cq v i qE q vnq vde dt dW ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ′ Δ Δ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − Δ Δ + +′− ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∫∑ ∫ ∞ ∞− ∞ −∞= ∞ ∞− ρ ω ρ ρ ωρ ω ωρ ρ ω ϕ ϕ ϕ ϕ Интегрирование распространяется на область частот, где выполняется условие 02 1 >q . Первое и второе слагаемое в фигурной скобке описывают потери энергии частицы на возбуждение полей в безграничной среде. Третье и четвертое слагае- мое определяют потери энергии частицы на воз- буждение волн в цилиндре. При этом ),()( 00 1 ρρ znn n n EqH = Δ Δ )()( 00 2 ρρ znn n n HqH = Δ Δ являются значениями продольных спектральных компонент полей в точке нахождения частицы, порожденных отраженными волнами от поверх- ности цилиндра 1ρρ = . 4.1. Прежде всего рассмотрим потери энергии частицы ( dtWd /′ ) на возбуждение волн в безграничной среде. Используя выражения (16) для компонент e znE и e znH , получим ] .)()()( )()( 2 00 2 2 002 0 2 2 zzzHnn nn z z n zz dqvqnqHqJ c v qHqJ q vnq v q c vde dt Wd −+′′× ×− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −× ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−= ′ ∑ ∫∫ ∞ −∞= ∞ ∞− ∞ ∞− ωωδρρ ω ρρ ρ ε ω ω ϕϕ (23) В формуле (23) перейдем к суммированию и ин- тегрированию по положительным значениям n , zq и ω , принимая во внимание, что согласно [9] ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ <−= >+= ≡ ,0),()()( ,0),()()()( )2( )1( ωρρρ ωρρρρ qiNqJqH qiNqJqHqH nn nn n (24) где )( ρqN – функция Неймана. Проинтегрировав выражение (23) по zq , при 12 >εβ имеем ,)()( 1 1 )()( 1 1 )()()1( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 0 0 2 02 2 0 2 0 2 2 ω ω ωεβ ω ωεβ ω ωεβ ω ωεβ εβ ε ω ϕ ϕ ϕ dxJ c v xJ n n xJ c v xJ n n xJ c v xJ v e dt Wd nn H H n nn H H z ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ′+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− + ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +′+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′+−−= ′ ∑ ∫ ∞ где 1 \|\| 2 0 −= εβ ω ωϕ Hzv v x ; ; 2 2 2 2 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−= HHz n v v x ω ωεβ ω ωϕ (22) (25) А. В. Дормидонтов и др. / Потери энергии заряженной… _________________________________________________________________________________________________________________ 34 2 2 2 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−= HHz n v v x ω ωεβ ω ωϕ . Формула (25) справедлива, когда 1x и 2x являются веществен- ными. Это означает, что магнитно-тормозное из- лучение частицы реализуется в ограниченном интервале частот и азимутальных волновых чисел n: cnn ≤≤1 . Для второго слагаемого в выраже- нии (25) \|\|/)1( Hcn ωεβω += , а для третьего – \|\|/)1( Hcn ωεβω −= . Отметим, что при 02 >q формулу (25) можно получить, не прибегая к граничным усло- виям при 0ρρ = . Действительно, представим по- ля частицы в виде разложения по функциям Бес- селя ( 0ρρ < ): ∫ ∞ = 0 )(),,( κκρωκκ dJqEE nz e zn e zn ; (26) ∫ ∞ = 0 )(),,( κκρωκκ dJqHH nz e zn e zn . (27) Такое представление обусловлено тем, что плот- ность заряда nQ в уравнениях (5) и (6) можно представить в виде .)()()( )2( 0 02 ∫ ∞ −+= = κκρκρκωωδ π dJJvqne Q nnzzH n Тогда из уравнений (5) и (6) находим ;)()( ),,( 2202 q vqnJq c vie qE zzH n zz z e zn − −+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= = κ ωωδ κρ ε ω π ωκ (28) .)()( ),,( 220 q vqnqJ c ev qH zzH n z e zn − −+′−= = κ ωωδ ρ π κ ωκ ϕ (29) При интегрировании в (26) и (27) по κ учитыва- ем особенность подынтегральных функций (28) и (29), содержащих полюс 22222 / zqcq −== εωκ . Обход этой особой точки определяется малой мни- мой частью диэлектрической проницаемости ε. В результате при 1=ε (в вакууме) получим ),()()( 2 0 2 zzHnn z ze zn vqnqJqJ q c veE −+× ×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−= ωωδρρ ω )()()( 2 0 0 zzHn ne zn vqnqJqJ c veiH −+ ∂ ∂ −= ωωδρ ρ ρϕ . Видно, что эти поля немного отличаются от вы- ражений (16). Однако, имея в виду соотноше- ние (24), можно убедиться, что согласно (4) поля ),( tE ρ и ),( tH ρ совпадают в обоих случаях. Отметим, что выражение (25) отличается от результатов Дж. Бекефи (формула 6.15 [10]) тем, что в нем найдены потери энергии частицы как на черенковское излучение 12 >εβ , так и на магнитно-тормозное излучение. При 0=ϕv и 0\|\|/0 == Hv ωρ ϕ мы получим выражение для потерь энергии частицы в единицу времени, аналогичное формуле (115.3), приведенной в книге [11]. В принципе, может быть реализован случай, когда 0=ϕv , но 0ρ отлично от нуля (имеется в виду заряженное кольцо, движущееся с поступательной скоростью zv ). Тогда фор- мула (25) для потерь энергии заряженного кольца на черенковское излучение принимает вид ,)()1( 0 0 2 0 2 2 ∫ ∞ − − = ′ ωεβ ε ω dxJ v e dt Wd z s (30) где se – заряд кольца. В этом случае возникают особенности потерь энергии в единицу времени на излучение, связанные с поведением квадрата функции Бесселя. Видно, что потери энергии за- ряженного кольца обращаются в нуль, если 0ρq совпадает с корнями функции Бесселя нулевого порядка. Зависимость спектральной плотности потерь энергии заряженного кольца в единицу времени (подынтегрального выражения в (30)) представлена на рис. 2. Ее особенность связана с тем, что поле кольца описывается осциллирую- щей функцией частоты. Рис. 2. Частотная зависимость спектральной плотности потерь энергии в единицу времени заряженного кольца с радиусом 4 см, которое движется прямолинейно со скоростью 0,8c в среде с ε = 2,04 Следует обратить внимание, что фор- мула (25) при 1=ε и 22 )/\|\|1( ωωβ Hn−> опи- сывает только магнитно-тормозное излучение заряженной частицы в безграничной среде и при- обретает вид 0,00 –0,02 –0,04 –0,06 –0,08 –0,10 10 26 (d W ′/d t) ω , В т 0 10 20 30 40 50 ω/2π, ГГц А. В. Дормидонтов и др. / Потери энергии заряженной… _________________________________________________________________________________________________________________ 35 .)()( 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 0 2 ω ω ωβ ω ωβ ω ϕ dxJ c v xJ n n v e dt Wd nn H H nz ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ′+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− × ×−= ′ ∑∫ ∞ (31) Здесь интегрирование по ω и суммирование по n осуществляются в области, для которой выполня- ется условие \|\| 1 \|\| 1 HH n ω β ωω β + << − . (32) На рис. 3 приведены зависимости гармо- ник (спектральных составляющих) плотности потерь энергии электрона от его азимутальной скорости. Электрон движется в вакууме с про- дольной скоростью c8,0 по спиральной траекто- рии в продольном магнитном поле с напряжен- ностью 0H , равной 2 (кривая 1) или 4 кЭ (кри- вая 2). Из рисунка следует, что при фиксирован- ных значениях n потери энергии частицы на из- лучение растут с увеличением ее азимутальной (поперечной) скорости ϕv , причем излучение на высоких гармониках имеет осциллирующий ха- рактер. С ростом n уровень потерь энергии час- тицы уменьшается, а также сужается интервал скорости вращательного движения ϕv , в котором реализуется магнитно-тормозное излучение. При стремлении скорости частицы v к скорости света c потери ее энергии исчезают. Отметим, что каждая гармоника вносит различный вклад в общие по- тери энергии частицы на излучение. ___________________________________________ 2 1 2 1 2 1 2 а) б) в) г) Рис. 3. Зависимости гармоник спектральной плотности потерь энергии электрона на частоте 30 ГГц от его азимутальной скорости: а) – n = 1; б) – n = 2; в) – n = 10; г) – n = 30 ___________________________________________ На рис. 4 приведены зависимости спект- ральной плотности потерь энергии электрона от величины его азимутальной скорости. Продоль- ная скорость электрона равна 0,8c. Кривые 1 и 2 соответствуют его движению во внешних про- дольных магнитных полях с напряженностями 2 и 4 кЭ соответственно. Видно, что спектральная плотность потерь энергии имеет осциллирующий характер. С ростом ϕv вначале потери энергии частицы растут. Однако с некоторых значений ϕv определенный набор гармоник, участвующих в формировании магнитно-тормозного излучения, изменяется. При этом исчезают низшие (с малым индексом n) гармоники, дающие наибольший энергетический вклад в излучение. В результате имеются интервалы скоростей ϕv , в которых по- тери энергии частицы убывают с ростом ϕv , при- чем при исчезновении высокоэнергетических гармоник, особенно при движении частицы в большом магнитном поле, наблюдается почти «скачкообразное» убывание потерь ее энергии на излучение. Из рис. 4 видно, что существуют ско- рости вращательного движения электрона, при которых наблюдаются максимумы потерь его энергии на излучение. При скорости электрона cv → потери его энергии исчезают. Отметим, что с ростом напряженности внешнего магнитно- го поля 0H потери энергии частицы на излуче- ние растут. 0,0 0,2 0,4 0,6 vϕ /c 1 2 Рис. 4. Зависимости спектральной плотности потерь энергии электрона на частоте 30 ГГц от азимутальной скорости На рис. 5 приведена зависимость ω)/( dtWd ′ от величины напряженности внешнего 0,0 –0,2 –0,4 –0,6 –0,8 0,0 0,2 0,4 0,6 νω /c 10 26 (d W ′ /d t) ω , В т 1 2 0,0 –0,3 –0,6 0,0 0,1 0,2 0,3 νω /c 10 26 (d W ′ /d t) ω , В т 1 2 0,0 –0,2 –0,4 0,0 0,2 0,4 νω /c 10 26 (d W ′ /d t) ω , В т 0,00 –0,02 –0,04 –0,06 0,4 0,5 0,6 νω /c 10 26 (d W ′ /d t) ω , В т 0,000 –0,005 –0,010 0,015 0,58 0,59 0,60 νω /c 10 26 (d W ′ /d t) ω , В т 1 2 1 22 А. В. Дормидонтов и др. / Потери энергии заряженной… _________________________________________________________________________________________________________________ 36 магнитного поля. Электрон движется по спираль- ной траектории в вакууме с продольной ско- ростью c8,0 и азимутальной скоростью 0,5c. Рис. 5. Зависимость спектральной плотности потерь энергии электрона на частоте 30 ГГц от напряженности внешнего продольного магнитного поля Как видно, спектральная плотность по- терь энергии имеет осциллирующий характер, а средний уровень потерь энергии растет с увели- чением Н0. Это обусловлено тем, что при малых значениях напряженности внешнего магнитного поля в формировании магнитно-тормозного излу- чения не участвуют низшие (с малым индексом n) гармоники, что следует из условия (32). С ростом Н0 определенный набор гармоник в потерях энер- гии частицы (31) изменяется, причем появляется энергетический вклад низших гармоник, а исче- зает вклад высших гармоник. Появление низших гармоник сопровождается более весомым вкла- дом в рост потерь энергии частицы на излу- чение, чем исчезновение вклада высших гармо- ник в их убывание. В результате имеются интер- валы значений напряженности внешнего магнит- ного поля, в которых наблюдается почти «скачко- образный» рост потерь энергии частицы на магнитно-тормозное излучение. На рис. 6 приведены зависимости спект- ральных плотностей потерь энергии электрона (подынтегрального выражения в (31)) на излуче- ние от частоты при его движении в продольных магнитных полях с напряженностями 0H по спи- ральным траекториям с ларморовскими радиуса- ми 0ρ в безграничной среде с ε = 1. С ростом частоты излучаемой волны средний уровень по- терь энергии частицы в единицу времени вначале возрастает, а затем убывает. При этом, чем больше значение напряженности внешнего магнитного поля, тем шире интервал частот магнитно- тормозного излучения. Ограниченность частотных диапазонов спектральных составляющих (рис. 7) и их неравнозначность вкладов в потери энергии частицы на излучение приводят к осциллирую- щей зависимости спектральной плотности потерь энергии в единицу времени от частоты. Это осо- бенно проявляется в области низких частот (рис. 6). Максимумы спектральных плотностей потерь энергии частицы, движущейся в вакууме с постоянной продольной скоростью по спираль- ной траектории, определяются значениями ее азимутальной (поперечной) скорости и напря- женности внешнего аксиального магнитного поля и наблюдаются на частотах, близких к частотам, кратным )1/( βω −H (рис. 6). ___________________________________________ 0 100 200 300 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0 20 40 -0,10 -0,05 0,00 1 2 10 26 (d W ' /d t) ω , В т ω /2π , ГГц 3 4 0 20 40 60 80 -1,6 -1,4 -1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 10 26 (d W ' /d t) ω , В т ω /2π , ГГц 1 2 3 4 0 10 20 30 40 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 10 26 (d W ' /d t) ω , В т ω /2π , ГГц 1 2 3 4 а) б) в) Рис. 6. Зависимости спектральной плотности потерь энергии от частоты излучения электрона, движущегося в вакууме с продоль- ной скоростью 0,8c по спиральной траектории с радиусом ρ0 = 0,2 см (а); 1,2 см (б) и 4 см (в) в продольном магнитном поле с на- пряженностью H0, кЭ: 1 – 0,8; 2 – 2; 3 – 4; 4 – 10 ___________________________________________ На рис. 7 приведены зависимости спект- ральных составляющих (гармоник) плотности потерь энергии электрона от частоты его магнитно- тормозного излучения в вакууме. Видно, что каждая гармоника вносит энергетический вклад в потери энергии на излучение в ограниченном интервале частот ,ωΔ который согласно (32) определяется выражением . 1 \|\|2 2β ωβ ω − =Δ Hn 0 –1 –2 –3 0 2 4 6 8 10 H0, кЭ 10 26 (d W ′ /d t) ω , В т 1 2 0,0 –0,5 –1,0 –1,5 –2,0 –2,5 –3,0 –3,5 –4,0 0 100 200 300 ω /2π, ГГц 0 20 40 60 80 ω /2π, ГГц 0 10 20 30 40 ω /2π, ГГц 1 1 2 2 3 3 3 4 44 0,0 –0,2 –0,4 –0,6 –0,8 –1,0 –1,2 –1,4 –1,6 0,0 –0,1 –0,2 –0,3 –0,4 –0,5 А. В. Дормидонтов и др. / Потери энергии заряженной… _________________________________________________________________________________________________________________ 37 0 4 8 12 ω /2π , ГГц 1 2 0 10 20 ω /2π , ГГц 1 2 30 60 90 ω /2π , ГГц 1 2 100 200 300 ω /2π , ГГц 1 2 а) б) в) г) Рис. 7. Зависимости спектральных составляющих (n = 1 (а); 2 (б); 10 (в) и 30 (г)) плотности потерь энергии от частоты излучения электрона, движущегося в вакууме с продольной скоростью 0,8c по спиральной траектории с радиусом 1,2 см в продольном маг- нитном поле с напряженностью H0, кЭ: 1 – 0,8; 2 – 4 ___________________________________________ Отметим, что увеличение напряженности внеш- него магнитного поля 0H приводит к расшире- нию частотного диапазона ωΔ и росту уровня потерь энергии электрона в единицу времени. Таким образом, за счет поступательного движе- ния частицы расширяется область частот магнитно- тормозного излучения частицы (расширяется ре- зонансная линия). Для каждой гармоники макси- мум потерь энергии электрона наблюдаются на частоте, близкой к частоте )1/(\|\| βω −Hn . 4.2. Обратим внимание на потери энергии частицы, движущейся в вакууме по спирали над идеально проводящим цилиндром. Тангенциаль- ные составляющие поля над поверхностью ци- линдра описываются выражениями ;)()( )( 2 02 zzHn nz z nzn vqnqJ qJq c veqAHE −+× ×⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−= ωωδρ ρωρ )( (33) .)()()( )()( 2 ) 02 022 2 zzHnn nnz zz nn z n vqnqJqJ c v qJqJq c v q nqe qHB cq iqAH q nqE −+⎥ ⎦ ⎤ ′′− ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ +′−−= ωωδρρ ω ρρω ρ ρωρ ρ ϕ ϕ ()( (34) На поверхности 1ρρ = выполняются условия равенства нулю компонент znE и nEϕ . Из этих условий определяются константы A и B, которые имеют вид ),( )( )()( 2 1 10 2 zzH n nn z z vqn qH qJqJ q c veA −+× ×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= ωωδ ρ ρρ ω ).( )( )()( 2 1 10 zzH n nn vqn qH qJqJ c ieqv B −+ ′ ′′ = ωωδ ρ ρρϕ Отметим, что выполнение условия =)( 1ρϕnE 0)( 1 == ρznE сводится к равенству нулю произ- водной тангенциальной составляющей магнитного поля при 1ρρ = . Подставляя величины полей (33) и (34) в формулу (7), получим выражение для поте- ри энергии частицы, пролетающей по спирали над идеально проводящим цилиндром: } ,)]()()()([ )()( )()( )]()()()([ )()( )()( \|\|1 \|\|1 00101000 10 2 10 2 1000 2 2 00101000 10 2 10 2 1000 2 2 2 2 0 2 ωρρρρ ρρ ρρ ρρρρ ρρ ρρ ω ωβ ω ωβ ω ϕ dqNqJqNqJ qNqJ qNqJ c v qNqJqNqJ qNqJ qNqJ n n v e dt dW nnnn nn nn nnnn nn nn n H H z ′′−′′× × ′+′ ′′ + +−× × + × × ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− −= ∑ ∫ ∞ где 2 2 0 \|\|1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−= ω ωβω H z n v q и суммирование по n осуществляется в ограниченной области \|\|/)1(\|\|/)1( HH n ωωβωωβ +<<− . При 01 →ρ получим выражение (31). Зависимости спектральных плотностей потерь энергии электрона в единицу времени на излучение от частоты представлены на рис. 8. Электрон движется с продольной скоростью cvz 8,0= по спиральной орбите с радиусом 0ρ соосно идеально проводящему цилиндру с радиу- сом 1ρ в продольном магнитном поле с напря- женностью .0H Наличие проводящего цилиндра приводит к снижению уровня потерь энергии час- тицы в единицу времени на магнитно-тормозное излучение из-за интерференции излученной ею волны и отраженной волны от поверхности ци- линдра. Причем чем больше радиус проводящего цилиндра и, соответственно, ларморовский ради- ус частицы, тем значительнее меньше потери энергии частицы на излучение по сравнению с ее 0,00 –0,05 –0,10 0,0 –0,4 –0,8 0 4 8 12 ω /2π, ГГц 10 26 (d W ′ /d t) ω , В т 1 0,0 –0,2 –0,4 0 10 20 ω /2π, ГГц 10 26 (d W ′ /d t) ω , В т 0,00 –0,02 –0,04 30 60 90 ω /2π, ГГц 10 26 (d W ′ /d t) ω , В т 100 200 300 ω /2π, ГГц 10 26 (d W ′ /d t) ω , В т 1 2 11 2 2 2 А. В. Дормидонтов и др. / Потери энергии заряженной… _________________________________________________________________________________________________________________ 38 движением в безграничной вакуумной среде. Энергия электромагнитного излучения равномер- но движущейся частицы, вызванного эффектом Доплера, имеет осциллирующий характер из-за ограниченности частотных диапазонов спект- ральных составляющих и неравнозначности их вкладов в ее спектральную плотность потерь энергии. Как и при движении электрона в безгра- ничной вакуумной среде, максимумы спектраль- ных плотностей потерь энергии частицы в едини- цу времени наблюдаются на частотах, которые близки к частотам, кратным )1/( βω −H . ___________________________________________ 0 100 200 300 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0 20 40 -0,06 -0,03 0,00 1 2 10 26 (d W /d t) ω , В т ω /2π , ГГц 3 4 0 20 40 60 80 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 10 26 (d W /d t) ω , В т ω /2π , ГГц 1 2 3 4 0 10 20 30 40 -0,10 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 10 26 (d W /d t) ω , В т ω /2π , ГГц 1 2 3, 4 а) б) в) Рис. 8. Зависимости спектральной плотности потерь энергии от частоты излучения электрона, движущегося в вакууме с продоль- ной скоростью 0,8c по спиральной траектории с радиусом ρ0 = 0,2 см (а); 1,2 см (б) и 4 см (в) соосно металлическому цилиндру с радиусом ρ1 = 0,1 см (а); 1 см (б) и 3,9 см (в) в продольном магнитном поле с напряженностью H0, кЭ: 1 – 0,8; 2 – 2; 3 – 4; 4 – 10 ___________________________________________ 4.3. Рассмотрим потери энергии заряжен- ной частицы, движущейся в вакууме ( 1=ε ) по спиральной траектории, на возбуждение колеба- ний в цилиндре с диэлектрической проница- емостью 1ε . Для удобства введем обозначение .)( )(1),,( 20 102 0 0 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ Δ′− ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −Δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − Δ =Φ nn nn z z n zn qH cq v i qH q vnq vq ρ ω ρ ρ ωρ ϕ ϕ Тогда потери энергии частицы (22) запишутся следующим образом: { .с.к)],,(),,([ ),,( 00 0 00 0 + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ Φ+Φ+ +Φ= ∑ ∫∫ − ∞∞ z n znzn z dqqq qde dt dW ωρωρ ωρω (35) Определим потери энергии частицы (макрочастицы в виде кольца) на возбуждение собственных колебаний цилиндра с симметричной модой ( 0=n ). Для этого случая дисперсионное уравнение собственных колебаний 00 =Δ (21) распадается на два независимых соотношения, соответствующие колебаниям E-типа с состав- ляющей 0=zH и колебаниям H-типа с 0=zE . Так как при 0=n zz vq /ω= и 2222 /)1( zvq ωβ−−= является отрицательной ве- личиной, то зависимости продольных компонент полей от радиуса ρ в вакуумной области 1ρρ > имеют вид (17). В этом случае дисперсионные уравнения находим из соотношений: – для колебаний H-типа ;0)( )( 1 1 1 )( )( 1 1 1 1 10 10 2 1 110 1101 2 = ∂ ∂ − + + ∂ ∂ − ρ ρ ρβ ρ ρ ρεβ kK kK qJ qJ – для колебаний E-типа .0)( )( 1 1 1 )( )( 1 1 1 10 10 2 1 110 1101 2 1 = ∂ ∂ − + + ∂ ∂ − ρ ρ ρβ ρ ρ ρεβ ε kK kK qJ qJ (36) Зависимость частоты собственных сим- метричных волн pω фторопластового ( 1ε = 2,04) цилиндра с радиусом 1ρ = 3,9 см от волнового числа zq (решения уравнения (36)) приведена на рис. 9, кривая 1. Здесь p является двойным мо- довым индексом, состоящим из азимутального n = 0 и радиального s = 1, соответствующего по- рядковому номеру корня уравнения (36). Прямая 2 отображает зависимость частоты излучения заря- женного кольца (или частицы) от волнового чис- ла: zzvq=ω . Кольцо с зарядом se движется в вакууме прямолинейно с продольной скоростью cvz 8,0= параллельно образующей диэлектриче- ского цилиндра. В режиме резонанса (точка пере- сечения зависимостей 1 и 2) осуществляется че- 1 2 0,0 –0,5 –1,0 –1,5 –2,0 –2,5 –3,0 0 100 200 300 ω /2π, ГГц 0 20 40 60 80 ω /2π, ГГц 0 10 20 30 40 ω /2π, ГГц 1 1 2 2 3, 4 3 3 44 0,0 –0,2 –0,4 –0,6 –0,8 –1,0 0,00 –0,02 –0,04 –0,06 –0,08 –1,10 А. В. Дормидонтов и др. / Потери энергии заряженной… _________________________________________________________________________________________________________________ 39 ренковское излучение в цилиндре при расстоянии между его боковой поверхностью и макрочасти- цей, не превышающим длину волны излучения [1]. 0,0 0,2 0,4 1,0 1,5 2,0 2,5 1 1 2 Рис. 9. Дисперсионные зависимости собственной симметрич- ной моды фторопластового цилиндра 1 и излучаемой волны заряженного кольца 2 После интегрирования по zq в выраже- нии (35) получим .)( )( )()( 1 2 )( )( )()()1(2 0 10 100 2 02 22 2 0 22 0 10 100 2 01 22 ∫ ∫ ∞ ∞ ′ − − − − −= = ωδ ρ ρργ β ρω ωδ ρ ρργωβ db kK kIkKk c e da kK kIkK v e dt dW H z (37) Здесь ;)( )( 1 1 1 )( )( 1 1 1 10 10 2 1 110 1101 2 1 1 ρ ρ ρβ ρ ρ ρεβ εγ ∂ ∂ − + + ∂ ∂ − = kI kI qJ qJ ;)( )( 1 1 1 )( )( 1 1 1 1 10 10 2 1 110 1101 22 ρ ρ ρβ ρ ρ ρεβ γ ∂ ∂ − + + ∂ ∂ − = kI kI qJ qJ ;)( )( 1 1 1 )( )( 1 1 1 10 10 2 1 110 1101 2 1 ρ ρ ρβ ρ ρ ρεβ ε ∂ ∂ − + + ∂ ∂ − = kK kK qJ qJ a . )( )( 1 1 1 )( )( 1 1 1 1 10 10 2 1 110 1101 2 ρ ρ ρβ ρ ρ ρεβ ∂ ∂ − + + ∂ ∂ − = kK kK qJ qJ b При получении выражения (37) учитыва- лось, что малая мнимая часть диэлектрической проницаемости 1ε ′′ является положительной ве- личиной при 0>ω . Кроме того, использовалось соотношение aPaiia /)()/(1lim 0 +−=+ +→ πδξ ξ , где P – главное значение интеграла. Первое слагае- мое в (37) описывает потери энергии частицы, обусловленные ее чисто поступательным движе- нием вдоль оси Z. Второе – связано с ее движени- ем по спиральной траектории. В первом случае возбуждаются в цилиндре собственные колебания Е-типа с 0=zH и законом дисперсии 0=a , во втором – Н-типа с 0=zE и 0=b . Определим потери энергии частицы на возбуждение собственных колебаний при выпол- нении неравенств 222 / zqc <ω и 222 1 / zqc >ωε (т. е. 2 1 2 )/\|\|1( ωωεβ Hn−> ). В этом случае, как уже упоминалось выше, продольные компоненты электромагнитного поля описываются соотноше- ниям (15) и (17). Потери энергии частицы на воз- буждение собственных колебаний (35) приобре- тают вид к.c.)( )(1 20 0 102 00 + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ Δ′− ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −Δ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + Δ = ∫∑∫ ∞∞ znn nn z z nn dqkK ck v i kK k vnq vde dt dW ρ ω ρ ρ ω ϕ ϕ Здесь ,nΔ ,1nΔ n2Δ определяются из соотноше- ний (21). После ряда несложных, но громоздких вычислений получим выражения для спектраль- ной плотности потерь энергии частицы в единицу времени на частоте pωω = . Частота pω опреде- ляется из условия .0=Δn Приняв во внимание полюс, после интегрирования получаем ,)()( )()( )( )( )( 1 2)( 0 00 0200 200 0 100 2 00 0 00 10 1 2 0 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −× × ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ Δ′−Δ× ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + Δ′ × ×−= ∑ ρ ρ αδ ω ρ ρ δ αω ρ ρρ ρ ρ ω ω ω ϕ ϕ ϕ kK c v q c v kK kK ck v kK k vnq v kK kK k cv e dt dW n z zp n nn p nn n z z n np pn z p где ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += 2 0 2 101 0 11 kq nqz ρ α ; ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ = 1 110 110 2 10 )( )( 11 ρ ρ ρ ω δ qJ qJqc n n p ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ∂ ∂ + 1 10 10 2 0 )( )( 11 ρ ρ ρ kK kKk n n ; ;)( p n pn ωωω ω =∂ Δ∂ =Δ′ 40 30 20 10 0 0 4 8 12 qz, см –1 ω /2 π, Г Гц 1 1 2,5 2,0 1,5 1,0 0,0 0,2 0,4 2 А. В. Дормидонтов и др. / Потери энергии заряженной… _________________________________________________________________________________________________________________ 40 0k – значение k на частоте собственной волны цилиндра pω (т. е. 2 0 2 0 qk −= ). Отметим, что в случае, когда 2 1 2 )/\|\|1( ωωεβ Hn−< (т. е. 222 1 / zqc <ωε , что тождественно 02 1 <q ) и 1ε не имеет частотной дисперсии (другими словами, 11 >ε ), в рассмат- риваемой структуре отсутствуют собственные колебания. Следовательно, заряженная частица не теряет энергию. Выводы. Таким образом, решена задача о потерях в единицу времени энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории. Найдены поля, создаваемые частицей, и проана- лизированы их структуры. Эти поля представля- ют собой набор пространственно-временных гар- моник (спектральных составляющих). Каждая составляющая поля характеризуется частотой и волновым вектором (волновым числом). В случае прямолинейного движения заряженной частицы электромагнитное поле, создаваемое ею, является аксиально-симметричным и в цилиндрической системе координат не зависит от угловой коорди- наты. Проекция волнового вектора поля на на- правление движения частицы (продольное волно- вое число) равняется отношению частоты к ско- рости частицы. Второй пространственной харак- теристикой составляющей поля является ради- альное (поперечное) волновое число. Если ско- рость частицы превосходит фазовую скорость волны, что реализуется в материальной среде, то возникает хорошо известное излучение Вавилова– Черенкова. При этом радиальное волновое число является действительной величиной, а зависи- мость амплитуды поля волны от радиуса описы- вается функцией Бесселя. Другими словами, поля частицы являются уходящими от нее волнами. Если же частица движется в вакууме, поперечное волновое число является мнимой ве- личиной. Электромагнитное поле локализуется вблизи частицы, а ее зависимость от радиуса опи- сывается модифицированной функцией Бесселя. Излучение Вавилова–Черенкова отсутствует. Электромагнитные поля, создаваемые заряжен- ным кольцом, движущимся в вакууме, также опи- сываются модифицированными цилиндрически- ми функциями. Поэтому при движении над ди- электрическим цилиндром кольцо теряет энер- гию, если в цилиндре возбуждаются собственные колебания, т. е. выполняется условие черенков- ского излучения. В этом случае зависимость поля волны от радиуса вне цилиндра описывается функцией Макдональда, а внутри цилиндра – функцией Бесселя. Значит, реализуется полное внутреннее отражение волны от поверхности ци- линдра. В постоянном магнитном поле, когда частица движется по винтовой линии, она пред- ставляет собой осциллятор, поле которого зави- сит от угловой координаты. Спектральная состав- ляющая поля дополнительно (по сравнению с прямолинейным движением) характеризуется азимутальным волновым числом. От его величи- ны и знака зависят продольное и поперечное вол- новые числа (такова специфика поля частицы). Таким образом, весь бесконечный набор спект- ральных составляющих поля разделяется на две группы в зависимости от азимутальных волновых чисел. Для одной из них поперечные волновые числа являются действительными величинами. Такие спектральные составляющие представляют собой уходящие от частицы волны. Они вызыва- ют потери энергии частицы в вакууме (магнитно- тормозное излучение). Нами показано, что присутствие метал- лического цилиндра приводит к снижению уров- ня потерь из-за интерференции в точке нахожде- ния частицы излученной волны и волны, отра- женной от его поверхности. Вторая группа спектральных составляю- щих поля с мнимыми поперечными волновыми числами обеспечивает потери энергии частицы на возбуждение собственных волн в диэлектриче- ском цилиндре. Волны внутри диэлектрического волновода характеризуются при этом действи- тельными поперечными волновыми числами. В работе получены выражения для по- терь энергии движущегося заряда, имеющие уни- версальный характер. Проанализированы различ- ные частные случаи, а именно: потери энергии заряженного кольца при поступательном движе- нии, потери энергии заряженной частицы при движении по спиральной траектории над метал- лическим или диэлектрическим цилиндром. Библиографический список 1. Релятивистские генераторы поверхностной волны с одно- и двумерно-периодическими структурами / Н. С. Гинз- бург, В. Ю. Заславский, А. М. Малкин, А. С. Сергеев // Журн. техн. физики. – 2012. – 82, № 12. – С. 84–97. 2. Квазиоптическая теория релятивистских генераторов поверхностной волны коаксиальной и цилиндрической геометрии / Н. С. Гинзбург, В. Ю. Заславский, А. М. Мал- кин, А. С. Сергеев // Журн. техн. физики. – 2013. – 83, № 2. – С. 119–128. 3. Автоколебательная система на основе диэлектрического резонатора с модами «шепчущей галереи» / А. В. Дорми- донтов, А. Я. Кириченко, Ю. Ф. Лонин и др. // Письма в Журн. техн. физики. – 2012. – 38, № 2. – С. 65–73. 4. Возбуждение миллиметровых волн сильноточным РЭП в диэлектрическом резонаторе / К. В. Галайдыч, Ю. Ф. Лонин, А. Г. Пономарев и др. // Вопросы атомной науки и техни- ки. – 2012. – № 3. – С. 174–178. 5. Nonlinear analysis of mm waves excitation by high–current REB in dielectric resonator / K. V. Galaydych, Yu. F. Lonin, A. G. Ponomarev et al. // Вопросы атомной науки и техни- ки. – 2012. – № 6. – С. 158–160. А. В. Дормидонтов и др. / Потери энергии заряженной… _________________________________________________________________________________________________________________ 41 6. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М.: Госиздат. техн.-теор. лит., 1951. – 659 с. 7. Иваненко Д. Классическая теория поля / Д. Иваненко, А. Соколов. – М.: Гостехиздат, 1949. – 432 с. 8. Ландау Л. Д. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М.: Наука, 1973. – 504 с. 9. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции: в 3 т. Т. 2 / Г. Бейтмен, А. Эрдейи; пер. с англ. Н. Я. Виленкина. – 2-e изд., стереотип. – М.: Наука, 1974. – 295 с. 10. Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме / Дж. Бекефи; пер. с англ. М. Д. Райзера, под ред. А. А. Веденова. – М.: Мир, 1971. – 437 с. 11. Ландау Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М.: Госиздат. техн.-теор. лит., 1957. – 532 с. Рукопись поступила 27.09.2013. A.V. Dormidontov, Yu. V. Prokopenko, S. I. Khankina, V. M. Yakovenko ENERGY LOSS OF CHARGED PARTICLE MOVING ALONG A SPIRAL PATH One of the topical problems of modern radiophysics and electronics is the study of the generation mechanisms of electromagnetic waves emitted in motion of charged particles in various electromagnetic systems. It is fundamentally important that the particle energy losses per unit time in the excitation of system eigenoscillations are included to the number descriptions of possible generation process. Knowledge of the energy losses allows us to find the increments and to determine the threshold conditions of oscillation instability when charged particles move in the system. In this paper, using Maxwell's equations and based on an integrated approach (analytical and numerical) the energy losses of a charged particle moving along a spiral path over the surface of the cylinder, which is a dielectric or metal, were determined. The conditions under which there is a gyrosynchrotron radiation of electromagnetic waves in the system were stated. The research results extend and systematize knowledge (our conceptions) about generation mechanisms of electromagnetic waves in electrodynamical systems that form the basis of microwave oscillators. Key words: Vavilov–Cerenkov radiation, gyrosynchrotron radiation, cyclotron resonance, particle energy losses by radiation. А. В. Дормидонтов, Ю. В. Прокопенко, С. І. Ханкіна, В. М. Яковенко ВТРАТИ ЕНЕРГІЇ ЗАРЯДЖЕНОЇ ЧАСТИНКИ, ЩО РУХАЄТЬСЯ ПО СПІРАЛЬНІЙ ТРАЄКТОРІЇ Однією з актуальних проблем сучасної радіофізики та електроніки є дослідження механізмів генерації електро- магнітних хвиль при русі заряджених частинок в різних електро- динамічних системах. При цьому до числа принципово важ- ливих характеристик можливого процесу генерування відно- сяться втрати енергії однієї частинки в одиницю часу на збудження в системі власних коливань. Знання втрат енергії дозволяє знайти інкременти та визначити порогові умови нестійкості коливань при русі потоків заряджених частинок в системі. З використанням рівнянь Максвелла на основі комп- лексного підходу (аналітичного і чисельного) нами знайдено втрати енергії зарядженої частинки, що рухається по спіраль- ній траєкторії над поверхнею циліндра, який є діелектриком або металом. Сформульовано умови, за яких виникає магнітно- гальмівне випромінювання електромагнітних хвиль у системі. Результати досліджень розширюють і систематизують знання (наші уявлення) про механізми генерування електромагнітних хвиль в електродинамічних системах, які складають основу мікрохвильових генераторів. Ключові слова: випромінювання Вавилова– Черенкова, магнітно-гальмівне випромінювання, магнітно- циклотронний резонанс, втрати енергії частинки на випромі- нювання.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-106049
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-821X
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T15:33:55Z
publishDate	2014
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
record_format	dspace
spelling	Дормидонтов, А.В. Прокопенко, Ю.В. Ханкина, С.И. Яковенко, В.М. 2016-09-15T16:50:42Z 2016-09-15T16:50:42Z 2014 Потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории / А.В. Дормидонтов, Ю.В. Прокопенко, С.И. Ханкина, В.М. Яковенко // Радіофізика та електроніка. — 2014. — Т. 5(19), № 1. — С. 29-41. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106049 537.86 С использованием уравнений Максвелла на основе комплексного подхода (аналитического и численного) нами найдены потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории над поверхностью цилиндра, который представляет собой диэлектрик или металл. Сформулированы условия, при которых возникает магнитно-тормозное излучение электромагнитных волн в системе. Результаты исследований расширяют и систематизируют знания (наши представления) о механизмах генерирования электромагнитных волн в электродинамических системах, составляющих основу микроволновых генераторов. З використанням рівнянь Максвелла на основі комплексного підходу (аналітичного і чисельного) нами знайдено втрати енергії зарядженої частинки, що рухається по спіральній траєкторії над поверхнею циліндра, який є діелектриком або металом. Сформульовано умови, за яких виникає магнітно-гальмівне випромінювання електромагнітних хвиль у системі. Результати досліджень розширюють і систематизують знання (наші уявлення) про механізми генерування електромагнітних хвиль в електродинамічних системах, які складають основу мікрохвильових генераторів. In this paper, using Maxwell's equations and based on an integrated approach (analytical and numerical) the energy losses of a charged particle moving along a spiral path over the surface of the cylinder, which is a dielectric or metal, were determined. The conditions under which there is a gyrosynchrotron radiation of electromagnetic waves in the system were stated. The research results extend and systematize knowledge (our conceptions) about generation mechanisms of electromagnetic waves in electrodynamical systems that form the basis of microwave oscillators. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радіофізика та електроніка Радиофизика твердого тела и плазмы Потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории Втрати енергії зарядженої частинки, що рухається по спіральній траєкторії Energy loss of charged particle moving along a spiral path Article published earlier
spellingShingle	Потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории Дормидонтов, А.В. Прокопенко, Ю.В. Ханкина, С.И. Яковенко, В.М. Радиофизика твердого тела и плазмы
title	Потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории
title_alt	Втрати енергії зарядженої частинки, що рухається по спіральній траєкторії Energy loss of charged particle moving along a spiral path
title_full	Потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории
title_fullStr	Потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории
title_full_unstemmed	Потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории
title_short	Потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории
title_sort	потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории
topic	Радиофизика твердого тела и плазмы
topic_facet	Радиофизика твердого тела и плазмы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106049
work_keys_str_mv	AT dormidontovav poteriénergiizarâžennoičasticydvižuŝeisâpospiralʹnoitraektorii AT prokopenkoûv poteriénergiizarâžennoičasticydvižuŝeisâpospiralʹnoitraektorii AT hankinasi poteriénergiizarâžennoičasticydvižuŝeisâpospiralʹnoitraektorii AT âkovenkovm poteriénergiizarâžennoičasticydvižuŝeisâpospiralʹnoitraektorii AT dormidontovav vtratienergíízarâdženoíčastinkiŝoruhaêtʹsâpospíralʹníitraêktoríí AT prokopenkoûv vtratienergíízarâdženoíčastinkiŝoruhaêtʹsâpospíralʹníitraêktoríí AT hankinasi vtratienergíízarâdženoíčastinkiŝoruhaêtʹsâpospíralʹníitraêktoríí AT âkovenkovm vtratienergíízarâdženoíčastinkiŝoruhaêtʹsâpospíralʹníitraêktoríí AT dormidontovav energylossofchargedparticlemovingalongaspiralpath AT prokopenkoûv energylossofchargedparticlemovingalongaspiralpath AT hankinasi energylossofchargedparticlemovingalongaspiralpath AT âkovenkovm energylossofchargedparticlemovingalongaspiralpath

Потери энергии заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории

Institution

Ähnliche Einträge