Безызбыточные конфигурации элементов на квадратных и гексагональных решетках больших размеров
В настоящей работе для построения математических моделей двумерной апертуры – целочисленных решеток с БК элементов – применяется регулярный метод, основанный на использовании специальных комбинаторных конструкций – планарных разностных множеств. Дается краткое описание свойств этих множеств и способ...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Радіофізика та електроніка |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106055 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Безызбыточные конфигурации элементов на квадратных и гексагональных решетках больших размеров / Л.Е. Копилович // Радіофізика та електроніка. — 2014. — Т. 5(19), № 1. — С. 80-84. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-106055 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Копилович, Л.Е. 2016-09-15T17:07:39Z 2016-09-15T17:07:39Z 2014 Безызбыточные конфигурации элементов на квадратных и гексагональных решетках больших размеров / Л.Е. Копилович // Радіофізика та електроніка. — 2014. — Т. 5(19), № 1. — С. 80-84. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106055 520-274 В настоящей работе для построения математических моделей двумерной апертуры – целочисленных решеток с БК элементов – применяется регулярный метод, основанный на использовании специальных комбинаторных конструкций – планарных разностных множеств. Дается краткое описание свойств этих множеств и способ их применения для решения поставленных задач. В работе построены БК с максимизированным числом элементов на квадратных и гексагональных решетках, а также БК, обеспечивающие полное покрытие центральной области пространственных частот. Получены оценки максимального числа элементов БК на решетках этих типов. Предложенный метод позволяет строить БК с максимизированным числом элементов на двумерных решетках большого размера. С его помощью возможно решать оптимизационные задачи построения интерферометрических систем, предназначенных для астрономических исследований. Он эффективнее статистических методов по объему вычислений и затрачиваемого на них времени. У даній роботі для побудови математичних моделей двовимірної апертури – цілочисельних решіток з БК елементів – застосовується регулярний метод, що ґрунтується на використанні спеціальних комбінаторних конструкцій – планарних різницевих множин. Наведено короткий опис властивостей цих множин і спосіб їх застосування для вирішення поставлених задач. У роботі побудовано БК з максимізованим числом елементів на квадратних й гексагональних решітках, а також БК, що забезпечують повне покриття центральної області просторових частот. Отримано оцінки максимального числа елементів БК на решітках цих типів. Запропонований метод дозволяє будувати БК з максимізованим числом елементів на двовимірних решітках великого розміру. За його допомогою можливо вирішувати оптимізаційні задачі побудови інтерферометричних систем, призначених для астрономічних досліджень. Він ефективніше статистичних методів за обсягом обчислень і витраченого на них часу. The paper is devoted to building multi-element nonredundant configurations (NRCs) on square and hexagonal grids considered as mathematical models of interferometers. By the regular method based on using planar difference sets, NRCs on grids of large sizes having a maximized number of elements, and also those ensuring complete coverage of the central domains in the spatial-frequency plane (u,v-plane) are built. The estimates of the maximum number of the NRC elements on grids of given sizes are also obtained. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радіофізика та електроніка Прикладная радиофизика Безызбыточные конфигурации элементов на квадратных и гексагональных решетках больших размеров Безнадлишковi конфiгурацiї елементiв на квадратних i гексагональних решiтках великих розмiрiв Non-redundant element configurations on square and hexagonal grids of large sizes Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Безызбыточные конфигурации элементов на квадратных и гексагональных решетках больших размеров |
| spellingShingle |
Безызбыточные конфигурации элементов на квадратных и гексагональных решетках больших размеров Копилович, Л.Е. Прикладная радиофизика |
| title_short |
Безызбыточные конфигурации элементов на квадратных и гексагональных решетках больших размеров |
| title_full |
Безызбыточные конфигурации элементов на квадратных и гексагональных решетках больших размеров |
| title_fullStr |
Безызбыточные конфигурации элементов на квадратных и гексагональных решетках больших размеров |
| title_full_unstemmed |
Безызбыточные конфигурации элементов на квадратных и гексагональных решетках больших размеров |
| title_sort |
безызбыточные конфигурации элементов на квадратных и гексагональных решетках больших размеров |
| author |
Копилович, Л.Е. |
| author_facet |
Копилович, Л.Е. |
| topic |
Прикладная радиофизика |
| topic_facet |
Прикладная радиофизика |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Радіофізика та електроніка |
| publisher |
Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Безнадлишковi конфiгурацiї елементiв на квадратних i гексагональних решiтках великих розмiрiв Non-redundant element configurations on square and hexagonal grids of large sizes |
| description |
В настоящей работе для построения математических моделей двумерной апертуры – целочисленных решеток с БК элементов – применяется регулярный метод, основанный на использовании специальных комбинаторных конструкций – планарных разностных множеств. Дается краткое описание свойств этих множеств и способ их применения для решения поставленных задач. В работе построены БК с максимизированным числом элементов на квадратных и гексагональных решетках, а также БК, обеспечивающие полное покрытие центральной области пространственных частот. Получены оценки максимального числа элементов БК на решетках этих типов. Предложенный метод позволяет строить БК с максимизированным числом элементов на двумерных решетках большого размера. С его помощью возможно решать оптимизационные задачи построения интерферометрических систем, предназначенных для астрономических исследований. Он эффективнее статистических методов по объему вычислений и затрачиваемого на них времени.
У даній роботі для побудови математичних моделей двовимірної апертури – цілочисельних решіток з БК елементів – застосовується регулярний метод, що ґрунтується на використанні спеціальних комбінаторних конструкцій – планарних різницевих множин. Наведено короткий опис властивостей цих множин і спосіб їх застосування для вирішення поставлених задач. У роботі побудовано БК з максимізованим числом елементів на квадратних й гексагональних решітках, а також БК, що забезпечують повне покриття центральної області просторових частот. Отримано оцінки максимального числа елементів БК на решітках цих типів. Запропонований метод дозволяє будувати БК з максимізованим числом елементів на двовимірних решітках великого розміру. За його допомогою можливо вирішувати оптимізаційні задачі побудови інтерферометричних систем, призначених для астрономічних досліджень. Він ефективніше статистичних методів за обсягом обчислень і витраченого на них часу.
The paper is devoted to building multi-element nonredundant configurations (NRCs) on square and hexagonal grids considered as mathematical models of interferometers. By the regular method based on using planar difference sets, NRCs on grids of large sizes having a maximized number of elements, and also those ensuring complete coverage of the central domains in the spatial-frequency plane (u,v-plane) are built. The estimates of the maximum number of the NRC elements on grids of given sizes are also obtained.
|
| issn |
1028-821X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106055 |
| citation_txt |
Безызбыточные конфигурации элементов на квадратных и гексагональных решетках больших размеров / Л.Е. Копилович // Радіофізика та електроніка. — 2014. — Т. 5(19), № 1. — С. 80-84. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kopilovičle bezyzbytočnyekonfiguraciiélementovnakvadratnyhigeksagonalʹnyhrešetkahbolʹšihrazmerov AT kopilovičle beznadliškovikonfiguraciíelementivnakvadratnihigeksagonalʹnihrešitkahvelikihrozmiriv AT kopilovičle nonredundantelementconfigurationsonsquareandhexagonalgridsoflargesizes |
| first_indexed |
2025-11-26T00:08:20Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:08:20Z |
| _version_ |
1850592006929121280 |
| fulltext |
ППРРИИККЛЛААДДННААЯЯ РРААДДИИООФФИИЗЗИИККАА
________________________________________________________________________________________________________________
__________
ISSN 1028−821X Радиофизика и электроника. 2014. Т. 5(19). № 1 © ИРЭ НАН Украины, 2014
УДК 520-274
Л. Е. Копилович
Институт радиофизики и электроники им А. Я. Усикова НАН Украины
12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина
E-mail: kopil@ire.kharkov.ua
БЕЗЫЗБЫТОЧНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ
НА КВАДРАТНЫХ И ГЕКСАГОНАЛЬНЫХ РЕШЕТКАХ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
В оптической и радиоастрономии для получения высокого разрешения используются интерферометры, элементы кото-
рых образуют безызбыточную конфигурацию (БК). При заданном числе элементов интерферометр такого типа позволяет измерять
максимальное число пространственных частот, а также использовать методы, исключающие фазовые флуктуации, вызванные не-
однородностью среды. При разработке математической модели интерферометра такого типа с двумерной апертурой, с возрастани-
ем числа элементов (сопровождающимся необходимостью увеличения размера апертуры) резко возрастает объем вычислений.
Обычно применяемые статистические методы в этом случае являются недостаточно эффективными. В настоящей работе для по-
строения математических моделей двумерной апертуры – целочисленных решеток с БК элементов – применяется регулярный
метод, основанный на использовании специальных комбинаторных конструкций – планарных разностных множеств. Дается крат-
кое описание свойств этих множеств и способ их применения для решения поставленных задач. В работе построены БК с максими-
зированным числом элементов на квадратных и гексагональных решетках, а также БК, обеспечивающие полное покрытие цент-
ральной области пространственных частот. Получены оценки максимального числа элементов БК на решетках этих типов. Пред-
ложенный метод позволяет строить БК с максимизированным числом элементов на двумерных решетках большого размера. С его
помощью возможно решать оптимизационные задачи построения интерферометрических систем, предназначенных для астрономиче-
ских исследований. Он эффективнее статистических методов по объему вычислений и затрачиваемого на них времени. Ил. 8. Библиогр.:
18 назв.
Ключевые слова: интерферометры, безызбыточные конфигурации, планарные разностные множества, квадратные ре-
шетки, гексагональные решетки.
В последние десятилетия в Институте
радиофизики и электроники НАН Украины про-
водились работы по построению многоэлемент-
ных безызбыточных конфигураций (БК) на квад-
ратных и гексагональных решетках. Такие конcт-
рукции можно рассматривать как математические
модели апертуры интерферометров, применяю-
щихся в астрономических исследованиях, прово-
димых в оптическом и радиодиапазоне, для полу-
чения высокого разрешения [1]. При заданном
числе элементов (субапертур, антенн), БК их дает
возможность получать информацию об изучае-
мых объектах на максимальном числе про-
странственных частот. Кроме того, она позволяет
применить методы, исключающие фазовые флук-
туации, вызванные неоднородностью среды [2].
Задачи, связанные с моделированием бе-
зызбыточной двумерной апертуры интерферо-
метра, относятся к классу оптимизационных: тре-
буется максимизировать число элементов на
апертуре, представляемой в виде целочисленной
решетки заданных размеров, при выполнении
некоторых дополнительных условий.
Для построения БК на небольших решет-
ках использовались преимущественно статисти-
ческие методы [3, 4]. Однако моделирование
апертуры с большим числом элементов (что осо-
бенно актуально в радиодиапазоне [5]) должно
проводиться на больших решетках; в этом случае
применение статистических методов требует ог-
ромного объема вычислений, и поэтому целесо-
образно применять регулярные методы.
В настоящей работе приводятся резуль-
таты по построению БК из большого числа эле-
ментов на квадратных и гексагональных решет-
ках с помощью регулярного метода, основанного
на использовании планарных разностных мно-
жеств (ПРМ) [6]. Приведены также оценки мак-
симального числа элементов БК на решетках
больших размеров.
1. Многоэлементные БК на квадрат-
ных решетках. Напомним, что в БК на двумер-
ной решетке все векторные разности между ее
элементами различны (по величине или по на-
правлению). Простой прием построения БК на
прямоугольной решетке состоит в том, что она
получается из имеющейся линейной БК с помо-
щью операции свертывания (folding), обратной
сканированию этой решетки [7] (рис. 1). То, что
получаемая при этом конфигурация также безыз-
быточна, легко доказывается от противного.
а)
б)
Рис. 1. Пример свертывания многоэлементной линейной БК
на квадратную решетку: а) – БК на отрезке; б) – БК, получен-
ная на квадрате
Л. Е. Копилович / Безызбыточные конфигурации элементов…
_________________________________________________________________________________________________________________
81
Чтобы построить по этому методу мно-
гоэлементную БК на прямоугольной решетке,
оптимальную по заданному критерию, мы долж-
ны иметь набор линейных БК. В качестве них
будем использовать ПРМ, представляющие со-
бой безызбыточные последовательности. ПРМ с
числом элементов k < 100 приведены в таблице
( Λ,, kV )-циклических разностных множеств (ча-
стным случаем которых при Λ = 1 они являются
[6]). Более полная таблица ПРМ с k < 150 имеется
в работе [8].
При всех 1+= qk , где q – степень прос-
того числа [6], существуют k-элементные ПРМ.
Важным свойством их является то, что если име-
ется одно такое множество, то из него можно по-
лучить целый ансамбль множеств этого вида, с
тем же числом элементов. Последовательно свер-
тывая их на прямоугольную решетку заданных
размеров, мы получаем каждый раз k-элементную
БК на этой решетке; но если выделить на ней учас-
ток в виде квадратной решетки меньшего разме-
ра, то число элементов там будет разным, и мож-
но найти БК с наибольшим их числом. Таким
способом в [9] были построены БК, максимизи-
рованные по числу элементов, на квадратных ре-
шетках с длиной стороны от n = 30 до n = 150.
Пример такой БК приведен на рис. 2.
Рис. 2. 35-элементная БК на решетке 30×30
2. БК, дающие полное покрытие цент-
ральной области в плоскости пространствен-
ных частот. Одной из важных задач является
нахождение БК с заданным числом элементов,
обеспечивающей полное покрытие центральной
области максимального размера в плоскости про-
странственных частот (u,v-плоскости) [10]. Такая
задача при малом числе элементов (не более 10)
решена в [11]. Предлагаемый метод позволяет
решить эту задачу для таких областей большого
размера.
Поскольку речь идет о покрытии цент-
ральной области u,v-плоскости, то БК, образуемая
при свертывании ПРМ на решетку, должна со-
держать небольшие базы, а для этого должна
быть сосредоточена в ее части. Поэтому отбира-
ются ПРМ из ансамбля, обеспечивающие ком-
пактную группировку элементов БК на решетке,
и среди них выбирается та, которая дает покры-
тие центральной области наибольшего размера.
В работе [12] были найдены БК, пол-
ностью покрывающие центральные области раз-
личного размера в u,v-плоскости. На рис. 3 при-
веден пример такой БК, полученной путем свер-
тывания 18-элементной ПРМ на решетку 16×16 и
покрывающей область 5×5 (выделена на рисун-
ке); все ее элементы сосредоточены на участке
15×12.
a) б)
Рис. 3. БК на решетке 15×12 и покрытие ею u,v-плоскости
(полностью покрытая центральная часть ее выделена)
3. БК элементов на гексагональных
решетках. В астрономических исследованиях
часто используются интерферометры с апертурой
гексагональной формы. Моделирование опти-
мального безызбыточного размещения элементов
на такой апертуре сводится к аналогичной задаче
для квадратной апертуры.
Как показано в [13], преобразование с
матрицей
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
10
2/12/3 (1)
переводит внутреннюю область (полосу)
n×n-решетки (при n-нечетном) в правильный гек-
сагон радиусом r = (n–1)/2 (рис. 4)
2/)1( −≤− nyx . (2)
При этом, поскольку преобразование (1)
является линейным, БК, размещенная в полосе (2)
квадратной решетки, переходит в БК на гекса-
гоне.
Таким образом, свертывая последова-
тельно ряд ПРМ на квадратную решетку, мы по-
лучаем каждый раз БК в полосе (2) и находим ту,
которая содержит наибольшее число элементов,
после чего преобразуем ее в гексагон. Этим мето-
дом были найдены БК на гексагональных решет-
ках радиусом от r = 15 до r = 75 [9]. В качестве
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25
Л. Е. Копилович / Безызбыточные конфигурации элементов…
_________________________________________________________________________________________________________________
82
примера на рис. 5 приведена БК из 33 элементов
на гексагоне радиусом r = 15. Отметим, что
большинство найденных БК, максимальных по
числу элементов, обладает симметрией третьего
порядка; при этом центр симметрии БК совпадает
с центром гексагона (как на рис. 4, б) либо не-
сколько сдвинут (на рис. 5 – обозначен крестом).
а) б)
Рис. 4. Преобразование БК на незаштрихованной части квад-
рата (а) в БК на гексагоне (б)
Рис. 5. 33-элементная БК на гексагональной решетке радиу-
сом r = 15
Для построения БК на гексагональных
решетках, полностью покрывающих центральную
область u,v-плоскости, ПРМ свертывались на
квадратную решетку, и велся поиск БК, компакт-
но размещенных в полосе (2) этой решетки, а за-
тем эта полоса преобразовывались в гексагон.
В работе [14] найдены БК, полностью покры-
вающие центральные области u,v-плоскости раз-
мером от 5×5 до 8×8. Одна из таких БК и покры-
ваемая ею u,v-плоскость приведены на рис. 6.
a) б)
Рис. 6. 18-элементная БК на гексагональной решетке радиу-
сом r = 7 (а); покрытие ею u,v-плоскости (выделена пол-
ностью покрытая центральная часть) (б)
4. Оценки максимального числа эле-
ментов БК на квадратных и гексагональных
решетках. Один из важных вопросов заключает-
ся в том, насколько число элементов в найденных
БК близко к максимальному возможному )( maxk
на решетке данного размера. Существующие
строгие оценки величины maxk для квадратных
решеток [15, 16] слишком грубы, а для гекса-
гональных решеток их до недавнего времени
вообще не было. В работе [17] для получения та-
ких оценок был применен подход, обобщающий
метод [18], с помощью которого была получена
верхняя оценка числа элементов БК на отрезке;
но, в отличие от линейного случая, где получена
точная оценка, здесь пришлось использовать дан-
ные для решеток небольших размеров, для кото-
рых величины maxk известны. Таким образом,
полученные в [17] оценки числа элементов БК
являются эмпирическими. Для n×n-решетки эта
оценка имеет вид ,skk < где
.5,0724,1313,1313,1 +−+= nnks (3)
На рис. 7 показаны оценки ,sk полученные
по формуле (3), а также оценки из [15] )( rk и [16]
);( 1rk здесь же приведены известные из литерату-
ры значения maxk на n×n-решетках при ≤n 22.
Мы видим, что в этом диапазоне значений n
оценка (3) является лучшей.
Рис. 7. Сравнение максимальных чисел элементов БК на квад-
ратных решетках (k – •) с их оценками по формуле (3) (ks – ×)
в работах [15] (kr – ○) и [16] (kr1 – )
Оценка числа элементов на гексагональ-
ной решетке радиуса r: ,hkk < где
.5,0471,1)12(213,1)12(213,1 +−+++= rrkh (4)
Аналогичное сопоставление ,hk рассчи-
танных по формуле (4), с найденными в рабо-
тах [3, 4, 7] величинами maxk на гексагональных
решетках с ≤r 11 приведено на рис. 8.
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
8 10 12 14 16 18 20 22 n
Апертура (квадратная решетка)
Чи
сл
о
эл
ем
ен
то
в
1
1 4 8 12 16
4
8
12
16
20
24
28
31
Л. Е. Копилович / Безызбыточные конфигурации элементов…
_________________________________________________________________________________________________________________
83
Рис. 8. Сравнение максимальных чисел элементов БК на гекса-
гональных решетках (k – •) с их оценками по формуле (4) (kh – ×)
Расхождение между значениями k для
больших решеток, найденными в работе [9], и их
оценками (3), (4) возрастает с увеличением раз-
мера решетки. Это связано, главным образом, с
тем, что оценки эти эмпирические, основанные на
известных данных для решеток небольших раз-
меров. Увеличение базы таких данных позволит
улучшить эти оценки.
Выводы. Предложенный метод позволя-
ет строить безызбыточные конфигурации с мак-
симизированным числом элементов на двумер-
ных решетках большого размера. С его помощью
оказывается возможным решать оптимизацион-
ные задачи построения интерферометрических
систем, предназначенных для астрономических
исследований. Он является значительно более
эффективным с точки зрения объема вычислений
и затрачиваемого на них времени, чем используе-
мые в настоящее время статистические методы.
Библиографический список
1. Thompson A. R. Interferometry and Synthesis in Radio astron-
omy / A. R. Thompson, J. M. Moran, and G. W. Swenson Jr. –
2nd ed. – N. Y.: Wiley-Interscience Public., 2000. – 692 p.
2. Brown T. M. Reconstruction of turbulence-degraded image
using nonredundant aperture arrays / T. M. Brown // J. Opt.
Soc. Am. – 1978. – 68, N 7. – P. 883–889.
3. Корниенко Ю. В. Построение безызбыточных антенных
конфигураций на квадратной решетке методом случайно-
го поиска / Ю. В. Корниенко // Радиофизика и электрон.:
сб. науч. тр. / Ин-т радиофизики и электрон. НАН Украи-
ны. – Х., 2000. – 5, № 3. – C. 148–154.
4. Корниенко Ю. В. Построение бызызбыточных антенных
конфигураций на гексагональной решетке методом
случайного поиска / Ю. В. Корниенко // Радиофизика и
электрон.: сб. науч. тр. / Ин-т радиофизики и электрон.
НАН Украины. – Х., 2002. – 7, № 1. – С. 142–153.
5. Kogan L. Optimizing a large array configuration to minimize
the sidelobes / L. Kogan // IEEE Trans.Antennas Propag. –
2000. – 48, N 7. – P. 1075–1078.
6. Baumert L. D. Cyclic Difference Sets / L. D. Baumert. –
N. Y.: Springer-Verlag, 1971. – 166 p.
7. Kopilovich L. E. Nonredundant apertures for optical interfe-
rometric systems: maximization of the number of elements /
L. E. Kopilovich // J. of Mod. Opt. – 1998. – 45, N 11. –
P. 2417–2424.
8. Kopilovich L. E. Multielement System Design in Astronomy
and Radio Science / L. E. Kopilovich and L. G. Sodin. –
Dordrecht, Boston, L.: Kluwer Acad. Publ., 2001. – 180 p.
9. Kopilovich L. E. Construction of nonredundant antenna confi-
gurations on square and hexagonal grids of large size /
L. E. Kopilovich // Exp. Astron. – 2013. – 36, N 1–2. –
P. 425–430.
10. Keto E. The shapes of cross-correlation interferometers /
E. Keto // Astrophys. J. – 1997. – 475, N 2. – P. 843–852.
11. Golay M. J. E. Point arrays having compact, nonredundant
autocorrelations / M. J. E. Golay // J. Opt. Soc. Am. – 1971. –
61, N 2. – P. 272–273.
12. Копилович Л. Е. Безызбыточные конфигурации антенн на
двумерной апертуре интерферометра, дающее полное по-
крытие центральных областей в плоскости пространст-
венных частот / Л. Е. Копилович // Радиофизика и радио-
астрономия. – 2012. – 17, № 2. – С. 176–181.
13. Голомб С. У. Конструкции и свойства массивов Костаса /
С. У. Голомб, Х. Тейлор // Тр. Ин-та инж. по электротех-
нике и радиоэлектрон. – 1984. – 72, № 9. – С. 44–64.
14. Kopilovich L. E. Nonredundant hexagonal array configura-
tions for optical interferometric systems compactly covering
central domains in the spatial-frequency plane / L. E. Kopi-
lovich // J. Mod. Opt. – 2005. – 52, N 10. – P. 1415–1420.
15. Robinson J. P. Golomb rectangles / J. P. Robinson // IEEE
Trans. Inf. Theory. – 1985. – 31, N 6. – P. 781–787.
16. Robinson J. P. Golomb rectangles as folded rulers / J. P. Robin-
son // IEEE Trans. Inf. Theory. – 1997. – 43, N 1. – P. 290–293.
17. Kopilovich L. E. Upper estimates for the element number of
nonredundant antenna configurations on square and hexagonal
grids / L. E. Kopilovich // Exp. Astron. – 2010. – 28, N 1. –
P. 1–9.
18. Lindsröm B. On inequality for B-sequences / B. Lindsröm //
J. Comb. Theory. – 1969. – A6, N 2. – P. 211–212.
Рукопись поступила 18.07.2013.
L. E. Kopilovich
NON-REDUNDANT ELEMENT
CONFIGURATIONS ON SQUARE AND
HEXAGONAL GRIDS OF LARGE SIZES
The paper is devoted to building multi-element non-
redundant configurations (NRCs) on square and hexagonal grids
considered as mathematical models of interferometers. By the
regular method based on using planar difference sets, NRCs on
grids of large sizes having a maximized number of elements, and
also those ensuring complete coverage of the central domains in
the spatial-frequency plane (u,v-plane) are built. The estimates of
the maximum number of the NRC elements on grids of given sizes
are also obtained.
Key words: interferometers, non-redundant configura-
tions, planar difference sets, square grids, hexagonal grids.
Л. Ю. Копилович
БЕЗНАДЛИШКОВI КОНФIГУРАЦIЇ
ЕЛЕМЕНТIВ НА КВАДРАТНИХ I
ГЕКСАГОНАЛЬНИХ РЕШIТКАХ
ВЕЛИКИХ РОЗМIРIВ
У оптичної та радіоастрономії для отримання висо-
кого розрізнення використовуються інтерферометри, елемен-
ти яких утворюють безнадлишкову конфігурацію (БК). При
заданій кількості елементів інтерферометр такого типу дозво-
33
31
29
27
25
23
21
19
17
15
13
11
9
7
Чи
сл
о
эл
ем
ен
то
в
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 r
Апертура (гексагональная решетка)
Л. Е. Копилович / Безызбыточные конфигурации элементов…
_________________________________________________________________________________________________________________
84
ляє вимірювати максимальне число просторових частот, а
також використовувати методи, що виключають фазові флук-
туації, викликані неоднорідністю середовища. При розробці
математичної моделі інтерферометра такого типу з двовимір-
ною апертурою, із зростанням числа елементів (супроводжу-
ється необхідністю збільшення розміру апертури) різко зрос-
тає обсяг обчислень. Статистичні методи, які зазвичай засто-
совуються, в цьому випадку є недостатньо ефективними.
У даній роботі для побудови математичних моделей двовимі-
рної апертури – цілочисельних решіток з БК елементів – за-
стосовується регулярний метод, що ґрунтується на викорис-
танні спеціальних комбінаторних конструкцій – планарних
різницевих множин. Наведено короткий опис властивостей
цих множин і спосіб їх застосування для вирішення поставле-
них задач. У роботі побудовано БК з максимізованим числом
елементів на квадратних й гексагональних решітках, а також
БК, що забезпечують повне покриття центральної області
просторових частот. Отримано оцінки максимального числа
елементів БК на решітках цих типів. Запропонований метод
дозволяє будувати БК з максимізованим числом елементів на
двовимірних решітках великого розміру. За його допомогою
можливо вирішувати оптимізаційні задачі побудови інтерферо-
метричних систем, призначених для астрономічних дослід-
жень. Він ефективніше статистичних методів за обсягом об-
числень і витраченого на них часу.
Ключовi слова: інтерферометри, безнадлишковi
конфiгурацiї, планарнi рiзницевi множини, квадратні решітки,
гексагональні решітки.
|