Численно-аналитический метод решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных анизотропных слоях

Численно-аналитический метод решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных анизотропных слоях

Предложен численно-аналитический метод определения амплитуд отражения и прохождения плоской линейно поляризованной электромагнитной волны, падающей наклонно на неоднородный анизотропный диэлектрический слой, элементы тензора которого зависят от одной пространственной координаты. Метод основан на пос...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Радіофізика та електроніка
Дата:2014
Автори: Бровенко, А.В., Мележик, П.Н., Поединчук, А.Е.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2014
Теми:
Микроволновая электродинамика
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106142
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Численно-аналитический метод решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных анизотропных слоях / А.В. Бровенко, П.Н. Мележик, А.Е. Поединчук // Радіофізика та електроніка. — 2014. — Т. 5(19), № 4. — С. 12-20. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-106142
record_format dspace
spelling Бровенко, А.В.
Мележик, П.Н.
Поединчук, А.Е.
2016-09-19T16:37:21Z
2016-09-19T16:37:21Z
2014
Численно-аналитический метод решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных анизотропных слоях / А.В. Бровенко, П.Н. Мележик, А.Е. Поединчук // Радіофізика та електроніка. — 2014. — Т. 5(19), № 4. — С. 12-20. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
1028-821X
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106142
535.37.421
Предложен численно-аналитический метод определения амплитуд отражения и прохождения плоской линейно поляризованной электромагнитной волны, падающей наклонно на неоднородный анизотропный диэлектрический слой, элементы тензора которого зависят от одной пространственной координаты. Метод основан на построении специальных решений задачи Коши для уравнения Рикатти и дает возможность в рамках единого подхода исследовать процесс дифракции волн на электродинамических структурах такого типа. Эффективность предложенного метода продемонстрирована на ряде примеров численного решения задач дифракции на неоднородных гиротропных (плазменноподобных) слоях. Получена длинноволновая асимптотика для коэффициента отражения плоской однородной волны от неоднородного гиротропного слоя в предположении, что элементы тензора последнего не зависят от частотного параметра.
Запропоновано чисельно-аналітичний метод для визначення амплітуд відбиття та проходження плоскої лінійно поляризованої електромагнітної хвилі, що падає під нахилом на неоднорідний анізотропний діелектричний шар, елементи тензора якого залежать тільки від однієї просторової координати. Основою методу є побудова спеціальних розв’язків задачі Коші для рівняння Рікатті, що дає можливість у рамках єдиного підходу якісно дослідити процес дифракції хвиль на електродинамічних структурах такого типу. Ефективність запропонованого методу показано на низці приладів чисельного розв’язання задач дифракції на неоднорідних гіротропних плазмоподібних шарах. Одержано довгохвильову асимптотику для коефіцієнта відбиття плоскої однорідної хвилі від неоднорідного гіротропного шару враховуючи те, що елементи тензора останнього не залежать від частотного параметра.
A numerical analytical method is proposed for finding reflection and transmission amplitudes of a plane linearly polarized electromagnetic wave obliquely incident on a non-uniform anisotropic dielectric layer, the tensor elements of which depend on a single spatial coordinate. The method is based on constructing a special case solution to the Riccati equation for the Cauchy problem and enables a qualitative description of the wave diffraction by the electrodynamical structure of the type within a unitary framework. The method efficiency is demonstrated by the numerical solution results obtained for a set of diffraction problems on non-uniform gyrotropic plasma-like layers. Long-wave asymptotics of the reflection coefficient of a plane homogeneous wave have been obtained in the case of its incidence on a non-uniform gyrotropic layer whose tensor elements do not depend on the frequency parameter.
ru
Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
Радіофізика та електроніка
Микроволновая электродинамика
Численно-аналитический метод решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных анизотропных слоях
Чисельно-аналітичний метод розв’язання задач дифракції електромагнітних хвиль на неоднорідних анізотропних шарах
A numerical analytical method for solving problems of electromagnetic wave diffraction by non-uniform anisotropic layers
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Численно-аналитический метод решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных анизотропных слоях
spellingShingle Численно-аналитический метод решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных анизотропных слоях
Бровенко, А.В.
Мележик, П.Н.
Поединчук, А.Е.
Микроволновая электродинамика
title_short Численно-аналитический метод решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных анизотропных слоях
title_full Численно-аналитический метод решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных анизотропных слоях
title_fullStr Численно-аналитический метод решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных анизотропных слоях
title_full_unstemmed Численно-аналитический метод решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных анизотропных слоях
title_sort численно-аналитический метод решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных анизотропных слоях
author Бровенко, А.В.
Мележик, П.Н.
Поединчук, А.Е.
author_facet Бровенко, А.В.
Мележик, П.Н.
Поединчук, А.Е.
topic Микроволновая электродинамика
topic_facet Микроволновая электродинамика
publishDate 2014
language Russian
container_title Радіофізика та електроніка
publisher Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
format Article
title_alt Чисельно-аналітичний метод розв’язання задач дифракції електромагнітних хвиль на неоднорідних анізотропних шарах
A numerical analytical method for solving problems of electromagnetic wave diffraction by non-uniform anisotropic layers
description Предложен численно-аналитический метод определения амплитуд отражения и прохождения плоской линейно поляризованной электромагнитной волны, падающей наклонно на неоднородный анизотропный диэлектрический слой, элементы тензора которого зависят от одной пространственной координаты. Метод основан на построении специальных решений задачи Коши для уравнения Рикатти и дает возможность в рамках единого подхода исследовать процесс дифракции волн на электродинамических структурах такого типа. Эффективность предложенного метода продемонстрирована на ряде примеров численного решения задач дифракции на неоднородных гиротропных (плазменноподобных) слоях. Получена длинноволновая асимптотика для коэффициента отражения плоской однородной волны от неоднородного гиротропного слоя в предположении, что элементы тензора последнего не зависят от частотного параметра. Запропоновано чисельно-аналітичний метод для визначення амплітуд відбиття та проходження плоскої лінійно поляризованої електромагнітної хвилі, що падає під нахилом на неоднорідний анізотропний діелектричний шар, елементи тензора якого залежать тільки від однієї просторової координати. Основою методу є побудова спеціальних розв’язків задачі Коші для рівняння Рікатті, що дає можливість у рамках єдиного підходу якісно дослідити процес дифракції хвиль на електродинамічних структурах такого типу. Ефективність запропонованого методу показано на низці приладів чисельного розв’язання задач дифракції на неоднорідних гіротропних плазмоподібних шарах. Одержано довгохвильову асимптотику для коефіцієнта відбиття плоскої однорідної хвилі від неоднорідного гіротропного шару враховуючи те, що елементи тензора останнього не залежать від частотного параметра. A numerical analytical method is proposed for finding reflection and transmission amplitudes of a plane linearly polarized electromagnetic wave obliquely incident on a non-uniform anisotropic dielectric layer, the tensor elements of which depend on a single spatial coordinate. The method is based on constructing a special case solution to the Riccati equation for the Cauchy problem and enables a qualitative description of the wave diffraction by the electrodynamical structure of the type within a unitary framework. The method efficiency is demonstrated by the numerical solution results obtained for a set of diffraction problems on non-uniform gyrotropic plasma-like layers. Long-wave asymptotics of the reflection coefficient of a plane homogeneous wave have been obtained in the case of its incidence on a non-uniform gyrotropic layer whose tensor elements do not depend on the frequency parameter.
issn 1028-821X
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106142
citation_txt Численно-аналитический метод решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных анизотропных слоях / А.В. Бровенко, П.Н. Мележик, А.Е. Поединчук // Радіофізика та електроніка. — 2014. — Т. 5(19), № 4. — С. 12-20. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT brovenkoav čislennoanalitičeskiimetodrešeniâzadačdifrakciiélektromagnitnyhvolnnaneodnorodnyhanizotropnyhsloâh
AT meležikpn čislennoanalitičeskiimetodrešeniâzadačdifrakciiélektromagnitnyhvolnnaneodnorodnyhanizotropnyhsloâh
AT poedinčukae čislennoanalitičeskiimetodrešeniâzadačdifrakciiélektromagnitnyhvolnnaneodnorodnyhanizotropnyhsloâh
AT brovenkoav čiselʹnoanalítičniimetodrozvâzannâzadačdifrakcííelektromagnítnihhvilʹnaneodnorídnihanízotropnihšarah
AT meležikpn čiselʹnoanalítičniimetodrozvâzannâzadačdifrakcííelektromagnítnihhvilʹnaneodnorídnihanízotropnihšarah
AT poedinčukae čiselʹnoanalítičniimetodrozvâzannâzadačdifrakcííelektromagnítnihhvilʹnaneodnorídnihanízotropnihšarah
AT brovenkoav anumericalanalyticalmethodforsolvingproblemsofelectromagneticwavediffractionbynonuniformanisotropiclayers
AT meležikpn anumericalanalyticalmethodforsolvingproblemsofelectromagneticwavediffractionbynonuniformanisotropiclayers
AT poedinčukae anumericalanalyticalmethodforsolvingproblemsofelectromagneticwavediffractionbynonuniformanisotropiclayers
first_indexed 2025-11-24T02:15:47Z
last_indexed 2025-11-24T02:15:47Z
_version_ 1850839933443375104
fulltext ММИИККРРООВВООЛЛННООВВААЯЯ ЭЭЛЛЕЕККТТРРООДДИИННААММИИККАА ________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028−821X Радиофизика и электроника. 2014. Т. 5(19). № 4 © ИРЭ НАН Украины, 2014 УДК 535.37.421 А. В. Бровенко, П. Н. Мележик, А. Е. Поединчук Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: melezhik@ire.rharkov.ua ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СЛОЯХ Предложен численно-аналитический метод определения амплитуд отражения и прохождения плоской линейно поляри- зованной электромагнитной волны, падающей наклонно на неоднородный анизотропный диэлектрический слой, элементы тензора которого зависят от одной пространственной координаты. Метод основан на построении специальных решений задачи Коши для уравнения Рикатти и дает возможность в рамках единого подхода исследовать процесс дифракции волн на электродинамических структурах такого типа. Эффективность предложенного метода продемонстрирована на ряде примеров численного решения задач дифракции на неоднородных гиротропных (плазменноподобных) слоях. Получена длинноволновая асимптотика для коэффициента отражения плоской однородной волны от неоднородного гиротропного слоя в предположении, что элементы тензора последнего не зависят от частотного параметра. Ил. 5. Библиогр.: 10 назв. Ключевые слова: неоднородный анизотропный слой, тензор диэлектрической проницаемости, дифракция волн, задача Коши для уравнения Рикатти, численно-аналитический метод. В последнее время значительно возрос интерес к задачам анализа и синтеза электро- динамики неоднородных сред [1]. Особо следует выделить класс задач, связанных с дифракцией электромагнитных волн на плоскослоистых неод- нородных магнитодиэлектрических слоях [2, 3]. Методы, которые используются для ис- следования процессов дифракции (распростране- ния) электромагнитных волн в неоднородных средах, можно условно разделить на три типа: – сугубо аналитические; – прямые численные; – численно-аналитические. Ряд аналитических методов основан на ВКБ-приближении [4]. Они используются в ос- новном для исследования сред с плавными неод- нородностями. Аналитические же решения вол- новых уравнений неоднородных сред с быстрыми пространственными изменениями удается полу- чить лишь для ограниченного количества мо- дельных задач дифракции. В связи с этим в этих ситуациях используются прямые численные ме- тоды. Так, предложена схема численного модели- рования взаимодействия электромагнитного излу- чения с неоднородной изотропной плазмой [5]. В работе [6] рассмотрена модель неоднородной анизотропной плазмы. В результате «сшивки» решений на границах слоя было получено дис- персионное уравнение для поверхностного плаз- мона в неоднородной анизотропной среде во вто- ром приближении. В работе [7] предложена чис- ленная модель взаимодействия электромагнитной волны с неоднородным анизотропным слоем феррита. В итоге методом дифференциальной прогонки были рассчитаны частотные характерис- тики модулей коэффициентов отражения. Тем не менее применение численных ме- тодов ставит перед исследователями ряд проблем, в частности, внутренней сходимости, устойчивос- ти вычислительной схемы и т. д. Более эффективны при изучении процес- сов дифракции волн численно-аналитические методы, при применении которых предваритель- но проводится ряд аналитических преобразова- ний над исходными уравнениями, в результате уравнения имеют обычно лучшую сходимость, более физически наглядны и адекватны. Кроме того, численно-аналитические методы всегда по- зволяют провести оценку погрешности результа- тов вычислительного эксперимента. В работе [8] был предложен численно- аналитический метод определения амплитуд от- ражения и прохождения плоских электромагнит- ных волн, падающих наклонно на неоднородный магнитодиэлектрический слой, материальные пара- метры которого зависят от одной пространст- венной координаты. Метод основан на построе- нии специальных решений задачи Коши для уравнения Рикатти и дает возможность исследо- вать дифракцию волн как в дискретно-слоистых, так и в непрерывно неоднородных магнито- диэлектрических средах. Цель настоящей работы – обобщение это- го метода для решения задач дифракции электро- магнитных волн на неоднородных анизотропных слоях. 1. Постановка задачи. Построение ал- горитма решения. Рассматривается задача ди- фракции плоской однородной монохроматиче- ской электромагнитной волны единичной ампли- туды на плоском неоднородном анизотропном слое с тензором диэлектрической проницаемости ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 0 0 00 ˆ 12 21 zzi ziz z εε εε ε ε − = А. В. Бровенко и др. / Численно-аналитический метод… _________________________________________________________________________________________________________________ 13 Магнитная проницаемость слоя полагается рав- ной 1. Пусть слой занимает область пространства ( ){ }+∞<<∞−<<−= yxzhzyxD ;,0:;; , где ( )zyx ;; – декартовы координаты (рис. 1). Пола- гаем, что все отличные от 0 элементы тензора ε̂ зависят только от одной координаты z, и кроме того, функцию ( )zε считаем кусочно-непрерыв- ной на [ ]0;h− , а функции ( ) 2,1, =jzjε – непре- рывно-дифференцируемыми на интервале ( )0;h− . Рис. 1. Поперечное сечение структуры Полупространства 0>z и hz −< запол- нены однородными изотропными магнитодиэлект- рическими средами с относительными диэлект- рическими и магнитными проницаемостями 1,1 00 == με при 0>z и ( )1,1; ≥≥ ssss μεμε при hz −< . В полупространстве 0>z распространя- ется плоская однородная монохроматическая волна единичной амплитуды, вектор напряжен- ности магнитного поля которой параллелен оси OX, а волновой вектор k находится в плос- кости YOZ и составляет с осью OZ угол α . Отличные от нуля компоненты электромагнитно- го поля этой волны имеют вид ( ) ( )( ) ( ) ( ) .sin ,cos, 00 00sincos0 xz xy tiyzik x HE HEeeH α αωαα = == −−− (1) Здесь c k ω = , где ω – частота, а c – ско- рость света в среде, заполняющей полупространст- во 0>z . В дальнейшем временной множи- тель tie ω− опускаем. Задача состоит в определении электро- магнитного поля, возникшего в результате ди- фракции волны (1) на неоднородном анизотроп- ном слое D. Как следует из уравнений Максвелла, она сводится к определению дважды непрерывно дифференцируемой в DR ∂\2 функции ( )zyU ; , удовлетворяющей следующим уравнениям: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,0;; ;0,0; ; ;; ;0,0;; 2 22 ||2 2 hzzyUkzyU zhzyUk y zyU dz di z zyU dz dzyU zzyUkzyU ss −<=+Δ <<−=+ + ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ∂ ∂ −Δ >=+Δ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ με ε ε ε ε εε (2) а при Dz ∂∈ – условиям сопряжения: ( ) ,11 , ,1 , 00 || 00 00 || 00 0 0000 0 −−=+−=⊥ −−=+−= −=⊥+= −=+= ∂ ∂=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂+ ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂+ ∂ ∂=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂+ ∂ ∂ =+ hzshz hzhz zz zz z U y Uiz U UU y Uiz U z U z U UUU εεε εε (3) где функция DHU x ∂≡ ;00 – множество точек границ D; Δ – оператор Лапласа в декартовых координатах; ( ) ( ) ( ) ( )z zzz 1 2 2 2 1 ε εε εε − == ⊥⊥ – попе- речная эффективная и ( ) ( ) ( )z zz 1 2 |||| ε εεε == – про- дольная эффективная проницаемости среды в D. Кроме условий (2), (3), функция ( )zyU ; в полупространствах 0>z и hz −< должна удовлетворять условиям излучения [9]. Нетрудно показать, что с помощью функции ( )zyU ; компоненты поля дифракции определяются следующим образом: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −< ∂ ∂ <<−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ > ∂ ∂ −= ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −< ∂ ∂ <<−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ > ∂ ∂ = = ⊥ ⊥ .,1 ,0,1 ,0, ,,1 ,0,1 ,0, ,; || || hzy U zhz Uziy U z zy U k iE hzz U zhy Uziz U z zz U k iE zyUH s z s y x ε εε ε εε z α Ei, Hi ε0 = μ0 = 1 y εs , μs )(ˆ zε А. В. Бровенко и др. / Численно-аналитический метод… _________________________________________________________________________________________________________________ 14 Введем безразмерные переменные h yy = и h zz = . Тогда вид краевой задачи (2), (3) не из- менится, если параметр k заменить на безраз- мерный параметр kh=κ . Применяя к уравнениям (2) метод разде- ления переменных и учитывая условия излучения в полупространствах 0>z и 1−<z , после ряда несложных преобразований, получим представ- ление для функции ( )zyU ; ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −< <<−+ > = ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −+− −+ + .1, ,01, ,0, ; 2sin1sin sin 21 cossin zeT zezUazUa zeR zyU sszyi yi zyi αμεακ ακ αακ (4) Здесь )2;1(, =jaR j и T – неизвестные величины, а функции ( )zU ± являются линейно независимыми решениями обыкновенного диф- ференциального уравнения второго порядка вида ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0sinsin 1 2|| 2 2 2 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −+− ⊥ ⊥ ± ⊥ ± ± ⊥ ⊥ ± ακε ε ακε εκε ε zd dzU zUzd zdU zd d zd zUd (5) Предположим, что получены решения дифференциального уравнения (5), удовлетво- ряющие следующим условиям при 1−=z : ( ) ( ) ,,11 1 ipzd zdUU z ±==− −= ± ± (6) где ( ) ( ) ( ) .1 1 sin sin 1 || 2 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − −= ⊥ ⊥ ε ε αε αμε κε ip s ss Легко убедиться, что функции ( )zU ± – линейно независимы, если только .0≠p Далее будем предполагать, что это условие выполняется. Подставляя (4) в условия сопряжения (3) при ( )1−=−= zhz , получаем .;0 21 Taa == (7) Следовательно, внутри слоя функция ( )zyU ; имеет следующий вид: ( ) ( ) ακ sin; yiezTUzyU −= . (8) Используя условия сопряжения (3) при ( )00 == zz , т. е. на верхней границе D, получаем представления для величин R и T: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ; sin0cos00 sin0cos00 0 || 0 || = − ⊥ − = − ⊥ − +− −+ = z z zd dUiU zd dUiU R αεαεκ αεαεκ (9) ( ) ( ) ( ) ( )( ) . sin0cos00 cos02 0 || = − ⊥ − ⊥ +− = zzd dUiU T αεαεκ ακε (10) Таким образом, представление (4), а так- же формулы (7)–(10) и дают решение исходной задачи дифракции (2), (3). Из изложенного выше следует, что клю- чевым моментом при решении рассматриваемой краевой задачи является нахождение решений задачи Коши (5), (6). Следует отметить, что решения обыкно- венного дифференциального уравнения (5) с пе- ременными коэффициентами в общем случае не выражаются ни через элементарные, ни через специальные функции. Только в ряде случаев решения дифференциального уравнения (5) мо- жет быть получено аналитически. Из [8] и приве- денных там ссылок следует, что при ряде ограни- чений и предположений относительно ( )z⊥ε и ( )z||ε для получения решения (5) можно восполь- зоваться различными численными либо численно- аналитическими методами. Например, методом степенных (обобщенно-степенных) рядов, мето- дом последовательных приближений, методом полиномиальных операторов, методом прибли- жения многочленами, проекционными методами, методом сеток и др. Для решения задачи дифракции плоских электромагнитных волн на неоднородных изо- тропных магнитодиэлектрических слоях предло- жен численно-аналитический метод, основанный на получении специальных решений задачи Коши для уравнения Рикатти [8]. Ниже дано обобщение этого метода для решения задачи дифракции волн на анизотроп- ных неоднородных диэлектрических слоях. С этой целью рассмотрим следующую задачу Коши: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;0sinsin 1 2|| 2 2 2 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −+− ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ακε ε ακε εκε ε z z zd dzzU zzUzd zdU zd zd zzd zUd (11) ( ) ( ) .0,,11 1 ≠−==− −= pipdz zdUU z (12) Введем новую неизвестную функцию ( )zV ( ) ( ) ( ) .exp 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ − ⊥ z dVzU ξξξε (13) Легко убедиться, что дифференциальное уравнение (11) может быть представлено в виде А. В. Бровенко и др. / Численно-аналитический метод… _________________________________________________________________________________________________________________ 15 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0sinsin 1 2 ||2 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⊥⊥ ⊥ Uzz z zd d dz dU zzd d ε ακ ε ε ακκ ε (14) Подставим (13) в (12), (14). Используя ( ) ( ) ( ) ( ),zVzzUzd zdU ⊥= ε в результате ряда пре- образований получаем уравнение Рикатти ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0sinsin 2 ||2 2 =−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ ++ ⊥⊥ ⊥ zz z dz d zVz zd zdV ε ακ ε ε ακκ ε (15) с начальным условием ( ) piV ~1 −=− , где ( )1 ~ − = ⊥ε pp . (16) Таким образом, задача Коши (11), (12) для линейного уравнения второго порядка сведе- на к задаче Коши для нелинейного уравнения Рикатти. Приближенное решение задачи (15), (16) можно получить с помощью численно- аналитического алгоритма, изложенного в работе [8]. Аппроксимируем для этого интервал 01 <<− z конечным набором точек { } ( )11:1 −+−== nzz n N nn δ , а 1 1 − = N δ , где N – натуральное число. Обозна- чим через ( ) ( )nnnn zzVV ⊥⊥ == εε, и ( )nn z|||| εε = . Следуя [8], формально интегрируя урав- нение (15) в пределах от nz к 1+nz , получим ( ) ( ) ( ) ( ) .1...,,3,2,1 ,0sinsin 1 1 2|| 1 1|| 22 1 −= =−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− −++− ∫ ∫ + + ⊥⊥+⊥ + ⊥+ Nn d dVVV n n n n z zn n n n z z nn ξε ξακ ε ε ε ε ακ δκξξξε (17) Предполагая, что N – достаточно боль- шое число и аппроксимируя интегралы (17) квад- ратурной суммой двухточечной формулы трапе- ции [10], получаем [ ] ( ) ....,,2,1,011sin 2 sin 2 1 2 || 1 1||2 2 11 2 1 Nn VVVV nn n n n n nnnnnn ==⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +− −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−+ +++− ⊥+⊥ ⊥+⊥ + ++⊥⊥+ εε ακδ ε ε ε ε ακδκ εεδ (18) Представим (18) в виде 0 2 `1 2 11 =++ +++⊥ nnnn FVVεδ . (19) Здесь ( ) .11sin5,0 sin5,0 1 2 || 1 1||22 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−−+= +⊥⊥ ⊥+⊥ + ⊥ nn n n n n nnnn VVF εεακδ ε ε ε ε ακδεδκ Из (19) получаем . 211 1 1 1 +⊥ +⊥ + −±− = n nn n F V δε δε (20) Выбирая в (20) то значение 1+nV , которое при ( )0→∞→ δN стремится к nV , получаем .1...,,3,2,1 , 211 2 1 1 −= −+ −= +⊥ + Nn F FV nn n n δε (21) Формула (21) дает возможность рекуррентно вы- числять значения nV , поскольку известно значе- ние .sin sin 1 1|| 2 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − −= ⊥ α ε ε ε αμε κ iiV s ss Здесь ( )1||1|| −= εε и ( )11 −= ⊥⊥ εε . Можно показать, что погрешность фор- мулы (18), а следовательно, и (21) будет величи- ной порядка 2δ . Формула (21) дает явную вычис- лительную схему расчета приближенных значе- ний ( )NnnV 1= решения задачи Коши (15), (16) на заданной сетке ( )Nnnz 1= , аппроксимирующей ин- тервал 01 <<− z . Представим теперь формулы (9) и (10) с помощью функции ( )zV , являющейся решением задачи Коши (15), (16). Используя представление (13), в результате ряда преобразований получаем ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ;0sin00cos 0sin00cos 2 2 εακακ εακακ +− −+ = rVi rViR (22) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .exp 0sin00cos cos02 0 1 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −× × +− = ∫ − ⊥ ξξξε αεκακ ακ dV rVi irT (23) Здесь ( ) ( ) ( ).2 2 2 1 zzzr εε −= Из (21) следует, что ( ) NVV ≈0 , а экспо- ненциальный множитель в (23) может быть вы- числен по следующей рекуррентной формуле: ( ) ( ) ,exp 0 1 NBdV ≈⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∫ − ⊥ ξξξε а ( ) , 2 exp,1 1111 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−=≡ ++⊥⊥+ nnnnnn VVBBB εεδ где 1...,,3,2,1 −= Nn . А. В. Бровенко и др. / Численно-аналитический метод… _________________________________________________________________________________________________________________ 16 Зная R и T, получаем представление для компонент электромагнитного поля ( ),; zyH x ( )zyEy ; и ( ).; zyEz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −<× ×− <<−−× ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ >− = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −< <<− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ >+ = −+− ⊥ − ⊥ ⊥ − −+− − ⊥ − ∫ ∫ ,1, sin ,01,sin exp ,0,cosRe ; ,1, ,01 ,exp ,0,Re ; sin sin12 || 1 sincoscos sinsin1 sin 1 sincoscos 2 2 ze eT zzV dVTi zee zyE zeTe z edVT zee zyH yi zi ss s z yizizi y yizi yi z yizizi x ss ss ακ αμεκ ακακακ ακαμεκ ακ ακακακ αμεε ακεε ξξξεκε α ξξξε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −< <<− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −× ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ >+ = −+− ⊥ − ⊥ − ∫ .1 ,sin ,01 ,sin exp ,0,sinRe ; sinsin1 sin|| 1 sincoscos 2 z eTe z e zVz z dVT zee zyE yizi s yi z yizizi y ss ακαμεκ ακ ακακακ ε α κ ε ε α ξξξε α Отметим, что у рассмотренной выше за- дачи дифракции вектор напряженности магнит- ного поля плоской электромагнитной волны па- раллелен оси OX. Другими словами, имеет место случай H-поляризованных электромагнитных волн. В данном случае решение задачи зависит только от двух элементов тензора диэлектриче- ской проницаемости: ( )z1ε и ( )z2ε . Можно пока- зать, что в случае E-поляризации, когда вектор напряженности электрического поля параллелен оси OX, поле дифракции будет зависеть только от одного элемента тензора диэлектрической прони- цаемости – ( )zε . Метод решения задачи такого типа был предложен в работе [8]. 2. Длинноволновое приближение. Из- ложенный выше алгоритм решения задачи ди- фракции (2), (3) дает возможность получить ана- литическое представление коэффициента отра- жения (23) в предельном случае 0→= c hωκ , что соответствует длинноволновому приближению. Действительно, рассмотрим задачу Коши (15), (16). Введем новую неизвестную функцию ( ) ( ) qi zVzW κ = , где ( ) ( ) ( ) ( )1 1 sin sin || 2 − − + − = ⊥ε ε α ε αμε iq s ss . В терминах функции ( )zW задача (15), (16) принимает вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +− −+′ ⊥⊥ ⊥ ;0sinsin 2 || 2 zq i z z zd d q i q i zWziqzW ε ακ ε εακ εκ (24) ( ) .11 −=−W (25) Предполагая, что ( )z1ε и ( )z2ε , а следо- вательно, и ( ) ( )zz ||, εε⊥ не зависят от частотного параметра κ , разложим ( )zW в ряд по степеням κ ( )∑ +∞ = = 0n n n zWW κ , (26) где 1<<κ . Подставляя (26) в дифференциальное уравнение (24), получаем ( ) ( ) ( ) ,0sinsin 2 || 0 0 1 0 =+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +− − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +′ ⊥⊥ ∞+ = ∞+ = + = −⊥∑ ∑ ∑ ε ακ ε ε ακ κεκ q i zd d q i q i zWzWiqzW n n n n p pnp n n (27) где ( ) 110 −=−≡WW . Левая часть в (27) является рядом по сте- пеням κ . Приравнивая 0 коэффициенты при сте- пенях ...,2,1,0, =nnκ , имеем: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .2,0 ,1,01sin ,0,0sin 1 0 1 2 2 01 || 0 ≥=+′ ==⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −++′ ==⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +′ ∑ − = −−⊥ ⊥ ⊥ ⊥ nzWzWziqzW nzq izWziqzW nz z zd d q izW n p pnpn ε ε αε ε ε α (28) Интегрируя выражения (28) в пределах от 1− к z и учитывая, что ( ) 110 −=−W , а ( ) 01 =−nW при 1≥n , получаем: ( ) ( ) 1sin1 0 −= αzS q zW , где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;1 1 |||| z z zS ⊥⊥ − − − = ε ε ε ε А. В. Бровенко и др. / Численно-аналитический метод… _________________________________________________________________________________________________________________ 17 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ − ⊥ − ⊥ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− −−+= z z dSq iiq d q izq izW 1 2 1 2 1 ;sin1 sin1 ξαξξε ξε ξα ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫ − = − −−⊥ ≥−= 1 0 1 1 .2, n p z pnpn ndWWiqzW ξξξξε Рассмотрим теперь выражение для коэффициента отражения (22) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .0sin00cos 0sin00cos 2 2 εακακ εακακ +− −+ = rVi rViR (29) С учетом того, что ( ) ( )00 iqWV κ= , выра- жение (29) может быть представлено в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0sin00cos0 0sin00cos0 2 2 εαα εαα iWqrr iWqrrR −− ++ = (30) Поскольку ( ) ( )∑ +∞ = = 0 00 n n nWW κ , где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;sin1 sin0 ;1sin00 20 1 0 1 2 1 0 ξξαξξε ξε ξα α dSS q i iqd q i q iW S q iW ∫ ∫ − ⊥ − ⊥ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −× ×−−= −= ( ) ( ) ( ) ( ) ,0 1 1 0 0 1 ξξξξε dWWiqW pnp n p n −− − = − ⊥∑ ∫−= при 2≥n , то (30) принимает вид , 0 0 ∑ ∑ ∞+ = +∞ == n n n n n n b a R κ κ (31) где ( ).0 ; sin cos ; sin cos 2 0 2 0 nnn s ss s ss qWba b a =−= − += − −= ε αμε α ε αμε α Из (32) имеем ∑ +∞ = = 0n n ncR κ , (32) где коэффициенты nc определяются следующим образом: ( ) , sin cos 0cos2 , sincos sincos 2 2 1 1 2 2 0 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = −+ −− = s ss sss sss Wq c c ε αμε α α αμεαε αμεαε ( ) ( ) .2, sin cos 0 sin cos sin cos cos02 2 2 1 1 2 2 2 ≥ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ∑ − = − n cW q Wqc s ss p n p pn s ss s ss n n ε αμε α ε αμε α ε αμε α α Легко видеть, что при 0=κ ,0cR = где 0c совпадает с коэффициентом отражения для полупространства 0<z , заполненного средой с материальными параметрами sε и sμ , при па- дении на него плоской однородной волны под углом α . В частности, когда 0,1 0 === css με . Таким образом, при 0→κ коэффициент отраже- ния практически не зависит от анизотропных свойств среды. 3. Примеры численного расчета. Пред- ставленный выше численно-аналитический метод апробировался на ряде задач дифракции. Компо- ненты тензора диэлектрической проницаемости слоя для этих задач задавались в следующем виде: ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )12cos ,12sin1 2 1 += ++−= zpz izpz πεε νπεε (33) и ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ). ,1 22 2 2 22 2 1 H Hp H p i zf z i izf z κνκκ κκ εε κνκκ νκκ εε −+ −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ + −= (34) В соответствии с формулой (33) имеем диэлектрическую анизотропную среду, компо- ненты тензора диэлектрической проницаемости которой являются периодическими функциями переменной z . Формула (34) моделирует полу- проводниковый слой в постоянном магнитном поле, напряженность которого параллельна оси OX. А. В. Бровенко и др. / Численно-аналитический метод… _________________________________________________________________________________________________________________ 18 Функция ( )zf – нормированная на максимальное значение распределение концентрации электро- нов полупроводника, ,, c h c h H H p p ωκ ω κ == ,hνν = Hp ωω , – плазменная и циклотронная час- тоты, ν – частота соударения электронов, ε – ди- электрическая проницаемость решетки полупро- водника. Прежде чем излагать результаты чис- ленных расчетов, приведем данные о сходимости алгоритма при увеличении числа точек дискрети- зации интервала изменения функций ( ),1 zε ( ).2 zε Как указывалось выше, основная погрешность алгоритма обусловлена аппроксимацией интегра- лов в (17) квадратурной суммой двухточечной формулы трапеций. Аналитическая оценка такой аппроксимации имеет порядок ( )( )20 κδ . На рис. 2 представлена характеристика скорости сходимости алгоритма N NN N R RR 2 2lg − =δ , где NR и NR2 – коэффициен- ты отражения, вычисленные при значениях пара- метра ( ) 11 −−= Nδ и ( ) 112 −−= Nδ . 0 50000 100000 150000 20000 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 N δ N Рис. 2. Зависимость параметра δN от числа точек дискретиза- ции N для различных значений частотного параметра Расчеты проводились для неоднородного полупроводникового слоя с компонентами тензо- ра диэлектрической проницаемости, задаваемых по формуле (34) для значений частотного пара- метра 25=κ – сплошная линия, 50=κ – пунк- тир, при следующих значениях параметров полу- проводникового слоя: ,10=pκ ,5,0 ph κκ = ,05,0=ν .53,12=ε В качестве функции, модели- рующей неоднородность слоя, была выбрана ( ) ( )14 +−= zzzf . Как видно из рис. 2, уже при =N 25 000 относительная погрешность расчета коэффициента отражения для значения частотно- го параметра κ = 25 (по толщине слоя, укладыва- ется 4 длины волны возбуждающего поля) сос- тавляет менее 0,01 % и менее 0,1 % при 50=κ . При этом время вычисления коэффициента отра- жения NR при фиксированном значении частот- ного параметра κ составляет несколько милли- секунд (процессор Intel (R) Core (ТМ) i5 CPU 760 2,8 ГГц, 03У 4,0 Гб). Эти результаты свидетельст- вуют о высокой эффективности разработанного алгоритма. Возможности предложенного алгоритма ниже продемонстрированы на численных резуль- татах, полученных для двух достаточно разных задач дифракции. На рис. 3, а показаны результаты расче- тов зависимостей модулей коэффициентов отра- жения и прохождения от частотного параметра в диапазоне 500 ≤≤ κ . Зависимость модуля коэф- фициента отражения в этом частотном диапазоне имеет осциллирующий характер, а коэффициент прохождения близок к 0. Как видно из рис. 3, б, это обусловлено периодической зависимостью реальной и мнимой частей эффективной диэлект- рической проницаемостью ( ) ( ) ( )z zz 1 2 2 2 1 эфф ε εεε − = от переменной z . При этом существуют интервалы изме- нения переменной ( )z , где реальная часть эффε принимает отрицательные значения. Такое пове- дение эффε и обусловливает резонансное поведе- ние зависимости модуля коэффициента отраже- ния R от частотного параметра. На рис. 3, в, г приведено распределение модуля напряженности магнитного поля от hz / для значений частотного параметра κ , при которых модуль коэффициента отражения имеет минимумы. Легко видеть, что поле внутри анизотропного слоя локализовано в малой окрестности той границы слоя, на которую падает возбуждающая волна (рис. 3, в, г). Вне этой окрестности поле дифракции практически равно 0. В этом случае при указанных выше зна- чениях частотного параметра коэффициент про- хождения также близок к 0 (рис. 3, а, пунктирная линия). Следовательно, при этих значениях час- тотного параметра имеет место резонансное по- глощение энергии возбуждающей волны внутри слоя. Этот эффект непосредственно связан с су- ществованием интервалов переменной z , в кото- рых реальная часть эффε является отрицательной величиной. Вторая задача – дифракции плоской од- нородной волны на полупроводниковом слое в постоянном магнитном поле. Компоненты тензо- ра диэлектрической проницаемости такого слоя моделируются по формуле (35) и зависят как от частотного параметра κ , так и переменной z . 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 0 5×104 10×104 15×104 20×104 А. В. Бровенко и др. / Численно-аналитический метод… _________________________________________________________________________________________________________________ 19 0 10 20 30 40 50 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 |R |,|T | |R| |T| κ -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 -20 -10 0 10 20 R e( ε е фф ), Im (ε еф ф) Re (εефф) Im (εефф) z/h а) б) -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0 1 2 3 4 5 6 |H x| z/h -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0 1 2 3 4 |H x| z/h в) г) Рис. 3. Частотные зависимости модулей коэффициентов отражения и прохождения (а); зависимости реальной и мнимой частей эффективной диэлектрической проницаемости εэфф от пространственной переменной hzz /= (б); зависимость модуля напряжен- ности магнитного поля |Hx| от пространственной переменной hzz /= при κ = 21,8 (в); κ = 38,8 (г) ___________________________________________ На рис. 4 представлены результаты рас- четов частотной зависимости модуля коэффици- ента отражения для случая нормального падения возбуждающей волны (сплошная линия) и на- клонного падения (α = 45°, пунктирная линия). 6 8 10 12 14 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 |R | κ Рис. 4. Частотная зависимость модуля коэффициента отраже- ния для различных углов падения: сплошная линия – α = 0°, пунктирная – α = 45° Как видно, при малых значениях частно- го параметра κ имеет место практически полное отражение. Для этих κ реальная часть эффектив- ной диэлектрической проницаемости принимает отрицательные значения. В окрестности гибридной частоты 22 Hpr κκκ += наблюдается минимум модуля коэффициента отражения. При этом значении частотного параметра реальная часть эффектив- ной диэлектрической проницаемости обращается в нуль при некотором значении переменной z , а мнимая часть принимает максимальное значе- ние (рис. 5). Как показали численные расчеты, в этом случае коэффициент поглощения, опреде- ляемый по формуле 221 TRW −−= (T – коэф- фициент прохождения), принимает максимальное значение. При более высоких значениях частотного параметра pκκ >> ( pκ – плазменная частота, со- ответствующая максимальному значению кон- центрации электронов полупроводникового слоя) реальная часть эффективной диэлектрической проницаемости становится положительной и час- тотная зависимость коэффициента отражения имеет осциллирующий характер. 6 5 4 3 2 1 0 –1,00 –0,75 –0,50 –0,25 0,00 0,25 4 3 2 1 0 –1,00 –0,75 –0,50 –0,25 0,00 0,25 20 10 0 –10 –20 –1,0 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2 0,0 А. В. Бровенко и др. / Численно-аналитический метод… _________________________________________________________________________________________________________________ 20 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300 R e( ε) ,Im (ε ) z/h Рис. 5. Зависимости реальной и мнимой частей эффективной диэлектрической проницаемости от пространственной пере- менной hzz /= при резонансном значении частотного пара- метра κрез = 7,6 Выводы. Разработан алгоритм решения задач дифракции волн на неоднородных анизо- тропных слоях, элементы тензора которых зависят только от одной пространственной переменной. Он основан на построении специальных решений задачи Коши для уравнения Рикатти. Для примене- ния разработанного алгоритма достаточно потре- бовать, чтобы эффективные диэлектрические про- ницаемости были непрерывно-дифференцируемы- ми функциями пространственной координаты. Апробация алгоритма на ряде задач ди- фракции показала его высокую вычислительную эффективность. Получена длинноволновая асимптотика для коэффициента отражения плоских однородных волн от неоднородного анизотропного диэлектри- ческого слоя в предположении, что элементы тен- зора среды не зависят от частотного параметра. Библиографический список 1. Неганов В. А. Теория и применение устройств СВЧ / В. А. Неганов, Г. П. Яровой. – М.: Радио и связь, 2006. – 718 с. 2. Шварцбург А. Б. Нанооптика градиентных диэлектриче- ских пленок / А. Б. Шварцбург, М. Б. Агранат, О. В. Чефо- нов // Квантовая электрон. – 2009. – 39, № 10. – С. 948–952. 3. Ерохин Н. С. Поляризационные эффекты в градиентной нанооптике / Н. С. Ерохин, Ю. М. Зуева, А. Б. Шварцбург // Квантовая электрон. – 2013. – 43, № 9. – С. 785–790. 4. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах / Л. М. Брехов- ских. – М.: Наука, 1973. – 343 с. 5. Зайцев В. В. Численный анализ отражений от слоя неод- нородной плазмы / В. В. Зайцев, Д. Н. Панин, Г. П. Яро- вой // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2000. – 3, № 1. – С. 9–12. 6. Моисеева Н. М. Отражение и прохождение электромаг- нитных волн на границе неоднородной среды с дисперсией: автореф. дис. …канд. физ.-мат. наук / Н. М. Моисеева. – Волгоград, 2005. – 25 с. 7. Панин Д. Н. Анализ отражений от анизотропного слоя феррита с неоднородной процессией намагниченности / Д. Н. Панин, А. В. Никушин // Материалы IV Всерос. конф. Радиолокация и радиосвязь. – ИРЭ РАН, 2010. – С. 674–680. 8. Численно-аналитический метод решения задач дифракции волн на слоисто-неоднородных средах / А. В. Бровенко, П. Н. Мележик, С. Б. Панин, А. Е. Поединчук // Физиче- ские основы приборостроения. – 2013. – 2, № 1. – С. 34–47. 9. Шестопалов В. П. Динамическая теория решеток / В. П. Шестопалов, Ю. К. Сиренко. – К.: Наук. думка, 1989. – 216 с. 10. Монастырный П. И. Вычислительные методы: в 2 т. Т. 2 / П. И. Монастырный, В. И. Крылов, В. В. Бобков. – М.: Наука, 1977. – 625 с. Рукопись поступила 07.08.2014. A. V. Brovenko, P. N. Melezhik, A. Y. Poyedinchuk A NUMERICAL ANALYTICAL METHOD FOR SOLVING PROBLEMS OF ELECTROMAGNETIC WAVE DIFFRACTION BY NON-UNIFORM ANISOTROPIC LAYERS A numerical analytical method is proposed for finding reflection and transmission amplitudes of a plane linearly pola- rized electromagnetic wave obliquely incident on a non-uniform anisotropic dielectric layer, the tensor elements of which depend on a single spatial coordinate. The method is based on constructing a special case solution to the Riccati equation for the Cauchy prob- lem and enables a qualitative description of the wave diffraction by the electrodynamical structure of the type within a unitary framework. The method efficiency is demonstrated by the numeri- cal solution results obtained for a set of diffraction problems on non-uniform gyrotropic plasma-like layers. Long-wave asymptot- ics of the reflection coefficient of a plane homogeneous wave have been obtained in the case of its incidence on a non-uniform gyro- tropic layer whose tensor elements do not depend on the frequency parameter. Key words: non-uniform anisotropic layer, dielectric permittivity tensor, wave diffraction, Cauchy problem for Riccati equation, numerical analytical method. А. В. Бровенко, П. М. Мележик, А. Ю. Поєдинчук ЧИСЕЛЬНО-АНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ДИФРАКЦІЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ НА НЕОДНОРІДНИХ АНІЗОТРОПНИХ ШАРАХ Запропоновано чисельно-аналітичний метод для ви- значення амплітуд відбиття та проходження плоскої лінійно поляризованої електромагнітної хвилі, що падає під нахилом на неоднорідний анізотропний діелектричний шар, елементи тензора якого залежать тільки від однієї просторової коорди- нати. Основою методу є побудова спеціальних розв’язків задачі Коші для рівняння Рікатті, що дає можливість у рамках єдиного підходу якісно дослідити процес дифракції хвиль на електродинамічних структурах такого типу. Ефективність запропонованого методу показано на низці приладів чисель- ного розв’язання задач дифракції на неоднорідних гіротроп- них плазмоподібних шарах. Одержано довгохвильову асимп- тотику для коефіцієнта відбиття плоскої однорідної хвилі від неоднорідного гіротропного шару враховуючи те, що елемен- ти тензора останнього не залежать від частотного параметра. Ключові слова: неоднорідний анізотропний шар, тензор діелектричної проникності, дифракція хвиль, задача Коші для рівняння Рікатті, чисельно-аналітичний метод. 300 250 200 150 100 50 0 –50 –100 –150 –1,0 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2 0,0

Схожі ресурси