Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть 4. Скорость сходимости проекционных приближений

В данной части работы продолжено изложение основ разработанного обобщения метода сшивания для анализа рассеяния волноводных мод. Рассматривается задача аналитической оценки скорости сходимости проекционных приближений к операторным формулам Френеля, безусловная сходимость которых была доказана ранее...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Радіофізика та електроніка
Date:	2015
Main Authors:	Петрусенко, И.В., Сиренко, Ю.К.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2015
Subjects:	Микроволновая электродинамика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106184
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть 4. Скорость сходимости проекционных приближений / И.В. Петрусенко, Ю.К. Сиренко // Радіофізика та електроніка. — 2015. — Т. 6(20), № 2. — С. 15-19. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-106184
record_format	dspace
spelling	Петрусенко, И.В. Сиренко, Ю.К. 2016-09-21T09:53:26Z 2016-09-21T09:53:26Z 2015 Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть 4. Скорость сходимости проекционных приближений / И.В. Петрусенко, Ю.К. Сиренко // Радіофізика та електроніка. — 2015. — Т. 6(20), № 2. — С. 15-19. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106184 517.9+535.4 В данной части работы продолжено изложение основ разработанного обобщения метода сшивания для анализа рассеяния волноводных мод. Рассматривается задача аналитической оценки скорости сходимости проекционных приближений к операторным формулам Френеля, безусловная сходимость которых была доказана ранее. На примере канонической скалярной задачи дифракции волн на ступеньке в прямоугольном волноводе дан вывод погрешности приближений операторов отражения и прохождения волн. Показано, что поставленную задачу решает рассмотрение сильной P-сходимости проекционного представления амплитудного оператора рассеяния. В результате впервые найдена аналитическая оценка скорости сходимости приближений операторов рассеяния, полученных методом редукции операторных формул Френеля. Правильность найденных закономерностей подтверждена численным расчетом. Полученные результаты позволяют определить вычислительную эффективность обобщенного метода сшивания. У цій частині роботи продовжено викладення основ розробленого узагальнення методу зшивання для аналізу розсіювання мод хвилеводів. Розглядається задача аналітичної оцінки швидкості збіжності проекційних наближень до операторних формул Френеля, безумовна збіжність яких була доведена раніше. На прикладі канонічної скалярної задачі дифракції хвиль на сходинці в прямокутному хвилеводі надано виведення похибки наближень операторів відбиття й проходження хвиль. Показано, що поставлена проблема вирішується через розгляд сильної Р-збіжності проекційного подання амплітудного оператора розсіювання. В результаті вперше знайдена аналітична оцінка швидкості збіжності наближень до операторів розсіювання, отриманих методом редукції операторних формул Френеля. Правильність знайдених закономірностей підтверджена числовим розрахунком. Отримані результати дозволяють визначити обчислювальну ефективність узагальненого методу зшивання. In this part of the work, we continue consideration about the basics of the generalized mode-matching technique, which has recently been developed for the analysis of wave diffraction. The problem of analytical estimate of the rate of convergence of projection approximations to the operator Fresnel formulae is discussed. The unconditional strong convergence of these approximations to the true scattering operators was proved previously. For the canonical scalar problem of wave diffraction on the step discontinue in a guide a measure of inaccuracy for the approximations of scattering operators has been derived analytically. These projective approximations under consideration are the truncated Fresnel formulae for the reflection and transmission operators. It is shown that the problem can be solved by examination of strong P–convergence of projective representations of an amplitude scattering operator. An analytical estimate of the rate of convergence of approximations for the scattering operators under consideration has been obtained. The found order of approximations has been verified by numerical computation. The results obtained allow us to estimate the computational efficiency of the generalized mode-matching technique, which can be useful for numerical-analytical solution of various electromagnetic problems. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радіофізика та електроніка Микроволновая электродинамика Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть 4. Скорость сходимости проекционных приближений Узагальнений метод зшивання в теорії дифракції мод хвилеводів. Частина 4. Швидкість збіжності проекційних наближень Generalized mode-matching technique in the theory of mode diffraction. Part 4. Rate of convergence for projective approximations Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть 4. Скорость сходимости проекционных приближений
spellingShingle	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть 4. Скорость сходимости проекционных приближений Петрусенко, И.В. Сиренко, Ю.К. Микроволновая электродинамика
title_short	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть 4. Скорость сходимости проекционных приближений
title_full	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть 4. Скорость сходимости проекционных приближений
title_fullStr	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть 4. Скорость сходимости проекционных приближений
title_full_unstemmed	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть 4. Скорость сходимости проекционных приближений
title_sort	обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. часть 4. скорость сходимости проекционных приближений
author	Петрусенко, И.В. Сиренко, Ю.К.
author_facet	Петрусенко, И.В. Сиренко, Ю.К.
topic	Микроволновая электродинамика
topic_facet	Микроволновая электродинамика
publishDate	2015
language	Russian
container_title	Радіофізика та електроніка
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
format	Article
title_alt	Узагальнений метод зшивання в теорії дифракції мод хвилеводів. Частина 4. Швидкість збіжності проекційних наближень Generalized mode-matching technique in the theory of mode diffraction. Part 4. Rate of convergence for projective approximations
description	В данной части работы продолжено изложение основ разработанного обобщения метода сшивания для анализа рассеяния волноводных мод. Рассматривается задача аналитической оценки скорости сходимости проекционных приближений к операторным формулам Френеля, безусловная сходимость которых была доказана ранее. На примере канонической скалярной задачи дифракции волн на ступеньке в прямоугольном волноводе дан вывод погрешности приближений операторов отражения и прохождения волн. Показано, что поставленную задачу решает рассмотрение сильной P-сходимости проекционного представления амплитудного оператора рассеяния. В результате впервые найдена аналитическая оценка скорости сходимости приближений операторов рассеяния, полученных методом редукции операторных формул Френеля. Правильность найденных закономерностей подтверждена численным расчетом. Полученные результаты позволяют определить вычислительную эффективность обобщенного метода сшивания. У цій частині роботи продовжено викладення основ розробленого узагальнення методу зшивання для аналізу розсіювання мод хвилеводів. Розглядається задача аналітичної оцінки швидкості збіжності проекційних наближень до операторних формул Френеля, безумовна збіжність яких була доведена раніше. На прикладі канонічної скалярної задачі дифракції хвиль на сходинці в прямокутному хвилеводі надано виведення похибки наближень операторів відбиття й проходження хвиль. Показано, що поставлена проблема вирішується через розгляд сильної Р-збіжності проекційного подання амплітудного оператора розсіювання. В результаті вперше знайдена аналітична оцінка швидкості збіжності наближень до операторів розсіювання, отриманих методом редукції операторних формул Френеля. Правильність знайдених закономірностей підтверджена числовим розрахунком. Отримані результати дозволяють визначити обчислювальну ефективність узагальненого методу зшивання. In this part of the work, we continue consideration about the basics of the generalized mode-matching technique, which has recently been developed for the analysis of wave diffraction. The problem of analytical estimate of the rate of convergence of projection approximations to the operator Fresnel formulae is discussed. The unconditional strong convergence of these approximations to the true scattering operators was proved previously. For the canonical scalar problem of wave diffraction on the step discontinue in a guide a measure of inaccuracy for the approximations of scattering operators has been derived analytically. These projective approximations under consideration are the truncated Fresnel formulae for the reflection and transmission operators. It is shown that the problem can be solved by examination of strong P–convergence of projective representations of an amplitude scattering operator. An analytical estimate of the rate of convergence of approximations for the scattering operators under consideration has been obtained. The found order of approximations has been verified by numerical computation. The results obtained allow us to estimate the computational efficiency of the generalized mode-matching technique, which can be useful for numerical-analytical solution of various electromagnetic problems.
issn	1028-821X
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106184
citation_txt	Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть 4. Скорость сходимости проекционных приближений / И.В. Петрусенко, Ю.К. Сиренко // Радіофізика та електроніка. — 2015. — Т. 6(20), № 2. — С. 15-19. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT petrusenkoiv obobŝennyimetodsšivaniâvteoriidifrakciivolnovodnyhmodčastʹ4skorostʹshodimostiproekcionnyhpribliženii AT sirenkoûk obobŝennyimetodsšivaniâvteoriidifrakciivolnovodnyhmodčastʹ4skorostʹshodimostiproekcionnyhpribliženii AT petrusenkoiv uzagalʹneniimetodzšivannâvteoríídifrakcíímodhvilevodívčastina4švidkístʹzbížnostíproekcíinihnabliženʹ AT sirenkoûk uzagalʹneniimetodzšivannâvteoríídifrakcíímodhvilevodívčastina4švidkístʹzbížnostíproekcíinihnabliženʹ AT petrusenkoiv generalizedmodematchingtechniqueinthetheoryofmodediffractionpart4rateofconvergenceforprojectiveapproximations AT sirenkoûk generalizedmodematchingtechniqueinthetheoryofmodediffractionpart4rateofconvergenceforprojectiveapproximations
first_indexed	2025-11-25T12:07:33Z
last_indexed	2025-11-25T12:07:33Z
_version_	1850511969796227072
fulltext	ММИИККРРООВВООЛЛННООВВААЯЯ ЭЭЛЛЕЕККТТРРООДДИИННААММИИККАА _________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028−821X Радиофизика и электроника. 2015. Т. 6(20). № 2 © ИРЭ НАН Украины, 2015 УДК 517.9+535.4 И. В. Петрусенко1, Ю. К. Сиренко2,3 1Университет таможенного дела и финансов 8, ул. Рогалева, Днепропетровск, 49000, Украина E-mail: petrusigor@yahoo.com 2Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина 3Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева 2, ул. Мирзояна, Астана, 010000, Республика Казахстан Е-mail: yks@bk.ru ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД СШИВАНИЯ В ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ ВОЛНОВОДНЫХ МОД. ЧАСТЬ 4. СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ ПРОЕКЦИОННЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ В данной части работы продолжено изложение основ разработанного обобщения метода сшивания для анализа рассеяния волноводных мод. Рассматривается задача аналитической оценки скорости сходимости проекционных приближений к оператор- ным формулам Френеля, безусловная сходимость которых была доказана ранее. На примере канонической скалярной задачи ди- фракции волн на ступеньке в прямоугольном волноводе дан вывод погрешности приближений операторов отражения и прохожде- ния волн. Показано, что поставленную задачу решает рассмотрение сильной P-сходимости проекционного представления ампли- тудного оператора рассеяния. В результате впервые найдена аналитическая оценка скорости сходимости приближений операторов рассеяния, полученных методом редукции операторных формул Френеля. Правильность найденных закономерностей подтвержде- на численным расчетом. Полученные результаты позволяют определить вычислительную эффективность обобщенного метода сшивания. Ил. 1. Библиогр.: 6 назв. Ключевые слова: метод сшивания, операторные формулы Френеля, скорость сходимости приближений. В предыдущих трех частях работы [1–3] на основе новой формулировки задачи дифракции волноводных мод была развита теория обобщен- ного метода сшивания. Новый подход позволил: – строго доказать существование, единствен- ность и устойчивость решений матрично- операторных уравнений метода сшивания для двух классов задач электродинамического анализа; – выяснить, что корректность матричной мо- дели является прямым следствием закона сохра- нения энергии; – доказать безусловную сходимость проекци- онных приближений метода редукции к истин- ным операторам рассеяния; – аналитически оценить число обусловленнос- ти бесконечной и редуцированной матриц итого- вой модели. В данной части работы рассматривается практически важная задача оценивания a priori количественных параметров сходимости прибли- жений метода редукции, которая была труднораз- решимой в рамках стандартного варианта метода сшивания. Используя технику матричных опера- торов, мы выводим аналитическую оценку скорос- ти сходимости приближений для операторов от- ражения R и прохождения волн T на примере той же канонической скалярной задачи дифрак- ции мод типа { }0 1m mLM ∞ = и { }1 0m mLE ∞ = на скачке поперечного сечения прямоугольного волновода, которая была ранее рассмотрена в статье [1]. При выводе этой оценки мы будем ис- пользовать основные понятия, терминологию и обозначения предыдущих частей работы [1–3], а также следующее определение порядка аппрокси- мации матричного оператора (см., например, [4]). Для заданной бесконечно малой числовой после- довательности { } 1N N N να ∞− = = , 0ν > , последова- тельность проекционных приближений { }R  P-сходится к матричному оператору :R 2 2→  со скоростью Nα , если ( ) const Nh α≤ ⋅b P RP - R  (1) при этом порядок аппроксимации оператора R на векторе b равен ν . В неравенстве (1) P есть заданный ортопроектор, а норма вычисляется в пространстве 2h ≡ P . В данном исследовании возникают такие приближения матричного оператора, которые содержат сопряженные ортопроекторы P и = −Q I P ( )= =PQ Q P 0 , перемежающие в неко- тором порядке составные части этого оператора. Это обобщение обычной редукции матричного оператора будем полагать проекционным пред- ставлением данного оператора даже тогда, когда такому приближению трудно придать прямой физический смысл. Погрешность проекционных прибли- жений операторов рассеяния. Для класса задач дифракции мод на скачкообразной неоднород- ности в волноводе матричная модель обобщенно- го метода сшивания имеет вид формул Френеля для операторов рассеяния [1]. В случае рассмат- mailto:petrusigor@yahoo.com mailto:yks@bk.ru И. В. Петрусенко, Ю. К. Сиренко / Обобщенный метод сшивания… _________________________________________________________________________________________________________________ 16 риваемой задачи о ступеньке в волноводе эти формулы имеют следующий вид: ( ) . 2 1 ,3,2 ,, 0 01 00 00       =         =+         +=         = + − = − p qpTp pq T T p p p p D D IDT DD DD DID ID R (2) Здесь pR есть (с точностью до знака) оператор отражения в p-м плече, pq T суть оператор про- хождения волн из p-го плеча в q-е плечо, а базо- вый оператор задачи 0D определен скалярным произведением поперечных собственных функ- ций двух частичных областей и постоянными распространения волноводных мод [1]. Для наших целей имеет смысл записать формулы (2) в обозначениях пары «амплитудных операторов рассеяния» ( )     =− =+ ⇔      + = += − , , , ,1 ppp pp p p p pp RAB IAB ID D B IDA (3) в следующем виде:             =         = −=−= . 2 1 ,2 ,22 0 0 pTp pq ppp D D AT IBAIR (4) Из свойства аккретивности оператора задачи Re 0p >D вытекает, что амплитудные операторы рассеяния (3) являются аккретивными сжатиями, †Re 0p p p> >A A A , †Re 0p p p> >B B B [1]. Для построения проекционных прибли- жений к операторам рассеяния (4) используем бесконечномерные ортопроекторы [2] ,, 1)0( )( KK K p pnmp K mnK P PIQP −≡         =≡ ∑ = δδ (5) где ,K M N= означает число учитываемых мод в двух полубесконечных волноводах, а mnδ есть символ Кронекера. Ниже полагаем, что поле в p-м волноводе, 2,1=p , редуцировано к сумме M мод, тогда как N мод учитывается в смежной области. Рассматриваемые проекционные при- ближения               =         =         =         =−= , 2 1 , ~ 2 , ~ 2 0 0 p pq Tp pq p MpMp 00 0T D D AT 00 0RPAPR     (6) представляют собой расширения конечномерных приближений pR и pq T [2] до бесконечно- мерных матриц с помощью нулей (как это симво- лически показано в выражениях (6) с помощью блочных матриц). Здесь обозначено ( ) . 2 1 , , , ,, 00 00 00 111       =             =     = ==+= −−− p M N N M T T p pppppp P P D P P D DD DD D IAAAAIDA      (7) В работе [2] было найдено, что сильная P-сходи- мость проекционных приближений (6) к истин- ным операторам рассеяния (4) определена силь- ной P-сходимостью разности известных операто- ров )( , p NMppM ΛDDP =−  к нулевому оператору. Для рассматриваемой задачи эту разность можно представить в виде . 0 0 0 0)( , M T NTMMpM p NM P D DQ D D PQDPΛ                 += (8) Для целей исследования P-сходимости операторов рассеяния образуем разности ;2 )( , Mp p NMppMpM PAΛARPRP  =− (9) .)( , N pqp NMp pq N pq M PTΛATPTP  −=− (10) Тогда с учетом свойств 1p <A , 2pq <T [5] из равенств (9) и (10) получаем оценку ( ) ( ) 1 2 , M p M p M Npq pq M N −  < + −  b P R P R a Q a Q b P T P T   (11) где 1 2 2, ∈a a  при 2∀ ∈b  [2]. Итак, сильная P-сходимость проекцион- ных приближений (6) при любых значениях от- ношения /M N является следствием сильной сходимости ортопроектора , ,K K M N=Q , к ну- левому оператору в пространстве 2 . Наличие двух слагаемых в выражении (11) означает необ- ходимость одновременного и независимого вы- полнения условий M →∞ и N →∞ предельного перехода. Далее будет показано, что скорость схо- димости приближений (6) можно оценить, ис- пользуя свойства оператора ,2 0 0)( , M T N pq Mp p NM P D DQTQB         +=ϒ (12) который также запишем в эквивалентной форме И. В. Петрусенко, Ю. К. Сиренко / Обобщенный метод сшивания… _________________________________________________________________________________________________________________ 17 . 0 0 0 0)( ,                 −         = M T N T pqp NM P D DP D DTϒ (13) Из последнего выражения ясно, что этот оператор суть проекционное представление амплитудного оператора 2 pB , 1p <B . Из разложения оператора )( , p NMϒ по со- пряженным ортопроекторам (12) следует, что для произвольного вектора 2∈b  справедлива тео- рема Пифагора . 2 2 0 0 22)( , M T N pq Mp p NM P D DQTb QBbb         + +=ϒ (14) Пусть вектор источника поля b таков, что 1 p M=d b B Q и 2 pq N=d b TQ , 1 2 2, ∈d d  , суть векторы коэффициентов разложения поля в апер- туре рассматриваемой неоднородности. Степен- ной закон убывания этих коэффициентов при больших значениях индекса известен [6], он определяется геометрией острого ребра ступень- ки и не зависит от рассеиваемой волны. В нашем случае идеально проводящего (металлического) прямоугольного клина имеем: (1) (2),m md d = ( )7/6 , 1O m m− >> . Теперь, воспользовавшись асимптотиче- ской оценкой для остатка ряда ( ) 2 2 10 7/6 4/3 1 constconst 1 , 1, m K O K K m K ∞ − = +    = + >>     ∑ (15) равенство (14) перепишем в виде ( ) ( ), constconst 6/76/7 3/4 2 2 3/4 2 12)( , −− ++ ++= NOMO NM p NMϒb (16) и, значит, .,0lim 2 )( ,, ∈∀= ∞→ bb p NMNM ϒ Лемма. Справедливо тождество .2 12 1 )( , )( , )( , −       −= p NM p NMM p NMp ϒϒ IPΛA  (17) Доказательство. Используя выражение (8), находим ( ) . 2 1 , 2 0 0 )( ,       =         ′+ +′+= pM T N pq MpM p NMp P D DQT QRPΛA   (18) Здесь мы ввели новые проекционные представле- ния операторов рассеяния по формулам . 2 1 ,2 ,2 0 0       =         =′ =′+ pTMp pq pMppM D DPAT DPARP   (19) Далее заметим, что аппроксимации p′R  и pq ′T  сильно P-сходятся к соответствующим истинным операторам рассеяния. Действительно, разности TΛATTP BΛARRP pqp NMp pqpq M p p NMpppM )( , )( , ,2   −=′− −=′− (20) вполне аналогичны равенствам (9), (10) и, значит, для них справедливы оценки типа (11). Выделяя эти новые проекционные представления операто- ров рассеяния из соотношений (20) и исключая их из равенства (18), приходим к тождеству ( ) ,2 )( , )( , )( , p NM p NMpM p NMp ϒΛAPΛA  += (21) которое также может быть записано в виде (17). Теорема. Проекционные приближения (6) сильно P-сходятся к истинным операторам рассе- яния (4) со скоростью 2/3 2/3,M N− − при , 1M N >> для всех векторов источника поля 2∈b  . Доказательство. Подставляя тождество (17) в равенство (9), находим оценку ( ) 1 ( ) ( ) , , 1 . 2 p p M p M p M M N M N −  − < −    b P R P R b P I  ϒ ϒ Второй множитель в правой части этого выраже- ния является величиной ограниченной; его зави- симостью от величин M и N можно пренебречь. Далее, для любого конечномерного вектора 2, ,M ∈b P b  мы можем воспользоваться резуль- татом (16). Тогда при условии 1, >>NM полу- чаем неравенство ( )              +      + ≤− .const1 const ,const1 const 3/4 2 63/2 5 3/4 2 43/2 3 M N N N M M pMpM RPRPb  Итак, порядок аппроксимации оператора отраже- ния равен 2 / 3ν = . При том же допущении точно такая же оценка скорости сходимости приближе- ний следует из выражения (10) для оператора прохождения волн pq T. Ниже на рисунке показаны типичные ре- зультаты компьютерной верификации получен- ной аналитической оценки порядка аппроксима- ции оператора отражения 1R для задачи о сту- пеньке в H-плоскости. Численные данные пред- ставлены таким образом, чтобы величина ν− соответствовала угловому коэффициенту k урав- нения прямой. Результаты вычислений соответ- И. В. Петрусенко, Ю. К. Сиренко / Обобщенный метод сшивания… _________________________________________________________________________________________________________________ 18 ствуют значениям / 1,3a λ = , / 0,5b a = , { }/ 2;1/ 2M N = и заданному вектору источника поля { }1 1m mδ ∞ ==b . При проведении вычислений в качестве истинного оператора отражения 1R принималась конечная 0 0M M× матрица, которая извлекалась из редуцированной модели (41) статьи [1] для значений M0 = 4 000, N0 = 2 000 0 0( / / )M N a b= . При этом величина числа обусловленности обра- щаемой блочной матрицы размером 6 000 × 6 000 не превышала значения 1,75. Закономерность убывания погрешности аппроксимаций опе- ратора отражения при увеличении числа учитываемых мод волноводов: круги – расчет; пунктир – интерполяционная прямая; сплошная линия – аналитическая оценка На рисунке видно, что при относительно небольших значениях величины N отклонения вычисленных значений от интерполяционной прямой несколько больше для прямой 2 (M / N = 1/2), чем при отношении M / N = 2, кото- рое отвечает правилу Миттры (прямая 1). На рисунке прямая 1 имеет тангенс угла наклона k = – 0,638, а для прямой 2 k = – 0,675. Таким образом, для приведенных на ри- сунке графиков величина относительной погреш- ности предсказанного значения 2 / 3ν = не пре- вышает 4,5 %. Выводы. На примере канонической за- дачи о ступеньке в прямоугольном волноводе впервые найдена аналитическая оценка скорости сильной P-сходимости приближений операторов рассеяния, полученных редукцией операторных формул Френеля. Как и следовало ожидать, скорость схо- димости исследуемых проекционных приближе- ний определяется степенью убывания коэффици- ентов { }md=d модового разложения поля в апертуре волноводной неоднородности. Показа- но, что для рассматриваемой задачи порядок ап- проксимации операторов отражения R и про- хождения волн T близок к величине 2 / 3ν = при ( )7/6 md O m−= , 1m >> , для всех векторов источ- ника поля 2∈b  . Рассмотренные операторные формулы Френеля носят универсальный характер для клас- са задач дифракции мод на скачкообразных неод- нородностях в волноводе [1]. Поэтому предло- женный метод исследования и полученные ре- зультаты будут полезны при строгом анализе та- ких неоднородностей. Библиографический список 1. Пет русенко И. В. Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. I. Формулы Френеля для операторов рассеяния / И. В. Петрусенко, Ю. К. Сиренко // Радиофизика и электрон. – 2012. – 3(17), № 3. – С. 8–15. 2. Пет русенко И. В. Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. II. Сходимость проекцион- ных приближений / И. В. Петрусенко, Ю. К. Сиренко // Радиофизика и электрон. – 2012. – 3(17), № 4. – С. 18–21. 3. Пет русенко И. В. Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. III. Рассеяние волн на резони- рующих неоднородностях / И. В. Петрусенко, Ю. К. Сирен- ко // Радиофизика и электрон. – 2012. – 3(17), № 4. – С. 22–28. 4. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. – М.: Физматлит, 2002. – 488 с. 5. Petrusenko I. V. Generalization of the power conservation law for scalar mode-diffraction problems / I. V. Petrusenko, Yu. K. Sirenko // Telecommunications and Radio Engineer- ing. – 2009. – 68, N 16. – Р. 1399–1410. 6. Мит т ра Р. Аналитические методы теории волноводов / Р. Миттра, С. Ли; пер. с англ. под ред. Г. В. Воскресенс- кого. – М.: Мир, 1974. – 327 с. Рукопись пост упила 19.05.2015. I. V. Petrusenko, Yu. K. Sirenko GENERALIZED MODE-MATCHING TECH- NIQUE IN THE THEORY OF MODE DIFFRACTION. PART 4. RATE OF CONVERGENCE FOR PROJECTIVE APPROXIMATIONS In this part of the work, we continue consideration about the basics of the generalized mode-matching technique, which has recently been developed for the analysis of wave dif- fraction. The problem of analytical estimate of the rate of conver- gence of projection approximations to the operator Fresnel formu- lae is discussed. The unconditional strong convergence of these approximations to the true scattering operators was proved previ- ously. For the canonical scalar problem of wave diffraction on the step discontinue in a guide a measure of inaccuracy for the approx- imations of scattering operators has been derived analytically. These projective approximations under consideration are the trun- cated Fresnel formulae for the reflection and transmission opera- tors. It is shown that the problem can be solved by examination of strong P–convergence of projective representations of an ampli- tude scattering operator. An analytical estimate of the rate of con- vergence of approximations for the scattering operators under consideration has been obtained. The found order of approxima- tions has been verified by numerical computation. The results –1,4 –1,8 –2,2 –2,6 –3,0 1,0 1,4 1,8 2,2 2,6 3,0 lg (N) lg (\| \| b (P M R P M – R )\|\| ) 1 2 И. В. Петрусенко, Ю. К. Сиренко / Обобщенный метод сшивания… _________________________________________________________________________________________________________________ 19 obtained allow us to estimate the computational efficiency of the generalized mode-matching technique, which can be useful for numerical-analytical solution of various electromagnetic problems. Key words: mode-matching technique, operator Fres- nel formulae, rate of convergence. І. В. Петрусенко, Ю. К. Сіренко УЗАГАЛЬНЕНИЙ МЕТОД ЗШИВАННЯ В ТЕОРІЇ ДИФРАКЦІЇ МОД ХВИЛЕВОДІВ. ЧАСТИНА 4. ШВИДКІСТЬ ЗБІЖНОСТІ ПРОЕКЦІЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ У цій частині роботи продовжено викладення основ розробленого узагальнення методу зшивання для аналізу роз- сіювання мод хвилеводів. Розглядається задача аналітичної оцінки швидкості збіжності проекційних наближень до опера- торних формул Френеля, безумовна збіжність яких була дове- дена раніше. На прикладі канонічної скалярної задачі дифрак- ції хвиль на сходинці в прямокутному хвилеводі надано виве- дення похибки наближень операторів відбиття й проходження хвиль. Показано, що поставлена проблема вирішується через розгляд сильної Р-збіжності проекційного подання амплітуд- ного оператора розсіювання. В результаті вперше знайдена аналітична оцінка швидкості збіжності наближень до опера- торів розсіювання, отриманих методом редукції операторних формул Френеля. Правильність знайдених закономірностей підтверджена числовим розрахунком. Отримані результати дозволяють визначити обчислювальну ефективність узагаль- неного методу зшивання. Ключові слова: метод зшивання, операторні фор- мули Френеля, швидкість збіжності наближень. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД СШИВАНИЯ В ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ ВОЛНОВОДНЫХ МОД. Часть 4. СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ ПРОЕКЦИОННЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть 4. Скорость сходимости проекционных приближений

Institution

Similar Items