Одномерные обратные задачи электромагнитного зондирования слоистых диэлектрических сред

Задача о восстановления профиля диэлектрической проницаемости слоистой диэлектрической среды по значениям коэффициента отражения для конечного множества частот зондирующей плоской электромагнитной волны является актуальной в связи с разработкой современных методов неразрушающего контроля. Для ее реш...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Радіофізика та електроніка
Дата:	2015
Автори:	Бровенко, А.В., Вертий, А.А., Мележик, Н.П., Мележик, П.Н., Поединчук, А.Е.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2015
Теми:	Прикладная радиофизика
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106259
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Одномерные обратные задачи электромагнитного зондирования слоистых диэлектрических сред / А.В. Бровенко, А.А. Вертий, Н.П. Мележик, П.Н. Мележик, А.Е. Поединчук // Радіофізика та електроніка. — 2015. — Т. 6(20), № 4. — С. 92-97. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-106259
record_format	dspace
spelling	Бровенко, А.В. Вертий, А.А. Мележик, Н.П. Мележик, П.Н. Поединчук, А.Е. 2016-09-21T16:42:33Z 2016-09-21T16:42:33Z 2015 Одномерные обратные задачи электромагнитного зондирования слоистых диэлектрических сред / А.В. Бровенко, А.А. Вертий, Н.П. Мележик, П.Н. Мележик, А.Е. Поединчук // Радіофізика та електроніка. — 2015. — Т. 6(20), № 4. — С. 92-97. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106259 537.874.4 Задача о восстановления профиля диэлектрической проницаемости слоистой диэлектрической среды по значениям коэффициента отражения для конечного множества частот зондирующей плоской электромагнитной волны является актуальной в связи с разработкой современных методов неразрушающего контроля. Для ее решения исходные задачи сведены к поиску оптимального управления (профиля диэлектрической проницаемости) задачи Коши для уравнения Риккати. Построение оптимального управления в классе полиномиальных функций основано на минимизации соответствующего функционала. Предложен критерий отбора полиномиальных аппроксимаций профиля диэлектрической проницаемости, который использует разделение входных данных на обучающую и проверочную последовательности зондирующих частот. Проведен анализ погрешности восстановления мнимой части диэлектрической проницаемости слоистой среды. Задача про відновлення профілю діелектричної проникності шаруватого діелектричного середовища за значеннями коефіцієнта відбиття для кінцевого числа частот зондуючої плоскої електромагнітної хвилі є актуальною у зв’язку з розробкою сучасних методів неруйнівного контролю. Для її розв’язання первинні задачі зведено до пошуку оптимального керування (профілю діелектричної проникності) задачі Коші для рівняння Ріккаті. Побудова оптимального керування в класі поліноміальних функцій засновано на мінімізації відповідного функціоналу. Запропоновано критерій відбору поліноміальних апроксимацій профілю діелектричної проникності, який використовує розділення вхідних даних на навчальну і перевірочну послідовності зондуючих частот. Проведено аналіз похибки відновлення уявної частини діелектричної проникності шаруватого середовища. The problem of permittivity profile reconstruction from reflection coefficient data for a stratified dielectric medium illuminated with a probing plane electromagnetic wave at a finite set of frequencies is considered to deal with a topical problem in the context of the development of state-of-the-art nondestructive methods of testing. The initial problem is reduced to the search of an optimal control (permittivity profile) of the Cauchy problem for the Riccati equation. The optimal control is treated in the class of polynomial functions and is based on the minimization of a relevant functional. A criterion is suggested for choosing polynomial approximations to the permittivity profile, which separates input data sets between training and test sequences of probing frequencies. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радіофізика та електроніка Прикладная радиофизика Одномерные обратные задачи электромагнитного зондирования слоистых диэлектрических сред Одновимірні обернені задачі електромагнітного зондування шаруватих діелектричних середовищ One-dimensional inverse problems of electromagnetic probing stratified dielectric media Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Одномерные обратные задачи электромагнитного зондирования слоистых диэлектрических сред
spellingShingle	Одномерные обратные задачи электромагнитного зондирования слоистых диэлектрических сред Бровенко, А.В. Вертий, А.А. Мележик, Н.П. Мележик, П.Н. Поединчук, А.Е. Прикладная радиофизика
title_short	Одномерные обратные задачи электромагнитного зондирования слоистых диэлектрических сред
title_full	Одномерные обратные задачи электромагнитного зондирования слоистых диэлектрических сред
title_fullStr	Одномерные обратные задачи электромагнитного зондирования слоистых диэлектрических сред
title_full_unstemmed	Одномерные обратные задачи электромагнитного зондирования слоистых диэлектрических сред
title_sort	одномерные обратные задачи электромагнитного зондирования слоистых диэлектрических сред
author	Бровенко, А.В. Вертий, А.А. Мележик, Н.П. Мележик, П.Н. Поединчук, А.Е.
author_facet	Бровенко, А.В. Вертий, А.А. Мележик, Н.П. Мележик, П.Н. Поединчук, А.Е.
topic	Прикладная радиофизика
topic_facet	Прикладная радиофизика
publishDate	2015
language	Russian
container_title	Радіофізика та електроніка
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
format	Article
title_alt	Одновимірні обернені задачі електромагнітного зондування шаруватих діелектричних середовищ One-dimensional inverse problems of electromagnetic probing stratified dielectric media
description	Задача о восстановления профиля диэлектрической проницаемости слоистой диэлектрической среды по значениям коэффициента отражения для конечного множества частот зондирующей плоской электромагнитной волны является актуальной в связи с разработкой современных методов неразрушающего контроля. Для ее решения исходные задачи сведены к поиску оптимального управления (профиля диэлектрической проницаемости) задачи Коши для уравнения Риккати. Построение оптимального управления в классе полиномиальных функций основано на минимизации соответствующего функционала. Предложен критерий отбора полиномиальных аппроксимаций профиля диэлектрической проницаемости, который использует разделение входных данных на обучающую и проверочную последовательности зондирующих частот. Проведен анализ погрешности восстановления мнимой части диэлектрической проницаемости слоистой среды. Задача про відновлення профілю діелектричної проникності шаруватого діелектричного середовища за значеннями коефіцієнта відбиття для кінцевого числа частот зондуючої плоскої електромагнітної хвилі є актуальною у зв’язку з розробкою сучасних методів неруйнівного контролю. Для її розв’язання первинні задачі зведено до пошуку оптимального керування (профілю діелектричної проникності) задачі Коші для рівняння Ріккаті. Побудова оптимального керування в класі поліноміальних функцій засновано на мінімізації відповідного функціоналу. Запропоновано критерій відбору поліноміальних апроксимацій профілю діелектричної проникності, який використовує розділення вхідних даних на навчальну і перевірочну послідовності зондуючих частот. Проведено аналіз похибки відновлення уявної частини діелектричної проникності шаруватого середовища. The problem of permittivity profile reconstruction from reflection coefficient data for a stratified dielectric medium illuminated with a probing plane electromagnetic wave at a finite set of frequencies is considered to deal with a topical problem in the context of the development of state-of-the-art nondestructive methods of testing. The initial problem is reduced to the search of an optimal control (permittivity profile) of the Cauchy problem for the Riccati equation. The optimal control is treated in the class of polynomial functions and is based on the minimization of a relevant functional. A criterion is suggested for choosing polynomial approximations to the permittivity profile, which separates input data sets between training and test sequences of probing frequencies.
issn	1028-821X
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106259
citation_txt	Одномерные обратные задачи электромагнитного зондирования слоистых диэлектрических сред / А.В. Бровенко, А.А. Вертий, Н.П. Мележик, П.Н. Мележик, А.Е. Поединчук // Радіофізика та електроніка. — 2015. — Т. 6(20), № 4. — С. 92-97. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT brovenkoav odnomernyeobratnyezadačiélektromagnitnogozondirovaniâsloistyhdiélektričeskihsred AT vertiiaa odnomernyeobratnyezadačiélektromagnitnogozondirovaniâsloistyhdiélektričeskihsred AT meležiknp odnomernyeobratnyezadačiélektromagnitnogozondirovaniâsloistyhdiélektričeskihsred AT meležikpn odnomernyeobratnyezadačiélektromagnitnogozondirovaniâsloistyhdiélektričeskihsred AT poedinčukae odnomernyeobratnyezadačiélektromagnitnogozondirovaniâsloistyhdiélektričeskihsred AT brovenkoav odnovimírníobernenízadačíelektromagnítnogozonduvannâšaruvatihdíelektričnihseredoviŝ AT vertiiaa odnovimírníobernenízadačíelektromagnítnogozonduvannâšaruvatihdíelektričnihseredoviŝ AT meležiknp odnovimírníobernenízadačíelektromagnítnogozonduvannâšaruvatihdíelektričnihseredoviŝ AT meležikpn odnovimírníobernenízadačíelektromagnítnogozonduvannâšaruvatihdíelektričnihseredoviŝ AT poedinčukae odnovimírníobernenízadačíelektromagnítnogozonduvannâšaruvatihdíelektričnihseredoviŝ AT brovenkoav onedimensionalinverseproblemsofelectromagneticprobingstratifieddielectricmedia AT vertiiaa onedimensionalinverseproblemsofelectromagneticprobingstratifieddielectricmedia AT meležiknp onedimensionalinverseproblemsofelectromagneticprobingstratifieddielectricmedia AT meležikpn onedimensionalinverseproblemsofelectromagneticprobingstratifieddielectricmedia AT poedinčukae onedimensionalinverseproblemsofelectromagneticprobingstratifieddielectricmedia
first_indexed	2025-11-24T15:45:49Z
last_indexed	2025-11-24T15:45:49Z
_version_	1850848522941759488
fulltext	ППРРИИККЛЛААДДННААЯЯ РРААДДИИООФФИИЗЗИИККАА _________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028821X Радиофизика и электроника. 2015. Т. 6(20). № 4 © ИРЭ НАН Украины, 2015 УДК 537.874.4 А. В. Бровенко, А. А. Вертий, Н. П. Мележик, П. Н. Мележик, А. Е. Поединчук Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: melezhik@ire.rharkov.ua Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева 2, ул. Мирзояна, Астана, 010000, Республика Казахстан ОДНОМЕРНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ЗОНДИРОВАНИЯ СЛОИСТЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД Задача о восстановления профиля диэлектрической проницаемости слоистой диэлектрической среды по значениям ко- эффициента отражения для конечного множества частот зондирующей плоской электромагнитной волны является актуальной в связи с разработкой современных методов неразрушающего контроля. Для ее решения исходные задачи сведены к поиску опти- мального управления (профиля диэлектрической проницаемости) задачи Коши для уравнения Риккати. Построение оптимального управления в классе полиномиальных функций основано на минимизации соответствующего функционала. Предложен критерий отбора полиномиальных аппроксимаций профиля диэлектрической проницаемости, который использует разделение входных дан- ных на обучающую и проверочную последовательности зондирующих частот. Проведен анализ погрешности восстановления мнимой части диэлектрической проницаемости слоистой среды. Установлено, что относительная погрешность восстановления малой мнимой части диэлектрической проницаемости (Im  10–4) не превосходит 10 %, а большой (Im  0,1) – составляет менее 1 %. Разработанные алгоритмы позволяют восстанавливать комплексную диэлектрическую проницаемость слоистой среды с приемлемой для практических приложений точностью. Ил. 5. Библиогр.: 9 назв. Ключевые слова: обратная задача, коэффициент отражения, профиль диэлектрической проницаемости, слоистая среда. В последнее время в связи с развитием нанотехнологий и возможностью создания слоис- тых структур, диэлектрическая и магнитная про- ницаемости которых могут изменяться вдоль од- ной из пространственных координат достаточно произвольным образом, возрос интерес к изуче- нию обратных задач дифракции волн на слоистых средах [1]. Это также связано с необходимостью разработки эффективных методов неразрушаю- щего контроля материальных параметров синте- зируемых с помощью нанотехнологий слоистых структур. В частности, с созданием соответству- ющих алгоритмов решения обратных задач электромагнитного зондирования слоистых сред, которые позволяют с гарантированной точностью восстанавливать материальные параметры по ха- рактеристикам отраженного поля. В работах [2, 3] были предложены мето- ды решения прямых и обратных задач дифракции волн на слоистых средах, материальные парамет- ры которых являются функциями одной про- странственной координаты. В данной работе представлены результаты по дальнейшему разви- тию этих методов. В частности, предложен кри- терий однозначного выбора оптимальной поли- номиальной аппроксимации профиля комплекс- ной диэлектрической проницаемости неоднород- ного слоя по частотной зависимости коэффи- циента отражения. 1. Постановка обратной задачи электро- магнитного зондирования. В качестве модели слоистой среды рассмотрим полупространство  0,,  zyxP , заполненное неодно- родной средой с материальными параметрами, зависящими только от пространственной пере- менной z. Полагаем при этом, что относительная диэлектрическая проницаемость среды )(z при 0 zh является комплекснозначной и непре- рывной функцией, а при hz   1)(  z const. Без ограничения общности будем считать, что магнитная проницаемость  в полупространстве P равняется единице. Среда полупространства  0,,  zyxP имеет диэлектриче- скую и магнитную проницаемости соответствен- но  0)(  z const, 1 (рис. 1). Рис. 1. Геометрия задачи Пусть из полупространства P на слоис- тую среду падает плоская монохроматическая зондирующая волна с волновым вектором, лежа- 0  1,   1  (z),   1 1  1,   1 E i , H i z y h  А. В. Бровенко и др. / Одномерные обратные задачи… _________________________________________________________________________________________________________________ 93 щим в плоскости YOZ и образующим угол  с осью OZ (угол падения): .sin ,cos,0 ,0 , 0 0 )cossin( 0 i x i z i x i y i x i z i y zyiki x EH EHH EE eEE         (1) Здесь  ,/0 ck  – частота зондирующей волны; c – скорость света в вакууме (зависи- мость от времени выбрана в виде tie  ). Из уравнений Максвелла с учетом условия излучения следует, что в полупространстве P компонента xE полного электрического поля имеет вид  )cossin()cossin( 0 Re  zyikzyik x eEE   , (2) где R – коэффициент отражения от слоистой среды. Остальные компоненты полного электро- магнитного поля выражаются через xE по фор- мулам ./, 1 , 1 ,0 0 0 0 ck z E ik H z E ik HH x z x yx        (3) Введем импеданс Z границы слоистой среды . 0  z y x H E Z (4) Как следует из (2) и (3), коэффициент от- ражения R и импеданс Z связаны зависимостью )1(cos 1 0    R R Z  (5) и представляют собой основные измеряемые ха- рактеристики при электромагнитном зондирова- нии слоистой среды [4, 5]. Обратные задачи электромагнитного зондирования можно сформулировать следую- щим образом. Обратная задача частотного зондиро- вания. Требуется по коэффициенту отражения R (импедансу Z), известному в диапазоне частотно- го параметра  02010 ,kkk  при фиксированном угле падения зондирующей волны (1), определить диэлектрическую проницаемость )(z слоистой среды. Обратная задача позиционного зондиро- вания. Требуется по коэффициенту отражения R (импедансу Z), известному в диапазоне углов па- дения  21, при фиксированной частоте зондирующей волны (1), определить диэлектри- ческую проницаемость )(z слоистой среды. Возможна более общая постановка зада- чи, когда в качестве входных данных рассматри- вается коэффициент отражения R (импеданс Z), известный в диапазонах частотных параметров  02010 ,kkk  и углов падения  21,  зонди- рующей волны. Используя результаты работы [6], можно показать, что сформулированные обратные задачи имеют единственное решение в классе кусочно- непрерывных функций )(z . Замечание. При формулировке обратных задач в качестве зондирующей волны была выбра- на плоская E-поляризованная волна (1). Анало- гичные постановки обратных задач имеют место и в случае H-поляризованной плоской волны. В дальнейшем, не ограничивая общности, будем рассматривать зондирующую волну (1). Кроме того, будем считать, что диэлектрическая проницаемость )(z при hz  равна постоян- ной величине 1 . При этом h и 1 являются из- вестными величинами; требуется определить )(z в интервале  0,h . Воспользуемся результатами работ [2, 3] и сведем обратные задачи электромагнитного зондирования к задачам оптимального управления. Из уравнений Максвелла следует, что компонента s xE электрического поля в неодно- родном слое 0 zh удовлетворяет уравне- нию .0)(2 0  s x s x EzkE  (6) В соответствии с (1) s xE можно представить в виде .)( sinikys x ezEE  (7) Тогда для )(zE из (7) получаем уравнение .0)sin)(( 2 0 2 02 2  Ezk dz Ed  (8) Как показано в [2], решение уравнения (8), удовлетворяющее у словиям сопряжения на гра- ницах неоднородного слоя, имеет вид .)(exp)(            z h dzzVzE (9) Здесь функция )(zV является решением задачи Коши для уравнения Риккати   0sin)( 2 0 2 0 2   zkV dz dV ; (10) .sin)( 2 010   ikhV (11) А. В. Бровенко и др. / Одномерные обратные задачи… _________________________________________________________________________________________________________________ 94 С помощью функции )(zV коэффициент отраже- ния от неоднородного слоя R можно представить в виде )0(cos )0(cos 00 00 Vik Vik R      , (12) где )0(V – значение решения задачи Коши (10), (11) при 0z . Такое соотношение между решениями задачи Коши и коэффициентом отражения позво- ляет сформулировать следующую задачу опти- мального управления. Пусть )( 0kR – коэффициент отражения, известный (измеренный) для диапазона частотного параметра  02010 ,kkk  и фиксированного зна- чения угла падения  зондирующей волны (1). Требуется определить функцию )(z (оптимальное управление) и решение задачи Коши (10), (11), обеспечивающие минимум функционалу 0 2 00 0201 02 01 )()( 1 )( dkkRkR kk k k      , (13) где )( 0kR – коэффициент отражения, определяе- мый по формуле (12). По аналогии можно сформулировать за- дачу оптимального управления для позиционного электромагнитного зондирования. В этом случае функционал имеет вид .)()( 1 )( 2 1 2 21      dRR    (14) Рассмотренные задачи по своей форму- лировке близки к классическим задачам опти- мального управления [7]. Однако следует отме- тить их существенное отличие. Оно состоит в том, что в уравнение (10) и в начальное условие (11) входит частотный параметр 0k (угол падения ) и функционал представляет собой интеграл по этому параметру. Тем не менее, как показано в [8], для задачи (10)–(14) справедлива соответствую- щая теорема в форме принципа максимума Понт- рягина [7]. Однако в данной работе мы не будем использовать эти теоремы для численного реше- ния обратных задач, а воспользуемся другим под- ходом. Ранее в работе [3] был предложен эффек- тивный численно-аналитический метод решения задач этого типа, когда оптимальное управле- ние ))(( z принадлежит к классу полиномиаль- ных функций. Ниже этот метод применяется для решения задачи (10)–(13) (задача частотного зон- дирования). 2. Результаты численных эксперимен- тов. С помощью разработанных в [2, 3] алгорит- мов был проведен ряд численных экспериментов по исследованию погрешности восстановления диэлектрической проницаемости слоистой среды при частотном зондировании. Входные данные обратной задачи час- тотного зондирования моделировались частотной зависимостью коэффициента отражения )( 0kR , полученной из решения прямой задачи дифрак- ции [2]. В качестве зондирующей волны была выбрана плоская E-поляризованная волна (1), нормально падающая ( 0 ) на границу слоистой среды. Все величины размерности длины норми- ровались на толщину h неоднородного слоя ( hkhzz 0,   ). Вне неоднородного слоя отно- сительные диэлектрические проницаемости 110   . Как показано выше, исходная обрат- ная задача сведена к задаче оптимального управ- ления (11)–(13). В качестве функционала (13) был выбран его дискретный аналог    P n nn RR P 1 2 )()( 1 )(  , (15) где hk nn 0 – значение нормированного час- тотного параметра, принадлежащее следующему диапазону   .,,, 020201010201 hkhkn   Оптимальное управление (диэлектриче- ская проницаемость )(z ) разыскивалось в классе полиномиальных функций    Q p p p Qzaz 0 ...,1,0,)1()( . (16) Одной из основных проблем при числен- ном решении задачи оптимального управления является возможная многоэкстремальность функ- ционала (13), который подлежит минимизации. Следствием многоэкстремальности является необ- ходимость многократной минимизации функцио- нала при различных начальных приближениях, для нахождения его глобального минимума, что гарантирует точность аппроксимации входных данных (коэффициента отражения )( nR  ). Один из возможных подходов устранения этой проблемы основан на применении критериев селекции моделей [9]. Суть его состоит в следу- ющем. В качестве модели примем полиномиаль- ную аппроксимацию (16) диэлектрической про- ницаемости, обеспечивающую минимум функ- ционалу (15). Сложность модели определяется параметром Q – наибольшей степенью полино- ма (16). Критерий селекции моделей (критерий регулярности [9]) основан на разделении значений частотного параметра  на обучающую   AP nn 1  и проверочную   BP nn 1  последовательности. Для А. В. Бровенко и др. / Одномерные обратные задачи… _________________________________________________________________________________________________________________ 95 обучающей последовательности отыскиваются коэффициенты  Q ppa 1 модели, обеспечивающей минимум функционалу (15). Все модели различ- ной сложности (различные значения параметра Q) селектируются на проверочной последователь- ности на основе среднеквадратичной ошибки       B B P n n P n nn R RR Q 1 2 1 2 )( )()( )(   . (17) Модель, для которой величина )(Q достигает минимума, является оптимальной мо- делью – решением обратной задачи частотного зондирования. Поскольку значения частотного парамет- ра проверочной последовательности не участву- ют в получении оценок коэффициентов модели, то критерий селекции является внешним допол- нением, позволяющим выбрать однозначно опти- мальную модель [9]. Изложенный подход к се- лекции полиномиальных моделей был реализован в виде соответствующих алгоритмов и программ. На рис. 2–5 представлены результаты расчетов, характеризующие работоспособность разрабо- танных алгоритмов. Вычислительные эксперименты были проведены для следующего профиля диэлектри- ческой проницаемости: .,01),15,0)5,0((15 )26lg()5,2()5,0(91)( 3 2 hzzzzi zzzz   3 4 5 6 7 8 9 10 3,5 3,0 2,5 2,0 – – – lg(Q) Q – Рис. 2. График зависимость (Q) от параметра сложности модели Q С целью проверки предложенного крите- рия селекции были выбраны обучающая последо- вательность частотного параметра  3,1,0n и проверочная последовательность  5,4n . На рис. 2 показана зависимость среднеквадратич- ной ошибки )(Q от параметра Q – сложности модели. Очевидно, что эта зависимость имеет ярко выраженный минимум при .5Q Восста- новленные профили реальной и мнимой частей диэлектрической проницаемости для оптималь- ной модели с «графической» точностью совпада- ют с точными профилями (pис. 3). Более полная информация о возможности восстановления комп- лексной диэлектрической проницаемости пред- ставлена на рис. 4, где приведены зависимости относительных ошибок восстановления реальной и мнимой частей диэлектрической проницаемости: ))(Re()))(Re())((Re(100)z(Re 1 zzz   , ))(Im()))(Im())((Im(100)z(Im 1 zzz   . 4 5 6 7 8 9 10 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 – – – – – z ))((Re)),(Re( zz  а) 0 1 2 3 4 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 ))(Im()),((Im( zz  – – – – – z б) Рис. 3. Диэлектрическая проницаемость неоднородного слоя ( – точный профиль ),(z – восстановленный профиль ))(z : а) реальная часть; б) мнимая часть Анализ этой ошибки позволяет сделать следующие выводы. Во-первых, относительная ошибка восстановления не превышает 1 % прак- тически во всем диапазоне изменения перемен- ной ,z исключая малые окрестности границ ин- тервала 01  z . Во-вторых, наибольшая по- грешность восстановления имеет место в окрест- А. В. Бровенко и др. / Одномерные обратные задачи… _________________________________________________________________________________________________________________ 96 ности границ этого интервала. Причем величина этой погрешности может достигать 8 % для мни- мой части диэлектрической проницаемости. Такое поведение относительной ошибки восста- новления характерно для всех рассмотренных профилей диэлектрической проницаемостей. 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 1 2 ––––– z Re(  ), Im(  )% Рис. 4. Относительная погрешность восстановления диэлект- рической проницаемости неоднородного слоя: – реаль- ная часть, – мнимая часть 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 1 2 3 4 5 ––––– z Im(  ),% Рис. 5. Относительная погрешность восстановления мнимой части диэлектрической проницаемости n izz   10)()( R : – n  1, – n  2, – n  3, – n  4 Рассмотрим, как влияет величина мнимой части диэлектрической проницаемости на отно- сительную ошибку восстановления. Исследуем этот вопрос на примере, когда комплексная ди- электрическая проницаемость слоя имеет вид ....,2,1,0)(,10)()( ReRe   nzizz n  (18) Результаты расчетов указывают на то, что с уменьшением мнимой части диэлектриче- ской проницаемости относительная ошибка вос- становления возрастает. Обратимся к рис. 5, где представлены результаты, иллюстрирующие этот вывод. Так, уже при Im  410 относительная ошибка может достигать 8 %. С увеличением мнимой части наблюдается обратная тенденция: относительная ошибка резко уменьшается. Численные расчеты показывают, что такая закономерность изменения относительной ошиб- ки восстановления имеет место и в общем случае, когда мнимая часть диэлектрической проницае- мости изменяется по толщине слоя. Как показы- вают результаты, приведенные на рис. 3, б и 4, мнимая часть диэлектрической проницаемости в окрестности 1z меньше, чем при 0z . Сле- довательно, погрешность восстановления больше при 1z , чем при 0z (pис. 4). Выводы. Исходные обратные задачи электромагнитного зондирования слоистых сред сведены к задачам оптимального управления для уравнения Риккати. Предложен критерий отбора оптимальных полиномиальных моделей, аппрок- симирующих комплексную диэлектрическую проницаемость слоистой среды. Проведен анализ относительных ошибок восстановления комп- лексной диэлектрической проницаемости. Разра- ботанные алгоритмы позволяют восстанавливать комплексную диэлектрическую проницаемость слоистой среды с приемлемой для практических приложений точностью. Библиографический список 1. Тихонравов А. В. Новые методы многослойной оптики / А. В. Тихонравов, М. К. Трубецков // Радиотехника и электрона. – 2005. – 50, № 2. – С. 265–272. 2. Численно-аналитический метод решения задач дифракции волн на слоисто-неоднородных средах / А. В. Бровенко, П. Н. Мележик, С. Б. Панин, А. Е. Поединчук // Физиче- ские основы приборостроения. – 2013. – 2, № 1. – С. 34–47. 3. Численно-аналитический метод решения обратных задач дифракции волн на неоднородном слое / А. В. Бровенко, А. А. Вертий, Н. П. Мележик и др. // Радиофизики и электрон. – 2015. – 6(20), № 1. – С. 13–25. 4. Дмитриев В. И. Развитие математических методов иссле- дования прямых и обратных задач электродинамики / В. И. Дмитриев, А. С. Ильинский, А. Г. Свешников // Успехи мат. наук. – 1976. – 31, № 6. – С. 123–141. 5. Newton R. G. Inversion of reflection data for layered media: a review of exact methods / R. G. Newton // Geophys. J. R. Astr. Soс. – 1981. – 65. – P. 191–215. 6. Хруслов Е. Я. Одномерные обратные задачи электродина- мики / Е. Я. Хруслов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1985. – 25, № 4. – С. 548–561. 7. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин. – М.: Наука, 1976. – 392 с. 8. Свешников А. Г. Математические методы в задачах анали- за и синтеза слоистых сред / А. Г. Свешников, А. В. Тихо- нравов // Мат. моделирование – 1989. – 1, № 7. – С. 13–38. 9. Ивахненко А. Г. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных систем / А. Г. Ивахненко. – К.: Наук. думка, 1981. – 296 с. Рукопись поступила 09.11.2015. А. В. Бровенко и др. / Одномерные обратные задачи… _________________________________________________________________________________________________________________ 97 A. V. Brovenko, A. A. Vertii, N. P. Melezhik, P. N. Melezhik, A. Ye. Poyedinchuk ONE-DIMENSIONAL INVERSE PROBLEMS OF ELECTROMAGNETIC PROBING STRATIFIED DIELECTRIC MEDIA The problem of permittivity profile reconstruction from reflection coefficient data for a stratified dielectric medium illumi- nated with a probing plane electromagnetic wave at a finite set of frequencies is considered to deal with a topical problem in the context of the development of state-of-the-art nondestructive methods of testing. The initial problem is reduced to the search of an optimal control (permittivity profile) of the Cauchy problem for the Riccati equation. The optimal control is treated in the class of polynomial functions and is based on the minimization of a rele- vant functional. A criterion is suggested for choosing polynomial approximations to the permittivity profile, which separates input data sets between training and test sequences of probing frequen- cies. Error analysis made for the reconstruction of the permittivity imaginary part in a stratified medium shows that the relative error of the reconstruction does not exceed 10 % when the permittivity imaginary part is small (Im  10–4) and it is under 1 % when the permittivity imaginary part is large (Im  0.1). The developed algorithms can reconstruct the complex permittivity in a stratified medium to accuracy appropriate for practical applications. Key words: inverse problem, reflection coefficient, permittivity profile, stratified medium. А. В. Бровенко, О. О. Вертій, М. П. Мележик, П. М. Мележик, А. Ю. Поєдинчук ОДНОВИМІРНІ ОБЕРНЕНІ ЗАДАЧІ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ЗОНДУВАННЯ ШАРУВАТИХ ДІЕЛЕКТРИЧНИХ СЕРЕДОВИЩ Задача про відновлення профілю діелектричної проникності шаруватого діелектричного середовища за зна- ченнями коефіцієнта відбиття для кінцевого числа частот зондуючої плоскої електромагнітної хвилі є актуальною у зв’язку з розробкою сучасних методів неруйнівного контро- лю. Для її розв’язання первинні задачі зведено до пошуку оптимального керування (профілю діелектричної проникнос- ті) задачі Коші для рівняння Ріккаті. Побудова оптимального керування в класі поліноміальних функцій засновано на міні- мізації відповідного функціоналу. Запропоновано критерій відбору поліноміальних апроксимацій профілю діелектричної проникності, який використовує розділення вхідних даних на навчальну і перевірочну послідовності зондуючих частот. Проведено аналіз похибки відновлення уявної частини діелек- тричної проникності шаруватого середовища. Встановлено, що відносна похибка відновлення малої уявної частини ді- електричної проникності (Im  10–4) не перевищує 10 %, а великої (Im  0,1) – становить менше 1 %. Ключові слова: обернена задача, коефіцієнт від- биття, профіль діелектричної проникності, шарувате середо- вище.

Одномерные обратные задачи электромагнитного зондирования слоистых диэлектрических сред

Репозитарії

Схожі ресурси