Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой

Проведено исследование синхронных режимов колебаний генератора Ван дер Поля, в котором собственная частота модулирована на низкой частоте. Показано, что наличие низкочастотной модуляции приводит к возникновению дополнительных областей существования синхронных колебаний. Установлено, что физической п...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Радиофизика и радиоастрономия
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Немец, А.Ю., Ваврив, Д.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	Радіоастрономічний інститут НАН України 2015
Schlagworte:	Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106397
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой / А.Ю. Немец, Д.М. Ваври // Радиофизика и радиоастрономия. — 2015. — Т. 20, № 4. — С. 340-347. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860254579576274944
author	Немец, А.Ю. Ваврив, Д.М.
author_facet	Немец, А.Ю. Ваврив, Д.М.
citation_txt	Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой / А.Ю. Немец, Д.М. Ваври // Радиофизика и радиоастрономия. — 2015. — Т. 20, № 4. — С. 340-347. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Радиофизика и радиоастрономия
description	Проведено исследование синхронных режимов колебаний генератора Ван дер Поля, в котором собственная частота модулирована на низкой частоте. Показано, что наличие низкочастотной модуляции приводит к возникновению дополнительных областей существования синхронных колебаний. Установлено, что физической причиной возникновения этих областей являются трехчастотные резонансы, обусловленные взаимодействием колебаний с собственной частотой генератора, частотой модуляции и частотой синхронизируемого сигнала. Определены характеристики синхронных колебаний при таких трехчастотных взаимодействиях и проведено их сравнение со случаем синхронизации генератора на основном тоне. Виконано дослідження синхронних режимів коливань генератора Ван дер Поля, в якому власна частота модульована на низькій частоті. Показано, що наявність низькочастотної модуляції приводить до виникнення додаткових областей існування синхронних коливань. Встановлено, що фізичною причиною виникнення таких областей є трьохчастотні резонанси, зумовлені взаємодією коливань з власною частотою генератора, частотою модуляції та частотою синхронізованого сигналу. Визначено характеристики синхронних коливань при таких трьохчастотних взаємодіях та виконано їх порівняльний аналіз із випадком синхронізації генератора на основному тоні. The synchronous operation of Van Der Pole generator with the low-frequency modulated natural frequency has been investigated. The presence of low-frequency modulation is shown to lead to formation of additional synchronization regions. The appearance of such regions is found to be caused by threefrequency resonances resulted from the interaction between oscillations of the generator natural frequency, modulation frequency and synchronized signal frequency. Characteristics of synchronous oscillations due to the below mentioned three-frequency interaction are obtained and comparison with the case of synchronization of oscillator on the main mode made.
first_indexed	2025-12-07T18:47:43Z
format	Article
fulltext	ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 20, № 4, 2015340 Радиофизика и радиоастрономия. 2015, Т. 20, № 4, c. 340–347 © А. Ю. Немец, Д. М. Ваврив, 2015 ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÅ ßÂËÅÍÈß Â ÏÐÈÁÎÐÀÕ, ÝËÅÌÅÍÒÀÕ È ÑÈÑÒÅÌÀÕ ÍÀÓ×ÍÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß А. Ю. НЕМЕЦ, Д. М. ВАВРИВ Радиоастрономический институт НАН Украины, ул. Краснознаменная, 4, г. Харьков, 61002, Украина E-mail: nimets@rian.kharkov.ua ÑÈÍÕÐÎÍÍÛÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß Â ÃÅÍÅÐÀÒÎÐÅ ÂÀÍ ÄÅÐ ÏÎËß Ñ ÌÎÄÓËÈÐÎÂÀÍÍÎÉ ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÎÉ ×ÀÑÒÎÒÎÉ Проведено исследование синхронных режимов колебаний генератора Ван дер Поля, в котором собственная частота модулирована на низкой частоте. Показано, что наличие низкочастотной модуляции приводит к возникновению до- полнительных областей существования синхронных колебаний. Установлено, что физической причиной возникновения этих областей являются трехчастотные резонансы, обусловленные взаимодействием колебаний с собственной час- тотой генератора, частотой модуляции и частотой синхронизируемого сигнала. Определены характеристики синх- ронных колебаний при таких трехчастотных взаимодействиях и проведено их сравнение со случаем синхронизации генератора на основном тоне. Ключевые слова: cинхронизация, осциллятор, автоколебания, генератор, область синхронизации УДК 621.373.5 PACS numbers: 05.45.Xt, 84.30.Ng 1. Ââåäåíèå Управление частотой автоколебаний механичес- ких, электронных, биологических и других сис- тем путем подачи внешнего гармонического ко- лебания является хорошо известным решением. Управление заключается в том, что при опреде- ленных условиях частота автоколебаний стано- вится равной частоте внешнего воздействия, его гармонике или субгармонике. Этот эффект на- зывается синхронизацией колебаний, и к настоя- щему времени его теория достаточно подробно развита [1–3]. Среди наиболее существенных последних результатов в этой области следует отметить развитие теории частично синхронизи- рованных систем, а также разработку методов синхронизации генераторов с хаотическим пове- дением [4–6]. В представленной работе мы рассматриваем задачу синхронизации автогенератора с моду- лированной собственной частотой внешним гармоническим сигналом. Предполагается, что модуляция осуществляется гармоническим коле- банием, частота которого существенно мень- ше собственной частоты. Подобная задача рас- сматривалась в работе [7], где исследовался случай импульсной модуляции собственной час- тоты генератора. Предположение об импульсной модуляции позволило свести решение этой зада- чи к анализу одномерного отображения, исследо- вание которого проведено для некоторых предель- ных случаев. В настоящей работе предлагается более общий подход к решению подобных задач, который основан на применении повторного ус- реднения. Рассматриваемая задача относится к классу задач о взаимодействии низкочастотных и вы- сокочастотных колебаний в нелинейных коле- бательных системах. Исследование такого вза- имодействия проводилось ранее в [8–10] с точ- ки зрения возникновения неустойчивостей в синхронизируемых генераторах, обусловленных развитием хаотических колебаний. В отличие от этих работ здесь мы изучаем условия и ме- ханизм возникновения синхронных колебаний при взаимодействии низкочастотных и высоко- частотных колебаний. При этом под синхрони- зацией генератора, как и в случае гармоничес- ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 20, № 4, 2015 341 Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой кого внешнего сигнала, мы понимаем такой режим возбуждения генератора, при котором в спектре выходных колебаний содержатся те же спектральные составляющие и их линей- ные комбинации, что и в спектре внешнего воз- действия. В следующем разделе приводятся исполь- зуемая математическая модель, которая пред- ставляет собой обобщенный генератор Ван дер Поля с модулированной собственной частотой при наличии внешнего гармонического воздей- ствия, и вывод соответствующих укороченных уравнений, а также дается краткий обзор изве- стных результатов анализа синхронного режима колебаний в гармонически возбуждаемом гене- раторе при отсутствии модуляции собственной частоты. В третьем разделе описаны трехчас- тотные резонансы в генераторе с модуляцией частоты, которые приводят к возникновению дополнительных областей синхронизации коле- баний. В четвертом разделе представлены ре- зультаты анализа характеристик синхронных колебаний в дополнительных областях синхро- низации. В Заключении подытожены основные результаты работы. 2. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü Мы рассматриваем следующее обобщенное урав- нение осциллятора Ван дер Поля с медленно ме- няющейся собственной частотой при наличии внешнего высокочастотного воздействия: 2 2 2 2 0 2 02 d d ( ) 2 ( ) 2 sin( ). dd e e x x t x a x F t tt         (1) Здесь x – обобщенная координата; ( )t – соб- ственная частота осциллятора, медленно меняю- щаяся со временем t по сравнению с sin( );et    – инкремент нарастания колебаний; 2 0a  – коэффициент, определяющий зависящее от амплитуды колебаний затухание в осцилля- торе; ,eF e – амплитуда и частота внешнегоо высокочастотного воздействия. Полагаем, что собственная частота осцилля- тора изменяется по гармоническому закону  0( ) 1 cos( ) ,mt m t     где 0 – среднее значение собственной частоты осциллятора; m – коэффициент модуляции, значе- ние которого предполагается малым; m – час- тота модуляции, которая значительно меньше 0. Здесь рассматривается случай синхронизации осциллятора на основном тоне, когда 0.e   (2) Предполагая, что слагаемые в правой части уравнения (1) являются малыми, сведем уравне- ние (1) к уравнениям стандартного вида, которые допускают применение метода усреднения [11]. Для этого перепишем (1) в виде: d , d x y t  (3) 2 0 d ( , , ), d y x x y t t    где 2 2 2 2 0 0( , , ) 2 cos( ) cos ( )m mx y t m t m t         2 2 0 2 02 2 sin( )e ey a x F t         функция, ко- торую можно рассматривать как малое возму- щение в (3). Введем новые независимые переменные – амплитуду А и фазу колебаний : cos( ),ex A t    sin( ).e ey A t     В результате приходим к системе уравнений стандартного вида, в которых правая часть яв- ляется малой: 0 d ( , , ) sin( ), d e A A t t t        0 0 d ( , , ) ( ) cos( ). d e e A t A A t t           Применение к этим уравнениям процедуры усреднения [11] приводит к следующим уравне- ниям относительно амплитуды и фазы колебаний: 3 2d cos , d 4 e A a A A F      (4) 1 d sin , d eF M A        342 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 20, № 4, 2015 А. Ю. Немец, Д. М. Ваврив где 0 ,t   0 0 ,e     0 ,m   1( )M   2 2 cos( ) cos(2 ). 2 m m    При выводе этих уравнений мы также восполь- зовались малостью частоты модуляции по срав- нению с e и 0. При отсутствии модуляции собственной час- тоты осциллятора ( 0)m  эти уравнения сводят- ся к хорошо известным уравнениям, описываю- щим динамику автоколебательной системы при резонансном гармоническом внешнем воздей- ствии на основном тоне [3]: 22d cos , d 4 e A a A A F            (5) d sin . d eF A       Полагая в (5) d d 0, d d A     находим следующее кубического уравнения для определения значений стационарной амплитуды колебаний: 22 2 2 2 2 2 2 0 0 1 , A A P A A              (6) где 1 2 0 2 2A a        – амплитуда автоколебаний, 0 eF P A   – нормированная амплитуда внешнегоо воздействия. При относительно малых уровнях внешнего воздействия, когда 4 , 27 P  зависимость амплитуды стационарных колебаний от параметра расстройки частоты  (резонанс- ная кривая) имеет вид, представленный на рис. 1. Стационарные значения амплитуды располагают- ся на двух ветвях, одна из которых приближенно описывается резонансной кривой линейного осцил- лятора (нижняя ветвь на рис. 1) 0 2 2 2 2 . 1 / ePA F A         Эти стационарные значения амплитуды в случае синхронизируемого генератора являются неустой- чивыми. Вторая ветвь резонансной кривой близка по форме к эллипсу. Его уравнение находится из (6) в предположении, что амплитуда колебаний син- хронизируемого автогенератора А мало отли- чается от 0 ,A что позволяет искать решения (5) и (6) в виде [3] 0 ,A A x  где x – малая величина, по отношению к которой уравнения (5) переписываются в следующем виде: d 2 cos , d e x x F      0 d sin . d eF A       Из (6) находим уравнение указанного эллипса в координатах А, : 2 2 2 2 2 0 04 ( ) .eA A A F     (7) Путем анализа устойчивости стационарных значений, определяемых (7), легко показать, что только значения амплитуды 0A A являются устойчивыми (см. рис. 1). Из этого условия и из (7) непосредственно следует, что осциллятор синхронизируется на частоте внешнего воздей- ствия, если расстройка частоты  удовлетво- ряет условию 0 0 ,e eF F A A     Рис. 1. Зависимость амплитуды стационарных состояний от параметра расстройки при малых амплитудах внешней силы ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 20, № 4, 2015 343 Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой т. е. ширина полосы синхронизации генератора по отношению к частоте колебаний, нормированной на 0 , равняется 0 2 .e s F A   (14) В следующих разделах мы определим условия возникновения синхронных режимов колебаний при низкочастотной модуляции собственной час- тоты осциллятора. Для этого рассмотрим снача- ла резонансы, которые возникают в генераторе при таком воздействии. 3. Òðåõ÷àñòîòíûå ðåçîíàíñû Запишем систему уравнений (4) в новых перемен- ных, U и V, которые связаны с амплитудой и фа- зой колебаний соотношениями: cos ,U A  sin .V A  Эта система уравнений в новых переменных записывается в следующем виде: 1 d ( , , ) , d e U V F U V F      (9) 2 d ( , , ), d V U F U V     где 2 2 2 1 1 ( ) ( ) , 4 2 a U V M V F U           2F  2 2 2 1( ) ( ) 4 2 a U V M U V          являются функ- циями, рассматриваемыми как малое возмуще- ние в системе уравнений (9). Решение невозмущенного уравнения (9), когда 1 2 0,F F  находится аналитически: cos( ),U B  (10) sin( ) ,V B S   где B и  – константы интегрирования, .eS F  Таким образом, невозмущенная система пред- ставляет собой осциллятор с собственной часто- той . Отсюда следует, что в системе (9) могут наблюдаться резонансы, когда характерные час- тоты изменения во времени 1( )F  и 2 ( )F  будут близки к собственной частоте осциллятора , т. е. при выполнении следующих условий: ,   (11) 2 .   (12) Отметим, что в отличие от двухчастотного резонанса (2) соотношения (11) и (12) представ- ляют собой условия трехчастотных резонансов в осцилляторе (1), которые обусловлены взаимо- действием частоты внешнего воздействия, час- тоты модуляции и собственной частоты осцил- лятора (1). Рассмотрим динамику осциллятора в окрест- ности каждого из резонансов (11), (12). Для этого, в соответствии с (10), введем новые переменные ( )B  и ( ) :   ( )cos ( ) ,U B     ( )sin ( ) .V B S     В этих новых переменных система (9) сводит- ся к стандартному виду, где правые части урав- нений являются малыми, d d B   1 2( , , )cos( ) ( , , )sin( ),F U V n F U V n      (13) d d B    1 2( ) sin( ) cos( ).n B F n F n        При 1n  и 2n  эта система уравнений описы- вает соответственно резонансы (11) и (12). Применим к (13) процедуру усреднения. В результате приходим к следующим автономным уравнениям для резонанса (11): 2 2 1 d cos , d 4 eFB a B B m            (14) d ( ) sin , d eF B B m         где 2 2 1 22 2 2 0 2 1 . 2 e eF F a A              344 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 20, № 4, 2015 А. Ю. Немец, Д. М. Ваврив Для резонанса (12) система укороченных урав- нений имеет вид 2 22 2 d cos , d 4 8 eFB a B B m            (15) 2d ( 2 ) cos , d 8 eF B B m          где 2 2 2 22 2 2 0 1 . 8 2 e eF F a A              Отметим, что коэффициенты 1 и 2 пред-д- ставляют собой инкременты колебаний при нали- чии внешнего воздействия. Видно, что это воз- действие приводит к уменьшению инкремента. Однако если амплитуды воздействия малы по сравнению с амплитудой автоколебаний, то, как следует из выражений для 1 и 2 , можно пола- гать, что 1 2 .     (16) Рассмотрим область применимости уравнений (14) и (15). Для применения метода усреднения к уравнению (13) необходимо, чтобы характер- í ûé период внешнего воздействия T, который здесь равняется величине порядка 1 , был существен- но меньше, чем характерное время релаксации системы, равное 1 . Это приводит к следующе- му ограничению на частоту модуляции: .  По своей структуре уравнения (14), (16) совпа- дают с уравнениями (5), описывающими синхро- низацию генератора на основной частоте, однако условия существования синхронных колебаний при трехчастотных резонансах существенно от- личаются. Условия возникновения таких синхрон- ных колебаний и их свойства рассматриваются в следующем разделе. 4. Ñèíõðîíèçàöèÿ êîëåáàíèé ïðè òðåõ÷àñòîòíîì ðåçîíàíñå Как следует из (14) и (15), резонансы (11) и (12) возникают в результате взаимодействия высоко- частотных и низкочастотных колебаний, что сле- дует из наличия произведения амплитуд внешне- го высокочастотного воздействия и коэффициен- та модуляции в (14) и (15). Выпишем из (14) урав- нение стационарных состояний для резонанса (11): 2 2 22 2 22 1 2 ( ) . 4 em Fa B B                Воспользовавшись методикой анализа синхрон- ных колебаний, описанной в разделе 2, находим, что для данного резонанса синхронные коле- бания возникают в следующем диапазоне рас- строек: 01 01 ,e emF mF B B       где 1 01 2 2 .B a   Таким образом, ширина полосы синхронизации для этого резонанса равняется 1 01 2 .e s mF B    (17) При малых уровнях внешнего воздействия выпол- няется условие (16) и 01 0 ,B A что позволяет за- писать (17) в виде 1 0 2 .e s mF A    (18) Сравним теперь ширину полосы синхронизации при двухчастотном резонансе и при данном трехчас- тотном резонансе. Комбинируя выражения (9) и (18), находим: 1 .s s m    Отсюда следует, что ширина полосы синхрониза- ции при модуляции собственной частоты генера- тора может быть больше ширины полосы синх- ронизации при отсутствии такой модуляции. Рассмотрим теперь резонанс (12), для которо- го из (15) находим следующее уравнение для стационарных состояний: 2 4 22 2 22 2 2 ( 2 ) . 4 64 em Fa B B                 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 20, № 4, 2015 345 Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой Для этого резонанса синхронные колебания суще- ствуют в диапазоне расстроек частоты 2 2 02 02 2 2 , 8 8 e em F m F B B        где 2 02 2 2 .B a   Соответственно ширина полосы синхронизации для этого резонанса равняется 2 2 02 . 4 e s F m B    (19) C учетом (16) это выражение переписывается в следующем виде: 2 2 0 . 4 e s F m A    (20) Отношение величины 2s к ширине полосы синх- ронизации (8) при основном резонансе опреде- ляется выражением 2 2 . 8 s s m    При этом отношение 2s к 1s равняется 2 1 . 8 s s m   Таким образом, ширина полосы синхронизации при резонансе (12) гораздо меньше полосы синхрони- зации при резонансе (11). Из выражений (17), (18) и (19), (20) для ши- рины полосы синхронизации непосредственно следует, что она определяется произведением амплитуды внешнего высокочастотного воздей- ствия и коэффициента модуляции собственной частоты. Этот факт еще раз подтверждает, что дополнительные области синхронизации возни- кают именно благодаря взаимодействию высо- кочастотных и низкочастотых колебаний. Рассмотрим области существования синхрон- ных колебаний на плоскости параметров: рас- стройка частоты  и нормированная амплитууда высокочастотного воздействия ,eF – которая приведена на рис. 2. Области существования синхронных колебаний заштрихованы. Эти об- ласти представляют собой “клювы” синхрони- зации, ширина которых для всех трех резонансов увеличивается пропорционально увеличе- нию eF при относительно небольших значениях этой амплитуды. Расстояние между “клювами” равняется частоте низкочастотной модуляции . Рисунок иллюстрирует также сделанный вы- ше вывод о том, что ширина полосы синхрони- зации, обусловленная трехчастотным резонан- сом (11), может быть больше ширины полосы синхронизации при основном резонансе. Это следует из сравнения первого и второго “клю- вов” на рис. 2. Зависимость ширины полосы синхронизации от коэффициента модуляции m различна для каж- дого из резонансов, что иллюстрируется соот- ветствующей плоскостью параметров на рис. 3. Для основного резонанса ширина полосы синхро- низации не зависит от m. Для резонанса (11) она увеличивается пропорционально m, а для резо- нанса (12) – пропорционально 2m при относитель- но небольших значениях m, когда выполняется условие (16). С точки зрения практических приложений важ- но отметить, что как ширина дополнительных об- ластей синхронизации, так и их расположение на шкале частоты управляются параметрами низ- кочастотного воздействия – коэффициентом мо- дуляции и частотой воздействия. Рис. 2. Области синхронизации на плоскости парамет- ров 0 ,eF A  при 0.2,m  0.1:  1 – при двухчастот-от- ном резонансе, 2 – при трехчастотном резонансе (11), 3 – при трехчастотном резонансе (12) 346 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 20, № 4, 2015 А. Ю. Немец, Д. М. Ваврив 5. Çàêëþ÷åíèå Таким образом, в синхронизируемом на основном тоне генераторе Ван дер Поля при модуляции его собственной частоты возникают дополнительные области существования синхронных колебаний. Эти области отстоят по частоте от основной об- ласти синхронизации на величину, равную часто- те и удвоенной частоте модуляции. Причиной воз- никновения таких областей является трехчастот- ное взаимодействие между частотами внешнего высокочастотного и низкочастотного воздействия с собственной частотой колебаний генератора. Из полученных результатов следует также, что ширина полосы синхронизации при трехчастот- ном резонансе может быть больше, чем ширина полосы синхронизации при двухчастотном резо- нансе. Ширина полосы синхронизации при трех- частотном резонансе определяется произведе- нием амплитуд высокочастотного воздействия и коэффициента модуляции. Следовательно суще- ствует возможность эффективного управления ши- риной полосы синхронизации и ее расположением на шкале частот путем изменения параметров низ- кочастотного воздействия на генератор. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 01. Adler R. A Study of Locking Phenomena in Oscillators // Proc. IRE. – 1946. – Vol. 34, Is. 6. – P. 351–357. DOI: 10.1109/JRPROC.1946.229930 02. Блехман И. И. Синхронизация в природе и технике. – М.: Наука, 1981. – 352 с. 03. Ланда П. С. Автоколебания в системах с конечным чис- лом степеней. – М.: Наука, 1980. – 359 с. 04. Pikovsky A. Rosemblum M., and Kurths J. Synchroni- zation: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. – Cam- bridge: Cambridge University Press, 2001. – 411 p. 05. González-Miranda J. M. Synchronization and Control of Chaos. An introduction for scientists and engineers. – London: Imperial College Press, 2004. – 212 p. 06. Lai Y. M. and Porter A. M. Noise-induced synchroni- zation, desynchronization, and clustering in globally coup- led nonidentical oscillators // Phys. Rev. E. – 2013. – Vol. 88, Is. 1. – id. 012905. DOI: 10.1103/PhysRevE.88.012905 07. Ланда П. С., Таранкова Н. Д. Синхронизация генерато- ра с модулированной частотой // Радиотехника и элек- троника. – 1976. – № 2. – С. 261–265. 08. Белогорцев A. Б., Ваврив Д. М., Третьяков О. А. Хаос в квазилинейном осцилляторе Ван дер Поля // Радио- техника и электроника. – 1990. – Т. 35, № 6. – С. 1300–1307. 09. Ваврив Д. М., Чернышов И. Ю. Экспериментальное исследование стохастической неустойчивости нелиней- ного осциллятора // Радиотехника и электроника. – 1990. – Т. 35, № 1. – С. 151–158. 10. Belogortsev A. B., Vavriv D. M., and Tretyakov O. A. Destruction of quasiperiodic oscillations in weakly non- linear systems // Appl. Mech. Rev. – 1993. – Vol. 46, No. 7. – P. 372–384. DOI: 10.1115/1.3120366 11. Митропольский Ю. А. Нестационарные процессы в не- линейных колебательных системах. – Киев: АН УССР, 1955. – 283 с. REFERENCES 01. ADLER, R. A., 1946. Study of Locking Phenomena in Oscillators. Proc. IRE. vol. 34, is. 6, pp. 351–357. DOI: 10.1109/JRPROC.1946.229930 02. BLEKHMAN, I. I., 1981. Synchronization in Nature and Technology. Moscow: Nauka Publ. (in Russian). 03. LANDA, P. S., 1980. Self-Oscillations in Systems with the Finite Number of Degrees of Freedom. Moscow: Nauka Publ. (in Russian). 04. PIKOVSKY, A., ROSEMBLUM, M. and KURTHS, J., 2001. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge: Cambridge University Press. 05. GONZÁLEZ-MIRANDA. J. M., 2004. Synchronization and Control of Chaos. An introduction for scientists and engineers. London: Imperial College Press. 06. LAI, Y. M. and PORTER, M. A., 2013. Noise-induced synchronization, desynchronization, and clustering in glo- bally coupled nonidentical oscillators. Phys. Rev. E. vol. 88, is.1, id. 012905. DOI: 10.1103/PhysRevE.88.012905 07. LANDA, P. S. and TARANKOVA, N. D., 1976. Synchro- nization of generator with modulated frequency. Radiotekh- nika i Elektronika. vol. 2, pp. 261–265 (in Russian). 08. BELOGORTSEV, A. B., VAVRIV, D. M. and TRETYA- KOV, O. A., 1990. Chaos in quasilinear Van der Pol os- cillator. Radiotekhnika i Elektronika. vol. 35, no. 6, pp. 1300–1307 (in Russian). 09. VAVRIV, D. M. and CHERNYSHOV, I. Y., 1990. Experi- mental investigation of stochastic instability of nonlinear oscillator. Radiotekhnika i Elektronika. vol. 35, no. 1, pp. 151–158 (in Russian). Рис. 3. Области синхронизации на плоскости параметров m,  при 0 0,02,eF A  0.1:  1 – при двухчастотном ре- зонансе, 2 – при трехчастотном резонансе (11), 3 – при трех- частотном резонансе (12) ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 20, № 4, 2015 347 Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой 10. BELOGORTSEV, A. B., VAVRIV, D. M. and TRETYA- KOV, O. A., 1993. Destruction of quasiperiodic oscil- lations in weakly nonlinear systems. Appl. Mech. Rev., vol. 46, no 7, pp. 372–384. DOI: 10.1115/1.3120366 11. MITROPOLSKY, Y. A., 1955. Nonstationary processes in nonlinear dynamical systems. Kyiv: AN USSR Publ. (in Russian). A. Y. Nimets and D. M. Vavriv Institute of Radio Astronomy, National Academy of Sciences of Ukraine, 4, Chervonopraporna St., Kharkiv, 61002, Ukraine SYNCHRONOUS OSCILLATIONS IN VAN DER POL GENERATOR WITH MODULATED NATURAL FREQUENCY The synchronous operation of Van Der Pole generator with the low-frequency modulated natural frequency has been investi- gated. The presence of low-frequency modulation is shown to lead to formation of additional synchronization regions. The appearance of such regions is found to be caused by three- frequency resonances resulted from the interaction between oscillations of the generator natural frequency, modulation frequency and synchronized signal frequency. Characteris- tics of synchronous oscillations due to the below mentio- ned three-frequency interaction are obtained and compari- son with the case of synchronization of oscillator on the main mode made. Key words: synchronization, oscillator, auto-oscillations, generator, region of synchronization А. Ю. Німець, Д. М. Ваврів Радіоастрономічний інститут НАН Україны, вул. Червонопрапорна, 4, Харків, 61002, Україна СИНХРОННІ КОЛИВАННЯ В ГЕНЕРАТОРІ ВАН ДЕР ПОЛЯ З МОДУЛЬОВАНОЮ ВЛАСНОЮ ЧАСТОТОЮ Виконано дослідження синхронних режимів коливань гене- ратора Ван дер Поля, в якому власна частота модульована на низькій частоті. Показано, що наявність низькочастотної модуляції приводить до виникнення додаткових областей існування синхронних коливань. Встановлено, що фізичною причиною виникнення таких областей є трьохчастотні резо- нанси, зумовлені взаємодією коливань з власною частотою генератора, частотою модуляції та частотою синхронізо- ваного сигналу. Визначено характеристики синхронних коливань при таких трьохчастотних взаємодіях та виконано їх порівняльний аналіз із випадком синхронізації генератора на основному тоні. Ключові слова: синхронізація, осцилятор, автоколивання, генератор, область синхронізації Статья поступила в редакцию 21.07.2015
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-106397
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1027-9636
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:47:43Z
publishDate	2015
publisher	Радіоастрономічний інститут НАН України
record_format	dspace
spelling	Немец, А.Ю. Ваврив, Д.М. 2016-09-27T14:47:21Z 2016-09-27T14:47:21Z 2015 Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой / А.Ю. Немец, Д.М. Ваври // Радиофизика и радиоастрономия. — 2015. — Т. 20, № 4. — С. 340-347. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-9636 PACS numbers: 05.45.Xt, 84.30.Ng https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106397 621.373.5 Проведено исследование синхронных режимов колебаний генератора Ван дер Поля, в котором собственная частота модулирована на низкой частоте. Показано, что наличие низкочастотной модуляции приводит к возникновению дополнительных областей существования синхронных колебаний. Установлено, что физической причиной возникновения этих областей являются трехчастотные резонансы, обусловленные взаимодействием колебаний с собственной частотой генератора, частотой модуляции и частотой синхронизируемого сигнала. Определены характеристики синхронных колебаний при таких трехчастотных взаимодействиях и проведено их сравнение со случаем синхронизации генератора на основном тоне. Виконано дослідження синхронних режимів коливань генератора Ван дер Поля, в якому власна частота модульована на низькій частоті. Показано, що наявність низькочастотної модуляції приводить до виникнення додаткових областей існування синхронних коливань. Встановлено, що фізичною причиною виникнення таких областей є трьохчастотні резонанси, зумовлені взаємодією коливань з власною частотою генератора, частотою модуляції та частотою синхронізованого сигналу. Визначено характеристики синхронних коливань при таких трьохчастотних взаємодіях та виконано їх порівняльний аналіз із випадком синхронізації генератора на основному тоні. The synchronous operation of Van Der Pole generator with the low-frequency modulated natural frequency has been investigated. The presence of low-frequency modulation is shown to lead to formation of additional synchronization regions. The appearance of such regions is found to be caused by threefrequency resonances resulted from the interaction between oscillations of the generator natural frequency, modulation frequency and synchronized signal frequency. Characteristics of synchronous oscillations due to the below mentioned three-frequency interaction are obtained and comparison with the case of synchronization of oscillator on the main mode made. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Радиофизика и радиоастрономия Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой Синхронні коливання в генераторі Ван дер Поля з модульованою власною частотою Synchronous oscillations in Van der Pol generator with modulated natural frequency Article published earlier
spellingShingle	Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой Немец, А.Ю. Ваврив, Д.М. Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения
title	Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой
title_alt	Синхронні коливання в генераторі Ван дер Поля з модульованою власною частотою Synchronous oscillations in Van der Pol generator with modulated natural frequency
title_full	Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой
title_fullStr	Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой
title_full_unstemmed	Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой
title_short	Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой
title_sort	синхронные колебания в генераторе ван дер поля с модулированной собственной частотой
topic	Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения
topic_facet	Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106397
work_keys_str_mv	AT nemecaû sinhronnyekolebaniâvgeneratorevanderpolâsmodulirovannoisobstvennoičastotoi AT vavrivdm sinhronnyekolebaniâvgeneratorevanderpolâsmodulirovannoisobstvennoičastotoi AT nemecaû sinhronníkolivannâvgeneratorívanderpolâzmodulʹovanoûvlasnoûčastotoû AT vavrivdm sinhronníkolivannâvgeneratorívanderpolâzmodulʹovanoûvlasnoûčastotoû AT nemecaû synchronousoscillationsinvanderpolgeneratorwithmodulatednaturalfrequency AT vavrivdm synchronousoscillationsinvanderpolgeneratorwithmodulatednaturalfrequency

Синхронные колебания в генераторе Ван дер Поля с модулированной собственной частотой

Institution

Ähnliche Einträge