Travelling waves dynamics in a nonlinear parabolic equation with a shifted spatial argument

The local dynamics of a nonlinear parabolic equation on a circle with a shifted spatial argument and a small di usion is studied. It is proved that the travelling waves interaction satis es to 1:2 principle. The maximum principle for amplitudes with coe cient 2/3 is established. A number of stable t...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Журнал математической физики, анализа, геометрии
Date:	2005
Main Author:	Belan, E.P.
Format:	Article
Language:	English
Published:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2005
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106562
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Travelling waves dynamics in a nonlinear parabolic equation with a shifted spatial argument / E.P. Belan // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 1. — С. 3-34. — Бібліогр.: 37 назв. — англ.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-106562
record_format	dspace
spelling	Belan, E.P. 2016-09-30T16:46:09Z 2016-09-30T16:46:09Z 2005 Travelling waves dynamics in a nonlinear parabolic equation with a shifted spatial argument / E.P. Belan // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 1. — С. 3-34. — Бібліогр.: 37 назв. — англ. 1812-9471 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106562 The local dynamics of a nonlinear parabolic equation on a circle with a shifted spatial argument and a small di usion is studied. It is proved that the travelling waves interaction satis es to 1:2 principle. The maximum principle for amplitudes with coe cient 2/3 is established. A number of stable travelling waves increases when the di usion coe cient tends to zero. Исследуетс ялокальная динамика параболического уравнения на окружности с преобразованием сдвига пространственной переменной и малой диффузией.Установлено,что взаимодействие бегущих волн удовлетворяет принципу 1:2. Принцип максимума амплитуд справедлив с коэффициентом 2/3. Число устойчивых бегущих волн увеличивается, если коэффициент диффузии стремитсякнулю. Дослiджується локальна динамiка параболiчного рiвняння на колi з перетворенням зсуву просторової змiнної та малою дифузiєю. Встановлено, що взаємодiя бiгучих хвиль задовольняє принципу 1:2. Принцип максимуму амплiтуд має мiсце з коефiцiєнтом 2/3. Число стiйких бiгучих хвиль зростає, коликоефiцєнт дифузiї прямує до нуля. Автор признателен О.Б. Лыковой, О.В. Анашкину за полезные советы. en Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Журнал математической физики, анализа, геометрии Travelling waves dynamics in a nonlinear parabolic equation with a shifted spatial argument Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Travelling waves dynamics in a nonlinear parabolic equation with a shifted spatial argument
spellingShingle	Travelling waves dynamics in a nonlinear parabolic equation with a shifted spatial argument Belan, E.P.
title_short	Travelling waves dynamics in a nonlinear parabolic equation with a shifted spatial argument
title_full	Travelling waves dynamics in a nonlinear parabolic equation with a shifted spatial argument
title_fullStr	Travelling waves dynamics in a nonlinear parabolic equation with a shifted spatial argument
title_full_unstemmed	Travelling waves dynamics in a nonlinear parabolic equation with a shifted spatial argument
title_sort	travelling waves dynamics in a nonlinear parabolic equation with a shifted spatial argument
author	Belan, E.P.
author_facet	Belan, E.P.
publishDate	2005
language	English
container_title	Журнал математической физики, анализа, геометрии
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
format	Article
description	The local dynamics of a nonlinear parabolic equation on a circle with a shifted spatial argument and a small di usion is studied. It is proved that the travelling waves interaction satis es to 1:2 principle. The maximum principle for amplitudes with coe cient 2/3 is established. A number of stable travelling waves increases when the di usion coe cient tends to zero. Исследуетс ялокальная динамика параболического уравнения на окружности с преобразованием сдвига пространственной переменной и малой диффузией.Установлено,что взаимодействие бегущих волн удовлетворяет принципу 1:2. Принцип максимума амплитуд справедлив с коэффициентом 2/3. Число устойчивых бегущих волн увеличивается, если коэффициент диффузии стремитсякнулю. Дослiджується локальна динамiка параболiчного рiвняння на колi з перетворенням зсуву просторової змiнної та малою дифузiєю. Встановлено, що взаємодiя бiгучих хвиль задовольняє принципу 1:2. Принцип максимуму амплiтуд має мiсце з коефiцiєнтом 2/3. Число стiйких бiгучих хвиль зростає, коликоефiцєнт дифузiї прямує до нуля.
issn	1812-9471
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106562
citation_txt	Travelling waves dynamics in a nonlinear parabolic equation with a shifted spatial argument / E.P. Belan // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 1. — С. 3-34. — Бібліогр.: 37 назв. — англ.
work_keys_str_mv	AT belanep travellingwavesdynamicsinanonlinearparabolicequationwithashiftedspatialargument
first_indexed	2025-11-24T15:14:57Z
last_indexed	2025-11-24T15:14:57Z
_version_	1850848532378943488
fulltext	Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè 2005, ò. 1, � 1, c. 3�34 Î äèíàìèêå áåãóùèõ âîëí â ïàðàáîëè÷åñêîì óðàâíåíèè ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ñäâèãà ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé Å.Ï. Áåëàí Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè Òàâðè÷åñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Â.È. Âåðíàäñêîãî óë. Âåðíàäñêîãî, 4, Ñèìôåðîïîëü, 95036, Óêðàèíà E-mail:belan@tnu.crimea.ua Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 29 èþíÿ 2004 ã. Èññëåäóåòñÿ ëîêàëüíàÿ äèíàìèêà ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ íà îêðóæíîñòè ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ñäâèãà ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé è ìàëîé äèôôóçèåé. Óñòàíîâëåíî, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå áåãóùèõ âîëí óäîâ- ëåòâîðÿåò ïðèíöèïó 1:2. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà àìïëèòóä ñïðàâåäëèâ ñ êî- ýôôèöèåíòîì 2/3. ×èñëî óñòîé÷èâûõ áåãóùèõ âîëí óâåëè÷èâàåòñÿ, åñëè êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Äîñëiäæó¹òüñÿ ëîêàëüíà äèíàìiêà ïàðàáîëi÷íîãî ðiâíÿííÿ íà êîëi ç ïåðåòâîðåííÿì çñóâó ïðîñòîðîâî¨ çìiííî¨ òà ìàëîþ äèôóçi¹þ. Âñòàíîâ- ëåíî, ùî âçà¹ìîäiÿ áiãó÷èõ õâèëü çàäîâîëüíÿ¹ ïðèíöèïó 1:2. Ïðèíöèï ìàêñèìóìó àìïëiòóä ìà¹ ìiñöå ç êîåôiöi¹íòîì 2/3. ×èñëî ñòiéêèõ áiãó- ÷èõ õâèëü çðîñòà¹, êîëè êîåôiöi¹íò äèôóçi¨ ïðÿìó¹ äî íóëÿ. 1. Ââåäåíèå Íà îêðóæíîñòè S1 = R=2�Z ðàññìîòðèì ìîäåëüíîå óðàâíåíèå òåîðèè ñâå- òîâûõ ðåçîíàòîðîâ ñ ðàñïðåäåëåííîé îáðàòíîé ñâÿçüþ [1] @u @t + u = � @2u @�2 +K(1 + cosQu); (1) ãäå � > 0 � ìàëûé ïàðàìåòð. Çäåñü u(�; t) � ôàçà ñâåòîâîé âîëíû, Qu(�; t) = u(� + h; t), h � óãîë ïîâîðîòà ïîëÿ â äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçè, K > 0 � êîýôôèöèåíò, ïðîïîðöèîíàëüíûé èíòåíñèâíîñòè ñâåòîâîãî ïîòîêà, 0 < � 1 � âèäíîñòü èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû. Mathematics Subject Classi�cation 2000: 35Q60, 35R10, 37L10. c Å.Ï. Áåëàí, 2005 Å.Ï. Áåëàí Â ðåãóëÿðíîì ñëó÷àå (� = 1) çàäà÷à îá àâòîêîëåáàíèÿõ óðàâíåíèÿ (1) íà îêðóæíîñòè ðàññìàòðèâàëàñü â ðàáîòàõ [2�5] (òàì æå ñì. ññûëêè). Áîëåå îáùèå ðåãóëÿðíûå ñëó÷àè èçó÷àëèñü â ðÿäå ðàáîò, áèáëèîãðàôèþ êîòîðûõ ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ [6�9]. Îñîáûé èíòåðåñ ê ëîêàëüíîé äèíàìèêå óðàâíå- íèÿ (1) ïðè �� 1 âûçâàí ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæåííûì [1] ÿâëåíèåì ðàñ- ïàäà ñòðóêòóð (îïòè÷åñêîé òóðáóëåíòíîñòè) ïðè óìåíüøåíèè êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè ÷àñòèö íåëèíåéíîé ñðåäû. Ýòîò ñëó÷àé èçó÷àëñÿ â ðàáîòàõ [2, 4, 10�12]. Êàê è â óêàçàííûõ ðàáîòàõ, áóäåì èíòåðåñîâàòüñÿ âîïðîñàìè î ñóùåñò- âîâàíèè, àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìå è óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé òèïà áåãóùèõ âîëí óðàâíåíèÿ (1), áèôóðöèðóþùèõ ïðè èçìåíåíèè K èëè h èç ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûõ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé. Îòìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî ïîëó÷åííûì â ðàáîòå [4] ðåçóëüòàòàì èìååò ìåñòî ìóëüòèñòàáèëüíîñòü áåãóùèõ âîëí â óðàâ- íåíèè (1). Íèæå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ðåàëèçóåòñÿ ÿâëåíèå áóôåðíîñòè, ò.å. ñóùåñòâîâàíèå ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà ýêñ- ïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâûõ áåãóùèõ âîëí ïðè ïîäõîäÿùåì âûáîðå ïàðàìåòðîâ. Àíàëèçó ôåíîìåíà áóôåðíîñòè ïîñâÿùåí ðÿä ðàáîò, áèáëèîãðà- ôèþ êîòîðûõ ìîæíî íàéòè â [13�15]. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè áåãóùèõ âîëí óðàâíåíèÿ (1) íèæå ðàç- âèâàåòñÿ íîâûé ïîäõîä, â êîòîðîì ñî÷åòàþòñÿ ìåòîä Ãàëåðêèíà, àñèìïòîòè- ÷åñêèé ìåòîä Êðûëîâà�Áîãîëþáîâà�Ìèòðîïîëüñêîãî, ìåòîä èíâàðèàíòíûõ ìíîãîîáðàçèé [16�24]. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðà óñòîé÷èâîñòè âûäåëåííîé áåãóùåé âîëíû ñòðîèòñÿ êîíå÷íàÿ ñîâîêóïíîñòü ñèëüíî ðåçîíàíñíûõ ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Êàæäàÿ òà- êàÿ ñèñòåìà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ãðóïïû âðàùåíèé îêðóæíîñòè è îïè- ñûâàåò êîíêóðåíòíîå âçàèìîäåéñòâèå áåãóùåé âîëíû ñ óïîðÿäî÷åííîé ïàðîé âîçáóæäåííûõ âîëí. Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè âûäåëåííîé áå- ãóùåé âîëíû îïðåäåëÿåòñÿ â ðåçóëüòàòå êîíêóðåíöèè ñ óïîðÿäî÷åííûìè ïà- ðàìè áåãóùèõ âîëí. Ýòîò ïðèíöèï ñîîòâåòñòâóåò îáùåìó ïðåäñòàâëåíèþ îá îïðåäåëÿþùåé ðîëè ìåõàíèçìà êîíêóðåíöèè ñòðóêòóð â ìåõàíèçìå óñòàíîâ- ëåíèÿ òîé èëè èíîé ñòðóêòóðû [25, 26]. Îòìåòèì, ÷òî ýòîò ïîäõîä ïðèìåíèì è ïðè � = 0. Òîãäà óðàâíåíèå (1) âûðîæäàåòñÿ â ñìåøàííîå ôóíêöèîíàëüíî- äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå [27]. Áèôóðöèðóþùèå èç ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ áåãóùèå âîëíû ðàññìàòðè- âàåìîé çàäà÷è èìåþò ãàðìîíè÷åñêóþ ôîðìó. Ñëåäóÿ [28], áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî òîïîëîãè÷åñêèé çàðÿä áåãóùåé âîëíû ðàâåí N , åñëè èçìåíåíèå åå ôàçû ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé ïðè îáõîäå îêðóæíîñòè ðàâíî 2�N . Ðåçóëüòàòû ðàáîòû èçëîæåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âî âòîðîì ðàçäåëå ïðèâåäåíû ñâîéñòâà ïîëóãðóïïû, ïîðîæäåííîé óðàâíåíèåì (1) íà S1, â òðåòü- åì � ïðèâåäåíû áèôóðêàöèîííûå óñëîâèÿ. Àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ áå- ãóùèõ âîëí íà îñíîâå îäíî÷àñòîòíîãî ìåòîäà ïîëó÷åíû â ÷åòâåðòîì ðàçäåëå. Â ïÿòîì ðàçäåëå ïîëó÷åíû óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè äâóõ áåãóùèõ âîëí ñ íàè- 4 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì ìåíüøèìè òîïîëîãè÷åñêèìè çàðÿäàìè. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû î ñó- ùåñòâîâàíèè, óñòîé÷èâîñòè è àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìå áåãóùèõ âîëí ñîäåð- æàòñÿ â øåñòîì ðàçäåëå. Â ñåäüìîì ðàçäåëå íàéäåíû óñëîâèÿ âîçíèêíîâå- íèÿ òàê íàçûâàåìîé âûñîêîìîäîâîé áóôåðíîñòè è îïèñàí ìåõàíèçì åå ðåà- ëèçàöèè. Â Çàêëþ÷åíèè ñôîðìóëèðîâàíû îñîáåííîñòè ëîêàëüíîé äèíàìèêè: ïðèíöèï âçàèìîäåéñòâèÿ áåãóùèõ âîëí è ïðèíöèï ìàêñèìóìà àìïëèòóäû. Â íåäàâíî âûøåäøåé ðàáîòå À.Þ. Êîëåñîâà, Í.Õ. Ðîçîâà [37] ðàññìîò- ðåíû âîïðîñû î ñóùåñòâîâàíèè è óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé òèïà áåãóùèõ âîëí óðàâíåíèÿ (1). Â ýòîé ðàáîòå óñòàíîâëåíî, ÷òî â óðàâíåíèè (1) ðåàëèçóåòñÿ ôåíîìåí áóôåðíîñòè. È â Çàêëþ÷åíèè ïîä÷åðêíåì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû íàñòîÿùåé ðàáîòû. Â ýòîé ñâÿçè îòìåòèì, ÷òî àñèìïòîòè÷åñêèå ôîðìû áåãóùèõ âîëí óðàâíå- íèÿ (1) áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòå [4]. Íåçàâèñèìî è èíûì ìåòîäîì óêàçàííûå ôîðìû ïîñòðîåíû â ðàáîòå àâòîðà [10]. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííîå â ýòîé ðàáîòå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè áåãóùèõ âîëí ÿâëÿåòñÿ ëèøü íåîáõîäè- ìûì. Çàìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [4] àíàëèç óñòîé÷èâîñòè áåãóùèõ âîëí â ïîëíîì îáúåìå íå ïðîâîäèëñÿ. Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè áåãóùèõ âîëí âïåðâûå ïîëó- ÷åí À.Þ. Êîëåñîâûì, Í.Õ. Ðîçîâûì [37]. Îòëè÷íûé îò íåãî ïî ôîðìå êðè- òåðèé óñòîé÷èâîñòè áåãóùèõ âîëí, ïîëó÷åííûé â íàñòîÿùåé ðàáîòå, ñâÿçàí ñ íîâûì ïîäõîäîì ïî èññëåäîâàíèþ äèíàìèêè áåãóùèõ âîëí ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàëîé äèôôóçèåé. Íîâûé ìåòîä ïðèâåë è ê íîâûì ðåçóëüòàòàì ïî äèíàìèêå áåãóùèõ âîëí óðàâíåíèÿ (1), ïîçâîëèâøèì äîïîëíèòü êàðòè- íó âîçíèêíîâåíèÿ îïòè÷åñêîé áóôåðíîñòè èç [37] íîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè. Ýòè õàðàêòåðèñòèêè â êîíöåíòðèðîâàííîé ôîðìå îòðàæåíû â çàêëþ÷èòåëü- íîé ÷àñòè ðàáîòû â ïðèíöèïå 1:2 âçàèìîäåéñòâèÿ áåãóùèõ âîëí è ïðèíöèïå ìàêñèìóìà àìïëèòóäû. 2. Ñâîéñòâà ïîëóãðóïïû. Èíåðöèàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ïîëóãðóïïû, ïîðîæäåííîé óðàâíåíèåì (1) íà S1. Ââåäåì ñ ýòîé öåëüþ ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé, èçìåðèìûõ íà S1. Îáîçíà÷èì H ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî L2(S 1) ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì hu; vi = 1 2� 2�Z 0 u(�)v(�) d�: Îáîçíà÷èì H l = H l(S1), l 2 Z+, ïðîñòðàíñòâî Ñîáîëåâà. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâå- äåíèå â H l îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé hu; vil = lX k=0 1 2� 2�Z 0 u(k)(�)v(k)(�) d�: Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 5 Å.Ï. Áåëàí Â ïðîñòðàíñòâå H íîðìó îáîçíà÷èì k � k. Íîðìó â ïðîñòðàíñòâå H l áóäåì îáîçíà÷àòü k � kl. Ïóñòü H�1 � ïðîñòðàíñòâî, ñîïðÿæåííîå H1; íîðìà â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ââîäèòñÿ ñòàíäàðòíî: kuk�1 = supfhu; vi=kvk1 (v 2 H1; v 6= 0)g: ÏóñòüB� áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî. Îáîçíà÷èì C(B) áàíàõîâî ïðîñòðàíñò- âî íåïðåðûâíûõ è îãðàíè÷åííûõ íà âåùåñòâåííîé îñè ôóíêöèé ñî çíà÷åíè- ÿìè â ïðîñòðàíñòâå B ñ íîpìîé kfkC(B) = sup t2R kf(t)kB. Îáîçíà÷èì M2(B) áàíàõîâî ïpîñòpàíñòâî èçìåpèìûõ ôóíêöèé f : R! B ñ íîpìîé kfk2 M2(B) = sup t2R 1Z 0 ku(t+ s)k2B ds: Ââåäåì ïpîñòpàíñòâî U = C(H) \M2(H1) ñ íîpìîé kfkU = kfkC(H) + kfkM2(H1): Ðàññìîòðèì òåïåðü ñâîéñòâà îòîáðàæåíèé, îïðåäåëÿþùèõ ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1). Çàìåòèì, ÷òî ëèíåéíûé îïåðàòîð Q : H ! H, Q : H1 ! H1 îãðàíè÷åí, ïðè÷åì kQkHom(H) = 1, kQkHom(H1) = 1. Ñîãëàñíî [8] îòîáðàæåíèå F : v ! cos(Qv) èç U â M2(H�1) äèôôåðåíöèðóåìî ïî Ôðåøå â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà U . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îòîáðàæåíèå F : v ! cos(Qv) èç H1 â H�1 äèôôåðåíöèðóåìî ïî Ôðåøå. Ïóñòü T > 0. Ñëåäóÿ [29], ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî óðàâíåíèå (1) íà S1 ñ íà- ÷àëüíûì óñëîâèåì u �� t=0 = u0, u0 2 H, èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå u(�) òàêîå, ÷òî u(�) 2 L1(H) \ L2(H 1) ïðè � > 0, u(0) 2 L1(H) (çäåñü Lp(B) = Lp([0; T ]; B)). Îáîçíà÷èì fS� t g ñåìåéñòâî ïîëóãðóïï, ïîðîæäåííîå ñåìåéñòâîì óðàâíå- íèé (1) íà S1. Ïîëóãðóïïà fS� t g ïðè � > 0 îáëàäàåò ñâîéñòâàìè, ñôîðìóëè- ðîâàííûìè â òåîðåìå 4 ãëàâû 1 ìîíîãðàôèè [29]. Îòìåòèì, ÷òî fS� t g, � � 0, â ïðîñòðàíñòâå H èìååò ïîãëîùàþùåå ìíîæåñòâî [8]: fu 2 H : kuk 6 K(1 + ) + 1g: Ãðóïïó âðàùåíèé îêðóæíîñòè îáîçíà÷èì G. Ïîëîæèì �k G = fTg : Hk ! Hk; Tgu(�) = u(� + g); g 2 R=2�Zg; k = �1; 0; 1; : : : : Çäåñü H0 = H. Î÷åâèäíî, �k G , k = 0; 1; : : : ; ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì êîì- ïàêòíîé ãðóïïû G êàê ãðóïïû óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ â ïðîñòðàíñòâàõ ñîîò- âåòñòâåííî Hk, k = 0; 1; : : : : Ïðåäñòàâëåíèåì G êàê ãðóïïû èçîìåòðè÷åñêèõ 6 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì îïåðàòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå H�1 ÿâëÿåòñÿ ��1 G . Óðàâíåíèå (1) íà S1, â êî- òîðîì îïåðàòîð d2=d�2 = � ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê îïåðàòîð èç ïðîñòðàíñòâà Hom(H1;H�1), ÿâëÿåòñÿ G-ýêâèâàðèàíòíûì. Èñïîëüçóÿ ìåòîäû, ðàçâèòûå â òåîðèè èíåðöèàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé (ñì., íàïð., [30�32]), ìîæíî óáåäèòüñÿ â ñóùåñòâîâàíèè ïîñòîÿííîé L òàêîé, ÷òî, åñëè �(2N + 1) > L; òî óðàâíåíèå (1) â ïðîñòðàíñòâå H1 èìååò N -ìåðíîå èíåðöèàëüíîå ìíîãîîáðà- çèå. Ïðè ôèêñèðîâàííîì � > 0 è ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå N ìîæíî äîáèòü- ñÿ âûïîëíåíèÿ ýòîãî íåðàâåíñòâà. Èòàê, âîçíèêàåò ïðèíöèïèàëüíàÿ âîçìîæ- íîñòü ñâåñòè èññëåäîâàíèå ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ èñõîäíîé çàäà÷è ê ðåøåíèþ àíàëîãè÷íîé çàäà÷è äëÿ íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåí- öèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ëîêàëüíîé äèíàìèêè áåãóùèõ âîëí â äàííîé ðàáîòå çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ àïïðîêñèìèðóþùåé ñèñòåìû äèôôåðåíöè- àëüíûõ óðàâíåíèé êîíñòðóêòèâíî ðåøåíà ïóòåì åå ñâåäåíèÿ ê ëåãêî ðåàëèçó- åìîìó ïîñòðîåíèþ ñîâîêóïíîñòè øåñòèìåðíûõ ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå- ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ðàçâèòûé â íàñòîÿùåé ðàáîòå ôîðìàëèçì èññëåäî- âàíèÿ óñòîé÷èâîñòè áåãóùèõ âîëí ìîæåò áûòü îáîñíîâàí èñõîäÿ èç ñâîéñòâà ïðèòÿæåíèÿ èíåðöèàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé. Òàê êàê â äàííîé ðàáîòå äëÿ ýòîé öåëè èñïîëüçóåòñÿ èíîé ïîäõîä, òî íà äîêàçàòåëüñòâå ñóùåñòâîâàíèÿ èíåðöè- àëüíûõ ìíîãîîáðàçèé óðàâíåíèÿ (1) â ïðîñòðàíñòâå H1 è åãî ñâîéñòâàõ ìû íå îñòàíàâëèâàåìñÿ. 3. Îñíîâíûå ïðåäïîëîæåíèÿ Ðàññìîòðèì âîïðîñ î âûáîðå ïîäõîäÿùåãî ïðîñòðàíñòâåííî-îäíîðîäíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ óðàâíåíèÿ (1), îïðåäåëÿåìîãî èç óðàâíåíèÿ w = K(1 + cosw); (2) êîòîðîå êîëåáàòåëüíûì îáðàçîì òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü ïðè èçìåíåíèè K. Ñ ýòîé öåëüþ ôèêñèðóåì êàêóþ-ëèáî íåïðåðûâíóþ âåòâü ðåøåíèé w = w(K); 1 +K sinw(K) 6= 0 (3) óðàâíåíèÿ (2). Çàòåì ëèíåàðèçóåì óðàâíåíèå (1) íà ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ (3) è ïðèìåíÿåì ê ïîëó÷åííîìó íà S1 óðàâíåíèþ _u = ��u� u+�(K)Qu; ãäå �(K) = �K sinw(K), ìåòîä Ôóðüå ïî ñèñòåìå ôóíêöèé exp(im�), m = 0;�1;�2; : : : . Â ðåçóëüòàòå óáåæäàåìñÿ, ÷òî ñïåêòð óñòîé÷èâîñòè ðàññìàòðè- âàåìîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñîñòîèò èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé �1� �m2 +�(K) exp(imh); m = 0;�1;�2; : : : : Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 7 Å.Ï. Áåëàí Ñîãëàñíî (3) ëèáî �(K) > �1, ëèáî �(K) < �1. Åñëè �(K) 2 (�1; 1), òî w = w(K) � ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâîå ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå (1) äëÿ ëþ- áîãî � > 0. Åñëè æå �(K) > 1, òî îíî, î÷åâèäíî, íåóñòîé÷èâî. Ïðè �(K) = �1 èçìåíåíèå óñòîé÷èâîñòè íîñèò àïåðèîäè÷åñêèé õàðàêòåð. Â ýòîé ñâÿçè, ñëå- äóÿ [1, 4], äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé �(K) < �1: Îñòàíîâèìñÿ íà âûáîðå âåëè÷èíû h. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè èððàöèîíàëü- íîì îòíîøåíèè 2�=h ñïåêòð óñòîé÷èâîñòè ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðè m ! 1, � ! 0 ôàêòè÷åñêè ìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî. Â ýòîé ñâÿçè áóäåì ïðåä- ïîëàãàòü, ÷òî h = 2�p=q; (4) ãäå íàòóðàëüíûå ÷èñëà p; q âçàèìíî ïðîñòû, à q � 3 � íå÷åòíîå. Òîãäà ñðåäè íàòóðàëüíûõ k = 1; : : : ; q � 1 íàéäóòñÿ ðîâíî äâà çíà÷åíèÿ m+ < m�, m+ + m� = q òàêèå, ÷òî min 06k6q cos (kh) = cos (m�h): (5) Òåïåðü îñóùåñòâèì âûáîð áèôóðêàöèîííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà K èç óñëî- âèÿ �1 + �(K) cos (m+h) = 0: (6) Çàäà÷à ðåàëèçóåìîñòè ýòîãî óñëîâèÿ ñ èñ÷åðïûâàþùåé ïîëíîòîé èññëåäîâàíà â ðàáîòå [37]. Ñîãëàñíî ïîëó÷åííûì â óêàçàííîé ðàáîòå ðåçóëüòàòàì ñóùåñò- âóåò ñ÷åòíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü bKr; r = 1; 2; : : : ; êîðíåé óðàâíåíèÿ (6) òàêàÿ, ÷òî bKr !1 ïðè r !1, ïðè÷åì �0( bKr) < 0: Âûáåðåì íåêîòîðîå bKr è ñ öåëüþ óïðîùåíèÿ çàïèñè íèæíèé èíäåêñ îïóñòèì. ßñíî, ÷òî ñóùåñòâóåò àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ �(�), �(0) = 0, îïðåäåëåííàÿ â îêðåñòíîñòè íóëÿ è òàêàÿ, ÷òî �( bK + �) = b�� : (7) Çäåñü b� = �( bK). Âûïîëíèì òåïåðü â óðàâíåíèè (1) ïðåîáðàçîâàíèå ñäâèãà u = v + w(�); ãäå w(�) = w( bK + �(�)), è ïðåäñòàâèì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå â âèäå _v = L(�; �)v +R(Qv; �): (8) 8 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì Â ñèëó (7) L(�; �)v = ��v � v + (b�� )Qv; R(v; �) = ( bK + �(�)) [cos(w(�) + v)� cosw(�) + v sinw(�)]: (9) Î÷åâèäíî, L(�; �) exp(im�) = �m(�; �) exp(im�); m = 0;�1;�2; : : : ; ãäå �m(�; �) = �1� �m2 + (b�� ) exp(imh) m = 0;�1;�2; : : : : (10) Â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ðåàëèçóåòñÿ êðèòè÷åñêèé ñëó÷àé óñòîé÷èâîñòè áåñêîíå÷íîé ðàçìåðíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (4)�(6) è îïðåäåëåíèþ bK �s�(�; �)! �i!0; �! 0; � ! 0; s = 0; 1; 2; : : : ; !0 = b� sinm+h 6= 0: (11) Çäåñü s� = m� + sq, s = 0; 1; 2; : : : : Â ñèëó (4)�(6), (10) Re�s�(�; �) = ��(m� + sq)2 � b��1�: Ñëåäîâàòåëüíî, Re�0+(�; �) > Re�0�(�; �) > Re�1+(�; �) > : : : ; � > 0: (12) Ýòè íåðàâåíñòâà èìåþò âàæíîå çíà÷åíèå â çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè áåãóùèõ âîëí óðàâíåíèÿ (8). Çàìåòèì, ÷òî Re�s�(0; �) = �b��1�; s = 0; 1; 2; : : : : (13) 4. Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå áåãóùèõ âîëí Â êà÷åñòâå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà óðàâíåíèÿ (8) ïðèìåì ïðîñòðàíñòâî H. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (8) òèïà áåãóùèõ âîëí âîñïîëüçóåìñÿ îäíî÷àñòîòíûì ìåòîäîì [16, 17, 20]. Ðàçëè÷èå ôàçîâûõ ñêîðîñòåé áåãóùèõ âîëí exp (i(!0t+ (m� + sq)�)), s = 0; 1; : : : ; ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü ýòîò ìåòîä. Áóäåì èñêàòü óêàçàííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (8) â âèäå v = 1X k=1 �k(z exp (i(m + + sq)�); z exp (�i(m+ + sq)�); �; �): (14) Çäåñü �1(z; z; �; �) = z + z, �k(z; z; �; �), k = 2; 3; : : : ; � ôîðìà k-é ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî z; z, à ïåðåìåííàÿ z óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ _z = z(�s+ + c1jzj2 + c2jzj4 + : : :); (15) Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 9 Å.Ï. Áåëàí ãäå ck = ck(�; �), k = 1; 2; : : : :Ïåðåìåííàÿ z óäîâëåòâîðÿåò ñîîòâåòñòâóþùåìó êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííîìó óðàâíåíèþ. Ïîäñòàâèì (14), (15) â óðàâíåíèå (8). Âûïîëíèâ çàòåì çàìåíó z exp (i(m+ + sq)�)! z è ïðèðàâíÿâ ôîðìû âòîðîé, òðåòüåé, ... ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî z; z â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà, èìååì ðåêóððåíòíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëèíåéíûõ íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé B1(�; �)�k = fk(z; z; �; �); k = 2; 3 : : : : (16) Íåñëîæíûé àíàëèç ïðèâîäèò ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî îïåðàòîð B1(�; �), îïðåäå- ëåííûé íà ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ îòíîñèòåëüíî z; z, ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëü- íûì îïåðàòîðîì, ïðè÷åì èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: B1(0; 0)z �z� = (i!0(�� )� �m(0; 0))z �z�; (17) ãäå m = (�� )m+. Òàê êàê â ñèëó (9) f2(z; z; 0; 0) = �1 2 bK cos bw(z exp (im+h) + z exp (�im+h))2; òî èç óðàâíåíèÿ (16) ïðè k = 2, � = 0, � = 0 íàõîäèì �2 = �2(z; z; 0; 0): �2 = b�ctg bw 2 (b exp (im+h)z2 + ê.ñ.+ 2(1� b�)�1zz); (18) ãäå b = (2i!0 + 1� b�exp (2im+h))�1; (19) à ê.ñ. � ýòî ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèå êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííîãî âûðàæåíèÿ. Ñîãëàñíî (17) äëÿ ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ (16) ïðè k = 3, � = 0, � = 0 íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû êîýôôèöèåíòû ïðè z2z, zz2 â åãî ïðàâîé ÷àñòè áûëè ðàâíû íóëþ. Èç ýòîãî óñëîâèÿ íàõîäèì c1(0; 0) = c = 1 2 exp (im+h) � �b�+ (b� ctg bw)2(2(1 � b�)�1 + exp (2im+h)b)): (20) Çàòåì íàõîäèì �3 èç óðàâíåíèÿ (16) ïðè k = 3, � = 0, � = 0 â òîé æå ôîð- ìå, ÷òî è åãî ïðàâàÿ ÷àñòü. Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (16) ïðè k = 2 èìååò ðåøåíèå �2 = �2(�; �; �), àíàëèòè÷åñêîå ïî �; � â îêðåñòíîñòè íóëÿ. Èç óðàâ- íåíèÿ (16) ïðè k = 3 îïðåäåëÿåì c1(�; �) è �3(�; �; �). Ýòè ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè �; � â îêðåñòíîñòè íóëÿ. Îòìåòèì, ÷òî ïðîöåññ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïîñòðîåíèÿ ck(�; �), �k(�; �; �) â ïðîñòðàíñòâå àíàëèòè÷å- ñêèõ ïî �; � â îêðåñòíîñòè íóëÿ ôóíêöèé íåîãðàíè÷åííî ïðîäîëæèì. Ôîðìàëüíûå ðàçëîæåíèÿ (14), (15) ïîçâîëÿþò ïîñòðîèòü ïðèáëèæåííûå ðàçëîæåíèÿ. Ñëåäóÿ [16, 20], â êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ïðèìåì v = 2X k=1 �k(z exp (i(m + + sq)�); z exp (�i(m+ + sq)�); 0; 0); (21) 10 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ z óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ _z = z(�s+ + cjzj2): (22) Â êà÷åñòâå âòîðîãî ïðèáëèæåíèÿ ïðèìåì v = 3X k=1 �k(z exp (i(m + + sq)�); z exp (�i(m+ + sq)�); �; �); (23) â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ z óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ _z = z(�s+ + c1(�; �)jzj2 + c2(0; 0)jzj4): (24) Íà ýòîì ïóòè ìîæíî ïîñòðîèòü ïðèáëèæåííûå ðàçëîæåíèÿ ëþáîãî ïîðÿäêà. Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ î ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèÿõ óðàâíåíèé (22), (24). Áèôóðêàöèîííûé àíàëèç ýòèõ óðàâíåíèé îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùóþ ëåì- ìó. Ëåììà. Re c < 0. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîãëàñíî (20) äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü íåðà- âåíñòâî Re (exp (3im+h)(2i!0 + 1� b�exp (2im+h))�1) � 0: (25) Â ýòîé ñâÿçè, ó÷èòûâàÿ âûòåêàþùåå èç (6) è (10) ðàâåíñòâî b�exp (im+h) = 1 + i!0; óáåæäàåìñÿ, ÷òî (25) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ (b�� 1)(b� + 2)(�2b�2 + b�+ 2) > 0: Ïîñëåäíåå ñïðàâåäëèâî, ò.ê. b� 2 (�1;�2). Ëåììà äîêàçàíà. Äîêàçàííàÿ ëåììà ïîçâîëÿåò ðåøèòü âîïðîñ î áèôóðöèðóþùèõ èç íóëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèÿõ óðàâíåíèé (22), (24). Ðàññìîòðèì â ýòîé ñâÿçè äâó- ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî óðàâíåíèé (22). ßñíî, ÷òî ïðè Re�s+(�; �) > 0 óðàâíåíèå (22) èìååò ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå z = � 1=2 s+ exp (i!̂s+t); (26) ãäå �s+ = Re�s+(�; �) �Re c ; !̂s+ = Im�s+(�; �) + Im c�s+(�; �): (27) Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 11 Å.Ï. Áåëàí Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó (18), (21) óðàâíåíèå (8) èìååò ïðèáëèæåííîå ïî íåâÿç- êå ïîðÿäêà k(�; �)k3=2 ïåðèîäè÷åñêîå ïî t ðåøåíèå bvs+ = � 1=2 s+ 2 cos � + b�ctg bw�s+((1� b�)�1 +Re (b exp (2i(� +m+h)))); (28) ãäå � = !̂s+(�; �)t+ (m+ + sq)�: Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå (24). Ýòî óðàâíåíèå ïðè �s+(�; �) > 0 èìå- åò ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå âèäà (26) ñ àìïëèòóäîé, ïðåäñòàâèìîé â âèäå � 1=2 s+ (�; �)+O(�s+(�; �)). Ïîäñòàâèì ýòî ðåøåíèå â (23). Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ïî íåâÿçêå ïîðÿäêà k(�; �)k5=2 ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (8) âèäà � 1=2 s+ 2 cos � + �s+p2(�) + � 3=2 s+ p3(�): Çäåñü p2(�), p3(�) � 2�-ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè �, � = (!0 + q1�s+ + q2� 2 s+ )t+ (m+ + sq)�; ãäå q1, q2 � ïîñòîÿííûå. Ðàññóæäàÿ òàê è äàëåå è ïåðåõîäÿ çàòåì ê ïðåäåëó, ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå � 1=2 s+ (�; �)2 cos � + 1X k=2 � k=2 s+ (�; �)pk(�; �; �); (29) ãäå pk(�; �; �), k = 2; 3; : : : ; � 2�-ïåðèîäè÷íû ïî � è âåùåñòâåííî-àíàëèòè÷íû ïî �; � â îêðåñòíîñòè íóëÿ, à � îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì � = !0 + 1X k=1 q̂k(�; �)� k s+ (�; �); (30) ãäå q̂k(�; �), k = 1; 2; : : : ; � âåùåñòâåííî-àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè �; � â îêðåñòíîñòè íóëÿ. Ñîãëàñíî ïîëó÷åííûì äàëåå ðåçóëüòàòàì ðÿä (29), â êî- òîðîì � óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (30), àñèìïòîòè÷åñêè ñõîäèòñÿ ïðè �s+ ! 0, � ! 0 ê ïåðèîäè÷åñêîìó ïî t ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (8). Àíàëîãè÷íî ñòðîÿòñÿ ïðèáëèæåííûå, ïåðèîäè÷åñêèå ïî t ðåøåíèÿ óðàâíå- íèÿ (8) ñ òîïîëîãè÷åñêèì çàðÿäîì m�+sq. Îòìåòèì, ÷òî ðåøåíèå bvs� ìîæíî ïîëó÷èòü èç bvs+ çàìåíîé s+ íà s�, c íà c. Íàøè ïîñòðîåíèÿ ïðèìåíèìû è â ñëó÷àå � = 0. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé òèïà áåãóùèõ âîëí ñëåäóåò ïîëîæèòü â ïîëó÷åííûõ âûøå ôîðìóëàõ � = 0. 12 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì 5. Óñòîé÷èâîñòü ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé bv0+, bv0� Ðàññìîòðèì âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé bv0+ ,bv0� óðàâíåíèÿ (8) â îáëàñòè Re�2+(�; �) < 0. Ñ ýòîé öåëüþ ìîäåðíèçèðóåì ìåòîä Ãàëåðêèíà [25], [33] èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè òàê, ÷òîáû àïïðîêñè- ìèðóþùàÿ ñèñòåìà áûëà G-ýêâèâàðèàíòíîé. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ìíîãî÷àñòîò- íûì ìåòîäîì, ôîðìàëèçìîì ïîñòðîåíèÿ öåíòðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé G-ýêâè- âàðèàíòíûõ ñèñòåì áóäåì èñêàòü ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (8) â âè- äå v = 3X k=1 �k(z1 exp (i(m +)�); z2 exp (i(m �)�); z3 exp (i(m + + q)�); z4 exp (i(m � + q)�); ê.ñ.); (31) ãäå �1(z; z) = z1 + z2 + z3 + z4 + ê.ñ., �2(z; z), �3(z; z) � ôîðìû îòíîñèòåëüíî z; z, z = (z1; z2; z3; z4), ñîîòâåòñòâåííî âòîðîé, òðåòüåé ñòåïåíè, à ïåðåìåííàÿ zk, k = 1; 2; 3; 4, óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ _zk = �̂k(�; �)zk + ak(z; z); k = 1; 2; 3; 4: (32) Çäåñü �̂1 = �0+ , �̂2 = �0� , �̂3 = �1+ , �̂4 = �1� , à ak(z; z), k = 1; 2; 3; 4, � ôîð- ìû òðåòüåé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî z; z. Óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñíî- ñîïðÿæåííûõ ïåðåìåííûõ, êàê îáû÷íî, îïóùåíû. Ìû îñóùåñòâèì âûáîð ôîðì ak(z; z), k = 1; 2; 3; 4, ñîãëàñíî óñëîâèé ak(z; z) exp (im(k)�) = ak(z exp (im(�)�); z exp (�im(�)�)); k = 1; 2; 3; 4; (33) ãäå m(1) = m+, m(2) = m�, m(3) = m+ + q, m(4) = m� + q, z exp (im(�)�) = (z1 exp (i(m +)�); z2 exp (i(m �)�); z3 exp (i(m + + q)�); z4 exp (i(m � + q)�)): Ïîä- ñòàâèì (31), (32) â óðàâíåíèå (8). Çàòåì, ïîñëå çàìåíû z exp (im(�)�)! z, ïðèðàâíÿåì ôîðìû ñîîòâåòñòâåííî âòîðîé, òðåòüåé ñòåïåíè â ëåâîé è ïðà- âîé ÷àñòÿõ ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà. Â ðåçóëüòàòå ïðè � = 0, � = 0 ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî �2: B2�2 = b� ctg bw 2 ((z1 + z3) exp (im +h)) + (z2 + z4) exp (im �h) + ê.ñ.)2: (34) Íåñëîæíûé àíàëèç ïðèâîäèò ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî B2 � äèàãîíàëüíûé îïåðà- òîð, îïðåäåëåííûé íà ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ îòíîñèòåëüíî z; z, è, êðîìå òîãî, èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà B2z �z� = (i!0(�� ; e1)� �m(0; 0))z �z� ; (35) ãäå � = (�1; �2; �3; �4), � = (�1; �2; �3; �4) � öåëî÷èñëåííûå âåêòîðû ñ íåîòðè- öàòåëüíûìè êîìïîíåíòàìè, z� = z�11 z�22 z�33 z�44 ,m = (��; e1)m++(��; e2)q, Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 13 Å.Ï. Áåëàí e1 = (1;�1; 1;�1), e2 = (0; 1; 1; 2), (a; b) = 4P 1 akbk. Ñîãëàñíî (35) óðàâíå- íèå (34) èìååò ðåøåíèå òîãî æå âèäà, ÷òî è åãî ñâîáîäíûé ÷ëåí. Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî �3: B2�3 = f3(z; z): (36) Ïðèðàâíÿåì íóëþ êîýôôèöèåíòû â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðè ìî- íîìàõ z�z� òàêèõ, ÷òî i!0(� � �; e1) � �m(0; 0) = 0, ãäå m ïðèíèìàåò çíà- ÷åíèÿ m+, m�, m+ + q, m� + q. Â ðåçóëüòàòå îäíîçíà÷íî íàõîäèì ôîðìû ak, k = 1; 2; 3; 4, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (33). Ñîãëàñíî ìåòîäó Ãàëåðêèíà îïóñòèì â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (36) îñòàâøèåñÿ ðåçîíàíñíûå ìîíîìû, ò.å. ìîíîìû z�z� òàêèå, ÷òî (��; e1)2 = 1. Ïîëó÷èâøååñÿ â ðåçóëüòàòå óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèå òîãî æå âèäà, ÷òî è åãî ñâîáîäíûé ÷ëåí. Èòàê, ïîñòàâëåííàÿ âûøå çàäà÷à ðàçðåøèìà â âîñüìèìîäîâîé àïïðîêñèìàöèè Ãàëåðêèíà. Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ak, k = 1; 2; 3; 4, â ñèñòåìó (32). Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ðåçîíàíñíóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: _z1 = z1(�0+ + c(jz1j2 + 2jz2j2 + 2jz3j2 + 2jz4j2)) + cz2 2z4; _z2 = z2(�0� + c(2jz1j2 + jz2j2 + 2jz3j2 + 2jz4j2)) + cz1 2z3; _z3 = z3(�1+ + c(2jz1j2 + 2jz2j2 + jz3j2 + 2jz4j2)) + cz1 2z2; (37) _z4 = z4(�1� + c(2jz1j2 + 2jz2j2 + 2jz3j2 + jz4j2)) + cz1z 2 2 : Ýòà ñèñòåìà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé fzk ! exp ((�1)k+1ig)zk; k = 1; 2; 3; 4; g 2 R=2�Zg; êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíûì ïðåäñòàâëåíèåì â ïðîñòðàíñòâå C 4 ãðóïïû âðà- ùåíèé îêðóæíîñòè. Èññëåäóåì òåïåðü óñòîé÷èâîñòü ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ '0+(t; �; �) = � 1=2 0+ (exp (i!̂0+t); exp (�i!̂0+t); 0; : : : ; 0)T ñèñòåìû (37). Ñ ýòîé öåëüþ ëèíåàðèçóåì åå íà äàííîì ïåðèîäè÷åñêîì ðå- øåíèè. Ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ñèñòåìà ïðèâîäèòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôè- öèåíòàìè, ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé. Îäíèì èç åå áëîêîâ ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà� �Re�0+ + iIm c�0+ �Re�0+ + iIm c�0+ �Re�0+ � iIm c�0+ �Re�0+ � iIm c�0+ � ; 14 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ 0 è �2Re�0+ . Áëîêàìè óêàçàí- íîé ìàòðèöû ÿâëÿþòñÿ ìàòðèöû A0+;0� = A0+;0�(�; �), A0+;0� , ãäå A0+;0� = � Re�0� � 2Re �0+ � iIm c�0+ c�0+ c�0+ Re�1+ � 2Re�0+ + iIm c�0+ � ; à åå îäíîìåðíûìè áëîêàìè � Re�1� � 2Re�0+ � 2iIm c�0+ è åé êîìïëåêñíî- ñîïðÿæåííàÿ âåëè÷èíà. Íåñëîæíûé àíàëèç ïðèâîäèò ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ '0+ îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöåé A0+;0� . Àíàëèç óñòîé÷è- âîñòè ýòîé ìàòðèöû ïðèâîäèò ê âîïðîñó îá óñòîé÷èâîñòè ìíîãî÷ëåíà ÷åòâåð- òîé ñòåïåíè ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Åãî óñòîé÷èâîñòü îïðåäåëÿ- åòñÿ ñëåäóþùèìè âåëè÷èíàìè: a0+;0� = 4Re�0+ �Re�0� �Re�1+ ; b0+;0� = (2Re�0+ �Re�0�)(2Re�0+ �Re�1+)�Re�20+ ; �0+;0� = �Re�0+(Re�0� �Re�1+); ãäå � = Imc �Re c . Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Ðàóñà�Ãóðâèöà äëÿ óñòîé÷èâîñòè ìàòðèöû A0+;0� íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû d0+;0� = a20+;0�b0+;0� � b20+;0� � 2�20+;0� > 0: Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî áèôóðöèðóþùåå èç íóëÿ ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå '0+ ñèñòåìû (37) ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâûì. Óñòîé÷èâîñòü ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ '0�(t; �; �) = � 1=2 0� (0; 0; exp (i!̂0�t); exp (�i!̂0�t); 0; : : : ; 0)T ñèñòåìû (37) îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöåé A0�;0+ = � Re�0+ � 2Re �0� + iIm c�0� c�0� c�0� Re �1� � 2Re�0� � iIm c�0� � : Îáîçíà÷èì a0�;0+ = 4Re�0� �Re�0+ �Re�1� ; b0�;0+ = (2Re�0� �Re�0+)(2Re�0� �Re�1�)�Re�20� ; �0�;0+ = �Re�0�(Re�0+ �Re�1�): Ðàññóæäàÿ, êàê è âûøå, ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå '0� óñòîé÷èâî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà d0�;0+ = a20�;0+b0�;0+ � b20�;0+ � �20�;0+ > 0: Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 15 Å.Ï. Áåëàí Ñîãëàñíî (12) îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå '0� ðîæäàåòñÿ íåóñòîé÷èâûì. Ðå- øåíèå '0� îáðåòàåò óñòîé÷èâîñòü òîãäà, êîãäà âåëè÷èíà Re�0� äîñòèãíåò ïðè �=� = (�=�)0� íåêîòîðîãî êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ. ßñíî, ÷òî íåîáõîäèìûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ '0� ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå 2Re�0� � Re�0+ > 0, b0�;0+ > 0. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé � = 0. Â ñèëó (13) b0+;0�(0; �) = b0�;0+(0; �) = 0. Òàêèì îáðàçîì, ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ '0+ , '0� ñèñòåìû (37), ðîæäàÿñü îäíîâðåìåííî ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå � = 0, íåóñòîé÷èâû. Îòìåòèì èíòåðåñíóþ îñîáåííîñòü äèíàìèêè ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé '0+ , '0� ñèñòåìû (37). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïåðåìåííàÿ z4 ôàêòè÷åñêè íå âëèÿåò íà õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ '0+ ñèñòåìû (37) è ñ óêà- çàííîé òî÷êè çðåíèÿ ìîæíî ïîëîæèòü åå ðàâíîé íóëþ, ïîíèçèâ òåì ñàìûì ðàçìåðíîñòü ñèñòåìû íà äâà ïîðÿäêà. ßñíî, ÷òî ïåðåìåííàÿ z3 íå âëèÿåò íà õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ '0� . Èç äàëüíåéøåãî ñëåäó- åò, ÷òî ýòà îñîáåííîñòü äèíàìèêè ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé íå ñëó÷àéíà. Ñîãëàñíî èçëîæåííîìó è ïîëó÷åííûì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå ðåçóëüòà- òàì èìååò ìåñòî ýêñïîíåíöèàëüíàÿ óñòîé÷èâîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ v̂0+ óðàâíåíèÿ (8). Äëÿ óñòîé÷èâîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ v̂0� íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ìàòðèöà A0�;0+ áûëà óñòîé÷èâîé. 6. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò Ðàññìîòðèì âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè áåãóùåé âîëíû v̂k+ â ñâÿçè ñ âçàè- ìîäåéñòâèåì ñ áåãóùåé âîëíîé v̂s� . Ïîñòðîèì ñ ýòîé öåëüþ ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (8) â âèäå v = 3X k=1 �k(z1 exp (ik +�); z2 exp (is ��); z3 exp (il +�);ê.ñ); (38) ãäå �1(z; z) = z1 + z2 + z3 + ê.ñ, l = 2k + s + 1, à �2(z; z), �3(z; z) � ôîð- ìû ñîîòâåòñòâåííî âòîðîé, òðåòüåé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî z; z, z = (z1; z2; z3). Ðàññóæäàÿ, êàê è âûøå, ïîëó÷àåì G-ýêâèâàðèàíòíóþ ðåçîíàíñíóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: _z1 = z1(�k+ + c(jz1j2 + 2jz2j2 + 2jz3j2)); _z2 = z2(�s� + c(2jz1j2 + jz2j2 + 2jz3j2)) + cz1 2z3; (39) _z3 = z3(�l+ + c(2jz1j2 + 2jz2j2 + jz3j2)) + cz1 2z2: Ñëåäóÿ ïðîâåäåííîìó âûøå àíàëèçó, ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî óñòîé÷è- âîñòü ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ 'k+(t; �; �) = � 1 2 k+ (exp (i!̂k+t); exp (�i!̂k+t); 0; : : : ; 0)T 16 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì ýòîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöåé Ak+;s� = � Re�s� � 2Re �k+ � iIm c�k+ c�k+ c�k+ Re �l+ � 2Re �k+ + iIm c�k+ � : (40) Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè áåãóùåé âîëíû v̂k+ â ñâÿçè ñî âçàèìîäåéñòâèåì ñ áåãóùåé âîëíîé v̂s+. Ïîñòðîèì ñ ýòîé öåëüþ ïðèáëèæåí- íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (8) â âèäå v = 3X k=1 �k(z1 exp (ik +�); z2 exp (is +�); z3 exp (in +�);ê.ñ.); (41) ãäå �1 = z1 + z2 + z3 + ê.ñ., n = 2k � s, 0 � s < k, à �2(z; z), �3(z; z) óäîâëåò- âîðÿþò òåì æå òðåáîâàíèÿì, ÷òî è â ðàññìîòðåííîì âûøå ñëó÷àå. Ïðè ýòîì ïåðåìåííûå zk, k = 1; 2; 3, óäîâëåòâîðÿþò ðåçîíàíñíîé ñèñòåìå äèôôåðåíöè- àëüíûõ óðàâíåíèé: _z1 = z1(�k+ + c(jz1j2 + 2jz2j2 + 2jz3j2)); _z2 = z2(�s+ + c(2jz1j2 + jz2j2 + 2jz3j2)) + cz1 2z3; (42) _z3 = z3(�n+ + c(2jz1j2 + 2jz2j2 + jz3j2)) + cz1 2z2: Õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ � 1 2 k+ (exp (i!̂k+t); exp (�i!̂k+t); 0; : : : ; 0)T ñèñòåìû (42) îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöåé Ak+;s+ = � Re �s+ � 2Re�k+ � iIm c�k+ c�k+ c�k+ Re�n+ � 2Re �k+ + iIm c�k+ � : (43) Èòàê, âçàèìîäåéñòâèå áåãóùåé âîëíû v̂k+ ñ áåãóùèìè âîëíàìè v̂s+ , v̂(2k�s)+ , 0 � s < k, îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå- íèé (42). Ïðè ýòîì õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè áåãóùåé âîëíû v̂k+ â ñâÿçè ñ óêà- çàííûì âçàèìîäåéñòâèåì îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöåé Ak+;s+. Îáîñíîâàíèå èçëîæåííîé ïðîöåäóðû èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ïðèáëè- æåííîãî ðåøåíèÿ v̂k+(�; �; �) óðàâíåíèÿ (8), îïðåäåëåííîãî â îáëàñòè Dk+ = f(�; �) : � > 0; � > 0;Re�k+(�; �) > 0g; äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 17 Å.Ï. Áåëàí Òåîðåìà 1. Ñóùåñòâóåò Æ0 > 0, Æ0 = Æ0(k), ÷òî äëÿ âñåõ (�; �) 2 Dk+ òàêèõ, ÷òî k(�; �)k < Æ0, óðàâíåíèå (8) èìååò ïåðèîäè÷åñêîå ïî t ðåøåíèå vk+(�; �; �), � = !k+(�; �)t+ (m+ + kq)�, ãäå vk+ =� 1=2 k+ 2 cos � + b�ctg bw�k+((1� b�)�1 +Re (b exp (2i(� +m+h)))) + o(�; �): Çäåñü �k+ = Re�k+(�; �) �Re c +o(k�; �k); !k+(�; �) = Im�k+(�; �)+Im c�k+ +o(k�; �k); à b óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (19). Ðåøåíèå vk+(�; �) � ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíû óñëîâèÿ: i) äëÿ ëþáîãî s � 0 ìàòðèöà Ak+;s�(�; �) óñòîé÷èâà; ii) äëÿ ëþáîãî 0 � s < k ìàòðèöà Ak+;s+(�; �) óñòîé÷èâà. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Öåíòðàëüíûé ìîìåíò äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ñîñòîèò â èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ óñòîé÷èâîñòè â ïðîñòðàíñòâå H óðàâíåíèÿ _� = L(�; �)� + @ @u R(Qv̂k+ ; �)Q�; (44) ïîëó÷åííîãî ëèíåàðèçàöèåé óðàâíåíèÿ (8) íà ïðèáëèæåííîì ðåøåíèè v̂k+. Ââåäåì â ïðîñòðàíñòâå H îðòîïðîåêòîð P : P� = k0X �k0 Ps�; Ps� = �s exp (is�); �s = 1 2� 2�Z 0 � exp (�is�) d�; ãäå âûáîð k0 îñóùåñòâèì ïîçæå. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäñòàâëåíèåì � = h + w, h = P�, w = (I�P )v, ãäå I � åäèíè÷íûé îïåðàòîð. Â ïîëó÷åííîé îòíîñèòåëü- íî h;w ñèñòåìå óðàâíåíèé ïîëîæèì w = 0. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ëèíåéíóþ ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïåðèîäè÷åñêèìè êî- ýôôèöèåíòàìè _hn = �nhn + Pn @ @u R(Qv̂k+ ; �)Q k0X �k0 hs exp (is�); n = 0;�1;�2; : : : : (45) Çäåñü h�n = hn, n = 1; 2; : : : . Î÷åâèäíî, ýòà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ 2k0+1 ìîäîâîé ãàëåðêèíñêîé àïïðîêñèìàöèåé óðàâíåíèÿ (44). Äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ýòîé ñèñòåìû âîñïîëüçóåìñÿ ïðèíöèïîì ñâåäåíèÿ. Â ñèñòåìå (45) áóäåì ðàçëè÷àòü êðèòè÷åñêèå è íåêðèòè÷åñêèå ïåðå- ìåííûå. Âûäåëèì èç (45) óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî êðèòè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ. Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî @R(u; 0) @u = b�ctg( bw)u� 1 2 b�u2 + o(u2); 18 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì ïîëó÷èì _hl+ = �l+hl+ + � 1=2 k+ b�ctg bw(exp (i(!̂k+t+m+h))h(l�k)q + exp (�i(!̂k+t+m+h))h2m++(l+k)q) + �k+((b� ctg bw)2(1� b�)�1 exp (im+h)hl+ (46) + (�b�=2 + (b� ctg bw)2b exp (2im+h) exp (i(2!̂k+t+m+h))h(l�2k�1)�) + : : : ; ãäå l � 0, m++ lq � k0 , 2m ++(l+k)q � k0. Çäåñü ìíîãîòî÷èå îçíà÷àåò ÷ëåíû ïîðÿäêà �k+, ñîäåðæàùèå íåêðèòè÷åñêèå ïåðåìåííûå, è ñëàãàåìûå ïîðÿäêà � 3=2 k+ . Òî÷íî òàê æå èìååì _hl� = �l�hl� + � 1=2 k+ b�ctg bw(exp (i(!̂k+t+m+h))hm��m++(l�k)q + exp (�i(!̂k+t+m+h))h(l+k+1)q) + �k+((b� ctg bw)2(1� b�)�1 exp (�im+h)hl� (47) + (�b�=2 + (b� ctg bw)2b exp (�2im+h) exp (�i(2!̂k+t+m+h))h(2k+l+1)+) + : : : ; ãäå l � 0, m�+ lq � k0, 2m ++(l+k)q � k0, à ìíîãîòî÷èå èìååò òîò æå ñìûñë, ÷òî è âûøå. Çàìåòèì, ÷òî åñëè l � 0, m�+ lq � k0, íî 2m ++(l+k)q > k0, òî â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (46) ñëåäóåò îïóñòèòü ñëàãàåìîå, ïðîïîðöèîíàëüíîå h2m++(l+k)q. Àíàëîãè÷íî ïîñòóïàåì è ñî ñëàãàåìûì â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíå- íèÿ (47), ïðîïîðöèîíàëüíûì h(2k+l+1)q, åñëè (2k + l + 1)q > k0. Óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî h �l+ = hl+ , h�l� = hl� , l � 0, ïîëó÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî èç óðàâíåíèé (46), (47) îïåðàöèåé êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ. Â ñîîòâåòñâèè ñ ïðàâûìè ÷àñòÿìè óðàâíåíèé (46), (47) âûäåëèì èç ñèñòå- ìû (45) òîëüêî òå óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî íåêðèòè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ, êîòî- ðûå ñóùåñòâåííû äëÿ îïðåäåëåíèÿ åå óñòîé÷èâîñòè. Èìè ÿâëÿþòñÿ _hsq = �sqhsq + � 1=2 k+ b�ctg bw(exp (i!̂k+t)h(s�k�1)� + exp (�i!̂k+t)h(s+k)+) + : : : ; _h2m++sq = �2m++sqh2m++sq + � 1=2 k+ b�ctg bw exp (i(!̂k+t+ 2m+h))h(s�k)+ + : : : ; _hm��m++sq = �m��m++sqhm��m++sq + � 1=2 k+ b� ctg bw exp (i!̂k+t)h(s+k)+ : : : ; ãäå ìíîãîòî÷èå îçíà÷àåò ÷ëåíû ïîðÿäêà � 1=2 k+ , ñîäåðæàùèå íåêðèòè÷åñêèå ïå- ðåìåííûå, è ñëàãàåìûå ïîðÿäêà �k+ . Âûïîëíèì òåïåðü â ñèñòåìå (45) ïðåîáðàçîâàíèå hl+ ! hl+ � � 1=2 k+ b� ctg bw(exp (i(!̂k+t+m+h))h(l�k)q + b exp (i(�!̂k+t+m+h))h2m++(l�k)q); 2m+ + (l + k + 1)q � k0; hl� ! hl� � � 1=2 k+ b�ctg bw(exp (�i(!̂k+t+m+h))h(l+k+1)q + b exp (i(!̂k+t+m+h))hm��m++(l�k)q); (l + k + 1)q � k0: Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 19 Å.Ï. Áåëàí Åñëè 2m++(l+k)q > k0, òî â ýòîì ïðåîáðàçîâàíèè îïóñòèì ñëàãàåìûå, ñîäåð- æàùèå h2m++(l+k)q. Àíàëîãè÷íî ïîñòóïèì ñî ñëàãàåìûì, ïðîïîðöèîíàëüíûì h(2k+l+1)q, åñëè (2k + l + 1)q > k0. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñèñòåìó îòíîñèòåëü- íî êðèòè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ, êîòîðàÿ ÷ëåíàìè o(�k+) îòëè÷àåòñÿ îò ñèñòåìû _hl+ = (�l+ + 2c�k+)hl+ + c�k+ exp (2i!̂k+t)h(l�2k�1)�; _hl� = (�l� + 2c�k+)hl+ + c�k+ exp (�2i!̂k+t)h(l+2k+1)+ ; (l + 2k + 1)+ � k0; _hl� = (�l� + 2c�k+)hl+ ; (l + 2k + 1)+ > k0: ßñíî, ÷òî ýòà ñèñòåìà ñ òî÷íîñòüþ o(�k+) ïðåäñòàâëÿåò ñèñòåìó (45) íà êðè- òè÷åñêîì èíâàðèàíòíîì ìíîãîîáðàçèè. Â ýòîé ñèñòåìå âûïîëíèì çàìåíó hl+ ! exp (i!̂k+t)hl+ ; hl� ! exp (�i!̂k+t)hl� : Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé: _hl+ = (�l+ + 2c�k+ � i!̂k+)hl+ + c�k+h(l�2k�1)�; _hl� = (�l� + 2c�k+ + i!̂k+)hl� + c�k+h(l+2k+1)+ ; (l + 2k + 1)+ � k0; _hl+ = (�l+ + 2c�k+ + i!̂k+)hl+ ; (l + 2k + 1)+ > k0: Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ Ak + ýòîé ñèñòåìû � áëî÷íî-äèàãîíàëüíà è ñîñòîèò èç äâóìåðíûõ è îäíîìåðíûõ áëîêîâ. Åå äâóìåðíûå áëîêè: a) Ak+;s� , Ak+;s�, m + + (2k + s+ 1)q � k0; b) Ak+;s+ , Ak+;s+, 0 � s < k;� �Re�k+ + iIm c�k+ �Re�k+ + iIm c�k+ �Re�k+ � iIm c�k+ �Re�k+ � iIm c�k+ � : Çäåñü ìàòðèöû Ak+;s� , Ak+;s+ îïðåäåëåíû ñîãëàñíî ðàâåíñòâ (40), (43). Îäíî- ìåðíûìè áëîêàìè ìàòðèöû Ak+ ÿâëÿþòñÿ �l++2c�k++i!̂k+, (l+2k+1)+ > k0, è èì êîïëåêñíî ñîïðÿæåííûå âåëè÷èíû. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ôèêñèðîâàííûõ � > 0, � > 0 íàéäåòñÿ òàêîå k0 = k0(�; �), ÷òî Re (�l+ + 2c�k+) < 0 äëÿ l, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó (l + 2k + 1)+ > k0. Èòàê, óñòîé÷èâîñòü ñè- ñòåìû (45) îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöàìè Ak+;s� , s � 0, m+ + (2k + s+ 1)q � k0, Ak+;s+, 0 � s < k. Ñëåäóÿ [34], ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ýêñïîíåíöè- àëüíàÿ îðáèòàëüíàÿ óñòîé÷èâîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ v̂k+ èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíû óñëîâèÿ i), ii) òåîðåìû. Ïåðåéäåì òåïåðü ê âîïðîñó î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ vk+ óðàâíåíèÿ (8) òèïà áåãóùåé âîëíû. Ïîëîæèì â (8) v = y(�; �; �) = y(!t+ (m+ + kq)�; �; �). Â ðåçóëüòàòå äëÿ îïðåäåëåíèÿ 2�-ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ y(�; �; �) è ! = 20 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì !k+(�; �) èìååì ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííîå äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîå óðàâ- íåíèå !y0(�) = �(m++kq)2y00(�)�y(�)+(b��)y(�+m+h)+R(y(�+m+h); �): (48) Ñîãëàñíî (28) ýòî óðàâíåíèå ïðè ! = !̂k+ èìååò ïðèáëèæåííîå ïî íåâÿçêå ïîðÿäêà � 3=2 k+ , 2�-ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå ŷ(�) = ŷ(�; �; �), ãäå ŷ(�) =� 1=2 k+ 2 cos(�) + b�ctg bw�k+((1� b�)�1 +Reb exp (2i(� +m+h)): Èç ðàññóæäåíèé â ÷åòâåðòîì ðàçäåëå ñëåäóåò, ÷òî ìîæíî ïîñòðîèòü ïðèáëè- æåííûå 2�-ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (48) ñ ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé òî÷íîñòüþ ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå !. Ñëåäóÿ [34], [35], ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ïðèáëèæåííûõ 2�-ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé âëå÷åò ñóùåñòâî- âàíèå 2�-ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (48). Ëèíåàðèçîâàííîå íà ŷ(�) óðàâíåíèå çàïèøåì â âèäå B(�; �)z = !̂k+z 0(�)� �(m+ + kq)2z00(�)� z(�) + (b�� )z(� +m+h) + (�1=2g1(�) + �g2(�) + �3=2g3(�; �; �))z(� +m+h) = 0; ãäå � = �k+(�; �), g1(�) = �b�ctg bw(exp (i(� +m+h)) + exp (�i(� +m+h)); g2(�) = 1 2 b�(exp (i(� +m+h)) + exp (�i(� +m+h)))2 � (b� ctg bw)2((1� b�)�1 + b 2 exp (2i(� +m+h)) + b 2 exp (�2i(� +m+h))); à ôóíêöèÿ g3(�; �; �) � 2�-ïåðèîäè÷íà ïî � , íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî � è íåïðåðûâíà ïî (�; �) ïðè 0 � � < �0, 0 < � < �0. Çàìåíà y = ŷ(�) + z ïðèâîäèò óðàâíåíèå (48) ê âèäó B(�; �)z = F (�; z; z0; �; �; Æ); (49) ãäå F (�; z; z0; �; �; Æ) = Æ(z0(�) + ŷ0(�)) + f(�; z; �; �); Æ = !̂k+ � !: Çäåñü f(�; z; �; �) = f0(�; �; �) + f2(�; z; �; �); Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 21 Å.Ï. Áåëàí ãäå 2�-ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f0 òàêîâà, ÷òî kf0(�; �; �)kH < d�3=2(�; �); à ôóíêöèÿ f2(�; �; �; �) : H1 ! H, f2(�; 0; �; �) = 0 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ kf2(�; z1; �; �)� f2(�; z2; �; �)kH < dmax(kz1kH1 ; kz2kH1)kz1 � z2kH (50) äëÿ âñåõ kzkkH1 < d�, k = 1; 2. Çäåñü è äàëåå îäíîé áóêâîé d áóäåì îáîçíà÷àòü ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå, êîòîðûå íå çàâèñÿò îò �; � è òî÷íûå çíà÷åíèÿ êîòîðûõ íåñóùåñòâåííû. Íàì ïîíàäîáèòñÿ èíôîðìàöèÿ î ðàçðåøèìîñòè â ïðîñòðàíñòâå H2 óðàâ- íåíèÿ B(�; �)z = g; g 2 H: (51) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî z 2 H2 óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óðàâíåíèþ. Óìíîæèì åãî ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ñêàëÿðíî íà z. Èñïîëüçóÿ çàòåì èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì è íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà, ïîëó÷èì àïðèîðíóþ îöåíêó kzkH1 < d(kzkH + kgkH ): Äåéñòâóÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî (m+ + kq)2�kzkH2 < d(kzkH + kgkH ): Äàëüíåéøèé àíàëèç çàäà÷è (51) îïèðàåòñÿ íà ñâîéñòâà ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è B(�; �)z = �z; z 2 H: (52) Ðàññìîòðèì åå êàê âîçìóùåíèå çàäà÷è !̂k+z 0(�)� �(m+ + kq)2z00(�)� z(�)� (b�� )z(� +m+h) = �z; z 2 H: ßñíî, ÷òî ýòà çàäà÷à èìååò ïîëíóþ, îðòîíîðìèðîâàííóþ â H ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé 1, exp (ik�), k = �1;�2; : : : . Ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì exp (i�), exp (�i�) ñîîòâåòñòâóþò êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå ñîáñòâåííûå çíà- ÷åíèÿ, ñòðåìÿùèåñÿ ê íóëþ ïðè � ! 0, � ! 0. Âñå îñòàëüíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðè ìàëûõ �; � ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè è ðàâíîìåðíî îòäåëåíû îò íó- ëÿ. Â ýòîé ñâÿçè äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ èññëåäîâàíèåì çàäà÷è (52) äëÿ � èç îêðåñòíîñòè íóëÿ. Òàê êàê ��1=2ŷ0(�) � ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå (52) ïðè � = 0, òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùåé ìåòîäèêîé [36]. Ïîëîæèì z = �1 exp (i�) + �2 exp (�i�) + z2(�; �; �) + z3(�; �; �) + : : : ; � = �1(�; �) + �2(�; �) + : : : 22 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì è ïîäñòàâèì ýòè ðàâåíñòâà â (52). Çàòåì ïðèðàâíÿåì ñëàãàåìûå â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà îäíîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè. Â ðåçóëüòàòå îòíîñèòåëüíî z2 ïîëó÷èì óðàâíåíèå B(0; 0)z2 = ��1=2g1(�)(�1 exp (i(� +m+h)) + �2 exp (�i(� +m+h))); êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò ôóíêöèÿ z2 = b�ctg bw(b�1 exp (2i(� +m+h)) + b�2 exp (�2i(� +m+h)) + (1� b�)�1(�1 + �2)): Óðàâíåíèå B(0; 0)z3 = G3(�; �; �) ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôóíêöèÿ G3 îðòîãîíàëüíà exp (i�), exp (�i�). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî (�1; �2) T � ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû �S = � � c c c c � ; à �1 � ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå. Î÷åâèäíî, ñîáñòâåííûì âåê- òîðàì (1;�1)T , (c; c)T ýòîé ìàòðèöû îòâå÷àþò ñîîòâåòñòâåííî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ 0, 2�Re c. Èòàê, z1(�; �; �) = Re (c exp (i�)) + �1=2b�ctg bw((1� b�)�1 + Re (c exp (2i(� +m+h)))) + O(�) (53) � ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà B(�; �), ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 2�Re c+O(�2). Íóëåâîìó ñ òî÷íîñòüþ O(�2) ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ îòâå÷àåò ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ��1=2(ŷ0(�)+O(�)). Èç óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ S� = � çàêëþ÷àåì, ÷òî Im (c exp (i�)) + O(�1=2) � ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà, ñîïðÿæåííîãî ê îïåðàòîðóB(�; �), è íóëåâûì ñ òî÷íîñòüþ O(�2) ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì. Äîáàâèì òåïåðü â ëåâóþ ÷àñòü (52) ñëàãàåìîå �hz; h0iB(�; �)h0kh0k�2, ãäå h0(�) = ��1=2ŷ0(�). Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó bB(�; �)z = �z; z 2 H: ßñíî, ÷òî bB(�; �)h0 = 0. Ñïåêòðàëüíûå ñâîéñòâà îïåðàòîðà bB(�; �) àíàëîãè÷- íû òàêîâûì äëÿ îïåðàòîðà B(�; �). Â ÷àñòíîñòè, 2�Re c+O(�2) � ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà bB(�; �), êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 23 Å.Ï. Áåëàí h1 = z1 + O(�2), ãäå z1 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (53). Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì bB�q = 0, ãäå q = q(�; �; �) = jcj�1Im (c exp (i�)) + O(�1=2); kqk = 1: Îáîçíà÷èì M1 = Spanfh1g. Ïóñòü H ðàçëîæåíî ïî f0; 2�Re c + O(�2)g, ò.å. H = Ker(bB)�M1 �M2: Â ñèëó àëüòåðíàòèâû Ôðåäãîëüìà [35] óðàâíåíèå bB(�; �)z = g; g 2 H; ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà hg; qi = 0. ßñíî, ÷òî ýòî óðàâíåíèå èìååò ïðè ýòîì åäèíñòâåííîå ðåøåíèå Kg 2 H2 òàêîå, ÷òî hKg; h0i = 0. Ñî- ãëàñíî èçëîæåííîìó èìåþò ìåñòî îöåíêè kKgkH1 < dkgkH ; g 2M2; kKgkH1 < d � kgkH ; g 2M1: Ïóñòü bP � ïðîåêòîð â ïðîñòðàíñòâå H íà Ker(bB) �M1. Â ñèëó ïîñòðîåíèÿ v̂k+ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî k bPf0(�; �; �)k < d�5=2: Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå (49). Çàìåíèì â íåìB íà bB. Ýòî çàìåíó ìû ó÷òåì è â ïðàâîé ÷àñòè. Ïðàâóþ ÷àñòü îáîçíà÷èì bF . Â ýòîé ñâÿçè îòìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî ïðîâåäåííîìó àíàëèçó çàäà÷è (52) kB(�; �)h0k < d�; k bPB(�; �)h0k < d�3=2: Ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå H1 óðàâíåíèå w � K( bF (�; w;w0; �; �; Æ) � hq; bF (�; w;w0; �; �; Æ)iq) = 0: (54) Òåïåðü ÿñíî, ÷òî ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ñ íóëåâîé íà÷àëüíîé òî÷êîé ïðèâîäèò ê ñõîäÿùåéñÿ âH1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíîìåðíî ïî �, �, Æ â îáëàñòè 0 � � � �0, 0 � � � �0, jÆj � d�3=2. Ïðåäåë ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè w�(�; �; Æ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (54) òàêèì, ÷òî kw�(�; �; Æ)kH1 < d�3=2: (55) Ñîãëàñíî (50) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (54), óäîâëåòâî- ðÿþùåå ýòîìó íåðàâåíñòâó. Ôóíêöèÿ w�(�; �; Æ) 2 H2 ïðè � > 0 (w�(0; �; Æ) 2 H1) íåïðåðûâíà ïî �; �; Æ è óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ B(�; �)z = F (�; z; z0; �; �; Æ) �D(�; �; Æ)q(�); 24 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì ãäå D(�; �; Æ) = hq; bF (�; w�(�; �; Æ); w�0(�; �; Æ); �; �; Æ)i: Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî w�(�; �; Æ) èìååò íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî Æ. Èòàê, âîïðîñ î ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ (49) â ïðîñòðàíñòâå H2 ïðè � > 0 (H1 ïðè � = 0) ñâîäèòñÿ ê âîïðîñó î ðàçðåøèìîñòè îòíîñèòåëüíî Æ óðàâíåíèÿ D(�; �; Æ) = 0: (56) Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ðàâåíñòâà D(�; �; Æ) = �(jcj�1Re cÆ + �3=2�(�; �; Æ)); ãäå �(�; �; Æ) íåïðåðûâíà ïî âñåì ïåðåìåííûì è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöè- ðóåìà ïî Æ. Îòñþäà ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå íåïðåðûâíîãî ïðè 0 � � � �0, 0 � � � �0 ðåøåíèÿ Æ = Æ(�; �) óðàâíåíèÿ (56) òàêîãî, ÷òî jÆ(�; �)j < d�3=2: Ñëåäîâàòåëüíî, w�(�; �; Æ(�; �)) � 2�-ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (46) ïðè 0 � � � �0, 0 � � � �0. Î÷åâèäíî, jÆ(�; �)j + kw�(�; �; Æ(�; �))kH1 < d�3=2(�; �): Òåîðåìà äîêàçàíà. ßñíî, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèé ðåçóëüòàò èìååò ìåñòî îòíîñèòåëüíî ïåðèî- äè÷åñêèõ ïî t ðåøåíèé vk�(�; �; �) óðàâíåíèÿ (8). Îïèðàÿñü íà òåîðåìó, ìîæíî ïîëó÷èòü ëåãêî ïðîâåðÿåìûå óñëîâèÿ óñòîé- ÷èâîñòè áåãóùåé âîëíû vk+ . Ââåäåì ñ ýòîé öåëüþ ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: ak+;s� = 4Re�k+ �Re�s� �Re�l+ ; bk+;s� = (2Re�k+ �Re�s�)(2Re�k+ �Re�l+)�Re�2k+ ; �k+;s� = �Re�k+(Re�s� �Re�l+); ãäå l = 2k+s+1. Äëÿ óñòîé÷èâîñòè ìàòðèö Ak+;s� , Ak+;s�, s � 0, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû èìåëî ìåñòî íåðàâåíñòâî dk+;s� = a2 k+;s� bk+;s� � b2 k+;s� � �2 k+;s� > 0: Ñîãëàñíî (5)�(7), (10) Re�k+ = �b��1�(1+ b�(m+ + kq) 2 "2), ãäå "2 = � � . Â ñèëó (12) bk+;s� ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ïðè s = 0. Áóäåì äàëåå ñ÷èòàòü, ÷òî �=� äîñòàòî÷íî ìàëî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî òîãäà bk+;0� > 0, åñëè m+ + kq < (�b��1)1=2(2� 5� )1=2: Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 25 Å.Ï. Áåëàí Äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ dk+;s� > 0, s � 0, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû m+ + kq < (�b��1)1=2( 2� (5 + 4�2)� )1=2: Ýòî óñëîâèå ïðè ìàëûõ �=� ãàðàíòèðóåò óñòîé÷èâîñòü ìàòðèö Ak+;s� s � 0. Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ìàòðèöû Ak+;s+, 0 � s < k. Íåñëîæíûé àíàëèç ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó çàêëþ÷åíèþ: ïðè ìàëûõ �=� äëÿ óñòîé÷èâîñòè ìàòðèöû Ak+;s+, 0 � s < k, äîñòàòî÷íî óñòîé÷èâîñòè ìàòðèöû Ak+;(k�1)+ . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè ýòà ìàòðèöà óñòîé÷èâà, òî m+ + kq < ( � 3� )1=2(�b��1)1=2: (57) Çàìåòèì, ÷òî ýòî íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó (1 + b�(m+ + kq)2 � � ) > 2 3 (1 + b�(m+)2 � � ): (58) Äëÿ óñòîé÷èâîñòè ìàòðèöû Ak+;(k�1)+ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû m+ + kq < ( � (3 + 8�2)� )1=2(�b��1)1=2: (59) Èòàê, äëÿ óñòîé÷èâîñòè áåãóùåé âîëíû vk+ ïðè ìàëûõ � > 0, � > 0, � � äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (59). Åñëè èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî, ñòðîãî ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâó (57), òî âîëíà vk+ íåóñòîé÷èâà. Îòìå- òèì, ÷òî äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè áåãóùåé âîëíû vk� ÿâëÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (59), â êîòîðîì m+ çàìåíåíî íà m�. Èòàê, ïðè ñôîðìóëèðîâàííûõ âûøå óñëîâèÿõ è ïðè �=� ! 0 â ðàññìàòðè- âàåìîé çàäà÷å ðåàëèçóåòñÿ ôåíîìåí áóôåðíîñòè, ò.å. íåîãðàíè÷åííî óâåëè÷è- âàåòñÿ êîëè÷åñòâî ñîñóùåñòâóþùèõ ýêñïîíåíöèàëüíî îðáèòàëüíî óñòîé÷èâûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ïî t ðåøåíèé òèïà áåãóùèõ âîëí. Ðàññìîòðèì âûðîæäåííûé ñëó÷àé � = 0. Â ñèëó (13) ïðè � > 0 èìååòñÿ ñ÷åòíîå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ (ñ òî÷íîñòüþ äî ñäâèãîâ ïî t) áåãóùèõ âîëí bvk+,bvk� , k = 0; 1; : : : ; óðàâíåíèÿ (8), àìïëèòóäû êîòîðûõ ðàâíû. Î÷åâèäíî, âñå âåëè÷èíû bk+;s�, s = 0; 1; : : : ; ðàâíû íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöû Ak+;s�, s = 0; 1; : : : ; íåóñòîé÷èâû. Òàêèì îáðàçîì, âñå ìàëûå áåãóùèå âîëíû óðàâíå- íèÿ (8) ïðè � = 0, � > 0 íåóñòîé÷èâû. 7. Âûñîêîìîäîâàÿ áóôåðíîñòü Ïðèìåì â êà÷åñòâå áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà âåëè÷èíó h. Ïðåäïîëî- æèì, ÷òî h = bh+ �; bh = 2�p=q; 26 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì ãäå � ìåíÿåòñÿ â îêðåñòíîñòè íóëÿ. Çäåñü íàòóðàëüíûå p; q òàêèå æå, êàê â ðàâåíñòâå (4). Îïðåäåëèì ñîãëàñíî (5) ïðè h = bh âåëè÷èíû m+ < m�, m+ +m� = q. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (6) ïðè h = bh. Ïóñòü bK � ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ïîëîæèì b�( bK) = b�, w( bK) = bw. Âûïîëíèì â óðàâíåíèè (1) ïðåîáðàçîâàíèå u = v + bw è ïðåäñòàâèì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå â âèäå _v = L1(�; �)v +R1(Qv; �); (60) ãäå L1(�; �)v = ��v � v + b�Qv; R1(v; �) = bK [cos( bw + v)� cos bw + v sin( bw)]: Çäåñü b� = � bK sin( bw). Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî b� < �1. Î÷åâèäíî, èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî L1(�; �) exp(im�) = �1m(�; �) exp(im�); m = 0;�1;�2; : : : ; ãäå �1m(�; �) = �1� �m2 + b�exp(im(bh+ �)); m = 0;�1;�2; : : : : (61) Îáîçíà÷èì Æs�(�; �) = ��(m� + sq)2 � �b�(m� + sq) sinm�bh; s = 0; 1; 2; : : : : (62) Â ñèëó ôîðìóëû Òåéëîðà è âûáîðà bK èìååì ðàâåíñòâî Re�1s�(�; �) = Æs�(�; �) + O(�2): (63) Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî sinm+bh > 0: (64) Òîãäà Æk�(�; �) < 0 ïðè � > 0 è âñåõ k � 0. Òàêèì îáðàçîì, íå ñóùåñòâóþò â îêðåñòíîñòè íóëÿ áåãóùèõ âîëí óðàâíåíèÿ (60) ñ òîïîëîãè÷åñêèìè çàðÿäà- ìè âèäà m� + kq, k = 0; 1; : : : . Ðàññóæäàÿ, êàê è âûøå, ïðèõîäèì ê ñëåäó- þùåìó çàêëþ÷åíèþ: åñëè Æk+(�; �) > 0, òî óðàâíåíèå (60) ïðè � > 0 èìååò ïðèáëèæåííîå ïî íåâÿçêå ïîðÿäêà Æk+(�; �) 3=2, ïåðèîäè÷åñêîå ïî t ðåøåíèåbv1 k+ , êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâàìè (26), (27), ãäå s, �s+ çàìåíåíû ñîîò- âåòñòâåííî íà k, �1 k+ . Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 27 Å.Ï. Áåëàí Èññëåäóåì ïî èçëîæåííîé âûøå ìåòîäèêå õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè áåãóùåé âîëíû bv1 k+ óðàâíåíèÿ (60). Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî âçàè- ìîäåéñòâèå óñòîé÷èâîé áåãóùåé âîëíû bv1 k+ ñ áåãóùåé âîëíîé bv1 s� ïîðîæäàåò óñòîé÷èâóþ ìàòðèöó A1 k+;s� = � Re (�1 s� �2�1 k+ )�i(Im c� k+ � k+;s� ) c� k+ c� k+ Re (� l+ �2� k+ )+i(Imc� k+ + k+;s� ) � ; (65) à åå âçàèìîäåéñòâèå ñ áåãóùåé âîëíîé bv1 s+ , 0 � s < k, ïîðîæäàåò óñòîé÷èâóþ ìàòðèöó A1 k+;s+ = � Re (�1 s+ �2�1 k+ )�i(Imc� k+ � k+;s+ ) c� k+ c� k+ Re (� n+ �2� k+ )+i(Im c� k+ + k+;s+ ) � ; (66) ãäå l = 2k + s + 1, n = 2k � s, k+;s� = �b�(k + s + 1)q cosm+bh, k+;s+ = �b�(k � s)q cosm+bh. Òàê êàê ïðè ðàññìàòðèâàåìûõ óñëîâèÿõ óðàâíåíèå (60) áåãóùåé âîëíû bv1 s� íå èìååò, òî ïðåäëîæåíèå î âçàèìîäåéñòâèè áåãóùåé âîë- íû bv1 k+ ñ áåãóùåé âîëíîé bv1 s� ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê ÷èñòî ôîðìàëüíîå, ïî- ðîæäàþùåå ìàòðèöó A1 k+;s� . Îáîçíà÷èì D 1 k+ = f(�; �) : � > 0; � > 0; Æk+(�; �) > 0g; ãäå k � 0 � íåêîòîðîå öåëîå ÷èñëî. Ñëåäóÿ äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1, óáåæ- äàåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùåé òåîðåìû. Òåîðåìà 2. Cóùåñòâóåò "0 > 0, "0 = "0(k), ÷òî äëÿ âñåõ (�; �) 2 D1 k+ òàêèõ, ÷òî k(�; �)k < "0, óðàâíåíèå (60) èìååò ïåðèîäè÷åñêîå ïî t ðåøåíèå v1 k+ (�; �; �), � = !1 k+ (�; �)t+ (m+ + kq)�, ãäå v1 k+ =(�1 k+ )1=22 cos � + b�ctg bw�k+((1� b�)�1 +Re b exp (2i(� +m+h))) + o(�; �): (67) Çäåñü �1 k+ = Æk+(�; �) �Re c + o(k(�; �)k); !1 k+ (�; �) = Im�1k+(�; �) + Imc�1k+ + o(k�; �k); (68) à b óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (19). Äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé îðáèòàëüíîé óñòîé÷èâîñòè v1 k+ (�; �) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî: iii) äëÿ ëþáîãî s � 0 ìàòðèöà A1 k+;s� (�; �) óñòîé÷èâà; iv) äëÿ ëþáîãî 0 � s < k ìàòðèöà A1 k+;s+ (�; �) óñòîé÷èâà. 28 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì Íàéäåì óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè áåãóùåé âîëíû v1 k+ ïðè óñëîâèè, ÷òî åå òî- ïîëîãè÷åñêèé çàðÿä ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèì. Ñëåäîâàòåëüíî, �=� ÿâ- ëÿåòñÿ ìàëûì ïàðàìåòðîì. Äàëüíåéøèé àíàëèç îïèðàåòñÿ ëèøü íà ïðåäïî- ëîæåíèå î äîñòàòî÷íîé ìàëîñòè ïàðàìåòðà �=�. Íàéäåì íåîáõîäèìîå óñëî- âèå óñòîé÷èâîñòè áåãóùåé âîëíû v1 k+ . Ðàññìîòðèì ñ ýòîé öåëüþ ìàòðèöó A1 k+;(k�1)+ (�; �). Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Ðàóñà�Ãóðâèöà äëÿ óñòîé÷èâîñòè ýòîé ìàòðèöû íåîáõîäèìî, ÷òîáû ReTrA1 k+;(k�1)+Re detA1 k+;(k�1)++ImTrA1 k+;(k�1)+Im detA1 k+;(k�1)+ < 0: (69) Èç ýòîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò íåðàâåíñòâî b1 k+;(k�s)+ = (2Re �1 k+ �Re �1(k�s)+)(2Re � 1 k+ �Re�1(k+s)+)� (Re �1 k+ )2 > 0: Â ñèëó (61)�(63) îòñþäà ïîëó÷àåì �6(m+ + kq)2 + 6(m+ + kq)�� 2 > 0; ãäå � = � � (�b�) sinm+bh. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè � � � 1 è áåãóùàÿ âîëíà v1 k+ (�; �) ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâîé, òî 3� p 3 6 � � (�b�) sinm+bh < m+ + kq < 3 + p 3 6 � � (�b�) sinm+bh: (70) Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî �2 < 3. Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî òîãäà äëÿ óñòîé÷è- âîñòè ìàòðèöû A1 k+;(k�1)+ (�; �) äîñòàòî÷íî, ÷òîáû èìåëî ìåñòî íåðàâåíñòâî 3 + �2 � p 3� �2 6 + �2 � � (�b�) sinm+bh < m+ + kq < 3 + �2 + p 3� �2 6 + �2 � � (�b�) sinm+bh: (71) Áîëåå òîãî, â ýòîì ñëó÷àå óñòîé÷èâû êàê ìàòðèöû A1 k+;s+ , 1 � s < k, òàê è ìàòðèöû A1 k+;s� , s = 0; 1; : : : : Èòàê, åñëè âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (71), òî ïðè ìàëûõ �=� âîëíà vk+ óñòîé÷èâà. Åñëè èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî, ñòðîãî ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâó (70), òî ïðè ìàëûõ �=� âîëíà vk+ íåóñòîé÷èâà. Çàìåòèì, ÷òî âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà �2 > 3 íå îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ìàëûõ �=� íå ñóùåñòâóåò â óðàâíåíèè (60) ìàëûõ óñòîé÷èâûõ ðåøåíèé òèïà áåãóùèõ âîëí. Îöåíêè (71) â îòëè÷èå îò îöåíîê (70) ÿâëÿþòñÿ ãðóáûìè. Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå (70) ñ òî÷íîñòüþ O(k(�; �)k2) ýêâèâàëåíòíî íåðà- âåíñòâó Æk+(�; �) > 2 3 sup 0�s<k Æs+(�; �): (72) Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 29 Å.Ï. Áåëàí Ïðè �2 < 3 â ñèëó (71) â óðàâíåíèè (60) ïðè � � !1, � 2 � ! 0 ðåàëèçóåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ âûñîêîìîäîâàÿ áóôåðíîñòü [15], ò.å. óñòîé÷èâûìè îêàçûâàþòñÿ ëèøü áåãóùèå âîëíû v1 k+ ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèìè òîïîëîãè÷åñêèìè çàðÿäàìè. Òåïåðü îïèøåì ìåõàíèçì âîçíèêíîâåíèÿ âûñîêîìîäîâîé áóôåðíî- ñòè. Ñ ýòîé öåëüþ ôèêñèðóåì íîìåð k � 1 è ïåðåéäåì îò ïàðàìåòðîâ �; � ê ïàðàìåòðàì �; ", ãäå " = �=�. Ñ÷èòàÿ, ÷òî � ôèêñèðîâàíî, ïðèìåì â êà÷åñò- âå áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà âåëè÷èíó ". Â ýòîé ñâÿçè áóäåì ðàññìàòðè- âàòü âåëè÷èíó Æk+ , îïðåäåëåííóþ ðàâåíñòâîì (62), êàê ôóíêöèþ ïàðàìåòðà ". Î÷åâèäíî, Æk+(") ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè. Ïðè ïðî- õîæäåíèè ïàðàìåòðîì " áèôóðêàöèîííîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò (ïðèáëèæåííî) óðàâíåíèþ Æk+(") = 0, èç íåóñòîé÷èâîãî íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ óðàâíåíèÿ (60) áèôóðöèðóåò íåóñòîé÷èâàÿ áåãóùàÿ âîëíà v1 k+ ("). Óâåëè÷åíèå " ïðèâîäèò â ñèëó (68) ê óâåëè÷åíèþ àìïëèòóäû áåãóùåé âîëíû v1 k+ ("). Â ñèëó (72) èçìåíåíèå õàðàêòåðà óñòîé÷èâîñòè v1 k+ (") ïðîèñõîäèò ïðè êðèòè÷åñêîì çíà÷åíèè "us k+ . ßñíî, ÷òî Æk+(" us k+ ) � 2 3 Æ(k�1)+(" us k+ ): Îòìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Æk+(" us k+ ) > Æ(k+1)+(" us k+ ). Âìåñòå ñ óâåëè÷åíèåì Æk+ âîçðàñòàþò è Æ(k�1)+ , Æ(k+1)+ , ïðè ýòîì Æ(k+1)+ âîç- ðàñòàåò áûñòðåå, ÷åì Æk+ . Ïðè çíà÷åíèè " su k+ âîëíà v1 k+ äàâèòñÿ ïàðîé áåãóùèõ âîëí v1 (k�1)+ , v1 (k+1)+ . Ðàññìîòðèì òåïåðü âûðîæäåííûé ñëó÷àé � = 0. Òîãäà ïðè � > 0 ñóùåñò- âóåò ñ÷åòíîå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ (ñ òî÷íîñòüþ äî ñäâèãîâ ïî t) áåãóùèõ âîëí v1 k+ , k = 0; 1; : : : , óðàâíåíèÿ (60), àìïëèòóäû êîòîðûõ íåîãðàíè÷åííî ðàñòóò ñ óâåëè÷åíèåì òîïîëîãè÷åñêîãî çàðÿäà. ßñíî, ÷òî òîãäà b1 k+;s+ < 0, 0 � s < k. Òàêèì îáðàçîì, âñå áåãóùèå âîëíû óðàâíåíèÿ (8) ïðè � > 0, � = 0 íåóñòîé- ÷èâû. Çàêëþ÷åíèå Ñîãëàñíî ïðîâåäåííîìó àíàëèçó õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè áåãóùåé âîëíû vk+ óðàâíåíèÿ (8) îïðåäåëÿåòñÿ åå âçàèìîäåéñòâèÿìè êîíêóðåíòíîãî òèïà ñ ïàðàìè áåãóùèõ âîëí vs� , v(2k+s+1)+ , s = 0; 1; : : : , vs+ , v(k�s)+ , s = 0; 1; : : : ; k�1. Ïðè ýòîì íàèáîëüøåå äàâëåíèå íà vk+ ïðè k � 1 îêàçûâàåò ïàðà áåãóùèõ âîëí v(k�1)+ , v(k+1)+ . Õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè vk+ îïðåäåëÿåòñÿ â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ óêàçàííîé ïàðîé, à ñàìî ýòî âçàèìîäåéñòâèå îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé (39), â êîòîðîé s = k � 1. Ðåàëèçàöèÿ ïðè t!1 òîãî èëè èíîãî óñòîé÷èâîãî ðåæèìà vk� çàâèñèò îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé, à ïåðåõîä ñèñòåìû îò îäíîãî èç óñòîé÷èâûõ ðåæèìîâ ê äðóãîìó óñòîé÷èâîìó ðåæèìó îïðåäåëÿåòñÿ êîíå÷íûìè ôëóêòóàöèÿìè. Ó÷è- òûâàÿ, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì �=� ÷èñëî ðàçëè÷íûõ óñòîé÷èâûõ áåãóùèõ 30 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì âîëí âåëèêî, ïåðåõîä ñèñòåìû èç îäíîãî óñòîé÷èâîãî ðåæèìà â äðóãîå íîñèò ñëó÷àéíûé õàðàêòåð. Èòàê, ëîêàëüíàÿ äèíàìèêà ñåìåéñòâà óðàâíåíèé (8) ïðè óêàçàííûõ âû- øå óñëîâèÿõ îïðåäåëÿåòñÿ G-ýêâèâàðèàíòíîé ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèô- ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ðàçìåðíîñòü ýòîé ñèñòåìû, î÷åâèäíî, ïðîïîðöèî- íàëüíà (�=�)1=2. Ïîñòðîåíèå àïïðîêñèìèðóþùåé óðàâíåíèå (8) â îêðåñòíîñòè íóëÿ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì êîíñòðóêöèè èç ðàçä. 5. Ñòðóêòóðà ïîëó÷åííîé ñèñòåìû ïîçâîëÿåò, êàê áûëî ïîêàçàíî, ïðîâåñòè àíàëèç óñòîé÷èâîñòè áåãó- ùèõ âîëí äâóïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà óðàâíåíèé (8). Ëîêàëüíàÿ äèíàìèêà ñåìåéñòâà óðàâíåíèé (60) îïðåäåëÿåòñÿ G-ýêâèâàðè- àíòíîé ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ðàçìåðíîñòü êîòîðîé ïðîïîðöèîíàëüíà �=�. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ïðè ôèêñèðî- âàííîì � ðàçìåðíîñòü èíåðöèàëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ èìååò ïîðÿäîê ��1. Îòìåòèì çäåñü ïðèíöèïèàëüíóþ îñîáåííîñòü äèíàìèêè áåãóùèõ âîëí. Î÷åâèäíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíî ðîæäàþùèåñÿ èç íóëÿ áåãóùèå âîëíû ñå- ìåéñòâà óðàâíåíèé (8) èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ. Â ñëó÷àå æå ñåìåéñòâà óðàâíåíèé (60) âñå áåãóùèå âîëíû âðàùàþòñÿ â îä- íîì íàïðàâëåíèè. Îäíàêî, êàê â ïåðâîì, òàê è âî âòîðîì ñëó÷àÿõ, ôàçîâûå ñêîðîñòè áåãóùèõ âîëí ðàçëè÷íû. Â ýòîé ñâÿçè áåãóùèå âîëíû èìåþò ãàðìî- íè÷åñêóþ ôîðìó, à èõ âçàèìîäåéñòâèÿ êîíêóðåíòíîãî òèïà õàðàêòåðèçóþòñÿ ñëåäóþùèì ïðèíöèïîì. Ïðèíöèï 1:2 âçàèìîäåéñòâèÿ áåãóùèõ âîëí. Õàðàêòåð óñòîé÷èâî- ñòè áåãóùåé âîëíû vk+ ñåìåéñòâà óðàâíåíèé (8) âïîëíå îïðåäåëÿåòñÿ åå âçà- èìîäåéñòâèÿìè ñ ïàðàìè áåãóùèõ âîëí: vs� , v(2k+s+1)+ , s � 0; vs+, v(2k�s)+ , 0 � s < k. Ýòîò ïðèíöèï èìååò ìåñòî, ðàçóìååòñÿ, è îòíîñèòåëüíî áåãóùèõ âîëí ñå- ìåéñòâà óðàâíåíèé (60). Â çàâåðøåíèå îòìåòèì èíòåðåñíóþ îñîáåííîñòü äèíàìèêè áåãóùèõ âîëí, êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ òàê íàçûâàåìûì ïðèíöèïîì ìàêñèìóìà àìïëèòóäû [10, 11, 13, 28]. Ñîãëàñíî òåîðåìå 1, ñëåäñòâèþ 1, íåðàâåíñòâàì (58), (72) èìååò ìåñòî Ïðèíöèï ìàêñèìóìà àìïëèòóäû. Áåãóùàÿ âîëíà íåóñòîé÷èâà, åñëè êâàäðàò åå àìïëèòóäû ìåíüøå äâóõ òðåòèõ ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ êâàäðàòà àìïëèòóäû. Ýòîò ïðèíöèï èìååò àñèìïòîòè÷åñêèé õàðàêòåð, ò.å. ñïðàâåäëèâ ïðè äî- ñòàòî÷íî ìàëûõ �=� è äëÿ âîëí ñ áîëüøèìè òîïîëîãè÷åñêèìè çàðÿäàìè. Åñòü îñíîâàíèÿ ïîëàãàòü, ÷òî ïðèíöèï ìàêñèìóìà àìïëèòóäû èìååò óíèâåðñàëü- íûé õàðàêòåð. Â ýòîé ñâÿçè îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå â ðàáîòå [33] óñëîâèå íåóñòîé÷èâîñòè ñïèíîâûõ âîëí ãîðåíèÿ ñîãëàñóåòñÿ ñ ýòèì ïðèíöèïîì. Àâòîð ïðèçíàòåëåí Î.Á. Ëûêîâîé, Î.Â. Àíàøêèíó çà ïîëåçíûå ñîâåòû. Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 31 Å.Ï. Áåëàí Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] S.A. Akhmanov, M.A. Vorontsov, and V.Yu Ivanov., Structure generation in optical systems with two-dimensional feedback: toward the development of nonlinear optical analogues of neuron networks. New principles of treatment of optical information. Nauka, Moscow, 1990. (Russian) [2] S.A. Kashchenko, Asymptotics of spatially inhomogeneous structures in coherent nonlinear-optical systems. � Zhurn. Vychisl. Mat. i Mat. Fiz. 31 (1991), 467�473. (Russian) [3] A.V. Razgulin, Self-induced oscillations in a nonlinear parabolic problem with a transformed argument. � Zhurn. Vychisl. Mat. i Mat. Fiz. 33 (1993), 69�80. (Rus- sian) [4] E.V. Grigorieva, H. Haken, S.A. Kashchenko, and A. Pelster, Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial �eld transformer in feedback. � Physika D 125 (1999), 123�141. [5] E.P. Belan, On the interaction of travelling waves in a parabolic functional- di�erential equation. � Di�. Uravn. 40 (2004), 645�654. (Russian) [6] A.L. Skubachevskii, Bifurcation of periodic solution for nonlinear parabolic func- tional di�erential equations arising in optoelectronics. � Nonlinear Anal.: Theory, Meth. & Appl. 12 (1998), 261�278. [7] A.L. Skubachevskii, On the Hopf bifurcation for a quasilinear parabolic functional- di�erential equation. � Di�. Uravn. 34 (1998), 1394�1401. (Russian) [8] E.P. Belan, On the bifurcation of periodic solutions in a parabolic functional- di�erential equation. � Tavrida National University, Letters. Ser. Mat., Mech., Inform., Cybernet. (2002), No. 2, 11�23. (Russian) [9] E.P. Belan and O.B. Lykova, On the bifurcation of rotating waves in a parabolic problem with a transformed argument. � Dop. Nats. Akad. Nauk Ukr. (2003), No. 1, 7�12. (Russian) [10] E.P. Belan, On auto-oscillations in a singularly perturbed parabolic equation with a transformed argument. � Dop. Nats. Akad. Nauk Ukr. (2002), No. 7, 7�12. [11] E.P. Belan, Bifurcation of dissipative structures in a parabolic problem with the modi�ed argument and a small di�usion. � In: Proc. Ukr. Math. Congress-2001, Dynamical systems. Institute of Mathematics, Kiev, 2003, 20�33. (Russian) [12] E.P. Belan, On the bu�erness in a parabolic problem with the modi�ed argument and a small di�usion. � Di�. Uravn. 39 (2003), 1576�1577. (Russian) [13] A.Yu. Kolesov, E.F. Mishchenko, and N.Kh. Rozov, The phenomenon of the para- metric bu�er property in systems of parabolic and hyperbolic equations with small di�usion. � Ukr. Mat. Zhurn. 50 (1998), No. 1, 22�35. (Russian) [14] A.Yu. Kolesov, E.F. Mishchenko, and N.Kh. Rozov, The bu�er phenomenon in resonance systems of nonlinear hyperbolic equations. � Uspekhi Mat. Nauk 55 (2000), issue 2, 95�120. (Russian) 32 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 Áåãóùèå âîëíû ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñî ñäâèãîì [15] A.Yu. Kolesov and N.Kh. Rozov, Parametric excitation of high-mode oscillations in the nonlinear telegraph equation. � Mat. Sb. 191 (2000), issue 8, 45�68. (Russian) [16] N.N. Bogolubov and Ju.A. Mitropolski, Asymptotical methods in nonlinear oscilla- tion theory. Nauka, Moscow, 1969. (Russian) [17] Ju.A. Mitropolski and O.B. Lykova, Integral manifolds in nonlinear mechanics. Nauka, Moscow, 1973. (Russian) [18] V.A. Pliss, A reduction principle in the theory of stability of motion. � Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat. 28 (1964), 1297�1324. (Russian) [19] D. Ruelle, Bifurcations in the presence of a symmetry group. � Arch. Rat. Mech. Anal. 51 (1973), � 2, 136�152. [20] Ju.A. Mitropolski and B.I. Moiseyenkov, Asymptotical solutions of partial di�eren- tial equations. Vyshcha Shkola, Kiev, 1976. (Russian) [21] J.E. Marsden and M. McCracken, Bifurkatsiya rozhdeniya tsikla i ee prilozheniya. Mir, Moscow, 1980. (Russian) [22] V.I. Arnol'd, V. S. Afrajmovich, Yu. S. Il'yashenko, and L.P. Shil'nikov, Bifurcation theory. � Itogi Nauki i Tekhniki. Current problems in mathematics. Fundamental directions. VINITI, Moscow 5 (1985), 5�218. (Russian) [23] O.B. Lykova and Ya.B. Baris, Approximate integral manifolds. Naukova Dumka, Kiev, 1993. (Russian) [24] Y.A. Kuznetzov, Elements of applied bifurcation theory. Springer�Verlag, New York, 1998. [25] M.I. Rabinovich and D.I. Trubetskov, Introduction to the theory of oscillation and wave. Nauka, Moscow, 1984. (Russian) [26] A.V. Gaponov-Grekhov, A.S. Lomov, G.V. Osipov, and M.I. Rabinovich, Pattern formation and dynamics of two-dimensional structures in nonequilibrium dissipative media. � Nonlinear waves. Res. Rep. Phys., Springer, Berlin 1 (1989), 65�89. [27] A.D. Myshkis, Mixed functional-di�erential equations. � Sovrem. Mat. Fundam. Napravl. 4 (2003), 5�120. (Russian) [28] Ya.B. Zeldovich and B.A. Malomed, Complex wave regimes in distributed dynamical systems. � Radiophys. and Quantum Electronics 25 (1982), 591�618. (Russian) [29] A.V. Babin and M.I. Vishik, Attractors of evolutional equations. Nauka, Moscow, 1989. (Russian) [30] R. Temam, In�nite-dimensional dynamical systems in mechnics and physics. Springer, New York, 1988. [31] I.D. Chueshov, Introduction to the theory of inertial manifolds. Kharkov Gos. Univ., Kharkov, 1982. (Russian) [32] I.D. Chueshov, Introduction to the theory of in�nite-dimensional dissippative sys- tems. Acta Sci. Publ. House, Kharkov, 2002. Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 33 Å.Ï. Áåëàí [33] A.P. Aldushin and B.A. Malomed, Phenomenological description of nonstationary non-homogeneous burn waves. � Fizika goreniya i vzryva 17 (1981), No. 1, 3�12. (Russian) [34] A.B. Vasil'eva, S.A. Kashchenko, Yu.S. Kolesov, and N.Kh. Rozov, The bifurcation of auto-oscillation of nonlinear parabolic equations with a small di�usion. � Mat. Sb. 30(172) (1986), issue 4(8), 488�499. (Russia) [35] J. Hale, Theory of Functional Di�erential Equations. Springer�Verlag, New York� Heidelberg�Berlin, 1977. [36] T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators. Springer�Verlag, New York, 1966. [37] A.Yu. Kolesov and N.Kh. Rozov, Optical bu�ering and mechanisms for its occur- rence. � Teoret. Mat. Fiz. 140 (2004), No. 1, 14�28. (Russian) Travelling waves dynamics in a nonlinear parabolic equation with a shifted spatial argument E.P. Belan Department of Mathematics and Information Science V.I. Vernadsky Tavrida National University 4 Vernadsky Str., Simpheropol, 95036, Ukraine The local dynamics of a nonlinear parabolic equation on a circle with a shifted spatial argument and a small di�usion is studied. It is proved that the travelling waves interaction satis�es to 1:2 principle. The maximum principle for amplitudes with coe�cient 2/3 is established. A number of stable travelling waves increases when the di�usion coe�cient tends to zero. Key words: parabolic equations, running waves, stability. 34 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1

Travelling waves dynamics in a nonlinear parabolic equation with a shifted spatial argument

Institution

Similar Items