Распределение собственных значений ансамбля разбавленных матриц с зависимыми элементами, возникающего в теории случайных графов
Для некоторого ансамбля разбавленных случайных матриц доказана слабая сходимость по вероятности последовательности считающих мер. Преобразование Стилтьеса предельной меры выражается с помощью функции, однозначно определяемой некоторым функциональным уравнением. Для деякого ансамблю розбавлених випад...
Saved in:
| Published in: | Журнал математической физики, анализа, геометрии |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2005
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106563 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Распределение собственных значений ансамбля разбавленных матриц с зависимыми элементами, возникающего в теории случайных графов / В.В. Венгеровский // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 1. — С. 35-52. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859737608947499008 |
|---|---|
| author | Венгеровский, В.В. |
| author_facet | Венгеровский, В.В. |
| citation_txt | Распределение собственных значений ансамбля разбавленных матриц с зависимыми элементами, возникающего в теории случайных графов / В.В. Венгеровский // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 1. — С. 35-52. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Журнал математической физики, анализа, геометрии |
| description | Для некоторого ансамбля разбавленных случайных матриц доказана слабая сходимость по вероятности последовательности считающих мер. Преобразование Стилтьеса предельной меры выражается с помощью функции, однозначно определяемой некоторым функциональным уравнением.
Для деякого ансамблю розбавлених випадкових матриць доведено слабку збіжність за ймовірністю послідовності рахуючих мір. Перетворення Стілтьєса граничної міри виражається за допомогою функції, що є однозначно визначеною деяким функціональним рівнянням.
Existing of weak limit in probability of counting measures of some ensemble of the diluted random matrices is proved. The Stiltjes transform of limiting measure is expressed by the function. This function is unique solution of the functional equation.
|
| first_indexed | 2025-12-01T15:19:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè
2005, ò. 1, � 1, c. 35�52
Ðàñïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé àíñàìáëÿ
ðàçáàâëåííûõ ìàòðèö ñ çàâèñèìûìè ýëåìåíòàìè,
âîçíèêàþùåãî â òåîðèè ñëó÷àéíûõ ãðàôîâ
Â.Â. Âåíãåðîâñêèé
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á.È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail:vengerovsky@ilt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 17 ÿíâàðÿ 2005 ã.
Äëÿ íåêîòîðîãî àíñàìáëÿ ðàçáàâëåííûõ ñëó÷àéíûõ ìàòðèö äîêàçàíà
ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ÷èòàþùèõ ìåð.
Ïðåîáðàçîâàíèå Ñòèëòüåñà ïðåäåëüíîé ìåðû âûðàæàåòñÿ ñ ïîìîùüþ
ôóíêöèè, îäíàçíà÷íî îïðåäåëÿåìîé íåêîòîðûì ôóíêöèîíàëüíûì óðàâ-
íåíèåì.
Äëÿ äåÿêîãî àíñàìáëþ ðîçáàâëåíèõ âèïàäêîâèõ ìàòðèöü äîâåäåíî
ñëàáêó çáiæíiñòü çà éìîâiðíiñòþ ïîñëiäîâíîñòi ðàõóþ÷èõ ìið. Ïåðåòâî-
ðåííÿ Ñòiëòü¹ñà ãðàíè÷íî¨ ìiðè âèðàæà¹òüñÿ çà äîïîìîãîþ ôóíêöi¨, ùî
¹ îäíîçíà÷íî âèçíà÷åíîþ äåÿêèì ôóíêöiîíàëüíèì ðiâíÿííÿì.
1. Ââåäåíèå
Ñëó÷àéíûå ìàòðèöû áåñêîíå÷íî ðàñòóùèõ ðàçìåðíîñòåé âïåðâûå ðàñ-
ñìîòðåíû â ðàáîòå [1]. Ñ òåõ ïîð áûëè íàéäåíû ìíîãî÷èñëåííûå ïðèëîæåíèÿ
â òåîðåòè÷åñêîé è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå è ãëóáîêèå ñâÿçè ñ äðóãèìè îá-
ëàñòÿìè ìàòåìàòèêè (ñì., íàïð., [2]). Ãëàâíûì îáúåêòîì ýòèõ èññëåäîâàíèé
ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ ìàòðèö â áåñêîíå÷-
íîìåðíîì ïðåäåëå.
Èññëåäîâàíèÿì ñïåêòðàëüíûõ ñâîéñòâ ðàçëè÷íûõ àíñàìáëåé ñëó÷àéíûõ
ìàòðèö ïîñâÿùåíà îáøèðíàÿ ëèòåðàòóðà (ñì. [3] è öèòèðóåìóþ òàì ëèòåðàòó-
ðó). Îñîáîå ìåñòî â ýòèõ èññëåäîâàíèÿõ çàíèìàþò òàê íàçûâàåìûå àíñàìáëè
ðàçáàâëåííûõ ìàòðèö, ïîñêîëüêó èõ ñïåêòðàëüíûå ñâîéñòâà ïðåäïîëàãàþò-
ñÿ íàìíîãî áîëåå ñëîæíûìè è ðàçíîîáðàçíûìè, ÷åì ó áîëüøèíñòâà äðóãèõ
èçâåñòíûõ àíñàìáëåé ñ íåçàâèñèìûìè ýëåìåíòàìè.  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ
Mathematics Subject Classi�cation 2000: 60B10, 60H30.
c
Â.Â. Âåíãåðîâñêèé, 2005
Â.Â. Âåíãåðîâñêèé
[4, 5] íà ôèçè÷åñêîì óðîâíå ñòðîãîñòè ïîêàçàíî, ÷òî â àíñàìáëÿõ òàêîãî òèïà
ïðè íåêîòîðûõ êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ïðîèñõîäèò ïåðåõîä òèïà
àíäåðñîíîâñêîé ëîêàëèçàöèè.
Îäíî èç ïðèëîæåíèé ñïåêòðàëüíîé òåîðèè ðàçáàâëåííûõ ñëó÷àéíûõ ìàò-
ðèö ñâÿçàíî ñ òåîðèåé ñëó÷àéíûõ ãðàôîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ìàòðèöà ñìåæíî-
ñòè AN ïðîñòîãî ãðàôà èç N âåðøèí ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé 0-1 ìàòðèöåé
N �N , à ìíîæåñòâî åå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íàçûâàåòñÿ ñïåêòðîì ãðàôà [6].
Òàêèì îáðàçîì, âîïðîñ î ñïåêòðå ñëó÷àéíîãî ãðàôà åñòü âîïðîñ î ðàñïðåäå-
ëåíèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâóþùåé ñëó÷àéíîé ìàòðèöû.
 ñòàòüÿõ [7, 8] èçó÷åíû âçâåøåííûå ìàòðèöû ñìåæíîñòè íåêîòîðîãî êëàñ-
ñà ñëó÷àéíûõ ãðàôîâ. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî â ïðåäåëå N ! 1 ìîìåíòû íîð-
ìèðîâàííîé ñ÷èòàþùåé ôóíêöèè è ïðåîáðàçîâàíèå Ñòèëòüåñà îïðåäåëÿþòñÿ
çàìêíóòîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé. Ýòî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü èíôîðìàöèþ î ïðå-
äåëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâóþùåãî ñåìåéñòâà
ñëó÷àéíûõ ãðàôîâ.
 ïîñëåäíåå âðåìÿ âîçíèê èíòåðåñ ê ñâîéñòâàì ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé ïî
ñëó÷àéíûì ãðàôàì [10, 11]. Ìàòðèöà ñìåæíîñòè A ãðàôà G èñïîëüçóåòñÿ äëÿ
èçó÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé ïî G [9]. Ìàòðèöà âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà îä-
íîðîäíîé ñëó÷àéíîé ïðîãóëêè çàäàåòñÿ ìàòðèöåé TA, ãäå T � äèàãîíàëüíàÿ
N�N ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè Tii = (
PN
j=1Aij)
�1. Ñõîäèìîñòü ê ðàâíîìåðíîìó
ðàñïðåäåëåíèþ íàä G ñâÿçàíà ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè L =
p
TA
p
T .
Ðàññìîòðèì àíñàìáëü âåùåñòâåííûõ ñèììåòðè÷åñêèõ N �N ìàòðèö, ýëå-
ìåíòû êîòîðûõ ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ
A
(N;p)
ij =
�
1; ñ âåðîÿòíîñòüþ p=N;
0; ñ âåðîÿòíîñòüþ 1� p=N
(1.1)
è
n
A
(N;p)
ij
o
1�i�j�N
ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûìè âå-
ëè÷èíàìè. Çäåñü è äàëåå p � ôèêñèðîâàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ïóñòü
D
(N;p)
ij =(�+
NX
k=1
A
(N;p)
ik ) � Æij ; � > 0: (1.2)
Ðàññìîòðèì ìàòðèöó
W (N;p)=
h
D(N;p)
i
�1=2
�A(N;p) �
h
D(N;p)
i
�1=2
: (1.3)
Îáîçíà÷èì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòîé ìàòðèöû �
(N;p)
1 ��(N;p)2 � : : :� �
(N;p)
N
è îïðåäåëèì ñ÷èòàþùóþ ìåðó
�(�;W (N;p))=
#fj : �(N;p)j 2 �g
N
: (1.4)
36 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ðàñïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé àíñàìáëÿ ðàçáàâëåííûõ ìàòðèö
Çàìåòèì, ÷òî ñïåêòð ìàòðèöû W (N;p) ñîâïàäàåò ñî ñïåêòðîì ìàòðè-
öû
�
D(N;p)
��1 � A(N;p), êîòîðàÿ, êàê óïîìèíàëîñü âûøå, îïðåäåëÿåò äèíà-
ìèêó ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé íà ãðàôå � ñ ìàòðèöåé ñìåæíîñòè A(N;p). Îáî-
çíà÷èì ÷åðåç gN;p(z) ïðåîáðàçîâàíèå Ñòèëòüåñà íîðìèðîâàííîé ñ÷èòàþùåé
ìåðû �(�;W (N;p))
gN;p(z) =
Z
d�(�;W (N;p))
�� z
:
Îñíîâíîé öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå ïîâåäåíèÿ gN;p(z) ïðè
N !1.
Òåîðåìà 1. (i) äèñïåðñèÿ gN;p(z) ñòðåìèòñÿ ê 0 ïðè N !1, ïðè÷åì
EfjgN;p(z)�EfgN;p(z)gj2g �
C(z; p; �)
N
; (1.5)
(ii) ñóùåñòâóåò h(z) : C + ! C + ; ãäå C + = fz : <z > 0g, äëÿ êîòîðîé
lim
N!1
EfgN;p(z)g = ih(�iz); (1.6)
ïðè÷åì ñòðåìëåíèå ðàâíîìåðíîå íà ëþáîì êîìïàêòå â C + ,
h(z) = e�p
1Z
0
e�uz
1X
k=0
pk
k!
fk(
u
�+ k
; z)du; (1.7)
ãäå f(u; z) � åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ôóíêöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ:
(iii) f(u; z) = 1� u1=2e�p
1Z
0
dve�zv(1+�)
J1(2
p
uv)p
v
epe
�zvf(v;z) (1.8)
â êëàññå àíàëèòè÷åñêèõ ïî z ôóíêöèé â C + òàêèõ, ÷òî ïðè ëþáîì ôèêñèðî-
âàííîì z jjf(u; z)jj = sup
u>0
jf(u; z)jp
1 + u
< 1. Çäåñü è äàëåå J1(�) � ýòî ôóíêöèÿ
Áåññåëÿ:
J1(�) =
�
2
1X
k=0
(��2=4)k
k!(k + 1)!
: (1.9)
Èç òåîðåìû 1 âûòåêàåò ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè ñ÷èòàþùèõ ìåð �(�;W (N;p)).  ðàáîòå èñïîëüçîâàí ìåòîä, ïðåäëîæåí-
íûé â [8] äëÿ èçó÷åíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ñòèëòüåñà ñ÷èòàþùåé ìåðû ìàòðèöû
ñìåæíîñòè A(N;p). Îäíàêî â íàøåì ñëó÷àå åãî ïðèìåíåíèå ñèëüíî óñëîæíÿåò-
ñÿ òåì, ÷òî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû W (N;p) â îòëè÷èå îò A(N;p) ÿâëÿþòñÿ çàâèñè-
ìûìè. Ýòî ïîòðåáîâàëî ñóùåñòâåííîé ìîäåðíèçàöèè ìåòîäà [8], â ÷àñòíîñòè,
ââåäåíèÿ ïðîìåæóòî÷íîé ìàòðèöû G(N;p) (ñì. (2.3)).
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 37
Â.Â. Âåíãåðîâñêèé
2. Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà
Îáîçíà÷èì
R(N;p)(z)=
�
zI � iW (N;p)
�
�1
: (2.1)
Òîãäà
R(N;p)(z)=
h
D(N;p)
i1=2
�G(N;p)(z) �
h
D(N;p)
i1=2
; (2.2)
ãäå
G(N;p)(z)=
�
zD(N;p) � iA(N;p)
�
�1
: (2.3)
Ïîýòîìó
R
(N;p)
jj (z)=G
(N;p)
jj (z) �D(N;p)
jj : (2.4)
Íà ïåðâîì ýòàïå äîêàçàòåëüñòâà ïîëó÷èì çàìêíóòîå ôóíêöèîíàëüíîå óðàâ-
íåíèå äëÿ EfN (u; z) =
1
N
NX
k=1
Ee
�u
G
(N;p)
kk
1+zG
(N;p)
kk ñ èñ÷åçàþùåé â ïðåäåëå ïîãðåø-
íîñòüþ. Äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì G
(N;p)
NN (z) â âèäå
G
(N;p)
NN (z) =
�
zD
(N;p)
NN � iA
(N;p)
NN +
N�1X
j;k=1
eG(N�1;p)
jk A
(N;p)
Nj A
(N;p)
Nk
�
�1
; (2.5)
ãäå ìàòðèöà f eG(N�1;p)
ij (z)gN�1i;j=1 åñòü îáðàòíàÿ ê ìàòðèöå zD
(N;p)�iA(N;p), ó êî-
òîðîé âû÷åðêíóòû ïîñëåäíÿÿ ñòðî÷êà è ïîñëåäíèé ñòîëáåö. Îòêóäà ñëåäóåò,
÷òî
G
(N;p)
NN
1 + zG
(N;p)
NN
=
1h
G
(N;p)
NN
i
�1
+ z
=
0@zD(N;p)
NN � iA
(N;p)
NN +
N�1X
j;k=1
eG(N�1;p)
jk A
(N;p)
Nj A
(N;p)
Nk + z
1A�1
: (2.6)
Âîñïîëüçóåìñÿ òîæäåñòâîì, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ ïî÷ëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì
ðÿäà äëÿ J1:
e�uR = 1� u1=2
1Z
0
dv
J1(2
p
uv)p
v
expf�R�1vg; (2.7)
ãäå u � 0, <R > 0. Îòñþäà, ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî
<G(N;p)
NN > 0; < G
(N;p)
NN
1 + zG
(N;p)
NN
> 0 ïðè <z > 0
38 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ðàñïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé àíñàìáëÿ ðàçáàâëåííûõ ìàòðèö
íà îñíîâàíèè (2.6), ïîëó÷èì
expf�u G
(N;p)
NN
1 + zG
(N;p)
NN
g = 1� u1=2
1Z
0
dv
J1(2
p
uv)p
v
� expf�zD(N;p)
NN v + iA
(N;p)
NN v � v
N�1X
j;k=1
eG(N�1;p)
ij A
(N;p)
Ni A
(N;p)
Nj � zvg: (2.8)
Îáîçíà÷èì
R1(z) =
N�1X
j;k=1
eG(N�1;p)
ij A
(N;p)
Ni A
(N;p)
Nj �
N�1X
i=1
eG(N�1;p)
ii
h
A
(N;p)
Ni
i2
=
X
j 6=k
eG(N�1;p)
jk A
(N;p)
Nj A
(N;p)
Nk : (2.9)
Ïóñòü
L(�)(q;M) =
�
z :
jzj
j<zj � q(�+ 1); <z �M)
�
; 0 < q < 1;M > 0:
Äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèé 1�4 è ëåììû 1 áóäåò äàíî â ðàçä. 3.
Óòâåðæäåíèå 1. Âåðíà ñëåäóþùàÿ îöåíêà:
EfjR1(z)j2g �
C(q;M)(1 + p4)p
N
; äëÿ z 2 L(�)(q;M): (2.10)
Çäåñü è äàëåå C áóäåò îçíà÷àòü íåêóþ êîíñòàíòó (ðàçíóþ â ðàçíûõ ìåñ-
òàõ), íå çàâèñÿùóþ îò N; z.
Ïóñòü bD(N�1;p); �D(N�1;p) � äèàãîíàëüíûå (N �1)� (N �1) ìàòðèöû âèäà
bD(N�1;p)
ij = Æij
N�1X
k=1
A
(N;p)
ik + �
!
; �D
(N�1;p)
ij = ÆijA
(N;p)
Ni : (2.11)
Ìàòðèöà bA(N�1;p) � ýòî ìàòðèöà A(N;p) áåç ïîñëåäíåãî ñòîëáöà è ïîñëåäíåé
ñòðî÷êè. Ââåäåì òàêæå
bG(N�1;p) =
�
z bD(N�1;p) � i bA(N�1;p)
�
�1
: (2.12)
Çàìåòèì, ÷òî, â îòëè÷èå îò eG(N�1;p), bG(N�1;p) íå çàâèñèò îò fANigNi=1.
Îáîçíà÷èì
R2(z) =
N�1X
i=1
� eG(N�1;p)
ii �
��
1 + z bG(N�1;p) �D(N�1;p)
�
�1
�
ii
bG(N�1;p)
ii
�h
A
(N;p)
Ni
i2
:
(2.13)
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 39
Â.Â. Âåíãåðîâñêèé
Óòâåðæäåíèå 2.
E jR2(z)j2 �
C(q;M; �)
N
äëÿ z 2 L(�)(q;M): (2.14)
Îáîçíà÷èì
R3(z) =
N�1X
i=1
��
1 + z bG(N�1;p)
ii
�D
(N�1;p)
ii
�
�1
�
��
1 + z bG(N�1;p) �D(N�1;p)
�
�1
�
ii
� bG(N�1;p)
ii
h
A
(N;p)
Ni
i2
: (2.15)
Óòâåðæäåíèå 3.
E jR3(z)j2 �
C(q;M)
N
äëÿ z 2 L(�)(q;M): (2.16)
Òàê êàê ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
<
�X
i;j
~G
(N�1;p)
ij A
(N;p)
Ni A
(N;p)
Nj
�
� 0;
<
�X
i
�
1 + z bG(N�1;p)
ii
�D
(N�1;p)
ii
�
�1 bG(N�1;p)
ii
h
A
(N;p)
Ni
i2�
� 0;
òî èç íåðàâåíñòâà
je�z1 � e�z2 j � maxfje�z1 j; je�z2 jgjz1 � z2j (2.17)
è îïðåäåëåíèé R1, R2, R3 (ñì. (2.9), (2.13), (2.15)) ñëåäóåò
E exp
(
�u G
(N;p)
NN
1 + zG
(N;p)
NN
)
= 1�u1=2
1Z
0
dv
J1(2
p
uv)p
v
E expf�zD(N;p)
NN v+iA
(N;p)
NN v
� v
X
i
�
1 + z bG(N�1;p)
ii
�D
(N�1;p)
ii
�
�1 bG(N�1;p)
ii
h
A
(N;p)
Ni
i2
� zvg+ ~rN (u); (2.18)
ãäå
j~rN (u)j � E (jR1j+ jR2j+ jR3j)u1=2
1Z
0
dv
���J1(2puv)pve�z(�+1)v���
� C E (jR1j+ jR2j+ jR3j) u1=2j<zj�3=2(�+ 1)�3=2:
40 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ðàñïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé àíñàìáëÿ ðàçáàâëåííûõ ìàòðèö
 ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå èñïîëüçîâàëàñü îöåíêà jJ1(u)j � 1 (ñì. [12]). Ïðè-
íèìàÿ âî âíèìàíèå óòâåðæäåíèÿ 1�3, ïîëó÷èì
j~rN (u)j2 � Cu(1 + p4)p
N j<zj3(�+ 1)3
; z 2 L(�)(q;M): (2.19)
Ïðåîáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü (2.18). Î÷åâèäíî, ÷òî
E
�
exp
n
�zD(N;p)
NN v + iA
(N;p)
NN v
�v
X
i
�
1 + z bG(N�1;p)
ii
�D
(N�1;p)
ii
�
�1 bG(N�1;p)
ii A
(N;p)
Ni
o�
= e�z�v
�
(1� p
N
) +
p
N
e�zv+iv
�
�E
�N�1Y
j=1
�
(1� p
N
) +
p
N
e
�zv�v
�
1+z bG(N�1;p)
ii
�
�1 bG(N�1;p)
ii
��
= e�z�v�pE exp
n
pe�zv f̂N�1(v; z)
o
+RN (v); (2.20)
ãäå f̂N�1(v; z) =
1
N � 1
N�1X
i=1
e
�v
�
1+z bG(N�1;p)
ii
�
�1 bG(N�1;p)
ii , à RN (v) � C
N
e�zv�:
Ëåììà 1. Ðàññìîòðèì âåùåñòâåííóþ ñèììåòðè÷åñêóþ ìàòðèöó A =
fAjkgnj;k=1 ñ ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè âèäà Aij = �1(di)�1(dj)aij , i < j,
Aii = aii�2(di) + �3(di), ãäå di =
nX
j=1
aij, fajkgj�k � íåçàâèñèìûå â ñîâîêóï-
íîñòè îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, à ôóíêöèè �1; �2; �3
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì�����01(di)�1(di)
���� < C0; j�1(di)j � C1; j�02(di)j < C2; j�03(di)j < C3: (2.21)
Ðàññìîòðèì z: <z > 0 è
R = (z � iA)�1; F (R) = n�1
nX
j=1
'(Rjj ; dj); (2.22)
ãäå ôóíêöèÿ ' èìååò îãðàíè÷åííûå ïðîèçâîäíûå íà ïðîèçâåäåíèè îáðàçîâ
ôóíêöèé Rjj, dj äëÿ âñåõ j:
kr'(�; )k � C:
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 41
Â.Â. Âåíãåðîâñêèé
Òîãäà
EjF (R)�EF (R)j2 � C2 (C0;0 + C1;1jzj)2
j<zj4n P (nEa12; nEa
2
12; nEa
3
12; nEa
4
12);
(2.23)
ãäå C0;0; C1;1 � êîíñòàíòû, çàâèñÿùèå îò C0, C1, C2, C3, íî íå çàâèñÿùèå
îò C, à P (x1; x2; x3; x4) � ôèêñèðîâàííûé ïîëèíîì.
Âîñïîëüçîâàâøèñü íåðàâåíñòâîì (2.17), ïîëó÷èì���E exp
n
pe�zv f̂N�1(v; z)
o
� exp
n
pe�zvEf̂N�1(v; z)
o���
� pep�j<zjvE
���f̂N�1(v; z) �Ef̂N�1(v; z)��� : (2.24)
Ïðèìåíÿÿ ëåììó 1 äëÿ �1(d) = (� + d)�1=2, �2(d) = (� + d)�1, �3(d) = 0,
'(�; ) = exp f�v �
�+ + z�
g, C = v bC, n = N � 1, ïîëó÷èì
E
���f̂N�1(v; z) �Ef̂N�1(v; z)���2 � eC2(q;M; p) bC2v2
N j<zj2
; z 2 L(�)(q;M): (2.25)
Îáúåäèíÿÿ (2.24) è (2.25), ïîëó÷èì äëÿ z 2 L(�)(q;M)���E exp
n
pe�zv f̂N�1(v; z)
o
� exp
n
pe�zvEf̂N�1(v; z)
o���
� pep�j<zjv
eC(q;M; p) bCv
N1=2 j<zj : (2.26)
Ïóñòü fN(u; z) =
1
N
NX
k=1
e
�u
G
(N;p)
kk
1+zG
(N;p)
kk . Èç (2.18)�(2.20) è (2.25) ñëåäóåò
EfN(u; z) = 1� u1=2e�p
1Z
0
dve�zv(1+�)
J1(2
p
uv)p
v
epe
�zv
Ef̂N�1(v;z) + r(u);
r(u) � C(�;p)(q;M)u1=2
N1=4
z 2 L(�)(q;M):
Òåïåðü, ÷òîáû ïîëó÷èòü çàìêíóòîå óðàâíåíèå äëÿ EfN , îñòàëîñü çàìåíèòü
Ef̂N�1 â ïðàâîé ÷àñòè íà EfN . Ýòî ïîçâîëÿåò ñäåëàòü
Óòâåðæäåíèå 4.���EfN(v; z) �Ef̂N�1(v; z)��� � C(�;p)(q;M)
N1=2
; z 2 L(�)(q;M): (2.27)
42 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ðàñïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé àíñàìáëÿ ðàçáàâëåííûõ ìàòðèö
Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå 4 è íåðàâåíñòâî (2.17), ïîëó÷èì
EfN(u; z) = 1� u1=2e�p
1Z
0
dve�zv(1+�)
J1(2
p
uv)p
v
epe
�zv
EfN (v;z) + r(u);
r(u) � C(�;p)(q;M)u1=2
N1=4
; z 2 L(�)(q;M): (2.28)
Ðàññìîòðèì áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî H ôóíêöèé h : R+ ! C ñ íîðìîé
jjh(u)jj = sup
u>0
jh(u)jp
1 + u
:
Îïðåäåëèì îïåðàòîð Fz : H ! H
Fz(')(u) = 1� u1=2e�p
1Z
0
dve�zv(1+�)
J1(2
p
uv)p
v
epe
�zv'(v): (2.29)
Îáîçíà÷èì B0;2 = fh 2 H; khk � 2g. Òîãäà äëÿ '1, '2 : jj'1jj � 2, k'2k � 2
kFz('1)� Fz('2)k � Cpe
p+ p
2
j<zj(1+�)
�
j<zj�1 + j<zj�1=2
�
k'1 � '2k: (2.30)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñóùåñòâóåò M , äëÿ êîòîðîãî
kFz('1)� Fz('2)k < 1=4k'1 � '2k; z 2 L(�)(q;M); (2.31)
è
kFz(0)k = 1:
Ïîýòîìó Fz : B0;2 ! B0;2 è FzjB0;2 ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì îòîáðàæåíèåì äëÿ
z 2 L(�)(q;M). Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷-
êà f(u; z), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì (1.8). Òàêèì îáðàçîì, EffN (u; z)g !
f(u; z) ïî íîðìå ïðè N ! 1 ðàâíîìåðíî ïî z 2 L(�)(q;M). Çàôèêñèðóåì u.
Òàê êàê EffN (u; z)g àíàëèòè÷íû è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû â C + , èç ñõîäè-
ìîñòè EffN (u; z)g ! f(u; z) ïðè z 2 L(�)(q;M) ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ïðè
ôèêñèðîâàííîì u ñóùåñòâóåò àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå f(u; z) â îáëàñòü
C + è EffN (u; z)g ñõîäèòñÿ ê àíàëèòè÷åñêîìó ïðîäîëæåíèþ f(u; z) ðàâíîìåð-
íî íà êàæäîì êîìïàêòå â C + . Ïîëüçóÿñü òåîðåìîé Ëåáåãà îá îãðàíè÷åííîé
ñõîäèìîñòè, äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî Fz(EfN )(u; z) ! Fz(f)(u; z) äëÿ âñåõ z 2 C + .
Òàê êàê ôóíêöèè Fz(EfN )(u; z) àíàëèòè÷íû è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû ïðè
<z > ", òî ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî Fz(EfN )(u; z) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ê Fz(f)(u; z) íà
ëþáîì êîìïàêòå â z 2 C + . À çíà÷èò, Fz(f)(u; z) àíàëèòè÷íà â C + . À òàê êàê,
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 43
Â.Â. Âåíãåðîâñêèé
ïî äîêàçàííîìó ðàíåå, f(u; z) = Fz(f)(u; z); z 2 L(�)(q;M), òî ïî òåîðåìå
åäèíñòâåííîñòè çàêëþ÷àåì, ÷òî f(u; z) = Fz(f)(u; z) ïðè âñåõ z 2 C + .
Âûðàçèì òåïåðü ïðåäåë ïðåîáðàçîâàíèé Ñòèëòüåñà ìåðû (1.4) ÷åðåç
f(u; z). Ïðèìåíÿÿ (2.4) è (2.5), ïîëó÷èì
ER
(N;p)
NN (z)
= E
8<:
�
z � iA
(N;p)
NN
h
D
(N;p)
NN
i
�1
+
h
D
(N;p)
NN
i
�1
N�1X
j;k=1
eG(N�1;p)
jk A
(N;p)
Nj A
(N;p)
Nk
�
�1
9=; :
Ïðèìåíÿÿ çàòåì (2.10),(2.14),(2.16) è ðàâåíñòâî x�1 =
1Z
0
e�uxdu, íåñëîæíî
ïîëó÷èòü, ÷òî äëÿ z 2 L(�)(q;M)������ER(N;p)
NN �E
1Z
0
exp
(
�uz + iuA
(N;p)
NN
D
(N;p)
NN
� u
D
(N;p)
NN
N�1X
k=1
bG(N�1;p)
kk
1 + z �D
(N�1;p)
kk
bG(N�1;p)
kk
h
A
(N;p)
kN
i2)
du
����� � C(�;p)(q;M)
4
p
N
:
Ïîëüçóÿñü òåîðåìîé Ôóáèíè, ïîìåíÿåì ìåñòàìè çíàê èíòåãðèðîâàíèÿ è Ef�g
â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà. Òîãäà ïîëó÷èì
E exp
(
iuA
(N;p)
NN
D
(N;p)
NN
� u
D
(N;p)
NN
N�1X
k=1
bG(N�1;p)
kk
1 + z bG(N�1;p)
kk
A
(N;p)
kN
)
=
N�1X
k=0
Ck
N�1
� p
N
�N�1�k �
1� p
N
�k
�
�
1� p
N
�
E exp
(
kX
i=1
�u
�+ k
bG(N�1;p)
ii
1 + z bG(N�1;p)
ii
)
+
p
N
E exp
(
kX
i=1
�u
�+ k + 1
bG(N�1;p)
ii
1 + z bG(N�1;p)
ii
)!
: (2.32)
Èñïîëüçóÿ îöåíêó Þ.Â. Ïðîõîðîâà (ñì. [13])
1X
k=0
����PN (k)� e�ppk
k!
���� � 2p
N
min(2; p);
44 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ðàñïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé àíñàìáëÿ ðàçáàâëåííûõ ìàòðèö
ãäå
PN (k) =
(
Ck
N
� p
N
�N�k �
1� p
N
�k
; k = 0; 1; : : : ; N;
0; k > N;
ïîëó÷èì �����E exp
(
iuA
(N;p)
NN
D
(N;p)
NN
� u
DNN
N�1X
k=1
bG(N�1;p)
kk
1 + z bG(N�1;p)
kk
A
(N;p)
kN
)
�e�p
N�1X
k=0
pk
k!
E exp
(
kX
i=1
�u
�+ k
bG(N�1;p)
ii
1 + z bG(N�1;p)
ii
)����� � C
N
: (2.33)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì k è N !1�����E exp
(
kX
i=1
�u
�+ k
bG(N�1)
ii
1 + z bG(N�1)
ii
)
�EfkN
�
u
�+ k
; z
������ � k(k � 1)
2N
+O(
1
N2
);
�����EfkN( u
�+ k
; z) �
�
EfN(
u
�+ k
; z)
�k
����� � kE
����fN (
u
�+ k
; z)�EfN(
u
�+ k
; z)
���� :
Ïðèìåíÿÿ ëåììó 1 äëÿ �1(d) = (� + d)�1=2, �2(d) = (� + d)�1, �3(d) = 0,
'(�; ) = exp f�u �
�+ + z�
g, C = u bC, n = N , ïîëó÷èì
E jfN (u; z)�EfN (u; z)j2 �
eC2(q;M; p) bC2u2
N
z 2 L(�)(q;M): (2.34)
Îòêóäà ñëåäóåò
E
����fN (
u
�+ k
; z) �EfN(
u
�+ k
; z)
���� � eC(q;M; p) bCu
N1=2(�+ k)
; z 2 L(�)(q;M):
Ïîýòîìó äëÿ z 2 L(�)(q;M)
E fRNN (z)g = e�p
1Z
0
e�uz
1X
k=0
pk
k!
�
EfN�1(
u
�+ k
; z)
�k
du+ o(1); N !1;
E fRNN (z)g = e�p
1Z
0
e�uz
1X
k=0
pk
k!
fk(
u
�+ k
; z)du+ o(1); N !1:
Ïóñòü
H(p)[f ](z) = e�p
1Z
0
e�uz
1X
k=0
pk
k!
fk(
u
�+ k
; z)du:
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 45
Â.Â. Âåíãåðîâñêèé
Ôóíêöèÿ H(p)[f ](z) àíàëèòè÷íà â C + . Òàê êàê ôóíêöèè ER
(N;p)
NN (z)
àíàëèòè÷íû è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû ïðè <z > ", ïî äîêàçàííîìó ðàíåå,
limN!1ER
(N;p)
NN (z) = H(p)[f ](z), z 2 L(�)(q;M), òî ïî òåîðåìå åäèíñòâåííîñ-
òè çàêëþ÷àåì, ÷òî limN!1ER
(N;p)
N (z) = H(p)[f ](z) ïðè âñåõ z 2 C + , ïðè÷åì
ñõîäèìîñòü ðàâíîìåðíà íà ëþáîì êîìïàêòå â C + . Êðîìå òîãî, î÷åâèäíî, ÷òî
kW (N;p)k � 1, ïîýòîìó ïðåäåëüíàÿ ìåðà áóäåò âåðîÿòíîñòíîé. Ïðèìåíÿÿ ëåì-
ìó 1 äëÿ �1(d) = (�+ d)�1=2, �2(d) = (�+ d)�1, �3(d) = 0, '(�; ) = �, n = N ,
ïîëó÷èì ï. (i) òåîðåìû 1.
3. Äîêàçàòåëüñòâà âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ó ò â å ð æ ä å í è ÿ 1. Ïóñòü G(ij)(z)
îáîçíà÷àåò ìàòðèöó eG(N�1;p)(z), â êîòîðîé ýëåìåíòû A
(N;p)
Ni , A
(N;p)
Nj çàìåíåíû
íà 1. Àíàëîãè÷íî ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ G(ijk)(z), G(ijkl)(z) è D(jk). ÌàòðèöàeD(N�1;p) � ýòî ìàòðèöà D(N;p) áåç ïîñëåäíåãî ñòîëáöà è ïîñëåäíåé ñòðîêè.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
EfjR1(z)j2g = 2
X
j 6=k
E
� eG(N�1;p)
jk
eG(N�1;p)
jk jA(N;p)
Nj j2jA(N;p)
Nk j2
�
+ 4
X
6=(j;k1;k2)
E
� eG(N�1;p)
jk1
eG(N�1;p)
jk2
jA(N;p)
Nj j2A(N;p)
Nk1
A
(N;p)
Nk2
�
+
X
6=(j1;j2;k1;k2)
E
� eG(N�1;p)
j1k1
eG(N�1;p)
j2k2
A
(N;p)
Nj1
A
(N;p)
Nj2
A
(N;p)
Nk1
A
(N;p)
Nk2
�
:
(3.1)
Ïîýòîìó
EfjR1(z)j2g � 2
p2
N2
X
j 6=k
E
�
G
(jk)
jk G
(jk)
jk
�
+ 4
p3
N3
X
6=(j;k1;k2)
E
� ���G(jk1k2)
jk1
��� ���G(jk1k2)
jk2
��� �
+
p4
N4
X
6=(j1;j2;k1;k2)
E
� ���G(j1j2k1k2)
j1k1
��� ���G(j1j2k1k2)
j2k2
��� � = 2K1 + 4K2 +K3:
Äàëåå äëÿ óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé âåðõíèå èíäåêñû (N; p), (N�1; p) ó ìàòðèö
A, bG, eG áóäóò îïóñêàòüñÿ. Âîñïîëüçóåìñÿ òîæäåñòâîì
L�11 � L�12 = L�12 (L2 � L1)L
�1
1 : (3.2)
Ïîëó÷èì ðàâåíñòâî
G
(jk)
jk = eGjk �
h eGz �D(jk) � eD�G(jk)
i
jk
= eGjk �G
(jk)
jj z(1�ANj) eGjk �G
(jk)
jk z(1�ANk) eGkk: (3.3)
46 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ðàñïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé àíñàìáëÿ ðàçáàâëåííûõ ìàòðèö
Ïîýòîìó
K1 =
p2
N2
X
j 6=k
E
�
G
(jk)
jk
eG(jk)
jk
�
=
p2
N2
X
j 6=k
E
�� eGjk �G
(jk)
jj z(1�ANj) eGjk
�G(jk)
jk z(1�ANk) eGkk
�� eGjk �G
(jk)
jj z(1�ANj) eGjk �G
(jk)
jk z(1�ANk) eGkk
��
:
(3.4)
Èç (2.4) ñëåäóåò, ÷òî ���G(jk)
jj
��� � ���D(jk)
jj
��� 1
j<zj �
1
j<zj(�+ 1)
: (3.5)
Àíàëîãè÷íî, åñëè õîòÿ áû îäíî èç fAkigNi=1 îòëè÷íî îò 0, òî��� eGkk
��� � 1
j<zj(�+ 1)
: (3.6)
Åñëè æå âñå Aki = 0, òî ïðè j 6= k G
(jk)
jk = 0. Ïîýòîìó âñåãäà
���G(jk)
jk
eGkk
��� �
���G(jk)
jk
���
j<zj(�+ 1)
; j 6= k: (3.7)
Îáîçíà÷èì q =
jzj
j<zj(�+ 1)
: Ïðèìåíÿÿ íåðàâåñòâà (3.5), (3.7) â (3.4), ïîëó÷èì
K1 � (1 + q)2
p2
N2
X
j 6=k
E
n eGjk
eGkj
o
+ 2q(1 + q)
1
j<zj�
p2
N2
X
j 6=k
E
��� eGjk
���
+ q2
p2
N2
X
j 6=k
E
����G(jk)
jk
���2� = (1 + q)2K1;1 + 2q(1 + q)
1
j<zj�K2;1 + q2K1; (3.8)
ãäå
K1;1 =
p2
N2
X
j 6=k
E
n eGjk
eGkj
o
� p2
N2
X
j
E
h eG eGi
jj
� 1
N
p2
�2 j<zj2
(3.9)
K2;1 =
p2
N2
X
j 6=k
E
��� eGjk
��� � p2
N2
0@X
j 6=k
E
��� eGjk
���2
1A1=20@X
j 6=k
1
1A1=2
� 1
N1=2
p2
� j<zj :
(3.10)
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 47
Â.Â. Âåíãåðîâñêèé
Ïîýòîìó èç (3.8) ñëåäóåò, ÷òî ïðè q2 < 1 � " < 1, ãäå " � ôèêñèðîâàííîå
ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî,
K1 � O
�
1p
N
�
:
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâà äëÿ K2 è K3.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ó ò â å ð æ ä å í è ÿ 2. Òàê êàê
eG =
�
z bD + z �D � i bA��1 = �1 + z bG �D
�
�1 bG;
èìååìX
i
eGiiA
2
Ni =
X
i;k
��
1 + z bG �D
�
�1
�
ik
bGkiA
2
Ni =
X
i
��
1 + z bG �D
�
�1
�
ii
bGiiA
2
Ni
+
X
i6=k
��
1 + z bG �D
�
�1
�
ik
bGkiA
2
Ni:
Ïîýòîìó (ñð. (2.13))
R2(z) =
X
i6=k
��
1 + z bG �D
�
�1
�
ik
bGkiA
2
Ni:
Èç (3.2) äëÿ L1 = 1 + z bG �D è L2 = 1 ñëåäóåò, ÷òî��
1 + z bG �D
�
�1
�
ik
= Æik � z eGikANk:
Ïîýòîìó
jR2j �
������
X
i6=k
z eGki
bGkiANkA
2
Ni
������ �
X
i6=k
jzj
j<zj�
��� bGki
���ANkA
2
Ni
Îòêóäà ñëåäóåò (2).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ó ò â å ð æ ä å í è ÿ 3. Èç (3.2) ñëåäóåò�
1 + z bG �D
�
�1
ii
�
�
1 + z bGii
�Dii
�
�1
=
X
k;i6=k
�
1 + z bGii
�Dii
�
�1
z
h bG �D
i
ik
�
1 + z bG �D
�
�1
ki
=
X
k;i6=k
�
1 + z bGii
�Dii
�
�1
z bGik
�
1 + z bG �D
�
�1
ki
ANk:
48 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ðàñïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé àíñàìáëÿ ðàçáàâëåííûõ ìàòðèö
Ïîýòîìó (ñð. (2.15))
R3 =
X
i 6=k
�
1 + z bGii
�Dii
�
�1 bGik
��
1 + z bG �D
�
�1
�
ki
(�z) bGiiANkA
2
Ni: (3.11)
Î÷åâèäíî, ÷òî
��� bGii
��� � j<zj�1 ��1. Êðîìå òîãî, ïðè �Dii = ANi 6= 0�����1 + z bGii
�Dii
�
�1
���� = ��z �Dii
���1 ���(z �Dii)
�1 + bGii
����1 � jzj�1
j<z�1j =
jzj
j<zj : (3.12)
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî < bGii > 0. Åñëè æå �Dii = 0, òî ëåâàÿ ÷àñòü
(3.12) îöåíèâàåòñÿ 1. Ïîýòîìó�����1 + z bGii
�Dii
�
�1 bGik
���� � C(q; �)
��� bGik
��� ; z 2 L(�)(q;M): (3.13)
Òàêèì îáðàçîì, èç (3.11) íà îñíîâàíèè (3.13) ïîëó÷èì
jR3(z)j � C(q; �)
X
i6=k
��� bGik
���ANkA
2
Ni; z 2 L(�)(q;M):
Îòêóäà è âûòåêàåò (2.16).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ë å ì ì û 1. Îáîçíà÷èì ñèìâîëîì Ek óñðåäíåíèå
ïî âñåì faijgi�j, i � k (En = E, E0 îçíà÷àåò îòñóòñòâèå óñðåäíåíèÿ). Òîãäà
F �EF =
n�1X
k=0
(EkF �Ek+1F )) EjF (R)�EF (R)j2
= 2
X
j<k
E(EkF �Ek+1F )(EjF �Ej+1F ) +
n�1X
k=0
EjEkF �Ek+1F j2
=
n�1X
k=0
EjEkF �Ek+1F j2:
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî E(EkF �Ek+1F )(EjF �Ej+1F ) = 0 ïðè
j 6= k.
Ïóñòü Fk = F
����fakj=0gn
j=1
, à E(k) îáîçíà÷àåò óñðåäíåíèå ïî âñåì fakjgnj=k.
Ðàññìîòðèì òåïåðü
EjEkF �Ek+1F j2 = EjEk(F �E(k+1)F )j2 � E jEk (F � Fk+1)j2 :
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 49
Â.Â. Âåíãåðîâñêèé
Ïî íåðàâåíñòâó Øâàðöà
E jEk (F � Fk+1)j2 � EEk j(F � Fk+1)j2 = E jF � Fk+1j2 :
Ïîýòîìó â ñèëó ñèììåòðèè äëÿ âñåõ k
EjEkF �Ek+1F j2 � E jF � Fk+1j2 = E jF � F1j2 : (3.14)
Äëÿ òîãî ÷òîáû îöåíèòü E
����F � F1
����2, ââåäåì ìàòðèöó A(t) âèäà:
Aij(t) = aij�1(di(t))�1(dj(t)); i; j > 1; i 6= j; A1j(t) = ta1j�1(d1(t))�1(dj(t));
Aii(t) = aii�2(di(t)) + �3(di(t))
d1(t) = td1; di(t) = tai1 +
Pn
j=2 aij; i > 1:
Îïðåäåëèì òàêæå
R(t) = (z � iA(t))�1; F (R(t)) = n�1
X
'(Rjj(t); dj(t)):
Òîãäà, î÷åâèäíî,
F � F1 =
Z 1
0
d
dt
F (R(t))dt: (3.15)
Îöåíèì
d
dt
F (R(t)):���� ddtF (R(t))
���� = ����n�1X @
@dj
'(Rjj(t); dj(t))d
0
j(t)
+ i
X @
@Rjj
'(Rjj(t); dj(t))Rjk(t)A
0
kl(t)Rlj(t)
����
� C
n
X
jd0ij+
������n�1
X
k;l;k 6=l
(RDR)klAkl(t)
�
�01(dk(t))
�1(dk(t))
d0k(t) +
�01(dl(t))
�1(dl(t))
d0l(t)
�������
+
������2n�1
X
k 6=1
(RDR)k1ak1�1(d1(t))�1(dk(t))
������
+
�����n�1X
k
(RDR)kk
�
akk�
0
2(dk(t))d
0
k(t) + �03(dk(t))d
0
k(t)
������
� C
n
X
j
��d0j��+ 2C
j<zj2n
X
k 6=1
C0 (2jzj+ jAkk(t)j) jd0kj+
2CC2
1
n j<zj2
X
k
jak;1j
+
2C
j<zj2 n
X
k
(C2akk + C3) jd0kj+
2CC0C
2
1
n j<zj2
X
k 6=1
jak;1j: (3.16)
50 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Ðàñïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé àíñàìáëÿ ðàçáàâëåííûõ ìàòðèö
Çäåñü ìû îáîçíà÷èëè Dij = Æij
@
@Rjj
'(Rjj(t); dj(t)) è âîñïîëüçîâàëèñü òåì,
÷òî
R(t)(z � iA(t)) = I
)
X
l;l 6=k
(RDR)kl(t)Alk(t) = �(iz +Akk(t))(RDR)kk + i(RD)kk
)
��� X
l;l 6=k
(RDR)kl(t)Alk(t)
��� � Cj<zj�2(2jzj + jAkk(t)j); (3.17)
òàê êàê kR(t)k � j<zj�1, kDk � C. Êðîìå òîãî, î÷åâèäíî, ÷òî
d01(t) =
X
j
a1j ; d0i(t) = a1i; i > 1: (3.18)
Èç óñëîâèé (2.21) ñëåäóåò
jAkk(t)j � jakkj(C2jdkj+C2;0) +C3jdkj+C3;0 � C4 (jakk + 1j) (jdkj+ 1) : (3.19)
Ïðèìåíÿÿ (3.17), (3.19) êî âòîðîé ñóììå â ïðàâîé ÷àñòè (3.16), à òàêæå ïîëü-
çóÿñü (3.18), à çàòåì (3.15), ïîëó÷èì
jF � F1j �
CC5
j<zj2n
�
1 + jzj2
�0@X
k 6=1
jak1j (jakk + 1j) (jdkj+ 1)
1A (3.20)
+
2
n
�
1 +
CC0C
2
1
j<zj2
�X
k
jak1j+
2C
j<zj2 n
X
k 6=1
(C2akk + C3) ja1kj (3.21)
+
2C
j<zj2 n
X
k
(C2a11 + C3) ja1kj: (3.22)
Îòêóäà è ñëåäóåò (2.23).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ó ò â å ð æ ä å í è ÿ 4. Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò
èç (2.25), (2.34) è (3.22) äëÿ '(R; d) = exp
�
�uR
�+ d+ zR
�
, �1(d) = (�+ d)�1=2,
�2(d) = (�+d)�1, �3(d) = 0, n = N , ò.ê. F = fN (u; z), F1 =
N � 1
N
f̂N�1(u; z)+
1
N
e
�
uz�1
�+ 1 .
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 51
Â.Â. Âåíãåðîâñêèé
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] E. Wigner, Characteristic vectors of bordered matrices with in�nite dimensions. �
Ann. Math. 62 (1955), 548�564.
[2] M.L. Mehta, Random Matrices. Acad. Press, New York, 1991.
[3] L.A. Pastur, Random matrices as paradigm. In: Math. Physics (2000), A. Fokas,
A. Grigoryan, T. Kibble, B. Zegarlinski (Eds.). World Scienti�c, Singapore, 2000.
[4] A.D. Mirlin and Y.V. Fyodorov, Universality of the level correlation functions of
sparse random matrices. � J. Phys. A: Math. Jen. 24 (1991), 2273�2286.
[5] Y.V. Fyodorov and A.D. Mirlin, Strong eigenfunction correlations near the Ander-
son localization transition. � Phys. Rev. B. 55 (1997), R16001�R16004.
[6] M. Cvetkovich, M. Doob, and H. Sachs, Spectra of Graphs. Acad. Press, New York,
1980.
[7] M. Bauer and O. Golinelli, Random incidence matrices: moments and spectral
density. � J. Stat. Phys. 103 (2001), 301�336.
[8] O. Khorunzhy, M. Shcherbina, and V. Vengerovsky, Eigenvalue distribution of large
weighted random graphs. � J. Math. Phys. 45 (2004), 1648�1672.
[9] R.K. Chung Fan, Spectra Graph Theory. AMS, Providence RI, 1997.
[10] J. Jonasson, On the cover time for random walks on random graphs. � Combin.
Probab. Comput. 7 (1998), 265�279.
[11] D.Y. Peng, The average return time of random walks in random graphs. � J. Math.
(Wuhan) 11 (1991), 140�144.
[12] M. Abramowitz and I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Dover Publ.,
New York, 1972.
[13] A.N. Shiryaev, Probability. Second Edition, Nauka, Moscow, 1989.
Eigenvalue distribution of diluted random matrix
ensemble with correlated entries appearing in the random
graphs theory
V.V. Vengerovsky
B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering
National Academy of Sciences of Ukraine, 47 Lenin Ave., Kharkov, 61103, Ukraine
Existing of weak limit in probability of counting measures of some en-
semble of the diluted random matrices is proved. The Stiltjes transform of
limiting measure is expressed by the function. This function is unique solu-
tion of the functional equation.
Key words: random matrises, random graphs.
52 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-106563 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1812-9471 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T15:19:34Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Венгеровский, В.В. 2016-09-30T16:47:34Z 2016-09-30T16:47:34Z 2005 Распределение собственных значений ансамбля разбавленных матриц с зависимыми элементами, возникающего в теории случайных графов / В.В. Венгеровский // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 1. — С. 35-52. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1812-9471 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106563 Для некоторого ансамбля разбавленных случайных матриц доказана слабая сходимость по вероятности последовательности считающих мер. Преобразование Стилтьеса предельной меры выражается с помощью функции, однозначно определяемой некоторым функциональным уравнением. Для деякого ансамблю розбавлених випадкових матриць доведено слабку збіжність за ймовірністю послідовності рахуючих мір. Перетворення Стілтьєса граничної міри виражається за допомогою функції, що є однозначно визначеною деяким функціональним рівнянням. Existing of weak limit in probability of counting measures of some ensemble of the diluted random matrices is proved. The Stiltjes transform of limiting measure is expressed by the function. This function is unique solution of the functional equation. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Журнал математической физики, анализа, геометрии Распределение собственных значений ансамбля разбавленных матриц с зависимыми элементами, возникающего в теории случайных графов Eigenvalue distribution of diluted random matrix ensemble with correlated entries appearing in the random graphs theory Article published earlier |
| spellingShingle | Распределение собственных значений ансамбля разбавленных матриц с зависимыми элементами, возникающего в теории случайных графов Венгеровский, В.В. |
| title | Распределение собственных значений ансамбля разбавленных матриц с зависимыми элементами, возникающего в теории случайных графов |
| title_alt | Eigenvalue distribution of diluted random matrix ensemble with correlated entries appearing in the random graphs theory |
| title_full | Распределение собственных значений ансамбля разбавленных матриц с зависимыми элементами, возникающего в теории случайных графов |
| title_fullStr | Распределение собственных значений ансамбля разбавленных матриц с зависимыми элементами, возникающего в теории случайных графов |
| title_full_unstemmed | Распределение собственных значений ансамбля разбавленных матриц с зависимыми элементами, возникающего в теории случайных графов |
| title_short | Распределение собственных значений ансамбля разбавленных матриц с зависимыми элементами, возникающего в теории случайных графов |
| title_sort | распределение собственных значений ансамбля разбавленных матриц с зависимыми элементами, возникающего в теории случайных графов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106563 |
| work_keys_str_mv | AT vengerovskiivv raspredeleniesobstvennyhznačeniiansamblârazbavlennyhmatricszavisimymiélementamivoznikaûŝegovteoriislučainyhgrafov AT vengerovskiivv eigenvaluedistributionofdilutedrandommatrixensemblewithcorrelatedentriesappearingintherandomgraphstheory |