О комплексной проблеме моментов на радиальных лучах
The complex moment problem in the case when the support of the measure lies on the algebraic curves PN = {z є C : z^N-ž^N = 0}, N = 1, 2, 3,..., is studied. For N = 2, 3 the necessary and sufficient conditions of solvability are obtained and all solutions of the problem are described. It is shown ho...
Saved in:
| Published in: | Журнал математической физики, анализа, геометрии |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2005
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106566 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О комплексной проблеме моментов на радиальных лучах / С.М. Загороднюк // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 1. — С. 74-92. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860013767845216256 |
|---|---|
| author | Загороднюк, С.М. |
| author_facet | Загороднюк, С.М. |
| citation_txt | О комплексной проблеме моментов на радиальных лучах / С.М. Загороднюк // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 1. — С. 74-92. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Журнал математической физики, анализа, геометрии |
| description | The complex moment problem in the case when the support of the measure lies on the algebraic curves PN = {z є C : z^N-ž^N = 0}, N = 1, 2, 3,..., is studied. For N = 2, 3 the necessary and sufficient conditions of solvability are obtained and all solutions of the problem are described. It is shown how this problem for arbitrary N is connected with the Hamburger moment problem with parameters.
Изучается комплексная проблема моментов в том случае, когда но- ситель меры сосредоточен на алгебраических кривых PN = {z є C : z^N-ž^N = 0},, N=1, 2, 3... . Для N = 2, 3 получены необходимые и достаточные условия разрешимости и описаны все решения задачи. Показано, как данная задача для произвольного N связывается с проблемой моментов Гамбургера с параметрами.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:43:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè
2005, ò. 1, � 1, c. 74�92
Î êîìïëåêñíîé ïðîáëåìå ìîìåíòîâ
íà ðàäèàëüíûõ ëó÷àõ
Ñ.Ì. Çàãîðîäíþê
Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò
Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Â.Í. Êàðàçèíà
ïë. Ñâîáîäû, 4, Õàðüêîâ, 61077, Óêðàèíà
E-mail:Sergey.M.Zagorodnyuk@univer.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 19 àïðåëÿ 2004 ã.
Èçó÷àåòñÿ êîìïëåêñíàÿ ïðîáëåìà ìîìåíòîâ â òîì ñëó÷àå, êîãäà íî-
ñèòåëü ìåðû ñîñðåäîòî÷åí íà àëãåáðàè÷åñêèõ êðèâûõ PN = fz 2 C :
zN � zN = 0g, N = 1; 2; 3; : : : . Äëÿ N = 2; 3 ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå
è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè è îïèñàíû âñå ðåøåíèÿ çàäà÷è.
Ïîêàçàíî, êàê äàííàÿ çàäà÷à äëÿ ïðîèçâîëüíîãî N ñâÿçûâàåòñÿ ñ ïðî-
áëåìîé ìîìåíòîâ Ãàìáóðãåðà ñ ïàðàìåòðàìè.
Âèâ÷à¹òüñÿ êîìïëåêñíà ïðîáëåìà ìîìåíòiâ ó òîìó âèïàäêó, êîëè íî-
ñié ìiðè ðîçòàøîâàíèé íà àëãåáðà¨÷íèõ êðèâèõ PN = fz 2 C : zN �zN =
0g, N = 1; 2; 3; : : : . Äëÿ N = 2; 3 îäåðæàíî íåîáõiäíi òà äîñòàòíi óìîâè
ðîçâ'ÿçíîñòi òà îïèñàíî âñi ðîçâ'ÿçêè çàäà÷i. Ïîêàçàíî, ÿê äàíà çàäà-
÷à äëÿ äîâiëüíîãî N ïîâ'ÿçó¹òüñÿ ç ïðîáëåìîþ ìîìåíòiâ Ãàìáóðãåðà ç
ïàðàìåòðàìè.
Êàê èçâåñòíî, êîìïëåêñíàÿ ïðîáëåìà ìîìåíòîâ (ñì. [1, 2]) ñîñòîèò â íà-
õîæäåíèè ïîçèòèâíîé, áîðåëåâñêîé ìåðû � â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè òàêîé,
÷òî Z
C
z
m
z
n
�(dz) = cm;n; m; n 2 Z+; (1)
ãäå fcm;ng1n;m=0 � çàäàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
Äëÿ äàííîé çàäà÷è, â ÷àñòíîñòè, áûëè óñòàíîâëåíû óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñ-
òè [1, Satz 7, S. 28], [2, Th. 11, p. 447�448]. Òàêæå èçó÷àëàñü çàäà÷à (1) â òîì
ñëó÷àå, êîãäà íîñèòåëü ìåðû ñîñðåäîòî÷åí íà àëãåáðàè÷åñêèõ êðèâûõ âèäà
L(p) = fz 2 C : p(z; z) = 0g, ãäå p � ìíîãî÷ëåí äâóõ ïåðåìåííûõ. Ïîëó÷åíû
óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè [2, Th. 52, p. 482] â ñëó÷àå, åñëè p(0; 0) 6= 0, è â îáùåì
ñëó÷àå [2, Prop. 51, p. 481�482]. Êðîìå òîãî, ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè
Mathematics Subject Classi�cation 2000: 44A60.
c
Ñ.Ì. Çàãîðîäíþê, 2005
Î êîìïëåêñíîé ïðîáëåìå ìîìåíòîâ íà ðàäèàëüíûõ ëó÷àõ
â ñëó÷àå, êîãäà ìíîãî÷ëåí p(z; z) èìååò äîìèíèðóþùèé êîýôôèöèåíò (ò.å. êî-
ýôôèöèåíò ïðè ÷ëåíå ñ ìàêñèìàëüíîé ñòåïåíüþ, ïî ìîäóëþ ïðåâîñõîäÿùèé
ñóììó ìîäóëåé âñåõ äðóãèõ êîýôôèöèåíòîâ ïðè ÷ëåíàõ ñ ìàêñèìàëüíîé ñòå-
ïåíüþ) [3, Th. 4, p. 35]. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî èç ðåçóëüòàòà [4, Th. 5.4, p. 142]
è ñâÿçè äâóìåðíîé âåùåñòâåííîé è êîìïëåêñíîé ïðîáëåì ìîìåíòîâ (ñì. [2,
Prop. 57, p. 486]) ìîæíî ëåãêî ïîëó÷èòü óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è (1) íà
L(p), ãäå p � ìíîãî÷ëåí íå âûøå âòîðîé ñòåïåíè.
Çàìåòèì, îäíàêî, ïðè ýòîì, ÷òî ïðîöåäóðà ïðîâåðêè óñëîâèé [2, Prop. 51],
êàê è [1, Satz 7], [2, Th. 11], íåÿñíà. Îïèñàíèå âñåõ ðåøåíèé äëÿ óïîìÿíóòûõ
çàäà÷ òàêæå íå ïðîâîäèëîñü.
Ìû èçó÷àåì çàäà÷ó (1) â òîì ñëó÷àå, êîãäà íîñèòåëü ìåðû ëåæèò íà êðè-
âûõ PN = fz 2 C : zN � z
N = 0g, ãäå N = 1; 2; 3; : : : . Äëÿ N = 2; 3 ïîëó÷åíû
íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè è îïèñàíû âñå ðåøåíèÿ
çàäà÷è. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî N çàäà÷à ñâÿçàíà ñ íåêîòîðûìè ïðîáëåìàìè ìî-
ìåíòîâ Ãàìáóðãåðà ñ ïàðàìåòðàìè.
1. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: íàéòè íåóáûâàþùóþ ôóíêöèþ �(�),
� 2 R [ T , T = (�i1; i1), (�(�2) � �(�1),
�2
i
� �1
i
, åñëè �1; �2 2 T ), �(0) = 0,
òàêóþ, ÷òî Z
R[T
�
m
�
n
d�(�) = sm;n; m; n 2 Z+; (2)
ãäå fsm;ng1n;m=0 � çàäàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Çäåñü
èíòåãðàë ïîíèìàåòñÿ êàê ñóììà èíòåãðàëîâ ïî âåùåñòâåííîé è ìíèìîé îñÿì.
Åñëè çàäà÷à (2) ðàçðåøèìà äëÿ íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fsm;ng1n;m=0,
òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fsm;ng1n;m=0 íàçûâàåì ìîìåíòíîé.  ñëó÷àå ðàçðåøè-
ìîñòè çàäà÷è (2), èç ñòðóêòóðû íîñèòåëÿ ìåðû çàêëþ÷àåì, ÷òî
sm;2k = sm+2k;0; sm;2k+1 = sm+2k;1; m; k 2 Z+: (3)
Äàëåå, Z
R[T
�
k
d�(�) = sk;0;
Z
R[T
�
k
�d�(�) = sk;1; k 2 Z+: (4)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë fsk;0; sk;1g1k=0 íàéäåòñÿ
íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ �(�) òàêàÿ, ÷òî âûïîëíåíî (4) è âûïîëíåíî (3), òî
fsm;ng1n;m=0 � ìîìåíòíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Èç (4) çàêëþ÷àåì, ÷òîZ
R
�
k
d�(�) +
Z
T
�
k
d�(�) = sk;0;
Z
R
�
k+1
d�(�) �
Z
T
�
k+1
d�(�) = sk;1; k 2 Z+;
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 75
Ñ.Ì. Çàãîðîäíþê
îòêóäàZ
R
�
k
d�(�) =
1
2
(sk;0 + sk�1;1);
Z
T
�
k
d�(�) =
1
2
(sk;0 � sk�1;1); k 2 N;
Z
R
d�(�) +
Z
T
d�(�) = s0;0:
Îáîçíà÷èì
A =
Z
R
d�(�):
Òîãäà Z
R
�
k
d�(�) =
1
2
(sk;0 + sk�1;1); k 2 N;
Z
R
d�(�) = A; (5)
Z
R
y
k
d�(yi) =
1
2ik
(sk;0 � sk�1;1); k 2 N;
Z
R
d�(yi) = s0;0 �A: (6)
Ñîãëàñíî èçâåñòíîìó êðèòåðèþ ðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû ìîìåíòîâ Ãàìáóðãå-
ðà (ñì. [5, ñ. 52]), âûïîëíåíèå (5),(6) äëÿ íåêîòîðûõ íåóáûâàþùèõ ôóíêöèé
�(�); �(iy) ýêâèâàëåíòíî âûïîëíåíèþ íåðàâåíñòâ:
�n :=
0
BBB@
A ŝ1 ŝ2 : : : ŝn
ŝ1 ŝ2 ŝ3 : : : ŝn+1
...
...
...
. . .
...
ŝn ŝn+1 ŝn+2 : : : ŝ2n
1
CCCA � 0; n 2 N; (7)
~�n :=
0
BBB@
s0;0 �A ~s1 ~s2 : : : ~sn
~s1 ~s2 ~s3 : : : ~sn+1
...
...
...
. . .
...
~sn ~sn+1 ~sn+2 : : : ~s2n
1
CCCA � 0; n 2 N; (8)
ŝk; ~sk 2 R; k 2 N;
ãäå ŝk = 1
2
(sk;0 + sk�1;1); ~sk = 1
2ik
(sk;0 � sk�1;1); k 2 N.
Ïîñêîëüêó íåîòðèöàòåëüíîñòü ìàòðèöû ýêâèâàëåíòíà íåîòðèöàòåëüíîñòè
âñåõ åå ãëàâíûõ ìèíîðîâ [6, òåîð. 4, ñ. 278], íåðàâåíñòâà (7), (8) ðàâíîñèëüíû
ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâàì äëÿ ãëàâíûõ ìèíîðîâ ìàòðèö �n, ~�n:
�n
�
1 i2 i3 : : : ip
1 i2 i3 : : : ip
�
� 0; ~�n
�
1 i2 i3 : : : ip
1 i2 i3 : : : ip
�
� 0;
2 � i2 < i3 < : : : < ip � n+ 1; p = 1; 2; : : : ; n; n 2 N; (9)
76 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Î êîìïëåêñíîé ïðîáëåìå ìîìåíòîâ íà ðàäèàëüíûõ ëó÷àõ
(çäåñü ïðè p = 1 ïîäðàçóìåâàåòñÿ �n
�
1
1
�
è ~�n
�
1
1
�
);
�n
�
i1 i2 : : : ip
i1 i2 : : : ip
�
� 0; ~�n
�
i1 i2 : : : ip
i1 i2 : : : ip
�
� 0;
2 � i1 < i2 < : : : < ip � n+ 1; p = 1; 2; : : : ; n; n 2 N: (10)
Çàìåòèì, ÷òî ìèíîðû â (10) íå çàâèñÿò îò ÷èñëà A. Ðàñêðûâàÿ îïðåäåëèòåëè
â (9) ïî ïåðâîé ñòðîêå, ïîëó÷àåì
�n
�
1 i2 i3 : : : ip
1 i2 i3 : : : ip
�
= Acn(i2; i3; : : : ; ip) + dn(i2; i3; : : : ; ip) � 0;
~�n
�
1 i2 i3 : : : ip
1 i2 i3 : : : ip
�
= (s0;0 �A)~cn(i2; i3; : : : ; ip) + ~dn(i2; i3; : : : ; ip) � 0;
n = 1; 2; 3; : : : ; (11)
ãäå cn = �n
�
i2 i3 : : : ip
i2 i3 : : : ip
�
, ~cn = ~�n
�
i2 i3 : : : ip
i2 i3 : : : ip
�
,
dn = �0n
�
1 i2 i3 : : : ip
1 i2 i3 : : : ip
�
, ~dn = ~�0n
�
1 i2 i3 : : : ip
1 i2 i3 : : : ip
�
, �0n; ~�0n �
ìàòðèöû, ïîëó÷àåìûå èç �n, ~�n çàìåíîé ÷èñëà A íóëåì, ïðè p 6= 1, à ïðè
p = 1 ïîëîæåíî cn = ~cn = 1, dn = ~dn = 0.
Îáîçíà÷èì
A1 = lim
n!1
max
2 � i2 < i3 < : : : < ip � n+ 1;
p = 1; 2; : : : ; n : cn 6= 0
�
�dn(i2; i3; : : : ; ip)
cn(i2; i3; : : : ; ip)
�
;
A2 = lim
n!1
min
2 � i2 < i3 < : : : < ip � n+ 1;
p = 1; 2; : : : ; n : ~cn 6= 0
s0;0 +
~dn(i2; i3; : : : ; ip)
~cn(i2; i3; : : : ; ip)
!
; (12)
ãäå ïðè p = 1 âåëè÷èíû cn, ~cn, dn, ~dn âû÷èñëÿþòñÿ, êàê â (11).
Èç (11) çàêëþ÷àåì, ÷òî A1 � A2.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü çàäàíà ïðîáëåìà ìîìåíòîâ (2) ñ íåêîòîðûì íàáîðîì
êîìïëåêñíûõ ÷èñåë fsm;ng1n;m=0. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðîáëåìà ìîìåíòîâ èìåëà
ðåøåíèå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ:
1) sm;2k = sm+2k;0; sm;2k+1 = sm+2k;1; m; k 2 Z+;
2) ŝk := 1
2
(sk;0 + sk�1;1) 2 R; ~sk := 1
2ik
(sk;0 � sk�1;1) 2 R; k 2 N;
3) A1 � A2, ãäå A1; A2 îïðåäåëåíû, êàê â (12);
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 77
Ñ.Ì. Çàãîðîäíþê
4) âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ (10);
5) dn(i2; i3; : : : ; ip) � 0, åñëè cn(i2; i3; : : : ; ip) = 0, 2 � i2 < i3 < : : : < ip �
n+ 1; p = 2; 3; : : : ; n ; n = 1; 2; 3; : : : ;
6) ~dn(i2; i3; : : : ; ip) � 0, åñëè ~cn(i2; i3; : : : ; ip) = 0, 2 � i2 < i3 < : : : < ip �
n+ 1; p = 2; 3; : : : ; n ; n = 1; 2; 3; : : : .
Òîãäà íàáîð ôóíêöèé f�A(�); � 2 R [ T : �A(�) = ~�A(�); � 2 R; �A(yi) =
~�A(yi); y 2 R; ãäå ~�A(�); � 2 R; è ~�A(yi); y 2 R; � âñåâîçìîæíûå ðåøåíèÿ
ðàçðåøèìûõ ïðîáëåì ìîìåíòîâ Ãàìáóðãåðà (5) è (6), ñîîòâåòñòâåííî, íîð-
ìèðîâàííûå óñëîâèåì �(0) = 0; A 2 [A1; A2]g, åñëè èìåþò ìåñòî 1)�6), äàåò
âñå ðåøåíèÿ çàäà÷è (2).
Ïðîáëåìà ìîìåíòîâ (2) áóäåò îïðåäåëåííîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
A1 = A2 = a 2 R è ïðîáëåìû ìîìåíòîâ (5) è (6) îïðåäåëåíû äëÿ A = a.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèé 1)�4) ïîêàçàíà ïåðåä
ôîðìóëèðîâêîé òåîðåìû. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèé 5), 6) ñëåäóåò èç (11).
Îáðàòíî, ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1)�6).  ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò A 2
[A1; A2], äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíû óñëîâèÿ (11) ïðè cn 6= 0, ~cn 6= 0. Ó÷èòûâàÿ
5),6), çàêëþ÷àåì, ÷òî (11) âûïîëíåíî. Ó÷èòûâàÿ 4), çàêëþ÷àåì, ÷òî óñëîâèÿ
(9),(10) âûïîëíåíû. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ (7), (8). Ïðè ýòîì ýëåìåíòû ìàòðèö â
(7),(8) âåùåñòâåííû, êàê ñëåäóåò èç óñëîâèÿ 2). Çíà÷èò, çàäà÷è (5),(6) èìåþò
ðåøåíèÿ �(�), �(yi). Ôóíêöèè ~�A(�), îïðåäåëÿåìûå, êàê â óñëîâèè òåîðåìû,
áóäóò ðåøåíèÿìè (4), à çíà÷èò, â ñèëó 1) è (2). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàê áûëî
ïîêàçàíî ïåðåä òåîðåìîé, ëþáîå ðåøåíèå çàäà÷è (2) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷
(5), (6) ñ íåêîòîðûì A 2 [A1; A2].
Óòâåðæäåíèå îá îïðåäåëåííîñòè î÷åâèäíî. Òåîðåìà äîêàçàíà.
 ïðåäûäóùåé òåîðåìå äëÿ êðàòêîñòè ìû íå âûïèñûâàåì èçâåñòíûõ ôîð-
ìóë äëÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ âñåõ ðåøåíèé ïðîáëåìû ìîìåíòîâ
Ãàìáóðãåðà â íåâûðîæäåííîì ñëó÷àå è ðåøåíèÿ â âûðîæäåííîì ñëó÷àå (ñì.
[7, 8]).
2. Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ áîëåå îáùåé çàäà÷è: íàéòè ôóíêöèþ �(�),
� 2 PN , PN = f� 2 C : �
N 2 Rg, N = 1; 2; 3; : : : ; íåóáûâàþùóþ íà êàæäîì
ðàäèàëüíîì ëó÷å â PN (îò íóëÿ ê áåñêîíå÷íîñòè), �(0) = 0, òàêóþ, ÷òîZ
PN
�
m
�
n
d�(�) = sm;n; m; n 2 Z+; (13)
ãäå fsm;ng1n;m=0 � çàäàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Çäåñü
èíòåãðàë ïîíèìàåòñÿ êàê ñóììà èíòåãðàëîâ ïî âñåì ðàäèàëüíûì ëó÷àì, âõî-
äÿùèì â PN .
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
PN = [N�1
k=0
fxuk; x 2 Rg;
78 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Î êîìïëåêñíîé ïðîáëåìå ìîìåíòîâ íà ðàäèàëüíûõ ëó÷àõ
åñëè N � íå÷åòíî,
PN = [
N
2
�1
k=0
fxuk; x 2 Rg [ fxuk"; x 2 Rg;
åñëè N � ÷åòíî, ãäå u = cos 2�
N
+ i sin 2�
N
; " = cos �
N
+ i sin �
N
.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé íå÷åòíîãî N . Îáîçíà÷èì �k = fxuk; x 2 Rg, k =
0; 1; : : : ; N � 1. Ïóñòü çàäà÷à (13) èìååò ðåøåíèå �(�). Òîãäà
N�1X
k=0
Z
�k
�
m
d�(�) = sm;0;
N�1X
k=0
Z
�k
�
m
�d�(�) = sm;1;
: : : : : : : : :
N�1X
k=0
Z
�k
�
m
�
N�1
d�(�) = sm;N�1; m 2 Z+; (14)
sm;kN+l =
Z
PN
�
m
�
kN+l
d�(�) =
Z
PN
�
m+kN
�
l
d�(�) = sm+kN;l; m; k 2 Z+;
l = 0; 1; : : : ; N � 1;
sm;kN+l = sm+kN;l; m; k 2 Z+; l = 0; 1; : : : ; N � 1: (15)
 èíòåãðàëàõ ïî �k ñäåëàåì çàìåíó � = xu
k:
N�1X
k=0
u
km
Z
R
x
m
d~�(xuk) = sm;0;
N�1X
k=0
u
km
u
k
Z
R
x
m+1
d~�(xuk) = sm;1;
N�1X
k=0
u
km
u
2k
Z
R
x
m+2
d~�(xuk) = sm;2;
: : : : : : : : : : : : : : : : : :
N�1X
k=0
u
km
u
(N�1)k
Z
R
x
m+N�1
d~�(xuk) = sm;N�1; m 2 Z+; (16)
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 79
Ñ.Ì. Çàãîðîäíþê
ãäå ~�(xuk) =
�
�(xuk); x � 0
��(xuk); x < 0
.
Äàëåå, ìû ìîæåì âûïèñàòü ðàâåíñòâà:
N�1X
k=0
u
kl
Z
R
x
l
d~�(xuk) = sl;0;
N�1X
k=0
u
k(l�1)
u
k
Z
R
x
l
d~�(xuk) = sl�1;1;
N�1X
k=0
u
k(l�2)
u
2k
Z
R
x
l
d~�(xuk) = sl�2;2;
: : : : : : : : : : : : : : :
N�1X
k=0
u
k(l�N+1)
u
(N�1)k
Z
R
x
l
d~�(xuk) = sl�N+1;N�1; l 2 Z+; (17)
ãäå ðàâåíñòâà, â êîòîðûõ âñòðå÷àåòñÿ sm;n ñ îòðèöàòåëüíûì m, ÿâëÿþòñÿ
îïðåäåëåíèÿìè äëÿ sm;n.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (17) ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé N ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíî-
ñèòåëüíî
R
R
x
l
d~�(xuk); k = 0; 1; : : : ; N � 1. Îáîçíà÷èì ìàòðèöó ýòîé ñèñòåìû
Dl, è ïóñòü �l = detDl. Òîãäà
Dl =
0
BBBBB@
1 u
l
u
2l
: : : u
(N�1)l
1 u
l�2
u
2(l�2)
: : : u
(N�1)(l�2)
1 u
l�4
u
2(l�4)
: : : u
(N�1)(l�4)
...
...
...
. . .
...
1 u
l�2(N�1)
u
2(l�2(N�1))
: : : u
(N�1)(l�2(N�1))
1
CCCCCA ; (18)
ãäå ìû ó÷ëè, ÷òî uu = 1. Âûíîñÿ èç k-ãî ñòîëáöà îïðåäåëèòåëÿ ýòîé ìàòðèöû
u
(k�1)l
; k = 1; 2; : : : ; N , èìååì
�l = u
l
u
2l
: : : u
(N�1)l
�����������
1 1 1 : : : 1
1 u
�2
u
�4
: : : u
�2(N�1)
1 u
�4
u
�8
: : : u
�4(N�1)
...
...
...
. . .
...
1 u
�2(N�1)
u
�4(N�1)
: : : u
�2(N�1)(N�1)
�����������
:
 ñòðîêàõ îïðåäåëèòåëÿ �l ñòîÿò ñòåïåíè ÷èñåë 1; u�2; u�4; : : : ; u�2(N�1). Çà-
ìåòèì, ÷òî u�2 = u
N
u
�2 = u
N�2. Íî ÷èñëà N�2 èN ïðè N íå÷åòíîì âçàèìíî
ïðîñòû.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå èõ ðàçíîñòü áûëà áû êðàòíà íå÷åòíîìó ÷èñëó,
80 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Î êîìïëåêñíîé ïðîáëåìå ìîìåíòîâ íà ðàäèàëüíûõ ëó÷àõ
áîëüøåìó åäèíèöû. Çíà÷èò, u�2 � ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü èç åäèíèöû ñòåïåíè
N è ÷èñëà 1; u�2; u�4; : : : ; u�2(N�1) ðàçëè÷íû. Ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëèòåëü
Âàíäåðìîíäà �l 6= 0, l 2 Z+.
Îáîçíà÷èì 0
BBB@
ŝl;0
ŝl;1
...
ŝl;N�1
1
CCCA = D
�1
l
0
BBB@
sl;0
sl�1;1
...
sl�N+1;N�1
1
CCCA ; l 2 Z+: (19)
Òîãäà Z
R
x
l
d~�(x) = ŝl;0;
Z
R
x
l
d~�(xu) = ŝl;1;
: : : : : : : : :Z
R
x
l
d~�(xuN�1) = ŝl;N�1; l 2 Z+: (20)
Òåîðåìà 2. Ïóñòü çàäàíà ïðîáëåìà ìîìåíòîâ (13), ãäå N � íå÷åòíî,
ñ íåêîòîðûì íàáîðîì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë fsm;ng1n;m=0. Äëÿ òîãî ÷òîáû îíà
èìåëà ðåøåíèå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü (15) è ñó-
ùåñòâîâàëè ÷èñëà s�1;1; s�2;2, s�1;2; : : : ; s�N+1;N�1, s�N+2;N�1; : : : ; s�1;N�1
2 C òàêèå, ÷òî
ŝl;0; ŝl;1; : : : ; ŝl;N�1 2 R; l 2 Z+; (21)
è
(ŝn+m;k)
M
n;m=0 � 0; M 2 Z+; k = 0; 1; : : : ; N � 1; (22)
çäåñü ŝl;k èç (19), ãäå Dl � ìàòðèöà èç (18).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü ïðîáëåìà ìîìåíòîâ èìååò ðåøåíèå �(�).
 ýòîì ñëó÷àå, êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, âûïîëíåíî (20), è çíà÷èò, ñîãëàñíî
êðèòåðèþ ðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû ìîìåíòîâ Ãàìáóðãåðà, (21), (22).
Íàîáîðîò, åñëè âûïîëíåíî (21), (22), òî ñîãëàñíî êðèòåðèþ ðàçðåøèìîñòè
ïðîáëåìû ìîìåíòîâ Ãàìáóðãåðà ñóùåñòâóåò ~�(�); � 2 PN , òàêàÿ, ÷òî âûïîë-
íÿåòñÿ (20), è çíà÷èò, (14). Ó÷èòûâàÿ (15), çàêëþ÷àåì, ÷òî âûïîëíåíî (13).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìåòèì, ÷òî íåîòðèöàòåëüíîñòü ìàòðèö â (22) ýêâèâàëåíòíà íåîòðèöà-
òåëüíîñòè âñåõ ãëàâíûõ ìèíîðîâ ýòèõ ìàòðèö, ÷òî ïðèâîäèò ê ñèñòå-
ìå íåðàâåíñòâ äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíûõ s�1;1; s�2;2; s�1;2; : : : ; s�N+1;N�1,
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 81
Ñ.Ì. Çàãîðîäíþê
s�N+2;N�1; : : : ; s�1;N�1 2 C . Åñòåñòâåííûì äåéñòâèåì çäåñü ïðåäñòàâëÿåòñÿ
íàõîæäåíèå ïðè êàæäîì M 2 Z+ ðåøåíèÿ (21) è ñèñòåìû íåðàâåíñòâ, ñî-
îòâåòñòâóþùåé (22), è çàòåì íàõîæäåíèå ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ ðåøåíèé ïî
âñåì M = 0; 1; 2; : : : . Îäíàêî äàæå äëÿ íåáîëüøèõ íîìåðîâ N ðåøåíèå ñèñ-
òåìû (21) è íåðàâåíñòâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ (22), íåïðîñòî. Ìû áóäåì èçó÷àòü
çäåñü ñëó÷àé N = 3.
Ïóñòü çàäà÷à (13) ñ N = 3 èìååò ðåøåíèå �(�). Òîãäà â âûøåïðèâåäåííûõ
ðàññóæäåíèÿõ (ñ (14) äî (20)) èìååì u
�2 = u = �1
2
+ i
p
3
2
,
Dl =
0
@ 1 u
l
u
2l
1 u
l�2
u
2(l�2)
1 u
l�4
u
2(l�4)
1
A =
0
@ 1 1 1
1 u
�2
u
�4
1 u
�4
u
�8
1
A
0
@ 1 0 0
0 u
l 0
0 0 u
2l
1
A :
Ïîñêîëüêó
0
@ 1 1 1
1 u
�2
u
�4
1 u
�4
u
�8
1
A
�1
= 1
3
0
@ 1 1 1
1 u
2
u
1 u u
2
1
A, òî
D
�1
l
=
1
3
0
@ 1 0 0
0 u
�l 0
0 0 u
�2l
1
A
0
@ 1 1 1
1 u
2
u
1 u u
2
1
A ; l 2 Z+: (23)
Çàìåòèì, ÷òî ŝl;k; k = 0; 1; 2, ëèøü ïðè l = 0; 1 ìîãóò çàâèñåòü îò ÷èñåë si;j ñ
îòðèöàòåëüíûì i. Èìåííî, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
ŝ0;0 =
1
3
(s0;0 + s�1;1 + s�2;2);
ŝ0;1 =
1
3
(s0;0 + u
2
s�1;1 + us�2;2);
ŝ0;2 =
1
3
(s0;0 + us�1;1 + u
2
s�2;2);
ŝ1;0 =
1
3
(s1;0 + s0;1 + s�1;2);
ŝ1;1 =
1
3
(u2s1;0 + us0;1 + s�1;2);
ŝ1;2 =
1
3
(us1;0 + u
2
s0;1 + s�1;2); (24)
÷òî ñëåäóåò èç (19), (23).
Ïîñêîëüêó ŝi;j 2 R, s0;0 =
R
PN
d�(�) � 0, s1;0 =
R
PN
�d�(�) = s0;1, òî èç
ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ çàêëþ÷àåì, ÷òî
s�1;1 + s�2;2; u
2
s�1;1 + us�2;2; us�1;1 + u
2
s�2;2; s�1;2 2 R:
82 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Î êîìïëåêñíîé ïðîáëåìå ìîìåíòîâ íà ðàäèàëüíûõ ëó÷àõ
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèðàâíèâàÿ ìíèìóþ ÷àñòü ïîñëåäíèõ âûðàæåíèé ê íóëþ,
çàêëþ÷àåì
s�2;2 = s�1;1; s�1;2 2 R: (25)
Ïîñêîëüêó ïðîáëåìû ìîìåíòîâ â (20) ðàçðåøèìû, òî âûïîëíåíî:
�����������
1
3
(s0;0 + s
�1;1 + s
�2;2)
1
3
(s1;0 + s0;1 + s
�1;2) ŝ2;0 ŝ3;0 : : : ŝn;0
1
3
(s1;0 + s0;1 + s
�1;2) ŝ2;0 ŝ3;0 ŝ4;0 : : : ŝn+1;0
ŝ2;0 ŝ3;0 ŝ4;0 ŝ5;0 : : : ŝn+2;0
...
...
...
...
. . .
...
ŝn;0 ŝn+1;0 ŝn+2;0 ŝn+3;0 : : : ŝ2n;0
�����������
� 0; (26)
�����������
1
3
(s0;0 + u
2
s
�1;1 + us
�2;2)
1
3
(u2s1;0 + us0;1 + s
�1;2) ŝ2;1 ŝ3;1 : : : ŝn;1
1
3
(u2s1;0 + us0;1 + s
�1;2) ŝ2;1 ŝ3;1 ŝ4;1 : : : ŝn+1;1
ŝ2;1 ŝ3;1 ŝ4;1 ŝ5;1 : : : ŝn+2;1
...
...
...
...
. . .
...
ŝn;1 ŝn+1;1 ŝn+2;1 ŝn+3;1 : : : ŝ2n;1
�����������
� 0;
(27)�����������
1
3
(s0;0 + us
�1;1 + u
2
s
�2;2)
1
3
(us1;0 + u
2
s0;1 + s
�1;2) ŝ2;2 ŝ3;2 : : : ŝn;2
1
3
(us1;0 + u
2
s0;1 + s
�1;2) ŝ2;2 ŝ3;2 ŝ4;2 : : : ŝn+1;2
ŝ2;2 ŝ3;2 ŝ4;2 ŝ5;2 : : : ŝn+2;2
...
...
...
...
. . .
...
ŝn;2 ŝn+1;2 ŝn+2;2 ŝn+3;2 : : : ŝ2n;2
�����������
� 0;
(28)
n 2 N;
s0;0 + s�1;1 + s�2;2 � 0;
s0;0 + u
2
s�1;1 + us�2;2 � 0;
s0;0 + us�1;1 + u
2
s�2;2 � 0: (29)
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
�2;n;i =
0
BBB@
ŝ2;i ŝ3;i : : : ŝn+1;i
ŝ3;i ŝ4;i : : : ŝn+2;i
...
...
. . .
...
ŝn+1;i ŝn+2;i : : : ŝ2n;i
1
CCCA ;
Aj;2;n;i � ìàòðèöà, ïîëó÷àåìàÿ èç �2;n;i âû÷åðêèâàíèåì 1-é ñòðîêè è j-ãî
ñòîëáöà, Bl;n;i � ìàòðèöà, ïîëó÷àåìàÿ èç ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû0
BBBBB@
0 ŝ2;i ŝ3;i : : : ŝn+1;i
ŝ2;i ŝ3;i ŝ4;i : : : ŝn+2;i
ŝ3;i ŝ4;i ŝ5;i : : : ŝn+3;i
...
...
...
. . .
...
ŝn;i ŝn+1;i ŝn+2;i : : : ŝ2n;i
1
CCCCCA
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 83
Ñ.Ì. Çàãîðîäíþê
âû÷åðêèâàíèåì l-ãî ñòîëáöà, l = 1; 2; : : : ; n+ 1; i = 0; 1; 2; n 2 N.
Îáîçíà÷èì òàêæå
dj;n;i = detAj;2;n;i; cn;i = det �2;n;i; bl;n;i = detBl;n;i;
j = 1; 2; : : : ; n; l = 1; 2; : : : ; n+ 1; i = 0; 1; 2; n 2 N: (30)
Òîãäà óñëîâèÿ (26)�(28) âëåêóò ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1
3
(s0;0 + s�1;1 + s�2;2)cn;0 �
1
3
(s1;0 + s0;1 + s�1;2)(
1
3
(s1;0 + s0;1 + s�1;2)d1;n;0
+b2;n;0) +
nX
i=2
ŝi;0(
1
3
(s1;0 + s0;1 + s�1;2)di;n;0 + bi+1;n;0) � 0; (31)
1
3
(s0;0+ u
2
s�1;1+us�2;2)cn;1�
1
3
(u2s1;0+ us0;1+ s�1;2)(
1
3
(u2s1;0+ us0;1+ s�1;2)
�d1;n;1 + b2;n;1) +
nX
i=2
ŝi;1(
1
3
(u2s1;0 + us0;1 + s�1;2)di;n;1 + bi+1;n;1) � 0; (32)
1
3
(s0;0+ us�1;1+ u
2
s�2;2)cn;2�
1
3
(us1;0 + u
2
s0;1+ s�1;2)(
1
3
(us1;0 + u
2
s0;1+ s�1;2)
�d1;n;2+b2;n;2)+
nX
i=2
ŝi;2(
1
3
(us1;0+u
2
s0;1+s�1;2)di;n;2+bi+1;n;2) � 0; n 2 N: (33)
Èç (25) ñëåäóåò, ÷òî
u
2
s�1;1 + us�2;2 = �Re s�1;1 +
p
3Im s�1;1;
us�1;1 + u
2
s�2;2 = �Re s�1;1 �
p
3Im s�1;1: (34)
×òîáû íå ðàññìàòðèâàòü ãëàâíûå ìèíîðû, îòëè÷íûå îò óãëîâûõ, áóäåì ñ÷è-
òàòü òåïåðü, ÷òî ôóíêöèÿ �(�) èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðîñòà íà êàæ-
äîé ïðÿìîé â P3. Òîãäà â (26)�(29), à çíà÷èò, è â (31)�(33) èìååò ìåñòî ñòðîãîå
íåðàâåíñòâî. Êðîìå òîãî,
cn;i > 0; d1;n;i > 0; n 2 N; i = 0; 1; 2; s0;0 =
Z
P3
d�(�) > 0:
Ðàçäåëèâ (31)�(33) íà 1
3
cn;i, i = 0; 1; 2; ñîîòâåòñòâåííî, è ó÷èòûâàÿ (34), çàïè-
ñûâàåì
s0;0 + 2Re s�1;1 �
1
cn;0
(s1;0 + s0;1 + s�1;2)(
1
3
(s1;0 + s0;1 + s�1;2)d1;n;0
84 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Î êîìïëåêñíîé ïðîáëåìå ìîìåíòîâ íà ðàäèàëüíûõ ëó÷àõ
+b2;n;0) +
1
cn;0
nX
i=2
ŝi;0((s1;0 + s0;1 + s�1;2)di;n;0 + 3bi+1;n;0) > 0; (35)
s0;0 �Re s�1;1 +
p
3Im s�1;1 �
1
cn;1
(u2s1;0 + us0;1 + s�1;2)(
1
3
(u2s1;0 + us0;1
+s�1;2)d1;n;1 + b2;n;1) +
1
cn;1
nX
i=2
ŝi;1((u
2
s1;0 + us0;1 + s�1;2)di;n;1 + 3bi+1;n;1) > 0;
(36)
s0;0 �Re s�1;1 �
p
3Im s�1;1 �
1
cn;2
(us1;0 + u
2
s0;1 + s�1;2)(
1
3
(us1;0 + u
2
s0;1
+s�1;2)d1;n;2 + b2;n;2) +
1
cn;2
nX
i=2
ŝi;2((us1;0 + u
2
s0;1 + s�1;2)di;n;2 + 3bi+1;n;2) > 0;
n 2 N: (37)
Çàìåòèì, ÷òî "ñâîáîäíûå ÷ëåíû"â (31)�(33), ò.å. ñóììà ñëàãàåìûõ, íå çàâè-
ñÿùèõ îò s�1;1, s�2;2, s�1;2, ðàâíû îïðåäåëèòåëÿì â (26)�(28), åñëè ïîëîæèòü
â íèõ s�1;1 = s�2;2 = s�1;2 = 0, à çíà÷èò, îíè âåùåñòâåííû. Òàêèì îáðàçîì,
"ñâîáîäíûå ÷ëåíû"â (35)�(37) òîæå âåùåñòâåííû. Äàëåå, ïåðåïèøåì (35)�(37)
â ñëåäóþùåì âèäå:
2Re s�1;1 �
d1;n;0
cn;0
s
2
�1;2 + e0s�1;2 + f0 > 0; (38)
�Re s�1;1 +
p
3Im s�1;1 �
d1;n;1
cn;1
s
2
�1;2 + e1s�1;2 + f1 > 0; (39)
�Re s�1;1 �
p
3Im s�1;1 �
d1;n;2
cn;2
s
2
�1;2 + e2s�1;2 + f2 > 0; n 2 N; (40)
ãäå fi 2 R � "ñâîáîäíûå ÷ëåíû", ei � êîýôôèöèåíòû ïðè s�1;2 â (35)�(37),
i = 0; 1; 2. Î÷åâèäíî, ÷òî ei 2 R, ò.ê. îñòàëüíûå âåëè÷èíû â (38)�(40) âåùåñò-
âåííû. Ñêëàäûâàÿ (38)�(40), ïîëó÷àåì
�
�
d1;n;0
cn;0
+
d1;n;1
cn;1
+
d1;n;2
cn;2
�
s
2
�1;2 + (e0 + e1 + e2)s�1;2 + (f0 + f1 + f2) > 0;
n 2 N: (41)
Äëÿ ðàçðåøèìîñòè (41) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü
~�n := (e0 + e1 + e2)
2 + 4
�
d1;n;0
cn;0
+
d1;n;1
cn;1
+
d1;n;2
cn;2
�
(f0 + f1 + f2) > 0: (42)
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 85
Ñ.Ì. Çàãîðîäíþê
Åñëè (42) âûïîëíåíî, òî s�1;2 2 [A1;n; A2;n], ãäå
A1;n =
�(e0 + e1 + e2) +
p
~�n
�
�
d1;n;0
cn;0
+
d1;n;1
cn;1
+
d1;n;2
cn;2
� ; A2;n =
�(e0 + e1 + e2)�
p
~�n
�
�
d1;n;0
cn;0
+
d1;n;1
cn;1
+
d1;n;2
cn;2
� : (43)
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
A1 := lim
n!1
max(A1;1; A1;2; :::; A1;n); A2 := lim
n!1
min(A2;1; A2;2; :::; A2;n): (44)
Òîãäà, î÷åâèäíî, â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è (13)
[A1; A2] 6= ;.
Íåðàâåíñòâà (39),(40) ïåðåïèøåì òàê:
Im s�1;1 >
1p
3
Re s�1;1 +
d1;n;1p
3cn;1
s
2
�1;2 �
e1p
3
s�1;2 �
f1p
3
; (45)
Im s�1;1 < � 1p
3
Re s�1;1 �
d1;n;2p
3cn;2
s
2
�1;2 +
e2p
3
s�1;2 +
f2p
3
: (46)
Îòñþäà
1p
3
Re s�1;1 +
d1;n;1p
3cn;1
s
2
�1;2 �
e1p
3
s�1;2 �
f1p
3
< � 1p
3
Re s�1;1
� d1;n;2p
3cn;2
s
2
�1;2 +
e2p
3
s�1;2 +
f2p
3
;
Re s�1;1 < �1
2
�
d1;n;1
cn;1
+
d1;n;2
cn;2
�
s
2
�1;2 +
1
2
(e1 + e2)s�1;2 +
1
2
(f1 + f2): (47)
Óñëîâèå (38) çàïèñûâàåì â âèäå
Re s�1;1 >
d1;n;0
2cn;0
s
2
�1;2 �
e0
2
s�1;2 �
f0
2
: (48)
Èç (47), (48) çàêëþ÷àåì, ÷òî
d1;n;0
2cn;0
s
2
�1;2 �
e0
2
s�1;2 �
f0
2
< �1
2
�
d1;n;1
cn;1
+
d1;n;2
cn;2
�
s
2
�1;2 +
1
2
(e1 + e2)s�1;2
+
1
2
(f1 + f2);
�1
2
�
d1;n;0
cn;0
+
d1;n;1
cn;1
+
d1;n;2
cn;2
�
s
2
�1;2 +
1
2
(e0 + e1 + e2)s�1;2 +
1
2
(f0 + f1 + f2) > 0:
(49)
86 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Î êîìïëåêñíîé ïðîáëåìå ìîìåíòîâ íà ðàäèàëüíûõ ëó÷àõ
Èòàê, èç ðàçðåøèìîñòè (38)�(40) ñëåäóåò ðàçðåøèìîñòü (41). È îáðàòíî, èç
ðàçðåøèìîñòè (41) ñëåäóåò ðàçðåøèìîñòü (49), ðàçðåøèìîñòü (47), (48), ðàç-
ðåøèìîñòü (45)�(48), à çíà÷èò, ðàçðåøèìîñòü ñèñòåìû (38)�(40). Ïðè ýòîì
Re s�1;1 2
�
d1;n;0
2cn;0
s
2
�1;2 �
e0
2
s�1;2 �
f0
2
; �1
2
�
d1;n;1
cn;1
+
d1;n;2
cn;2
�
s
2
�1;2
+
1
2
(e1 + e2)s�1;2 +
1
2
(f1 + f2)
�
;
Im s�1;1 2
"
1p
3
Re s�1;1 +
d1;n;1p
3cn;1
s
2
�1;2 �
e1p
3
s�1;2 �
f1p
3
; � 1p
3
�Re s�1;1 �
d1;n;2p
3cn;2
s
2
�1;2 +
e2p
3
s�1;2 +
f2p
3
#
;
s�1;2 2 [A1;n; A2;n] (50)
ÿâëÿåòñÿ íàáîðîì âñåõ ðåøåíèé (38)�(40).
Óñëîâèÿ (29), ó÷èòûâàÿ (25), (34), ìîæíî çàïèñàòü òàê:
s0;0 + 2Re s�1;1 > 0; (51)
s0;0 �Re s�1;1 +
p
3Im s�1;1 > 0; (52)
s0;0 �Re s�1;1 �
p
3Im s�1;1 > 0: (53)
Åñëè s0;0 > 0, òîãäà ñèñòåìà ðàçðåøèìà è åå ðåøåíèå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
�s0;0
2
< Re s�1;1 < s0;0; (54)
Im s�1;1 2 (� 1p
3
(s0;0 �Re s�1;1);
1p
3
(s0;0 �Re s�1;1)): (55)
Îáîçíà÷èì Dn ïåðåñå÷åíèå â òðåõìåðíîì âåùåñòâåííîì ïðîñòðàíñòâå (t; x; y)
îáëàñòè
t 2 [A1; A2];
x 2
�
d1;n;0
2cn;0
t
2 � e0
2
t� f0
2
; �1
2
�
d1;n;1
cn;1
+
d1;n;2
cn;2
�
t
2 +
1
2
(e1 + e2)t+
1
2
(f1 + f2)
�
;
y 2
"
1p
3
x+
d1;n;1p
3cn;1
t
2 � e1p
3
t� f1p
3
; � 1p
3
x� d1;n;2p
3cn;2
t
2 +
e2p
3
t+
f2p
3
#
è îáëàñòè
t 2 R; x 2
h
�s0;0
2
; s0;0
i
; jyj < 1p
3
(s0;0 � x):
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 87
Ñ.Ì. Çàãîðîäíþê
Ïîñêîëüêó ìû ïðåäïîëàãàëè ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ ïðîáëåìû ìîìåíòîâ
(13), ãäå N = 3, ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì òî÷åê ðîñòà íà êàæäîé ïðÿìîé â P3,
òî ìíîæåñòâî Dn íåïóñòîå.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü çàäàíà ïðîáëåìà ìîìåíòîâ (13) äëÿ N = 3 ñ íåêî-
òîðûì íàáîðîì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë fsm;ng1n;m=0. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðîáëåìà
ìîìåíòîâ èìåëà ðåøåíèå ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì òî÷åê ðîñòà íà êàæäîé
ïðÿìîé â P3, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ:
1) sm;3k = sm+3k;0; sm;3k+1 = sm+3k;1; sm;3k+2 = sm+3k;2; m; k 2 Z+;
2) ŝl;0; ŝl;1; ŝl;2 2 R; l = 2; 3; 4; : : : ; ãäå ŝl;i îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ìîìåíòû
fsm;ng1n;m=0 ïî ôîðìóëå0
@ ŝl;0
ŝl;1
ŝl;2
1
A =
1
3
0
@ 1 0 0
0 u
l 0
0 0 u
2l
1
A
0
@ 1 1 1
1 u
2
u
1 u u
2
1
A
0
@ sl;0
sl�1;1
sl�2;2
1
A ;
ãäå u = �1
2
+ i
p
3
2
; l = 2; 3; 4; : : :;
3) s0;0 > 0; s1;0 = s0;1; cn;i > 0; d1;n;i > 0; i = 0; 1; 2; n 2 N, ãäå cn;i; d1;n;i
îïðåäåëåíû, êàê â (30);
4) ~�n > 0; n 2 N, ãäå ~�n èç (42), è A1 � A2, ãäå A1; A2 îïðåäåëåíû, êàê
â (44);
5) D := \1
n=1Dn 6= ;, ãäå Dn îïðåäåëÿåòñÿ, êàê ïîñëå ôîðìóëû (55).
 òîì ñëó÷àå, êîãäà óñëîâèÿ 1)�5) âûïîëíåíû, íàáîð ðåøåíèé çàäà÷è (13)
äàþò âñåâîçìîæíûå ðåøåíèÿ ðàçðåøèìûõ ïðîáëåì ìîìåíòîâ Ãàìáóðãåðà
(20), íîðìèðîâàííûå óñëîâèåì ~�(0) = 0, ãäå ŝi;j, i = 0; 1, j = 0; 1; 2, èç (24),
è ãäå (s�1;2;Re s�1;1; Im s�1;1) 2 D, s�2;2 = s�1;1.
Ïðîáëåìà ìîìåíòîâ (13) áóäåò îïðåäåëåííîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîã-
äà D ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè a 2 R
3 è ïðîáëåìû ìîìåíòîâ (20), ãäå ŝi;j,
i = 0; 1, j = 0; 1; 2, èç (24), è ãäå (s�1;2;Re s�1;1; Im s�1;1) = a, s�2;2 = s�1;1,
îïðåäåëåíû.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü ïðîáëåìà ìîìåíòîâ (13) (N = 3)
èìååò ðåøåíèå �(�). Óòâåðæäåíèÿ 1)�4) òåîðåìû ïîêàçàíû ïðè ðàññóæäåíèÿõ
ïåðåä ôîðìóëèðîâêîé òåîðåìû. Îïðåäåëåííûå â ýòèõ ðàññóæäåíèÿõ ÷èñëà
s�1;1; s�2;2; s�1;2 óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìàì (51)�(53) è (38)�(40) äëÿ âñåõ n 2 N.
Çíà÷èò, òî÷êà (s�1;2;Re s�1;1; Im s�1;1) ïðèíàäëåæèò âñåì ìíîæåñòâàì Dn è
D íåïóñòî.
Ïóñòü óñëîâèÿ 1)�5) âûïîëíåíû. Ïîëàãàåì (s�1;2;Re s�1;1; Im s�1;1) 2 D,
s�2;2 = s�1;1 è îïðåäåëÿåì ìîìåíòû ŝi;j, i = 0; 1, j = 0; 1; 2, èç (24). Â ñè-
ëó îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà D, âûïîëíåíû ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (51)�(53) è
(38)�(40) äëÿ ëþáîãî n. Îòñþäà ñëåäóåò âûïîëíåíèå (26)�(29) ñî ñòðîãè-
ìè íåðàâåíñòâàìè. Êðîìå òîãî, ìîìåíòû ŝl;0, ŝl;1, ŝl;2, l 2 N, âåùåñòâåííû.
88 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Î êîìïëåêñíîé ïðîáëåìå ìîìåíòîâ íà ðàäèàëüíûõ ëó÷àõ
Ýòî ñëåäóåò èç óñëîâèÿ 2) òåîðåìû è (24), ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ 3) è òîãî, ÷òî
s�1;2 2 R; s�2;2 = s�1;1. Çíà÷èò, ñîãëàñíî êðèòåðèþ ðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû
ìîìåíòîâ Ãàìáóðãåðà äëÿ ôóíêöèé ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì òî÷åê ðîñòà [7,
òåîð. 2.1.1, ñ. 43] ïðîáëåìû ìîìåíòîâ Ãàìáóðãåðà (20) ðàçðåøèìû è èìåþò
ðåøåíèÿ ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì òî÷åê ðîñòà. Ýòè ðåøåíèÿ äàþò ðåøåíèå (14)
è, ó÷èòûâàÿ (15), äàþò ðåøåíèå (13). Åñëè �1(�) � ëþáîå ðåøåíèå çàäà÷è
(13), òî, êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, åìó ñîîòâåòñòâóþò ðàçðåøèìûå çàäà÷è
(20), ãäå ŝl;k èç (19) è (s�1;2;Re s�1;1; Im s�1;1) 2 D, s�2;2 = s�1;1. Çíà÷èò, ýòî
ðåøåíèå òàêæå áóäåò ïîñòðîåíî óêàçàííûì â òåîðåìå ñïîñîáîì.
Óòâåðæäåíèå îá îïðåäåëåííîñòè î÷åâèäíî. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìåòèì, ÷òî ïîñëå ïðîâåðêè óñëîâèé 1)�4) òåîðåìû 3 ñëåäóåò ñòðîèòü
ìíîæåñòâà Dn, n = 0; 1; 2; : : : ; è íàõîäèòü èõ ïåðåñå÷åíèå. Ýòî íåïðîñòàÿ,
õîòÿ è âûïîëíèìàÿ, ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîöåäóðà.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé ÷åòíîãî N . Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: Vk =
fx"uk; x 2 Rg, k = 0; 1; : : : ; N̂ � 1; N̂ = N
2
, u = cos 2�
N
+ i sin 2�
N
, " = cos �
N
+
i sin �
N
. Ïóñòü çàäà÷à (13) èìååò ðåøåíèå �(�). Òîãäà
N̂�1X
k=0
0
B@Z
�k
�
m
d�(�) +
Z
Vk
�
m
d�(�)
1
CA = sm;0;
N̂�1X
k=0
0
B@Z
�k
�
m
�d�(�) +
Z
Vk
�
m
�d�(�)
1
CA = sm;1;
: : : : : : : : : : : : : : : : : :
N̂�1X
k=0
0
B@Z
�k
�
m
�
N�1
d�(�) +
Z
Vk
�
m
�
N�1
d�(�)
1
CA = sm;N�1; m 2 Z+: (56)
 èíòåãðàëàõ ïî �k ñäåëàåì çàìåíó � = xu
k, à â èíòåãðàëàõ ïî Vk � çàìåíó
� = x"u
k:
N̂�1X
k=0
0
@ukm Z
R
x
m
d~�(xuk) + "
m
u
km
Z
R
x
m
d~�(x"uk)
1
A = sm;0;
N̂�1X
k=0
0
@ukmuk Z
R
x
m+1
d~�(xuk) + "
m
u
km
"u
k
Z
R
x
m+1
d~�(x"uk)
1
A = sm;1;
N̂�1X
k=0
0
@ukmu2k Z
R
x
m+2
d~�(xuk) + "
m
u
km
"
2
u
2k
Z
R
x
m+2
d~�(x"uk)
1
A = sm;2;
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 89
Ñ.Ì. Çàãîðîäíþê
: : : : : : : : : : : : : : :
N̂�1X
k=0
0
@ukmu(N�1)k Z
R
x
m+N�1
d~�(xuk) + "
m
u
km
"
N�1
u
(N�1)k
Z
R
x
m+N�1
�d~�(x"uk)
�
= sm;N�1; m 2 Z+; (57)
ãäå ~�(xuk) =
�
�(xuk); x � 0
��(xuk); x < 0
; ~�(x"uk) =
�
�(x"uk); x � 0
��(x"uk); x < 0
; k =
0; 1; : : : ; N � 1.
Äàëåå,
N̂�1X
k=0
0
@ukl Z
R
x
l
d~�(xuk) + "
l
u
kl
Z
R
x
l
d~�(x"uk)
1
A = sl;0;
N̂�1X
k=0
0
@uk(l�1)uk Z
R
x
l
d~�(xuk) + "
l�1
u
k(l�1)
"u
k
Z
R
x
l
d~�(x"uk)
1
A = sl�1;1;
N̂�1X
k=0
0
@uk(l�2)u2k Z
R
x
l
d~�(xuk) + "
l�2
u
k(l�2)
"
2
u
2k
Z
R
x
l
d~�(x"uk)
1
A = sl�2;2;
: : : : : : : : : : : : : : :
N̂�1X
k=0
0
@uk(l�N+1)
u
(N�1)k
Z
R
x
l
d~�(xuk) + "
l�N+1
u
k(l�N+1)
"
N�1
u
(N�1)k
Z
R
x
l
�d~�(x"uk)
�
= sl�N+1;N�1; l 2 Z+; (58)
ãäå ðàâåíñòâà, ñîäåðæàùèå sm;n ñ îòðèöàòåëüíûì èíäåêñîì m, ÿâëÿþòñÿ
îïðåäåëåíèÿìè äëÿ ÷èñåë sm;n.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (58) ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé N ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî
R
R
x
l
d~�(xuk), k = 0; 1; : : : ; N̂ � 1;
R
R
x
l
d~�(x"uk), k =
0; 1; : : : ; N̂ � 1. Ìàòðèöà ýòîé ñèñòåìû èìååò âèä
0
BBBBBB@
1 u
l
: : : u
(N̂�1)l
"
l (u")l : : : (uN̂�1")l
1 u
l�2
: : : u
(N̂�1)(l�2)
"
l�2 (u")l�2 : : : (uN̂�1")l�2
1 u
l�4
: : : u
(N̂�1)(l�4)
"
l�4 (u")l�4 : : : (uN̂�1")l�4
...
...
. . .
...
...
...
. . .
...
1 u
l�2(N�1)
: : : u
(N̂�1)(l�2(N�1))
"
l�2(N�1) (u")l�2(N�1) : : : (uN̂�1")l�2(N�1)
1
CCCCCCA
;
(59)
90 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
Î êîìïëåêñíîé ïðîáëåìå ìîìåíòîâ íà ðàäèàëüíûõ ëó÷àõ
ãäå ìû ó÷ëè, ÷òî uu = 1. Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû èìååò âèä
u
l
u
2l
: : : u
(N̂�1)l
"
l
u
l
"
l
: : : u
(N̂�1)l
"
l
�
������������
1 1 : : : 1 1 1 : : : 1
1 u
�2
: : : u
�2(N̂�1)
"
�2 (u")�2 : : : (uN̂�1")�2
1 u
�4
: : : u
�4(N̂�1)
"
�4 (u")�4 : : : (uN̂�1")�4
...
...
. . .
...
...
...
. . .
...
1 u
�2(N�1)
: : : u
�2(N�1)(N̂�1)
"
�2(N�1) (u")�2(N�1) : : : (uN̂�1")�2(N�1)
������������
:
(60)
Ýòîò îïðåäåëèòåëü íå ðàâåí íóëþ, ò.ê. îí ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëèòåëåì Âàíäåð-
ìîíäà äëÿ ÷èñåë u
�k, k = 0; 1; : : : ; N � 1 , êîòîðûå ðàçëè÷íû.
Îáîçíà÷èì 0
BBB@
~sl;0
~sl;1
...
~sl;N�1
1
CCCA = ~D�1
l
0
BBB@
sl;0
sl�1;1
...
sl�N+1;N�1
1
CCCA ; l 2 Z+; (61)
ãäå ~Dl � ìàòðèöà èç (59).
Òîãäà, êàê è â ñëó÷àå íå÷åòíîãî N , ïðèõîäèì ê íàáîðó ïðîáëåì ìîìåíòîâ
ÃàìáóðãåðàZ
R
x
l
d~�(x) = ~sl;0;
Z
R
x
l
d~�(xu) = ~sl;1; : : : ;
Z
R
x
l
d~�(xuN̂�1) = ~s
l;N̂�1;
Z
R
x
l
d~�(x") = ~s
l;N̂
;
Z
R
x
l
d~�(xu") = ~s
l;N̂+1
; : : : ;
Z
R
x
l
d~�(xuN̂�1") = ~sl;N�1;
l 2 Z+: (62)
Òåîðåìà 4. Ïóñòü çàäàíà ïðîáëåìà ìîìåíòîâ (13), ãäå N � ÷åòíî,
ñ íåêîòîðûì íàáîðîì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë fsm;ng1n;m=0. Äëÿ òîãî ÷òîáû îíà
èìåëà ðåøåíèå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü (15) è ñó-
ùåñòâîâàëè ÷èñëà s�1;1; s�2;2, s�1;2; : : : ; s�N+1;N�1, s�N+2;N�1; : : : ; s�1;N�1
2 C òàêèå, ÷òî
~sl;0; ~sl;1; : : : ; ~sl;N�1 2 R; l 2 Z+; (63)
è
(~sn+m;k)
M
n;m=0 � 0; M 2 Z+; k = 0; 1; : : : ; N � 1; (64)
çäåñü ~sl;k èç (61) è ~Dl � ìàòðèöà èç (59).
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1 91
Ñ.Ì. Çàãîðîäíþê
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü ïðîáëåìà ìîìåíòîâ èìååò ðåøåíèå �(�).
 ýòîì ñëó÷àå, êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, âûïîëíåíî (62), è ñëåäîâàòåëüíî,
ñîãëàñíî êðèòåðèþ ðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû ìîìåíòîâ Ãàìáóðãåðà ([5, ñ. 52])
âûïîëíåíî (63), (64).
Íàîáîðîò, åñëè âûïîëíåíî (63), (64), òî, ñîãëàñíî êðèòåðèþ ðàçðåøèìîñòè
ïðîáëåìû ìîìåíòîâ Ãàìáóðãåðà, ñóùåñòâóåò ~�(�), � 2 PN , òàêàÿ, ÷òî âûïîë-
íÿåòñÿ (62), è çíà÷èò, (56). Ó÷èòûâàÿ òåïåðü ñîîòíîøåíèå (15), çàêëþ÷àåì,
÷òî âûïîëíåíî (13).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Y. Kilpi, �Uber das Komplexe Momentenproblem. � Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 236
(1957), 2�32.
[2] J. Stochel and F.H. Szafraniec, The complex moment problem and subnormality: A polar
decomposition approach. � J. Func. Ann. 159 (1998), 432�491.
[3] J. Stochel and F.H. Szafraniec, Algebraic operators and moments on algebraic sets. �
Port. Math. 51 (1994), fasc. 1, 25�45.
[4] J. Stochel, Moment functions on real algebraic sets. � Ark. Mat. 30 (1992), 133�148.
[5] M.G. Krein, The fundamental propositions of the theory of representations of Hermitian
operators with de�ciency index (m;m). � Ukr. Mat. Zhurn. (1949), No. 2, 3�66. (Russian)
[6] F.R. Gantmacher, The theory of matrices. AMS Chelsea Publ., Providence, RI, 1998.
[7] N.I. Akhiezer, The classical moment problem and some related questions in analysis.
Hafner Publ. Co., New York, 1965.
[8] N.I. Akhiezer and M.G. Krein, On some questions of the moments theory. Nauchno-techn.
Izdatelstvo Ukrainy, Kharkov, 1938. (Russian)
On the complex moment problem on radial rays
S.M. Zagorodnyuk
Department of Mechanics and Mathematics
V.N. Karazin Kharkov National University, 4 Svobody Sq., Kharkov, 61077, Ukraine
The complex moment problem in the case when the support of the mea-
sure lies on the algebraic curves PN = fz 2 C : zN�zN = 0g,N = 1; 2; 3; : : : ,
is studied. For N = 2; 3 the necessary and su�cient conditions of solvabil-
ity are obtained and all solutions of the problem are described. It is shown
how this problem for arbitrary N is connected with the Hamburger moment
problem with parameters.
Key words: complex moment problem, Hamburger moment problem.
92 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-106566 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1812-9471 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:43:23Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Загороднюк, С.М. 2016-09-30T16:51:14Z 2016-09-30T16:51:14Z 2005 О комплексной проблеме моментов на радиальных лучах / С.М. Загороднюк // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 1. — С. 74-92. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1812-9471 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106566 The complex moment problem in the case when the support of the measure lies on the algebraic curves PN = {z є C : z^N-ž^N = 0}, N = 1, 2, 3,..., is studied. For N = 2, 3 the necessary and sufficient conditions of solvability are obtained and all solutions of the problem are described. It is shown how this problem for arbitrary N is connected with the Hamburger moment problem with parameters. Изучается комплексная проблема моментов в том случае, когда но- ситель меры сосредоточен на алгебраических кривых PN = {z є C : z^N-ž^N = 0},, N=1, 2, 3... . Для N = 2, 3 получены необходимые и достаточные условия разрешимости и описаны все решения задачи. Показано, как данная задача для произвольного N связывается с проблемой моментов Гамбургера с параметрами. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Журнал математической физики, анализа, геометрии О комплексной проблеме моментов на радиальных лучах On the complex moments problem on radial rays Article published earlier |
| spellingShingle | О комплексной проблеме моментов на радиальных лучах Загороднюк, С.М. |
| title | О комплексной проблеме моментов на радиальных лучах |
| title_alt | On the complex moments problem on radial rays |
| title_full | О комплексной проблеме моментов на радиальных лучах |
| title_fullStr | О комплексной проблеме моментов на радиальных лучах |
| title_full_unstemmed | О комплексной проблеме моментов на радиальных лучах |
| title_short | О комплексной проблеме моментов на радиальных лучах |
| title_sort | о комплексной проблеме моментов на радиальных лучах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106566 |
| work_keys_str_mv | AT zagorodnûksm okompleksnoiproblememomentovnaradialʹnyhlučah AT zagorodnûksm onthecomplexmomentsproblemonradialrays |