Базисные свойства в пространствах L и C систем экспонент с вырождением
Рассматриваются системы экспоненте вырождающимися коэффициентами. Получены необходимые и достаточные условия полноты и минимальности этих систем в пространствах суммируемых и непрерывных функций при определенных условиях на коэффициенты. Розглядаються системи експонент з коефіцієнтами, що вироджують...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Журнал математической физики, анализа, геометрии |
|---|---|
| Datum: | 2005 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2005
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106570 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Базисные свойства в пространствах L и C систем экспонент с вырождением / С.Г. Велиев // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 2. — С. 147-154. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-106570 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Велиев, С.Г. 2016-09-30T17:59:38Z 2016-09-30T17:59:38Z 2005 Базисные свойства в пространствах L и C систем экспонент с вырождением / С.Г. Велиев // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 2. — С. 147-154. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1812-9471 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106570 Рассматриваются системы экспоненте вырождающимися коэффициентами. Получены необходимые и достаточные условия полноты и минимальности этих систем в пространствах суммируемых и непрерывных функций при определенных условиях на коэффициенты. Розглядаються системи експонент з коефіцієнтами, що вироджуються. Одержано необхідні та достатні умови повноти та мінімальності цих систем в просторах сумовних і неперервних функцій за визначених умов на коефіцієнти. Systems of exponential functions with degenerating coefficients are considered. Necessary and su cient conditions of the completeness and minimality of these systems are obtained in the spaces of summable and continuous functions under de nite conditions on the coe cients. Автор выражает глубокую благодарность акад. М.Г. Гасымову за проявленное внимание к работе. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Журнал математической физики, анализа, геометрии Базисные свойства в пространствах L и C систем экспонент с вырождением Basis properties in the spaces L and C of the systems of exponential functions with degeneration Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Базисные свойства в пространствах L и C систем экспонент с вырождением |
| spellingShingle |
Базисные свойства в пространствах L и C систем экспонент с вырождением Велиев, С.Г. |
| title_short |
Базисные свойства в пространствах L и C систем экспонент с вырождением |
| title_full |
Базисные свойства в пространствах L и C систем экспонент с вырождением |
| title_fullStr |
Базисные свойства в пространствах L и C систем экспонент с вырождением |
| title_full_unstemmed |
Базисные свойства в пространствах L и C систем экспонент с вырождением |
| title_sort |
базисные свойства в пространствах l и c систем экспонент с вырождением |
| author |
Велиев, С.Г. |
| author_facet |
Велиев, С.Г. |
| publishDate |
2005 |
| language |
Russian |
| container_title |
Журнал математической физики, анализа, геометрии |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Basis properties in the spaces L and C of the systems of exponential functions with degeneration |
| description |
Рассматриваются системы экспоненте вырождающимися коэффициентами. Получены необходимые и достаточные условия полноты и минимальности этих систем в пространствах суммируемых и непрерывных функций при определенных условиях на коэффициенты.
Розглядаються системи експонент з коефіцієнтами, що вироджуються. Одержано необхідні та достатні умови повноти та мінімальності цих систем в просторах сумовних і неперервних функцій за визначених умов на коефіцієнти.
Systems of exponential functions with degenerating coefficients are considered. Necessary and su cient conditions of the completeness and minimality of these systems are obtained in the spaces of summable and continuous functions under de nite conditions on the coe cients.
|
| issn |
1812-9471 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106570 |
| citation_txt |
Базисные свойства в пространствах L и C систем экспонент с вырождением / С.Г. Велиев // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 2. — С. 147-154. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT velievsg bazisnyesvoistvavprostranstvahlicsisteméksponentsvyroždeniem AT velievsg basispropertiesinthespaceslandcofthesystemsofexponentialfunctionswithdegeneration |
| first_indexed |
2025-11-25T22:33:18Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:33:18Z |
| _version_ |
1850566643442253824 |
| fulltext |
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè
2005, ò. 1, � 2, c. 147�154
Áàçèñíûå ñâîéñòâà â ïðîñòðàíñòâàõ L è C ñèñòåì
ýêñïîíåíò ñ âûðîæäåíèåì
Ñ.Ã. Âåëèåâ
Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà
óë. Ô. Àãàåâà, 9, Áàêó, AZ1147, Àçåðáàéäæàí
E-mail:rmi@lan.ab.az
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 9 ìàðòà 2005 ã.
Ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèñòåìû ýêñïîíåíò ñ âûðîæäàþùèìèñÿ êîýôôèöè-
åíòàìè. Ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ïîëíîòû è ìè-
íèìàëüíîñòè ýòèõ ñèñòåì â ïðîñòðàíñòâàõ ñóììèðóåìûõ è íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ íà êîýôôèöèåíòû.
Ðîçãëÿäàþòüñÿ ñèñòåìè åêñïîíåíò ç êîåôiöi¹íòàìè, ùî âèðîäæóþòü-
ñÿ. Îäåðæàíî íåîáõiäíi òà äîñòàòíi óìîâè ïîâíîòè òà ìiíiìàëüíîñòi öèõ
ñèñòåì â ïðîñòîðàõ ñóìîâíèõ i íåïåðåðâíèõ ôóíêöié çà âèçíà÷åíèõ óìîâ
íà êîåôiöi¹íòè.
Mathematics Subject Classi�cation 2000: 47E05.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïîëíîòà, ìèíèìàëüíîñòü, ñèñòåìà ýêñïîíåíöèàëüíûõ ôóíêöèé.
Ðàññìàòðèâàåì áàçèñíûå ñâîéñòâà ñèñòåì ýêñïîíåíò ñ âûðîæäàþùèìè-
ñÿ êîýôôèöèåíòàìè â ïðîñòðàíñòâå ñóììèðóåìûõ èëè íåïðåðûâíûõ ôóíê-
öèé. Ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ íà êîýôôèöèåíòû ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå
è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ïîëíîòû è ìèíèìàëüíîñòè ýòèõ ñèñòåì â íàçâàííûõ
ïðîñòðàíñòâàõ. Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà êîýôôèöèåíòû íå ÿâëÿþòñÿ
âûðîæäàþùèìèñÿ, ýòè æå âîïðîñû áûëè èçó÷åíû â ðàáîòå Á.Ò. Áèëàëîâà
[1]. Íóæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî äàæå â ñëó÷àå êëàññè÷åñêîé ñèñòåìû ýêñïîíåíò�
t(x)einx
+1
�1
ïîäîáíûå âîïðîñû ðàññìàòðèâàþòñÿ âïåðâûå.
1. Áàçèñíûå ñâîéñòâà ñèñòåì ýêñïîíåíò â ïðîñòðàíñòâå
ñóììèðóåìûõ ôóíêöèé
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ýêñïîíåíò ñ âûðîæäàþùèìèñÿ êîýôôè-
öèåíòàìè: n
A+(t)!+(t)eint; A�(t)!�(t)e�i(n+1)t
o
n�0
; (1)
c
Ñ.Ã. Âåëèåâ, 2005
Ñ.Ã. Âåëèåâ
ãäå A�(t) � jA�(t)jei�
�(t) � êîìïëåêñíîçíà÷íûå ôóíêöèè íà ñåãìåíòå [��; �];
!�(t) èìåþò ïðåäñòàâëåíèÿ
!�(t) �
l�Y
i=1
�
sin
���� t� ��i
2
����
��
�
i
;
f�
�
i g � (��; �) � ôèêñèðîâàííûå òî÷êè âûðîæäåíèÿ, f��i g � R � äåéñòâè-
òåëüíûå ïàðàìåòðû.
Íà ôóíêöèè A�(t) è !�(t) íàëàãàþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1.1) ��(t) � êóñî÷íî-ãåëüäåðåâû ôóíêöèè íà îòðåçêå [��; �]; fsig
r
1 � ìíî-
æåñòâî òî÷åê ðàçðûâîâ ôóíêöèè �(t) � ��(t)� �+(t) íà èíòåðâàëå (��; �);
1.2) jA�(t)j � èçìåðèìûå ôóíêöèè íà (��; �), è èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
sup vrai
(��;�)
n ��A+(t)
���1; ��A�(t)���1o �M < +1;
1.3) ìíîæåñòâà si è ��i èìåþò ïóñòûå ïåðåñå÷åíèÿ
f�
+
i g \ f�
�
i g = f;g; f�
�
i g \ fsig = f;g:
Ïóñòü fhig
r
1 � ñêà÷êè ôóíêöèè �(t) â òî÷êàõ si: hi = �(si + 0)� �(si � 0),
i = 1; r.
Îïðåäåëèì öåëûå ÷èñëà ni, i = 1; r, èç ñëåäóþùèõ íåðàâåíñòâ:
0 � hi
2�
+ ni�1 � ni < 1
n0 = 0; i = 1; r
)
: (2)
Îáîçíà÷èì
! = �(��)� �(�) + 2�nr: (3)
1.1. Ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé.
Ñíà÷àëà ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé, êîãäà âñå óñëîâèÿ 1.1)�1.3) âûïîëíÿþòñÿ.
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà 1. Ïóñòü ôóíêöèè A�(t) è !�(t) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
1.1)�1.3), âåëè÷èíà ! îïðåäåëÿåòñÿ èç (2), (3). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿ-
þòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà:
�1 < ��i � 0; i = 1; l�:
Ñèñòåìà (1) ïîëíà â ïðîñòðàíñòâå ñóììèðóåìûõ ôóíêöèé L1 � L1(��; �)
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ! < 2�; ìèíèìàëüíà â L1 òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà ! � 0:
148 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Áàçèñíûå ñâîéñòâà â ïðîñòðàíñòâàõ L è C ñèñòåì ýêñïîíåíò ñ âûðîæäåíèåì
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà èìååò
ìåñòî íåðàâåíñòâî 0 � !
2�
< 1. Ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, ÷òî ñóùåñòâóþò ÷èñëà
r�i 2 (1;+1), i = 1; l�; è pi 2 (1;+1), i = 1; r + 1, òàêèå, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ
íåðàâåíñòâà:
�
1
r�i
< ��i <
1
��i
; i = 1; l�;
�
1
qi
<
hi
2�
+ ni�1 � ni <
1
pi
; n0 = 0; i = 1; r;
�
1
qr+1
< ! <
1
pr+1
;
ãäå 1
r
�
i
+ 1
�
�
i
= 1; 1
pk
+ 1
qk
= 1, i = 1; l�; k = 1; r + 1.
Ïðèìåì p = min
i;k
�
r�i ; pk
: Òîãäà íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ñïðàâåäëèâû ñëå-
äóþùèå íåðàâåíñòâà:
�
1
p
< ��i <
1
q
; i = 1; l�;
�
1
q
<
hi
2�
+ ni�1 � ni <
1
p
; n0 = 0; i = 1; r;
�
1
q
< ! <
1
p
;
ãäå 1
p
+ 1
q
= 1:
Èç ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû àâòîðà [2] ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà (1) ïîëíà è ìèíè-
ìàëüíà â ïðîñòðàíñòâå Lp; è, ñëåäîâàòåëüíî, îíà ïîëíà è â L1: Ïðè÷åì áèîð-
òîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà fe+n (t); e�n+1(t)gn�0 ê ñèñòåìå (1) â Lp; êàê óñòàíîâëåíî
ðàáîòå [2], èìååò ïðåäñòàâëåíèå
e�n (t) =
'�n (t)
!+(t)Z+(eit)
;
ãäå
'�n (t) =
nP
k=0
b�k � e
�ikt
2�A+(t)
;
fb�n g � îïðåäåëåííûå êîýôôèöèåíòû, Z+(eit) � íåêàñàòåëüíûå ãðàíè÷íûå
çíà÷åíèÿ èçíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà êàíîíè÷åñêîãî ðåøåíèÿ Z(z) îäíîðîäíîé
çàäà÷è ñîïðÿæåíèÿ
Z+(�) +G(�) � Z�(�) = 0; j� j = 1;
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 149
Ñ.Ã. Âåëèåâ
â êëàññàõ H�
p;��
; ãäå �� = [!�]p è
G(eit) �
!�(t) � A�(t)
!+(t) � A+(t)
:
Ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ðàáîòû [2] âûðàæåíèå
��!+(t) � Z+(eit)
�� èìååò ïðåä-
ñòàâëåíèå ��!+(t) � Z+(eit)
�� = ���A�(t)
A+(t)
��� � ��!�(t) � Z�(eit)��;
��!�(t) � Z�(eit)�� = u0(t) �
��Z�2 (eit)
�� � �(t) � �sin �� t��
2
�� � !
2� ;
ãäå
�(t) �
Y
i=1
�
sin
����si � t
2
����
�� hi
2�
�
�
!+(t) � !�(t)
�1
2 ;
à ôóíêöèè u0(t); Z
�
2 (eit) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
sup vrai
(��;�)
n
ju0(t)j
�1;
��Z�2 (eit)
���1o < +1:
Èç ýòèõ âûðàæåíèé è èç óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî êàæäûé ÷ëåí áèîð-
òîãîíàëüíîé ñèñòåìû
�
e+n (t); e�n+1(t)
n�0
ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L1 �
L1(��; �), è, òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà (1.1) ìèíèìàëüíà â L1.
À òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ! < 0, íàïðèìåð, �2� � ! < 0.  ýòîì
ñëó÷àå âìåñòî ñèñòåìû (1) ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìó ýêñïîíåíòn
A+
1 (t)!
+(t)eint; A�(t)!�(t)e�i(n+1)t
o
n�0
; (4)
ãäå A+
1 (t) � A(t) � eit. Äëÿ ýòîé ñèñòåìû âñå âåëè÷èíû, êðîìå !, îñòàþòñÿ
ïðåæíèìè, à !1, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìå (4), ïðèíàäëåæèò ñåãìåíòó [0; 2�).
Òîãäà èç ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèé ïîëó÷àåì, ÷òî ñèñòåìà (4) ïîëíà è ìèíè-
ìàëüíà â ïðîñòðàíñòâå L1; è, òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà (1) ïîëíà, íî íå ìèíè-
ìàëüíà â L1.
Ïðè ! � 2� ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìó�
A+(t)!+(t)eint; A�(t)!�(t)e�int
n�0
è èç òåõ æå ñîîáðàæåíèé ïîëó÷àåì, ÷òî ñèñòåìà (1) íåïîëíà, íî ìèíèìàëü-
íà â L1: Ïðîäîëæàÿ òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèé
òåîðåìû 1. Òåîðåìà äîêàçàíà.
150 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Áàçèñíûå ñâîéñòâà â ïðîñòðàíñòâàõ L è C ñèñòåì ýêñïîíåíò ñ âûðîæäåíèåì
2. Îáùèé ñëó÷àé
 ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåì îáùèé ñëó÷àé, ò.å. êîãäà íå òðåáóåòñÿ âû-
ïîëíåíèÿ óñëîâèÿ 1.3).
Ïóñòü îòíîñèòåëüíî ôóíêöèé A�(t) âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1) è 2). Îáîçíà-
÷èì
S � fsig
r
1; T� � f��i g
l�
1 :
Ïåðåîáîçíà÷èì îáúåäèíåíèå
f�ig
l
1 � S [ T� [ T+;
ãäå �1 < �2 < � � � < �l.
Îáðàçóåì îäíîçíà÷íûå ñîîòâåòñòâèÿ
�
�
k ! �
�
k ; sk !
hk
2�
:
Îïðåäåëèì
��i =
(
�
�
k
2
; åñëè f�ig \ T� = ��
k
;
0; åñëè f�ig \ T� = ;;
�i =
�
�
hk
2�
; åñëè f�ig \ S = �k;
0; åñëè f�ig \ S = ;;
�i = �(�+i + ��i + �i); i = 1; l: (5)
Öåëûå ÷èñëà ni, i = 1; l, îïðåäåëèì èç ñëåäóþùèõ íåðàâåíñòâ:
0 � �i + ni�1 � ni < 1
n0 = 0; i = 1; l
�
: (6)
Îáîçíà÷èì
! = �(��)� �(�) + 2� � nl: (7)
Èòàê, ñïðàâåäëèâà
Òåîðåìà 2. Ïóñòü ôóíêöèè A�(t) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1.1)�1.2).
Âåëè÷èíà ! îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèÿìè (5)�(7). Åñëè èìåþò ìåñòî íåðà-
âåíñòâà
�1 < ��i � 0; i = 1; l�;
òî ñèñòåìà (1) ïîëíà â ïðîñòðàíñòâå L1 òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà ! < 2�; ìèíèìàëüíà â L1 òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ! � 0:
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 151
Ñ.Ã. Âåëèåâ
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ïðîâîäèòñÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî äîêà-
çàòåëüñòâó òåîðåìû 1, ò.ê. â ñëó÷àå, êîãäà 0 � ! < 2�, ïðè óñòàíîâëåíèè
ïîëíîòû â L1 èñïîëüçóåì ðåçóëüòàòû ðàáîòû [2].
Ïðè èññëåäîâàíèè ìèíèìàëüíîñòè, ñëåäóÿ ñõåìå äîêàçàòåëüñòâà òåî-
ðåìû 1, íóæíî îáðàòèòü âíèìàíèå íà ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ
!+(t)Z+(eit); ãäå Z(z) � êàíîíè÷åñêîå ðåøåíèå îäíîðîäíîé çàäà÷è ñî-
ïðÿæåíèÿ:
Z+(�) +G(�)Z�(�) = 0; j� j = 1;
ãäå
G(eit) =
!�(t)A�(eit)
!+(t) �A+(eit)
:
Òàêèì îáðàçîì,
��!+(t) � Z+(eit)
�� = ����A�(t)A+(t)
���� � ��!�(t) � Z�(eit)��:
Ââîäÿ íåîáõîäèìûå îáîçíà÷åíèÿ
�(t) �
lY
i=1
�
sin
�����i � t
2
����
��i
;
u0(t) �
�
sin
���� t� �
2
����
��h0
2�
� exp
8<
:� 1
4�
�Z
��
�0(s) � ctg
t� s
2
ds
9=
;;
ãäå �0(t) � íåïðåðûâíàÿ ÷àñòü ôóíêöèè �(t); h
(0)
0 = �0(��) � �0(�); êàê óæå
óñòàíîâëåíî â ðàáîòå àâòîðà [2], âûðàæåíèå
��!�(t) � Z�(eit)�� ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü â âèäå
��!�(t) � Z�(eit)�� = u0(t)
��Z�2 (eit)
�� � �(t) ��sin ���� t� �
2
����
�
�
!
2�
:
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà, íåîáõîäèìî ó÷åñòü âûðàæåíèå áèîðòîãî-
íàëüíîé ñèñòåìû è óñëîâèÿ òåîðåìû 2. Òåîðåìà äîêàçàíà.
3. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà áàçèñíîñòè â ïðîñòðàíñòâå
íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
 íàñòîÿùåì ðàçäåëå áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåêîòîðûå äîñòàòî÷íûå óñëî-
âèÿ ìèíèìàëüíîñòè ñèñòåìû ýêñïîíåíò ñ âûðîæäàþùèìèñÿ êîýôôèöèåíòàìèn
!+(t)A+(t)eint; !�(t)A�(t)e�i(n+1)t
o
n�0
(8)
152 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Áàçèñíûå ñâîéñòâà â ïðîñòðàíñòâàõ L è C ñèñòåì ýêñïîíåíò ñ âûðîæäåíèåì
â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé C � C[��; �] ñ sup-íîðìîé.
Åñòåñòâåííî, ðàññìàòðèâàåìîå ïðîñòðàíñòâî íàëàãàåò îãðàíè÷åíèÿ íà
äàííûå ñèñòåìû (8). Ïðåäïîëîæèì âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ óñëîâèé.
2.1) A�(t) � íåïðåðûâíûå ôóíêöèè íà îòðåçêå [��; �], êîòîðûå óäîâëåò-
âîðÿþò óñëîâèþ
max
[��;�]
n ��A+(t)
���1; ��A�(t)���1o < +1;
2.2) ��(t) = argA�(t) � ãåëüäåðåâû ôóíêöèè íà îòðåçêå [��; �];
2.3) !�(t) èìåþò ïðåäñòàâëåíèÿ
!�(t) =
l�Y
i=1
�
sin
���� t� �
�
i
2
����
��
�
i
;
ãäå f��i g � (��; �) � ôèêñèðîâàííûå òî÷êè, f��i g � [0;+1) � äåéñòâèòåëü-
íûå ïàðàìåòðû.
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà 3. Ïóñòü ôóíêöèè A�(t) è !�(t) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
2.1)�2.3) è âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà:
0 � ��i < 1; i = 1; l�:
Òîãäà ïðè ! > 0 ñèñòåìà (8) íåïîëíà â ïðîñòðàíñòâå C, à ïðè ! > �2�
ìèíèìàëüíà â C.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èòàê, ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ âñå óñëîâèÿ òåîðåìû
è ! > 0. Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî p 2 (1;+1), äëÿ êîòîðîãî
èìåþò ìåñòî
�
1
p
� ��i <
1
q
; i = 1; l�; ! >
2�
p
;
ãäå 1
p
+ 1
q
= 1. Ïî ðåçóëüòàòàì ðàáîòû [2] â ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà (8) íåïîëíà
â Lp. Ñëåäîâàòåëüíî, îíà íåïîëíà è â ïðîñòðàíñòâå C:
À òåïåðü ïóñòü ! > �2�: Îïÿòü-òàêè, ñóùåñòâóåò ÷èñëî p 2 (1;+1) òàêîå,
÷òî âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà
�
1
p
� ��i <
1
q
; i = 1; l�; ! > �
2�
p
;
ãäå 1
p
+ 1
q
= 1. Ïî ðåçóëüòàòàì ðàáîòû [2] ñèñòåìà (8) ìèíèìàëüíà â ïðîñò-
ðàíñòâå Lp. Â ðåçóëüòàòå îíà ìèíèìàëüíà è â ïðîñòðàíñòâå C, ò.ê. â ïðîòèâ-
íîì ñëó÷àå ïîëó÷èëè áû íåìèíèìàëüíîñòü â Lp. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü àêàä. Ì.Ã. Ãàñûìîâó çà ïðîÿâ-
ëåííîå âíèìàíèå ê ðàáîòå.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 153
Ñ.Ã. Âåëèåâ
References
[1] B.T. Bilalov, The basis properties of some systems of exponential functions, cosines
and sines. � Sib. Mat. Zh. 45 (2004), No. 2, 264�273. (Russian)
[2] S.G. Veliev, Basis of exponential functions with degeneration and boundary-value
problems. Preprint IMM NASAz, Baku (2004). (Russian)
Basis properties in the spaces L and C of the systems
of exponential functions with degeneration
S.N. Veliev
Institute of Mathematics and Mechanics
National Academy of Sciences of Azerbaijan
9 F. Agayev Str., Baku, AZ1141, Azerbaijan
E-mail:rmi@lan.ab.az
Received March 9, 2005
Systems of exponential functions with degenerating coe�cients are con-
sidered. Necessary and su�cient conditions of the completeness and minima-
lity of these systems are obtained in the spaces of summable and continuous
functions under de�nite conditions on the coe�cients.
Mathematics Subject Classi�cation 2000: 47E05.
Key words: completeness, minimality, system of exponential functions.
154 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
|