Допустимые преобразования мер
Рассмотрены алгебраические и теоретико-множественные свойства разложения типа Лебега. Если G = X локально-компактная группа, то получена информация о "размере” A(μ). Розглянуто алгебраїчні та теоретико-множинні властивості розкладання типу Лебега. Якщо G = X локально-компактна група, то отриман...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Журнал математической физики, анализа, геометрии |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2005
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106571 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Допустимые преобразования мер / С.С. Габриелян // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 2. — С. 155-181. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859906203681816576 |
|---|---|
| author | Габриелян, С.С. |
| author_facet | Габриелян, С.С. |
| citation_txt | Допустимые преобразования мер / С.С. Габриелян // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 2. — С. 155-181. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Журнал математической физики, анализа, геометрии |
| description | Рассмотрены алгебраические и теоретико-множественные свойства разложения типа Лебега. Если G = X локально-компактная группа, то получена информация о "размере” A(μ).
Розглянуто алгебраїчні та теоретико-множинні властивості розкладання типу Лебега. Якщо G = X локально-компактна група, то отримано інформацію про "розмір" A(μ).
It is done the Lebesgue-type decomposition. If G = X is a locally compact group, we give some informations about the measure theoretical size of A(μ).
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:00:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè
2005, ò. 1, � 2, c. 155�181
Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí
Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò "ÕÏÈ"
óë. Ôðóíçå, 21, Õàðüêîâ, 61002, Óêðàèíà
E-mail:gabrss@kpi.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 2 ñåíòÿáðÿ 2004 ã.
Ïóñòü òîïîëîãè÷åñêàÿ ïîëóãðóïïà G äåéñòâóåò íà òîïîëîãè÷åñêîì
ïðîñòðàíñòâå X . Ýëåìåíò g 2 G íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì ïðåîáðàçîâà-
íèåì (÷àñòè÷íî äîïóñòèìûì, ñèíãóëÿðíûì, ýêâèâàëåíòíûì, èíâàðèàíò-
íûì) äëÿ ìåðû � îòíîñèòåëüíî ìåðû �, åñëè �g � � (ñîîòâåòñòâåí-
íî: �g 6? �, �g ? �, �g � �, �g = c � �), ãäå �g(E) := �(g�1E). Èõ
ìíîæåñòâî îáîçíà÷èì ÷åðåç A(�j�) (ñîîòâåòñòâåííî: AP (�j�), S(�j�),
E(�j�), I(�j�)). Ðàññìîòðåíû, â ÷àñòíîñòè, àëãåáðàè÷åñêèå è òåîðåòèêî-
ìíîæåñòâåííûå ñâîéñòâà, ðàçëîæåíèÿ òèïà Ëåáåãà. Åñëè G = X � ëî-
êàëüíî-êîìïàêòíàÿ ãðóïïà, òî ïîëó÷åíà èíôîðìàöèÿ î �ðàçìåðå� A(�).
Íåõàé òîïîëîãi÷íà ïiâãðóïà G äi¹ íà òîïîëîãi÷íîìó ïðîñòîði X . Åëå-
ìåíò g 2 G íàçèâà¹üòñÿ ïðèïóñòèìèì ïåðåòâîðåííÿì (÷àñòêîâî ïðèïó-
ñòèìèì, ñèíãóëÿðíèì, åêâiâàëåíòíèì, iíâàðiàíòíèì) äëÿ ìiðè � âiäíîñíî
ìiðè �, ÿêùî �g � � (âiäïîâiäíî: �g 6? �, �g ? �, �g � �, �g = c � �),
äå �g(E) := �(g�1E). �õ ìíîæèíó ïîçíà÷èìî ÷åðåç A(�j�) (âiäïîâiä-
íî: AP (�j�), S(�j�), E(�j�), I(�j�)). Ðîçãëÿíóòî, çîêðåìà, àëãåáðà¨÷íi
òà òåîðåòèêî-ìíîæèííi âëàñòèâîñòi, ðîçêëàäàííÿ òèïó Ëåáåãà. ßêùî
G = X � ëîêàëüíî-êîìïàêòíà ãðóïà, òî îòðèìàíî iíôîðìàöiþ ïðî �ðîç-
ìið� A(�).
Mathematics Subject Classi�cation 2000: 28C99, 37A99.
Key words: òîïîëîãè÷åñêîå G-ïðîñòðàíñòâî, ìåðà, äîïóñòèìîå ïðåîáðàçîâàíèå,
ðàçëîæåíèå òèïà Ëåáåãà.
1. Ââåäåíèå
Ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ ìåð âàæíóþ ðîëü èãðàþò òå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîñò-
ðàíñòâà X, êîòîðûå ïåðåâîäÿò äàííóþ ìåðó â ìåðó, àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ
èñõîäíîé. Òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ íàçûâàþòñÿ äîïóñòèìûìè. Åñëè ïðîñòðàíñò-
âî X ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêîé ãðóïïîé, òî ïðîñòåéøèìè åå ïðåîáðàçîâàíèÿ-
ìè ÿâëÿþòñÿ ñäâèãè. Åñëè ñäâèã äàííîé ìåðû � íà g 2 X àáñîëþòíî íåïðåðû-
âåí îòíîñèòåëüíî �, òî ýëåìåíò g íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
c
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí, 2005
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí
A(�) ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ñäâèãîâ ìåðû �. Äîïóñòèìûå ñäâèãè åñòåñòâåí-
íî âîçíèêàþò, íàïðèìåð, â òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Îáùåå îïðåäåëåíèå
äîïóñòèìîãî ñäâèãà è ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà A(�) äëÿ ìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ
ñëó÷àéíûì ïðîöåññàì, èìåþòñÿ â ðàáîòå T.S. Pitcher [9]. Íåêîòîðûå àëãåá-
ðàè÷åñêèå è òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà ìíîæåñòâà òàêèõ ýëåìåíòîâ â ñëó÷àå
ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ïîäðîáíî èññëåäîâàíû â ìîíîãðàôèè À.Â. Ñêî-
ðîõîäà [3, ãë. 4], à â ñëó÷àå ñåïàðàáåëüíîé ìåòðè÷åñêîé ãðóïïû � â ñòàòüå
Y. Okazaki [8].
Îêàçàëîñü, ÷òî îò �îáúåìà� A(�) ñóùåñòâåííî çàâèñèò ñòðóêòóðà ñàìîé
ìåðû �. Òàê, À.Â. Ñêîðîõîä [2] äîêàçàë, ÷òî åñëè X = R è [0;1) � A(�),
òî � àáñîëþòíî íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà, à åå íîñèòåëü
èìååò âèä [a;1). Ýòîò ðåçóëüòàò áûë îáîáùåí íà ñëó÷àé ëîêàëüíî-
êîìïàêòíîé �-êîìïàêòíîé ãðóïïû P.L. Brockett [5]. Êðîìå òîãî, èçâåñòíàÿ
òåîðåìà Ìàêêè�Âåéëÿ [7] óòâåðæäàåò ÷òî, åñëèX � ñòàíäàðòíàÿ áîðåëåâñêàÿ
ãðóïïà è A(�) = X, òî X äîïóñêàåò ëîêàëüíî-êîìïàêòíóþ òîïîëîãèþ è �
âçàèìíî àáñîëþòíî íåïðåðûâíà ñ ìåðîé Õààðà.
Ýòè ðåçóëüòàòû äàþò îñíîâàíèÿ äëÿ áîëåå äåòàëüíîãî èçó÷åíèÿ ìíîæåñò-
âà A(�) è àíàëîãè÷íûõ åìó ìíîæåñòâ è çàâèñèìîñòè îò íèõ ñòðóêòóðû ñàìîé
ìåðû �, ÷åìó è ïîñâÿùåíà äàííàÿ ðàáîòà.
2. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ è îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ
Ïîä áîðåëåâñêèì ïðîñòðàíñòâîì ìû áóäåì ïîíèìàòü ïðîñòðàíñòâîX ñ âû-
äåëåííîé �-àëãåáðîé åãî ïîäìíîæåñòâ B (êîòîðûå íàçûâàþòñÿ áîðåëåâñêè-
ìè) è îáîçíà÷àòü ÷åðåç (X;B). Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
ïðîñòðàíñòâî X îòäåëèìîå, ò.å.: åñëè x; y 2 X è x 6= y, òî ñóùåñòâóåò E 2 B
òàêîå, ÷òî x 2 E 63 y.
Îïðåäåëåíèå 2.1. Ïàðà (G;X) íàçûâàåòñÿ (ïîëó)ãðóïïîé ïðåîáðàçîâà-
íèé, åñëè:
1) G � (ïîëó)ãðóïïà, à X � áîðåëåâñêîå ïðîñòðàíñòâî.
2) Îòîáðàæåíèå g : (X;B) ! (X;B), x 7! g � x áîðåëåâñêîå è òàêîå, ÷òî
(gh) � x = g � (h � x), è åñëè e � åäèíèöà â G, òî e � x = x, 8g, h 2 G, 8x 2 X.
Ïóñòü G � òîïîëîãè÷åñêàÿ (ïîëó)ãðóïïà, à X � òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñò-
ðàíñòâî. Òîãäà (ïîëó)ãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé (G;X) íàçûâàåòñÿ òîïîëîãè-
÷åñêîé, åñëè îòîáðàæåíèå (g; x) 7! g � x íåïðåðûâíî.
Îïðåäåëåíèå 2.2. Ìîðôèçìîì èç (G;X) â (H;Y ) íàçûâàåòñÿ ïàðà (p; �),
ãäå p : G ! H � ãîìîìîðôèçì, à � : X ! Y � áîðåëåâñêîå îòîáðàæåíèå,
óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ñîãëàñîâàííîñòè:
�(g � x) = p(g) � �(x) ; 8g 2 G; 8x 2 X: (2.1)
Åñëè (G;X) è (H;Y ) � òîïîëîãè÷åñêèå (ïîëó)ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé, òî
p è � ïðåäïîëàãàþòñÿ íåïðåðûâíûìè.
156 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð
Òåì ñàìûì ìíîæåñòâî [òîïîëîãè÷åñêèõ] (ïîëó)ãðóïï ïðåîáðàçîâàíèé îá-
ðàçóþò êàòåãîðèþ.
 äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü îáðàç ìíîæåñòâà E ÷åðåç g �E, à ïðîîáðàç
� ÷åðåç g�1E. Åñëè G � ãðóïïà, òî g �E áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòî gE.
Ïóñòü M(X) � ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ìåð íà X, îïðåäåëåííûõ íà B.
Ìíîæåñòâî íåîòðèöàòåëüíûõ êîíå÷íûõ ìåð îáîçíà÷èì ÷åðåç M+(X). Ìåðó
� 2 M+(X) íàçîâåì âåðîÿòíîñòíîé èëè ðàñïðåäåëåíèåì, åñëè �(X) = 1.
Âåðîÿòíîñòíóþ ìåðó, ñîñðåäîòî÷åííóþ â òî÷êå x, îáîçíà÷èì ÷åðåç Æx. Äëÿ
�; � 2 M(X) ìû ïèøåì � � � (ñîîòâåòñòâåííî � ? �), êîãäà � àáñîëþòíî
íåïðåðûâíà (ñèíãóëÿðíà) îòíîñèòåëüíî �. Âçàèìíóþ àáñîëþòíóþ íåïðåðûâ-
íîñòü (ýêâèâàëåíòíîñòü) � è � îáîçíà÷èì ÷åðåç � � �. Åñëè � = �1 + �2,
ãäå �1 ? �2, òî �1 è �2 íàçîâåì ÷àñòÿìè ìåðû �. Çàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñò-
âî N � M(X) íàçûâàåòñÿ L-ïîäïðîñòðàíñòâîì, åñëè L1(�) � N äëÿ ëþáîé
ìåðû � 2 N . Ïóñòü X = G � ãðóïïà, ïîëîæèì
_
� (E) := �(E�1). Åñëè X �
òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, òî íîñèòåëü ìåðû � îáîçíà÷èì ÷åðåç supp�.
Ïóñòü � 2 M(X): ×åðåç �g, g 2 G, îáîçíà÷èì ìåðó íà (X;B), îïðåäåëåí-
íóþ ñîîòíîøåíèåì:
�g(E) = �(g�1E); E 2 B:
Òîãäà (�g)h(E) = �g(h
�1E) = �(g�1h�1E) = �hg(E), ò.å.
(�g)h = �hg: (2.2)
Ïóñòü f(Gi;Xi)g � êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ñåìåéñòâî (ïîëó)ãðóïï ïðåîá-
ðàçîâàíèé è �i ìåðû íà Xi. Îáîçíà÷èì ÷åðåç G0, X0, B0 è � èõ ïðÿìûå
ïðîèçâåäåíèÿ. Òîãäà (ïîëó)ãðóïïà G0 äåéñòâóåò íà X0 ñëåäóþùèì îáðàçîì:
g�x = (g1 �x1; g2 �x2; : : : ); ãäå g = (g1; g2; : : : ) 2 G0; x = (x1; x2; : : : ) 2 X0; (2.3)
ïðè ýòîì äåéñòâèå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì, åñëè âñå Gi äåéñòâóþò íåïðåðûâíî
íà Xi. Òàê êàê ìåðà � îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íà öèëèíäðè÷åñêèõ ìíîæåñò-
âàõ è ïðè E = E1 �E2 � : : : èìååì g�1E = g�11 E1 � g�12 E2 � : : : , òî
�g = (�1)g1 � (�2)g2 � : : : ; ãäå g = (g1; g2; : : : ): (2.4)
Ïóñòü (Gi;BGi
; pij) � ïðîåêòèâíàÿ ñèñòåìà (ïîëó)ãðóïï è (G;BG) � åå
ïðîåêòèâíûé ïðåäåë. Ïóñòü (Xi;Bi; �ij) � ïðîåêòèâíàÿ ñèñòåìà áîðåëåâñêèõ
ïðîñòðàíñòâ, íà êîòîðûõ äåéñòâóþò Gi, è (X;B) � åå ïðîåêòèâíûé ïðåäåë.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ìîæíî áûëî îïðåäåëèòü äåéñòâèå G íàX ñëåäóþùèì îáðàçîì
(êàê â (2.3))
g � x = (g1 � x1; g2 � x2; : : : ); ãäå g = (g1; g2; : : : ) 2 G;x = (x1; x2; : : : ) 2 X; (2.5)
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 157
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè
�ij(gj � xj) = pij(gj) � �ij(xj); i < j: (2.6)
Òîãäà G äåéñòâóåò íåïðåðûâíî, åñëè âñå îòîáðàæåíèÿ pij , �ij � íåïðåðûâ-
íûå. Ïîëóãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé (G;X) ñ äåéñòâèåì (2.5) íàçûâàåòñÿ ïðîåê-
òèâíûì ïðåäåëîì ïðîåêòèâíîé ñèñòåìû (Gi;Xi).
Ïóñòü �; � 2M(X). Òîãäà èõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
� = �1 + �2; � = �1 + �2; ãäå �1 � �1; �2 ? �; �2 ? �
� ðàçëîæåíèå Ëåáåãà ìåð � è � îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà. ×åðåç d�
d�
áóäåì
îáîçíà÷àòü ïðîèçâîäíóþ ìåðû � îòíîñèòåëüíî �. Òîãäà
d�
d�
=
d�1
d�1
; �1 � ï.â. ; è
d�
d�
= 0; (�2 + �2)� ï.â.
×åðåç mG îáîçíà÷èì ëåâóþ ìåðó Õààðà ëîêàëüíî-êîìïàêòíîé ãðóïïû G.
Ïóñòü E 2 B, òîãäà, â ñèëó êîíå÷íîñòè ìåðû, íà íåêîòîðîé ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè fgig
N
i=1 äîñòèãàåòñÿ ñóïðåìóì
supfj�j(
NX
i=1
g�1
i
E); N � 1; gi 2 Gg:
Ìíîæåñòâî eE = [N
i=1g
�1
i
E íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì �-ìàêñèìàëüíîé ìå-
ðû, ïîðîæäåííûì ìíîæåñòâîì E îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ (ïîëó)ãðóïïû G.
Ìíîæåñòâî ìàêñèìàëüíîé ìåðû îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ïîëóãðóïïû áóäåì
íàçûâàòü ïðîñòî ìíîæåñòâîì �-ìàêñèìàëüíîé ìåðû, à ñîâîêóïíîñòü òàêèõ
ìíîæåñòâ îáîçíà÷èì ÷åðåç F . ßñíî, ÷òî eE îïðåäåëåíî íåîäíîçíà÷íî. Îäíà-
êî, åñëè eE1 è eE2 ïîðîæäåíû E, òî, î÷åâèäíî, �j
eE1
= �j
eE2
.
 ñëåäóþùèõ îïðåäåëåíèÿõ óñòàíîâëåíû ìíîæåñòâà, èçó÷åíèþ êîòîðûõ
ïîñâÿùåíà äàííàÿ ðàáîòà.
Îïðåäåëåíèå 2.3. Ýëåìåíò g 2 G íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì ïðåîáðà-
çîâàíèåì (÷àñòè÷íî äîïóñòèìûì, ñèíãóëÿðíûì, ýêâèâàëåíòíûì, èíâàðè-
àíòíûì) äëÿ ìåðû �, åñëè �g � � (ñîîòâåòñòâåííî: �g 6? �, �g ? �,
�g � �; �g = �). Èõ ìíîæåñòâî îáîçíà÷èì ÷åðåç A(�) (ñîîòâåòñòâåííî:
AP (�), S(�), E(�), I(�)).
Î÷åâèäíî, ÷òî
I(�) � E(�) � A(�) � AP (�); AP (�) \ S(�) = ;; AP (�) [ S(�) = G: (2.7)
ßñíî, ÷òî åñëè G èìååò åäèíè÷íûé ýëåìåíò e, òî e 2 I(�).
Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ïðåäûäóùåãî.
158 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð
Îïðåäåëåíèå 2.4. Ýëåìåíò g 2 G íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì ïðåîáðàçî-
âàíèåì (÷àñòè÷íî äîïóñòèìûì, ñèíãóëÿðíûì, ýêâèâàëåíòíûì, èíâàðèàíò-
íûì) äëÿ ìåðû � îòíîñèòåëüíî ìåðû �, åñëè �g � � (ñîîòâåòñòâåííî:
�g 6? �, �g ? �, �g � �, �g = c � �). Èõ ìíîæåñòâî îáîçíà÷èì ÷åðåç A(�j�)
(ñîîòâåòñòâåííî: AP (�j�), S(�j�), E(�j�), I(�j�)).
Ìíîæåñòâà èç îïðåäåëåíèÿ 2.3 ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè âûøåîïðå-
äåëåííûõ ìíîæåñòâ ïðè � = �. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ýòèõ ìíîæåñòâ òàêæå
âûïîëíåíû ñîîòâåòñòâóþùèå âêëþ÷åíèÿ:
I(�j�) � E(�j�) � A(�j�) � AP (�j�);
AP (�j�) \ S(�j�) = ;;
AP (�j�) [ S(�j�) = G:
(2.8)
ßñíî, ÷òî åñëè G � ãðóïïà, òî E(�j�) = E(j�jjj�j), A(�j�) = A(j�jjj�j),
AP (�j�) = AP (j�jjj�j), S(�j�) = S(j�jjj�j). Ïîýòîìó ïðè èçó÷åíèè ýòèõ ìíî-
æåñòâ ìû ÷àñòî áóäåì îãðàíè÷èâàòüñÿ ðàñïðåäåëåíèÿìè.
Åñòåñòâåííî âûäåëèòü �ïàòîëîãè÷åñêèå� ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 2.5. Ïóñòü Z(g) = fx : g � x = xg. Ïîëîæèì
I0(�) = fg : j�j(Z(g)) = k�kg:
Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà X = G � ãðóïïà. Òîãäà åñ-
òåñòâåííî îïðåäåëåíû îïåðàòîðû
Lg(x) = gx ; Rg(x) = xg�1 ; Cg(x) = gxg�1 = LgRg(x); 8x; g 2 X;
êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, îïðåäåëÿþò ëåâîå, ïðàâîå è ñîïðÿæåííîå äåéñòâèÿ
G íà X. Ïî óìîë÷àíèþ, äåéñòâèå G íà X ïîëàãàåì ëåâûì, ò.å. g � x = gx.
Îïðåäåëåíèå 2.6. Ïóñòü G = X � ãðóïïà. Ìíîæåñòâà AP (�j�), S(�j�),
A(�j�), E(�j�), I(�j�) îòíîñèòåëüíî ëåâîãî (ïðàâîãî, ñîïðÿæåííîãî) äåéñò-
âèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü ñ èíäåêñîì l (ñîîòâåòñòâåííî r, c) âíèçó, ò.å.
APl(�j�); Sl(�j�); Ar(�j�); Ec(�j�) è ò.ä.
Ïîëîæèì At(�j�) = Al(�j�) \ [Ar(�j�)]
�1; At(�) = Al(�) \ [Ar(�)]
�1 è ò.ä.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ íåêîììóòàòèâíûõ ãðóïï P.L. Brockett [5] è Y. Okazaki
[8] äîïóñòèìûìè ñäâèãàìè íàçûâàþò ýëåìåíòû èç At(�).
Åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü àíàëîãè ðàçëîæåíèÿ Ëåáåãà ñ òî÷íîñòüþ äî
�ñäâèãà�. Ïóñòü G� = G [ fidXg � ïîëóãðóïïà ñ åäèíèöåé. Ñîîòâåòñòâóþùèå
ìíîæåñòâà îòíîñèòåëüíî G� îáîçíà÷èì ÷åðåç AP �(�j�); A�(�j�) è ò.ä.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 159
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí
Îïðåäåëåíèå 2.7. Åñëè AP �(j�jjj�j) = ;, òî ìåðó � íàçîâåì d-ñèíãóëÿð-
íîé îòíîñèòåëüíî ìåðû �. Îáîçíà÷åíèå � ?d �. Ìåðû � è � íàçîâåì âçàèìíî
d-ñèíãóëÿðíûìè, åñëè � ?d � è � ?d �.
Ïîëîæèì � �d �, åñëè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü gi (êîíå÷íàÿ
èëè áåñêîíå÷íàÿ) òàêàÿ, ÷òî
j�j �
X
i
�ij�jgi ; �i > 0;
X
i
�i <1; gi 2 G�:
Ìåðû � è � íàçîâåì d-ýêâèâàëåíòíûìè, îáîçíà÷åíèå � �d �, åñëè ��d �
è � �d �.
Î÷åâèäíî, ÷òî îòíîøåíèå �d îïðåäåëÿåò ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà M(X),
à îòíîøåíèå �d � îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.
Îòìåòèì, ÷òî åñëè G � ãðóïïà è � ?d �, òî AP (�j�) = AP (�j�) = ; è
� ?d �, ò.å. � è � âçàèìíî d-ñèíãóëÿðíû. Òàê æå, â ñëó÷àå, êîãäà G � ãðóïïà,
èìååì �g �d �. Äëÿ ïîëóãðóïï ýòî íåâåðíî (ñì. ïðèìåð 4.1 íèæå).
Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè E 2 F(�), òî �jE ?d �� �jE :
Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ïðîñòåéøèå, îòíîñèòåëüíî d-ýêâèâàëåíò-
íîñòè, ìåðû.
Îïðåäåëåíèå 2.8. Ìåðà � íàçûâàåòñÿ t-ýðãîäè÷åñêîé, åñëè ëþáûå åå ÷à-
ñòè d-ýêâèâàëåíòíû, ò.å., áîëåå ïîäðîáíî, äëÿ ëþáûõ åå ÷àñòåé � è � ñó-
ùåñòâóþò g; h 2 G� òàêèå, ÷òî �g 6? � è � 6? �h.
3. Àëãåáðàè÷åñêèå ñâîéñòâà
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà (ñïðàâåäëèâàÿ è äëÿ �-êîíå÷íîé ìåðû) óñòàíàâëèâà-
åò íåêîòîðûå, â îñíîâíîì àëãåáðàè÷åñêèå, ñâîéñòâà ýòèõ ìíîæåñòâ. Îòìåòèì
÷òî ñâîéñòâî 4 è íåêîòîðûå âêëþ÷åíèÿ â 6, íå êàñàþùèåñÿ I(�), äëÿ ñëó÷àÿ
êîãäà X = G � ãðóïïà, äîêàçàíû â [8].
Òåîðåìà 3.1. 1. Åñëè B(�) åñòü îäíî èç ìíîæåñòâ: I(�), E(�), A(�),
AP (�) èëè S(�) è g � îáðàòèì, òî
B(�g)g = gB(�) èëè B(�g) = gB(�)g�1:
2. Åñëè � � �, òî B(�) = B(�), ãäå B(:) åñòü îäíî èç ìíîæåñòâ: E(:),
A(:), AP (:) èëè S(:).
3. Åñëè �� �, òî AP (�) � AP (�); S(�) � S(�).
4. A(�), E(�), I(�) åñòü ïîäïîëóãðóïïû (ñ åäèíèöåé, åñëè G îáëàäàåò åþ),
à åñëè G � ãðóïïà, òî I(�) è E(�) � ïîäãðóïïû (âîîáùå ãîâîðÿ, íå
íîðìàëüíûå) ãðóïïû G.
160 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð
5. 1) Åñëè h � îáðàòèì è h 2 AP (�), òî h�1 2 AP (�).
Åñëè æå G � ãðóïïà, òî
AP (�) = (AP (�))�1 (çíà÷èò, è S(�) = (S(�))�1):
 ÷àñòíîñòè, åñëè AP (�) � ïîäïîëóãðóïïà, òî AP (�) � ïîäãðóï-
ïà ãðóïïû G.
2) Åñëè h � îáðàòèì è fh; h�1g � A(�), òî h 2 E(�).
Åñëè æå G � ãðóïïà, òî
A(�) \ [A(�)]�1 = E(�):
Ïîýòîìó A(�) ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
A(�) = E(�). Êàê ñëåäñòâèå ïîëó÷àåì: åñëè h 2 A(�) è hn 2 E(�),
òî h 2 E(�).
3) Åñëè G � ãðóïïà è A(�) = AP (�) , òî AP (�) = A(�) = E(�).
6. Åñëè G � ïîëóãðóïïà ñ åäèíèöåé, òî:
1) S(�) �A(�) = S(�); A(�) � S(�) � S(�);
2) AP (�) � A(�) � AP (�); A(�) � AP (�) = AP (�);
3) E(�) � A(�) = A(�) �E(�) = A(�) = I(�) �A(�) = A(�) � I(�);
4) E(�) � S(�) = S(�) � E(�) = S(�) = I(�) � S(�) = S(�) � I(�);
5) E(�) �AP (�) = AP (�) �E(�) = AP (�) = I(�) �AP (�) = AP (�) �I(�):
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Áåç óñëîæíåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà áóäåì ñ÷èòàòü
ìåðû � è � âåðîÿòíîñòíûìè.
1. Ïóñòü h 2 S(�g), òîãäà ñóùåñòâóåò E 2 B òàêîå, ÷òî f�g(E) = 1
è �g(h
�1E) = 0g ()f�(g�1E) = 1 è �(g�1h�1E) = 0g() (ïîëàãàÿ E =
g�1E) f�(E) = 1 è �(g�1h�1gE) = 0g ()fg�1hg 2 S(�)g.
Ïóñòü h 2 AP (�g), òîãäà, ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî äëÿ S(�) è (2.7), èìååì
G = g(AP (�)[S(�))g�1 = gAP (�)g�1 [ gS(�)g�1 = gAP (�)g�1 [S(�g), è ò.ê.
gAP (�)g�1 \ S(�g) = ;, òî, ñíîâà ó÷èòûâàÿ (2.7), ïîëó÷àåì, ÷òî AP (�g) =
gAP (�)g�1.
Îñòàëüíîå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
2.3.4. Î÷åâèäíî.
5. 1) Ïóñòü h 2 AP (�); òîãäà � = �1 + �2; �h = �1 + �2; ãäå �1 � �1 6= 0:
Ïîýòîìó �h�1 = (�1)h�1 + (�2)h�1 � (�1)h�1 � (�1)h�1 � (�h)h�1 = �. Çíà÷èò,
�h�1 6? � è h�1 2 AP (�):
2) Åñëè h; h�1 2 A(�) è E 2 B òàêîå, ÷òî �h(E) = �(h�1E) = 0, òî, ïîëàãàÿ
E = h�1E, èìååì 0 = �h�1(E) = �(hE) = �(E), ò.å. h 2 E(�).
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 161
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí
Ïóñòü h 2 A(�) è hk 2 E(�). Åñëè E 2 B òàêîå, ÷òî �h(E) = 0, òî
�
hk(E) = 0. Çíà÷èò, �(E) = 0 è h 2 E(�).
3) Åñëè AP (�) = A(�) è g 2 A(�) òî, ïî 1), g�1 2 A(�): Ñëåäîâàòåëüíî,
ïî 2), g 2 E(�). Ïîýòîìó AP (�) = A(�) = E(�):
6. 1) Ïóñòü g 2 S(�); h 2 A(�) è E 2 B òàêîå, ÷òî �(E) = 1 è �g(E) =
�(g�1E) = 0. Òîãäà �gh(E) = �(h�1(g�1E)) = 0, ò.å. gh 2 S(�) è S(�) �A(�) �
S(�): Òàê êàê e 2 A(�), òî âåðíî è îáðàòíîå âêëþ÷åíèå.
Î÷åâèäíî, ÷òî A(�) � S(�) � S(�):
2) Ïóñòü h 2 A(�); g 2 AP (�): Åñëè �g = �1 + �2; ãäå �1 � �; �2 ? �;
òî �hg = (�g)h = (�1)h + (�2)h: À òàê êàê (�1)h � �h � �, òî �hg 6? � è
hg 2 AP (�): Ïîýòîìó A(�) � AP (�) � AP (�). Îáðàòíîå âêëþ÷åíèå î÷åâèäíî.
ßñíî, ÷òî AP (�) � A(�) � AP (�):
3) Î÷åâèäíî.
4) S(�) � S(�) � I(�) � S(�) � E(�) � S(�) � A(�) = S(�).
Ïóñòü h 2 E(�); g 2 S(�) è E 2 B òàêîå, ÷òî �g(E) = 0 è �(E) = 1.
Ïîëîæèì E = E \ h�1E \ h�2E \ : : : . Òîãäà �(E) = 1 è �g(E) = 0. Çíà÷èò,
�hg(E) = (�g)h(E) = 0 è hg 2 S(�).
Åñëè G � ãðóïïà, òî äîêàçàòåëüñòâî óïðîùàåòñÿ:
S(�) � I(�) � S(�) � E(�) � S(�) � (A(�))�1 � (S(�))�1 = (S(�) � A(�))�1 =
(S(�))�1 = S(�):
5) AP (�) � I(�) �AP (�) � E(�) �AP (�) � A(�) � AP (�) = AP (�):
Ïóñòü h 2 E(�); g 2 AP (�). Òîãäà �gh = (�h)g � �g 6? �, ò.å. gh 2 AP (�).
Åñëè G � ãðóïïà, òî äîêàçàòåëüñòâî óïðîùàåòñÿ:
AP (�) � AP (�) � I(�) � AP (�) � E(�) � (AP (�))�1 � (A(�))�1 = (A(�) �
AP (�))�1 = (AP (�))�1 = AP (�): Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ç à ì å ÷ à í è å 3.1. Âñå óñëîâèÿ òåîðåìû ñóùåñòâåííû. Êðîìå òîãî,
ïóñòü G � ãðóïïà, òîãäà, åñëè G àáåëåâà èëè ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî
ïîðÿäêà, òî â ï. 6 âåðíû è îáðàòíûå âêëþ÷åíèÿ (â ñèëó ï. 5.2). Íî, âîîáùå
ãîâîðÿ, ýòî íå âñåãäà âåðíî, äàæå åñëè X = G � ëîêàëüíî-êîìïàêòíàÿ ãðóïïà
(åñëè äëÿ h 2 A(�), îáðàòíîå âêëþ÷åíèå íå âûïîëíÿåòñÿ, òî, â ñèëó ïï. 5.2 è
6.4, h�1 62 A(�)). Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ïóñòü X = G = F2 � ñâîáîäíàÿ ãðóïïà
ñ îáðàçóþùèìè g è h. Ïóñòü H � ïîëóãðóïïà ñ åäèíèöåé, ïîðîæäåííàÿ g è
h, à ìåðà � ñîñðåäîòî÷åíà íà H. Òîãäà g, h 2 A(�). Òàê êàê hH \ gH = ;, òî
�h ? �g. Ïîýòîìó �g�1h ? � è g�1h 2 S(�).  ÷àñòíîñòè, AP (�) íå ñîäåðæèò
ïîäãðóïïû, ïîðîæäåííîé A(�).
Ï ð è ì å ð 3.1. Ïóñòü � � äèñêðåòíàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà è S = fx :
�(fxg) > 0g. Î÷åâèäíî, ÷òî
AP (�) = fg : g � S \ S 6= ;g; A(�) = fg : g � S � Sg; E(�) = fg : g � S = Sg:
162 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð
 ñëåäóþùåé òåîðåìå óñòàíàâëèâàþòñÿ ñâîéñòâà ìíîæåñòâ èç îïðåäåëå-
íèÿ 2.4, àíàëîãè÷íûå ñôîðìóëèðîâàííûì â òåîðåìå 3.1, åñëè îíè èìåþò
ìåñòî.
Òåîðåìà 3.2. 1. Åñëè B(�j�) åñòü îäíî èç ìíîæåñòâ îïðåäåëåíèÿ 2.4,
è g, h � îáðàòèìû, òî
B(�gj�h) = h �B(�j�) � g�1:
2. Åñëè �1 � �2 è �1 � �2, òî B(�1j�1) = B(�2j�2), ãäå B(:) � îäíî èç
ìíîæåñòâ: E(:), A(:), AP (:) èëè S(:).
 ÷àñòíîñòè, åñëè g 2 E(�j�), ò.å. �g � � è g, h � îáðàòèìû, òî
B(�j�) = g � B(�) = B(�) � g = g � B(�j�) � g è B(�gj�h) = h �B(�) � g�1;
ãäå B(�) åñòü E(�)(A(�), AP (�), S(�)), à B(�j�) = E(�j�) (A(�j�),
AP (�j�), S(�j�)).
3. Åñëè �1 � �2, �1 � �2, òî AP (�1j�1) � AP (�2j�2), S(�1j�1) � S(�2j�2).
4. Åñëè G � ãðóïïà è I(�j�), E(�j�) � íå ïóñòû, òî îíè ÿâëÿþòñÿ ëå-
âûìè (ïðàâûìè) êëàññàìè ñìåæíîñòè I(�) è E(�) ñîîòâåòñòâåííî
(ñîîòâåòñòâåííî I(�) è E(�)).
5. Åñëè G � ãðóïïà, g 2 E(�j�) � îáðàòèì è A(�j�) = AP (�j�), òî
AP (�j�) = A(�j�) = E(�j�) = g �E(�).
6. Åñëè G � ãðóïïà, òî
1) I(�j�) = [I(�j�)]�1; E(�j�) = [E(�j�)]�1; AP (�j�) = [AP (�j�)]�1;
2) A(�j�) \ [A(�j�)]�1 = E(�j�).  ÷àñòíîñòè, åñëè A(�j�) =
[A(�j�)]�1, òî A(�) = E(�) è A(�) = E(�).
7. 1) Åñëè A(�j�) è A(�j�) � íå ïóñòû, òî A(�j�) � A(�j�) � A(�).
2) Åñëè G îáëàäàåò åäèíèöåé è g 2 H(�j�) � îáðàòèì, ãäå H(:)
åñòü èëè I(:), èëè E(:), òî
H(�j�) �B(�j�) = B(�) ; B(�j�) �H(�j�) = B(�) ;
ãäå B(:) åñòü ëèáî E(:), ëèáî A(:), ëèáî S(:), ëèáî AP (:).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Áåç óñëîæíåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà áóäåì ñ÷èòàòü
ìåðû � è � âåðîÿòíîñòíûìè.
1. 2. 3. Î÷åâèäíî.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 163
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí
4. Ïóñòü I(�j�) 6= ; è g 2 I(�j�). Òîãäà, ïî 1, ìû èìååì I(�j�) = I(�j�g) =
gI(�j�) = gI(�) è I(�j�) � ëåâûé êëàññ ñìåæíîñòè ãðóïïû I(�). Àíàëîãè÷íî
è äëÿ I(�).
Åñëè E(�j�) 6= ;, òî, ïî 2, E(�j�) = gE(�), ãäå g 2 E(�j�), îòêóäà ñëåäóåò
òðåáóåìîå. (Äëÿ A(�j�) ïîäîáíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî.)
5. Åñëè g 2 E(�j�), ò.å. �g � �. Òîãäà, ïî 2, AP (�j�) = gAP (�); A(�j�) =
gA(�); E(�j�) = gE(�). Çíà÷èò, AP (�) = A(�) è òðåáóåìîå âûòåêàåò èç ï. 5.3
òåîðåìû 3.1.
6. 1) Î÷åâèäíî.
2) Ïóñòü g ïðèíàäëåæèò ëåâîé ÷àñòè. Ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî �g � �
è �g�1 � �, ò.å. �g � �. Ïîýòîìó g 2 E(�j�).
Îáðàòíî, åñëè g 2 E(�j�), òî g 2 A(�j�) è, ïî 1), g�1 2 E(�j�) � A(�j�)
èëè g 2 [A(�j�)]�1, ÷òî è òðåáîâàëîñü.
Åñëè A(�j�) = [A(�j�)]�1, òî A(�j�) = E(�j�), è åñëè g 2 E(�j�), òî, ïî
ï. 2, ìû èìååì A(�j�) = gA(�) = gE(�), îòêóäà A(�) = E(�). Àíàëîãè÷íî
A(�) = E(�).
7. 1) Åñëè g 2 A(�j�), ò.å. �g � �, è h 2 A(�j�), ò.å. �h � �, òî �hg =
(�g)h � �h � � è hg 2 A(�).
Åñëè g 2 E(�j�) � îáðàòèì, òî âêëþ÷åíèå ñòàíåò ðàâåíñòâîì. Ýòî ñëåäóåò
èç ï. 2. è òåîðåìû 3.1: A(�j�) �A(�j�) = A(�)g�1 � gA(�) = A(�) �A(�) = A(�).
2) Ïóñòü g 2 H(�j�), òîãäà, ïî ï. 2 è òåîðåìå 3.1, èìååì
H(�j�) �B(�j�) = H(�j�g) � B(�gj�) = gH(�) � B(�)g�1 = gB(�)g�1
= B(�gj�g) = B(�):
B(�j�) �H(�j�) = B(�)g�1 � gH(�) = B(�):
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òàê æå, êàê è â ïðåäûäóùåé òåîðåìå, âñå óñëîâèÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ñóùåñò-
âåííû, à âêëþ÷åíèÿ ñòðîãèå.
Íåêîòîðàÿ ñâÿçü ìíîæåñòâ èç îïðåäåëåíèÿ 2.3 äëÿ ðàçëè÷íûõ äåéñòâèé
ãðóïïû G íà ñåáå óñòàíàâëèâàåòñÿ â ñëåäóþùåé òåîðåìå.
Òåîðåìà 3.3. Ïóñòü X = G � òîïîëîãè÷åñêàÿ ãðóïïà.
1. Ïóñòü B åñòü ëèáî AP , ëèáî S, ëèáî A, ëèáî E, ëèáî I. Òîãäà
Br(Lg(�)) = Br(�); Bl(Rg(�)) = Bl(�)
è êàê ñëåäñòâèå
Bt(Lg(�)) = gBl(�)g
�1
\Br(�) ; Bt(Rg(�)) = gBr(�)g
�1
\Bl(�):
164 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð
2. Åñëè g 2 It(�j�), òî It(�j�) = gIl(�) \ Ir(�)g
�1 = g�1Ir(�) \ Il(�)g:
Åñëè g 2 Et(�j�), òî Et(�j�) = gEl(�) \Er(�)g
�1 = g�1Er(�) \El(�)g:
3. 1) It(�j�) = [It(�j�)]
�1; Et(�j�) = [Et(�j�)]
�1; APt(�j�) = [APt(�j�)]
�1.
2) At(�j�) \ [At(�j�)]
�1 = Et(�j�) è At(�) � ïîëóãðóïïà.
4. 1) Åñëè At(�j�) è At(�j�) � íå ïóñòû, òî At(�j�) �At(�j�) � Al(�) \
A�1
r
(�):
2) Åñëè Ht(:) åñòü èëè It(:), èëè Et(:) è Ht(�j�) � íå ïóñòî, òî
Ht(�j�)�Bt(�j�) � Bl(�)\B
�1
r
(�); Bt(�j�)�Ht(�j�) � Bl(�)\B
�1
r
(�):
5. Br(��) = Bl(�).  ÷àñòíîñòè, åñëè � ñèììåòðè÷íà, òî At(�) = El(�) =
Er(�).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. ×åðåç � áóäåì îáîçíà÷àòü îäèí èç ñèìâîëîâ
?; 6?;� è ò.ä. Èìååì
q 2 Br(Lg(�)), RqLg(�):Lg(�), Rq(�):�, q 2 Br(�):
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ âòîðîå ðàâåíñòâî. Ïî òåîðåìå 3.1, èìååì
Bt(Lg(�)) = Br(Lg(�)) \Bl(Lg(�)) = gBl(�)g
�1
\Br(�):
2. Ïî òåîðåìå 3.2 (4), èìååì
It(�j�) = Il(�j�) \ I
�1
r (�j�) = gIl(�) \ Ir(�)g
�1 = Il(�)g \ g
�1Ir(�):
3. 1) g 2 I�1
t
(�j�) , fg�1 2 Il(�j�), g 2 Ir(�j�)g , fg 2 Il(�j�), g
�1 2
Ir(�j�)g , g 2 It(�j�).
2) g 2 At(�j�) \ A�1
t
(�j�) , fg 2 Al(�j�) \ A�1
l
(�j�), g�1 2 Ar(�j�) \
A�1r (�j�)g , fg 2 El(�j�), g 2 E�1
r (�j�)g , g 2 Et(�j�).
4. 1) Ïóñòü g 2 At(�j�) è h 2 At(�j�). Òîãäà g 2 Al(�j�), h 2 Al(�j�).
Ïîýòîìó g � h 2 Al(�). Àíàëîãè÷íî, g
�1 2 Ar(�j�), h
�1 2 Ar(�j�). Ïîýòîìó
h�1g�1 2 Ar(�) èëè gh 2 A�1r (�).
2) Ïóñòü h 2 Bt(�j�) è g 2 Ht(�j�). Òîãäà g 2 Hl(�j�), h 2 Bl(�j�).
Ïîýòîìó g � h 2 Bl(�). Àíàëîãè÷íî, g
�1 2 Hr(�j�), h
�1 2 Br(�j�). Ïîýòîìó
h�1g�1 2 Br(�j�) �Hr(�j�) = Br(�) èëè gh 2 B�1
r
(�). Êðîìå òîãî, hg 2 Bl(�)
è g�1h�1 2 Hr(�j�) � Br(�j�) = Br(�). Ïîýòîìó hg 2 B�1
r
(�).
5. Î÷åâèäíî (ñì. è ñð. [8]). Òåîðåìà äîêàçàíà.
Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ I0(�) ñîäåðæàòñÿ â ñëåäóþùåì ïðåäëîæå-
íèè.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 165
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí
Ïðåäëîæåíèå 3.1.
1. I0(�) ÿâëÿåòñÿ ïîä(ïîëó)ãðóïïîé (ïîëó)ãðóïïû G.
2. Åñëè G � ãðóïïà, òî I0(�) � íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â E(�).
3. Åñëè G ìåòðèçóåìà, òî I0(�) çàìêíóòà.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìåðà � âåðîÿòíîñòíàÿ.
1) Ïóñòü g1; g2 2 I0(�). Òîãäà, åñëè x 2 Z(g1) \ Z(g2), òî (g1g2) � x = x.
Ïîýòîìó �(Z(g1g2)) � �(Z(g1) \ Z(g2)) = 1. Çíà÷èò, g1g2 2 I0(�).
Åñëè g � îáðàòèì, òî Z(g) = Z(g�1). Ïîýòîìó g�1 2 I0(�).
2) Ïóñòü g 2 E(�); h 2 I0(�). Ïîêàæåì, ÷òî ghg
�1 2 I0(�). Òàê êàê
(ghg�1) � x = x, hg�1 � x = g�1 � x, g�1 � x 2 Z(h), x 2 gZ(h);
òî Z(ghg�1) = gZ(h). Íî g 2 E(�), ïîýòîìó �(X n gZ(h)) = �g�1(X n Z(h)) =
�(X n Z(h)) = 0:
3) Ïóñòü gn ! g0. Òàê êàê x = gn �x! g0 �x, òî \nZ(gn) � Z(g0). Ïîýòîìó
�(Z(g0)) = 1 è g0 2 I0(�).
 ñëåäóþùåì ïðåäëîæåíèè ìû êîñíåìñÿ ñâîéñòâ ïëîòíîñòåé ïðè äîïóñòè-
ìûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ. Ýòè ðåçóëüòàòû îáîáùàþò àíàëîãè÷íûå óòâåðæäåíèÿ
â ñëó÷àå ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà, ðàññìîòðåííûå â [3, ãë. IV, � 19], (ò.ê.
äîêàçàòåëüñòâî íå èçìåíÿåòñÿ, òî îíî îïóùåíî). Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè ïî-
ëîæèì
��(x; g) �
d�g
d�
(x); H(x) �
d�
d�
(x):
Ïðåäëîæåíèå 3.2. Ïóñòü g 2 G � îáðàòèì. Òîãäà:
1) åñëè g; h 2 A(�), òî: ��(x; gh) = ��(x; g) � ��(g
�1 � x; h)(mod�);
2) åñëè g 2 E(�), òî: ��(x; g
�1) = 1
��(g � x; g)
(mod�);
3) åñëè �� � è g 2 A(�), òî: ��(x; g) =
H(g�1 � x)
H(x)
��(x; g) (mod�).
4. Ðàçëîæåíèå òèïà ðàçëîæåíèÿ Ëåáåãà
Îáîçíà÷èì ÷åðåç M�
� è M?
� ìíîæåñòâà
M�
�
� f� 2M(X) : ��d �g M?
�
� f� 2M(X) : � ?d �g:
Ïðåäëîæåíèå 4.1. M�
� è M?
� ÿâëÿþòñÿ L-ïîäïðîñòðàíñòâàìè è M�
� \
M?
� = f0g:
166 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü j�1j �
P
i
�ij�jgi ; j�2j �
P
j
�j j�jhj , òîãäà
ja�1 + b�2j � jajj�1j+ jbjj�2j �
X
i
�ij�jgi +
X
j
�j j�jhj :
Çíà÷èò, M�
�
� ïîäïðîñòðàíñòâî. Ïóñòü �i ! � è �i �d �. Åñëè �i �P
k
ai
k
j�j
g
i
k
(áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî idX 2 fgi
k
g ïðè
ëþáîì i) è L = ftmg � ïîëóãðóïïà ñ åäèíèöåé â G�, ïîðîæäåííàÿ ýëåìåíòàìè
gi
k
, òîãäà
j�ij �
X
i
X
k
�ia
i
k
j�j
g
i
k
�
X
i
�ij�jti :
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî j�j �
P
i
�ij�jti , ò.å. � �d �. Ñëåäîâàòåëüíî, M�
�
çàìêíóòî.
Ïóñòü �i ?d �, i = 1; 2; ò.å. j�ji ? j�jg, 8g 2 G�, i = 1; 2. Òîãäà î÷åâèäíî,
÷òî ja1�1+a2�2j ? j�jg, 8g 2 G�. Çíà÷èò,M?
�
� ïîäïðîñòðàíñòâî. Åñëè �i ! �
è j�j 6? j�jg ïðè íåêîòîðîì g 2 G�, òîãäà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî i0, j�ij 6? j�jg,
÷òî íåâîçìîæíî. Çíà÷èò, M?
� çàìêíóòî.
Î÷åâèäíî, ÷òî M�
� è M?
� ÿâëÿþòñÿ L-ïîäïðîñòðàíñòâàìè è M�
� \M?
� =
f0g: Ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùåé òåîðåìû, êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
êàê ðàçëîæåíèå Ëåáåãà îòíîñèòåëüíî îòíîøåíèÿ d-ýêâèâàëåíòíîñòè, íàì ïî-
íàäîáÿòñÿ ñëåäóþùèå îïåðàòîðû: åñëè � è � � äâå ìåðû è � = �1 + �2, ãäå
�1 � �, à �2 ? � � ðàçëîæåíèå Ëåáåãà ìåðû � îòíîñèòåëüíî ìåðû �, òî
ïîëîæèì
T�(�) = �1:
Åñëè g 2 G ôèêñèðîâàíî, òî îïåðàòîð T�(�g) îáîçíà÷èì ÷åðåç T�;g(�).
Òåîðåìà 4.1. Ëþáóþ ìåðó � ìîæíî åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèòü
â âèäå
� = �1 + �2 ; ãäå �1 ? �2; �1 �d �; �2 ?d �; (4.1)
ò.å. M(X) ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó
M(X) = M�
�
�M?
�
:
Åñëè G � ãðóïïà, òî ëþáûå ìåðû � è � ìîæíî ïðåäñòàâèòü åäèíñòâåí-
íûì îáðàçîì â âèäå
� = �1 + �2 � = �1 + �2;
ãäå �1 �d �1, a îñòàëüíûå ïàðû ìåð �1 è �2, �1 è �2, �1 è �2, �1 è �2, �2 è
�2 � âçàèìíî d-ñèíãóëÿðíû.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 167
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü a = supfkT
(�)k, ãäå
=
P
1
2m
j�jgm ,
gm 2 AP �(j�jjj�j)g. Òàê êàê ìåðà � êîíå÷íà, òî a < 1 è äîñòèãàåòñÿ íà
íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fgmg. Îáîçíà÷èì ÷åðåç �1 = T
(�) è �2 =
�� �1. Î÷åâèäíî, ÷òî � = �1 + �2 � èñêîìîå ðàçëîæåíèå.
Ïðåäïîëîæèì ÷òîG� ãðóïïà. Ïðåäñòàâèì � â âèäå � = �1+�2, ãäå �2 ?d �
è �1 �d �. Ïîêàæåì, ÷òî íàéäåííûå ðàçëîæåíèÿ èñêîìûå. Èç ïîñòðîåíèÿ,
î÷åâèäíî, ñëåäóåò, ÷òî íóæíî ïîêàçàòü òîëüêî d-ýêâèâàëåíòíîñòü ìåð �1 è
�1, åñëè îíè îòëè÷íû îò íóëÿ. Íî �1 �
P
i
�ij�1jgi +
P
i
�ij�2jgi . Òàê êàê
�2 ?d �1, òî �1 �
P
i
�ij�1jgi . Çíà÷èò, �1 �d �1. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü,
÷òî �1 �d �1. Ïîýòîìó �1 �d �1. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 4.1. Ïóñòü � � t-ýðãîäè÷íà è � � ïðîèçâîëüíàÿ ìåðà. Òîãäà
ëèáî ��d �, ëèáî � ?d �.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü � = �1 + �2 � ðàçëîæåíèå (4.1). Åñëè
�1 6= 0, òî, ïî îïðåäåëåíèþ t-ýðãîäè÷íîñòè, �2 �d �1 �d �, ò.å. �2 = 0.
Ñëåäñòâèå 4.2. Ïóñòü A 2 F(�) è B 2 B, òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå
�jA = �1 + �2 ; ãäå �1 �d �jB � �� �2 è �2 ?d (�� �2):
Åñëè G � ãðóïïà, òî ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå ðàçëîæåíèÿ
�jA = �1 + �2 ; �jB = �1 + �2 ;
ãäå �1 �d �1, �1 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ �1, �jB � ���2 ?d �2, �jA � ���2 ?d �2.
Åñëè ê òîìó æå B 2 F(�), òî �1 = �1.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî 1) �2 ?d (�� �2) è
2) �1 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ �1.
Ïåðâàÿ ÷àñòü âûòåêàåò èç óòâåðæäåíèÿ
(i) åñëè E 2 F(�) è �jE = �1 + �2 ; ãäå �1 ?d �2 ; òî �1 ?d (�� �1 )
(ýòî óòâåðæäåíèå íåòðóäíî äîêàçàòü: ò.ê. �1 ?d �2 è �jE ?d � � �jE , òî
�1 ?d (�2 + (�� �jE)) = �� �1).
Äîêàæåì âòîðóþ ÷àñòü. Èìååì �1 � ÷àñòü � è �1 �d �1. Íî �1 � òîæå
÷àñòü �, ïðè÷åì, ïî óòâåðæäåíèþ (i), �1 ?d (���1). Ïîýòîìó �1 ?d (���1).
Çíà÷èò, �1 � �� (�� �1) = �1 è �1 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ �1.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïîëóãðóïïû ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ñëó-
÷àþ ãðóïïû, íåâîçìîæíî.
Ï ð è ì å ð 4.1. Åñëè ïîëîæèòü X = R2 , G = End(X), � � ðàñïðåäåëåíèå
Ãàóññà íà X, g � ïðîåêöèÿ íà îñü Ox è � = �g. Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî 1) ��d �,
168 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð
íî � 6�d �; 2) � = �1, à � = �2. Åñëè ïîëîæèòü
= � + � è ðàññìîòðåòü ïàðó
� è
, òî
1 = �,
2 = � è
1 6?d
2.
Âîñïîëüçóåìñÿ ðàçëîæåíèåì ìåð � è � â òåîðåìå 4.1 äëÿ óñòàíîâëåíèÿ
íåêîòîðûõ ñâîéñòâ ìíîæåñòâ, ââåäåííûõ â îïðåäåëåíèè 2.3 îòíîñèòåëüíî îïå-
ðàöèè ñëîæåíèÿ ìåð.
Ïðåäëîæåíèå 4.2.
1. Ïóñòü �i, �j 2 M+(X), i = 1; N , j = 1;M , ãäå N è M êîíå÷íû èëè
áåñêîíå÷íû. Òîãäà
AP
0@ NX
i=1
�ij
MX
j=1
�j
1A =
N[
i;j=1
AP (�ij�j); (4.2)
â ÷àñòíîñòè, åñëè gi � îáðàòèìû, òî
AP
NX
i=1
�i
!
=
N[
i;j=1
AP (�ij�j) AP
NX
i=1
�gi
!
=
N[
i;j=1
giAP (�)g�1
j
:
Ôîðìóëà (4.2) îñòàåòñÿ âåðíîé äëÿ ëþáûõ âçàèìíî ñèíãóëÿðíûõ ìåð
�i è âçàèìíî ñèíãóëÿðíûõ ìåð �j.
2. Åñëè G � ãðóïïà, �, � 2M+(X) è � = �1+�2, � = �1+�2 � ðàçëîæåíèå
ìåð � è � â òåîðåìå 4.1, òî:
1) A(�+ �) = A(�2) \A(�2) \A(�1 + �1);
2) E(�+ �) = E(�2) \E(�2) \E(�1 + �1);
3) I(�+ �) = I(�2) \ I(�2) \ I(�1 + �1).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç � =
P
N
i=1 �i, � =
P
M
j=1 �j .
Òîãäà g 2 AP (�j�) , �g 6? � , (�i)g 6? �j ïðè íåêîòîðûõ i è j , g 2S
N
i;j=1AP (�ij�j).
×àñòíûé ñëó÷àé âûòåêàåò èç òåîðåìû 3.2 .
2. Âñå ðàâåíñòâà 1)�3), î÷åâèäíî, âûòåêàþò èç îïðåäåëåíèé �i è �i,
i = 1; 2.
Ñëåäñòâèå 4.3. Åñëè G � ãðóïïà è AP (�j�) 6= ;, òî ñóùåñòâóåò ñ÷åò-
íîå ïîäìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ gi 2 AP (�j�) òàêèõ, ÷òî
AP (�j�) �
[
i
giAP (�):
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 169
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê ìåðà � � êîíå÷íà, òî íà íåêîòîðîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè gi 2 AP (�j�) àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ÷àñòü �1 ìåðû �
îòíîñèòåëüíî
P
i
1
2n
�gi îáëàäàåò ñâîéñòâîì AP (�j� � �1) = ;: Ïîýòîìó
AP (�j�) = AP (�j�1) � AP (�j
X
i
1
2n
�gi) =
[
i
giAP (�):
Óêàæåì ðàçëîæåíèå ìåðû � îòíîñèòåëüíî ìåðû � ïðè óñëîâèè
÷òî A(�j�) 6= ;. (Îòìåòèì, ÷òî åñëè E(�j�) 6= ; èëè I(�j�) 6= ;, òî ïîäîáíûå
ðàçëîæåíèÿ, î÷åâèäíî, òðèâèàëüíû.)
Òåîðåìà 4.2. Åñëè A(�j�) 6= ;, òî ìåðó � ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
� = �1 + �2; ãäå �1 ? �2; A(�j�) = A(�j�1); A(�j�2) = ;; (i)
(íî AP (�j�2), âîîáùå ãîâîðÿ, íå ïóñòî) è ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
gm 2 A(�j�) òàêàÿ, ÷òî
�1 = T
(�); ãäå
=
X 1
2m
j�gm j (â ÷àñòíîñòè, �1 �
):
Ýòî ðàçëîæåíèå ìèíèìàëüíî â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè � = �11 +�12 � ðàç-
ëîæåíèå âèäà (i), òî �1 = T�1
(�11 ) (ò.å. �
1
1 = �1+�, ãäå � âçàèìíî ñèíãóëÿðíî
ñ �1 è ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèåì ìåðû � íà íåêîòîðîå ìíîæåñòâî).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì ÷åðåç a = supfkT
(�)k, ãäå
=P
1
2m
j�gm j, gm 2 A(�j�)g. Òàê êàê ìåðà � êîíå÷íà, òî a êîíå÷íî è äîñòèãàåòñÿ
íà íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fgmg. Îáîçíà÷èì ÷åðåç �1 = T
(�), �2 =
� � �1 è ïîêàæåì, ÷òî îíè èñêîìûå.
Èç ïîñòðîåíèÿ
ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî A(�j�2) = ;, è åñëè g 2 A(�j�), òî
�g �
, ò.å. g 2 A(�j
). Òàê êàê �gm � �, òî �gm � �1. Ïîýòîìó
� �1 è
A(�j
) = A(�j�1), ò.å. A(�j�) � A(�j�1). Îáðàòíîå âêëþ÷åíèå î÷åâèäíî.
Ïîêàæåì ìèíèìàëüíîñòü. Åñëè � = �11 +�12 � åùå îäíî òàêîå ðàçëîæåíèå,
òî îáÿçàòåëüíî �gm � �11 . Çíà÷èò, �1 � �11 è �1 � T�1
(�11) = 0.
Ñëåäñòâèå 4.4. Åñëè A(�j�) = AP (�j�), òî � = �1+�2, ãäå �1 �
P
1
2m
j�gm j,
gm 2 A(�j�), AP (�j�) = A(�j�1) è AP (�j�2) = ;.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Åñëè g 2 AP (�j�2), ò.å. �g 6? �2, òî g 2 AP (�j�) =
A(�j�). Ïîýòîìó �g � �1. Çíà÷èò, �2 6? �1. Ïðîòèâîðå÷èå.
Åñëè G � ãðóïïà, òî â ñëó÷àå, êîãäà A(�j�) 6= ; è A(�j�) 6= ;, âñå ïàðû
ìåð èç �, �1, �, �1 ÿâëÿþòñÿ d-ýêâèâàëåíòíûìè, íî âîçìîæíû ñëó÷àè, êîãäà
(�1)g íå ýêâèâàëåíòíà �1 äëÿ ëþáîãî g 2 G.
170 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð
5. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð íà ïðÿìûõ ïðîèçâåäåíèÿõ
è ïðîåêòèâíûõ ïðåäåëàõ
 ýòîì ðàçäåëå ìû óñòàíîâèì ñâÿçü ìíîæåñòâ B(�j�) íà ïðÿìûõ ïðîèçâå-
äåíèÿõ è ïðîåêòèâíûõ ïðåäåëàõ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ìíîæåñòâàìè ïðîåêöèé
ìåð.
 êà÷åñòâå î÷åâèäíîãî ñëåäñòâèÿ (2.4) ïîëó÷àåì:
Ïðåäëîæåíèå 5.1. Ïóñòü (Gi;Xi), i = 1; : : : ; n � (ïîëó)ãðóïïû ïðåîáðà-
çîâàíèé, g = (g1; : : : ; gn) 2 G, � = �1 � � � � � �n, � = �1 � � � � � �n è B(�j�) �
îäíî èç ìíîæåñòâ I(�j�), E(�j�), A(�j�), AP (�j�). Òîãäà:
1) g 2 B(�j�), gi 2 B(�ij�i), i = 1; : : : ; n;
2) g 2 S(�j�), 9i0 : gi0 2 S(�i0 j�i0).
Äëÿ áåñêîíå÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ îòâåò íå ñòîëü ïðîñò è èñïîëüçóåò àëü-
òåðíàòèâó Êàêóòàíè [6, 1].
Òåîðåìà 5.1. Ïóñòü � = �1 � �2 � : : : , � = �1 � �2 � : : : � áåñêîíå÷íûå
ïðîèçâåäåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ìåð è g = (g1; g2; : : : ) 2 G0. Òîãäà:
1. g 2 I(�j�), gi 2 I(�ij�i), i = 1; 2; : : : ;
2. g 2 B(�j�), ãäå B(�j�) åñòü îäíî èç ìíîæåñòâ E(�j�), A(�j�), AP (�j�)
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) gi 2 B(�ij�i);
2) ïðîèçâåäåíèå
Q
1
i=1
R
Xi
�
d(�i)gi
d�i
�
�
d�i ñõîäèòñÿ ïðè íåêîòîðîì � 2
(0; 1);
3. g 2 S(�j�) åñëè è òîëüêî åñëè íàðóøàåòñÿ îäíî èç óñëîâèé ï. 2 äëÿ
ìíîæåñòâà AP (�j�).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Åñëè E = X1�� � ��Xk�1�Ek�Xk+1� : : : ; Ek 2
Bk, òî �g(E) = (�k)gk(Ek) è �(E) = �k(Ek). Îòñþäà âûòåêàåò ïåðâàÿ ÷àñòü
òåîðåìû è íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ 1) âî âòîðîé ÷àñòè.
Åñëè g 2 E(�j�) èëè g 2 A(�j�), òî íåîáõîäèìîñòü è äîñòàòî÷íîñòü óñëî-
âèé 1) è 2) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîäåðæàíèå àëüòåðíàòèâû Êàêóòàíè [6, 1].
Ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé ñ÷åòíîãî ïðîåêòèâíîãî ïðåäåëà. Ïðÿìûì ñëåä-
ñòâèåì òåîðåìû èç [1] ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü (G;X) � ïðîåêòèâíûé ïðåäåë (Gi;Xi), i 2 N. Ïóñòü
� è � � âåðîÿòíîñòíûå ìåðû íà X, g = (g1; g2; : : : ) 2 G, �i è �i � ïðîåêöèè
� è � íà Xi. Òîãäà:
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 171
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí
1. g 2 AP (�j�) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå
óñëîâèÿ:
1) gi 2 AP (�ij�i);
2) ïðè íåêîòîðîì � 2 (0; 1) ïðåäåë limi!1
R
Xi
�
d(�i)gi
d�i
�
�
d�i > 0:
2. g 2 A(�j�) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëî-
âèÿ:
1) gi 2 A(�ij�i);
2)
R
Xi
�
d(�i)gi
d�i
�
�
d�i ! 1 ðàâíîìåðíî ïðè �! 1.
3. g 2 E(�j�) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëî-
âèÿ:
1) gi 2 E(�ij�i);
2)
R
Xi
�
d(�i)gi
d�i
�
�
d�i ! 1 ðàâíîìåðíî ïðè �! 1 è ïðè �! 0.
4. g 2 I(�j�) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà gi 2 I(�ij�i).
5. g 2 S(�j�), åñëè è òîëüêî åñëè íàðóøàåòñÿ îäíî èç óñëîâèé ïóíêòà 1.
6. Îòîáðàæåíèÿ ãðóïï ïðåîáðàçîâàíèé
 ýòîì ðàçäåëå (G;X) � òîïîëîãè÷åñêàÿ ïîëóãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé,
à âñå ìåðû ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè áîðåëåâñêèìè. Â äàííîì ðàçäåëå íàì ïî-
íàäîáèòñÿ áîëåå ñëàáîå, ÷åì L-ïîäïðîñòðàíñòâî, ïîíÿòèå.
Îïðåäåëåíèå 6.1. Ïóñòü N � M(X). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî N îáëàäà-
åò L-ñâîéñòâîì, åñëè äëÿ ëþáûõ � 2 N è � 2 M(X) òàêèõ, ÷òî � � �,
ñóùåñòâóåò
2 N òàêîå, ÷òî
� �.
Îïðåäåëåíèå 6.2. Ìíîæåñòâî N � M(X) íàçîâåì G-èíâàðèàíòíûì,
åñëè �g 2 N äëÿ ëþáûõ g 2 G è � 2 N .
Îïðåäåëåíèå 6.3. Ïóñòü N �M(X). Ëîêàëüíûì íîñèòåëåì N íàçîâåì
ìíîæåñòâî òåõ x 2 X, ÷òî äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè U òî÷êè x, ñóùåñòâó-
åò ìåðà � 2 N , êîòîðàÿ ñîñðåäîòî÷åíà â U (ò.å. j�j(X nU) = 0). Ëîêàëüíûé
íîñèòåëü N îáîçíà÷èì ÷åðåç lsupp(N).
Î÷åâèäíî, ÷òî lsupp(N) çàìêíóò.
172 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð
Ïðåäëîæåíèå 6.1. Ïóñòü N � M(X) îáëàäàåò L-ñâîéñòâîì è (p; �) �
ìîðôèçì (ïîëó)ãðóïï ïðåîáðàçîâàíèé (G;X) è (H;Y ). Òîãäà:
1. �(N) îáëàäàåò L-ñâîéñòâîì.
2. [�2Nsupp(�) � lsupp(N).
3. Cl(�(lsupp(N))) = lsupp(�(N)).
4. Åñëè N ÿâëÿåòñÿ G-èíâàðèàíòíûì, òî lsupp(N) òàêæå G-èíâàðèàí-
òåí.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. Ïóñòü
� �(�). Òîãäà äëÿ íåêîòîðîé
ôóíêöèè f 2 L1(�(�)) è òåîðåìå î çàìåíå ïåðåìåííûõ èìååì
(E0) =
Z
E0
f(y)d�(�)(y) =
Z
��1(E0)
f(�(x))d�(x)
è f(�(x)) 2 L1(�). Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò � 2 N òàêîå, ÷òî � � f(�)�. Òîãäà
�(�)�
.  ÷àñòíîñòè, åñëè N ÿâëÿåòñÿ L-ïðîñòðàíñòâîì, òî è �(N) ÿâëÿåòñÿ
L-ïðîñòðàíñòâîì.
2. Ïóñòü x 2 supp(�) è U � îêðåñòíîñòü x. Òîãäà �jU 6= 0. Çíà÷èò, ñó-
ùåñòâóåò
2 N òàêîå, ÷òî
� �jU è
ñîñðåäîòî÷åíà â U . Ñëåäîâàòåëüíî,
x 2 lsupp(N).
3. Ïóñòü y0 2 �(lsupp(N)). Òîãäà äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè U(y0) ñóùåñò-
âóåò � 2 N òàêàÿ, ÷òî � ñîñðåäîòî÷åíà â ��1(U(y0)). Çíà÷èò, �(�) ñîñðåäî-
òî÷åíà â U(y0) è y0 2 lsupp(�(N)). Òàê êàê ëîêàëüíûé íîñèòåëü çàìêíóò, òî
Cl(�(lsupp(N))) � lsupp(�(N)).
Îáðàòíî. Ïóñòü y0 2 lsupp(�(N)). Òîãäà äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè U(y0)
ñóùåñòâóåò ìåðà � = �(�) òàêàÿ, ÷òî supp(�) � U(y0). Èç ïóíêòà 2 ñëåäóåò,
÷òî ñóùåñòâóåò x 2 lsupp(N) \ ��1(U(y0)). Ñëåäîâàòåëüíî, �(x) 2 U(y0) è
y0 2 Cl(�(lsupp(N))).
4. Ïóñòü x 2 lsupp(N), g 2 G è V � îêðåñòíîñòü òî÷êè g � x. Ïóñòü U �
òàêàÿ îêðåñòíîñòü x, ÷òî g � U � V è ìåðà � 2 N ñîñðåäîòî÷åíà â U . Òîãäà
�g 2 N è ñîñðåäîòî÷åíà â g � U 2 V . Çíà÷èò, g � x 2 lsupp(N). Ïðåäëîæåíèå
äîêàçàíî.
Ç à ì å ÷ à í è å 6.1. Îòìåòèì, ÷òî âêëþ÷åíèå â ï. 2, âîîáùå ãîâî-
ðÿ, ñòðîãîå: äëÿ X = G = R è N = fÆrgr2Q î÷åâèäíî, ÷òî lsupp(N) = R,
à [�2Nsupp(�) = Q .
Êðîìå òîãî, èç âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà â 2 íå ñëåäóåò, ÷òî N îáëàäàåò
L-ñâîéñòâîì. Ïóñòü N = L1(R) + f��g, � 2 R, � âçàèìíî ñèíãóëÿðíà ñ mR
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 173
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí
è ��2 � mR. Òîãäà N � ïîäàëãåáðà â M(R), äëÿ êîòîðîé lsupp(N) = R =
[�2Nsupp(�). Îäíàêî N , î÷åâèäíî, íå îáëàäàåò L-ñâîéñòâîì.
 ñëåäóþùåé òåîðåìå ìû ñâÿæåì óñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè ñ âêëþ÷åíèÿìè
ìíîæåñòâ B(�j�).
Òåîðåìà 6.1. Ïóñòü (p; �) � ìîðôèçì èç (G;X) â (H;Y ) è N � M(X)
îáëàäàåò L-ñâîéñòâîì. Òîãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû.
1. �(g � x) = p(g) � �(x) ; 8x 2 lsupp(N); 8g 2 G.
2. �(�g) = (�(�))p(g) ; 8� 2 N; 8g 2 G.
Ïðè ýòîì âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
3. p(B(�j�)) � B(�(�)j�(�)) ; 8�; � 2 N ,
ãäå B(�j�) � îäíî èç ìíîæåñòâ I(:); E(:); A(:) èëè AP (:).
4. p�1(S(�(�)j�(�))) � S(�j�); 8�; � 2 N .
5. Ñïðàâåäëèâû âñå âêëþ÷åíèÿ ïï. 3 è 4.  ÷àñòíîñòè, p(B(�)) � B(�(�))
è p�1(S(�(�))) � S(�).
Êðîìå òîãî, åñëè N ÿâëÿåòñÿ G-èíâàðèàíòíûì, òî âñå óòâåðæäåíèÿ
1�5 ýêâèâàëåíòíû.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1.) 2. Ïóñòü E 2 BY . Òàê êàê �(�g)(E) =
�(g�1(��1(E))) è (�(�))p(g)(E) = �(��1(p(g)�1(E))), òî, ñîãëàñíî ïðåäëîæå-
íèþ 6.1 (2), äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ g�1(��1(E))\ lsupp(N)
è ��1(p(g)�1(E)) \ lsupp(N), ÷òî âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé âûêëàäêè:
z 2 g�1(��1(E)) \ lsupp(N), �(g � z) 2 E è z 2 lsupp(N)
, p(g) � �(z) 2 E è z 2 lsupp(N), z 2 ��1(p(g)�1(E)) \ lsupp(N):
Ïóñòü ñóùåñòâóþò x0 2 lsupp(N) è g0 2 G, äëÿ êîòîðûõ �(g0 � U) \ p(g0) �
�(U) = ; äëÿ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U òî÷êè x0. Ïóñòü � 2 N ñîñðåäîòî÷åíà
â U . Òîãäà:
2.) 1. Ìåðà �(�g0) ñîñðåäîòî÷åíà â �(g0 �U), à (�(�))p(g0) � â p(g0) � �(U).
Ïîýòîìó �(�g0) è (�(�))p(g0) � âçàèìíî ñèíãóëÿðíû. Ïðîòèâîðå÷èå.
3.) 1. Åñëè N � G-èíâàðèàíòíî, òî ïîëîæèì � = �g0 2 N . Òîãäà g0 2
I(�j�). Íî �(�) = �(�g0) âçàèìíî ñèíãóëÿðíà ñ (�(�))p(g0). Ïðîòèâîðå÷èå.
2.) 5. Âûòåêàåò èç ñîõðàíåíèÿ îòíîøåíèé 6?;?;� è � ïðè îòîáðàæåíè-
ÿõ. Íàïðèìåð, ïóñòü g 2 AP (�j�) è �g 6? �. Òîãäà (�(�))p(g) = �(�g) 6? �(�).
Çíà÷èò, p(g) 2 AP (�(�)j�(�)). Âêëþ÷åíèå ï. 4 ñëåäóåò èç âêëþ÷åíèé ï. 3 è
ðàâåíñòâà S(�j�) = G nAP (�j�). Òåîðåìà äîêàçàíà.
174 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð
Ç à ì å ÷ à í è å 6.2. Îòìåòèì, ÷òî èç òðåáîâàíèé p(B(�)) � B(�(�)) íå
âûòåêàåò óñëîâèÿ ñîãëàñîâàííîñòè. Íàïðèìåð, ïóñòü X = Y = Z, G = AutZ,
H = feg, � = id è p âûðîæäåíî. Òîãäà p è � íåñîãëàñîâàíû, îäíàêî p(B(�)) =
H = B(�(�)).
ßñíî, ÷òî îáðàòíûå âêëþ÷åíèÿ â òåîðåìå 6.1, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíû.
Ïðåäëîæåíèå 6.2. Ïóñòü N ÿâëÿåòñÿ L-ïðîñòðàíñòâîì è h 2 H np(G).
Òîãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû.
1. h 62 B(�(�)j�(�)) ; 8�; � 2 N ,
ãäå B îáîçíà÷àåò îäíî èç ìíîæåñòâ AP (:), A(:), E(:), I(:).
2. h(�(N)) \ �(N) = ;.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1.) 2. Åñëè
2 h(�(N))\ �(N), òî ñóùåñòâóþò
�; � 2 N òàêèå, ÷òî
= (�(�))h = �(�), ò.å. h 2 I(�(�)j�(�)). Ïðîòèâîðå÷èå.
2.) 1. Ïóñòü �1, �2 2 N òàêèå, ÷òî h 2 AP (�(�1)j�(�2)). Ïóñòü
i � òàêàÿ
÷àñòü �(�i), ÷òî (
1)h �
2. Òàê êàê �(N) òàêæå ÿâëÿåòñÿ L-ïðîñòðàíñòâîì,
òî
i; (
1)h 2 �(N). Ïîëîæèì �1, �2 2 N òàêèå, ÷òî �(�1) =
1, �(�2) = (
1)h,
òîãäà h 2 I(�(�1)j�(�2)).
Åñëè (�(�))h = �(�) =
äëÿ �; � 2 N , òî
2 h(�(N)) \ �(N). Äàëüøå
ÿñíî.
Ñëåäñòâèå 6.1. Åñëè N = M(X) (ò.å. N äîñòàòî÷íî áîëüøîå), òî óñëî-
âèÿ 1 è 2 ýêâèâàëåíòíû òîìó, ÷òî h(�(X)) \ �(X) = ;.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ ìåð Æx èìååì h(Æx) = (Æx)h = Æh�x 62 �(N)
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà h � x 62 �(X), ò.å. h(�(X)) \ �(X) = ;:
Ç à ì å ÷ à í è å 6.3. Îòìåòèì, ÷òî èç èíúåêòèâíîñòè � è óñëîâèÿ ñîãëàñî-
âàííîñòè âûòåêàåò èíúåêòèâíîñòü p. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü g 6= eG òàêîé, ÷òî
p(g) = eH . Âûáåðåì x 2 X òàêîé, ÷òî g �x 6= x. Òîãäà �(g �x) = p(g)��(x) = �(x)
è � íå èíúåêòèâíî.
Ïðèìåíèì òåîðåìó 6.1 äëÿ óñòàíîâëåíèÿ íåêîòîðûõ ñâîéñòâ ìíîæåñòâà
äîïóñòèìûõ ñäâèãîâ ïðè ñâåðòêå. Ïðåäâàðèòåëüíî äîêàæåì ëåììó.
Ëåììà 6.1. Ïóñòü � � èçìåðèìîå îòîáðàæåíèå èç G � X â X. Òîãäà
ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû.
1. �(g; x) = g � x; 8(g; x) 2 G�X:
2. �(�� �) = � � �; 8� 2M(G); 8� 2M(X):
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 175
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. ) 2. Èç òåîðåìû Ôóáèíè ñëåäóåò
�(�� �)(E) =
Z
G
�
�
prX
�
��1(E) \ fgg �X
��
d�(g):
Òàê êàê prX
�
��1(E) \ fgg �X
�
= g�1E, òî
�(� � �)(E) =
Z
G
�(g�1E)d�(g) = (� � �)(E):
2. ) 1. Ïóñòü � = Æg; � = Æx: Òîãäà
(Æg � Æx)(E) =
Z
G
Æx(h
�1E)dÆg(h) = Æx(g
�1E);
ò.å. Æg � Æx = Æg�x. Ïîýòîìó
�(Æg � Æx) = �(Æ(g;x)) = Æ�(g;x) = Æg�x = Æg � Æx:
Òàê êàê g è x ïðîèçâîëüíû, òî �(g; x) = g � x.
Òåîðåìà 6.2. Ïóñòü B(:) îáîçíà÷àåò îäíî èç ìíîæåñòâ AP (:), A(:),
E(:), I(:). Òîãäà:
1. B(�) � B(� � �), 8� 2M+(G), 8� 2M+(X).
2. Åñëè G àáåëåâà è � 2M+(G); � 2M+(X), òî
B(�) �B(�) � B(� � �):
3. Åñëè X = G � ãðóïïà, òî
Bl(�) � Bl(� � �); Br(�) � Br(� � �):
 ÷àñòíîñòè, åñëè � = ��, òî Al(�) � Et(� � ��).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. Îïðåäåëèì äåéñòâèå G íà G�X ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
g � (h; x) := (gh; x) :
Ïîëîæèì p = idG. Òîãäà
�(g � (h; x)) = �(gh; x) = gh � x = g � (h � x) = p(g) � �(h; x):
176 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð
Çíà÷èò, (p; �) � ìîðôèçì èç (G;G�X) â (G;X). Òîãäà, ïî òåîðåìå 6.1 è
ëåììå 6.1, p(B(�� �)) � B(� � �). Îñòàëîñü äîêàçàòü ðàâåíñòâî B(� � �) =
B(�):
Äëÿ E = E1 �E2 2 B(G)� B(X) èìååì
g�1E = f(h; x) : (gh; x) 2 E1 �E2g = g�1E1 �E2:
Ïîýòîìó (���)g(E1�E2) = �g(E1)��(E2). Òàê êàê ìåðà íà ïðÿìîì ïðîèçâåäå-
íèè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íà ìíîæåñòâàõ âèäà E1�E2, òî (���)g = �g��.
Ïîýòîìó B(�� �) = B(�):
2. Ïóñòü (G�G;G�X) � ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå (ïîëó)ãðóïï ïðåîáðàçî-
âàíèé. Ïîëîæèì �(t; x) = t � x, p(g; h) = gh. Òîãäà
� ((g; h) � (t; x)) = gth � x = gh � (t � x) = p(g; h) � �(t; x);
ò.å. (p; �)� ìîðôèçì. Èç ïðåäëîæåíèÿ 5.1 ñëåäóåò, ÷òî B(���) = B(�)�B(�):
Ñîãëàñíî òåîðåìå 6.1 è ëåììå 6.1 ìû ïîëó÷èì
B(�) � B(�) = p(B(�� �)) � B(�(�� �)) = B(� � �):
3. Ïåðâîå âêëþ÷åíèå ñëåäóåò èç ï. 1. Âòîðîå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî,
çàäàâàÿ ïðàâîå äåéñòâèå G íà G�X è G íà X:
g � (h; x) = (h; xg�1); g � x = xg�1; p = idG:
Ïîñëåäíåå âêëþ÷åíèå ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.3.
Óñëîâèå êîììóòàòèâíîñòè, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð, ñóùåñò-
âåííî.
Ï ð è ì å ð 6.1. Ïóñòü X = G = SO3 è H1 èH2 � çàìêíóòûå ïîäãðóïïû G,
ñîñòîÿùèå èç ìàòðèö âèäà:
H1 =
8<:
0@ 1 0 0
t 1 0
0 0 1
1A ; t 2 R
9=; ; H2 =
8<:
0@ 1 0 r
0 1 0
0 0 1
1A ; r 2 R
9=; :
Ïîëîæèì � � mH1
; � � mH2
. Òîãäà
� � �(H1H2) =
Z
G
�(x�1H1H2)d�(x) =
Z
H1
�(x�1H1H2)d�(x) = 1;
ò.å. � � � ñîñðåäîòî÷åíà íà H1H2. Äëÿ ëþáîãî h 2 G èìååì
(� � �)h(H1H2) =
Z
H1
�(x�1h�1H1H2)d�(x):
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 177
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí
Ýëåìåíòàðíûå âûêëàäêè ïîêàçûâàþò, ÷òî åñëè h 2 H1, òî H2 � x�1h�1H1H2
è (� � �)h � � � �; åñëè h 62 H1, òî ïåðåñå÷åíèå x
�1h�1H1H2 \H1 ñîñòîèò íå
áîëåå ÷åì èç îäíîãî ýëåìåíòà è (� � �)h ? � � �. Ñëåäîâàòåëüíî, El(� � �) =
H1 = El(�).
Àíàëîãè÷íî:
h(� � �)(H1H2) =
Z
H1
�(x�1H1H2h)d�(x) = �(H1H2h):
Ïðÿìûå âûêëàäêè ïîêàçûâàþò, ÷òî åñëè h 62 H2, òî ïåðåñå÷åíèå H1H2h è H2
ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà, à åñëè h 2 H2, òî H2 � H1H2h. Ïîýòîìó
APl(� � �) = El(� � �) = El(�) = Et(�) = H1
è
APr(� � �) = Er(� � �) = Er(�) = Et(�) = H2:
Ñëåäîâàòåëüíî, Et(� � �) = feg.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ àáåëåâîé ãðóïïû ï. 2 òåîðåìû 6.2 íåñêîëüêî èíà÷å äî-
êàçàí â [8].
7. Ðàçìåð ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ñäâèãîâ
Äîêàæåì àíàëîã òåîðåìû À.Â. Ñêîðîõîäà.
Ïðåäëîæåíèå 7.1. Ïóñòü G � ïîëüñêàÿ ëîêàëüíî-êîìïàêòíàÿ ãðóïïà è
s îáîçíà÷àåò îäíó èç áóêâ l; r; t. Òîãäà:
1. Åñëè � è � àáñîëþòíî íåïðåðûâíû, òî APs(�j�) îòêðûòî.
2. mG(APs(�j�)) > 0, � 6? mG è � 6? mG.
3. Åñëè mG(As(�j�)) > 0, òî �� mG, � 6? mG è As(�j�) çàìêíóòî.
4. Åñëè mG(Al(�)) > 0, òî �� mG è äëÿ ëþáîãî g òàêîãî, ÷òî �(Al(�)g)
> 0 íîñèòåëü îãðàíè÷åíèÿ � íà Al(�)g ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé ïîëóãðóï-
ïîé. Àíàëîãè÷íûå óòâåðæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû è äëÿ Ar(�), è At(�).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Áóäåì ñ÷èòàòü ìåðû � è � âåðîÿòíîñòíûìè.
1. Ïóñòü � = fmG è � = FmG: Òîãäà
T�(�g)(E) =
Z
E
f(g�1x)�1
fF>0gdmG(x); T�(g�)(E) =
Z
E
f(xg)�1
fF>0gdmG(x);
è òðåáóåìîå ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè ñäâèãîâ â L1(mG) [4, òåîðåìà 20.4].
178 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð
2. Äîêàæåì òîëüêî äëÿ s = l. Ïóñòü âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà m ýêâèâàëåíòíà
mG. Åñëè � ? m, òî APl(�j�) = APl(�j�1), ãäå �1 ? m, � � �1 � m. Ïîýòîìó
ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî è � ? m. Âî âòîðîé ÷àñòè áóäåò äîêàçàíî, ÷òî ñóùåñò-
âóåò áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ �(g; x) òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî g 2 G è ëþáîãî
áîðåëåâñêîãî E ìû èìååì
�(g; x) =
d�g
d�
(x); � � ï.â., è òîãäà
Z
E
�(g; x)d�(x) � �g(E):
Âûáåðåì áîðåëåâñêîå ìíîæåñòâî E òàê, ÷òîáû �(E) = 1, m(E) = 0: ÒîãäàZ
G
8<:
Z
E
�(g; x)d�(x)
9=; dm(g) =
Z
APl(�j�)
kT�;g(�)kdm(g) > 0:
Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
� �m(E) =
Z
m(g�1E)d�(g) = 0:
Òàê êàê � �m � m � m � �; òîZ
G
8<:
Z
E
�(g; x)d�(x)
9=; dm(g) �
Z
G
�(g�1E)dm(g) = m � �(E) = 0:
Ïðîòèâîðå÷èå. Îáðàòíî. Ïóñòü �1 è �1 � àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ÷àñòè ìåð
� è � îòíîñèòåëüíî mG. Òîãäà APl(�1j�1) � APl(�j�) è òðåáóåìîå ñëåäóåò èç
ï. 1.
3. Ïóñòü mG(Al(�j�)) > 0: Ïîëîæèì � = �1 + �, ãäå �1 � mG, � ? mG.
Î÷åâèäíî, ÷òî Al(�j�) = Al(�1j�)\Al(�j�). Ïîýòîìó mG(Al(�j�)) > 0. Èç ï. 2
ñëåäóåò, ÷òî � = 0.
Çàìêíóòîñòü Al(�j�), òàê æå, êàê è â ï. 1, ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè ëå-
âûõ ñäâèãîâ â L1(mG) [4, òåîðåìà 20.4]. Ïîâòîðèì ñîîòâåòñòâóþùåå ìåñòî â
äîêàçàòåëüñòâå ñëåäñòâèÿ 1 â [5].  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ g 7! �(g�1E) íåïðå-
ðûâíà äëÿ ëþáîãî áîðåëåâñêîãî E. Ïîýòîìó BE = fg 2 G : �(g�1E) = 0g
çàìêíóòî. Ïóñòü N = fE 2 B(G) : �(E) = 0g. Òîãäà Al(�j�) = \E2NBE
çàìêíóòî.
4. Ïóñòü �(Al(�)g) = g�(Al(�)) > 0: Ïîëîæèì � := g�jAl(�)
. Äîêàæåì, ÷òî
Al(�) � Al(�):
Ïóñòü h 2 Al(�) è �(E) = 0. Òàê êàê hAl(�) � Al(�), òî èç �(E) = �((E \
Al(�)g) = 0 ñëåäóåò, ÷òî �((E \ hAl(�))g) = 0: Òàê êàê h 2 Al(�), òî
�h(E) = g�(h
�1E \Al(�)) = �h((E \ hAl(�))g) = 0:
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 179
Ñ.Ñ. Ãàáðèåëÿí
Ñëåäîâàòåëüíî, h 2 Al(�).
Òàê êàê � ñîñðåäîòî÷åíà íà Al(�) è, ïî ï. 3, Al(�) çàìêíóòî, òî supp� �
Al(�). Ïóñòü x; y 2 supp�. Åñëè xy 62 supp�, òî ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü U
òî÷êè y òàêàÿ, ÷òî �(xU) = 0 = �x�1(U). Òàê êàê �x � �, òî � � �x�1 .
Ïîýòîìó �(U) = 0. Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó y. Ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî.
Îòìåòèì, ÷òî èìåííî ï. 4 ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ðåçóëüòàòà À.Â. Ñêîðîõî-
äà [2], ò.ê. ñîäåðæèò èíôîðìàöèþ î íîñèòåëå.
 ñëåäóþùåì ïðåäëîæåíèè ìû ðàññìîòðèì �ðàçìåð� El(�) îòíîñèòåëüíî �
(ñð. ñ òåîðåìîé 1 èç [8]).
Ïðåäëîæåíèå 7.2. Ïóñòü G � ñòàíäàðòíàÿ ãðóïïà. Òîãäà:
1. Ëèáî �(El(�)g) � 0, ëèáî El(�) äîïóñêàåò ëîêàëüíî-êîìïàêòíóþ òî-
ïîëîãèþ è äëÿ ëþáîãî g 2 G òàêîãî, ÷òî �(El(�)g) > 0, îãðàíè÷åíèå
g� = � � Æg íà El(�) ýêâèâàëåíòíî ìåðå Õààðà íà El(�).
2. Ëèáî �(g�1Er(�)) � 0, ëèáî Er(�) äîïóñêàåò ëîêàëüíî-êîìïàêòíóþ òî-
ïîëîãèþ è äëÿ ëþáîãî g 2 G òàêîãî, ÷òî �(g�1Er(�)) > 0, îãðàíè÷åíèå
�g = Æg � � íà Er(�) ýêâèâàëåíòíî ìåðå Õààðà íà Er(�).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. Ïóñòü �(El(�)g) = g�(El(�)) > 0. Ïî
òåîðåìå 3.3, El(g�) = El(�). Òàê êàê îãðàíè÷åíèå g� íà El(�) ÿâëÿåòñÿ
ëåâîêâàçèèíâàðèàíòíûì, òî òðåáóåìîå ñëåäóåò èç òåîðåìû Mackey�Weil [7].
2. Äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Ç à ì å ÷ à í è å 7.1. Äîêàçàííûå ïðåäëîæåíèÿ õîðîøî èëëþñòðèðóåò ìåðà
� íà ïëîñêîñòè, ñîñðåäîòî÷åííàÿ íà äâóõ ïàðàëëåëüíûõ îñè Ox ïðÿìûõ, íà
êîòîðûõ îíà ýêâèâàëåíòíà ìåðå Ëåáåãà.
References
[1] S.S. Gabriyelyan, On absolutely continuity and singularity of probability measures.
� Ukr. Mat. Zh. (2005). (Russian) (To be published)
[2] A.V. Skorohod, On admissible translations of measures in Hilbert space. � Theory
Probab. Appl. 15 (1970), No. 4, 577�598.
[3] A.V. Skorohod, Integration in Hilbert space. Nauka, Moscow, 1975. (Russian)
[4] E. Hewitt and K. Ross, Abstract harmonic analysis. V. 1. Academic Press, New
York, 1963.
[5] P.L. Brockett, Admissible transformations of measures. � Semigroup Forum 12
(1976), 21�33.
180 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2
Äîïóñòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåð
[6] S. Kakutani, On equivalence of in�nite product measures. � Ann. Math. 49 (1948),
214�224.
[7] G.W. Mackey, Borel structure in groups and their duals. � Trans. Amer. Math.
Soc. 85 (1957), 134�165.
[8] Y. Okazaki, Admissible translates of measures on a topological group. � Mem. Fac.
Sci. Kyushu Univ. A34 (1980), 79�88.
[9] T.S. Pitcher, The admissible mean values of stochastic process. � Trans. Amer.
Math. Soc. 108 (1980), 538�546.
Admissible transformations of measures
S.S. Gabriyelyan
Kharkov National Technic University �KPI�
21 Frunze Str., Kharkov, 61002, Ukraine
E-mail:gabrss@kpi.kharkov.ua
Received September 2, 2004
Let a topological semigroup G acts on a topological space X . A transfor-
mation g 2 G is called an admissible (partially admissible, singular, equiva-
lent, invariant) transform for � relative to � if �g � � (accordingly: �g 6? �,
�g ? �, �g � �, �g = c � �), where �g(E) := �(g�1E). We denote its
collection by A(�j�) (accordingly: AP (�j�), S(�j�), E(�j�), I(�j�)). The
algebraic and the measure theoretical properties of these sets are studied.
It is done the Lebesgue-type decomposition. If G = X is a locally compact
group, we give some informations about the measure theoretical size of A(�).
Mathematics Subject Classi�cation 2000: 28C99, 37A99.
Key words: topological G-space, measure, admissible transformation, Lebesgue-type
decomposition.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2005, ò. 1, � 2 181
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-106571 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1812-9471 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:00:25Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Габриелян, С.С. 2016-09-30T18:00:50Z 2016-09-30T18:00:50Z 2005 Допустимые преобразования мер / С.С. Габриелян // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1, № 2. — С. 155-181. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1812-9471 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106571 Рассмотрены алгебраические и теоретико-множественные свойства разложения типа Лебега. Если G = X локально-компактная группа, то получена информация о "размере” A(μ). Розглянуто алгебраїчні та теоретико-множинні властивості розкладання типу Лебега. Якщо G = X локально-компактна група, то отримано інформацію про "розмір" A(μ). It is done the Lebesgue-type decomposition. If G = X is a locally compact group, we give some informations about the measure theoretical size of A(μ). ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Журнал математической физики, анализа, геометрии Допустимые преобразования мер Admissible transformations of measures Article published earlier |
| spellingShingle | Допустимые преобразования мер Габриелян, С.С. |
| title | Допустимые преобразования мер |
| title_alt | Admissible transformations of measures |
| title_full | Допустимые преобразования мер |
| title_fullStr | Допустимые преобразования мер |
| title_full_unstemmed | Допустимые преобразования мер |
| title_short | Допустимые преобразования мер |
| title_sort | допустимые преобразования мер |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106571 |
| work_keys_str_mv | AT gabrielânss dopustimyepreobrazovaniâmer AT gabrielânss admissibletransformationsofmeasures |