Линейчатые поверхности в Eⁿ
Рассматриваются некоторые локальные и глобальные свойства линейчатых поверхностей в Еⁿ. В частности, вычислена интегральная гауссова кривизна полной регулярной ориентируемой линейчатой поверхности. Также исследовано гауссово кручение и более подробно изучены линейчатые поверхности в Е⁴ с нулевым гау...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2006
|
| Назва видання: | Журнал математической физики, анализа, геометрии |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106580 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Линейчатые поверхности в Eⁿ / О.А. Гончарова // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2006. — Т. 2, № 1. — С. 40-61 . — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-106580 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1065802025-02-23T17:49:55Z Линейчатые поверхности в Eⁿ Ruled surfaces in Eⁿ Гончарова, О.А. Рассматриваются некоторые локальные и глобальные свойства линейчатых поверхностей в Еⁿ. В частности, вычислена интегральная гауссова кривизна полной регулярной ориентируемой линейчатой поверхности. Также исследовано гауссово кручение и более подробно изучены линейчатые поверхности в Е⁴ с нулевым гауссовым кручением. Розглядаються деякі локальні та глобальні властивості лінійчатих поверхонь в Еⁿ. Зокрема, обчислено інтегральну гауссову кривину повної регулярної орієнтованої лінійчатої поверхні. Також досліджено гауссовий скрут і більш детально вивчено лінійчаті поверхні в Е⁴ з нульовим гауссовим скрутом. Some local and global properties of ruled surfaces in Eⁿ is devoted to a study. In particular, the total Gauss curvature of the complete regular orientable ruled surface was calculated. Also, Gaussian torsion was investigated, and ruled surfaces in E⁴ with zero Gaussian torsion were stadied in detail. Выражаю благодарность моему научному руководителю д-ру физ.-мат. наук, проф. Ю.А. Аминову за помощь в работе над статьей. Также выражаю благодарность д-ру физ.-мат. наук, чл.-корр. НАНУ А.А. Борисенко и канд. физ.-мат. наук В.А. Горькавому за сделанные замечания. 2006 Article Линейчатые поверхности в Eⁿ / О.А. Гончарова // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2006. — Т. 2, № 1. — С. 40-61 . — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1812-9471 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106580 ru Журнал математической физики, анализа, геометрии application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматриваются некоторые локальные и глобальные свойства линейчатых поверхностей в Еⁿ. В частности, вычислена интегральная гауссова кривизна полной регулярной ориентируемой линейчатой поверхности. Также исследовано гауссово кручение и более подробно изучены линейчатые поверхности в Е⁴ с нулевым гауссовым кручением. |
| format |
Article |
| author |
Гончарова, О.А. |
| spellingShingle |
Гончарова, О.А. Линейчатые поверхности в Eⁿ Журнал математической физики, анализа, геометрии |
| author_facet |
Гончарова, О.А. |
| author_sort |
Гончарова, О.А. |
| title |
Линейчатые поверхности в Eⁿ |
| title_short |
Линейчатые поверхности в Eⁿ |
| title_full |
Линейчатые поверхности в Eⁿ |
| title_fullStr |
Линейчатые поверхности в Eⁿ |
| title_full_unstemmed |
Линейчатые поверхности в Eⁿ |
| title_sort |
линейчатые поверхности в eⁿ |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106580 |
| citation_txt |
Линейчатые поверхности в Eⁿ / О.А. Гончарова // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2006. — Т. 2, № 1. — С. 40-61 . — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Журнал математической физики, анализа, геометрии |
| work_keys_str_mv |
AT gončarovaoa linejčatyepoverhnostiven AT gončarovaoa ruledsurfacesinen |
| first_indexed |
2025-11-24T04:09:45Z |
| last_indexed |
2025-11-24T04:09:45Z |
| _version_ |
1849643379249381376 |
| fulltext |
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè
2006, ò. 2, � 1, c. 40�61
Ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè â En
Î.À. Ãîí÷àðîâà
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á.È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail:goncharova@ilt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 22 äåêàáðÿ 2004 ã.
Ðàññìàòðèâàþòñÿ íåêîòîðûå ëîêàëüíûå è ãëîáàëüíûå ñâîéñòâà ëè-
íåé÷àòûõ ïîâåðõíîñòåé â En.  ÷àñòíîñòè, âû÷èñëåíà èíòåãðàëüíàÿ ãà-
óññîâà êðèâèçíà ïîëíîé ðåãóëÿðíîé îðèåíòèðóåìîé ëèíåé÷àòîé ïîâåðõ-
íîñòè. Òàêæå èññëåäîâàíî ãàóññîâî êðó÷åíèå è áîëåå ïîäðîáíî èçó÷åíû
ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè â E4 ñ íóëåâûì ãàóññîâûì êðó÷åíèåì.
Ðîçãëÿäàþòüñÿ äåÿêi ëîêàëüíi òà ãëîáàëüíi âëàñòèâîñòi ëiíié÷àòèõ
ïîâåðõîíü â En. Çîêðåìà, îá÷èñëåíî èíòåãðàëüíó ãàóññîâó êðèâèíó ïîâ-
íî¨ ðåãóëÿðíî¨ îði¹íòîâàíî¨ ëiíié÷àòî¨ ïîâåðõíi. Òàêîæ äîñëiäæåíî ãàóñ-
ñîâèé ñêðóò i áiëüø äåòàëüíî âèâ÷åíî ëiíié÷àòi ïîâåðõíi â E4 ç íóëüîâèì
ãàóññîâèì ñêðóòîì.
Mathematics Subject Classi�cation 2000: 53A07.
Key words: ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè, ãàóññîâà êðèâèçíà, ãàóññîâî êðó÷åíèå.
Òåîðèÿ ëèíåé÷àòûõ ïîâåðõíîñòåé â E3 ÿâëÿåòñÿ õîðîøî ðàçâèòîé
îáëàñòüþ â äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè. Ïîäðîáíûå îáçîðû ýòîé òåîðèè
ïðåäñòàâëåíû â êíèãàõ Â.Ô. Êàãàíà [1], Â.È. Øóëèêîâñêîãî [2], Â. Áëÿøêå
[3], ãäå èìåþòñÿ óêàçàíèÿ íà áîëåå ðàííþþ ëèòåðàòóðó. Òåîðèåé ëèíåé÷àòûõ
ïîâåðõíîñòåé èíòåðåñîâàëñÿ åùå Ã. Ìîíæ. Âàæíîå çíà÷åíèå èìååò ýòà òåîðèÿ
â ñâÿçè ñ ïðèìåíåíèåì â ñòðîèòåëüñòâå è àðõèòåêòóðå [4]. Áûëè âûäåëåíû ðàç-
ëè÷íûå êëàññû ëèíåé÷àòûõ ïîâåðõíîñòåé (ïîâåðõíîñòè Êàòàëàíà, òîðñîâûå
è îáîáùåííûå âèíòîâûå ïîâåðõíîñòè è äð.). Äîêàçàí ðÿä èíòåðåñíûõ òåîðåì,
íàïðèìåð, òåîðåìà Êàòàëàíà î òîì, ÷òî èç âñåõ êîñûõ ëèíåé÷àòûõ ïîâåðõíîñ-
òåé åäèíñòâåííîé ìèíèìàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ îáûêíîâåííàÿ âèíòî-
âàÿ ïîâåðõíîñòü (ãåëèêîèä). Íåêîòîðûå ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè ïîñòðîåíû
â êíèãå À.Â. Ïîãîðåëîâà [5], ãäå îíè íàçûâàþòñÿ íèòÿíûìè. Ëèíåé÷àòûå ïî-
âåðõíîñòè â ðèìàíîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ ðàññìàòðèâàëèñü Â.À. Òîïîíîãîâûì
[6, ñ. 101], À.A. Áîðèñåíêî [7�10], Ë.À. Ìàñàëüöåâûì [11], Â.Þ. Ðîâåíñêèì
[12].
c
Î.À. Ãîí÷àðîâà, 2006
Ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè â En
Ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü � ýòî ïîâåðõíîñòü, îáðàçîâàííàÿ äâèæåíèåì ïðÿ-
ìîé ëèíèè. Ïðÿìûå, ïðèíàäëåæàùèå ýòîé ïîâåðõíîñòè, íàçûâàþòñÿ ïðÿìîëè-
íåéíûìè îáðàçóþùèìè, à êàæäàÿ êðèâàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ âñå ïðÿìîëèíåéíûå
îáðàçóþùèå, � íàïðàâëÿþùåé êðèâîé.
 äàííîé ðàáîòå ðàññìoòðåíû íåêîòîðûå ëîêàëüíûå è ãëîáàëüíûå ñâîéñò-
âà ëèíåé÷àòûõ ïîâåðõíîñòåé â E4 è En.  ÷àñòíîñòè, áóäåò âû÷èñëåí èíòåã-
ðàë îò êðèâèçíû K ïîëíîé ëèíåé÷àòîé îðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè. Èíòåã-
ðàë îò ãàóññîâîé êðèâèçíû ïîëíûõ íåêîìïàêòíûõ ïîâåðõíîñòåé ðàññìîòðåí
â ðàáîòàõ Ñ.Ý. Êîí-Ôîññåíà [13], À. Õóáåðà [14], À.À. Áîðèñåíêî [15] è äð.
Ïóñòü
� íåêîòîðàÿ êðèâàÿ êëàññà Ck(k � 5) â En ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì
�(t), ãäå t � äëèíà äóãè. Ïóñòü âäîëü êðèâîé
çàäàíî åäèíè÷íîå âåêòîðíîå
ïîëå a(t) êëàññà Ck, k � 5.
Ïîñòðîèì â En ëèíåé÷àòóþ ïîâåðõíîñòü F 2 ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì â âèäå
r(t; u) = �(t) + ua(t): (1)
Êðèâóþ
1 íà åäèíè÷íîé ñôåðå, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ êîíöîì åäèíè÷íîãî
âåêòîðà a(t) ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà t, åñëè íà÷àëî åãî ïîìåñòèòü â öåíòð
ñôåðû, áóäåì íàçûâàòü èíäèêàòðèñîé ïîëÿ îáðàçóþùèõ. (Çàìåòèì, ÷òî
àíàëîãè÷íàÿ êîíñòðóêöèÿ ðàññìîòðåíà äëÿ òðåõìåðíûõ ëèíåé÷àòûõ ïîâåðõ-
íîñòåé â ðàáîòå À.À. Áîðèñåíêî, ìë. [16]). Äëèíó ýòîé êðèâîé, åñëè îíà ñó-
ùåñòâóåò, îáîçíà÷èì l
1 .
Òåîðåìà 1. Åñëè êðèâàÿ
1 � ñïðÿìëÿåìà, òî ìîäóëü èíòåãðàëà îò ãàóñ-
ñîâîé êðèâèçíû ïîëíîé ðåãóëÿðíîé îðèåíòèðóåìîé ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè
ðàâåí óäâîåííîé äëèíå l
1 èíäèêàòðèñû ïîëÿ îáðàçóþùèõ
j
Z Z
Kdsj = 2l
1 :
Åñëè F 2 � ãîìåîìîðôíà öèëèíäðó, òî óñëîâèå ñïðÿìëÿåìîñòè
1 âûïîëíåíî
àâòîìàòè÷åñêè â ñèëó óñëîâèé ðåãóëÿðíîñòè, íàëîæåííûõ íà �(t) è a(t).
Ç à ì å ÷ à í è å. Àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå ïîëó÷àåòñÿ äëÿ áåñêîíå÷íîé
ïîëîñû ìåæäó äâóìÿ ïðÿìîëèíåéíûìè îáðàçóþùèìè.
Òàêæå â ýòîé ðàáîòå äëÿ ëèíåé÷àòûõ ïîâåðõíîñòåé â E4 âû÷èñ-
ëèì ãàóññîâî êðó÷åíèå ��, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì èíâàðèàíòîì íîð-
ìàëüíîé ñâÿçíîñòè ïîâåðõíîñòè, àíàëîãè÷íûì êðèâèçíå êàñàòåëüíîé ñâÿçíî-
ñòè, ò.å. ãàóññîâîé êðèâèçíå. Ãàóññîâî êðó÷åíèå äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé â
E4 ðàññìàòðèâàëîñü â ðàáîòàõ Þ.À. Àìèíîâà (ïîäðîáíåå ñì. â [17]). Â ðàáî-
òå íàéäåì îáùèé âèä êðó÷åíèÿ äëÿ ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè â E4, äëÿ ýòîãî
çàïèøåì âåêòîðíîå ïîëå a(t) â âèäå a(t) =
4P
i=2
ai�i, à âåêòîð a0 � â âèäå
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1 41
Î.À. Ãîí÷àðîâà
a0 =
4P
i=1
T i�i, ãäå a
i, T i � êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè âåêòîðîâ a è a0 ïî
âåêòîðàì íàòóðàëüíîãî áàçèñà Ôðåíå. Òîãäà
�� =
c(t) + b(t)u
(1 + 2u(�1; a0) + u2(a0)2)2
;
ãäå
c(t) = k1
��
a4
da3
dt
� a3
da4
dt
�
� k3[(a
3)2 + (a4)2] + k2a
2a4
�
;
b(t) =
4X
k=2
dT k
dt
�k +
4X
i;j=1
T iT j�ij
è êîýôôèöèåíòû �k âûðàæàþòñÿ ÷åðåç T
l è aS , à êîýôôèöèåíòû �ij � ÷åðåç
ak è êðèâèçíû kl. Áîëåå ïîäðîáíîå âûðàæåíèå äëÿ b(t) ïðèâåäåíî â ôîðìóëå
(8).
Òàê êàê âûðàæåíèå äëÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (ñì.
(4))
K =
d(t)
(1 + 2u(�1; a0) + u2(a0)2)2
;
òî, åñëè ðàññìîòðåòü îòíîøåíèå ãàóññîâà êðó÷åíèÿ è ãàóññîâîé êðèâèçíû,
ïîëó÷èì
��
K
=
c(t) + b(t)u
d(t)
= c1(t) + c2(t)u;
ãäå c1(t) è c2(t) � íåêîòîðûå ôóíêöèè.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëèíåé÷àòûõ ïîâåðõíîñòåé â E4
�� = K(c1(t) + c2(t)u):
Ñ ïîìîùüþ ýòîãî âûðàæåíèÿ ìîæíî íàéòè ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè, äëÿ êî-
òîðûõ ��
K
= c0 = const.  ñëó÷àå c0 = �1 òàêîé êëàññ ðàññìàòðèâàëñÿ, íàïðè-
ìåð, Þ.À. Àìèíîâûì [18]. Èç âûðàæåíèÿ äëÿ �� ñëåäóåò
Óòâåðæäåíèå 1.Èíòåãðàë îò ìîäóëÿ ãàóññîâà êðó÷åíèÿ ïî ëþáîé áåñêî-
íå÷íîé ïîëîñå, îãðàíè÷åííîé ïðÿìîëèíåéíûìè îáðàçóþùèìè, êîòîðûå ñîîò-
âåòñòâóþò çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà t : t1 è t2, ñõîäèòñÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå a0 6= 0
Z Z
F 2
j��jdS =
t2Z
t1
+1Z
�1
jc(t) + b(t)uj
(1 + 2u(�1; a0) + u2(a0)2)
3
2
dudt;
42 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1
Ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè â En
ïîðÿäîê ðîñòà çíàìåíàòåëÿ ïî u ðàâåí 3, à ïîðÿäîê ðîñòà ÷èñëèòåëÿ � 1,
ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë ñõîäèòñÿ.  ñëó÷àå a0 = 0 ãàóññîâî êðó÷åíèå �� = 0.
Ðàññìîòðèì ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè ñ íóëåâûì ãàóññîâûì êðó÷åíèåì.
Îáîáùåííûé öèëèíäð � ýòî ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü, ó êîòîðîé ïðÿìîëèíåé-
íûå îáðàçóþùèå ïàðàëëåëüíû.  ýòîì ñëó÷àå a(t) åñòü ïîñòîÿííûé âåêòîð.
Òåîðåìà 2. Åñëè íàïðàâëÿþùàÿ êðèâàÿ
è âåêòîðíîå ïîëå a(t) � àíà-
ëèòè÷åñêèå, òî ïîëíàÿ ðåãóëÿðíàÿ ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü â E4 ñ íóëåâûì
ãàóññîâûì êðó÷åíèåì ëèáî ëåæèò â E3, ëèáî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáîáùåí-
íûé öèëèíäð.
Åñëè íàïðàâëÿþùàÿ êðèâàÿ
è âåêòîðíîå ïîëå a(t) � ðåãóëÿðíûå êëàññà
Ck, k � 5, òî ïîëíàÿ ðåãóëÿðíàÿ ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü â E4 ñ íóëåâûì
ãàóññîâûì êðó÷åíèåì ëèáî ëåæèò â E3, ëèáî ýòî îáîáùåííûé öèëèíäð, ëèáî
îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñêëåéêó êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà òàêèõ
ïîâåðõíîñòåé âäîëü ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ.
Ç à ì å ÷ à í è å. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñïðàâåäëèâî è äëÿ ïîëîñû ïî-
âåðõíîñòè, çàêëþ÷åííîé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè îáðàçóþùèìè.
 çàêëþ÷åíèå ïîñòðîåí ïðèìåð ïîâåðõíîñòè, ãîìåîìîðôíîé öèëèíäðó, òà-
êîé, ÷òî õîòÿ íà ïîâåðõíîñòè ãàóññîâî êðó÷åíèå ðàâíî íóëþ, íî ïàðàëëåëüíîå
ïåðåíåñåíèå íîðìàëüíîãî âåêòîðà â íîðìàëüíîì ðàññëîåíèè âäîëü çàìêíóòîé
êðèâîé, íå ãîìîòîïíîé íóëþ, ïåðåâîäèò åãî â íîâûé âåêòîð. Â òî æå âðåìÿ
ïåðåíîñ ïî çàìêíóòîé êðèâîé, ãîìîòîïíîé íóëþ, âîçâðàùàåò åãî â ïðåæíåå
ïîëîæåíèå.
1. Íàéäåì ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïîâåðõíîñòè, äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì
ïðîèçâîäíûå
rt = �0 + ua0 = �1 + ua0; ru = a;
ãäå �1 � åäèíè÷íûé êàñàòåëüíûé âåêòîð ê íàïðàâëÿþùåé êðèâîé
, à øòðèõ
îáîçíà÷àåò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî t. Ïîëó÷àåì
g11 = (rt)
2 = (�1 + ua0)2 = 1 + 2u(�1; a
0) + u2(a0)2;
g12 = (rt; ru) = (�1; a);
g22 = (ru)
2 = 1:
Îáðàçóþùóþ, íà êîòîðîé òðè âåêòîðà �1, a, a
0 ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè,
íàçîâåì òîðñîâîé îáðàçóþùåé ïîâåðõíîñòè (íåçàâèñèìîñòü ýòîãî îïðåäåëå-
íèÿ îò íàïðàâëÿþùåé êðèâîé áóäåò ïîêàçàíà íèæå); òå æå îáðàçóþùèå, íà
êîòîðûõ ýòî íå èìååò ìåñòà, íàçîâåì îáûêíîâåííûìè îáðàçóþùèìè.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1 43
Î.À. Ãîí÷àðîâà
Ðàññìîòðèì óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè: äîïóñòèì, ÷òî èìååì îñîáóþ òî÷êó è
ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó rt è ru ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà
u = u0:
�1rt + �2ru = 0:
Òîãäà
�1�1 + �2a+ �3a
0 = 0;
ãäå �3 = �1u0 è êîýôôèöèåíòû �i îäíîâðåìåííî íå îáðàùàþòñÿ â íóëü, ò.å.
îñîáàÿ òî÷êà ðàñïîëîæåíà íà òîðñîâîé îáðàçóþùåé.
Óòâåðæäåíèå 2. Åñëè íà ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé ðåãó-
ëÿðíîé êðèâîé
êëàññà Ck, k � 2, è âåêòîð-ôóíêöèåé a(t) êëàññà Ck, k � 2,
íåò òîðñîâûõ îáðàçóþùèõ, òî ïîâåðõíîñòü ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé êëàññà Ck,
k � 2.
Îäíàêî ïîâåðõíîñòü ìîæåò áûòü ðåãóëÿðíîé (íàïð., öèëèíäð) è ïîëíîñòüþ
ñîñòîÿòü èç òîðñîâûõ îáðàçóþùèõ.
Îáðàçóþùàÿ íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé ïðè a0 = 0. Åñëè íà ïîâåðõíîñòè
ñóùåñòâóåò òîðñîâàÿ íåñòàöèîíàðíàÿ îáðàçóþùàÿ, òî íà íåé âñåãäà ñóùåñò-
âóåò îñîáàÿ òî÷êà.
2. Ðàññìîòðèì êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü ê íàøåé ïîâåðõíîñòè, îíà îïðåäå-
ëÿåòñÿ äâóìÿ âåêòîðàìè rt è ru. Èññëåäóåì, êàê áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïîëîæåíèå
êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïðè åå äâèæåíèè âäîëü ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ.
Óòâåðæäåíèå 3. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè F 2
â En ïðè äâèæåíèè âäîëü îáûêíîâåííîé ïðÿìîëèíåéíîé îáðàçóþùåé áóäåò
ñîâåðøàòü îáîðîò íà óãîë, ðàâíûé �. Íà òîðñîâîé îáðàçóþùåé êàñàòåëüíàÿ
ïëîñêîñòü íå ìåíÿåòñÿ è íàîáîðîò: åñëè êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ïðè äâè-
æåíèè âäîëü îáðàçóþùåé íå èçìåíÿåòñÿ, òî òàêàÿ îáðàçóþùàÿ � òîðñîâàÿ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî �1 îðòîãîíàëåí ê a.
Ðàññìîòðèì åäèíè÷íûé âåêòîð �1 = rt
jrtj
= �1+ua
0p
1+2u(�1;a0)+u2(a0)2
. Èìååì �1 è a
0,
êîòîðûå îðòîãîíàëüíû ê a. Ïóñòü ïðÿìîëèíåéíàÿ îáðàçóþùàÿ � íå òîðñî-
âàÿ. Òîãäà âåêòîðû �1 è a
0 � íå êîëëèíåàðíû. Ñëåäîâàòåëüíî, �1 âðàùàåòñÿ
â ïëîñêîñòè, îðòîãîíàëüíîé ê a, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç �1 è a
0. Èìååì
lim
u!�1
�1 = lim
u!�1
�1 + ua0
jujja0j = � a0
ja0j :
Ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè äâèæåíèè âäîëü îáûêíîâåííîé îáðàçóþùåé íàïðàâëåíèå
âåêòîðà �1 èçìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíîå, à òàê êàê âåêòîð rt âìåñòå ñ a
44 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1
Ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè â En
îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè, òî èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî êàñà-
òåëüíàÿ ïëîñêîñòü áóäåò ñîâåðøàòü îáîðîò íà óãîë, ðàâíûé �. Óãîë ïîâîðîòà
� ýòî óãîë ìåæäó rt è a
0. Òåïåðü ðàññìîòðèì òîðñîâóþ îáðàçóþùóþ. Åñëè
a0 = 0, òî �1 íå ìåíÿåòñÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ïîñòîÿí-
íà âäîëü îáðàçóþùåé. Åñëè a0 6= 0, òî âåêòîð rt âñå ðàâíî ëåæèò â îäíîé è
òîé æå ïëîñêîñòè âåêòîðîâ a è a0. Ýòî êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ïîâåðõíîñòè,
ñëåäîâàòåëüíî, îíà ïîñòîÿííà âäîëü òîðñîâûõ îáðàçóþùèõ. Ïðèâåäåííîå ðàñ-
ñóæäåíèå äîïîëíèòåëüíî ïîêàçûâàåò, ÷òî îïðåäåëåíèå òîðñîâîé îáðàçóþùåé
íå çàâèñèò îò âûáîðà íàïðàâëÿþùåé êðèâîé. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Ïðè ëîêàëüíîì ðàññìîòðåíèè, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, â êà÷åñòâå íà-
ïðàâëÿþùåé êðèâîé ìîæíî âçÿòü êðèâóþ, êîòîðàÿ îðòîãîíàëüíà ê ïðÿìî-
ëèíåéíûì îáðàçóþùèì, ò.å. �1 îðòîãîíàëåí ê a. Òîãäà òîðñîâàÿ îáðàçóþùàÿ
îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì
a0 = ��1; (2)
ãäå � � íåêîòîðîå ÷èñëî. Îñîáîé òî÷êå íà òîðñîâîé îáðàçóþùåé áóäåò ñîîò-
âåòñòâîâàòü çíà÷åíèå ïàðàìåòðà
u = �(�1; a
0)
(a0)2
:
Ââåäåì ïîíÿòèå ñòðèêöèîííîé ëèíèè. Âåêòîð �1 ïðè äâèæåíèè ïî u âðà-
ùàåòñÿ â ïëîñêîñòè âåêòîðîâ �1 è a
0 è ìåíÿåò ñâîå íàïðàâëåíèå îò âåêòîðà a
0
ja0j
äî ïðîòèâîïîëîæíîãî åìó � a
0
ja0j
. Òî÷êó C, ñîîòâåòñòâóþùóþ ïàðàìåòðó uC ,
â êîòîðîé (�1; a
0) = 0, íàçûâàþò öåíòðàëüíîé òî÷êîé âäîëü îáðàçóþùåé
a(t). Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
(�1 + uCa
0; a0) = (�1; a
0) + uC(a
0)2 = 0:
Îòñþäà
uC = �(�1; a
0)
(a0)2
: (3)
Çàìåòèì, ÷òî íà òîðñîâîé íåñòàöèîíàðíîé îáðàçóþùåé ýòà ôîðìóëà îïðåäå-
ëÿåò îñîáóþ òî÷êó.
Òàê æå, êàê è â òðåõìåðíîì ñëó÷àå, ìîæíî îïðåäåëèòü öåíòðàëüíóþ òî÷êó
êàê ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå òî÷êè, èç êîòîðîé èñõîäèò êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå
ê ñìåæíîé îáðàçóþùåé, ïîýòîìó åå íàçûâàþò òî÷êîé ñòðèêöèè. Îáà ýòè
îïðåäåëåíèÿ ðàâíîñèëüíû.
Ñòðèêöèîííîé ëèíèåé ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî
öåíòðàëüíûõ òî÷åê âñåõ îáðàçóþùèõ. Çàìåòèì, ÷òî î öåíòðàëüíîé òî÷êå ìî-
æåò èäòè ðå÷ü òîëüêî ïî îòíîøåíèþ ê òàêîìó ëó÷ó, íà êîòîðîì a0 6= 0. Åñëè
a0 îáðàùàåòñÿ â íóëü òîæäåñòâåííî, òî ïîâåðõíîñòü öèëèíäðè÷åñêàÿ.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1 45
Î.À. Ãîí÷àðîâà
3. Íàéäåì òåïåðü ãàóññîâó êðèâèçíó K ïîâåðõíîñòè ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû
Ôðîáåíèóñà [3, ñ. 130], èñïîëüçóþùóþ êîýôôèöèåíòû ìåòðèêè
K = � (a0)2 � (�1; a
0)2
(1 + 2u(�1; a0) + u2(a0)2)2
: (4)
Èíòåðåñíî çàìåòèòü, ÷òî ÷èñëèòåëü íå çàâèñèò îò u, à çíàìåíàòåëü çàâèñèò îò
u4, åñëè îáðàçóþùàÿ íåñòàöèîíàðíàÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïðè u! �1 ãàóññîâà
êðèâèçíà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Àíàëèçèðóÿ âûðàæåíèå äëÿ K, ïîëó÷àåì
Óòâåðæäåíèå 4. Íà ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè ãàóññîâà êðèâèçíà èìååò
â òî÷êàõ íåòîðñîâîé îáðàçóþùåé îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ; íà òîðñîâîé îá-
ðàçóþùåé îíà âî âñåõ åå òî÷êàõ ðàâíà íóëþ.
Íàøåé äàëüíåéøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà îò ãàóññîâîé
êðèâèçíû K ïîâåðõíîñòè.
Äîêàæåì òåîðåìó 1. Ïóñòü ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü F 2 â E4 � ïîë-
íàÿ, ðåãóëÿðíàÿ êëàññà C3, ãîìåîìîðôíàÿ öèëèíäðó.  ýòîì ñëó÷àå ïðîâåäåì
ðàçðåç ïî ïðÿìîëèíåéíîé îáðàçóþùåé. Äàëåå ðàññóæäåíèÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ
ïðîâîäèì àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Ñ ïîìîùüþ ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ
è îðòîãîíàëüíûõ òðàåêòîðèé ïîëó÷èì îäíîñâÿçíóþ îáëàñòü D, îãðàíè÷åí-
íóþ êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç êðèâûõ �1 : u = c > 0 è
�2 : u = c < 0 (�1 è �2 èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå îðèåíòàöèè) è îòðåçêîâ
ïðÿìîëèíåéíîé îáðàçóþùåé.  òàêîé îáëàñòè D ââåäåì ïîëóãåîäåçè÷åñêóþ
ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé ds2 çàïèøåòñÿ â âèäå ds2 = g11dt
2+du2. Ìîæåì
ïðèìåíèòü òåîðåìó Ãàóññà�Áîííå. Òàê êàê ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà ïðÿìîé
ðàâíà íóëþ è ñóììà óãëîâ ïîâîðîòà êàñàòåëüíûõ â óãëîâûõ òî÷êàõ êðèâîé,
îãðàíè÷èâàþùåé íàøó îáëàñòü D, ðàâíà 2�, ïîëó÷àåì
Z Z
D
KdS =
2X
i=1
Z
�i
kgds;
ãäå dS � ýëåìåíò ïëîùàäè, kg � ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà �i è ds � äëèíà
äóãè ãðàíèöû.
Âû÷èñëèì ãåîäåçè÷åñêóþ êðèâèçíó êîîðäèíàòíîé ëèíèè u = const ïî
ôîðìóëå
kg = � (
p
g11)up
g11g22
:
 ñëó÷àå ïîâåðõíîñòè, ãîìåîìîðôíîé öèëèíäðó, ïîëó÷àåì áåñêîíå÷íóþ ïî-
ëîñó, êîòîðàÿ îãðàíè÷åíà äâóìÿ ïðÿìîëèíåéíûìè îáðàçóþùèìè. Ïóñòü l �
äëèíà íàïðàâëÿþùåé êðèâîé â ýòîì ñëó÷àå. Èìååì
Z
�1
kgds = �
lZ
0
p
g11p
g11
(g11)u
2
p
g11
dt = �
lZ
0
(g11)u
2
p
g11
dt:
46 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1
Ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè â En
Âû÷èñëèì ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå ïðè u! �1 ñëåäóþùåãî èíòåãðàëà:
lim
u!�1
2
4�
lZ
0
(g11)u
2
p
g11
dt
3
5 = lim
u!�1
2
4�1
2
lZ
0
2(�1; a
0) + 2u(a0)2p
1 + 2u(�1; a0) + u2(a0)2
dt
3
5 :
 ðåçóëüòàòå èìååì
lim
u!�1
Z
�1
kgds = �
lZ
0
(a0)2p
(a0)2
dt = �
lZ
0
ja0jdt:
Ñ ó÷åòîì îðèåíòàöèè �2 ïîëó÷àåì
lim
u!�1
Z
�2
kgds = �
lZ
0
ja0jdt:
Òàêèì îáðàçîì, j
R
F 2
R
KdSj = 2
lR
0
ja0jdt = 2
R
jdaj=2l
1 .
Ïóñòü ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü F 2 â E4 � ïîëíàÿ, ðåãóëÿðíàÿ êëàññà C3,
ãîìåîìîðôíàÿ ïëîñêîñòè.  ýòîì ñëó÷àå èíòåãðàë îò ãàóññîâîé êðèâèçíû, ïî-
íèìàåìûé â íåñîáñòâåííîì ñìûñëå ïðè t ! �1, áóäåò ñóùåñòâîâàòü è ðàâ-
íÿòüñÿ l
1 , åñëè
1 � ñïðÿìëÿåìàÿ êðèâàÿ. Åñëè ýòà êðèâàÿ íå ñïðÿìëÿåìà,
òî ýòîò èíòåãðàë íå ñóùåñòâóåò. Òåîðåìà äîêàçàíà.
4. Òåïåðü ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ëèíåé÷àòûõ ïîâåðõíîñòåé â E4.
Ïóñòü
� íåêîòîðàÿ êðèâàÿ â E4 ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì �(t), ãäå t � äëèíà
äóãè è �1, �2, �3, �4 � åå íàòóðàëüíûé áàçèñ Ôðåíå. Âîçüìåì åäèíè÷íîå âåê-
òîðíîå ïîëå a(t) âäîëü êðèâîé
òàêîå, ÷òî a(t) åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
âåêòîðîâ �2, �3, �4 â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå êðèâîé, ò.å. a(t) =
4P
i=2
ai�i.
Âû÷èñëèì ãàóññîâî êðó÷åíèå ��, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì èíâàðè-
àíòîì íîðìàëüíîé ñâÿçíîñòè ïîâåðõíîñòè, àíàëîãè÷íûì êðèâèçíå êàñàòåëü-
íîé ñâÿçíîñòè, ò.å. ãàóññîâîé êðèâèçíå. Ãàóññîâûì êðó÷åíèåì �� ïîâåðõíîñòè
íàçûâàåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà óäâîåííîå ïðîèçâåäåíèå ïîëóîñåé ýëëèïñà
íîðìàëüíîé êðèâèçíû. Åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ñëåäóþùèé. Âîçüìåì íà
ïîâåðõíîñòè F 2 � E4 çàìêíóòûé êîíòóð, êîòîðûé îãðàíè÷èâàåò îäíîñâÿçíóþ
îáëàñòü G. Âäîëü óêàçàííîãî êîíòóðà ïåðåíåñåì ïàðàëëåëüíî â íîðìàëüíîé
ñâÿçíîñòè åäèíè÷íûé íîðìàëüíûé âåêòîð n. Ïóñòü �' îçíà÷àåò óãîë ìåæäó
íà÷àëüíûì ïîëîæåíèåì âåêòîðà n è ïîëîæåíèåì, ïîëó÷åííûì â ðåçóëüòàòå
ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà. Òîãäà �' ðàâåí èíòåãðàëó îò ãàóññîâà êðó÷åíèÿ ïî
îáëàñòè G.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1 47
Î.À. Ãîí÷àðîâà
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ �� èçâåñòíà ôîðìóëà [17, ñ. 162]
�� =
(L1
k1L
2
l2 � L1
k2L
2
l1)g
klp
g11g22 � g212
; (5)
ãäå L�
ij
� êîýôôèöèåíòû âòîðûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì.  äàëüíåéøåì äëÿ
óäîáñòâà âû÷èñëåíèé âîñïîëüçóåìñÿ íàïðàâëÿþùåé, êîòîðàÿ îðòîãîíàëüíà
ê ïðÿìîëèíåéíûì îáðàçóþùèì.
Ïóñòü n1 è n2 � áàçèñ åäèíè÷íûõ íîðìàëåé ê F 2.
Ëåììà 1. Ãàóññîâî êðó÷åíèå ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè (1) âû÷èñëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëå
�� =
([rtt; rtu]; [n1; n2])
g
3=2
11
;
ãäå êâàäðàòíûå ñêîáêè îáîçíà÷àþò áèâåêòîð. Ýòà ëåììà ïîçâîëÿåò íå íà-
õîäèòü îòäåëüíî êàæäóþ èç íîðìàëåé n1 è n2, êîòîðûå ìîæíî íàéòè, íî
â äîâîëüíî ãðîìîçäêîì âèäå, à íàõîäèòü òîëüêî áèâåêòîð [n1; n2].
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âû÷èñëèì âòîðûå ïðîèçâîäíûå âåêòîðà r(t; u):
rtt = k1�2 + ua00;
rtu = a0; ruu = 0:
Òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíòû âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû L1
22 è L2
22
ðàâíû íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî, êðó÷åíèå Ãàóññà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ôîðìóëîé
�� =
(L1
11L
2
12 � L1
12L
2
11)g
11
p
g11
=
(rtt; n1)(rtu; n2)� (rtt; n2)(rtu; n1)
(g11)3=2
=
([rtt; rtu]; [n1; n2])
(g11)3=2
:
Ëåììà äîêàçàíà.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
A = [�1; a]; B = [a0; a]; � = (a0; �1); � = (a0)2:
Âûðàæåíèå äëÿ [n1; n2] ìîæíî íàéòè èç òîãî óñëîâèÿ, ÷òî áèâåêòîð [n1; n2]
ÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì ê áèâåêòîðó q = [rt;ru]
j[rt;ru]j
:
[rt; ru] = [�1; a] + u[a0; a] = A(t) + uB(t);
ãäå A(t) = [�1; a] è B(t) = [a0; a].
48 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1
Ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè â En
Çíà÷èò, [n1; n2], ñ òî÷íîñòüþ äî íîðìèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ �(t; u), òîæå
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
�[n1; n2] =M(t) + uN(t):
Íàéäåì, ÷åìó ðàâíî âûðàæåíèå [rtt; rtu]:
[rtt; rtu] = [k1�2 + ua00; a0] = k1[�2; a
0] + u[a00; a0]:
Òàêèì îáðàçîì,
�� =
1
(g11)3=2�
(k1[�2; a
0] + u[a00; a0];M + uN)
=
1
(g11)3=2�
[k1([�2; a
0];M)+u(([a00; a0];M)+k1([�2; a
0]; N))+u2([a00; a0]; N)]: (6)
Âûðàæåíèå â ñêîáêàõ åñòü ïîëèíîì âòîðîãî ïîðÿäêà ïî u. Âû÷èñëèì åãî
êîýôôèöèåíòû.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû Ôðåíå, çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé
âåêòîðà a:
a0 =
4X
i=2
�
dai
dt
�i + ai�i
0
�
= �1(�k1a2) + �2
�
da2
dt
� k2a3
�
+�3
�
da3
dt
+ k2a
2 � k3a
4
�
+ �4
�
da4
dt
+ k3a
3
�
=
4X
i=1
T i�i;
ãäå T i � êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè âåêòîðà a0.
Âû÷èñëèì
A = [�1; a] = [�1;
4X
i=2
ai�i] = [�1; �2]a
2 + [�1; �3]a
3 + [�1; �4]a
4
=
4X
i=2
ai[�1; �i] =
4X
i=2
A1i[�1; �i];
B = [a0; a] = [
4X
i=1
T i�i;
4X
j=2
aj�j] = (T 1a2 � T 2a1)[�1; �2]
+(T 1a3 � T 3a1)[�1; �3] + (T 1a4 � T 4a1)[�1; �4] + (T 2a3 � T 3a2)[�2; �3]
+ : : : =
4X
i=1;i<j
(T iaj � T jai)[�i; �j ] =
4X
i=1;i<j
Bij[�i:�j]:
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1 49
Î.À. Ãîí÷àðîâà
Çàìåòèì, ÷òî êîìïîíåíòû äîïîëíèòåëüíûõ áèâåêòîðîâ p = fpijg è q =
fqijg ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
pij = "ijklqkl;
ãäå "ijkl � ñèìâîë Êðîíåêåðà.
Íàéäåì êîîðäèíàòû âåêòîðîâ M è N . Òàê êàê âåêòîð [n1; n2] = M(t) +
uN(t) ÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì ê âåêòîðó [rt; ru] = A(t) + uB(t), òî M è
N ñâÿçàíû ñ êîîðäèíàòàìè âåêòîðîâ A è B, ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîïîðöèîíàëü-
íîñòè, ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:
M =
0
BBBBBB@
M12
M13
M14
M23
M24
M34
1
CCCCCCA
=
0
BBBBBB@
0
0
0
A14
�A13
A12
1
CCCCCCA
=
0
BBBBBB@
0
0
0
a4
�a3
a2
1
CCCCCCA
;
N =
0
BBBBBB@
N12
N13
N14
N23
N24
N34
1
CCCCCCA
=
0
BBBBBB@
B34
�B24
B23
B14
�B13
B12
1
CCCCCCA
=
0
BBBBBB@
T 3a4 � T 4a3
�(T 2a4 � T 4a2)
T 2a3 � T 3a2
T 1a4
�T 1a3
T 1a2
1
CCCCCCA
:
Òåïåðü ìîæåì âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû â ôîðìóëå äëÿ ãàóññîâîãî êðó÷å-
íèÿ (5).
Ðàññìîòðèì êîýôôèöèåíò c(t) = (k1[�2; a
0];M), ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå äëÿ
êîîðäèíàò a0 è M , ïîëó÷èì
c(t) = (k1
4X
i=1
[�2; �j ]T
j;M) = k1(T
3a4 � T 4a3): (7)
Òåïåðü ðàññìîòðèì b(t) � êîýôôèöèåíò ïðè u. Íàì ïîíàäîáèòñÿ âûðàæå-
íèå äëÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé âåêòîðà a:
a00 =
4X
i=1
�
dT i
dt
�i + T i�i
0
�
= �1
�
dT 1
dt
� k1T
2
�
+ �2
�
dT 2
dt
+ k1T
1 � k2T
3
�
+�3
�
dT 3
dt
� k3T
4 + k2T
2
�
+ �4
�
dT 4
dt
+ k3T
3
�
=
4X
i=1
Qi�i:
50 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1
Ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè â En
Âû÷èñëèì
([a00; a0];M) =
0
@ 4X
i=1;i<j
(QiT j �QjT i)[�i; �j ];M
1
A
= (Q2T 3 �Q3T 2)a4 � (Q2T 4 �Q4T 2)a3 + (Q3T 4 �Q4T 3)a2:
Âû÷èñëèâ è ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ äëÿ N ij, ïîëó÷èì
([�2; a
0]; N) = (
4X
i=1
[�2; �i]T
i; N) = �T 1N12 + T 3N23 + T 4N24 = 0:
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿ Qi; N ij , èìååì
b(t) =
�
T 4dT
3
dt
� T 3 dT
4
dt
�
a2 + T 2
�
dT 4
dt
a3 � dT 3
dt
a4
�
+T 2T 4(k2a
2 + k3a
4)� (T 2)2k2a
4 + T 2T 3k3a
3 � k3a
2((T 3)2 + (T 4)2)
+(T 3a4 � T 4a3)
�
dT 2
dt
+ k1T
1 � k2T
3
�
: (8)
Ðàññìîòðèì f(t) � êîýôôèöèåíò ïðè u2.
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿ [a00; a0] è N ij , ïîëó÷èì
f(t) = ([a00; a0]; N) = (Q1T 2 �Q2T 1)(T 3a4 � T 4a3)
�(Q1T 3 �Q3T 1)(T 2a4 � T 4a2) + (Q1T 4 �Q4T 1)(T 2a3 � T 3a2)
+(Q2T 3 �Q3T 2)T 1a4 � (Q2T 4 �Q4T 2)T 1a3 + (Q3T 4 �Q4T 3)T 1a2:
Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè è ïðèâîäÿ ïîäîáíûå, ïîëó÷àåì, ÷òî êîýôôèöèåíò f(t) òîæ-
äåñòâåííî ðàâåí íóëþ.
Íàéäåì êîýôôèöèåíò �(t; u) = jM(t) + uN(t)j.
Èç êîîðäèíàò áèâåêòîðîâ M è N ñëåäóåò, ÷òî êâàäðàò êîýôôèöèåíòà
�(t; u) ðàâåí �2(t; u) =M2 + 2u(M;N) + u2N2 = A2 + 2u(A;B) + u2B2.
Âû÷èñëèì
A2 = ([�1; a])
2 = (�1; �1)(a; a)� (�1; a)(�1; a) = 1;
(A;B) = ([�1; a]; [a
0; a]) = (�1; a
0)(a; a)� (�1; a)(a; a
0) = (�1; a
0);
B2 = ([a0; a])2 = (a0; a0)(a; a) � (a0; a)(a; a0) = (a0)2:
Ïîëó÷àåì, ÷òî êîýôôèöèåíò �(t; u) =
p
1 + 2u(�1; a0) + u2(a0)2 =
p
g11:
Èòàê, âûðàæåíèå äëÿ ãàóññîâîãî êðó÷åíèÿ èìååò âèä
�� =
c(t) + b(t)u
(1 + 2u(�1; a0) + u2(a0)2)2
:
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1 51
Î.À. Ãîí÷àðîâà
Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ðÿä îáùèõ âûâîäîâ. Åñëè a0 6= 0, òî
çíàìåíàòåëü ýòîãî âûðàæåíèÿ åñòü ïîëèíîì ïî u ÷åòâåðòîé ñòåïåíè. Ïîýòîìó,
åñëè �� ïîñòîÿííî, òî îíî òîæäåñòâåííî ðàâíî íóëþ. Åñëè a0 = 0, òî
b(t) = c(t) = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, �� = 0.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå �� íå ðàâíî íóëþ, íî ïðè u! �1 ãàóñ-
ñîâî êðó÷åíèå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Åñëè b(t) 6= 0, òî íà êàæäîé ïðÿìîëèíåéíîé
îáðàçóþùåé ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà, â êîòîðîé �� = 0. Ñîâîêóïíîñòü
ýòèõ òî÷åê îáðàçóåò íåêîòîðóþ ëèíèþ, êîòîðàÿ äåëèò ïîâåðõíîñòü íà äâå ÷à-
ñòè, ãäå �� > 0 è �� < 0 (àíàëîã ïàðàáîëè÷åñêîé ëèíèè). Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî
ýòà êðèâàÿ åñòü ïàðàáîëè÷åñêàÿ ëèíèÿ äëÿ êðèâèçíû íîðìàëüíîé ñâÿçíîñòè.
Åñëè b(t) = 0, òî �� ñîõðàíÿåò çíàê.
5. Ðàññìîòðèì ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè â E4 ñ íóëåâûì ãàóññîâûì êðó÷å-
íèåì.
Óòâåðæäåíèå 5. Ïóñòü
� íåêîòîðàÿ êðèâàÿ â E4 ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì
�(t), ãäå t � íàòóðàëüíûé ïàðàìåòð, åäèíè÷íîå âåêòîðíîå ïîëå a(t) � ëèíåé-
íàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ íàòóðàëüíîãî áàçèñà �2, �3, �4. Òîãäà ëèíåé÷àòàÿ
ïîâåðõíîñòü â E4 ñ êðó÷åíèåì Ãàóññà, ðàâíûì íóëþ, ëèáî ëåæèò â E3, ëèáî
îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé äâóõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
íà êîýôôèöèåíòû ai(t), à èìåííî:
d
dt
�
arctg
a3
a4
�
� k3 + k2
a2a4
(a3)2 + (a4)2
= 0; (9)
d
dt
�
arctg
a2
a4
�
� k3
a2a3
(a2)2 + (a4)2
� k2
a3a4
(a2)2 + (a4)2
= 0: (10)
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Óñëîâèå �� = 0 ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé:
c(t) = k1(T
3a4 � T 4a3) = 0;
b(t) =
�
T 4dT
3
dt
� T 3dT
4
dt
�
a2 + T 2
�
dT 4
dt
a3 � dT 3
dt
a4
�
+T 2T 4(k2a
2 + k3a
4)� (T 2)2k2a
4 + T 2T 3k3a
3 � k3a
2((T 3)2 + (T 4)2) = 0:
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé k1 = 0, ò.å. íàïðàâëÿþùàÿ êðèâàÿ � ïðÿìàÿ, �1 �
ïîñòîÿííûé âåêòîð.  ýòîì ñëó÷àå âåêòîðû a è a0 îðòîãîíàëüíû ê �1. Íàõîäÿ
íîðìàëè, êîýôôèöèåíòû âòîðûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì è èñïîëüçóÿ äëÿ âû÷èñ-
ëåíèÿ ãàóññîâîãî êðó÷åíèÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷àåì, ÷òî �� = 0 â òîì ñëó÷àå,
åñëè âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå (a00; a; a0) = 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî a(t) 2 E2,
à ðàññìàòðèâàåìàÿ ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèíàäëåæèò E3.
52 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1
Ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè â En
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé T 3a4 � T 4a3 = 0. Çàìåòèì, ÷òî îòñþäà ñëåäóåò
a3
a4
=
T 3
T 4
: (11)
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ äëÿ T j, ïîëó÷èì
�
a4
da3
dt
� a3
da4
dt
�
� k3[(a
3)2 + (a4)2] + k2a
2a4 = 0: (12)
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé a3 = 0, a4 = 0. Òîãäà óñëîâèå T 3a4 � T 4a3 = 0 âû-
ïîëíåíî òîæäåñòâåííî, à èç óðàâíåíèÿ b(t) = 0 ïîëó÷èì k3k2(a
2)2 = 0, íî
jaj2 = 1 = (a2)2 6= 0, ïîýòîìó ëèáî k2 = 0 (
� ïëîñêàÿ êðèâàÿ), ëèáî k3 = 0,
ò.å. êðèâàÿ
è ïîëå a(t) ïðèíàäëåæàò E3, ñëåäîâàòåëüíî, ðàññìàòðèâàåìàÿ
ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèíàäëåæèò E3.
Ïðîàíàëèçèðóåì ñëó÷àé a3 6= 0, a4 = 0. Èç óñëîâèÿ T 3a4 � T 4a3 = 0
ñëåäóåò, ÷òî k3 = 0, òàêèì îáðàçîì, ïîâåðõíîñòü F 2 ïðèíàäëåæèò E3.
Ðàññìîòðåâ ñëó÷àé a3 6= 0, a4 6= 0, ðàçäåëèâ óðàâíåíèå (12) íà (a3)2+(a4)2,
ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
d
dt
�
arctg
a3
a4
�
� k3 + k2
a2a4
(a3)2 + (a4)2
= 0:
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå b(t) = 0, êîòîðîå ñâîäèòñÿ ê äèôôåðåíöèàëüíîìó
óðàâíåíèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà, ïîêàæåì ýòî.
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå T 3a4 � T 4a3 = 0:
d(T 3a4 � T 4a3)
dt
=
dT 3
dt
a4 + T 3da
4
dt
� dT 4
dt
a3 � T 4da
3
dt
= 0:
Îòñþäà ñëåäóåò
dT 4
dt
a3 � dT 3
dt
a4 = T 3da
4
dt
� T 4da
3
dt
:
Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â b(t) è ïðåäïîëîæèâ, ÷òî (T 3)2 + (T 4)2 6= 0, ðàç-
äåëèâ âñå íà (T 3)2 + (T 4)2, ïîëó÷èì óðàâíåíèå
d
dt
�
arctg
T 3
T 4
�
a2 � k3a
2 +
1
(T 3)2 + (T 4)2
�
��
da4
dt
T 3 � da3
dt
T 4
�
T 2 + T 2T 4(k2a
2 + k3a
4)� (T 2)2k2a
4 + T 2T 3k3a
3
�
= 0:
Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ, êîòîðîå ðàâíî
T 2T 3
�
da4
dt
+ k3a
3
�
� T 2T 4
�
da3
dt
� k2a
2 � k3a
4
�
� (T 2)2k2a
4
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1 53
Î.À. Ãîí÷àðîâà
= T 2T 3
�
da4
dt
+ k3a
3
�
� T 2T 4
�
da3
dt
+ k2a
2 � k3a
4
�
+ 2T 2T 4k2a
2 � (T 2)2k2a
4:
Âûðàæåíèÿ â êðóãëûõ ñêîáêàõ � íå ÷òî èíîå, êàê êîýôôèöèåíòû T 4 è T 3,
ïîëó÷àåì
T 2T 3T 4 � T 2T 4T 3 + 2T 2T 4k2a
2 � (T 2)2k2a
4 = 2T 2T 4k2a
2 � (T 2)2k2a
4:
Èòàê, èìååì
d
dt
�
arctg
T 3
T 4
�
a2 � k3a
2 +
1
(T 3)2 + (T 4)2
�
2T 2T 4k2a
2 � (T 2)2k2a
4
�
=
d
dt
�
arctg
T 3
T 4
�
a2 � k3a
2 +
1
(T 4)2
�
(T 3)2
(T 4)2
+ 1
� �2T 2T 4k2a
2 � (T 2)2k2a
4
�
= 0:
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (11) è (9), èìååì
�
�k2
a2a4
(a3)2 + (a4)2
�
a2 +
1
(T 4)2
�
(a3)2
(a4)2
+ 1
� �2T 2T 4k2a
2 � (T 2)2k2a
4
�
= �k2
(a2)2a4
(a3)2 + (a4)2
+ 2k2
T 2
T 4
a2(a4)2
(a3)2 + (a4)2)
� k2
(T 2)2
(T 4)2
(a4)3
(a3)2 + (a4)2
= 0:
Ïðèâîäÿ äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïîëó÷èì
� k2a
4
(T 4)2[(a3)2 + (a4)2]
((T 4)2(a2)2 � 2T 2T 4a2a4 + (T 2)2(a4)2)
= � k2a
4
(T 4)2[(a3)2 + (a4)2]
(T 4a2 � T 2a4)2 = 0:
Ìîæåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî k2a
4 6= 0. Òîãäà
T 4a2 � T 2a4 = 0: (13)
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿ T j :
�
da2
dt
� k2a3
�
a4 �
�
da4
dt
+ k3a
3
�
a2 = 0: (14)
Ñãðóïïèðîâàâ è ðàçäåëèâ íà (a2)2 +(a4)2, ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ-
íåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà íà êîýôôèöèåíòû ai(t):
d
dt
�
arctg
a2
a4
�
� k3
a2a3
(a2)2 + (a4)2
� k2
a3a4
(a2)2 + (a4)2
= 0:
54 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1
Ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè â En
Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Òàê êàê âåêòîð a � åäèíè÷íûé, òî êîýôôèöèåíòû ai ìîæåì çàïèñàòü
â âèäå
a2 = sin';
a3 = cos' sin ;
a4 = cos' cos :
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿ ai â ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó: ïåðâîå óðàâíåíèå
ðàññìîòðèì â âèäå (12), âòîðîå � â âèäå (14), ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé:
d
dt
� k3 + k2tg'cos = 0; (15)
d'
dt
� k2sin = 0: (16)
Ëåììà 2. Êîýôôèöèåíòû T 2, T 3, T 4 ðàâíû íóëþ â ñèëó ñèñòåìû (15)�
(16).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âû÷èñëèì
T 4 =
da4
dt
+ k3a
3 = �sin'cos d'
dt
� cos'sin
d
dt
+ cos'sin k3:
Èç (15) è (16) íàéäåì, ÷åìó ðàâíû d'
dt
è d
dt
, è, ïîäñòàâèâ â âûðàæåíèå äëÿ T 4,
ïîëó÷èì T 4 = 0. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîëó÷àåì, ÷òî T 2 è T 3 òàêæå ðàâíû
íóëþ. Ëåììà äîêàçàíà.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîäíàÿ âåêòîðà a èìååò ñïåöèàëüíûé âèä
a0 = T 1�1;
ãäå T 1 = �k1sin'.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé T 1 = 0. Ïîëó÷àåì öèëèíäðè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü, ñî-
ñòîÿùóþ èç ñòàöèîíàðíûõ îáðàçóþùèõ, êîòîðàÿ ðåãóëÿðíà. Íî åñëè T1 = 0,
òî a0 = T 1�1 = 0, ò.å. âåêòîð a(t) � ïîñòîÿííûé âåêòîð. Ïóñòü îí áóäåò ñîíà-
ïðàâëåí ñ åäèíè÷íûì âåêòîðîì e4, îðòîãîíàëüíûì ê E3.
Èìååì (a; �1) = 0, ñëåäîâàòåëüíî, (a; �1) = (a; @r
@s
) = @
@s
(a; r) = 0. Ïîëó÷à-
åì (a; r) = const, çíà÷èò, êðèâàÿ
ëåæèò â E3. Òàêèì îáðàçîì, ïîâåðõíîñòü
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáîáùåííûé öèëèíäð, ïðÿìîëèíåéíàÿ îáðàçóþùàÿ êîòî-
ðîãî ëåæèò â E3.
Ïðîàíàëèçèðóåì ñëó÷àé T 1 6= 0. Ïîëó÷àåì ïîâåðõíîñòü, ñîñòîÿùóþ èç
òîðñîâûõ îáðàçóþùèõ (ñì. (2)). Íà êàæäîé òîðñîâîé îáðàçóþùåé ñóùåñòâóåò
îñîáàÿ òî÷êà, ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ òî÷åê îáðàçóþò îñîáóþ êðèâóþ �(t).
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1 55
Î.À. Ãîí÷àðîâà
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ êðèâóþ, ïðèíàäëåæàùóþ íàøåé ïîâåðõíîñòè,
ðàäèóñ-âåêòîð êîòîðîé èìååò âèä
r(t; u(t)) = �(t) + u(t)a(t):
Îáîçíà÷èì øòðèõîì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè r(t; u(t)) ïî t. Äëÿ îñîáîé êðèâîé
�(t) èìååì óñëîâèå rt = 0, ò.å. rt = �0+ ua0 = 0, u = � �
0
a0 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
u(t) 2 C4 è, ñëåäîâàòåëüíî, êðèâàÿ �(t) 2 C4.
Íàéäåì êàñàòåëüíûé âåêòîð ê ýòîé êðèâîé
r0 = �0 + ua0 + u0a:
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
r0 = u0a:
Ñëåäîâàòåëüíî, êàñàòåëüíûé âåêòîð ê îñîáîé êðèâîé �(t) ñîíàïðàâëåí ñ âåê-
òîðîì a. Òàêèì îáðàçîì, íàøó ëèíåé÷àòóþ ïîâåðõíîñòü ìîæíî ðàññìàòðè-
âàòü êàê òîðñîâóþ ïîâåðõíîñòü â E4, îáðàçîâàííóþ êàñàòåëüíûìè ê îñîáîé
êðèâîé. Âûÿñíèì, êàêîé âèä èìååò ýòà îñîáàÿ êðèâàÿ �(t). Äëÿ ýòîãî ðàññìîò-
ðèì íàøó ïîâåðõíîñòü êàê òîðñîâóþ ïîâåðõíîñòü. Ïóñòü �i(t); i = 1; 2; 3; 4 �
íàòóðàëüíûé áàçèñ �(t). Òîãäà ðàäèóñ-âåêòîð ïîâåðõíîñòè çàïèøåòñÿ â âèäå
r(t; v) = �(t) + v�1(t);
ãäå �(t) � ðàäèóñ-âåêòîð îñîáîé êðèâîé �(t).
×åðåç �(t) ïðîõîäÿò äâå ÷àñòè ïîâåðõíîñòè, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ïî-
ëîæèòåëüíîìó è îòðèöàòåëüíîìó çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà v. ×òîáû âûÿñíèòü,
êàê îíè ðàñïîëîæåíû, ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå ïîâåðõíîñòè ñ ïëîñêîñòüþ �,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê êðèâîé �(t). Ïóñòü � ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó P0 2 �(t),
è ïóñòü òî÷êå P0 ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿ t = v = 0.  ïåðåñå÷åíèè ïîëó÷èì
ïðîñòðàíñòâåííóþ êðèâóþ �1(t), ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ÷àñòåé �1 è �2. Íàéäåì
ñâÿçü ìåæäó ïàðàìåòðàìè t è v. Äëÿ ýòîãî çàïèøåì óðàâíåíèå ïåðåñå÷åíèÿ
íàøåé ïîâåðõíîñòè ñ ïëîñêîñòüþ �:
(r(t; v); �1(0)) = 0: (17)
Ïóñòü P0 � íà÷àëî êîîðäèíàò. Çàïèøåì ðàçëîæåíèå âåêòîðîâ �(t) è �1(t)
â îêðåñòíîñòè òî÷êè P0:
�(t) = �0(0)t+ �00(0)
t2
2!
+ �000(0)
t3
3!
+ �(4)(0)
t4
4!
+ o(t4);
�1 = �0(t) = �1(0) + �00(0)t+ �000(0)
t2
2!
+ �(4)(0)
t3
3!
+ o(t3):
56 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1
Ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè â En
Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíûå âåêòîðà �(t) äî ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî:
�0(t) = �1(t);
�00(t) = �2(t)k1;
�000(t) = �1(t)(�k21) + �2(t)(k
0
1) + �3(t)(k1k2);
�(4)(t) = �1(t)(�3k1k01) + �2(t)(�k31 � k1k
2
2 + k001 )
+�3(t)(2k
0
1k2 + k1k
0
2) + �4(t)(k1k2k3):
Òîãäà âûðàæåíèå äëÿ ðàäèóñ-âåêòîðà íàøåé ïîâåðõíîñòè çàïèøåòñÿ â âèäå
r(t; v) = �1(0)t+ �2(0)k1
t2
2!
+ �1(0)(�k21)
t3
3!
+ �2(0)(k
0
1)
t3
3!
+�3(0)(k1k2)
t3
3!
+ �1(0)(�3k1k01)
t4
4!
+ �2(0)(�k31 � k1k
2
2 + k001)
t4
4!
+�3(0)(2k
0
1k2 + k1k
0
2)
t4
4!
+ �4(0)(k1k2k3)
t4
4!
+ o(t4)
+v
�
�1(0) + �2(0)k1t+ �1(0)(�k21)
t2
2!
+ �2(0)(k
0
1)
t2
2!
+ �3(0)(k1k2)
t2
2!
+�1(0)(�3k1k01)
t3
3!
+ �2(0)(�k31 � k1k
2
2 + k001 )
t3
3!
+�3(0)(2k
0
1k2 + k1k
0
2)
t3
3!
+ �4(0)(k1k2k3)
t3
3!
+ o(t3)
�
:
Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â (17), ïîëó÷èì
t+ v + o(t) = 0;
ñ òî÷íîñòüþ äî áåñêîíå÷íî ìàëûõ ìîæåì ñ÷èòàòü
v = �t:
 ïëîñêîñòè � âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò: ïóñòü îñü x íàïðàâëåíà ïî �2,
îñü y � ïî �3, îñü z � ïî �4, òîãäà äëÿ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ èìååì
x = (r(t;�t); �2(0));
y = (r(t;�t); �3(0));
z = (r(t;�t); �4(0)):
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1 57
Î.À. Ãîí÷àðîâà
Ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ðàäèóñ-âåêòîðà êðèâîé �1(t):
x = �k1
t2
2
+ o(t2);
y = �k1k2
t3
3
+ o(t3);
z = �k1k2k3
t4
8
+ o(t4):
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êðèâèçíà ýòîé êðèâîé ïðè t! 0 ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷-
íîñòè, ò.å. ýòî îñîáàÿ òî÷êà êðèâîé. Ìíîæåñòâî òàêèõ òî÷åê îáðàçóþò ðåáðî
âîçâðàòà íà ïîâåðõíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå T 1 6= 0, ìû ïîëó÷àåì íåðå-
ãóëÿðíóþ ïîâåðõíîñòü.
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî êðèâàÿ
è âåêòîðíîå ïîëå a(t) � àíàëèòè÷åñêèå, ðàñ-
ñìîòðèì àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè k3 = k3(t) è a4 = a4(t). Åñëè k3(t) = 0
â îêðåñòíîñòè U êàêîé-òî òî÷êè, òî èç àíàëèòè÷íîñòè ñëåäóåò, ÷òî k3(t) � 0.
Òîãäà êðèâàÿ
ëåæèò â íåêîòîðîì E3.  òàêîì ñëó÷àå èç ñèñòåìû (12)�(14)
ïîëó÷àåì �
a4
da3
dt
� a3
da4
dt
�
+ k2a
2a4 = 0:
�
a4
da2
dt
� a2
da4
dt
�
� k2a
3a4 = 0:
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî da
4
dt
= 0, òàêèì îáðàçîì, T 4 = 0. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âû-
ðàæåíèå â ñèñòåìó, ïîëó÷èì: ëèáî a4 = 0, ëèáî T 2 = da
2
dt
� k2a
3 = 0 è
T 3 = da
3
dt
+ k2a
2 = 0. Åñëè a4 = 0 â îêðåñòíîñòè U , òî a4 � 0 è ïîâåðõíîñòü
F 2 öåëèêîì ëåæèò â E3.
Åñëè T 2, T 3, T 4 = 0, òî a0 = T 1�1. Åñëè T
1 = 0, òî a0 = const, ò.å. F 2 �
îáîáùåííûé öèëèíäð. Åñëè T 1 6= 0, òî ñîîòâåòñòâóþùèé êóñîê F 2 � òîðñî-
âàÿ ïîâåðõíîñòü, íà êîòîðîé èìåþòñÿ îñîáåííîñòè (ñì. âûøå). Çàìåòèì, ÷òî
îñîáåííîñòü ñóùåñòâóåò íà êàæäîé ïðÿìîëèíåéíîé òîðñîâîé îáðàçóþùåé. Íî
ìû ðàññìàòðèâàåì ðåãóëÿðíóþ ïîâåðõíîñòü. Åñëè k3(t) 6� 0, òî ëèíåé÷àòàÿ
ïîâåðõíîñòü íå ëåæèò â E3, ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííûì öèëèíäðîì. Òà-
êèì îáðàçîì, â àíàëèòè÷åñêîì ñëó÷àå F 2 ëèáî ëåæèò â E3, ëèáî ÿâëÿåòñÿ
îáîáùåííûì öèëèíäðîì.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà êðèâàÿ
è âåêòîðíîå ïîëå a(t) � ðåãó-
ëÿðíûå êëàññà Ck, k � 5. Ôóíêöèè k3 = k3(t) è a
4 = a4(t) ìîãóò îáðàùàòüñÿ
â íóëü íà èíòåðâàëàõ. Îáîçíà÷èì U� � çàìêíóòûå èíòåðâàëû, íà êîòîðûõ
k3 = k3(t) = 0, è V� � çàìêíóòûå èíòåðâàëû, íà êîòîðûõ a4 = a4(t) = 0.
Ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå U�
T
V� = D�� . Åñëè D�� � èíòåðâàë, à íå òî÷êà,
58 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1
Ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè â En
òî íà ýòîì èíòåðâàëå êðèâàÿ
ëåæèò â E3 è a4 = a4(t) = 0, ñëåäîâàòåëü-
íî, êóñîê ïîâåðõíîñòè F 2, ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîìó èíòåðâàëó öåëèêîì ëåæèò
â E3. Êóñîê ïîâåðõíîñòè F 2, ñîîòâåòñòâóþùèé äîïîëíåíèþ ê D�� , íå ëåæèò
â E3 è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáîáùåííûé öèëèíäð. Ýòè äâà êóñêà ïîâåðõíîñòè
F 2 ñêëåèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé ïî ïðÿìîëèíåéíîé îáðàçóþùåé, êîòîðàÿ ó íèõ
îáùàÿ. Çàìåòèì, ÷òî ê ïîâåðõíîñòè, ëåæàùåé âE3, âäîëü äðóãîé ïðÿìîëèíåé-
íîé îáðàçóþùåé ìîæåò ïîäêëåèâàòüñÿ äðóãîé îáîáùåííûé öèëèíäð, ïðè÷åì
ó ïåðâîãî è âòîðîãî öèëèíäðîâ ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþùèå ìîãóò áûòü íå
ïàðàëëåëüíû. Òî÷êè íàêîïëåíèÿ íà íàïðàâëÿþùåé êðèâîé òî÷åê ñ k3 = 0 è
a4 = 0, åñëè îíè åñòü, â îáùåì ñëó÷àå ïðèâîäÿò ê áåñêîíå÷íîìó ÷èñëó ïîäêëå-
åê ïîâåðõíîñòåé óêàçàííûõ âûøå äâóõ òèïîâ. Äåéñòâèòåëüíî, â îêðåñòíîñòè
êàæäîé òàêîé òî÷êè íàêîïëåíèÿ ìîæíî íàéòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåðâà-
ëîâ, äëÿ êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùèå êóñêè ïîâåðõíîñòåé ïðèíàäëåæàò ê îä-
íîìó èç óêàçàííûõ òèïîâ. Çàìåòèì, ÷òî ïî óñëîâèþ òåîðåìû ïîâåðõíîñòü
ðåãóëÿðíà, âêëþ÷àÿ ïðÿìîëèíåéíóþ îáðàçóþùóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
íàêîïëåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíà òåîðåìà 2.
6.  äîïîëíåíèå ðàññìîòðèì îäèí ïðèìåð. Ïóñòü ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü
â E4 ñ êðó÷åíèåì Ãàóññà, ðàâíûì íóëþ, èìååò íàïðàâëÿþùóþ êðèâóþ
,
ëåæàùóþ â E3, è ïðÿìîëèíåéíóþ îáðàçóþùóþ, ïàðàëëåëüíóþ ïîñòîÿííîìó
âåêòîðó e4. Òîãäà ðàäèóñ-âåêòîð ýòîé ïîâåðõíîñòè èìååò âèä
�(t; u) = �(t) + ue4:
Íà ïîâåðõíîñòè ñ íóëåâûì ãàóññîâûì êðó÷åíèåì ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå
â íîðìàëüíîì ðàññëîåíèè âäîëü ëþáîãî ïóòè â îäíîñâÿçíîé îáëàñòè íå çàâè-
ñèò îò ïóòè ïåðåíåñåíèÿ, ò.å. åñëè ìû âîçüìåì çàìêíóòóþ êðèâóþ â îäíîñ-
âÿçíîé îáëàñòè è ïåðåíåñåì âäîëü òàêîé êðèâîé âåêòîð n, òî îí âåðíåòñÿ â
ïåðâîíà÷àëüíîå ïîëîæåíèå.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé çàìêíóòîé êðèâîé, íåãîìîòîïíîé íóëþ, ò.å.
êîòîðàÿ íå ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó.  êà÷åñòâå òàêîé êðèâîé âîçüìåì êðèâóþ
� E3. Ïîñòðîèì ïàðàëëåëüíî ïåðåíîñèìîå ïîëå â íîðìàëüíîì ðàññëîåíèè
âäîëü
. Íîðìàëÿìè ê ïîâåðõíîñòè áóäóò n1 = �2, n2 = �3. Äëÿ òîãî ÷òîáû
�2 è �3 áûëè îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíû, ïðåäïîëîæèì, ÷òî k1 6= 0. Çàìåòèì, ÷òî
âåêòîðû íàòóðàëüíîãî áàçèñà íå ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëüíî ïåðåíîñèìûìè, åñëè
êðó÷åíèå êðèâîé
íå ðàâíî íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, êîýôôèöèåíò êðó÷åíèÿ
ýòîãî áàçèñà ðàâåí k2:
�21j1 =
�
@�2
@t
�3
�
= (�k1�1 + k2�3; �3) = k2:
Ïîñòðîèì ïàðàëëåëüíî ïåðåíîñèìûé áàçèñ. Çàäàäèì
n = cos�n1 + sin�n2;
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1 59
Î.À. Ãîí÷àðîâà
m = �sin�n1 + cos�n2:
Ýòîò áàçèñ áóäåò ïàðàëëåëüíî ïåðåíîñèì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà�
@n
@s
;m
�
= 0, ÷òî ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ
@�
@t
+ k2 = 0:
Ïóñòü L � äëèíà êðèâîé
. Ðàññìîòðèì ïðèðàùåíèå óãëà � ìåæäó ïàðàëëåëü-
íî ïåðåíîñèìûì â íîðìàëüíîì ðàññëîåíèè íîðìàëüíûì âåêòîðíûì ïîëåì n
è âåêòîðîì �2. Ýòî ïðèðàùåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé �� = �
LR
0
k2dt.
Åñëè èíòåãðàë îò êðó÷åíèÿ êðèâîé
íå êðàòåí 2� (à òàêèå êðèâûå ëåãêî
óêàçàòü), òî ïîñëå ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ âåêòîð n íå âåðíåòñÿ â ñâîå ïåð-
âîíà÷àëüíîå ïîëîæåíèå. Åñëè èíòåãðàë îò êðó÷åíèÿ êðèâîé � ðàöèîíàëüíîå
÷èñëî p
q
, òî âåêòîð n âåðíåòñÿ â ñâîå ïåðâîíà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ïîñëå q îáîðî-
òîâ, à åñëè � èððàöèîíàëüíîå, òî íèêîãäà íå âåðíåòñÿ. Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå
òîðà Êëèôôîðäà ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíåñåíèè âåêòîðà â íîðìàëüíîì ðàñ-
ñëîåíèè âäîëü ëþáîé çàìêíóòîé êðèâîé (ãîìîòîïíîé è íåãîìîòîïíîé íóëþ),
âåêòîð âîçâðàùàåòñÿ â ïåðâîíà÷àëüíîå ïîëîæåíèå.  ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå
âîçíèêàåò ÿâëåíèå, êîòîðîå ìîæíî íàçâàòü "ñòðàííûì"êðó÷åíèåì.
Âûðàæàþ áëàãîäàðíîñòü ìîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ ä-ðó ôèç.-ìàò.
íàóê, ïðîô. Þ.À. Àìèíîâó çà ïîìîùü â ðàáîòå íàä ñòàòüåé. Òàêæå âûðàæàþ
áëàãîäàðíîñòü ä-ðó ôèç.-ìàò. íàóê, ÷ë.-êîðð. ÍÀÍÓ À.À. Áîðèñåíêî è êàíä.
ôèç.-ìàò. íàóê Â.À. Ãîðüêàâîìó çà ñäåëàííûå çàìå÷àíèÿ.
References
[1] V.F. Kagan, The foundation of the surfaces theory in the tensor presentation.
OGIZ, Moscow�Leningrad, 1947. (Russian)
[2] V.I. Shulikovskij, The classical di�erential geometry in the tensor presentation.
Fizmatgiz, Moscow, 1963. (Russian)
[3] W. Blaschke, The di�erential geometry and geometrical foundation of the theory of
relativity by Einsteins. ONTI, Moscow�Leningrad, 1935. (Russian)
[4] S.N. Krivoshapko, Torses and shells. (Reference book). Univ. People Friendship
Publ. House, Moscow, 1991. (Russian)
[5] A.V. Pogorelov, The extrinsic geometry of convex surfaces. Nauka, Moscow, 1969.
(Russian)
[6] V.À. Òîponogov, The Riemannian spaces with curvature limited from below. � Usp.
Mat. Nauk 14 (1985), No. 1(85), 87�130. (Russian)
[7] À.À. Borisenko, On the constraction of continuous surface with stright line. � Ukr.
Geom. Sb. 14 (1973), 21�24. (Russian)
60 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1
Ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè â En
[8] À.À. Borisenko, On the parabolic surfaces in Euclidean space. � Ukr. Geom. Sb.
25 (1982), 3�5. (Russian)
[9] À.À. Borisenko, On the cylindrical many-dimensional surfaces in Lobachevsky
space. � Ukr. Geom. Sb. 33 (1990), 18�27. (Russian)
[10] À.À. Borisenko, The intrinsic and the extrinsic geometry of many-dimensional
submanifolds. Publ. House "Ekzamen", Moscow, 2003. (Russian)
[11] V.Yu. Rovenskij, The condition of decompositions ruled and parabolic surfaces in
S
m and CPm. � Ukr. Geom. Sb. 32 (1989), 103�115. (Russian)
[12] L.À. Masalstev, On helicoidal surfaces in Euclidean space. � Ukr. Geom. Sb. 26
(1983), 100�103. (Russian)
[13] S.E. Con-Fossen, Some questions of the di�erential geometry in the "large". Publ.
House Fiz.-mat. Lit., Moscow, 1959. (Russian)
[14] I.Ya. Bakelman, À.L. Verner, and B.Å. Cantor, Introduction in the di�erential
geometry in the "large". Nauka, Moscow, 1973. (Russian)
[15] À.À. Borisenko, On compact surfaces of nonpositive extrinsic curvature in the
spherical space. � Ukr. Geom. Sb. 17 (1975), 33�35. (Russian)
[16] À.À. Borisenko, jr., The construction of globally-minimal submanifolds by method
of calibrate. Doct. diss., MGU, Moscow, 1996. (Russian)
[17] Yu.À. Aminov, The geometry of submanifolds. Naukova Dumka, Kiev, 2002.
(Russian)
[18] Yu.À. Aminov, The surfaces in E
4 with Gauss curvature coincident with Gauss
torsion up to the sign. � Ìàt. Zametki 56 (1994), 1211�1245. (Russian)
Ruled surfaces in En
O.A. Goncharova
B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering
National Academy of Sciences of Ukraine
47 Lenin Ave., Kharkov, 61103, Ukraine
E-mail:goncharova@ilt.kharkov.ua
Received December 22, 2004
Some local and global properties of ruled surfaces in En is devoted to
a study. In particular, the total Gauss curvature of the complete regular
orientable ruled surface was calculated. Also, Gaussian torsion was investi-
gated, and ruled surfaces in E4 with zero Gaussian torsion were stadied in
detail.
Mathematics Subject Classi�cation 2000: 53A07.
Key words: ruled surfaces, Gauss curvature, Gauss torsion.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2006, ò. 2, � 1 61
|