О структуре азимутально-мелкомасштабных УНЧ-колебаний горячей космической плазмы в кривом магнитном поле. Моды с непрерывным спектром
Рассмотрена задача о распространении азимутально-мелкомасштабных мод с ультранизкими частотами в одномерно-неоднородной плазме с переменной кривизной силовых линий магнитного поля. Розглянуто задачу про поширення азимутально-дрібномасштабних мод з ультранизькими частотами в одновимірно-неоднорідній...
Saved in:
| Published in: | Кинематика и физика небесных тел |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Головна астрономічна обсерваторія НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106838 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О структуре азимутально-мелкомасштабных УНЧ-колебаний горячей космической плазмы в кривом магнитном поле. Моды с непрерывным спектром / О.К. Черемных, Д.Ю. Климушкин, Д.В. Костарев // Кинематика и физика небесных тел. — 2014. — Т. 30, № 5. — С. 3-21. — Бібліогр.: 51 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-106838 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Черемных, О.К. Климушкин, Д.Ю. Костарев, Д.В. 2016-10-06T20:22:42Z 2016-10-06T20:22:42Z 2014 О структуре азимутально-мелкомасштабных УНЧ-колебаний горячей космической плазмы в кривом магнитном поле. Моды с непрерывным спектром / О.К. Черемных, Д.Ю. Климушкин, Д.В. Костарев // Кинематика и физика небесных тел. — 2014. — Т. 30, № 5. — С. 3-21. — Бібліогр.: 51 назв. — рос. 0233-7665 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106838 533.951 Рассмотрена задача о распространении азимутально-мелкомасштабных мод с ультранизкими частотами в одномерно-неоднородной плазме с переменной кривизной силовых линий магнитного поля. Розглянуто задачу про поширення азимутально-дрібномасштабних мод з ультранизькими частотами в одновимірно-неоднорідній плазмі зі змінною кривиною силових ліній магнітного поля. The problem of azimuthally small-scale ULF modes' propagation in plasma with ID inhomogeneity and variable magnetic field lines' curvature is analyzed. Работа выполнена в рамках Комплексной программы НАН Украины по космическим исследованиям и Программы НАН Украины по физике плазмы (О. К. Черемных), Программы № 22 Президиума Российской академии наук (Д. Ю. Климушкин, Д. В. Костарев). Работа поддержана грантами ДФФД Ф53/177-2013 (О. К. Черемных), РФФИ 12-05-00121-a (Д. Ю. Климушкин), РФФИ 13-05-90436-укр-ф-a и14-05-00588-а (Д. В. Костарев). Авторы выражают признательность А. С. Парновскому и П. Н. Магеру за обсуждение. ru Головна астрономічна обсерваторія НАН України Кинематика и физика небесных тел Космическая физика О структуре азимутально-мелкомасштабных УНЧ-колебаний горячей космической плазмы в кривом магнитном поле. Моды с непрерывным спектром Про структуру азимутально-дрібномасштабних УНЧ-коливань гарячої космічної плазми у кривому магнітному полі. Моди з неперервним спектром On the structure of azimuthally small-scale ULF oscillations of hot space plasma in curved magnetic field. Modes with continuous spectrum Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О структуре азимутально-мелкомасштабных УНЧ-колебаний горячей космической плазмы в кривом магнитном поле. Моды с непрерывным спектром |
| spellingShingle |
О структуре азимутально-мелкомасштабных УНЧ-колебаний горячей космической плазмы в кривом магнитном поле. Моды с непрерывным спектром Черемных, О.К. Климушкин, Д.Ю. Костарев, Д.В. Космическая физика |
| title_short |
О структуре азимутально-мелкомасштабных УНЧ-колебаний горячей космической плазмы в кривом магнитном поле. Моды с непрерывным спектром |
| title_full |
О структуре азимутально-мелкомасштабных УНЧ-колебаний горячей космической плазмы в кривом магнитном поле. Моды с непрерывным спектром |
| title_fullStr |
О структуре азимутально-мелкомасштабных УНЧ-колебаний горячей космической плазмы в кривом магнитном поле. Моды с непрерывным спектром |
| title_full_unstemmed |
О структуре азимутально-мелкомасштабных УНЧ-колебаний горячей космической плазмы в кривом магнитном поле. Моды с непрерывным спектром |
| title_sort |
о структуре азимутально-мелкомасштабных унч-колебаний горячей космической плазмы в кривом магнитном поле. моды с непрерывным спектром |
| author |
Черемных, О.К. Климушкин, Д.Ю. Костарев, Д.В. |
| author_facet |
Черемных, О.К. Климушкин, Д.Ю. Костарев, Д.В. |
| topic |
Космическая физика |
| topic_facet |
Космическая физика |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кинематика и физика небесных тел |
| publisher |
Головна астрономічна обсерваторія НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про структуру азимутально-дрібномасштабних УНЧ-коливань гарячої космічної плазми у кривому магнітному полі. Моди з неперервним спектром On the structure of azimuthally small-scale ULF oscillations of hot space plasma in curved magnetic field. Modes with continuous spectrum |
| description |
Рассмотрена задача о распространении азимутально-мелкомасштабных мод с ультранизкими частотами в одномерно-неоднородной плазме с переменной кривизной силовых линий магнитного поля.
Розглянуто задачу про поширення азимутально-дрібномасштабних мод з ультранизькими частотами в одновимірно-неоднорідній плазмі зі змінною кривиною силових ліній магнітного поля.
The problem of azimuthally small-scale ULF modes' propagation in plasma with ID inhomogeneity and variable magnetic field lines' curvature is analyzed.
|
| issn |
0233-7665 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106838 |
| citation_txt |
О структуре азимутально-мелкомасштабных УНЧ-колебаний горячей космической плазмы в кривом магнитном поле. Моды с непрерывным спектром / О.К. Черемных, Д.Ю. Климушкин, Д.В. Костарев // Кинематика и физика небесных тел. — 2014. — Т. 30, № 5. — С. 3-21. — Бібліогр.: 51 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT čeremnyhok ostruktureazimutalʹnomelkomasštabnyhunčkolebaniigorâčeikosmičeskoiplazmyvkrivommagnitnompolemodysnepreryvnymspektrom AT klimuškindû ostruktureazimutalʹnomelkomasštabnyhunčkolebaniigorâčeikosmičeskoiplazmyvkrivommagnitnompolemodysnepreryvnymspektrom AT kostarevdv ostruktureazimutalʹnomelkomasštabnyhunčkolebaniigorâčeikosmičeskoiplazmyvkrivommagnitnompolemodysnepreryvnymspektrom AT čeremnyhok prostrukturuazimutalʹnodríbnomasštabnihunčkolivanʹgarâčoíkosmíčnoíplazmiukrivomumagnítnomupolímodizneperervnimspektrom AT klimuškindû prostrukturuazimutalʹnodríbnomasštabnihunčkolivanʹgarâčoíkosmíčnoíplazmiukrivomumagnítnomupolímodizneperervnimspektrom AT kostarevdv prostrukturuazimutalʹnodríbnomasštabnihunčkolivanʹgarâčoíkosmíčnoíplazmiukrivomumagnítnomupolímodizneperervnimspektrom AT čeremnyhok onthestructureofazimuthallysmallscaleulfoscillationsofhotspaceplasmaincurvedmagneticfieldmodeswithcontinuousspectrum AT klimuškindû onthestructureofazimuthallysmallscaleulfoscillationsofhotspaceplasmaincurvedmagneticfieldmodeswithcontinuousspectrum AT kostarevdv onthestructureofazimuthallysmallscaleulfoscillationsofhotspaceplasmaincurvedmagneticfieldmodeswithcontinuousspectrum |
| first_indexed |
2025-11-27T09:19:36Z |
| last_indexed |
2025-11-27T09:19:36Z |
| _version_ |
1850808902155763712 |
| fulltext |
ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÀß ÔÈÇÈÊÀ
ÓÄÊ 533.951
Î. Ê. ×åðåìíûõ1, Ä. Þ. Êëèìóøêèí2, Ä. Â. Êîñòàðåâ2
1Èíñòèòóò êîñìè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé Íàöèîíàëüíîé àêàäåìèè íàóê Óêðàèíû
è Ãîñóäàðñòâåííîãî êîñìè÷åñêîãî àãåíòñòâà Óêðàèíû
Ïðîñïåêò àêàäåìèêà Ãëóøêîâà, 40, êîðï. 4/1, Êèåâ 187, ÌÑÏ 03680
oleg.cheremnykh@gmail.com
2Èíñòèòóò ñîëíå÷íî-çåìíîé ôèçèêè
à/ÿ 291, óë. Ëåðìîíòîâà, 126-à, Èðêóòñê, Ðîññèÿ, 664033
klimush@iszf.irk.ru
Î ñòðóêòóðå àçèìóòàëüíî-ìåëêîìàñøòàáíûõ
ÓÍ×-êîëåáàíèé ãîðÿ÷åé êîñìè÷åñêîé ïëàçìû
â êðèâîì ìàãíèòíîì ïîëå.
Ìîäû ñ íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì
Ðàññìîòðåíà çàäà÷à î ðàñïðîñòðàíåíèè àçèìóòàëüíî-ìåëêî ìàñ -
øòàá íûõ ìîä ñ óëüòðàíèçêèìè ÷àñòîòàìè â îäíîìåðíî-íåîäíî ðîä -
íîé ïëàçìå ñ ïåðåìåííîé êðèâèçíîé ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Îïðåäåëåíû îáëàñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ è ïîïåðå÷íàÿ ñòðóêòóðà óñ -
òîé÷èâûõ àëüâåíîâñêèõ è êàñïîâûõ ìîä è íåóñòîé÷èâûõ áàëëîííûõ
ìîä. Ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü äîëãîæèâóùèõ áàëëîííûõ è êàñïîâûõ
ìîä. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû êà÷åñòâåííî îïèñûâàþò ïîâåäåíèå
ÓÍ×-ìîä ñ íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì â ìàãíèòîñôåðå Çåìëè è ìîãóò
áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ èíòåðïðåòàöèè äàííûõ èçìåðåíèé ñ êîñìè -
÷åñêèõ àïïàðàòîâ è ðàäàðîâ SuperDARN.
ÏÐÎ ÑÒÐÓÊÒÓÐÓ ÀÇÈÌÓÒÀËÜÍÎ-ÄвÁÍÎÌÀÑØÒÀÁÍÈÕ ÓÍ×-
ÊÎ ËÈ ÂÀÍÜ ÃÀÐß×ί ÊÎÑ̲×Íί ÏËÀÇÌÈ Ó ÊÐÈÂÎÌÓ ÌÀÃÍ²Ò -
ÍÎÌÓ ÏÎ˲. ÌÎÄÈ Ç ÍÅÏÅÐÅÐÂÍÈÌ ÑÏÅÊÒÐÎÌ, ×åðåìíèõ Î. Ê.,
Êë³ìóøê³í Ä. Þ., Êîñòàðºâ Ä. Â. — Ðîçãëÿíóòî çàäà÷ó ïðî ïîøèðåííÿ
àçèìóòàëüíî-äð³áíîìàñøòàáíèõ ìîä ç óëüòðàíèçüêèìè ÷àñòîòàìè â
îäíîâèì³ðíî-íåîäíîð³äí³é ïëàçì³ ç³ çì³ííîþ êðèâèíîþ ñèëîâèõ ë³í³é
ìàãí³òíîãî ïîëÿ. Âèçíà÷åíî îáëàñò³ ïîøèðåííÿ òà ïîïåðå÷íà ñòðóê -
òóðà ñò³éêèõ àëüâåí³âñüêèõ ³ êàñïîâèõ ìîä òà íåñò³éêèõ áàëîííèõ
ìîä. Ïîêàçàíî ìîæëèâ³ñòü äîâãîæèâó÷èõ áàëîííèõ ³ êàñïîâèõ ìîä.
Îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè ÿê³ñíî îïèñóþòü ïîâåä³íêó ÓÍ×-ìîä ç íåïå -
ðåðâíèì ñïåêòðîì ó ìàãí³òîñôåð³ Çåìë³ ³ ìîæóòü âèêîðèñòî âó âà òè -
3
ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ
È ÔÈÇÈÊÀ
ÍÅÁÅÑÍÛÕ
ÒÅË òîì 30 ¹ 5 2014
© Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, Ä. Þ. ÊËÈÌÓØÊÈÍ, Ä. Â. ÊÎÑÒÀÐÅÂ, 2014
4
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ È ÄÐ.
ñÿ äëÿ ³íòåðïðåòàö³¿ äàíèõ âèì³ðþâàíü ç êîñì³÷íèõ àïàðàò³â ³ ðàäàð³â
SuperDARN.
ON THE STRUCTURE OF AZIMUTHALLY SMALL-SCALE ULF OSCI -
LLA TIONS OF HOT SPACE PLASMA IN CURVED MAGNETIC FIELD.
MODES WITH CONTINUOUS SPECTRUM, by Cherem nykh O. K., Kli -
mushkin D. Yu., Kostarev D. V. — The prob lem of azimuthally small-scale
ULF modes’ prop a ga tion in plasma with 1D inhomogeneity and vari able
mag netic field lines’ cur va ture is an a lyzed. The prop a ga tion ar eas and the
trans verse struc ture of sta ble Alfven and cusp modes, as well as un sta ble
bal loon ing modes, are de ter mined. It is shown that long-liv ing bal loon ing
and cusp modes can ex ist. Our re sults qual i ta tively de scribe the be hav iour
of ULF modes with con tin u ous spec trum in the ter res trial mag neto sphere
and can be used to in ter pret the data of space craft and SuperDARN ra dar
mea sure ments.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Íàáëþäàåìûå â ìàãíèòîñôåðå Çåìëè óëüòðàíèçêî÷àñòîòíûå (ÓÍ×)
âîëíû îáû÷íî äåëÿòñÿ íà äâà òèïà: âîëíû ñ áîëüøèìè è ìàëûìè àçè -
ìó òàëüíûìè âîëíîâûìè ÷èñëàìè m.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðåäïîëà ãà -
åòñÿ, ÷òî âîëíû ñ m ~ 1 âîçáóæäàþòñÿ ïðîöåññàìè íà ãðàíèöå ìàãíè òî -
ñôåðû èëè ïðèõîäÿò èç ìåæïëàíåòíîé ñðåäû [2, 4, 6, 10, 25, 26]. Âîëíû
ñ m >> 1 ìîãóò ãåíåðèðîâàòüñÿ çà ñ÷åò èíæåêöèè â ïëàçìó ýíåð ãè÷íûõ
÷àñòèö âî âðåìÿ ñóááóðü [42, 46, 51] è ðàçëè÷íûõ ïëàçìåííûõ íåóñ -
òîé ÷èâîñòåé [31, 33, 43]. Âîçìîæíû òàêæå êîìáèíèðîâàííûå ìåõà íèç -
ìû: âíåøíåå âîçäåéñòâèå íà ìàãíèòîñôåðó ñîïðîâîæäàåòñÿ ïå ðå -
ñòðîé êîé åå âíóòðåííåé ñòðóêòóðû, ÷òî ïðèâîäèò ê ãåíåðàöèè ÓÍ×-
âîëí ñ áîëüøèìè àçèìóòàëüíûìè âîëíîâûìè ÷èñëàìè [50].
Óëüòðàíèçêî÷àñòîòíûå âîëíû ñ m >> 1 ÷àñòî íàáëþäàþòñÿ â ïðè -
ýê âàòîðèàëüíûõ îáëàñòÿõ ìàãíèòîñôåðû [3], õàðàêòåðèçóåìûõ âûñî -
êèì ïëàçìåííûì äàâëåíèåì (îòíîøåíèå ïëàçìåííîãî äàâëåíèÿ ê ìàã -
íèò íîìó b ~ 1) è çíà÷èòåëüíîé êðèâèçíîé ñèëîâûõ ëèíèé. Íåñìîòðÿ íà
çíà ÷èòåëüíóþ ðàáîòó ïî òåîðåòè÷åñêîìó èññëåäîâàíèþ êîëåáàíèé ãî -
ðÿ ÷åé ïëàçìû â êðèâîì ìàãíèòíîì ïîëå, ìíîãèå âîïðîñû ïî-ïðåæ íå -
ìó îñòàþòñÿ íåÿñ íûìè. Îò÷àñòè ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî äëÿ èçó÷åíèÿ
êî ëå áàíèé îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ äâóìåðíî-íåîäíîðîäíàÿ ìîäåëü ñ íå -
ïîñòîÿííîé êðèâèç íîé ñèëîâûõ ëèíèé, ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû èñ -
ñëå äîâàíèÿ êîòîðîé ðàçðàáîòàíû åùå íåäîñòàòî÷íî.
Äëÿ ðàçðåøåíèÿ ýòèõ òðóäíîñòåé â íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìîòðåíà
îäíîìåðíî-íåîäíîðîäíàÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ ìîäåëü ñðåäû, â êîòîðîé
ñè ëîâûå ëèíèè ñ÷èòàþòñÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè îêðóæíîñòÿìè, è âñå
ðàâ íîâåñíûå ïàðàìåòðû (äàâëåíèå P0 , ìàãíèòíîå ïîëå B0 , àëüâå íîâ -
ñêàÿ ñêîðîñòü cA ) èçìåíÿþòñÿ òîëüêî ïîïåðåê ìàãíèòíûõ îáîëî ÷åê.
Íåñìîòðÿ íà îòíîñèòåëüíóþ ïðîñòîòó ýòîé ìîäåëè, îíà ñîõðàíÿåò òà -
êèå áàçîâûå ÷åðòû ìàãíèòîñôåðíîé ïëàçìû, êàê êðèâèçíà ñèëîâûõ ëè -
íèé è ðàäèàëüíàÿ íåîäíîðîäíîñòü. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòà ìîäåëü ïî -
çâî ëÿåò îáîéòè ìíîãèå ìàòåìàòè÷åñêèå òðóäíîñòè, õàðàêòåðíûå äëÿ
äâó ìåðíî-íåîäíîðîäíûõ ìîäåëåé.
Îñîáûé óïîð â ðàáîòå äåëàåòñÿ íà ðàññìîòðåíèå ïîïåðå÷íîé
ñòðóê òóðû ìîäû. Ïî ñóùåñòâó ðåøàåòñÿ òà æå çàäà÷à, ÷òî è â êëàñ ñè -
÷åñêèõ ðàáîòàõ [18, 38, 48]: íàõîæäåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé ñòðóê òóðû
âîëíû ïðè çàäàííîé ÷àñòîòå. Àêòóàëüíîñòü ýòîé ïðîáëåìû çà êëþ ÷à -
åòñÿ â òîì, ÷òî ïîïåðå÷íàÿ ñòðóêòóðà âîëí ñ m >> 1 â ïî ñëåäíèå ãîäû
èí òåíñèâíî èçó÷àåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî ñ ïîìîùüþ ñïóò íèêîâ [47] è
ðàäàðîâ [49]. Âîçìîæíà è îáðàòíàÿ ïîñòàíîâêà çà äà÷è: ïðè çàäàííîé
ïîïåðå÷íîé ñòðóêòóðå (ôèêñàöèè ðàäèàëüíîé (k r ) è àçè ìóòàëüíîé (k y )
ñîñòàâëÿþùèõ âîëíîâîãî âåêòîðà) íàéòè ñïåêòð ÷àñ òîò ñîáñòâåííûõ
êîëåáàíèé ñèñòåìû [1, 12, 13, 21, 35, 45]. Òàêàÿ ïî ñòàíîâêà ÿâëÿåòñÿ
áîëåå åñòåñòâåííîé äëÿ èçó÷åíèÿ ÌÃÄ-íåóñ òîé ÷èâîñòåé ïëàçìû. Ýòîò
ñëó÷àé òàêæå êðàòêî ðàññìîòðåí â ïðåäëà ãàå ìîé ðàáîòå.
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀËÛÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ
Ïîëàãàåì, ÷òî ñòàòè÷åñêîå ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå ïëàçìû îáëàäàåò
ñèì ìåòðèåé öèëèíäðà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ, à ìàãíèòíûå ïîâåðõíîñòè
ïðåä ñòàâëÿþò ñîáîé âëîæåííûå öèëèíäðû (ðèñ. 1). Ñèëîâûå ëèíèè
ñ÷è òàþòñÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè îêðóæíîñòÿìè, âñå ðàâíîâåñíûå âåëè -
÷èíû ïëàçìû è ìàãíèòíîãî ïîëÿ çàâèñÿò òîëüêî îò ðàäèàëüíîé êîîð -
äè íàòû r, ÿâëÿþùåéñÿ òàêæå ðàäèóñîì êðèâèçíû ñèëîâîé ëèíèè. Êî -
îðäèíàòà l|| íàïðàâëåíà âäîëü ñèëîâîé ëèíèè, êîîðäèíàòà y èãðàåò
ðîëü àçèìóòàëüíîé êîîðäèíàòû.
Óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ïëàçìû èìååò âèä
Ñ = ´P
c
J B
1 r r
, (1)
ãäå P,
r
J è
r
B — ðàâíîâåñíûå çíà÷åíèÿ äàâëåíèå ïëàçìû, òîêà è ìàã íèò -
íî ãî ïîëÿ. Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ: b = 8 2pP B/ — îòíîøåíèå ïëàç -
ìåí íîãî äàâëåíèÿ ê ìàãíèòíîìó, c p = P dP dr-1 / è c B = B dB dr-1 / — ðà -
äè àëüíûå ìàñøòàáû èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ è ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîîòâåò -
ñòâåííî, c c = - -r 1 — ïðîåêöèÿ âåêòîðà êðèâèçíû íà ðà äè àëü íîå íà -
ïðàâ ëåíèå, òî óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå [12]
5
Î ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ ÀÇÈÌÓÒÀËÜÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÓÍ×-ÊÎËÅÁÀÍÈÉ
Ðèñ. 1. Öèëèíäðè÷åñêàÿ ìîäåëü ïëàçìû è
ñèñòåìà êîîðäèíàò
b
c c c
2
0p B c+ - = . (2)
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
r
x — ñìåùåíèå ïëàçìû îò ïîëî -
æå íèÿ ðàâíîâåñèÿ, r — ðàâíîâåñíàÿ ïëîòíîñòü,
r
E — ýëåêòðè÷åñêîå ïî -
ëå âîëíû, w — ÷àñòîòà âîëíû, dP,
r
j è
r
b — âîçìóùåíèÿ äàâëåíèÿ, òîêà è
ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Òîãäà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ çàïèøåòñÿ â âèäå [7]
- + Ñ = ´ + ´rw x d2 1 1r r r r r
P
c
J b
c
j B, (3)
ãäå âîçìóùåííûå âåëè÷èíû ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèÿìè
r r
j
c
b= Ñ´
4p
, (4)
i
c
b E
w r r
=Ñ´ , (5)
r r r
E
i
c
B= - ´
w
x , (6)
d x g xP P P= - ×Ñ - Ñ×
r r
. (7)
Ââåäåì ïîëíîå âîçìóùåííîå äàâëåíèå
d d
p
P P
B b
tot = +
×
r r
4
. (8)
Òîãäà óðàâíåíèå (3) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå
rw x d
p p
2 1
4
1
4
r r r r r
-Ñ + ×Ñ + ×ÑP B b b Btot ( ) ( ) = 0. (9)
Èñõîäÿ èç (5) è (6), âûðàæàåì âîçìóùåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÷åðåç
ñìåùåíèå:
r r r
b B=Ñ´ ´[ ]x . (10)
Îòñþäà ïîëíîå âîçìóùåííîå äàâëåíèå ðàâíî
d g x
p
x x xP P
B
tot c= - Ñ× - Ñ× + ×^ ^
r r r r2
4
2[ ]. (11)
Íèæíèé èíäåêñ ̂ îáîçíà÷àåò âåëè÷èíó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê ìàã íèò -
íî ìó ïîëþ. Ââèäó îäîðîäíîñòè ñðåäû âäîëü ñèëîâîé ëèíèè è êî îð äè -
íà òû y îòäåëüíóþ ôóðüå-ãàðìîíèêó ëþáîé âîçìóùåííîé âåëè ÷èíû F
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
F r y l t F r i t ik y ik ly( , , , ) ( )exp[ ]|| || ||= - + +w . (12)
Ñ ïîìîùüþ (10) è (12) óðàâíåíèå (9) ìîæåò áûòü ðàñïèñàíî ïî
êîì ïîíåíòàì â âèäå
6
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ È ÄÐ.
r w w x
r
x c x c
x
( )2 2
2
2
1
2 2- +
¶
¶
-
æ
è
ç
ö
ø
÷- +A r
A
r c r p
rc
r r r
r P
r
+ =2 2ik c
r
d
dr
Py A
y
totr
x
d , (13)
r w w x d( )2 2- =A y y totik P , (14)
r w w x d r
x
( ) || ||
2 2
2
2
22- = -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷T
T
A
tot T
rik
c
c
P c
r
, (15)
ãäå
d r x x r xP c c
r
d
dr
r ik ik ctot S A r y y S= - + +
é
ëê
ù
ûú
- +( ) || ||
2 2 21
2 2r
x
c
r
A
r . (16)
Çäåñü cA , cS è cT — àëüâåíîâñêàÿ, çâóêîâàÿ è êàñïîâàÿ ñêîðîñòè ñî îò -
âåò ñòâåííî, îïðåäåëÿåìûå êàê
c
B
A
2
2
4
=
pr
, c
P
S
2 =
g
r
, c
c c
c c
T
A S
A S
2
2 2
2 2
=
+
.
Ýòèì ñêîðîñòÿì ñîîòâåòñòâóþò ÷àñòîòû w A Ak c= || , wS Sk c= || è
wT = k cT|| , ñìûñë êîòîðûõ áóäåò ïðîÿñíåí íèæå.
Âûðàçèì â (14), (15) àìïëèòóäû x y è x || ÷åðåç x r è dPtot , ïîäñòàâèì
ïîëó÷èâøååñÿ çíà÷åíèå â (16). Ïîñëå íåêîòîðûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðå -
îáðàçîâàíèé íàõîäèì
d r
w w
k
x
c x
b
w w
w w
P
k r
d
dr
rtot
A
y
r
c r S
T
=
-
+
+
+ ¢
×
-
-
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1
é
ë
ê
ù
û
ú, (17)
ãäå b¢= c cS A
2 2/ è
k
w w w w
w w
2
2 2 2 2
2 2 2 2
=
- -
+ -
( )( )
( )( )
A S
A S Tc c
. (18)
Ïîäñòàâëÿÿ dPtot èç (17) è x y èç (14) â (13), ïîëó÷àåì äèôôå ðåí -
öèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ ðàäèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé
ñìåùåíèÿ x r :
d
dr k r
d
dr
r r
d
dr
c
r k
A
y
r
A
y
w w
k
r
x
r k
k
2 2
2 2
2
2
2
2 2
2-
+
+
+
æ
è
ç
ç
ö
( )
ø
÷
÷
- - +x w w rxr A r( )2 2
+ +
+
+
+ -
2
4 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
P
r
c
k
k
c
c c
p
r c A
y
y
S
A S T
c
x rc
k
k
w
w w( )( )
é
ë
ê
ù
û
ú =x r 0. (19)
 îäíîðîäíîé ïëàçìå ñ íóëåâîé êðèâèçíîé ñèëîâûõ ëèíèé (c c = 0
ïðè r ® ¥) èç (19) ïîëó÷àåòñÿ õîðîøî èçâåñòíîå äèñïåðñèîííîå óðàâ -
íåíèå äëÿ ÌÃÄ-âîëí [8]:
( )[ ( ) ]||w w w w2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 0- - + + =A A S A Sk c c k k c c , (20)
7
Î ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ ÀÇÈÌÓÒÀËÜÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÓÍ×-ÊÎËÅÁÀÍÈÉ
ãäå k k k2 2 2= +^ || . Ïåðâàÿ ñêîáêà â ýòîì óðàâíåíèè îïèñûâàåò àëüâå íîâ -
ñêèå âîëíû, âòîðàÿ — äâå âåòâè ìàãíèòîçâóêîâûõ êîëåáàíèé, áûñò -
ðûé (ÁÌÇ) è ìåäëåííûé (ÌÌÇ) ìàãíèòíûé çâóê.
Èç ñòðóêòóðû óðàâíåíèÿ (19) ñëåäóåò, ÷òî â íåîäíîðîäíîé ïëàçìå
ïðè êîíå÷íûõ k y è k || îíî èìååò ñèíãóëÿðíîñòè â òî÷êàõ, ãäå âûïîë íÿ -
þò ñÿ ðàâåíñòâà
w = w A r( ) (21)
è
w w= T r( ). (22)
Ïåðâîå óñëîâèå îïðåäåëÿåò àëüâåíîâñêèé êîíòèíóóì, âòîðîå —
êàñ ïîâûé, èëè ÌÌÇ-êîíòèíóóì.
Ñèíãóëÿðíûå ìàãíèòíûå ïîâåðõíîñòè èìåþò ðàäèàëüíûå êîîðäè -
íà òû rA è rT , ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé (21) è (22) ñîîò âåòñò -
âåí íî.  äàëüíåéøåì òî÷êè rA è rT áóäåì íàçûâàòü òî÷êàìè àëü âåíîâ -
ñêîãî è êàñïîâîãî (èëè ÌÌÇ) ðåçîíàíñà ñîîòâåòñòâåííî.
Êàñïîâàÿ ÷àñòîòà wT Tk c= || âñåãäà ìåíüøå àëüâåíîâñêîé w A = k cA|| .
 ðåàëüíîé ìàãíèòîñôåðå àëüâåíîâñêàÿ ÷àñòîòà óáûâàåò ñ ðàñ ñòî -
ÿíèåì îò Çåìëè. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè äàííîé ÷àñòîòå êàñïîâûé
ðåçîíàíñ ðàñïîëîæåí áëèæå ê Çåìëå, ÷åì àëüâåíîâñêèé (r rT A< ).
ÀÇÈÌÓÒÀËÜÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÅ ÂÎËÍÛ
 ïðèáëèæåíèè àçèìóòàëüíîé ìåëêîìàñøòàáíîñòè (k ky >> || è k Ly >>
>> 1, ãäå L — õàðàêòåðíûé ìàñøòàá ïîïåðå÷íîé íåîäíîðîäíîñòè)
óðàâíåíèå (19) äîïóñêàåò óïðîùåíèå:
d
dr
r
r
d
dr
r k rA r y A r[ ( )] [ ( )]w w
r
x w w rx2 2 2 2 2- - - -
- +
-
=2
4
02
2 2 2 2
2 2
k P
k c
r
y p c r
y c T
T
rc c x
w c
w w
rx
( )
. (23)
Ïðè ïîëó÷åíèè ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðåäïîëàãàëîñü âûïîëíåíèå íå -
ðàâåíñòâà k y >> k. Êàê âèäíî èç (18), ýòî íåðàâåíñòâî ìîæåò íå âûïîë -
íÿòüñÿ â óçêîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ÌÌÇ-ðåçîíàíñà. Ýòîò ðåãèîí äîë -
æåí àíàëèçèðîâàòüñÿ îòäåëüíî.
Ãëàâíûì îòëè÷èåì óðàâíåíèÿ (23) îò (19) ÿâëÿåòñÿ îòñóòñòâèå
÷ëå íîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÁÌÇ. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî âîëíà ñ ÷àñ òî -
òîé w << k cy A íàõîäèòñÿ â îáëàñòè íåïðîçðà÷íîñòè ÁÌÇ [40].
Íàëè÷èå â óðàâíåíèè (23) áîëüøîãî ïàðàìåòðà, ïðîïîðöèî íàëü íî -
ãî âåëè÷èíå k y
2 , äàåò îñíîâàíèå âîñïîëüçîâàòüñÿ ÂÊÁ-ïðèáëè æå íèåì
ïî ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòå. Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ïðèìåíè ìîñòè
ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå k Ly >> 1, äîñòàòî÷íîå óñëî âèå
áóäåò ïðèâåäåíî íèæå.
Ïðåäñòàâèì èñêîìóþ âåëè÷èíó â âèäå
x wr r iQ r( ) exp[ ( , )]= . (24)
8
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ È ÄÐ.
Çäåñü ôàçà Q ðàçëàãàåòñÿ â àñèìïòîòè÷åñêèé ðÿä ïî ïàðàìåòðó k y :
Q Q Q Q= + + +0 1 2 ..., (25)
ãäå Q0 µ O k y( )1 , Q1 µ O k y( )0 , Q2 µ O k y( )-1 è ò. ä. Äëÿ íà÷àëà îãðàíè÷èìñÿ
ãëàâíûì ïîðÿäêîì ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ, ò. å. íàéäåì òîëüêî ãëàâíûé
÷ëåí ðàçëîæåíèÿ (25). Ââåäåì îïðåäåëåíèå:
k
dQ
dr
r = 0 . (26)
Âåëè÷èíó k rr ( , )w ìîæíî íàçâàòü ðàäèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé âîë -
íî âîãî âåêòîðà, îäíàêî íåîáõîäèìî ïîìíèòü, ÷òî â îòëè÷èå îò àçèìó -
òàëü íîé ñîñòàâëÿþùåé k y âåëè÷èíà k r íå ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìûì ïàðà -
ìåò ðîì, à îïðåäåëÿåòñÿ â êîíå÷íîì èòîãå èç ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (23).
Ïîäñòàâëÿÿ (24) â (23), ñ ó÷åòîì (25), (26) ïîëó÷àåì çàâèñèìîñòü
êâàäðàòà ðàäèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé âîëíîâîãî âåêòîðà îò ðàäèàëüíîé
êîîðäèíàòû è ÷àñòîòû:
k r k
k
r
c
c
r y
y
A
A p c
c T
T
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2
4
( , )
( )
w
w w
b c c
w c
w w
= - +
-
- +
- 2 ( )r
é
ë
ê
ù
û
ú. (27)
 ïðåäåëå îäíîðîäíîé ïëàçìû ñ íóëåâîé êðèâèçíîé ñèëîâûõ ëè -
íèé (c c = 0, ò. å. r ® ¥) ýòî óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
( )( )w w w w2 2 2 2 0- - =A T . (28)
Ïåðâàÿ ñêîáêà îïèñûâàåò àëüâåíîâñêèå âîëíû, âòîðàÿ — ÌÌÇ â
ïðèáëèæåíèè k k^ >> ||. Ãëàâíûì îòëè÷èåì (27) îò (28) ÿâëÿåòñÿ íàëè -
÷èå ñëàãàåìûõ, îïèñûâàþùèõ ñöåïëåíèå àëüâåíîâñêîé è ìåäëåííîé
ìàãíèòîçâóêîâîé ìîä èç-çà êðèâèçíû ñèëîâûõ ëèíèé. Âûðàæåíèå (27)
ñîãëàñóåòñÿ ñ äèïåðñèîííûì óðàâíåíèåì äëÿ ñöåïëåííûõ àëüâåíîâ -
ñêîé è ÌÌÇ-ìîä, ïîëó÷åííûì â ðàáîòàõ [9, 12, 30, 35] è ðÿäå äðóãèõ.
Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (27), ôóíêöèÿ k rr
2 ( ) èìååò ïîëþñû â ðåçî -
íàíñ íûõ òî÷êàõ rA è rT . Îíà îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êàõ îòñå÷êè, îïðå -
äå ëÿåìûõ èç ñîîòíîøåíèÿ
[ ( ) ][ ( )]w w b c c w w w c2 2 2 2 2 2 2 24- + - =A A p c T c Tr c r c . (29)
Êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ (÷àñòîòû îòñå÷êè) îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîò -
íî øåíèÿ, ïîëó÷åííîãî â ðàáîòå [12]:
w
gb
gb
± =
+ + ±
+
2 2
21
2
c
k H D
A
( ) || , (30)
ãäå
H c c p= - +bc gc c gb[ ( / )]2 1 2 , D k H k c= + +( )|| ||
2 2 2 2 2 24 g b c .
Ïîñêîëüêó D ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíîé, êâàäðàòû ÷àñ -
òîò îòñå÷êè ÿâëÿþòñÿ ðåàëüíûìè. Èñõîäÿ èç (30), ìîæíî íàéòè ñëåäó -
þùèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ÷àñòîòàìè:
9
Î ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ ÀÇÈÌÓÒÀËÜÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÓÍ×-ÊÎËÅÁÀÍÈÉ
w w
gb
± - =
+
+ ±2 2
2
2
2
T
Ac
k H D[ ]|| (31)
(ðèñ. 2). Îòñþäà ñëåäóåò âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâ w- < wT < w+ . ×àñ òî -
òà w+ ìîæåò áûòü êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå àëüâåíîâñêîé ðåçîíàíñ íîé
÷àñòîòû w A . Ïîñëåäíåå èìååò ìåñòî ïðè ðåçêîì óìåíüøåíèè äàâ ëåíèÿ
ñ ðàññòîÿíèåì îò Çåìëè. Óäîáíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïðèáëèæåí íûõ çíà -
÷å íèé ÷àñòîò w± ìîæíî ïîëó÷èòü ïðè óñëîâèè b c( / )||c k 2 << 1:
w w
c
- = -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
2 2
2
2
2
2
1
4
T
c T
A
r
k
c
c
( )
||
, (32)
w w c b c c+ = + -2 2 2 2 24A c T A p cr c c( ) . (33)
Êàê âèäèì, ÷àñòîòà áëèæå ê àëüâåíîâñêîé ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå,
w- — ê ÷àñòîòå ÌÌÇ-ðåçîíàíñà. Êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ (30), ïðè óñ -
ëî âèè
k p c||
2 <bc c (34)
÷àñòîòà îòñå÷êè w- ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî ìíèìîé âåëè÷èíîé (w-
2 < 0) [12].
Ýòî óñëîâèå ðåàëèçóåòñÿ ïðè c >> c c , ò. å. â ïëàçìå ñ äîñòàòî÷íî áîëü -
øèì îòðèöàòåëüíûì ãðàäèåíòîì äàâëåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî
áàë ëîííàÿ íåóñòîé÷èâîñòü [15, 16, 35]. Áîëåå ïîäðîáíî ýòîò ñëó÷àé
áóäåò ðàñ ñìîòðåí íèæå.
Ïðåäïîëàãàÿ çíà÷åíèÿ ÷àñòîò îòñå÷êè w- , w+ èçâåñòíûìè, óðàâ íå -
íèå (27) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
k r k
r
r
r
r y
A
2 2
2 2
2 2
2 2
2
( , )
( )
( )
( )
w
w w
w w
w w
w
= -
-
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
-+ -
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷wT r2 ( )
. (35)
Ãðàôèê ýòîé çàâèñèìîñòè ïîêàçàí íà ðèñ. 3.
10
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ È ÄÐ.
Ðèñ. 2. Âåëè÷èíû ( )/w w w+ -2 2 2
A A (à) è ( )/w w w- -2 2 2
T A (á) êàê ôóíêöèÿ b äëÿ äâóõ ðàçíûõ çíà÷åíèé
îòíîøåíèÿ c cp c/
 òî÷êàõ îòñå÷êè, ãäå k rr
2 ( ) = 0, âîëíà ñòàíîâèòñÿ íåðàñïðî ñòðà íÿ -
þùåéñÿ. Êîîðäèíàòû ýòèõ òî÷åê r+ , r- îïðåäåëÿþòñÿ êàê ðåøåíèÿ
óðàâíåíèé
w w= + ( )r (36)
è
w w= - ( )r . (37)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ çàâèñèìîñòè êâàäðàòà ðàäèàëüíîãî âîëíîâîãî
âåê òîðà îò ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòû íåîáõîäèìî çíàòü ïîëîæåíèå òî -
÷åê rA , rT , r+ è r- , è â êîíå÷íîì èòîãå — âèä ôóíêöèé w A r( ), wT r( ), P r( ),
c c r( ). Ïîñêîëüêó w A > wT è â íàèáîëåå òèïè÷íîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ
w A r( ) ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé, òî÷êà rA äîëæíî ðàñïîëàãàòüñÿ äàëüøå îò
Çåì ëè, ÷åì rT . Îáû÷íî ôóíêöèè w- ( )r è wT r( ) òàêæå óáûâàþò ñ ðàñ -
ñòîÿíèåì îò Çåìëè, ïîýòîìó òî÷êà îòñå÷êè r- ðàñïîëàãàåòñÿ áëèæå ê
Çåìëå, ÷åì êàñïîâûé ðåçîíàíñ rT . Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå òî÷åê rA è
r+ â ïðèíöèïå ìîæåò áûòü ëþáûì, íî áîëåå òèïè÷íûì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé
r+ > r- (ðèñ. 4).
 ëþáîì ñëó÷àå, êàê âèäíî èç ôîðìóëû (35), èìåþòñÿ äâå îáëàñòè
ëîêàëèçàöèè âîëíû (îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè), ãäå âûïîëíÿåòñÿ íå -
11
Î ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ ÀÇÈÌÓÒÀËÜÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÓÍ×-ÊÎËÅÁÀÍÈÉ
Ðèñ. 4. Ïîâåäåíèå ôóíêöèé wA r( ), wT r( ), w+ ( )r è w- ( )r â ìàãíèòîñôåðå è âçàèìíîå
ðàñïîëîæåíèå õàðàêòåðíûõ òî÷åê rA, rT , r+ è r- (äëÿ ôóíêöèè w+ ( )r ïðèâåäåíû îáà âàðèàíòà,
ìåíåå âåðîÿòíûé ïîêàçàí øòðèõîâîé ëèíèåé). Îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè âîëíû çàøòðèõîâàíû
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü êâàäðàòà ðàäèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé âîëíîâîãî âåêòîðà îò êâàäðàòà
÷àñòîòû â ñëó÷àÿõ w+ < wA (a) è w+ > wA (á)
ðàâåíñòâî k rr
2 ( ) > 0. Îäíà èç íèõ ïðèìûêàåò ê ïîâåðõíîñòè àëüâå íîâ -
ñêîãî ðåçîíàíñà rA è îãðàíè÷åíà ïîâåðõíîñòüþ îòñå÷êè r+ (àëüâå íîâ -
ñêàÿ îáëàñòü ïðîçðà÷íîñòè). Âòîðàÿ ïðèìûêàåò ê ïîâåðõíîñòè êàñ -
ïîâîãî ðåçîíàíñà rT è îãðàíè÷åíà ïîâåðõíîñòüþ îòñå÷êè r- (îáëàñòü
ïðî çðà÷íîñòè ÌÌÇ). Ââèäó âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ w- < wT < w+ îá -
ëàñ òè ïðîçðà÷íîñòè íå ïåðåêðûâàþòñÿ.
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ôóíêöèè w A r( ), wT r( ), w- ( )r è w+ ( )r ìîãóò
èìåòü ýêñòðåìóìû. Â òàêèõ ðåãèîíàõ âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå àëüâå -
íîâñêèõ èëè ÌÌÇ-âîëí ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì. Ýòà âîçìîæíîñòü íå
áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ â äàííîé ðàáîòå.
Êàê óæå áûëî îòìå÷åíî âûøå, íåðàâåíñòâî k Ly >> 1 ÿâëÿåòñÿ òîëü -
êî íåîáõîäèìûì, íî íå äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ïðèìåíèìîñòè ÂÊÁ-
ïðè áëèæåíèÿ. Äëÿ ïðèìåíèìîñòè ýòîãî ïðèáëèæåíèÿ íåîáõîäèìî
òàê æå, ÷òîáû â îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè âîëíû óêëàäûâàëîñü êîëè÷åñòâî
äëèí âîëí, çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäÿùåå åäèíèöó. Àíàëèòè÷åñêè ýòî
óñ ëîâèå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå
k Ly
A
A
| |w w
w
-
>>+ 1 (38)
äëÿ àëüâåíîâñêîé îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè è
k Ly
T
T
| |w w
w
-
>>- 1 (39)
äëÿ ÌÌÇ-îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè. Êðîìå òîãî, ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèå çàâå -
äî ìî íåïðèìåíèìî âáëèçè òî÷åê ðåçîíàíñîâ è îòñå÷åê, êîòîðûå äîëæ -
íû ðàññìàòðèâàòüñÿ îòäåëüíî, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî, íàïðèìåð, â ðàáî -
òàõ [9, 38].
Ïðè èññëåäîâàíèè ÌÌÇ-îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè âîçíèêàåò äîïîë -
íèòåëüíàÿ òðóäíîñòü: êàê áûëî óêàçàíî âûøå, ïðè ïîëó÷åíèè óðàâ íå -
íèÿ (23) èñïîëüçîâàëîñü ïðèáëèæåíèå k y >> k w( ), êîòîðîå íå ìîæåò
âû ïîëíÿòüñÿ â óçêîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ÌÌÇ-ðåçîíàíñà. Äåéñòâè -
òåëü íî, êàê âèäíî èç (18), k2 µ ( )w w2 2 1- -
T . Åñëè ïðèáëèæåíèå k y >> k
íå âûïîëíÿåòñÿ âî âñåé ÌÌÇ-îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè, óðàâíåíèå (23)
òàì íåïðèìåíèìî, è ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòíîøåíèÿ (29), (35) íå äàþò
êîð ðåêòíîãî îïèñàíèÿ äèñïåðñèîííûõ ñâîéñòâ âîëíû.
Óñëîâèå k y >> k w( ) çàâåäîìî íå âûïîëíÿåòñÿ âî âñåé ÌÌÇ-îáëàñ -
òè ïðîçðà÷íîñòè, åñëè îíî íå âûïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû äëÿ ÷àñòîòû îò ñå÷ -
êè w- . Ðàññìîòðèì ñëó÷àé b << 1. Ïîäñòàâèâ â (18) çíà÷åíèå w- èç
âûðàæåíèÿ (32) è ïîëîæèâ òàì w >wA T> , w wS T» , ÷òî ñïðàâåäëèâî ïðè
b << 1, ïîëó ÷èì, ÷òî óñëîâèå k y > -> k w( ) ñâîäèòñÿ ê âèäó
k
k
y
c
2
4
2
>> ||
c
. (40)
Äëÿ ãëàâíîé ãàðìîíèêè âåëè÷èíû k || è c c èìåþò îäèí ïîðÿäîê.
Ñëå äîâàòåëüíî, óñëîâèå k y > -> k w( ) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ k ky >> ||,
÷òî çàâåäîìî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ àçèìóòàëüíî-ìåëêîìàñøòàáíûõ âîëí.
12
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ È ÄÐ.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî â çíà÷èòåëüíîé ÷àñòè
ÌÌÇ- îá ëàñòè ïðîçðà÷íîñòè óðàâíåíèå (23) è äèñïåðñèîííûå ñîîò íî -
øåíèÿ (29), (35) ïðèìåíèìû äëÿ îïèñàíèÿ âîëíû. Ýòî íå îòìåíÿåò òî -
ãî ôàêòà, ÷òî â íåïîñðåäñòâåííîé îêðåñòíîñòè ÌÌÇ-ðåçîíàíñà óðàâ -
íå íèå (23) íåïðèìåíèìî.  ÷àñòíîñòè, äëÿ îïèñàíèÿ ñèíãóëÿðíîñòè íà
ïî âåðõíîñòè êàñïîâîãî ðåçîíàíñà íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü îáùåå
óðàâ íåíèå (19).
ÎÁËÀÑÒÜ ËÎÊÀËÈÇÀÖÈÈ ÀËÜÂÅÍÎÂÑÊÎÉ ÂÎËÍÛ
 áîëåå ðàííèõ ðàáîòàõ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî â ìàãíèòîñôåðå àëüâå íîâ -
ñêàÿ ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà íà 1-2 ïîðÿäêà ïðåâîñõîäèò êàñïîâóþ [13,
20, 34, 37].  êîíå÷íîì èòîãå ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïàðàìåòð b äî -
ñòèãàåò çíà÷åíèé ïîðÿäêà åäèíèöû òîëüêî â óçêîé îáëàñòè âáëèçè ýê -
âà òîðà è áûñòðî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê èîíîñôåðå
çà ñ÷åò ñõîæäåíèÿ ñèëîâûõ ëèíèé. Ïîýòîìó äëÿ èññëåäîâàíèÿ àëüâå -
íîâ ñêîé îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè â óðàâíåíèè (23) ìîæíî ïîëîæèòü
wT r( ) << w A r( ), b << 1. Òîãäà ýòî óðàâíåíèå ñâåäåòñÿ ê âèäó
d
dr
r
r
d
dr
r k rA r y r[ ( )] [ ( )]w w
r
x w w rx2 2 2 2 2 0- - - =+ , (41)
ãäå ÷àñòîòà îòñå÷êè îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ (33).  ñëó÷àå àëü -
âå íîâñêîé îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè ðåçîíàíñíóþ ïîâåðõíîñòü íàçûâàþò
åùå òîðîèäàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ, à ïîâåðõíîñòü îòñå÷êè — ïîëîè -
äàëü íîé ïîâåðõíîñòüþ, ïîñêîëüêó ìîäà íà ýòèõ ïîâåðõíîñòÿõ èìååò
ñî îòâåòñòâåííî òîðîèäàëüíóþ è ïîëîèäàëüíóþ ïîëÿðèçàöèþ [38, 39,
41]. Ýòà òåðìèíîëîãèÿ ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî â àëüâåíîâñêîé âîëíå ïëàçìà
êî ëåáëåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïîïåðå÷íîìó âîëíîâîìó âåêòîðó. Ïðè
k r >> k y ïëàçìà ñìåùàåòñÿ â àçèìóòàëüíîì íàïðàâëåíèè è, ââèäó âìî -
ðî æåííîñòè ïëàçìû, â òîì æå íàïðàâëåíèè êîëåáëåòñÿ ñèëîâàÿ ëèíèÿ.
 ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå (k y >> k r ) ñìåùåíèå ïëàçìû è êîëåáàíèå
ñè ëîâîé ëèíèè ïðîèñõîäèò â ðàäèàëüíîì íàïðàâëåíèè.
Êâàäðàò ïîïåðå÷íîé ñîñòàâëÿþùåé âîëíîâîãî âåêòîðà îêàçû âà åò -
ñÿ ðàâíûì
k r k k kr y y
A
A
^
+= + =
-
-
2 2 2 2
2 2
2 2
( , )w
w w
w w
. (42)
Òàêèì îáðàçîì, êîíå÷íîå äàâëåíèå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ çàâèñè -
ìîñòè ïîïåðå÷íîé ñîñòàâëÿþùåé âîëíîâîãî âåêòîðà îò ÷àñòîòû àëüâå -
íîâ ñêîé âîëíû [28, 31, 38], â òî âðåìÿ êàê â îäíîðîäíîé ïëàçìå ïîïå -
ðå÷ íîé äèñïåðñèè àëüâåíîâñêîé âîëíû íåò. Ñîîòâåòñòâåííî, ó÷åò êðè -
âèç íû ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ïîïåðå÷íîé ñîñòàâëÿþùåé ãðóïïîâîé
ñêî ðîñòè âîëíû.
Âáëèçè ðåçîíàíñíîé òî÷êè êâàäðàò ðàäèàëüíîé êîìïîíåíòû âîë -
íî âî ãî âåêòîðà îáëàäàåò ñèíãóëÿðíîñòüþ òèïà ïîëþñà: k r
2 µ ( )r rA- -1 .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èçâåñòíî, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ òèïà (41) âáëèçè
13
Î ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ ÀÇÈÌÓÒÀËÜÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÓÍ×-ÊÎËÅÁÀÍÈÉ
ðå ç îíàíñíîé òî÷êè îáëàäàåò ëîãàðèôìè÷åñêîé ñèíãóëÿðíîñòüþ, îá -
õîä êîòîðîé â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîë æå -
íèÿ ïðèâîäèò ê ðàçðûâó ðåøåíèÿ [5]. Íàëè÷èå ðàçðûâà ïðèâîäèò ê
ñêà÷ êó â ïîòîêå ýíåðãèè, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðèâîäèò ê ïîãëîùåíèþ
ýíåðãèè â òî÷êå ðåçîíàíñà. Ïîêàæåì, ÷òî òàêîå ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ ñî -
ãëàñóåòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè ðåøåíèÿ â ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèè.
Âáëèçè òî÷êè ðåçîíàíñà ôóíêöèþ w A r2 ( ) ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä ñ
òî÷íîñòüþ äî ëèíåéíîãî ÷ëåíà. Òîãäà
w w w2 2 2- =
-
A
Ar
r r
l
( ) ,
ãäå l d r dr rA A Aº -[( ( ) / ) / ( )]w w2 2 1 — ìàñøòàá èçìåíåíèÿ ôóíêöèè w A r2 ( )
âáëèçè ðåçîíàíñíîé ïîâåðõíîñòè. Òåïåðü óðàâíåíèå (41) äîïóñêàåò
äàëü íåéøåå óïðîùåíèå:
d
dr
r r
d
dr
k lA
r
y r( ) ( )- - =
x
n x2 2 0, (43)
ãäå âåëè÷èíà n w w w2 2 2 2= - +[ ( ) ( )] / ( )A A A A Ar r r ñ÷èòàåòñÿ íåèçìåííîé
âáëè çè òî÷êè ðåçîíàíñà. Ãðàíè÷íûì óñëîâèåì äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ
áó äåì ñ÷èòàòü óáûâàíèå â îáëàñòè íåïðîçðà÷íîñòè, ò. å. ïðè r rA- > 0.
 äàëüíåéøåì äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ïîëàãàòü n 2 > 0. Ââåäåì
íîâîå îáîçíà÷åíèå: l n= -( )k ly
2 2 1 . Êàê ìû óâèäèì íèæå, l ÿâëÿåòñÿ õà -
ðàê òåðíîé äëèíîé âîëíû âáëèçè òî÷êè ñèíãóëÿðíîñòè. Ââåäåì íî âóþ
ïå ðåìåííóþ: s r rA= -2 ( ) /l , ïîäðàçóìåâàÿ r rA- > 0, ò. å. ðàññìàò ðè -
âàÿ îáëàñòü íåïðîçðà÷íîñòè. Òîãäà óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê âèäó
d
ds
s
d
ds
sr
r
x
x- =0. (44)
Ýòî ìîäèôèöèðîâàííîå óðàâíåíèå Áåññåëÿ íóëåâîãî ïîðÿäêà,
èìå þ ùåå ðåøåíèÿ K s0 ( ) è I s0 ( ). Âòîðîå èç íèõ íå óäîâëåòâîðÿåò ãðà -
íè÷íîìó óñëîâèþ â îáëàñòè íåïðîçðà÷íîñòè, ïîýòîìó ðåøåíèå óðàâ -
íå íèÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
x
l
r
AK
r r
= ± ×
-æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷const 0 2 . (45)
 äàëüíåéøåì êîíñòàíòà áóäåò ïîëîæåíà ðàâíîé åäèíèöå.
Ýòî ðåøåíèå îáëàäàåò ëîãàðèôìè÷åñêîé ñèíãóëÿðíîñòüþ â òî÷êå
s = 0. Àñèìïòîòèêà ðåøåíèÿ âäàëè îò ñèíãóëÿðíîñòè èìååò âèä
x
p
l
l
r
A
r r
r r
e A»
-
- -/
[( ) / ] /
( ) /4
1 4
2 . (46)
Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ðåøåíèÿ (45) â îáëàñòè ïðîçðà÷ íîñ -
òè âîëíû r rA- < 0 ïîëó÷àåòñÿ ïðè îáõîäå îñîáåííîñòè â âåðõíåé ïî ëó -
ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîãî r:
x
p
l
p
l
r
A Ai
J
r r
Y
r r
= -
-æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷-
-æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷2
2
2
20 0 . (47)
14
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ È ÄÐ.
Àñèìïîòîòèêà ðåøåíèÿ â îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè èìååò âèä
x
p
l
l p
r
A
i r r i
r r
e A»
-
- - -/
[( ) / ] /
( ) / /4
1 4
2 4 . (48)
Ýòî âûðàæåíèå îïèñûâàåò ðåøåíèå ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé
l << r rA - << r r- + .
Ðåøåíèå (47) ñøèâàåòñÿ ñ ðåøåíèåì ÂÊÁ. Ðåøàÿ óðàâíåíèå (41) â
ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèè ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðâîãî ïîðÿäêà, íàõîäèì
x
r w w
r
r Ak r
=
-
1
2 2[ ( ) ]
C i k r dr C i k r drr r1 2exp ( ) ( )ò ò
æ
è
ç
ö
ø
÷+ -
æ
è
ç
ö
ø
÷
é
ë
ê
ù
û
ú, (49)
ãäå
k r k
r
r
r y
A
2 2
2 2
2 2
( , )
( )
( )
w
w w
w w
=
-
-
+ , (50)
C1 , C2 — êîíñòàíòû, îïðåäåëÿåìûå èç óñëîâèÿ ñøèâêè ñ àñèìïòîòè -
êîé (48). Êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, â îáëàñòè l << - << - +r r r rA ðåøå -
íèå (49) ñîâïàäàåò ñ (48) ïðè C2 = 0 è
C
l
i i k r drA r
r
rA
1
0
4
4= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
ò
p
w
r
pexp( / )exp ( ) .
Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ âáëèçè îñîáåí -
íîñ òè. Àñèìïîòîòèêà ðåøåíèé (45) è (47) ïðè r = rA ìîæåò áûòü çàïè -
ñà íà â âèäå
x
l
p
r
A
A
r r i
r r» -
-½
½
½ ½
½
½- -
1
2 2
ln ( )Q , (51)
ãäå Q( )r rA - — ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà. Ñêà÷îê ip /2 âîç íèê
ïðè îáõîäå ëîãàðèôìè÷åñêîé îñîáåííîñòè; êàê èçâåñòíî, ðàçðûâ ðå -
øå íèÿ ïðèâîäèò ê ïîãëîùåíèþ ýíåðãèè âîëíû â òî÷êå ðåçîíàíñà [5].
Êàê íåòðóäíî âèäåòü èç âûðàæåíèé (14), (15), (17), ïðîäîëüíàÿ ñî ñòàâ -
ëÿ þùàÿ ñìåùåíèÿ òàêæå èìååò ëîãàðèôìè÷åñêóþ ñèíãóëÿð íîñòü, â òî
âðåìÿ êàê àçèìóòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ èìååò îñîáåííîñòü òèïà ïîëþ -
ñà:
x
l
y
Ar r
µ
-
. (52)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïðèáëèæåíèè ê òî÷êå ðåçîíàíñà x r /x y ~ x x|| / y ® 0.
Âàæíûì îòëè÷èåì ðàññìîòðåííîé íàìè ïëàçìû ñ êðèâûìè ñèëî -
âûìè ëèíèÿìè îò ïëàçìû ñ ïðÿìûìè ñèëîâûìè ëèíèÿìè («box mo -
del») [18, 48] ÿâëÿåòñÿ îñöèëëÿòîðíûé õàðàêòåð ðåøåíèÿ (â îáëàñòè
ïðîçðà÷íîñòè âîëíû), ïðè÷åì äëèíà âîëíû óìåíüøàåòñÿ ïî ìåðå ïðè -
áëèæåíèÿ ê îñîáåííîñòè. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò óâåëè÷åíèþ ðàäèàëüíîé
ñî ñòàâëÿþùåé âîëíîâîãî âåêòîðà ïðè ïðèáëèæåíèè ê îñîáåííîñòè,
ïî ëó÷åííîå â ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèè (35).
15
Î ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ ÀÇÈÌÓÒÀËÜÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÓÍ×-ÊÎËÅÁÀÍÈÉ
ÁÀËËÎÍÍÀß ÍÅÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ
Êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà íåóñòîé÷èâûõ áàëëîííûõ ìîäàõ. Ïîëîæèì íå -
ðàâåíñòâî (34) âûïîëíåííûì.  ýòîì ñëó÷àå ÷àñòîòà îòñå÷êè w- ÿâ ëÿ -
åò ñÿ ÷èñòî ìíèìîé âåëè÷èíîé, w-
2 = - -| |w2 < 0. Ââåäåì èíêðåìåíò íå -
óñòîé÷èâîñòè g è ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (35) â âèäå
k r kr y
A T
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
( , )
| |
w
g w
g w
w g
g w
=
+
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
-
+
æ
è
çç
+ -
ö
ø
÷÷. (53)
Âèäíî, ÷òî óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ íåóñòîé÷èâûõ ìîä k r
2 > 0 ðåà -
ëèçóåòñÿ ïðè óñëîâèè | |w g- >2 2 . Ïîýòîìó ìàêñèìàëüíûé èíêðåìåíò
áàë ëîííîé íåóñòîé÷èâîñòè ðàâåí
g wmax | |2 2= - (54)
è äîñòèãàåòñÿ ïðè k r = 0. Ïðè g » 0 ðåàëèçóþòñÿ äîëãîæèâóùèå áàë -
ëîí íûå ìîäû ñ k r
2 , ðàâíûì
( )
| |*k kr y
A T
2 2
2 2
2 2
= + -w w
w w
. (55)
Êðîìå òîãî, ïðè k kr r» * ìîãóò ñóùåñòâîâàòü êâàçèñòàöèîíàðíûå êàñ -
ïî âûå ìîäû.
Êà÷åñòâåííî çàâèñèìîñòü (53) ïðèâåäåíà íà ðèñ. 5. Âèäíî, ÷òî ïî -
ÿâ ëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ îáëàñòü ïðîçðà÷íîñòè äëÿ íåóñòîé÷èâûõ
áàë ëîííûõ ìîä, êîòîðàÿ ïðèìûêàåò ê îáëàñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ êàñ ïî -
âûõ âîëí.
 ñëó÷àå k r = 0 è g = 0 èç (53) ñëåäóåò | |w-
2 = 0, èëè
k p c||
2 =bc c , (56)
ò. å. ïîëó÷àåì óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ãðàíèöó áàëëîííîé íåóñ òîé -
÷è âîñòè.
16
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ È ÄÐ.
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü êâàäðàòà ðàäèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé âîëíîâîãî âåêòîðà îò êâàäðàòà
÷àñòîòû äëÿ áàëëîííîé íåóñòîé÷èâîñòè w+ < wA (a) è w+ > wA (á)
ÎÁÑÓÆÄÅÍÈÅ
Êàðòèíà ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, ðàññìîòðåííàÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå,
êà ÷åñòâåííî ñõîäíà ñ òîé, ÷òî áûëà ïîëó÷åíà â äâóìåðíî-íåîäíîðîä -
íîé ïëàçìå.  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ [9, 28, 30, 38, 39, 41] áûëî ïîêà çà íî,
÷òî ïîÿâëåíèå ðåçîíàíñíûõ ìîä ïðèâîäèò ê óñëîâèþ k kr y/ ® ¥.
 ðàáîòå [20] èç äîñòàòî÷íî îáùèõ ñîîáðàæåíèé áûëè ñêîíñò ðóè -
ðî âàíû ðåçîíàíñíûå óðàâíåíèÿ. Ïîçäíåå â ðàáîòå [24] â ïðåäïî ëî æå -
íèè k kr y/ ® ¥ áûëè ïîëó÷åíû òå æå ñàìûå óðàâíåíèÿ, ÷òî è â [20]. Â
äàí íîé ðàáîòå, êàê è â [9, 24, 28, 30, 38, 39, 41], áûëî ïîêàçàíî, ÷òî óñ -
ëî âèå îïðåäåëÿåò ãðàíè÷íûå ïîëîèäàëüíûå ìîäû, êîòîðûå åùå ìîãóò
ðå à ëè çîâûâàòüñÿ â íåîäíîðîäíîé ïëàçìåííîé ñèñòåìå. Â ðà áîòàõ [16,
22, 24] â ïðåäïîëîæåíèè k kr y/ ® 0 òàêæå áûëè ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ
äëÿ ïîëîèäàëüíûõ ìîä, êîòîðûå â ïðåäåëå «õîëîäíîé» ïëàçìû b = 0
ñîâïàäàëè ñ óðàâíåíèÿìè ðàáîòû [38] äëÿ ïîëîèäàëüíûõ ìîä, à ïðè
êî íå÷íîì b — ñ óðàâíåíèÿìè ðàáîòû [9]. Êàê è â äâó ìåð íî-íå îä íî ðîä -
íîé ïëàçìå, êðèâèçíà ñèëîâûõ ëèíèé â ðàññìîò ðåííîé íà ìè îäíîìåð -
íî-íåîäíîðîäíîé ìîäåëè ïðèâîäèò îñöèëëÿòîð íîìó õà ðàêòåðó ðåøå -
íèÿ â îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè âîëíû ñ äëèíîé âîë íû, óìåíü øàþùåéñÿ
ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê òî÷êå ðåçîíàíñà [9, 28, 30, 38, 39, 41].
Êàê ïîêàçàíî âûøå, ñóùåñòâåííîé îñîáåííîñòüþ ïîëîèäàëüíûõ
ìîä ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî îíè ìîãóò áûòü íåóñòîé÷èâûìè.
Ýòîò æå ðåçóëüòàò èçâåñòåí è äëÿ äâóìåðíî-íåîäíîðîäíîé ïëàçìû, â
êîòîðîé îí èññëåäîâàí â ïðåäåëå k kr y/ ® 0, ò. å. äëÿ ïîëîèäàëüíûõ
ìîä [14, 16, 23]. Ïîëó÷åííûé íàìè êðèòåðèé áàëëîííîé íåóñòîé ÷è -
âîñòè (34) ñîâïàäàåò ñ âûâåäåííûì â ðàáîòàõ [12, 16, 35], ïðè÷åì, êàê
è â ýòèõ ðàáîòàõ, íåóñòîé÷èâîñòü ìîæåò èìåòü ìåñòî òîëüêî íà
ÌÌÇ-âåò êå êîëåáàíèé.
Òàêèì îáðàçîì, êàðòèíà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÓÍ×-ìîä â íåîäíî ðîä -
íîé 2-ìåðíîé ïëàçìå ïîëíîñòüþ ñîãëàñóåòñÿ ñî âñåìè îñîáåííîñòÿìè
ðàñïðîñòðàíåíèÿ òàêèõ æå ìîä â îäíîìåðíî-íåîäíîðîäíîé ïëàçìå.
Ýòî íàâîäèò íà ìûñëü ïåðåíåñòè ïîëó÷åííûé â äàííîé ðàáîòå ðåçóëü -
òà òû íà 2- èëè 3-ìåðíûå ïëàçìåííûå êîíôèãóðàöèè ñî ñëîæíîé ãåî -
ìåò ðèåé ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ê êîòîðûì îòíîñèòñÿ è ìàãíèòîñôåðà. Â òà -
êèõ êîíôèãóðàöèÿõ çàäà÷ó î íàõîæäåíèè ñîáñòâåííûõ ìîä óäàåòñÿ
ñôîð ìóëèðîâàòü è ðåøèòü òîëüêî ïðè íåêîòîðûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ î
ïî ïåðå÷íîé ñòðóêòóðå ñîáñòâåííûõ ìîä, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ñäåëàòü
äîñòàòî÷íî ñëîæíî [17, 19, 27]. Èç âûøåèçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ
íà õîæäåíèÿ ýòèõ ìîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèå. Â ðàì -
êàõ ýòîãî ïðèáëèæåíèÿ ïîâåäåíèå ïîïåðå÷íîé ñòðóêòóðû ìîä áóäåò
îï ðåäåëÿòüñÿ ðåçîíàíñíûìè òî÷êàìè è òî÷êàìè îòñå÷êè. Íàëîæèâ íà
ýé êîíàë óñëîâèå k kr y/ ® ¥, ìîæíî íàéòè ðåçîíàíñíûå ìîäû, à íàëî -
æèâ óñëî âèå k kr y/ ® 0 — ïîëîèäàëüíûå ìîäû [24, 29]. Îñòàëüíàÿ
÷àñòü íå ïðå ðûâ íî ãî ñïåêòðà ìîæåò áûòü ïðè íåîáõîäèìîñòè ðàññ÷è -
òàíà ÷èñëåí íî.
17
Î ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ ÀÇÈÌÓÒÀËÜÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÓÍ×-ÊÎËÅÁÀÍÈÉ
Âàæíåéøèì ñëåäñòâèåì íåîäíîðîäíîñòè âäîëü ñèëîâûõ ëèíèé
ÿâ ëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ ðåçîíàòîðîâ âäîëü ñèëîâûõ ëè -
íèé [11, 32, 36, 44]. Äîïîëíèòåëüíûå òðóäíîñòè ñîçäàåò áåññòîëê íî âè -
òåëüíûé õàðàêòåð êîñìè÷åñêîé ïëàçìû, ÷òî ñòàâèò ïîä ñîìíåíèå ïðè -
ìå íèìîñòü ÌÃÄ. Îäíàêî â ñëó÷àå àëüâåíîâñêîé ìîäû óðàâíåíèÿ ãèä -
ðî äèíàìèêè è êèíåòèêè ñîâïàäàþò ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ O( )b âêëþ -
÷è òåëüíî [31]. Âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ÌÌÇ â ìàãíèòîñôåðíîé ïëàç -
ìå ñ ó÷åòîì åå áåññòîëêíîâèòåëüíîãî õàðàêòåðà íå ðåøåí [43], îäíàêî
â áåññòîëêíîâèòåëüíîé ïëàçìå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü äðóãàÿ ìî äà êîì -
ï ðåññèîííûõ êîëåáàíèé — äðåéôîâàÿ êîìïðåññèîííàÿ ìîäà [31, 43],
ïðè ÷åì ñöåïëåíèå ýòîé ìîäû ñ àëüâåíîâñêîé òàêæå ìîæåò ïðè âåñòè ê
áàë ëîííîé íåóñòîé÷èâîñòè [33].
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 äàííîé ðàáîòå äëÿ îäíîìåðíî-íåîäíîðîäíîé ïëàçìû, íàõîäÿùåéñÿ
â ìàãíèòíîì ïîëå ñ ïåðåìåííîé êðèâèçíîé ñèëîâûõ ëèíèé, ïðîàíà ëè -
çèðîâàíû ïîïåðå÷íàÿ ñòðóêòóðà è óñëîâèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ àçèìó -
òàëü íî-ìåëêîìàñøòàáíûõ ìîä ñ óëüòðàíèçêèìè ÷àñòîòàìè. Äëÿ ýòèõ
ìîä ïîëó÷åíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà (19), ñ
ïî ìîùüþ êîòîðîãî â ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèè èññëåäîâàíû ìîäû ñ íåïðå -
ðûâíûì ñïåêòðîì. Ïîêàçàíî, ÷òî îáëàñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìîä ëåæàò
ìåæäó òî÷êàìè îòñå÷êè è ðåçîíàíñíûìè òî÷êàìè ýòîãî óðàâíåíèÿ â
ñîãëàñèè ñ ðåçóëüòàòàìè ðàáîò [9, 28, 30, 38, 39, 41]. Â ðàáîòå íàéäåíà
ïî ïåðå÷íàÿ ñòðóêòóðà ìîä âáëèçè óêàçàííûõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê. Ïî -
êàçàíî, ÷òî çíàíèå ïîïåðå÷íîé ñòðóêòóðû âáëèçè ýòèõ òî÷åê ýêâè âà -
ëåíò íî çíàíèþ ðåçîíàíñíûõ ÷àñòîò è ÷àñòîò îòñå÷êè. Ýòîò ðåçóëüòàò
êðàé íå âàæåí äëÿ ïðîáëåìû íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõ ìîä â äâóõ- è
òðåõ ìåðíûõ ìàãíèòíûõ êîíôèãóðàöèÿõ, äëÿ êîòîðûõ âûäåëèòü ïðî -
äîëü íûå ñòðóêòóðû è íàéòè ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ìîä íå âñåãäà âîç -
ìîæ íî áåç çíàíèÿ ïîïåðå÷íîé ñòðóêòóðû. Çíàíèå ïîïåðå÷íîé ñòðóê -
òó ðû âáëèçè êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ñóùåñòâåííî óïðîùàåò ýòó çàäà÷ó è
ïîçâîëÿåò íàéòè êàê ðåçîíàíñíûå ÷àñòîòû, òàê è ÷àñòîòû îòñå÷êè.
Ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû, ëåæàùèå ìåæäó ýòèìè ÷àñòîòàìè, òàêæå ìîãóò
áûòü íàéäåíû â ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèè, ÷òî ïîêàçàíî â ðàáîòàõ [1, 13]. Èç -
ëî æåííûé ïîäõîä áûë èñïîëüçîâàí â ðàáîòå äëÿ íàõîæäåíèÿ îáëàñ òè
ïðîçðà÷íîñòè íåóñòîé÷èâûõ áàëëîííûõ ìîä (ñì. ðèñ. 3, 4) è ìàêñè -
ìàëüíîãî èíêðåìåíòà ýòèõ ìîä. Òàêæå â ðàìêàõ ïðåäëîæåííîãî ïîä -
õî äà îáíàðóæåíû äîëãîæèâóùèå áàëëîííûå è êàñïîâûå ìîäû, ëåæà -
ùèå âáëèçè ãðàíèöû óñòîé÷èâîñòè áàëëîííûõ ìîä.
Ðàáîòà âûïîëíåíà â ðàìêàõ Êîìïëåêñíîé ïðîãðàììû ÍÀÍ Óêðàè -
íû ïî êîñìè÷åñêèì èññëåäîâàíèÿì è Ïðîãðàììû ÍÀÍ Óêðàèíû ïî
ôè çèêå ïëàçìû (Î. Ê. ×åðåìíûõ), Ïðîãðàììû ¹ 22 Ïðåçèäèóìà
Ðîññèé ñêîé àêàäåìèè íàóê (Ä. Þ. Êëèìóøêèí, Ä. Â. Êîñòàðåâ). Ðàáîòà
ïîääåðæàíà ãðàí òàìè ÄÔÔÄ Ô53/177-2013 (Î. Ê. ×åðåìíûõ), ÐÔÔÈ
18
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ È ÄÐ.
12-05-00121-a (Ä. Þ. Êëè ìóøêèí), ÐÔÔÈ 13-05-90436-óêð-ô-a è
14-05-00588-à (Ä. Â. Êîñòà ðåâ). Àâòîðû âûðàæàþò ïðèçíàòåëüíîñòü
À. Ñ. Ïàðíîâñêîìó è Ï. Í. Ìà ãåðó çà îáñóæäåíèå.
1. Àãàïèòîâ À. Â., Ïàðíîâñêèé À. Ñ., ×åðåìíûõ Î. Ê. Ñïåêòð ïîïåðå÷íî-ìåëêî ìàñ -
øòàáíûõ âîçìóùåíèé âî âíóòðåííåé ìàãíèòîñôåðå Çåìëè // Êèíåìàòèêà è ôè -
çèêà íåáåñ. òåë.—2006.—22, ¹ 6.—C. 387—401.
2. Àãàïèòîâ À. Â., ×åðåìíûõ Î. Ê. Ãåíåðàöèÿ ñîëíå÷íûì âåòðîì ñîáñòâåííûõ ÓÍ×-
ìîä ìàãíèòîñôåðû Çåìëè // Êîñìi÷íà íàóêà i òåõíîëîãiÿ.—2008.—14, ¹ 4.—
C. 72—81.
3. Àãàïèòîâ À. Â., ×åðåìíûõ Î. Ê. Ïîëÿðèçàöèÿ ðåçîíàíñíûõ ÓÍ×-âîçìóùåíèé â
ìàãíèòîñôåðå Çåìëè // Êèíåìàòèêà è ôèçèêà íåáåñ. òåë.—2011.—27, ¹ 3.—
C. 17—27.
4. Áåëàõîâñêèé Â. Á., Ðîëäóãèí Â. Ê. Âîçáóæäåíèå Ðñ5 ïóëüñàöèé ïðè ñìåíå çíàêà
Bz-êîìïîíåíòû ÌÌÏ // Ãåîìàãíåòèçì è àýðîíîìèÿ.—2008.—48, ¹ 2.—
C. 188—194.
5. Ãóññåíñ Ì. Ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèå âîëíû è âîëíîâîé íàãðåâ íåîäíîðîäíîé
ïëàçìû // Êîñìè÷åñêàÿ ìàãíèòíàÿ ãèäðîäèíàìèêà / Ïîä ðåä. Ý. Ïðèñòà,
À. Õóäà. — Ì.: Ìèð, 1995.—440 ñ.
6. Çîëîòóõèíà Í. À. Ðåçîíàíñíûå ñâîéñòâà Psi5/Psc5 íà ãåîñòàöèîíàðíîé îðáèòå //
Ãåîìàãíåòèçì è àýðîíîìèÿ.—2009.—49, ¹ 4.—C. 460—471.
7. Êàäîìöåâ Á. Á. Ãèäðîìàãíèòíàÿ óñòîé÷èâîñòü ïëàçìû // Âîïðîñû òåîðèè ïëàçìû /
Ïîä. ðåä. Ì. À. Ëåîíòîâè÷à. — Ì.: Ãîñàòîìèçäàò, 1963.—Âûï. 2.—Ñ. 132—
176.
8. Êàäîìöåâ Á. Á. Êîëëåêòèâíûå ÿâëåíèÿ â ïëàçìå. — Ì.: Íàóêà, 1988.—304 ñ.
9. Êëèìóøêèí Ä. Þ. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ ñòðóêòóðà àçèìóòàëüíî-ìåëêîìàñøòàáíûõ
ãèäðîìàãíèòíûõ âîëí â àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íîé ìàãíèòîñôåðå ñ êîíå÷íûì
äàâëåíèåì ïëàçìû // Ôèçèêà ïëàçìû.—1997.—23, ¹ 10.—Ñ. 931—944.
10. Ìàçóð Â. À., ×óéêî Ä. À. Âëèÿíèå ÌÃÄ-âîëíîâîäà âî âíåøíåé ìàãíèòîñôåðå íà
îòðàæåíèå ãèäðîìàãíèòíûõ âîëí îò ñäâèãîâîãî òå÷åíèÿ íà ìàãíèòîïàóçå //
Ôèçèêà ïëàçìû.—2013.—39, ¹ 12.—C. 1071—1088.
11. Ìàçóð Í. Ã., Ôåäîðîâ Å. Í., Ïèëèïåíêî Â. À. Î âîçìîæíîñòè îòðàæåíèÿ àëüâå -
íîâñêèõ âîëí â êðèâîëèíåéíîì ìàãíèòíîì ïîëå // Ôèçèêà ïëàçìû.—2004.—30,
¹ 5.—C. 450—458.
12. Ìàçóð Í. Ã., Ôåäîðîâ Å. Í., Ïèëèïåíêî Â. À. Äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ
áàëëîííûõ ìîä è óñëîâèå èõ óñòîé÷èâîñòè â îêîëîçåìíîé ïëàçìå // Ãåîìàã -
íåòèçì è àýðîíîìèÿ.—2012.—52, ¹ 5.—C. 639—648.
13. Ïàðíîâñêèé À. Ñ., ×åðåìíûõ Î. Ê. Ñïåêòð áàëëîííûõ âîçìóùåíèé ñ ïðîèçâîëü -
íîé ïîëÿðèçàöèåé âî âíóòðåííåé ìàãíèòîñôåðå Çåìëè // Êîñìi÷íà íàóêà i
òåõíîëîãiÿ.—2006.—12, ¹ 1.—Ñ.49—56.
14. Ïàðíîâñêèé À. Ñ., ×åðåìíûõ Î. Ê. Æåëîáêîâûå è íåñæèìàåìûå âîçìóùåíèÿ âî
âíóòðåííåé ìàãíèòîñôåðå Çåìëè // Êèíåìàòèêà è ôèçèêà íåáåñ. òåë.—2006.—
22, ¹ 1.—Ñ. 65—75.
15. Ïîëîâèí Ð. Â., Äåìóöêèé Â. Ï. Îñíîâû ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè. — Ì.:
Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1987.—208 ñ.
16. ×åðåìíûõ Î. Ê., Äàíèëîâà Â. Â. Ïîïåðå÷íî-ìåëêîìàñøòàáíûå ÌÃÄ-âîçìóùåíèÿ
â êîñìè÷åñêîé ïëàçìå ñ ìàãíèòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè // Êèíåìàòèêà è ôèçèêà
íåáåñ. òåë.—2011.—27, ¹ 2.—C. 63—79.
17. Bekhor S. H. The com pu ta tion of field-line res o nance fre quen cies in gen eral ge om e -
tries: a tool for im prov ing the un der stand ing of magnetospheric con fig u ra tions // J.
Plasma Phys.—2006.—72.—P. 309—327.—DOI:10.1017/S0022377805004150.
18. Chen L., Hasegawa A. A the ory of long pe riod mag netic pul sa tions. 1. Steady state ex -
ci ta tion of field line res o nance // J. Geophys. Res.—1974.—79.—P. 1024—1032.—
DOI:10.1029/JA079i007p01024.
19
Î ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ ÀÇÈÌÓÒÀËÜÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÓÍ×-ÊÎËÅÁÀÍÈÉ
19. Cheng C. Z. MHD field line res o nances and global modes in three-di men sional mag -
netic fields // J. Geophys. Res.—2003.—108A, N 1.—P. 1002.—DOI:10.1029/
2002JA009470.
20. Cheng C. Z., Chang T. C., Lin C. A., Tsai W. H. Magnetohydrodynamic the ory of field
line res o nances in the mag neto sphere // J. Geophys. Res.—1993.—98A, N 7.—
P. 11339—11347.—DOI:10.1029/93JA00505.
21. Cheremnykh O. K., Parnowski A. S. The the ory of bal loon ing per tur ba tions in the in ner
mag neto sphere of the Earth // Adv. Space Res.—2004.—33.—P. 769—773.—
DOI:10.1016/S0273-1177(03)00642-2.
22. Cheremnykh O. K., Parnowski A. S. Flute and bal loon ing modes in the in ner mag neto -
sphere of the Earth: Sta bil ity and in flu ence of the ion o spheric con duc tiv ity // Space
science: New research / Ed. by N. S. Maravell. — New York: Nova Sci ence Pub lish -
ers, 2006.—P. 71—108.
23. Ñheremnykh O. K., Parnowski A. S. In flu ence of ion o spheric con duc tiv ity on the bal -
loon ing modes in the in ner mag neto sphere of the Earth // Adv. Space Res.—2006.—
37, N 3.—P. 599—603.—DOI:10.1016/j.asr.2005.01.073.
24. Cheremnykh O. K., Parnowski A. S., Burdo O. S. Bal loon ing modes in the in ner mag -
neto sphere of the Earth // Planet. and Space Sci.—2004.—55, N 13.—P. 1217—
1229.— DOI:10.1016/j.bbr.2011.03.031.
25. Dmitrienko I. S. Evo lu tion of FMS and Alfven waves pro duced by the ini tial dis tur -
bance in the FMS wave guide // J. Plasma Phys.—2013.—79.—P. 7—17.—
DOI:10.1017/S0022377812000608.
26. Guglielmi A. V., Potapov A. S. Note on the de pend ence of Pc3—4 ac tiv ity on the so lar
wind ve loc ity // Ann. Geophys.—1994.—12.—P. 1192—1196.—DOI:10.1007/
s00585-994-1192-z.
27. Kabin K., Rankin R., Mann I. R., et al. Po lar iza tion prop er ties of stand ing shear Alfven
waves in non-axisymmetric back ground mag netic fields // Ann. Geo phys.— 2007.—
25.—P. 815—822.—DOI:10.5194/angeo-25-815-2007.
28. Klimushkin D. Yu. Spa tial struc ture of transversally small-scale hydromagnetic waves
in a plane fi nite-beta model mag neto sphere // Planet. and Space Sci.—1997.—45.—
P. 269—279.—DOI:10.1016/S0032-0633(96)00078-5.
29. Klimushkin D. Yu., Leonovich A. S., Mazur V. A. On the prop a ga tion of trans -
versally-small-scale stand ing Alfven waves in a three-dimensionally inhomogeneous
mag neto sphere // J. Geophys. Res.—1995.—100A, N 6.—P. 9527—9534.—DOI:
10.1029/94JA03233.
30. Klimushkin D. Yu., Mager P. N. On the spa tial struc ture and dis per sion of slow
magnetosonic modes cou pled with Alfven modes in plan e tary magnetospheres due to
field line cur va ture // Planet. and Space Sci.—2008.—56.—P. 1273—1279.—DOI:
10.1016/j.pss.2008.03.002.
31. Klimushkin D. Yu., Mager P. N. Spa tial struc ture and sta bil ity of cou pled Alfven and
drift compressional modes in non-uni form mag neto sphere: Gyrokinetic treat ment //
Planet. and Space Sci.—2011.—59.—P. 1613—1620.—DOI:10.1016/j.pss.2011.
07.010.
32. Klimushkin D. Yu., Mager P. N., Marilovtseva O. S. Par al lel struc ture of Pc1 ULF os cil -
la tions in multi-ion magnetospheric plasma at fi nite ion gy ro fre quen cy // J. Atmos.
and Sol.-Terr. Phys.—2010.—72(18).—P. 1327—1332.—DOI:10.1016/j.jastp.
2010.09.019.
33. Klimushkin D. Yu., Mager P. N., Pilipenko V. A. On the bal loon ing in sta bil ity of the
cou p led Alfven and drift compressional modes // Earth Plan ets Space.—2012.—
64.—P. 777—781.—DOI:10.5047/eps.2012.04.002.
34. Kozlov D. A. Slow magnetosonic os cil la tions with m >> 1 in a di pole mag neto sphere
with ro tat ing plasma // Int. J. Geomagn. Aeron.—2008.—7 (GI3004).—DOI: 10.
1029/2006GI000164.
35. Kozlov D. A., Mazur N. G., Pilipenko V. A., Fedorov E. N. Dis per sion equa tion for bal -
loon ing modes in two-com po nent plasma // J. Plasma Phys.—2014.—80, N 3.—
20
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ È ÄÐ.
P. 379—393.
36. Leonovich A. S., Kozlov D. A. On bal loon ing in sta bil ity in cur rent sheets // Plasma
Phys. Con trol. Fu sion.—2013.—55 (085013).—DOI:10.1088/0741-3335/55/8/
085013.
37. Leonovich A. S., Kozlov D. A. Edemskiy I. K. Stand ing slow magnetosonic waves in a
di pole-like plasmasphere // Planet. and Space Sci.—2010.—58.—P. 1425—1433.—
DOI: 10.1016/j.pss.2010.06.007.
38. Leonovich A. S., Mazur V. A. A the ory of trans verse small-scale stand ing Alfven waves
in an ax i ally sym met ric mag neto sphere // Planet. and Space Sci.—1993.—41.—
P. 697—717.—DOI: 10.1016/0032-0633(93)90055-7.
39. Leonovich A. S., Mazur V. A. A model equa tion for mono chro matic stand ing Alfven
waves in the ax i ally sym met ric mag neto sphere // J. Geophys. Res.—1997.— 102.—
P. 11443—11456.—DOI:10.1029/96JA02523.
40. Leonovich A. S., Mazur V. A. Struc ture of magnetosonic eigenoscillations of an axi -
symmetric mag neto sphere // J. Geophys. Res.—2000.—105.—P. 27707—27716.—
DOI:10.1029/2000JA900108.
41. Mager P. N., Klimushkin D. Yu. The ory of azimuthally small-scale Alfven waves in an
axisymmetric mag neto sphere with small but fi nite plasma pres sure // J. Geophys.
Res.—2002.—107, N A11.—P. 1356.—DOI:10.1029/2001JA009137.
42. Mager P. N., Klimushkin D. Yu. Alfven ship waves: high-m ULF pul sa tions in the mag -
neto sphere gen er ated by a mov ing plasma inhomogeneity // Ann. Geo phys.—
2008.—26.—P. 1653—1663.—DOI:10.5194/angeo-26-1653-2008.
43. Mager P. N., Klimushkin D. Yu., Kostarev D. V. Drift-compressional modes gen er ated
by in verted plasma dis tri bu tions in the mag neto sphere // J. Geophys. Res. Space
Phys.—2013.—118.—P. 4915—4923.—DOI:10.1002/jgra.50471.
44. Mager P. N., Klimushkin D. Yu., Pilipenko V. A., Sch&&afer S. Field-aligned struc ture of
poloidal Alfven waves in a fi nite pres sure plasma // Ann. Geophys.—2009.—27.—
P. 3875—3882.—DOI:10.5194/angeo-27-3875-2009.
45. Parnowski A. S. Eigenmode anal y sis of bal loon ing per tur ba tions in the in ner mag neto -
sphere of the Earth // Ann. Geophys.—2007.—25.—P. 1391—1403.—DOI:
10.5194/angeo-25-1391-2007.
46. Pilipenko V. A., Kozyreva O. V., Engebretson M. J., et al. Dy nam ics of long-pe riod
mag netic ac tiv ity and en er getic par ti cle pre cip i ta tion dur ing the May 15, 1997 storm
// J. Atmos. and Sol.-Terr. Phys.—2002.—64.—P. 831—843.— DOI:10.1016/
S1364-6826(02)00074-3.
47. Sch&&afer S., Glassmeier K.-H., Eriksson P. T. I., et al. Spatio-tem po ral struc ture of a
poloidal Alfven wave de tected by Clus ter ad ja cent to the dayside plasmapause //
Ann. Geophys.—2008.—26.—P. 1805—1817.—DOI:10.5194/angeo-26-1805-
2008.
48. Southwood D. J. Some fea tures of field line res o nances in the mag neto sphere // Planet.
and Space Sci.—1974.—22.—P. 483—491.—DOI: 10.1016/0032-0633(74)
90078-6.
49. Yeo man T. K., James M., Mager P. N., Klimushkin D. Yu. SuperDARN ob ser va tions of
high-m ULF waves with curved phase fronts and their in ter pre ta tion in terms of
trans verse res o na tor the ory // J. Geophys. Res.—2012.—117.—A06231.—DOI:
10.1029/2012JA017668.
50. Zolotukhina N. A. Wave ef fects of sud den im pulse and substorm on set in the mag -
netospheric morn ing sec tor on Jan u ary 4, 2001 // Geomagn. and Aerono my.—2010.
—50, N 2.—P. 963—969.—DOI:10.1134/ S0016793210080062.
51. Zolotukhina N. A., Mager P. N., Klimushkin D. Yu. Pc5 waves gen er ated by substorm
in jec tion: a case study // Ann. Geophys.—2008.—26.—P. 2053—2059.—DOI:10.
5194/angeo-26-2053-2008.
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 04.02.14
21
Î ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ ÀÇÈÌÓÒÀËÜÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÓÍ×-ÊÎËÅÁÀÍÈÉ
|