Анализ волнового поля, излучаемого центром вращения в неограниченной упругой среде ослабленной конечной цилиндрической трещиной
Проблема исследования волнового поля в указанной среде с помощью метода разрывных решений сведена к одномерному интегро-дифференциальному уравнению на конечном интервале. Для его приближенного решения использован метод ортогональных многочленов, который, в свою очередь, сводит проблему к решению бес...
Saved in:
| Date: | 1999 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
1999
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1069 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Анализ волнового поля, излучаемого центром вращения в неограниченной упругой среде ослабленной конечной цилиндрической трещиной / Ю.А. Морозов, Г.Я. Попов // Акуст. вісн. — 1999. — Т. 2, N 1. — С. 50-59 — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859695858363138048 |
|---|---|
| author | Морозов, Ю.А. Попов, Г.Я. |
| author_facet | Морозов, Ю.А. Попов, Г.Я. |
| citation_txt | Анализ волнового поля, излучаемого центром вращения в неограниченной упругой среде ослабленной конечной цилиндрической трещиной / Ю.А. Морозов, Г.Я. Попов // Акуст. вісн. — 1999. — Т. 2, N 1. — С. 50-59 — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Проблема исследования волнового поля в указанной среде с помощью метода разрывных решений сведена к одномерному интегро-дифференциальному уравнению на конечном интервале. Для его приближенного решения использован метод ортогональных многочленов, который, в свою очередь, сводит проблему к решению бесконечной системы алгебраических уравнений. Последняя решена методом редукции, обоснование которого приводится. На основе полученного решения построена диаграмма направленности в дальней зоне за трещиной и подсчитан коэффициент интенсивности напряжений.
Проблему дослідження хвильового поля у вказаному середовищі за допомгою метода розривних розв'язків зведено до одновимірного інтегро-диференційного рівняння на скінченному інтервалі. Для його наближеного розв'язку використано метод ортогональних многочленів, який, у свою чергу, зводить проблему до розв'язку нескінченної системи алгебраїчних рівнянь. Останню розв'язано за допомогою метода редукції, обгрунтування якого наводиться. На основі отриманого розв'язку побудовано діаграму напрямленості у дальній зоні за тріщиною і підраховано коефіцієнт інтенсивності напруг.
A problem on investigation of wave field in mentioned medium by method of discontinuous solutions has been reduced to one-dimensional integro-differential equation over the finite interval. For its solution the method of orthogonal polynomials has been used, which in its turn allowed to reduce the problem to solution of the infinite system of algebraic equations. This last has been solved using the technique of reduction that is being substantiated in the paper. On base of obtained solution the directivity pattern in far field has been derived and the coefficient of intensity of tensions has been evaluated.
|
| first_indexed | 2025-12-01T01:06:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 1. �. 50 { 59��� 539.3������ ��������� ����, ������������������ �������� � ��������������������� ����� ����������� ���������������������� ���������. �. ��������, �. �. ���������¤¥á᪨© £®á㤠àáâ¢¥ë© ¯®«¨â¥å¨ç¥áª¨© 㨢¥àá¨â¥â���¤¥á᪨© £®á㤠àáâ¢¥ë© ã¨¢¥àá¨â¥â ¨¬. �¥ç¨ª®¢ �®«ã祮 17.11.98 � �¥à¥á¬®â८ 1.03.99�஡«¥¬ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¢®«®¢®£®¯®«ï ¢ 㪠§ ®© á।¥ á ¯®¬®éìî ¬¥â®¤ à §àë¢ëå à¥è¥¨© ᢥ¤¥ ª ®¤®¬¥à-®¬ã ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ª®¥ç®¬ ¨â¥à¢ «¥. �«ï ¥£® ¯à¨¡«¨¦¥®£® à¥è¥¨ï ¨á¯®«ì§®¢ ¬¥â®¤ ®à⮣® «ìëå ¬®£®ç«¥®¢, ª®â®àë©, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ᢮¤¨â ¯à®¡«¥¬ã ª à¥è¥¨î ¡¥áª®¥ç®© á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. �®á«¥¤ïï à¥è¥ ¬¥â®¤®¬ ।ãªæ¨¨, ®¡®á®¢ ¨¥ ª®â®à®£® ¯à¨¢®¤¨âáï. � ®á®¢¥¯®«ã祮£® à¥è¥¨ï ¯®áâ஥ ¤¨ £à ¬¬ ¯à ¢«¥®á⨠¢ ¤ «ì¥© §®¥ § âà¥é¨®© ¨ ¯®¤áç¨â ª®íää¨æ¨¥â¨â¥á¨¢®á⨠¯à殮¨©.�஡«¥¬ã ¤®á«÷¤¦¥ï 墨«ì®¢®£® ¯®«ï ã ¢ª § ®¬ã á¥à¥¤®¢¨é÷ § ¤®¯®¬£®î ¬¥â®¤ ஧ਢ¨å ஧¢'離÷¢ §¢¥¤¥-® ¤® ®¤®¢¨¬÷ண® ÷⥣à®-¤¨ä¥à¥æ÷©®£® à÷¢ïï áª÷祮¬ã ÷â¥à¢ «÷. �«ï ©®£® ¡«¨¦¥®£® ஧¢'離㢨ª®à¨áâ ® ¬¥â®¤ ®à⮣® «ì¨å ¬®£®ç«¥÷¢, 直©, ã ᢮î ç¥à£ã, §¢®¤¨âì ¯à®¡«¥¬ã ¤® ஧¢'離㠥áª÷祮ùá¨á⥬¨ «£¥¡à ùç¨å à÷¢ïì. �áâ î ஧¢'ï§ ® § ¤®¯®¬®£®î ¬¥â®¤ ।ãªæ÷ù, ®¡£àãâ㢠ï 类£® ¢®¤¨âì-áï. � ®á®¢÷ ®âਬ ®£® ஧¢'離㠯®¡ã¤®¢ ® ¤÷ £à ¬ã ¯àשׂ¥®áâ÷ ã ¤ «ì÷© §®÷ § âà÷騮î ÷ ¯÷¤à 客 ®ª®¥ä÷æ÷õâ ÷â¥á¨¢®áâ÷ ¯àã£.A problem on investigation of wave �eld in mentioned medium by method of discontinuous solutions has been reduced toone-dimensional integro-di�erential equation over the �nite interval. For its solution the method of orthogonal polynomialshas been used, which in its turn allowed to reduce the problem to solution of the in�nite system of algebraic equations.This last has been solved using the technique of reduction that is being substantiated in the paper. On base of obtainedsolution the directivity pattern in far �eld has been derived and the coe�cient of intensity of tensions has been evaluated.���������áá«¥¤®¢ ¨¥ åà㯪®£® à §àã襨ï ⥫ á ¨¬¥-î騬¨áï ¢ ¨å âà¥é¨ ¬¨ ¨ ¤¨ £®á⨪ «¨-ç¨ï âà¥é¨ ¢ ⥫ å ®áâ îâáï ¢¥áì¬ ªâã «ìë-¬¨ ¯à®¡«¥¬ ¬¨ ᮢ६¥®© â¥å¨ª¨. � ¬¥å ¨-ª¥ à §àãè¥¨ï ®á®¢®© å à ªâ¥à¨á⨪®©, âॡã-î饩 ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ï¥âáï ª®íää¨æ¨¥â ¨â¥-ᨢ®á⨠¯à殮¨© (���) ã ªà ¥¢ âà¥é¨ë.�«¥¤ã¥â ª®áâ â¨à®¢ âì, çâ® ¢®¯à®áë ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ��� ¢ ¯«®áª¨å áâ â¨ç¥áª¨å § ¤ ç å ¢ áâ®-ï饥 ¢à¥¬ï à §¢¨âë ¤®áâ â®ç® å®à®è®. � ç¨-â¥«ì® å㦥 ®¡á⮨⠤¥«® á à¥è¥¨¥¬ ¯à®áâà -á⢥ëå § ¤ ç ¢¢¨¤ã § ç¨â¥«ìëå ¬ ⥬ â¨ç¥-᪨å âà㤮á⥩. �¥è¥ë ⮫쪮 § ¤ ç¨ ¤«ï ¯«®á-ª¨å ªà㣮¢ëå ¨ í««¨¯â¨ç¥áª¨å âà¥é¨. � áᬮ-âà¥ë ¥ª®â®àë¥ ç áâë¥ á«ãç ¨ § ¤ ç ¤«ï âà¥-é¨, «¥¦ é¨å ç áâïå ¯®¢¥àå®á⨠áä¥àë, ¯ -à ¡®«®¨¤ , £¨¯¥à¡®«®¨¤ , ª®ãá . � à ¡®â¥ [1] à á-ᬮâॠç áâë© á«ãç © § ¤ ç¨ ® 樫¨¤à¨ç¥áª®©âà¥é¨¥ ¨ ⮦¥ ¢ áâ â¨ç¥áª®© ¯®áâ ®¢ª¥. � -áâ®ï饩 à ¡®â¥ ¢¯¥à¢ë¥ áâ ¢¨âáï ¨ à¥è ¥âáï ®¤- ¨§ § ¤ ç ® 樫¨¤à¨ç¥áª®© âà¥é¨¥ ¢ ¤¨ ¬¨-ç¥áª®© ¯®áâ ®¢ª¥ ¨ 室ïâáï ���. � ª ª ª ¤«ï¯à®¡«¥¬ë ¤¨ £®á⨪¨ «¨ç¨ï âà¥é¨ë ¢ ¦®
§ âì å à ªâ¥à ¢®«®¢®£® ¯®«ï ¢ ¤ «ì¥© §®¥ § âà¥é¨®©, â® ¢ áâ®ï饩 à ¡®â¥ ®¡á㦤 ¥âáï ¨íâ®â ¢®¯à®á.1. ���������� ������ � ���������� � �������-���������������������������¥®£à ¨ç¥ ï ã¯à㣠ï á। (0�r�1,���'��, �1�z�1), ᮤ¥à¦ é ï ¤¥ä¥ªâ (âà¥-é¨ã), ᮢ¯ ¤ î騩 á ¯®¢¥àå®áâìîr = R; �� � ' � �; 0 < a � z � b; (1)§ £à㦥 ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â æ¥â஬ ªàã票ï(¢à 饨ï), ¬®¬¥â ª®â®à®£® M (t) ¬¥ï¥âáï ¢®¢à¥¬¥¨ ¯® £ ମ¨ç¥áª®¬ã § ª®ã, â. ¥. ¯à®¯®à-樮 «ì® ¬®¦¨â¥«î e�i!t. �ॡã¥âáï ®¯à¥¤¥-«¨âì ¢®«®¢®¥ ¯®«¥ ¢ ã¯à㣮© á।¥ ¨ ¢ëç¨á«¨â쪮íää¨æ¨¥âë ¨â¥á¨¢®á⨠¯à殮¨©. �®-᪮«ìªã ¢á¥ ¨áª®¬ë¥ ¨ § ¤ ë¥ ¢¥«¨ç¨ë ⮦¥¡ã¤ã⠯ய®à樮 «ìë e�i!t, â® ¢ ¤ «ì¥©è¥¬íâ®â ¬®¦¨â¥«ì ®¯ã᪠¥âáï. � ª ª ª à áᬠâਢ -¥âáï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ªàã票ï ã¯à㣮© á।ë, â® ¯®«¥ ¯à殮¨© ¨ ᬥ饨© ¡ã¤¥â á®áâ®ïâì ⮫쪮 ¨§u'(r; z) ¨ �r'(r; z), ¨ à¥è¥¨¥ ¯®áâ ¢«¥®© § ¤ ç¨50 c
�. �. �®à®§®¢, �. �. �®¯®¢, 1999
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 1. �. 50 { 59¡ã¤¥¬ áâநâì ¢ ¢¨¤¥u'(r; ') = u0'(r; ') + u1'(r; ');�r'(r; ') = �0r'(r; ') + �1r'(r; '); (2)£¤¥ u1' ¨ �1r' { à §à뢮¥ à¥è¥¨¥ [2] ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ªàã⨫ìëå ª®«¥¡ ¨© ¤«ïà áᬠâਢ ¥¬®£® ¤¥ä¥ªâ , â. ¥. à¥è¥¨¥, ª®â®-஥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â 㪠§ ®¬ã ãà ¢¥¨î ¢áî¤ã,§ ¨áª«î票¥¬ â®ç¥ª à §àë¢ (1). � íâ¨å â®çª å§ ¤ îâáï ᪠窨 ¯¥à¥¬¥é¥¨© ¨ ¯à殮¨©:hu'(R; z) i = u'(R � 0; z) + u'(R+ 0; z);h �r'(R; z) i = �r'(R� 0; z) + �r'(R+ 0; z):�ਠí⮬ ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ h�r'(R; z)i�0, hu'(R; z)i ¯®¤«¥¦¨â ®¯à¥¤¥«¥¨î; u0' ¨ �0r' { ᬥ-é¥¨ï ¨ ¯à殮¨ï ®â æ¥âà ¢à é¥¨ï ¯à¨ ®â-áãâá⢨¨ ¤¥ä¥ªâ . �¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ª ªu0'(r; z) = � M8�rG(r2 + z2)eirk;�0r'(r; z) = �M8� � ikr(r2 + z2)� (3r2 + z2)re�irk(r2 + z2) � ; (3)£¤¥ k=!=c2; c22=G=� { ᪮à®áâì à á¯à®áâà ¥¨ï¯®¯¥à¥çëå ¢®« ¢ ã¯à㣮© á।¥; G { ¬®¤ã«ìᤢ¨£ ; � { ¯«®â®áâì; M = const { ¬¯«¨â㤮¥§ 票¥ ¬®¬¥â ¢à 饨ï. �⨠ä®à¬ã«ë ¯®«ã-ç¥ë «®£¨ç® ¯à¨¥¬ã, ¨§«®¦¥®¬ã ¢ [3] á ¬®-¤¨ä¨ª 樥© ¤¨ ¬¨ªã [4]. �®áâந¢, ¨á¯®«ì§ãïá奬ã à ¡®âë [2], à §à뢮¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ïªàã⨫ìëå ª®«¥¡ ¨© ã¯à㣮© áà¥¤ë ¤«ï ¤¥ä¥ª-â (1) ¢ ¢¨¤¥u1' = � iR4 �k2 + d2dz2� bZa hu'(�) i�� 1Z�1 H(1)0 (rpk2 � �2)J2(Rpk2 � �2)��e�i�(z��)d�d�; (4)�1r'(R; z) = � iR4 �k2 + d2dz2� bZa hu'(R; �) i�� 1Z�1 J2(rpk2 � �2)H(1)2 (rpk2 � �2)��e�i�(z��)d�d�; (5)
ᢥ¤¥¬ áä®à¬ã«¨à®¢ ãî § ¤ çã ª ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î��k2 + d2dz2� iR4 bZa hu'(R; �)i�� 1Z�1 J2(Rpk2 � �2)H(1)2 (Rpk2 � �2)��e��(z��)d�d� = �0r'(R; z): (6)�¤¥« ¢ § ¬¥ãR� = �; z = R(c+ + c�x);� = R(c+ + c�s); 2Rc� = b� ahv(R;Rc+ �Rc�s)i = '(s);�4Rc��0'(R;Rc+ � Rc�x)i = f(x); (7)¯à¥®¡à §ã¥¬ ãà ¢¥¨¥ (6) ª á«¥¤ãî饬㠢¨¤ã:� 1� d2dx2 1Z�1 'p(s)H(c�; x; s)ds��k2� 1Z�1 'p(s)H(c�; x; s)ds = f(x);�1 � x � 1: (8)�¤¥áìH(c�; x; s) = 1Z�1 K(�)e�i�c�(x�s)d� == 2 1Z0 K(�) cos��c�(x� s)�d�;K(�) = i�J2�qek2 � �2�H(1)2 �qek2 � �2� ;f(x)=C�" iek�1 + (c++c�x)2���3 + (c++c�x)2�e�iek�1 + (c++c�x)2�2 #;ek = Rk; C� = � M8�GR:�뤥«¨¬ ¨§ ï¤à ¯®«ã祮£® ãà ¢¥¨ï ¥à¥£ã-«ïàãî ç áâì. �«ï í⮣® ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ᨬ¯â®-⨪®©i�J2(z)H(1)2 (z)= 1jzj �1� 3(2z)2+O� 1(2z)4��;z !1 (9)�. �. �®à®§®¢, �. �. �®¯®¢ 51
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 1. �. 50 { 59¨ ¨§¢¥áâë¬ ¨â¥£à «ìë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ «®£ -à¨ä¬¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ (ä®à¬ã« 3.784 (1) ¨§ [5]).� १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬H(c�; x; s)= 1��ln 1jx�sj + ln 1c�++ 1Z0 ��K(�)�1� cos��c�(x�s)�+cos�� d��; (10)¯à¨ç¥¬ ¯®á«¥¤¥¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ï¤à¥ ¨¬¥¥â ¥¯à¥-àë¢ãî ¯à®¨§¢®¤ãî ¯® ®¡¥¨¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ ¢¥é¥á⢥®© ®á¨. � ãç¥â®¬ (10), ¨â¥£à «ì®¥ãà ¢¥¨¥ (8) § ¯¨è¥âáï â ª:� 1� @2@x2 1Z�1 ln 1jx� sj'(s)ds++ 1� 1Z�1 H�(c�; x; s)'(s)ds = f(x); (11)£¤¥H�(c�; x; s) = 24c2� 1Z0 ���K(�)� 1��� cos��c�(x�s)�d��� 1Z0 K(�) cos��c�(x�s)�d�35: (12)2. ����� ������� ����������� ��-�����-����������������� ������-����«ï à¥è¥¨ï ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢-¥¨ï (11) 㤮¡¥ ¬¥â®¤ ®à⮣® «ìëå ¬®£®ç«¥-®¢, ®á®¢ ë© á«¥¤ãî饬 ᯥªâà «ì®¬ á®-®â®è¥¨¨ [2]:� 1� @2@x2 1Z�1 p1� s2Un(s) ln 1jx� sjds == (n + 1)Un(x);jxj � 1; n = 1;1: (13)�¤¥áì Un { ¬®£®ç«¥ �¥¡ë襢 2-£® த . �¥è¥-¨¥ áâந¬ ¢ ¢¨¤¥'s =p1� s2 1Xn=1'nUn(s) (14)
¨ ¯®á«¥ ॠ«¨§ 樨 áâ ¤ à⮩ áå¥¬ë ¬¥â®¤ ®à-⮣® «ìëå ¬®£®ç«¥®¢ [2] ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî-饩 ¡¥áª®¥ç®© á¨á⥬¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥-¨©: m + 1�2 1Xn=1 dm;n npn+ 1pm + 1 = fmpm+ 1 ; m = C�pm+ 1'm; m = 1;1; (15)£¤¥dm;n = 1Z�1 1Z�1 H�(c�; x; s)Qn(s)Qm(x)dxds;fm = 1Z�1 f(x)p1� x2Um(x);Qm(x) =p1� x2Um(x): (16)�¨á⥬ã (15) ¡ã¤¥¬ à¥è âì ¯à¨¡«¨¦¥® ¬¥â®-¤®¬ ।ãªæ¨¨. �â®¡ë ®¡®á®¢ âì á室¨¬®áâì íâ®-£® ¬¥â®¤ , á«¥¤ã¥â, ᮣ« á® [6], ¤®ª § âì á室¨-¬®áâì à冷¢S1 = 1Xn;m=0 d2m;n(n+ 1)(m+ 1) ;S2 = 1Xm=0 f2mm + 1 : (17)� ¤ ®¬ á«ãç ¥ àï¤ë (17) á室ïâáï ¢ ᨫã à ¢¥-á⢠� àᥢ «ï, â ª ª ª1Z�1 1Z�1 jH�(c�; x; s)j2��p1� x2p1� s2dxds <1: (18)� í⮬ ¬®¦® ã¡¥¤¨âìáï, ¥á«¨ ¨á¯®«ì§®¢ âì ᨬ-¯â®â¨ªã (9). �«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¡¥á-ª®¥ç®© á¨áâ¥¬ë ¯¥à¥¯¨è¥¬ ä®à¬ã«ã (12) â ª:H�(c�; x; s) = c2���8<:24 1Z0 ���K(�)� 1�e�i�c�(x�s)d� ++ 1Z0 ���K(�)� 1�ei�c�(x�s)d�35�� 24 1Z0 K(�)e�i�c�(x�s)d� ++ 1Z0 K(�)ei�c�(x�s)d�359=; : (19)52 �. �. �®à®§®¢, �. �. �®¯®¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 1. �. 50 { 59�¥¯¥àì á«¥¤ã¥â ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ä®à¬ã«®© 7.321¨§ [5], ¯®«®¦¨¢ â ¬ �=1. �®£¤ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âìdn;m = Dn;m[c2�J0n;m � J1n;m]; (20)£¤¥Dn;m=��2c2� in+m�(2+n)�(2+m)�(�1)m+(�1)n��(1+n)�(1+m) ;Jn;m(�) = Jn+1(c��)Jm+1(c��);
J0n;mJ1n;m
= 1Z0
���K(�)� 1�K(�)
Jn;m(�)�2c2� d�:�᫨ à §¡¨âì ¯¥à¢ë© ¨§ ᮤ¥à¦ é¨åáï ¢ëà ¦¥-¨¨ ¢ (20) ¨â¥£à «®¢ ¤¢ ¨â¥£à « ¨ ¢®á¯®«ì-§®¢ âìáï ä®à¬ã«®© 7.14.2 (32) ¨§ [7], â® ¯®«ã稬dn;m = Dn;m[J2n;m � ek2J1n;m � c2�Bn;m]; (21)£¤¥ Bn;m = 2 sin[(m � n)�=2]�(m � n)(m + n+ 2) ;J2n;m = 1Z0 K(�)Jn;m(�)d�:�ëç¨á«¥¨ï ¯® ä®à¬ã«¥ (21) ¬ «®íää¥ªâ¨¢ë ¢á¨«ã á« ¡®© á室¨¬®á⨠¥á®¡á⢥ëå ¨â¥£à -«®¢. �«ï ã«ãç襨ï á室¨¬®á⨠¨â¥£à «®¢, ¢å®-¤ïé¨å ¢ ä®à¬ã«ã (21), ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ᨬ¯â®â¨-ª®© ¯®¤ëâ¥£à «ìëå äãªæ¨© ¯à¨ ¡®«ìè¨å § -票ïå à£ã¬¥â (9):i�J2�qek2 � �2�H(1)2 �qek2 � �2� �� 1q�2 � ek2 : (22)�ç¨âë¢ ï ¯®á«¥¤¥¥, ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å A¬®¦¥¬ § ¯¨á âì á«¥¤ãî饥:J2n;m = ekZ0 K(�)Jn;m(�)d�++ AZek K�(�)Jn;m(�)d�+ 1ZA Jn;m(�)q�2 � ek2 d�; (23)J1n;m = ekZ0 K(�)Jn;m(�)c2��2 d�++ AZek K�(�)Jn;m(�)c2��2 d�+ 1ZA Jn;m(�)c2��2q�2 � ek2 d�; (24)
£¤¥K�(�) = 2�I2�q�2 � ek2�K0�q�2 � ek2� :�®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì á⥯¥ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ ¤«ïäãªæ¨© �¥áᥫï 7.2.7 (42) ¨§ [7], ¨¬¥¥¬ekZ0 K(�)Jn;m(�)
1��2c�2�
d� == 1Xq=0 dq
(c�=2)2q+n+m+2(c�=2)2q+n+m
�� ekZ0 K(�)
�2q+n+m+2�2q+n+m
d� ; (25)£¤¥dq = (�1)q�(2q + n+m + 2)q!�(q + n+ 2)�(q +m + 2)�(q + n+m+ 2) :�«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¨â¥£à «®¢ ¯®«ã¡¥áª®¥ç®¬¨â¥à¢ «¥ à §«®¦¨¬ à ¤¨ª « ¯® ®¡à âë¬ á⥯¥-ï¬ �. � ¯à¨¬¥à, ¥á®¡áâ¢¥ë© ¨â¥£à « ¨§ (23)§ ¯¨è¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:1ZA Jn;m(�)p�2 � ek2d� = 1Xq=0 aqq! 1ZA Jn;m(�)�2q+1 d� == I0n;m � I1n;m + 1Xq=1 aqq! 1ZA Jn;m(�)�2q+1 d�: (26)£¤¥ aq = ek2q�(1=2 + q)p� ;I0n;m = 1Z0 Jn;m(�)� d�;I1n;m = AZ0 Jn;m(�)� d�:�®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ä®à¬ã« ¬¨ 7.14.2 (32),7.14.1 (10), 7.2.4 (29) ¨§ [7] ¨ 5.55 ¨§ [5], ¯®«ã稬I0n;m =8>><>>: 2 sin[(n�m)�=2]�(n�m)(n +m + 2) ; n 6= m;12(n+ 1) ; n = m; (27)I1n;m = c�A��Jn(c�A)Jm+1(c�A)�Jn+1(c�A)Jm(c�A)(n�m)(n+m+2) ��Jn+1(c�A)Jm+1(c�A)(n+m+2) ; n 6= m; (28)�. �. �®à®§®¢, �. �. �®¯®¢ 53
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 1. �. 50 { 59I2n;m = J�(c�A)2� � c�A2� ��"�J�(c�A) 1Xl=0(�1)l(c�A=2)�+2l+1 �� (� + l + 2)l!�(� + l + 2)��J�+1(c�A) 1Xl=0 (�1)l(c�A=2)�+2l�� (� + l + 1)l!�(� + l + 1)� ; n = m; (29)£¤¥ �=n+1 , (z) { ¯á¨-äãªæ¨ï �©«¥à .�®áâã¯ ï «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¨ á ¨â¥£à «®¬¨§ ¢ëà ¦¥¨ï (24), ¨¬¥¥¬aqq! 1ZA Jn;m(�)�2q+2 d� == I2n;m � I3n;m + 1Xq=1 aqq! 1ZA Jn;m(�)�2q+2 d�; (30)£¤¥ I2n;m = 1Z0 Jn;m(�)�2 d�;I3n;m = AZ0 Jn;m(�)�2 d�:�ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã 6.574 (2) ¨§ [5], ¯®«ã稬I2n;m = c�4 ��(n+m + 2)=2���3=2 + (n �m)=2��� 1��3=2 + (m � n)=2��� 1��(n+m+ 5)=2� : (31)�«ï ¢ëç¨á«¥¨ï I3n;m ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¨â¥£à¨à®¢ -¨¥¬ ¯® ç áâï¬:I3n;m = 1(n +m + 1) �Jn;m(A)A ++ AZ0 Jn+1(c��)Jm+2(c��)� d�++ AZ0 Jn+2(c��)Jm+1(c��)� d�9=; : (32)�®¤¥à¦ 騥áï §¤¥áì ¨â¥£à «ë ¢ëç¨á«ïîâáï -«®£¨ç® ¯à¨¢¥¤¥ë¬ ¢ëè¥.
�®à¬ã«ë (22) ¨ (23) ⥬ â®ç¥¥, 祬 ¡®«ìè¥ A,ª®â®à®¥ ¬®¦® 㬥ìè¨âì, ¥á«¨ ¯®¤ª«îç¨âì á«¥-¤ãî騥 á« £ ¥¬ë¥ ᨬ¯â®â¨ª¨ (10). �«ï ¢ëç¨-á«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ fm ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ª¢ ¤à -âãà묨 ä®à¬ã« ¬¨ ¨¢ëá襩 «£¥¡à ¨ç¥áª®©á⥯¥¨ â®ç®á⨠� ãáá [8], â. ¥.fm= 1Z�1 p1�x2f(x)Um(x)dx �� �l+1 lXj=1 sin j�l+1 sin (m+1)j�l+1 f(cos j�l+1): (33)�¥è ï ¡¥áª®¥çãî á¨á⥬ã (15) ¨ ¯®¤áâ ¢«ïï ©¤¥ë¥ § 票ï 'n ¢ ¢ëà ¦¥¨¥ (14), ¯®«ã-稬 ®ª®ç â¥«ì® à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥-¨ï (11).3. ���� ���������� � ���������®¤áâ ¢¨¢ ¯®«ã祮¥ à¥è¥¨¥ (14) ¨â¥£à «ì-®£® ãà ¢¥¨ï (11) á ãç¥â®¬ ä®à¬ã«ë (7) ¢ ¢ë-à ¦¥¨ï (4) ¨ (5), ¨áª®¬®¥ ¢®«®¢®¥ ¯®«¥ ¨ ¯®«¥ ¯à殮¨© § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥
u'�r'
= 1Xm=0'm 1Z�1 R� 1Z�1 p1� s2 Um(s)��
P (�)R(�)
e�i�c�(x�s)d�ds+
u0'�0r'
; (34)£¤¥ P (�) = i(k2 � �2)H(1)0 �rpk2w�2 ���J2�Rpk2 � �2 �;R(�) = i(k2 � �2)H(1)2 �Rpk2 � �2 ���J2�rpk2 � �2 �: (35)�¥à¥¯¨è¥¬ ¢ãâ२© ¨â¥£à « á«¥¤ãî騬®¡à §®¬:1Z�1
P (�)R(�)
e�i�c�(x�s)d� == 1Z0
P (�)R(�)
e�i�c�(x�s)d�++ 1Z0
P (�)R(�)
ei�c�(x�s)d�: (36)54 �. �. �®à®§®¢, �. �. �®¯®¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 1. �. 50 { 59�®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¦¥¨¥ (36) ¢ ãà ¢¥¨¥ (34) ¨ ¨á-¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã 7.321 ¨§ [5], ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥
u'�r'
= R� 1Xm=0 impm+1 m
L1m(x)L2m(x)
+
u0'�0r'
; (37)£¤¥
L1m(x)L2m(x)
= 1Z0
P (�)R(�)
Jm+1(c��)� e�i�c�xd�++(�1)m+1 1Z0
P (�)R(�)
Jm+1(c��)� ei�c�xd�:� §¡¨¢ ï ¨â¥à¢ « ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï(0;1)=(0; k)+(k;1) ¢ L1m(x), ¬®¦¥¬ § ¯¨á âìL1m(x) = 12� [Y 1m(x) + 1m(x)]; (38)£¤¥Y 1m(x) = kZ0 P (�)Jm+1(c��)� e�i�c�xd�++(�1)m+1 kZ0 P (�)Jm+1(c��)� ei�c�xd�; 1m(x) = 1Zk P �(�)Jm+1(c��)� e�i�c�xd�++(�1)m+1 1Zk P �(�)Jm+1(c��)� ei�c�xd�;(39)P �(�) = i(�2 � k2)K0�Rp�2 � k2 ���I2�Rp�2 � k2 �: (40)� áᬠâਢ ï ®â¤¥«ì® á«ãç ¨ ç¥â®£® ¨ ¥ç¥â-®£® ¨¤¥ªá , ¯®«ãç ¥¬
Y 12j(x)Y 12j+1(x)
= kZ0 P (�)Jm+1(c��)� ��
cos(�c�x)� sin(�c�x)
d�;
12j(x) 12j+1(x)
= 1Zk P �(�)Jm+1(c��)� ��
cos(�c�x)� sin(�c�x)
d�;j = 0;1: (41)
� ©¬¥¬áï ¢ëç¨á«¥¨¥¬ ¥á®¡á⢥ëå ¨â¥£à -«®¢ ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï (41). �¤¥« ¢ § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥®©p�2�k2= t, ¯®«ãç ¥¬
12j(x) 12j+1(x)
= 1Z0 tP �(t)Jm+1�c�pt2 + k2 �t2 + k2 ��
cos�c�xpt2 + k2 �sin�c�xpt2 + k2 �
dt; (42)£¤¥ P �(t)= t2K0(rt)I2(Rt). �ᯮ«ì§ãï ᨬ¯â®â¨-ªã ¯®¤ëâ¥£à «ì®£® ¢ëà ¦¥¨ï ¯® ¯¥à¥¬¥®©¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讣® A ¬®-¦¥¬ § ¯¨á âì á«¥¤ãî饥:
12j(x) 12j+1(x)
= AZ0 tP �(t)Jm+1�c�pt2+k2 �t2+k2 ��
cos�c�xpt2+k2 �sin�c�xpt2+k2 �
dt�
Q1(x)Q2(x)
+
G1(x)G2(x)
; (43)£¤¥
Q1(x)Q2(x)
= 12
Q+1 (x)� Q�1 (x)Q+2 (x)� Q�2 (x)
;
G1(x)G2(x)
= 12
G+1 (x)�G�1 (x)G+2 (x)�G�2 (x)
;
Q�1Q�2
= 12c�prR AZ0 t2e�(r�R)t(t2 + k2)5=4��
cos�pt2 + k2c�(x� 1)�
�sin�pt2 + k2c�(x� 1)�
�
dt;
G�1G�2
= 1pc�rR 1Z0 t2e�(r�R)t(t2 + k2)3=4��
cos�pt2 + k2c�(x� 1)�
�sin�pt2 + k2c�(x� 1)�
�
dt:�¤¥áì
=(m+1)=2+�=4. �ᯮ«ì§ãï à §«®¦¥¨¥¡¨®¬®¢ ¢ àï¤ ¯® ®¡à âë¬ á⥯¥ï¬ � ¨ ®£à -¨ç¨¢ ïáì ⮫쪮 ¯¥à¢ë¬ ç«¥®¬, ¨¬¥¥¬
G�1G�2
= � 12prR @@r 1Z0 e�(r�R)tt1=2pt2 + k2��
cos�pt2 + k2c�(x� 1)�
�sin�pt2 + k2c�(x� 1)�
�
dt: (44)�. �. �®à®§®¢, �. �. �®¯®¢ 55
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 1. �. 50 { 59�ᯮ«ì§®¢ ¢ áâ ¤ àâë¥ á®®â®è¥¨ï ¤«ï âà¨-£®®¬¥âà¨ç¥áª¨å äãªæ¨©, ¯¥à¥¯¨è¥¬ G�i , i=1; 2â ª:
G�1G�2
=
cos
��1 (x)� sin
��2 (x)cos
��2 (x)� sin
��1 (x)
; (45)£¤¥
��1 (x)��2 (x)
= ddr 1Z0 e�(r�R)tt1=2pt2 + k2��
cos�pt2 + k2c�(x� 1) �sin�pt2 + k2c�(x� 1) �
dt: (46)�ç¨âë¢ ï ä®à¬ã«ë ¨§ [9], ¯®«ãç ¥¬
��1 (x)��2 (x)
= �4 ddr (�p)1=2��
J1=4(z1)J1=4(z2) + Y1=4(z1)Y1=4(z2)Y1=4(z1)J1=4(z2)� J1=4(z1)Y1=4(z2)
; (47)£¤¥ p=r�R, z1;2=k(b2+p2)�b, b=c�(x�1). �®¤-áâ ¢«ïï ¢ëà ¦¥¨ï (46), (42), (39) ¢ (38) ¯®«ã稬®ª®ç ⥫ìãî ä®à¬ã«ã ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï L1m(x),ª®â®à ï ⥬ â®ç¥¥, 祬 ¡®«ìè¥ A. � «®£¨ç묮¡à §®¬ ¯®¤áç¨âë¢ ¥âáï ¨ L2m(x). �«¥¤®¢ ⥫ì®,ãç¨âë¢ ï ¯®«ãç¥ë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï L1m(x), L2m(x)¨ ¨á¯®«ì§ãï (37), ¬®¦® ¯®¤áç¨â âì ¯®«¥ ¯àï-¦¥¨© ¨ ᬥ饨©.4. ���������� ������������ ��-����������� ����������� à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¥ ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨â¥-à¥á ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ª®íää¨æ¨¥â ¨â¥á¨¢®á⨠-¯à殮¨© (���) ªà ïå âà¥é¨ë: ¯à¨ z=a�0¨ z=b+0, â. ¥.K�III = limz!a�0p2�(a � z)�r'(R; z);K+III = limz!b+0p2�(z � b)�r'(R; z); (48)¨«¨ á ãç¥â®¬ § ¬¥ (7)K�III= limz!�1�0p2�c�(�x�1)�r'(R; c++c�x);K+III= limz!1+0p2�c�(x�1)�r'(R; c++c�x); (49)
¨ ¯à¨ í⮬ ᮣ« á® á®®â®è¥¨ï¬ (2) ¨ (5), â ª-¦¥ á ãç¥â®¬ § ¬¥ (7)�r'(R; c+ + c�x) = � @2@x2 14�R2�� 1Z�1 �ln 1jx� �j +R�(c�x� c��)�'(�)d�++�0r'(R; c+ + cx); jxj > 1: (50)�â®¡ë ¢ë¯®«¨âì ¯à¥¤¥«ìë© ¯¥à¥å®¤ (49), ¥-®¡å®¤¨¬® ¯à®¤®«¦¨âì ᯥªâà «ì®¥ á®®â®è¥-¨¥ (34) ¨â¥à¢ « jxj>0. � í⮩ 楫ìî ¢®á-¯®«ì§ã¥¬áï á®®â®è¥¨¥¬dl+1dxl+1 1Z�1 ln 1jx� sj P�;l��m (s)ds(1� s)��(1 + s)l�� == 2m+l+1(�1)l+1���(1+m+�)�(1+l+m��)�(1+l+m)m!��(2+l+2m)(x�1)1+l+m ��F (1+m+�; 1+l+m; 2+2l+2m; 2(1�x)�1 );¢ë⥪ î騬 ¨§ १ã«ìâ ⮢ à ¡®âë [10], ¯®á«¥ç¥£® ᮤ¥à¦ éãîáï §¤¥áì äãªæ¨î � ãáá «¨-â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¦¨¬ ¢ ®ªà¥áâ®áâì x=�1 á ¯®¬®-éìî ä®à¬ã«ë 9.131 (2) ¨§ [5] ¨ § ⥬ ¯à¨¬¥¬ l=1,�=1=2, â ª¦¥ ãç⥬, çâ®P 12 ; 12m (s) = (m + 1)!�1(3=2)mUm(s):� १ã«ìâ ⥠¢¬¥áâ® ¢ëà ¦¥¨ï (13) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âìd2dx2 1Z�1 ln 1jx�sjp1�s2Um(s)ds == � 2m+1(m+1)(x�1)m+2m!��F�3=2+m;m+2; 3=2; x+1x�1���2m+2(m+1)2(x�1)m+2 r 1�x�x�1��F�3=2+m;m+1; 1=2; x+1x�1�;x < �1: (51)� ᯮ« £ ï í⨬ á®®â®è¥¨¥¬, «¥£ª® ¯®¤áç¨â âìK�III . �®«ì§ãïáì ä®à¬ã« ¬¨ (50), (51) ¨ (14), -室¨¬C��1K�III =r�c�2 1Xm=0(�1)m+1pm + 1 m: (52)56 �. �. �®à®§®¢, �. �. �®¯®¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 1. �. 50 { 59
�¨á. 1. � 票¥ ª®íää¨æ¨¥â ¨â¥á¨¢®á⨢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢®«®¢®£® ç¨á« �«ï ¢ëç¨á«¥¨ï K+III á«¥¤ã¥â äãªæ¨î � ãáá -«¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¦¨âì ¢ ®ªà¥áâ®áâì x=1 á ¯®-¬®éìî ä®à¬ã«ë 9.132 (2) ¨§ [5]. �ᯮ«ì§ãï ⥠¦¥á®®¡à ¦¥¨ï, çâ® ¨ ¯à¨ ¯®«ã票¨ ä®à¬ã«ë (53),¯à¨å®¤¨¬ ª à ¢¥áâ¢ãC��1K+III =r�c�2 1Xm=0pm + 1 m: (53)�® ä®à¬ã« ¬ (52) ¨ (53) ¢ë¯®«¥® ¢ëç¨á«¥¨¥��� ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢®«®¢®£® ç¨á« . �¥§ã«ì-â âë ¢ëç¨á«¥¨© ¯à¨¢¥¤¥ë à¨á. 1. �ëç¨á«¥-¨ï ¯à®¢®¤¨«¨áì ¯à¨ ®â®è¥¨¨ l=R=2. � ª ¨á«¥¤®¢ «® ®¦¨¤ âì, ��� ã ªà ï âà¥é¨ë, ¬¥¥¥ã¤ «¥®£® ®â ¨áâ®ç¨ª ¨§«ã票ï (æ¥âà ¢à -饨ï), ¨¬¥¥â ¡®«¥¥ ¢ë᮪®¥ § 票¥.�§ ¯à¨¢¥¤¥®£® à¨á㪠¢¨¤®, çâ® ¬ ªá¨¬ã¬��� ¤ «ì¥¬ ª®æ¥ âà¥é¨ë ¤®á⨣ ¥âáï ¯à¨k=2:2, ¡«¨¦¥¬ { ¯à¨ k=1:9. � à¨á. 2¨§®¡à ¦¥ £à 䨪 ¨§¬¥¥¨ï ®â®è¥¨ï íâ¨å ª®-íää¨æ¨¥â®¢ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢®«®¢®£® ç¨á« .� ª, ¤«ï ¢®«®¢®£® ç¨á« k=0:2 íâ® ®â®è¥¨¥®ª §ë¢ ¥âáï ¬ ªá¨¬ «ìë¬ ¨ à ¢® 2.8.5. ������������ ��������� ������������� ����������� �� ��������«ï ¨§ãç¥¨ï ¢®«®¢®£® ¯®«ï ¡®«ìè¨å à á-áâ®ï¨ïå ®â ¤¥ä¥ªâ ¯®«ã稬 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¯®«ã祮£® à¥è¥¨ï ¯à¨ r�R.�«ï í⮣® ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬¨ à §-«®¦¥¨ï¬¨ äãªæ¨© � ª¥«ï ¨ � ª¤® «ì¤ ¤«ï¡®«ìè¨å § 票© à£ã¬¥â , 㤥ঠ¢ â ¬ £« ¢-ë© ç«¥. �®£¤ ¢¬¥áâ® á®®â®è¥¨© (35) ¨ (40)
�¨á. 2. � 票¥ ®â®è¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢¨â¥á¨¢®á⨠ª®æ å âà¥é¨ë¯®«ã稬P (�) = ir 2�r (k2 � �2)3=4�� ei(rpk2��2��=4)J2�Rpk2 � �2 �;P �(�) =r2�r (�2 � k2)3=4�� e�rp�2�k2I2�Rp�2 � k2 �; (54)�®¤áâ ¢¨¢ í⨠¢ëà ¦¥¨ï ¢ ãà ¢¥¨¥ (37) ¨ ᤥ-« ¢ â ¬ § ¬¥ã �2 = r2 + x2;x = � cos �; r = � sin �; (55)¢¬¥áâ® ¢ëà ¦¥¨ï (38) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âìY 1(x) =r 2�� sin ��� kZ�k e�i�(cos �c���sin �p�2�k2)F (�)d�;(56) 1(x)=r 2�� sin ���� 1Zk e��(sin �p�2�k2+icos �c��)F �(�)d�++(�1)m+11Zk e��(sin �p�2�k2�icos�c��)F �(�)d��;(57)�. �. �®à®§®¢, �. �. �®¯®¢ 57
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 1. �. 50 { 59
�¨á. 3. �¨ £à ¬¬ ¯à ¢«¥®á⨣¤¥ F (�) = J2�Rpk2 � �2 ��pk2 � �2 ��3=4 Jm+1(c��)� ;F �(�) = I2�Rp�2 � k2 ��p�2 � k2 ��3=4 Jm+1(c��)� :�®¦® ¯®ª § âì, ç⮠ᨣã«ïà®áâì ¯à¨ �=0ãáâà ¨¬ .� ¬ ¥®¡å®¤¨¬® ¯®«ãç¨âì ᨬ¯â®â¨ª¨ ¨â¥-£à «®¢ (56) ¨ (57) ¯à¨ �!1. �¤¥« ¢ ¢ ¢ëà ¦¥-¨¨ (56) § ¬¥ã cos �c���sin �pk2��2=�, ¯®«ã-稬Y 1(x) = ir 2�� cos � kc� cos �Z�kc� cos �e�i��F �a(�)�d�; (58)£¤¥a(�)= �c� cos �+sin �qk2(sin2 �+c2� cos2 �)��2sin2 �+c2� cos2 � :� ªâ¨ç¥áª¨ ¬ë ¯®«ã稫¨ ¨â¥£à « �ãàì¥. �«¥-¤ãï [11], ¯®«ãç ¥¬ ®æ¥ªã í⮣® ¨â¥£à « ¯à¨�!1:Y 1(x) � �r 2�� cos � 1��� �e�i�kc� cos �f(kc� cos �)�� ei�kc� cos �f(�kc� cos �)�; (59)
�¤¥« ¢ ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (57) «®£¨çãî § ¬¥ãi cos �c���sin �pk2��2=�, ¯®«ã稬 ¨â¥£à « � -¯« á 1(x)= ir 2�� sin �� 1Zikc� cos �e���F �[g(�)]d�++(�1)m+1 1Zikc� cos �e��F �[g(�)]d��; (60)£¤¥g(�)= i�c� cos �+sin �qk2(sin2 �+c2� cos2 �)+�2sin2 �+c2� cos2 � :� §« £ ï äãªæ¨î F �[g(�)] ¢ àï¤ � ª«®à¥ ¨ ¯®-ç«¥® ¨â¥£à¨àãï ¥£®, 㤥ঠ¢ ¯¥à¢ë© ç«¥ àï¤ ,¯®«ãç ¥¬ 2(x) = p2�� cos � 1�3=2 e�i�kc� sin ����F �[g(ikc� sin �)]++(�1)m+1F �[g(ikc� sin �)]�: (61)�®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¦¥¨ï (60), (61) ¢ (37), ¯®«ãç -¥¬ ®ª®ç â¥«ì® ä®à¬ã«ã ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¯®«ï¯¥à¥¬¥é¥¨© ¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨ïå ®â ¤¥ä¥ª-â . �ਠ¯®¬®é¨ ä®à¬ã« (37), (60) ¨ (61) ¯à®-¢¥¤¥® ç¨á«¥®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨© ¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨ïå ®â ¤¥ä¥ªâ ¯à¨ § 票ïå!=c2=0:1; 0:5; 1 ᮮ⢥âá⢥® ¨ �=10 ¢ § ¢¨á¨-¬®á⨠®â 㣫 � ¨ ¯®«ãç¥ ¤¨ £à ¬¬ ¯à ¢«¥-®áâ¨. �¥§ã«ìâ âë ¯à¨¢¥¤¥ë à¨á. 3, ¨§ ª®â®-ண® á«¥¤ã¥â, çâ® á à®á⮬ ¢®«®¢®£® ç¨á« ¯¥à¥-¬¥é¥¨ï ã¯à㣮© á।ë 㢥«¨ç¨¢ îâáï (¯à¨ ¨§¬¥-¥¨¨ ¢ ¯à¥¤¥« å 0.1 { 1.0), ¤®á⨣ ï ᢮¨å ¬ ªá¨-¬ «ìëå § 票© ¯à¨ �=�=4, ¤«ï ¢á¥å § 票©¢®«®¢®£® ç¨á« .�����������஢¥¤¥ë¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¯®ª §ë¢ îâ íä䥪-⨢®áâì ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¬¥â®¤ à §àë¢ëå à¥è¥-¨© ¯à¨ ᢥ¤¥¨¨ § ¤ ç¨ ª ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨- «ì®¬ã ãà ¢¥¨î, á ¯®á«¥¤ãî騬 ¨á¯®«ì§®¢ -¨¥¬ ¬¥â®¤ ®à⮣® «ìëå ¬®£®ç«¥®¢ ¤«ï íä-䥪⨢®£® ¯à¨¡«¨¦¥®£® à¥è¥¨ï í⮣® ãà ¢-¥¨ï. �®«ã祮¥ ¯à¨¡«¨¦¥®¥ à¥è¥¨¥ ¯®§¢®-«¨«® «¥£ª® ©â¨ ��� ã ®¡®¨å ªà ¥¢ âà¥é¨ë ¨¢ëïá¨âì, çâ® ��� ã ¡«¨¦¥£® ª ¨áâ®ç¨ªã ¨§-«ãç¥¨ï ªà ï âà¥é¨ë ¡®«ìè¥, ¯à¨ç¥¬ ¤«ï ¢®«®-¢®£® ç¨á« k=0:2 ¢ 2.8 à § . �¢®¥£® ¬ ªá¨¬ «ì-®£® § 票ï ��� ¡«¨¦¥¬ ªà î ¤®á⨣ ¥â58 �. �. �®à®§®¢, �. �. �®¯®¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 1. �. 50 { 59¯à¨ k=1:9. �®«ã祮¥ à¥è¥¨¥ ¯®§¢®«¨«® ¯®-áâநâì ¤¨ £à ¬¬ã ¯à ¢«¥®áâ¨, â. ¥. § ¢¨á¨-¬®áâì ¯¥à¥¬¥é¥¨© ã¯à㣮© á।ë 䨪á¨à®¢ -®¬ à ááâ®ï¨¨ ®â 㣫 ¡«î¤¥¨ï ª ®á¨ âà¥é¨-ë (�=0; : : : ; �=2) ¨ ¢®«®¢®£® ç¨á« k=0:1; : : :; 1.�ª § «®áì, ç⮠᢮¨å ¬ ªá¨¬ «ìëå § 票© ¯¥-६¥é¥¨ï ¤®á⨣ îâ ¤«ï 㪠§ ëå § 票©¢®«®¢®£® ç¨á« ¯à¨ �=�=4. � à®á⮬ ¢®«®¢®-£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥é¥¨ï 㢥«¨ç¨¢ îâáï.1. � àâ륪® �. �., �«¨âª® �. �. �¥è¥¨¥ ®á¥-ᨬ¬¥âà¨ç®© § ¤ ç¨ ¤«ï ã¯à㣮£® ⥫ á 樫¨-¤à¨ç¥áª®© âà¥é¨®© // �®ª«. �� ����. �¥à. �.{1982.{ N 10.{ �. 43{47.2. �®¯®¢ �. �. �®æ¥âà æ¨ï ã¯àã£¨å ¯à殮¨©¢®§«¥ èâ ¬¯®¢, à §à¥§®¢, ⮪¨å ¢ª«î票© ¨¯®¤ªà¥¯«¥¨©.{ �.: � 㪠, 1982.{ 342 á.3. �®¯®¢ �. �. � ¤ ç¨ ® ª®æ¥âà 樨 ã¯à㣨å -¯à殮¨© ¢®§«¥ ¤¥ä¥ªâ®¢ ¢ áä¥à¨ç¥áª¨å á«®¨áâëåá। å // ���.{ 1998.{ 62, N 4.{ �. 840{853.
4. �®¯®¢ �. �. �¥è¥¨¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ® ª®-æ¥âà 樨 ã¯àã£¨å ¯à殮¨© ¢®§«¥ ¤¥ä¥ªâ®¢ ¢áä¥à¨ç¥áª®© á«®¨á⮩ á।¥ // �®ª«. ���.{ 1998.{360, N 4.{ �. 483{487.5. �à ¤è⥩ �. �., �릨ª �. �. � ¡«¨æë ¨â¥£à -«®¢, á㬬, à冷¢ ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨©.{ �.: �¨§¬ ⣨§,1962.{ 1108 á.6. � â®à®¢¨ç �. �. �ª¨«®¢ �. �. �ãªæ¨® «ìë© «¨§.{ �.: � 㪠, 1977.{ 741 á.7. �¥©â¬¥ �., �थ©¨ �. �ëá訥 âà á楤¥âë¥äãªæ¨¨. �ãªæ¨¨ �¥áᥫï.{ �.: � 㪠, 1966.{295 á.8. �àë«®¢ �. �. �ਡ«¨¦¥®¥ ¢ëç¨á«¥¨¥ ¨â¥-£à «®¢.{ �.: � 㪠, 1967.{ 327 á.9. Oberhettinger F., Badii L. Tables of Laplase.{ Berlin:Springer, 1973.{ 428 p.10. �®¯®¢ �. �. �¡ ®¤®¬ § ¬¥ç ⥫쮬 ᢮©á⢥¬®£®ç«¥®¢ �ª®¡¨ // �ªà. ¬ â. ¦.{ 1968.{ 20,N 4.{ �. 540-547.11. �«¢¥à �. �¢¥¤¥¨¥ ¢ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë ¨á¯¥æ¨ «ìë¥ äãªæ¨¨.{ �.: � 㪠, 1978.{ 375 á.
�. �. �®à®§®¢, �. �. �®¯®¢ 59
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1069 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T01:06:17Z |
| publishDate | 1999 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Морозов, Ю.А. Попов, Г.Я. 2008-07-21T13:33:25Z 2008-07-21T13:33:25Z 1999 Анализ волнового поля, излучаемого центром вращения в неограниченной упругой среде ослабленной конечной цилиндрической трещиной / Ю.А. Морозов, Г.Я. Попов // Акуст. вісн. — 1999. — Т. 2, N 1. — С. 50-59 — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1069 539.3 Проблема исследования волнового поля в указанной среде с помощью метода разрывных решений сведена к одномерному интегро-дифференциальному уравнению на конечном интервале. Для его приближенного решения использован метод ортогональных многочленов, который, в свою очередь, сводит проблему к решению бесконечной системы алгебраических уравнений. Последняя решена методом редукции, обоснование которого приводится. На основе полученного решения построена диаграмма направленности в дальней зоне за трещиной и подсчитан коэффициент интенсивности напряжений. Проблему дослідження хвильового поля у вказаному середовищі за допомгою метода розривних розв'язків зведено до одновимірного інтегро-диференційного рівняння на скінченному інтервалі. Для його наближеного розв'язку використано метод ортогональних многочленів, який, у свою чергу, зводить проблему до розв'язку нескінченної системи алгебраїчних рівнянь. Останню розв'язано за допомогою метода редукції, обгрунтування якого наводиться. На основі отриманого розв'язку побудовано діаграму напрямленості у дальній зоні за тріщиною і підраховано коефіцієнт інтенсивності напруг. A problem on investigation of wave field in mentioned medium by method of discontinuous solutions has been reduced to one-dimensional integro-differential equation over the finite interval. For its solution the method of orthogonal polynomials has been used, which in its turn allowed to reduce the problem to solution of the infinite system of algebraic equations. This last has been solved using the technique of reduction that is being substantiated in the paper. On base of obtained solution the directivity pattern in far field has been derived and the coefficient of intensity of tensions has been evaluated. ru Інститут гідромеханіки НАН України Анализ волнового поля, излучаемого центром вращения в неограниченной упругой среде ослабленной конечной цилиндрической трещиной Analysis of wave field radiated by center of rotation in the unbounded elastic medium weakened with finite cylindrical crack Article published earlier |
| spellingShingle | Анализ волнового поля, излучаемого центром вращения в неограниченной упругой среде ослабленной конечной цилиндрической трещиной Морозов, Ю.А. Попов, Г.Я. |
| title | Анализ волнового поля, излучаемого центром вращения в неограниченной упругой среде ослабленной конечной цилиндрической трещиной |
| title_alt | Analysis of wave field radiated by center of rotation in the unbounded elastic medium weakened with finite cylindrical crack |
| title_full | Анализ волнового поля, излучаемого центром вращения в неограниченной упругой среде ослабленной конечной цилиндрической трещиной |
| title_fullStr | Анализ волнового поля, излучаемого центром вращения в неограниченной упругой среде ослабленной конечной цилиндрической трещиной |
| title_full_unstemmed | Анализ волнового поля, излучаемого центром вращения в неограниченной упругой среде ослабленной конечной цилиндрической трещиной |
| title_short | Анализ волнового поля, излучаемого центром вращения в неограниченной упругой среде ослабленной конечной цилиндрической трещиной |
| title_sort | анализ волнового поля, излучаемого центром вращения в неограниченной упругой среде ослабленной конечной цилиндрической трещиной |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1069 |
| work_keys_str_mv | AT morozovûa analizvolnovogopolâizlučaemogocentromvraŝeniâvneograničennoiuprugoisredeoslablennoikonečnoicilindričeskoitreŝinoi AT popovgâ analizvolnovogopolâizlučaemogocentromvraŝeniâvneograničennoiuprugoisredeoslablennoikonečnoicilindričeskoitreŝinoi AT morozovûa analysisofwavefieldradiatedbycenterofrotationintheunboundedelasticmediumweakenedwithfinitecylindricalcrack AT popovgâ analysisofwavefieldradiatedbycenterofrotationintheunboundedelasticmediumweakenedwithfinitecylindricalcrack |